初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究.pdf

附件s ： 分类编号： 密级： y 8 9 8 5 4 6 单位代码：1 0 0 6 5 学号： 天滓师苊大学 研究生学位论文 论文题目：扭虫生函数堂翌虫丛翅壁迟 公盘厘数堂过篡班窒 学生姓名：割红墓申请学位级别：熬直亟 申请专业名称：堂型教堂：麴堂 研究方向：教堂熬直 指导教师姓名：王延窒专业技术职称：熬援 提交论文日期：2 q q 互生互且 a b s t r a c t m a t h e m a t i c sf u n c t i o n1 e a r n i n gp l a y si m p o r t a n tr 0 1 ei nm a t h e m a t i c s l e a r n i n g e r r o r sa r eo f t e nm a d eb ys t u d e n t sa n dc o n f r o n t e db yt e a c h e r s i nt e a c h i n gp r o c e s s t h i sa r t i c l ei st oi n t e r p r e tt h et y p e so ft h ee r r o r s a n dt oa n a l y s e st h ec a u s e so fe r r o r s ，i nt h ee n ds u g g e s ts o m et e a c h i n g s t r 8 t e g i e s a f t e rs t u d y i n gt h es t u d e n t s p s y c h o l o g i c a lp r o c e s si nf u n c t i o n 1 e a r n i n g ，t h ew r i t e rc o n c l u d et h em a i nc a u s e so fe r r o r sa sf 0 1 1 0 w i n g ：b e i n g i n t e r f e r e db yf o r m e rk n c f w l e d g e ，u s i n gc o n c e p t u a li m a g et or e p l a c e c o n c e p t u a ld e f i n i t i o n ，l a c k i n gt h ea b i l i t yt og e n e r a l i z e ，s e p a r a t i n gt h e c o n c e p t u a lp r o c e d u r ea n dc o n c e p t u a lo b j e c t ，c o m b i n i n gw i t ho t h e rc o n c e p t s i n a p p r o p r i a t e l y ，t h ef u n c t i o nb e i n gt a u g h ti 瑚p r o p e r l y 。f r o mt h ep a p e rs u r v e yi ns t u d e n t s ，t h ew r i t e rt e l lh o wt h es t u d e n t s t h i n ka b o u tt h ee r r o r sa n da d v o c a t es o m ew a y st h a tt e a c h e r ss h o u l dr e a c t w h e ns t u d e n t sa r em a k i n ge r r o r si nm a t h e 髓t i c sf u n c t i o nl e a r n i n g t e a c h e r s s h o u l dr e s p e c ts t u d e n t s 0 p i n i o n s ，h e l pt h 咖c o l i l p a r et h ed i f f e r e n c eo f c o n c e p t s ，b ep a t i e n t ，m a n a g et ou n d e r s t a n ds t u d e n t