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浙江工业大学硕士学位论文 分形几何在自动袜机电子控制系统中的应用 摘要 随着计算机应用技术的迅速发展，自动织袜机中越来越多地使用 c a d c a m 技术进行花型设计和工艺处理，使传统的袜机行业呈现出新的生机。 然而，现有的袜机c a d 在花型图案设计方面，采用的依然是相对传统的方法， 即由设计师先在头脑中构图，通过图纸或其它介质把图案表现出来，然后再转 换为花型；或者用扫描仪等设备扫描已有的图片、照片，再对图案进行修改， 然后产生新的设计转换成花型文件。这种花纹设计模式费时费力，还受到设计 师本人的能力限制，或者说只是对别人的产品“依葫芦画瓢 ，难有创新之作。 本课题针对我国袜机花型设计上的不足，采用具有d s p ( d i g i t a ls i g n a l p r o c e s s i n g ) 功能的芯片d s p i c 3 0 f 6 0 1 0 为主控制器，达到数据运算速度快、花 型存储量大、精确控制织袜机动作的效果；采用常用的i f s ( n e r a t i o nf u n c t i o n s y s t e m ) 、递归分形( r e c u r s i o n 盘a c t a l ) 、l 系统即字符重写系统( s t r i n gr e w i t i i l g s y s t e m ) 、复数平面系统( c o m p l e xp l a n ef r a c t a ls y s t e m ) 、细胞自动机( c e l l u l a r a u t o m a t a ) 分形模型，结合s u a lc + + 杰出的图形处理功能，以面向对象的编程 方法在计算机上生成分形图形；将得到的分形图形按b m p 格式进行保存；为了 节约存储空间和生成适合本袜机的文件格式，作者定义了袜机分形花纹的保存 格式；并通过u s b 等介质，将花型信号保存到袜机的f l a s h 中，根据需要设 置实际袜子的花高、花宽和色数，进行编织。 用分形生成的极富艺术性的花纹，给人们带来了全新的感受。即使是一般 的工艺人员也能够设计出美伦美焕的图案，只要输入相应的几个参数，即可得 到所需要的图案，这既缩短了袜机花型设计的周期，又保证了花型的质量，开 拓了袜机花型设计的思路，是对目前袜机c a d 领域的很好补充，可以进一步提 高c a d 技术在袜机工业中的应用价值，提高我国袜机产品的质量与国际竞争能 力。 关键词：织袜机，分形模型，分形图形，花型保存 浙江工业大学硕士学位论文 t h ea p p l i c a t i o no ff r a c t a lg e o m e t r y i nco m p u t e rh os i e r ym a c h i n e a b s t r a c t w i t hm ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c ea 1 1 dt e c l l l l o l o g y ，c a d c a mi su s e d m o r ea n dm o r ei nh o s i e 搿m a c h i n ep a 仳e md e s i g na i l dp r o c e s s 讹砷【n e n tw h j c hh 嬲 b r o u g b tv i t a lf o r c ei n t ot h e 仃a d i t i o n a l 蛐t t i n gm d u s 姆h o w e v e r ，也ec a ds y s t e m s u s e da tp r e s e ma r es t i l lr e s p e c t i v e l yq u i t e 缸a d i t i o n a l b e c a l l s em o a to f p r e s e n tc a d s y s t e m sm a k ed e s i g n sb ys 够l i s to rg e td e s i g n sb yas c 黜1 e r t h e nt u mn l ed e s i g n s i n t op a t t e mf i l e s t h i sk i l l da p p r o a c ho fp a t t e md e s i 蹲c o s t sn m c ha d oa n dt a k e sa l o n gt i m e ，a n d “i sa l s ol i m i t e db yt i l ea b i l i t yo fs t y l i s t ；o ri ti sj u s tt oc o p yo t h e r s p a t t e m s 、) v i 伯1 1 0c r e a t i o na ta 1 1 t 1 1 i sp a p e r ，a 1 1 a l y z i n gt h es h o r t a g eo fc l l i n ah o s i e r ) rm a c h i n e sp a t t e r ，u s i n gh