sr e a lt h o u g h t ，h e l p s t u d e n t st ol o o kt h ee r r o r si np o s i t i v em a n n e r a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tt y p e so fe r r o r s ，t e a c h e r sc a na p p l y d i f f e r e n tt e a c h i n gs t r a t e g i e s t h e s es t r a t e g i e sl i ei nh e l p i n gs t u d e n t s u n d e r s t a n dt h ec o n c e p td e f i n i t i o n p r e c i s e l y ，p a y i n ga t t e n t i o nt o s t u d e n t sf o r m e rk n o w l e d g e ，h e l p i n gs t u d e n t sg r a s pt h ec o r eo ft h e c o n c e p 七，h e l p i n g s t u d e n t sc o n s t r u c t c o n c e p t u a l n e t w o r k ，f o s t e r i n g s t u d e n t sr e t h i n k i n ga b i l i t y k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sl e a r n i n g，f u n c t i o n l e a r n i n g ，k n o w l e d g e e r r o r ，e r r o ra n a l y s i s ， t e a c h i n gs t r a t e g y 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 一、课题的提出 在“函数”这一章中，我们将从研究不变量转化到研究变化的量从“不变” 到“变”，在认识上要有一个飞跃，因此在理解变量及函数的概念上会是较困难 的，也是教学中的难点由于函数中的不少概念、方法学生是初次接触，因此函 数的学习对于初中生来说是一大难点。函数观点的确立，需要学生有较强的抽象 思维能力，否则，机械的背诵函数的定义，很难掌握函数的知识，也很难熟练地 应用函数的知识解决问题。这些都会影响到学生对于函数的认识模糊或错误的理 解，往往会导致整个函数学习的失败，而各种错误的产生与积累，影响学生对数 学学习的信心。 教师如何分析这些困难? 采取什么样的教学策略或方式帮助学生更好地进 行函数的学习? 学生又是怎样对待自己在数学函数学习过程中的困难? 学生应 该有什么样的态度对待函数学习中出现的困难? 这些都和我们的教学和学生的 学习密切相关。 本着“教与学对应”的原则，数学教育研究把“学生的学”放在首位，笔者 认为有必要研究学生数学学习过程中出现的错误。现在我们有了许多新的教学理 念，进行许多教学改革，但在如何对待学生函数学习中出现的错误方面缺乏系统 的研究，需要进一步作深入地探讨这个问题。 ( 一) 是中学数学教学的核心内容 函数在初中数学中占有很重要的地位这一方面是因为从中学数学知识的组 织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、 极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。例如：代数式2 a 2 + 3 a 一1 ，可以看 成是函数尸2 ，+ 3 五一l 在j = a 时的值；方程爿曲= o 的根可以看成是函数y = “曲的图像与z 轴交点的横坐标。；另一方面，函数还是数学的后续发展的基 础，这一章的内容对高中数学中各种初等函数的学习以至高等数学中函数概念及 性质的研究也奠定一定的基础同时函数知识在物理、化学等自然科学中有着广 泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工 具。函数既是从客观现实中抽象出来的，又超越了干变万化的客体的个性，其内 涵极为深刻，外延又极为广泛所以它既是重点，又是难点 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 ( 二) 促进提高数学教学效率 1 、在函数学习中，对学生容易出现的认知错误及时纠正，可以提高学生数 学学习兴趣，调动学生学习数学的主动性与积极性。 人的认知过程，是从具体到抽象，从简单到繁杂，由浅入深的认识过程。在 学习中要掌握好知识。认识过程的完善是至关重要的，无论对掌握概念和定理、 公理都有相当重要的作用。认知过程的完善，对培养学生的思维能力，提高分析 问题和解决问题的能力就尤为重要。优秀的教师，无不把培养学生的认知能力作 为教学的一项重要内容。例如，让学生课前认真预习，设计思考题目；上课专心 听讲，积极思考，提出质疑：课后及进复习，独立完成作业，经常阅读课本和记、 看笔记，抓住课本概念，既是正确理解的体现，又能有助于准确地把握。反之， 如果没有养成完整理解数学概念的习惯，即使当初理解了数学概念，时间久了， 也会模糊，进而影响后继数学知识的学习。此外在函数学习中，老师要对学生容 易出现的认知错误进行及时纠正，这样不仅可以提高学生数学学习兴趣，还可以 调动学生学习数学的主动性与积极性。 2 、通过函数纠错教学，强化学生对函数概念的理解与运用，进而对数学理 性有所体会，提高学生的数学素养。 从小学升入初中以后，学习科目的增多，不仅给初中生的心理带来一定压力， 而且使学生在学习中存在定的“夹生”或“认知遗误”等现象。尤其学习后进 生，由“夹生”和“认知遗误”造成的错误，长期困扰和束缚着他们。本文力图 通过对函数教学的探讨，使学生对概念不清的错误，要加强对概念的理解：对“认 知遗误”的及时补正；对“夹生”的要复习提高。这样，对不易理解的问题或理 解记忆能力差的同学来说，经过“函数纠错”，才能够彻底纠错补漏，使教学质 量得到提高。 3 、运用目标教学，提高初中函数教学的教学效率，为学生进一步学习数学 课程打下良好基础。 在函数教学中，怎样科学地设计，精心地组织课堂教学，使学习获得满意的 最佳效果，这是我们老师孜孜以求的。本文在进行函数教学的探讨中，体会到应 用目标教学指导初三数学函数学习与复习，有利于提高教与学的目的性，主动性 和策略性，从而能从根本上提高数学教学质量。 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 首先确定教学目标。按以下几个方面确定的： ( a ) ：“知识型”目标，根 据教学大纲和中考要求，分清对各类知识的掌握层次。( b ) ：“基本应用”目标， 主要是让学生应用所学的概念，定理，公理，公式，法则等去解决一些简单问题。 ( c ) ：“技能型”目标，初中数学函数的基本技能主要包括：运算，识图，推理 论证和语言表达等。( d ) ：“综合应用”目标，主要包括应用多个知识点和多种 技能，灵活运用适当的方法，解决一些比较复杂的问题。( e ) ：“数学思想与方 法”目标，数学思想主要包括函数，方程思想，数形结合思想，转化和分类讨论 思想等。方法主要有换元法，待定系数法，分析综合法，构造法等。学习中应强 化这些思想与方法的形成，培养学生的数学素质。 布鲁姆的“掌握学习”理论认为：学生认知的初始行为和情感特征，及教学 质量是影响学生学习效果的三大变量，而认知的初始行为对学生成绩的影响为 5 0 ，因为教学必须从某个起点出发，而开始的起点必须从学生的实际出发。因 此，在学习之前，必须先诊断学生现有的知识和技能，只有这样，才能准确地把 握学生，以便做到有的放矢。 然后制定合理的教学方式及授课内容：针对不同层次的学生情况，精心设计 每一节课要讲的内容。本人尝试对不同学生应用分层次分目标的教学模式，力争 做到使“最好的学生也有不会的题目，最差的学生也有会做的题目”。另外，单 元复习中要注意“前馈知识”的总结教学，避免知识产生负迁移。 最后进行单元达标测试，终结性测试及综合目标的检测：检查教学目标的完 成情况，及时进行反馈，矫正。布鲁姆的“掌握教学”思想的一个主要优点是师 生之间的反馈系，能在群体教学中的误差出现后不久便揭示出来，使得教学能够 适时地加以自我矫正。 通过运用目标教学在提高学生学习兴趣及转变差生方面有明显的效果。由于 达标测评只统计学生掌握知识的情况，学生不必为考试而紧张，有利于培养学生 兴趣。同时目标教学使学生的自信心得到了加强，差生获得了知识和技能，能力 的掌握感，这就为今后的学习产生更大的推动力。