a d d s p 劬c t i o n a lc m o sc h i pd s p i c 3 0 f 6 0 1 0w m c hu s e da s m 句o rc o n 仃d l l e r ， a c k e v e dt 0o p e r a t ed a t aq u i c k l y ，e i l i a r g em e m o r y ，e x a c t i t u d ec o n 仃o lb e l 城v i o r ；u s i i l g n o m a lm o d e l ss u c ha si f s ( i t i e r a t i o nf u n c t i o ns y s t e m ) ，r e 删鹏i o n 仔a c t a l ，ls y s t e m ， c o m p l e xp 1 a n ef r a c t a ls y s t 锄，c e l l u l a ra u t o m a i n t e 伊a t e d 谢t hv i s u 猷c + + s e x c e l l e tp e r f b m l a n c ei n 掣a p l l i c s ，t od r a wa n dg e ta l l 妇d so fd e s i g n so nt h eb a s i so f o b j e c t - o r i e n t e dt e c l l n i q u e ；s a v e df t a lp a t t e n 峪觞b r n pp i c t u r e s ；t 0e n o n o m i z e m e m o f i tt h i sh o s i e 巧m a c l l i n e sf i l ef 0 咖a t s ，也ea u t h o rd e f m e d 仔a c t a lp a t t e m s g 哆l e t h es i 伊a ld a t am a yb ed o w l l l o a dt o 仕l ec o i 灯o l l e rb yu s bc o m m u m c a t i o n 血e d 沁ea n dl l s e dp a t t e m s1 1 i 曲a n d 谢d t l lt 0o n t r o lt 1 1 eh o s i e r ) rm a c l l i i l et 0w e a v e m a i l yp a t t e r n s t h ep a t t e m sg e n e r a t e d 谢t l l 疗a c t a lm o d e l sb r i n ge n t i r e l yn e ws e n s i b i l i t ) rt o p e o p l e i i lt h i sw a y e v e na i lo r d i n a r ys 哆l i s tc a i lm a k eo mb e a u t i 伽d e s i g n s ，a n da l l 浙江工业大学硕士学位论文 t l l a th em u s td oi st oi 1 1 p u ts o m en e c e s s a d rp a r a m e t e r s t h es t ) r l i s t s 、航l ln e v e rb e b o t l l e r s o m ef o r n l es a l ( eo fm a _ l ( i n ga r t i s t i cd e s i g n s l i sw a yo fd e s i g l lc a nn o to i l l y s h o r t e nt l l ep e r i o do fp a t t e md e s i g n ，b u ta l s og l l a r 趾t e et h eq u a l 时o fp a t t e m sa 1 1 d s a t i s 匆c o n s u m e r s r e q u i r e m e n t s i ti so b v i o u wm a tt l l i se f 梵c t i v em e a n so fd e s i g ni s v e d ，p e r s p e c t i v e ，i fi sa l s oag o o dr e i n f o r c et ot h ep r e s e n th o s i e 巧c a d ，a h di t 嘶1 l i m p r o v et h e 印p l i c a t i o nc a dt h c m q u ei nh o s i e 巧m a n c h 血ei n d u s t 够 k e yw o r d s ：h o s i e r ) rm a c 蛐1 e ， 行a c t a lm o d e l ，丘a c t a lp i c 劬- e ，s a v ep a t t e m 浙江工业大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得浙江 工业大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的 法律责任。 