此外在形成学习品质方面，目 标教学具有更大优势，培养了学生用更多的精力学习数学的兴趣。 二、相关理论概述 ( 一) 信息加工理论概述 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 许多认知心理学家把人看作是信息加工的机制，把认知看作是对信息的加 工。当代认知心理学奠基人之一奈瑟( n e i s s e r ，1 9 6 7 ) 认为：“认知是指转换、 筒约、加工、贮存、提取和使用感觉输入的所有过程。”。 对信息加工理论说来，探究学生头脑中发生的加工过程是至关熏要的，它试 图揭示被行为主义者作为“暗箱”的内部认知活动。另外，信息加工理论，一方 面采取行为主义者所持的重视实验的态度，即不仅要假设心理过程，而且必须予 以实验验证：另一方面则又像传统的认知理论家一样，为了便于假设，常常采用 非正规的观察法和对心理活动的逻辑分析，然后再用实验予以检验假设能否确立 4 从学习理论的角度来看，信息加工理论在以下几方面是有启迪的：( 1 ) 刺 激选择不像艾斯蒂斯所说的那样是一种随机的过程，因此，不能仅仅考虑到刺激 的特征，而且还要关注学习者已有的信息或认知图式。( 2 ) 短时记忆加工信息 的能量是有限的，如果一味要求学生在短时间内掌握大量的信息，不给他们留有 加工或思考的时间，结果必然会像狗熊捡苞米一样，拣一个丢一个。( 3 ) “组 块”理论，为了尽可能使学生在短时间内学习较多的知识，我们必须把知识组织 成有意义的块状，减少机械学习。( 4 ) 信息编码不仅有助于学生的理解，而且 也有助于信息的贮存和提取。教师在帮助学生使用各种策略来编码方面。是可以 大有作为的”。 ( 二) 成就动机理论 对于教育工作者说来，最熏要的动机是成就动机，即学生趋于努力获得成功、 达到理想的目的倾向。实验表明，以成就为动机的学生坚持学习的时间会更长些， 即便遇到挫折，也往往会归结于自己还不够努力。他们一心想获得成功，当失败 时，会加倍努力，直到成功为止。因此，在学校里，成就动机强的学生一般会取 得较好的成绩。成功哺育了对更成功的向往，这种向往又哺育了成功。另一方面， 没有体验过学业成功的学生，往往会失去这方面的动机，把动机转向他们感兴趣 的其他事情上去。 有些心理学家发现，学生可能以两种方式来达到目的：试图获得成功；试图 避免失败n “。避免失败者的一个重要特征是，他们般选择比较容易的，或极 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 认知水平的概念，即自发性概念和科学概念。我们平时说的学生中的“常见错误”、 “典型错误”，就是指学生的自发概念中的不足之处，如f ( x y ) = f ( x ) 一f ( y ) ，国 外的研究中常以正面方式提到自发概念，称为“儿童数学概念”，“儿童的概念” 等1 。学习过程是一个螺旋上升的发展方式，一个数学概念的建立有时是困难 而漫长的，需要多次反复，循序渐进，直到真正理解。与传统观念相比，我们应 该认为许多概念错误是相对的，是发展的，具有一定合理性，是可以通过改造成 为一个科学概念。笔者认同这样的观点。 基于这样的认识，我们在对待学生概念学习错误时会努力去发现学生概念错 误中的合理成分，分清其错误的性质，而不是采取简单的态度，这对我们采取有 效的教学对策有十分积极的意义。 在相关的一些文献里都有关于数学函数概念错误的特点或分析成因，但不够 系统或全面。李善梁先生对数学概念错误的研究对我们正确理解、防范并克服学 生在学习数学概念的过程中有可能出现的各类错误具有原则性和策略性的启发 作用，他提出了两种类型的错误：( 1 ) 过程性错误。( 2 ) “合理”性错误“。 周友士从建构主义视角分析，认为日常概念的干扰、概念意象的替代、迁移的惯 性等是形成错误概念的典型和普遍的原因“。这样的分析有助于我们了解学生 出现概念错误的心理和类型。 在曹才翰先生认为要帮助学生纠正错误概念，首先设法诊断出学生头脑中的 错误概念，判断产生的实际背景。其次要提供相应的感性经验，使学生经历概念 的概括过程，强化正确概念等“。他提出的策略具有针对性，有实际运用价值。 通过对学生作业分析、课堂观察、访谈等方式，调查学生在概念学习中的各 种错误，并进行归类，分析其成因，诊断学生的错误、指导学生的学习是一个教 师教学基本功“。