作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密翻。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：灰撕 导师签名：冢鹏 日期：沙t 修年 2 月工日 日期函研年，z 月7 日 浙江工业大学硕士学位论文 第1 章绪论 摘要袜子是人们生活的必需品，不仅是人们御寒的衣用材料，更是人们美化生活，追求 个性的需要。本章首先提出了课题研究的背景；接着介绍了课题研究的目的和意义；然后介 绍了国内外研究的现状；再次介绍了c a d 的发展及应用；最后给出了本课题所做的研究工作 及其特色和创新点。 1 1 课题提出的背景 现代社会，纺织品不仅是人们御寒的衣用材料，更成为日常生活中装饰美化 的软材料【l 】。因此，纺织品的设计在引导消费，美化生活等方面起着重要的作用， 然而传统的图案设计周期长、花色少、图形单调，难以满足人们越来越高的求新、 求美、求舒适的要求。 袜子是人们生活的必需品【2 3 1 ，8 0 年代，我国的纺织行业在技术装备上有所 发展；9 0 年代，意大利、韩国等国的高档电脑袜机开始推向中国市场；进入2 1 世纪，随着计算机和自动化技术的融合发展，嵌入式微控制技术日趋成熟，计算 机辅助设计( c a d ) 开始指导袜机生产【4 】。然而，一般的袜子编织c a d 系统只 解决了花型设计和花型样图绘制等一些简单而烦琐的工作，而对于图案设计的周 期长、花色少、图形单调【5 】等方面，则显得无能为力。 1 2 课题研究的目的和意义 编织袜子的机械设备俗称为袜机( h o s i e r ) rm a c l l i n e ) 嘲，它与人们的日常生活密 切相关，一双袜子，其质量、组织结构及花样形式都与袜机的档次直接相关。 8 0 年代，我国的纺织行业在技术装备上有所发展【7 一。9 0 年代，意大利、韩 国等国家的电脑袜机开始推向中国市场，使国内的机械袜机及其袜子产品在竞争 中处于明显的劣势，甚至于被淘汰的境地。进入2 l 世纪，随着计算机和自动化 技术的融合发展，嵌入式微控制技术日趋成熟，计算机辅助设计( c a d ) 计算 浙江工业大学硕士学位论文 机辅助制造( c a m ) 技术在丝绸，毛毯和商标等各种提花机行业以及经编和羊 毛杉等提花针行业的广泛应用，为传统行业带来了巨大的机遇，对织袜机也显得 非常重要。电脑提花袜机的问世解决了生产工艺复杂的问题，初步形成了自动化 生产的优势，大大减少了整个过程的劳动强度和周期【9 】。然而，一般的袜子编织 c a d 系统只是解决了花型设计和花型样图绘制等一些简单而烦琐的工作，而无 法满足客户在袜子设计中所提出的诸如大小、形状和图案等方面的特殊要求【1 0 1 。 即便是近几年，一些国产袜机也引入了微电脑系统，但存在着外围电路设计 和程序设计相对困难、数据处理能力功能相对薄弱、人机界面不友好、机电一体 化水平较低、微机和电子技术的应用不够普及、整体控制精度不够高【1 1 】、花型单 调、设计周期长等缺点，远远跟不上国际袜机机械的发展趋势【1 2 1 。 袜机花纹设计本身还是一个时间很长的过程，即使运用电脑，也只是将其作 为一只先进、时髦的画笔而已，设计人员的构思仍然依赖于创作灵感的闪现，即 其视野仍局限在“可视”的领域，完全依靠自己的“主观”进行设计。电脑强大 的数字信息化功能并未真正介入到图形创作设计过程中，因此，电子自动化的优 势无法得到完全的发挥，显然，这种具有设计思路窄、花型少、周期长、生产难 等缺点明显的传统生产模式已不再适应现代化生活节奏与市场需求。 “分形”是美国数学家曼德布罗特( b e n o 尬m a n d e l b o r t ) 1 9 7 5 年为描述那 些不符合欧氏几何规律的自然现象所创造的一个名词。分形出现后，人们就开始 探讨利用计算机生成分形图形并将它应用到图形设计中【1 3 】。近年来，以计算机 作为创作工具的生成图形设计方法逐渐成为主流技术，并成功地运用到分形艺术 图形的设计中，同时，伴随着分形科学的建立及分形的“可视 越来越完善。分 形及分形艺术图形设计在各个方面都有着普遍的应用。在纺织领域，分形艺术专 家刘华在分形艺术一书中对分形艺术图形进行了系统研究，孙博文、苑玉峰、 刘华杰等建立的个人分形网站上也有很多分形艺术作品。目前，对分形的应用主 要表现在两个方面，一个是将分形作为一种研究方法，比如：目前研究最多最普 遍的就是借助分形参数研究纱线的卷曲或纺织品外观t 1 牝”，其次就是借助分形对 纺织品进行实物模拟【2 4 】。分形几何彻底解决了上述花色少、花型单调、设计周 期长、精度低的瓶颈问题。分形几何图案电脑设计方法为纺织品图案设计开辟了 一个新的领域，在纺织花型中具有很大的应用潜力。 2 浙江工业大学硕士学位论文 本课题针对我国袜机设计上的不足，采用具有d s p ( d 珥t a ls i g l l a l p r o c e s s i n g ) 功能的芯片d s p i c 3 0 f 6 0 l o 为主控制器，达到了数据运算速度快、花 型存储量大、可精确控制织袜机动作的效果【2 5 捌。将分形几何与计算机技术相结 合，利用s u a lc + + 生成丰富多彩的袜子花型【2 7 】，从而改善了我国从德国、意大 利、韩国等国家进口袜机，造成资金外流的现状，这对提高我国袜机产品的数量 和质量【2 引，以及提高国际竞争能力有着重要的意义。 1 3 国内外研究的现状 国际上对袜子的研究历史无从考证，最早的丝袜诞生于1 5 世纪。那时候， 袜子的生产还需要依赖手工。1 6 世纪末，英格兰的一位牧师发明了机械纺织机 【2 9 】；1 8 世纪开始有了手摇机平素袜，手工提花袜；1 9 世纪袜子行业甩掉了操作 时必须“手摇、口数、脚踏 的手摇机，用上了电动袜机，发展了“5 1 1 ”型， “5 9 ”型双色，三色机械自动化等提花袜；1 9 世纪7 0 年代随着针织原料晴纶、 氯纶等原料出现，从而实现了袜品制造原料的多样化、彩色化口川；1 9 3 7 年，杜 邦公司的化学师发明了尼龙纤维，使得袜子产生了革命性的飞跃；1 9 4 0 年5 月5 日，第一批尼龙丝袜上市销售；2 0 世纪末，进入了全电脑袜机时代。 意大利是公认其它欧洲国家针织袜类的主要供应商，也是欧洲针织品中心， 甚至世界的针织品中心。除拥有已建成的基础设备，意大利还富有卓越的设计能 力，现已拥有许多卫星公司。 德国、日本等一些发达国家的针织机械在研发设计水平，制造安装精度和计 算机控制等方面继续处在领先地位，尤其是在设备功能性、运转稳定性、工艺可 靠性、操作方便性等方面优势巨大。 韩国某些针织机，在功能性、稳定性、性价比等方面也有一定的优势【3 l 】。 中国针织工业已经有近百年历史，特别是经过近二十年来的迅速发展，它已 成为纺织工业的重要产业之一。1 9 9 0 年以来，我国织袜行业发生了巨大变化。 其行业内主导生产者由原来的国有大型针织厂转变为专业针织厂、合资厂、独资 厂。然而随着市场竞争的加剧，个体私营企业在这十年间迅速发展起来，又占据 了绝对优势地位。近十年来，我国针织工业产值，销售收入增长超过一倍多，1 9 9 9 3 浙江工业大学硕士学位论文 年，国内市场针织品销售稳步增长，主要针织产品产销售基地和大型零售商场年 均销售增长1 0 左右；2 0 0 0 年全部国有及销售额在5 0 0 万元以上的针织企业有 13 0 2 家，占纺织工业企业数的6 9 0 【3 2 1 。 中国的针织机械产品除满足中国针织工业生产的一定需求外，还有部分出 口，主要出口到亚洲地区尤其是东南亚地区，在欧洲和非洲等地区也有所发展， 如今已销售到俄罗斯、德国、乌兹别克、孟加拉、伊朗、埃塞俄比亚等国家【3 3 】。 袜机设备经历了：1 5 世纪前裁制方法一1 5 世纪末手工编制方法一1 8 世纪手 摇编织方法一1 9 世纪电动袜机半自动编织妣o 世纪全自动，全电脑编织法， 五个时期的革命。 1 4c a d 的发展及应用 从2 0 世纪6 0 年代初期，随着计算机技术的飞速发展，国际同行已开始研究 用计算机代替手工操作，来完成复杂的工艺工程，这样图案的计算机辅助设计就 应用而生【3 4 】了。计算机辅助设计( c a d ) 是利用计算机强有力的计算功能和高 效率的图形处理能力，辅助进行产品设计与分析的理论和方法。经过四十多年的 发展，c a d 已成为当今发展工业生产的有效手段。c a d 应用纺织行业，能够设 计出复杂的图形。织物设计c a d 系统在国内已有十几年的研究历史，并产生了 一批有使用价值的c a d 系统。其中有浙江工程学院z l s 素织物c a d 系统，具 有主要的花色纱线及组织设计功能；中国纺织科学院的c a d 系统，天津纺织研 究所的c a d 系统，上海毛麻纺织科研所与上海第十一毛纺织厂联合开发的c a d 系统，杭州纺织科技有限公司开发的c a d 系统。 1 5 本文研究的主要内容 1 5 1 研究内容 本课题的工作最初是从一个实际工程项目设计一个新型袜机的制版系 统而引出的。在当今袜业竞争激烈的形势下，袜子要不断推出新的款式、品种来 满足社会的需要。所以本课题从快速、高效地生成有创意、富有艺术感的花纹图 4 浙江工业大学硕士学位论文 案为出发点，以分形模型为基础，结合s u a lc + + 强大的图形处理功能，应用面 向对象的方法，研究和开发一个花纹设计生成系统，并将生成的分形花纹转化为 作者定义的袜机花型文件，在作者参与的袜机上进行编织。课题的总体目标如下： 1 、设计一个花纹设计生成系统，除具有传统的点、线、弧的绘制外，还能够根 据用户输入的参数，生成相应的分形花纹图案。 2 、实现对分形花纹图案的b m p 存储。 3 、自定义袜机的分形花纹格式，节约花纹的存储空间，适合作者团队设计的袜 机数据格式。 4 、利用提花软件的转换功能，可将分形花纹图案转换为袜机控制器所需控制信 号并通过u s b 通信方式下载到控制器，进而控制袜机编织各种分形花纹和图案。 1 5 2 主要特色和创新点 本文在全面总结作者自行开发的袜机花纹设计生成系统的基础上，主要特色 和创新点如下： 1 采用具有d s p ( d i g i t a ls i 伊谥p r o c e s s i l l g ) 功能的芯片d s p i c 3 0 f 6 0 l o 为主控 制器，达到数据运算速度快、花型存储量大、精确控制织袜机动作的效果。 该控制器大容量的f l a s h 可有效扩充花纹的存储容量、增加花纹数。