教学策略是否适当在实质意义上决定了教学质量，最终影响 学生的学习策略的获得和知识的掌握与能力的形成，调查了解学生对待错误的态 度和分析错误的方式。它关系到学生是否有较好的反思能力，是否有信心去面对 数学学习的困难。数学函数学习的研究如果围绕着认知、发展、教学于一体进行， 研究学生认知和发展的规律，具有科学价值和实践指导意义u 副。 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 目前对这方面的研究为数不多，而且以心理学家和教育学家为主，理论多于 实践。本文意在将理论与实践相结合，从更为一般的角度对相关问题作出进一步 分析，探索数学函数学习中的类型，分析揭示成因，寻找帮助学生函数学习的有 效办法、教学策略。 ( 三) 对数学学习中认知错误应采取的教学策略 1 、培养学生学习数学的兴趣 兴趣是推动学生学习的动力，学生如果能在学习数学中产生兴趣，就会形成 较强的求知欲，就能积极主动地学习。培养学生数学学习兴趣的途径很多，如让 学生积极参与教学活动，并让其体验到成功的愉悦；刨设一个适度的学习竞赛环 境；发挥趣味数学的作用；提高教师自身的教学艺术等等。 2 、教会学生学习 有一部分学生在数学上费工夫不少，但学习成绩总不理想，这是学习不适应 性的重要表现之一。教师要加强对学生的学习指导，一方面要有意识趣培养学生 正确的数学学习观念；另一方面是在教学过程中加强学法指导和学习心理辅导。 3 、在数学教学过程中加强抽象逻辑思维的训练和培养 加强抽象逻辑能力训练，把教学过程设计成学生在教师指导下主动探求知识 的过程。这样学生不仅学会了知识，还学到了数学的基本思想和基本方法，培养 了学生逻辑思维能力，为进一步学习奠定较好的基础。 4 、建立和谐的师生关系 心理学认为，人的情感与认识过程是相联系的，任何认识过程都伴随着情感。 初中生对某一学科的学习兴趣与学习情感密不可分，他们往往不是从理性上认为 某学科重要而去学好它，常常因为不喜欢某课任老师而放弃该科的学习。和谐的 师生关系是保证和促进学习的重要因素，特别要对后进生热情辅导，真诚帮助， 从精神上多鼓励，学法上多指导，树立他们的自信心。提高学习能力n 制。 波利噩说：“教师最重要的任务之一是帮助他的学生，这个任务并不容易， 它需要时间、奉献和正确的原则。” 对于学习的过程，有两种基本的见解：一种是以桑代克等为代表的行为主义 学说，认为学习的过程是盲目的、渐进的、尝试与错误直至取得成功的过程； 种是以布鲁纳、奥苏贝尔、维果斯基等为代表的认知学说，认为学习构成是原有 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用，形成新的认知结构的过程。本 文从教育学和现代认知心理学的角度，运用建构主义的有关学习理论去研究学生 函数学习中的错误及相关的教学对策。 四、对现行初中数学中函数教学的基本认识 ( 一) 有关概念的界定 1 、数学学习 数学学习是指学生在教育情境中，以数学语言、符号为中介，自觉地、积极 主动地掌握数学概念、公式、法则、定理，形成数学活动的经验，发展数学技能 与能力的过程。 在中学，数学学习就是依据数学教学大纲，在教师的指导下，有目的、有计 划、有系统地掌握数学知识、形成数学技能、数学态度、发展数学思维和培养数 学能力的一种特殊的认知活动“。 2 、函数学习 初中函数学习，应限于所必需的基础知识和基本技能范畴之内，深度和广度 一定要适当。例如，在平面直角坐标系这一小节中，首先从学生已有的数轴知识 出发，提出用数表示直线上点的位置的问题，然后再结合学生熟悉的用一对实数 表示平面内点的位置的实例，引出平面直角坐标系的概念。又如，关于函数概念， 采用的是比较简明易懂的、古典的“变量说”定义。以往的教材给出的函数定义 是：“设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个 确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变 量。”学生在开始学习函数时，要接受这样的定义，无疑是有一定难度的。现在 介绍函数概念时，则表述为：“设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。” 这里，去掉了“在某一范围内”与“确定的”两个限制语词，对学生初步了解函 数概念，是有益的。 函数的学习是离不开图象的。对于学生来说，学习一次函数的图象，主要需 把握两点：一是认识一次函数的图象是一条直线，二是会利用描点或通过两个特 殊点画出函数的图象。从这个目标出发，首先借助学生学过的几何知识，说明最 简单的一次函数y = x 的图象是一条直线：再结合利用描点法画出的一次函数图象 的实例，归纳出一次函数图象是直线的结论；然后，由两点确定一条直线，得出 一次函数图象的一般画法。比起先讲正比例函数y = k x 的图象，再通过平移得到 初中生函数学习中认知错误分析及教学对镱研究 一次函数y = k x + b 的图象的讲法，理论性较低，学生接受起来要容易一些。 3 、认知错误 认知错误就是在接受和评估信息的过程中产生应对和处理问题方法的错误 过程。 4 、教学对策 教学对策就是在教学中针对学生的认知水平、错误原因、学习心理等为提高 教学质量而采取的教学措旌和策略。 ( 二) 初中函数概念教学分析 函数是中学数学的核心内容，分为初中和高中2 个阶段，建立函数概念不能 像认识“平行四边形”那样，只用“属+ 种差”的逻辑方法，它需要动态地，形 式地处理多因素问的关系，学生记忆函数定义是很容易的，但要真正理解它需要 有一个过程，有研究表明：“学生函数概念的认知发展有以下三个阶段：作为算 式的函数；作为变化过程的函数；作为对应关系的函数。 1 、理解变量 在引入函数概念之前，需要完成从常量到变量的转变，物体运动涉及变量， 但是，学生往往用常量观点去理解，比如问：“某物体以1 0 0 米每分的速度前进， l o 分钟前进多少米? ”小学生都会给出正确答案，但他们并没有注意到时间与 路程都是变量，即使部分学生能给出“s = l o o t ”，也知识文字代表“数”而已。 并没有把它看作是一个变化的过程。再如表达式x + y = 5 ，在学生已有的图式中就 是两个定数相加为5 ，很难想到两个量之间此消彼长的内在联系，仅若将t 看作 动点沿数轴从0 运动到1 0 ，列出相应的另一个变量s ( t ) 的对应值，并在坐标 系上描出这些点，这时学生才感受到变量的真实意义。 数形结合是深化函数概念学习的重要手段，函数的图像一方面是函数的一种 表达方法，另一方面也为函数建立了直观模型。从图像上更能看出函数作为运动 过程的描述这一特征。因此，应使学生认识到字母可以表示定数，也可表示变化 的量，培养学生的思维在静止和运动，离散与连续之间进行转化，从观察静态的 “照片”( 如常量、代数方程和算式) 到认识动态过程的“录像”( 如变量函数) 这是认识的飞跃，在这一阶段，只使用“变量”这一单个表象。 2 、突出“关系” 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 已知数和未知数之间的关系是方程，变量和变量之间的关系则是函数，这时 要使用两个变量；心理学上要求在同一水平上使用多个表象。 例如，圆的周长与半径的关系z = 2 石r ，学生看到半径的变化，能引起周长 的变化，但这只是停留在前一个阶段的认识。进一步，则要关注两者之间的关系， 相差2 玎倍，画出图是一条直线，体会到变量之间有相互制约性，而且在同一运 动系统中同时变化，这种相互协调性，这些关于联系的感性认识的积累，会逐渐 改变原来只把一个符号当作固定的数的模式。 认识变量和认识变量间的关系是不同层次的认知水平，例如，一位教师在函 数概念教学时，让学生先举一个生活中遇到的在某过程中的变量，选一个字母表 示，然后再想一想有没有另一个与前一个量有关的也在变化的量，找到它们之间 的关系。学生分别举了“距离和时间的关系”，“买铅笔的数量与总价的关系”等， 有一个学生说：“吹气球时气球的体积随时间交，但是关系不清楚。”这是一个很 关键的问题：找变量容易，找关系难。找关系，实际上是“建立数学模型”的问 题。吹气球时，时间和气球究竟有没有关系? 学生的回答是有关系，但是不知道 是什么关系。那么，我们能不能说他已经知道了气球大小是时间的函数呢? 老师 和同学讨论的结果是：只要把各个时刻的气球半径大小记下来就是一个函数了。 有关系，可以是函数，把关系记录下来，才得到这个函数。 为了使每个学生都获得必要的感知，引导学生多分析几个不同的实例，实行 “函数建模”是十分必要的。例如，老师以学生的年龄关系是不是函数关系? 利 率和利息的关系等等。事实证明，没有教师的引导，学生很难得到应有的感知。 3 、区别函数与算式 代数课学到了函数阶段，是前面所学知识的一次集成。它把多项式、变量、 坐标系和方程等内容进行了整合。