( 由本 课题其他成员完成，作者参与调试等操作) 2 设计了一个花纹设计生成系统，除具有一般c a d 的点、线、圆弧设计花纹、 复制、粘贴、旋转等编辑功能外，将分形花纹应用于袜机上，能够根据用户 输入的参数，生成相应的花纹图案，真正达到了计算机的自动设计功能。 3 自定义袜机花纹格式，生成适合作者自行开发的袜机花纹文件。自定义的花 纹格式，节约花纹的存储容量，方便袜机的控制操作。 1 5 3 章节安排 本文分为六章，各章安排内容如下： 第1 章：介绍了袜机的发展历程，分析了当前国内外袜机行业的研究现状， 指出了本课题的研究目的，现实意义及其主要创新点。 第2 章：本章介绍了分形几何的数学基础，分形空间、分形常见的几种维数 浙江工业大学硕士学位论文 以及分形几何与传统欧式几何的不同点；然后介绍了比较常用的分形模型，迭代 函数系统、递归分形、l 系统、复数平面系统、细胞自动机，并对某些花型进行 改进，以实现袜机花型设计的快速性和多样性，开拓了袜机花型设计的新思路。 第3 章：本章从计算机图形学的角度，首先研究了本新型袜机制版系统的总 体结构，包括此制版系统的开发工具、系统界面、系统菜单栏、工具栏、状态栏； 然后利用第二章的五种分形模型和s u a lc + + 的编程工具，重点研究了利用迭代 函数系统、递归分形、l 系统、复数平面系统、细胞自动机五种分形模型，生成 了风格多变的分形图形。 第4 章：本章首先介绍了分形花纹的b m p 格式存储，b m p 格式介绍，以及 b 格式存储在袜机制版系统中的具体实现；然后重点研究了适合袜机花纹保 存的文件格式，袜机花纹保存的具体实现，以及自定义的袜机花纹保存格式。 第5 章：本章首先介绍了袜机处理器选择；其次研究了本袜机硬件电路设计， 根据电路分模块不同分为主板模块和控制板模块；再次研究了u s b 通信方式下 分形花纹数据的读取，最后研究了u s b 通信方式下将微机中的花样数据读取到 主控制器的外部f l a s h 中。 第6 章：总结和展望。 6 浙江工业大学硕士学位论文 第2 章分形的数学基础和袜机花型的分形图形模型 摘要经典欧氏几何所能处理的图形都是相当规则和光滑的，并具有通常意义下的整数维， 但是随着科学的发展，人们意识到对不规则图形必须进行详细分析，分形几何恰好为研究不 规则图形提供了经典几何学没有的语言和思想框架，其核心之一就是分形维数的概念和自相 似性。本章首先介绍了分形空间，接着介绍了分维数，然后介绍了目前比较常用的五种分形 模型”】，迭代函数系统i f s ( i t e r a t i o nf u n c t i o ns y s t 锄) 、递归分形、l 系统即字符重写系统 ( s 仃i n gr e w r i t i n gs y s t e m ) 、复数平面系统( c o m p l e xp l a i l ef r a c t a ls y s t e m ) 、细胞自动机 ( c e l l u l a r a 咖m a 啪，并对有些花型进行相应的改进，实现袜机花型的快速性和多样性。 2 1 分形空间 分形图像所研究的空间都是完备的度量空间，d ) ，把x 中非空紧子集( 即有 界闭集) 的全体记做h ( 均，把h 想象成x 中全体黑一白图形的集合，由此， 任一幅图形都可以由h ( 殉的一个子集来表示，该子集所有的点都是黑色，其它 地方都是白色。所以空间h 包含由数量十分巨大的元素。定义h 就是h 上的 度量，即任意两幅图形( 子集) 之间的“距离 ( 成为豪斯多夫度量) 。它依赖于基 本空间x 的度量d 。 定义2 1 ：度量空间 设x 是一个空间或一个集合。d ：x 专r 是x 到r 的函数。若d 勰 ( 1 ) d 伍，y ) 0 ，d b ，y ) = 0 当且仅当x = y ； ( 2 )m ，y ) = m ，x ) 对所有的x y x ( 对称性) ( 3 ) d 取，) r ) + d ，x ) d 伍，z ) 对于所有的x ，y ，z x ( 三角不等式) 则称d 为x 的度量。( x 彳) 是带度量d 的度量空间 定义2 2 ：柯西序列 若度量空间，印的x 中一个序列西) 署收敛于x ，且x x 则函) 备是一个柯 西序列。 【定理2 1 】若度量空间，力的x 中每一个柯西序列刍，都有一个极限 7 浙江工业大学硕士学位论文 x x ，则称，该度量空间，力是完备度量空间。 例2 1 ( 1 ) 一维直线r 的度量空间( r d ) ，度量d ，是直线r 上任意两点x 和y 之间的距 离d ( x ，y ) ，其中v x ，少r ，d ( x ，y ) = ix yi ( 2 ) 二维平面r 2 的度量空间( r 2 ，刁) ，度量d 是平面r 2 上任意两点x ( x ，x ：) 和y - ，y ：) 之间的距离d ( x ，y ) ，其中v x ，y 尺2d ( x ，y ) = ( x ，一y 。) 2 + ( x ：一y ：) 2 由定理2 1 可推知， ( r ，d ) ，( r 2 ，d ) 都是完备度量空间。 