在初中最后阶段，学习函数及图象，运用函数 的观点和方法去处理前面所学知识，会有更深层次的理解。事实上，代数式可以 看作带有变量的函数表达式，求代数式的值就是求特定的函数值；方程实际上就 是求已知函数满足一定条件的变数值，使在该变数值上已知函数有某个预先指定 的值，特别是使函数值为0 时的自变量的值；不等式可以视为求函数的误差估计； 如此一来，就把前面的知识都统- - n 函数的范畴中，体现了数学的统一性。 算式只是函数的一种表示方法，列表法、图象法都可以表示函数。报纸上刊 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 载的“股票走势图”，就是一种函数。但是，数学研究的函数，绝大多数是需要 算式的。表格，可以插值形成连续函数，图表可以用算式或图象近似。建立函数 模型，主要是找到算式表示，最终是用找到的函数关系去解决问题。因此，寻求 算式，但不限于算式，是函数教学的目的之一。 以上三个阶段，是初中数学课程中函数教学要达到的目标。它以变量之间的 关系为核心，宏观地体现函数的动态过程。 ( 三) 初中生函数学习的心理过程分析 实践表明，函数概念是学生数学学习中感觉最困难的概念之。现行初中教 材采用变量的定义方式引入，安排基本上遵循函数历史发展的顺序，然而，众所 周知，形成科学概念的历史道路并不总是最短的，逻辑上也非总是最完善的，那 么，是否存在一条在逻辑上更完善、认识上更容易、更简捷的途径，让我们引导 学生形成函数的概念呢? 下面从心理学角度对此进行一下探讨。 1 、学生的概念形成水平 心理学研究表明“：初一学生大多是从功用性定义或具体形象描述水平向 接近本质定义或具体解释水平转化。掌握抽象概念有一定困难，在一定程度上要 依靠主观的、具体的内容，特别是比较复杂的抽象概念，还抓不住其本质属性， 分不清主次的特征。初二是掌握概念的一个转折点。初三学生基本能够掌握它们 理解的概念本质属性，能逐步地分出主次的特征，但对高度抽象概括且缺乏经验 支柱的概念，还理解不深。 学生掌握概念的难易顺序是：识别概念优于说明概念的特征，对概念外延的 掌握优于对概念内涵的掌握：对概念内涵的掌握，要看概念的内涵( 本质属性) 的多少，以几个本质属性之间的结构是怎样的。一般地说，本质属性越多的概念， 形成越容易；非本质属性越多，概念形成难度越大。析取概念比合取概念难于形 成，蕴涵概念比析取概念难于形成。对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握 抽象概念；先掌握形式概念后掌握辩证概念“。 据此来看函数概念的学习。首先，函数概念包含的本质属性是变量；其次， 定义的文字表示是个蕴涵式：最后，纵观中学数学内容，在函数概念学习之前， 基本上是常量数学时期的内容，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。函数研究 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 变量，变量的本质是辩证法在数学中的运用，即函数是一个辩证概念。 结论必然是：函数是个较难形成的概念。当学生的概念形成水平较低时，不 理解它或在认识上感觉困难是非常正常的。学生只有通过大量客观事例，认识变 量的概念，理解量与量的相异关系，才能形成函数概念的描述性定义，获得朴素、 直观的认识；通过描点法绘制图象。建立起数形之间的联系：积累一些具体经验 素材后，才能建立起函数概念较准确的定义，从而达到较深刻的理解。 2 、不同的数学气质类型上的影响 许多数学家与心理学家( 如庞加菜、阿达玛、克鲁捷茨基等) 都认为存在不 同的数学气质类型。一般分为分析型、几何型、和调和型三种。分析型特点是“高 度发展的语言逻辑成分，比微弱的视觉形象成分明显地占优势“。很容易运用 抽象模式进行运算，在问题解答中，不需要形象化的东西或模型的支持，即使是 在问题的已知数量关系中，已经暗示出视觉概念时，也是如此”。几何型特 点是“发展得非常好的视觉形象成分比语言逻辑成分占优势常感蹙需要形象 地解释抽象的数量关系，并在此表现出巨大的独创性，常用图形表示取代逻辑 1 。当以形象化方式解答问题失败时，用抽象的方案进行运算就更困难了。总 是坚持用视觉的图式、表象和具体的概念进行运算，甚至当问题依靠推理很容易 解决，使用想象的方法显得多余或困难时也是如此”。