已知( x ，d ) 为一完备度量空间，h 由x 上非空紧子集组成，令么，b 为 日( x ) 上的元素，即彳，b h ( x ) ，相应的彳，b 是x 上的两个子集，定义 集合a 到b 的距离d 为： d ( 彳，b ) = m a x d ( x ，b ) ；x 彳) 其中： 刀( x ，b ) = m i n d ( x ，y ) ；少b ) 这样定义的距离有以下性质： ( 1 ) 一般不满足对称性，即d ( 么，b ) = d ( b ，彳) ( 2 ) d ( 么ub ，c ) = d ( 彳，c ) vd ( 刀，c ) 其中v 表示两个数中较大的一个。 2 2h a u s d o r f f ( 豪斯道夫) 测度和维数 定义2 3 ：两子集a ，b 间的豪斯多夫测度 啪3 办( 么，b ) = d ( 么，b ) vd ( 曰，彳) 或 办( 么，b ) = m a x s u p d ( x ，曰) ，s u p d ( y ，么) ) 可以证明该度量满足度量定义的三个性质，也既是( 日( x ) ，办( d ) ) 同样是 一个度量空间。下面所有的讨论都离不开这个度量空间，b 锄：l s l e y 认为这正是分 8 浙江工业大学硕士学位论文 形所在空间，而分形集之间的距离也正是由这种豪斯多夫距离度量的。 2 2 1 豪斯道夫维数 考虑几个最简单的几何图形。取一个长度为l 的线段，把它放大2 倍【3 7 1 ，则 放大以后的长度2 l 。一个边长为z 的正方形，面积为产，现在将每边长放大2 倍，则放大后的面积为4 产。一个边长为z 的立方体，体积为户，现在将每边长 放大2 倍，则放大后的体积为8 户，如图1 所示。于是，边长放大2 倍前后的关 系可以整理如下： 线段( 一维图形) 2 1 = 2 正方体( 二维图形) 2 2 = 4 立方体( 三维图形) 2 = 8 图2 一l 一个正方形的边长放大两倍，其面积放大四倍， 一个立方体的棱边放大两倍，其体积放大八倍 将边长放大的倍数记为厶放大后图形变化的倍数记为k ，则上述关系可以 表达为 p = 足 ( d = 1 ，2 ，3 ) ( 2 1 1 ) 显然，d 即为相应图形的维数。对上式取对数，并将d 记为竹： d ，：! 坚 l o g 三 ( 2 1 2 ) 可以看到，对于正规的几何图形，( 2 1 2 ) 式的分子刚好可以为分母整除，d ， 为整数，这就是人们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形，( 2 1 2 ) 9 日 印 浙江工业大学硕士学位论文 式不总是可以整除的，于是在一般情况下，一个几何图形的维数是分数，简称为 分维。这就是说，规则几何图形是一般几何图形的特殊情况，与此相对应的整数 维数也只是一种特例。这就是1 9 1 9 年由法国数学家豪斯道夫( ha _ u s d o r 回引进的 分数维概念，巧常称为豪斯道夫维数。 2 2 2 相1 以维数 还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如，一个具有单位面积的正方 形，现在把它等分成九个小正方形，即九个小正方形相加等于原来的面积，而这 时小正方形的边长缩小为原来长度的1 3 倍。上述关系为： 9 ( 1 3 ) 2 = 1( 2 - 2 1 ) 显然式( 2 2 - 1 ) 中的指数2 即为正方形的维数。实际上，式( 2 2 1 ) 表示了一种局部 与整体的相似关系。因此，根据相似关系p 8 】也可以来定义一个几何对象的维数， 根据相似关系定义的维数称为相似维数皿。假定某个几何体由n 个局部所组成， 每个局部以相似比b 与整体相似，则此客体的相似维数皿为： d ： ! ! 曼型 5 l o g ( 1 ) ( 2 2 2 ) 对于一个更复杂的几何对象，只要知道其局部与整体的相似比，就可以计算其 相似维数。 2 2 3 容量维数 对于一个复杂的几何图，当无法知道其局部与整体之间的相似比时，可以 采用一个小方块( 或圆片) 去覆盖 3 卯( 或填充) 被测对象，并通过统计覆盖所 需的小方块数来计算其维数，这种方法称为盒子计数法( b o xc o u i l t i i 培) 。用这种方 法计算出的维数称为容量维数d c 。 2 2 4 信息维数 用上述的盒子计数法计算容量维数时，往往反映不出客体分布上的不均匀性， l o 浙江工业大学硕士学位论文 因为对象的不均匀性将使不同的计数盒子有不同的填充程度，因此人们改进了上 述的分维盒子计数法，改进以后计算出的维数称为信息维数。 除了以上维数外，还有关联维数、标度关系、多重分形等关于分形结构的描 述。 2 3 分形简介 公元前3 世纪欧氏几何形成至今已有2 0 0 0 多年，尽管此间从数学的内在发 展过程中产生了射影几何、微分几何等多种几何学，但与其它几何学相比人们在 生产实践、科学研究中更多涉及到的是欧氏几何。欧氏几何的重要性可以从人类 的文明史中得到证明，欧氏几何主要是基于中小尺度上点、线、面之间的关系。 这种观念与特定时期人类的实践、认识水平是相适应的。数学的发展历史告诉人 们，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时， 头脑中的图像多是一些圆锥曲线、线段组合。受认识主、客体的限制，欧氏几何 具有很强的“人为”特征。这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史，只是人们应 当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具，但不是唯一的工具。 进入2 0 世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是二战以后，大量的新理论、 新技术以及新的研究领域不断涌现。同以往相比，人们对物质世界以及人类社会 的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了。 如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究等等。美国数学家b m a n d e l b r o t 曾提 出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长? 这个问题在数学上可以理 解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效? 这个问题的提出实际 上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。此外，在湍流的研究、自然画面的 描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的开拓呼唤产 生一种新的、能够更好地描述自然图形的几何学。在此，称其为自然几何。 一些数学家在深入研究实、复分析过程中讨论了一类很特殊的集合( 图形) ， 如c a l l t o r 集、p e a l l o 曲线、k o c h 曲线等。这些在连续观念下的“病态”集合往 往是以反例的形式出现在不同的场合。当时它们多被用于讨论定理条件的强弱 性，其更深一层意义并没有被大多数人所认识。 浙江工业大学硕士学位论文 1 9 7 5 年m a n d c l b r o t 在其自然界中的分形几何一书中引入了分形( 厅a c t 缸) 这一概念。从字面意义卜讲，丘a c t a l 是碎块、碎片的意思。然而这并、能概括 m a n d e l b r o t 的分形概念。尽管目前还没有个让各方都满意的分形定义，但在数 学上大家都认为分彤有以下几个特点： ( 1 ) 一具有无限精细的结构； ( 2 ) 比例自相似性： ( 3 ) 一般它的分数维大于它的拓扑维数； ( 4 ) 一可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生等。 k o c h 曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大，咀欧氏儿何的日h 光 来看，这种曲线是被扣八另类的，从逼近过程中每一条曲线的形态可以看出四条 性质的种种表现。以分形的观念来考察前面提到的“病态”的曲线，可以看出它 们不过是各种分形。 图2 2k o c h 曲线 八， 。厂、， j 己。 2 4 袜机花型的分形图形模型 1 9 7 5 年，分形的创立者曼德勃罗特用“分形”一词囊括了他的思想o 。 相继出版了杰作分形：行状、机遇和维数( f m c 诅if o m c h a n c ea n d d i m e n s i o n ) 、 自然界的分形几何( t h ef r a m l0 e o m e t a r yo f n a t u r e ) 。这些专著的发表标志 若分形几何作为一门独立的学科正式诞生。 八n 曲n 浙江工业大学硕士学位论文 分形的产生是一个精细的数学过程，它需要一些特定的算法，也就相应地依 赖于特定的模型。目前比较常用的分形模型有迭代函数系统i f s ( i t e r a t i o n f u i l c t i o ns y s t e m ) 、递归分形、l 系统即字符重写系统( s t r i n gr e w t i t i n gs y s t e m ) 、 复数平面系统( c o m p l e xp l a n ef r a c t a ls y s t e m ) 、细胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t a ) 等。本课题在开发过程中，主要采用了以上五种基本的、典型的生成方法，并对 有些花型进行相应的改进，以实现袜机花型设计的快速性和多样性。 2 4 1 迭代函数系统分形图形 迭代函数系统是分形理论的重要分支。最早是由m t c l l i s o m 在1 9 8 1 年提出 的。迭代函数系统( i f s ) 是以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具 有自相似的结构，将总体形态以一定概率按不同的仿射变换迭代下去，能够构造 出无穷多变的分形图形。本论文在迭代函数理论的基础上，利用迭代函数系统的 确定性算法、随机迭代算法【4 2 】、改进i f s 算法，来生成分形图形。 确定性算法是通过仿射变换得到的。其基本原理是找一个初始集，对集上的 每个点，根据给定的仿射变换公式进行数据变换，便可得到新的点集。这样通过 多次迭代，便可绘制所需的图形。并且每个图形的局部和整体相似。只要其仿射 液换系数相同，即i f s 码相同，当迭代次数足够大时，最终生成的图形是相同的。 随机性迭代算法用到了概率，从而可以对图形的细节和颜色进行控制。随机 性迭代算法发基本思想是，使的作用次数与忍成正比，足2 ，根据概率分 布 a ，见，肌) ，从 可以控制分形图的结构和形状，概 率组 见 控制该仿射变换在迭代中被选中的几率，即落入图形部分的概率。所以， 如改变仿射变换 k ) ，就可改变分形图的结构形状；如有意识地控制某部分的概 浙江工业大学硕士学位论文 率，则该部分的图形就会产生相应的变化，从而控制分形形状。同样，对不同部 分赋予不同的颜色，便可绘制出极其丰富多彩的彩色分形图。 2 4 2 递归分形 小时候听过一个最无聊的故事，故事是这样讲的：从前有座山，山里有座庙， 庙里有个老和尚在给小和尚讲故事【4 3 】，老和尚说：“从前有座山，山里有座庙， 庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，老和尚说：从前有座山，山里有座庙，庙 里有个老和尚在给小和尚讲故事，老和尚说：。m 这只不过是大人被小孩 缠得再也没有什么故事好讲时，所抛出的最后一招。然而，它却是一个典型的递 归过程。 分形图形很多都能用递归的方法来完成，但是其用到的递归方法只是通过函 数反复调用自身的原理来实现，而这里讲的递归分形是在执行描画函数之后再进 行递归，它具有直线和圆滑曲线部分，这要比到处弯曲的图形看上去感到更加协 调。如树木曲线是通过递归、反复分枝产生的图形，既有适当的复杂性又有微妙 的均衡性，给人以不同思议的美感。递归生成的分形图有很多，根据递归的基本 元素的不同m ，4 5 1 ，可以有树木曲线、线段递归曲线、圆递归曲线、曼陀罗式递归 曲线、正多边形递归曲线和星形递归曲线等等。下面以树木曲线为例，说明递归 分形图形的生成机理。 绘制树木曲线时，用二维数组t r e e b 瑚1 c h 指定分枝角度和长度的缩小率，例 如 肌p 6 ，绷c 乃 】 2 】- 2 2 5 ，o 8 ， - 2 2 5 ，o 8 ) ，肋) 即表示这样分枝：一枝朝相对于当前角2 2 5 度的方向，缩小率为o 8 ，另一 枝朝2 2 5 度的方向，缩小率为o 8 ，从而朝两个方向分枝，左右对称的方向生长。 e n d 表示数组结束的符号常量。几乎所有在描写垂直于地面直立的树木时，当 前角度均设定为9 0 度，然后调用递归函数来描写第一次树木曲线，其长度由一 个初始值确定，这就是一次树木曲线( 图2 3 ( a ) ) ，到此为止都和m e 6 翮拍的值 无关。随着第一次函数的递归，树枝的顶端伸长出由m p 6 翮如指定的二个分枝， 这就是形成二次树木曲线( 图2 3 ( b ) ) ，以后由于不断调用描画函数，从而不断 伸长出分枝，这便描画出3 次、4 次，。的树木曲线。 1 4 浙江工业大学硕士学位论文 ( a ) 1 次 ( b ) 2 次( c ) 3 次 图2 - 3 树木曲线的生成机理 其它类型的递归分形图形在此基础上会有一些参数上的变化，使得到的递归 图形更加地丰富和多样化。 2 4 3 l s y s t e m ( l _ 系统) 美国生物学家a r i s t i dl i n d e r n a y e r 在研究植物形态的进化与构造时【4 6 1 ，于 1 9 6 8 年提出了一种文法描述方法：删，用来植物形态与生长的描述，称为l 系统。1 9 8 4 年，a r s m i m 首次将l 系统引入到计算机图形学领域。 l 系统是一类独特的迭代过程，其核心是重写。作为一种形式语言，l 系统 用字母表和符号串来表达生成对象的初始形式，称为公理( 崩o n ) ，然后根据一 组产生式重写规则，将初始形式的每个字符依次替换为新的字符形式，以此过程 反复替换重写，最后生成终极图形。在二维平面上，l 系统图形的生成过程，类 似于海龟在沙滩上行走，海龟行走的每一时刻的状态定义为当前位置矢量t 与 前进方向角口的集合( t ，口) ，则二维l 系统字母表的绘图规则如下： f ：以当前方向前进一步，并画线。 f 以当前方向前进一步，不画线。 + ：逆时针旋转万o 。 一 ：顺时针旋转扩。 ：将当前信息压栈。 】：将“ 时刻的信息出栈。 浙江工业大学硕士学位论文 2 4 4 复平面分形 出现在复数平面上的分形图形是数字世界中描画出最奇妙最美丽的图样之 一，无边无垠错综复杂的轮廓显示着分形特有的自相似性。复数平面与普通平面 区别不大，主要增加了虚数的概念，实数通过x 轴表示，虚数在y 轴表示。其 产生过成如下： 设函数或映射y = 厂( z ) 是某一规则，若给定x 一个初值，记为，则有 y = 厂( ) ，可得y 的一个值，记作五，即五= 厂( 而) ，将这个j ，= 毛作为x 的新 值，可得y 的新值j ，= 厂( 西) ，记作恐，即砭= 厂( 而) 。这样反复迭代的数学反馈 过程使函数或映射的每一次输出作为下一次的输入，即“= 厂( 以) ， ，z = 0 ，l ，2 一从而得到一个序列，毛，屯，矗，这个序列称为的迭代轨道。 著名的分形集有m a i l d e l b r o t 集和j u l i a 集。 ( 1 ) m a n d e l b r o t 集 m a n d e l b r o t 集是由分形理论创始人美国科学家m a n d e l b r o t 开发的著名图形 【4 7 4 8 】。m a n d e l b r o t 集分形图是分形领域最著名的分形图形，其