调和型特点是“在语言逻 辑成分的主导下，语言逻辑成分和视觉形象成分发展的相对平衡”“” 学生数学气质类型上的差异在函数概念学习中表现得尤为显著。几何型学生 善于使用形象表示。( 图象、表格) ，理解形象化方式的函数关系，且当函数关系 或解析式能给予几何图形上的解释时，才感到踏实清楚、可信的，进行纯粹解析 表示运算时，感觉困难。相反地，分析型学生虽也能做简单函数的图象，但常把 图象置于函数本身之外，不把它看作函数的一部分，在函数问题解答中，只靠解 析法处理信息，不善于依靠已有图象去理解函数，解释与理解图象的能力差。调 和型学生也在实现数与形的有机结合，符号语言与图形语言的灵活转换过程中存 在障碍。 究其原因发现：函数概念具有多种表示( 图象的、列表的、解析的) ，每种 表示都可独立抽象出函数概念。能否正确地在各种表示之间进行灵活转换是考查 初中生函数学习中认知错误分析及教学对镱研究 函数概念形成水平的一个重要标准但显然，与数学中其他只使用单一表示的概 念相比，由于后者可直接将表示当作抽象概念的替身，而前者却需要同时考虑几 个表示，不断协调几个表示间的关系，因此大大增加了学习的困难性。 另外，函数概念学习前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的( 代数主 要研究“数”；几何主要研究“形”) ，学习中只需对数或形进行单一的思维运算 即可。函数要求数与形相结合的思维运算，要求在符号语言( 解析式) 与图形语 言( 图象) 间进行灵活地转换。所以，学生数学气质类型的特征必然影响其学习。 ( 四) 初中生函数学习中的错误类型分析 学生在函数学习中出现的错误主要表现在哪些方面? 函数学习是一个受各 种因素影响的复杂过程，产生错误的原因也是多方面的，通过对数学函数学习心 理过程和影响数学函数学习的因素的分析，笔者试着对一些在学生学习数学函数 中的常见的错误进行分类和分析。 1 、有原有认知的千扰射起的错误概念 ( 1 ) 许多日常概念是从日常生活概念中抽象发展而来的，是学生进一步学习 数学概念的基础。但是日常概念的多义性、和模糊性，容易使学生学习数学概念 造成错误理解。特别是科学概念和日常概念的意义不同时，会使学生在掌握数学 概念的过程中发生困难，产生误解，形成错误概念。 ( 2 ) 学生已有的经验和知识在新的学习活动中造成负面影响而形成的概念错 误。“如果学生不能从已有的数学概念中找出与新概念的关系就会受到原有概念 的干扰，产生错误的概念。”表现在如下方面： 一方面：用原来的思维或方法来思考和解释新的概念，不自觉的对思维进行 限制，表现出一定的合理性。例如：y = 2 x 一1 等。有些学生一直不接受利用函数 的图象分析问题，因为学生还没有建立起函数概念的“对应说”。 另一面：按过去的经验、结论、方法对概念作推广，这是与学生的认知发展 水平密切相关的一种错误，数学学习中产生这种错误的机会比较多临引。 2 、用概念意象替代概念定义引起的错误概念 表象是人脑对当前没有作用于感官，而以前感知过的事物的形象地反映，是 过去感知痕迹的再现。概念意象( c o n c e p ti m a g e ) 指与概念直接联系的各种心 理成分的总和，包括相应图形的直观形象、心智图像、对其性质及相关过程的记 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 上停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分隔地、抽象地认识所学 的事物：另一方面函数却是一个辩证概念，其特征是发展的、变化的、处于与其 他概念之间的相互联系之中，形成函数概念，必须要冲破形式逻辑思维的局限， 进入到辩证思维的领域，这个矛盾构成了函数概念学习中一切认知障碍的根源 “。下面的研究证实了这一点： 心理学认为，学生掌握概念的般特点是：概念的识别优于概念特征的说明， 概念外延的掌握优于概念内涵的掌握。对概念内涵的掌握，取决于概念本质特征 的多少以及它们之间的关系。本质属性越多、越鲜明，概念形成越容易：非本质 属性越多、越明显，概念形成越难。对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握 抽象概念，先掌握形式概念后掌握辩证概念“。 函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图 形语言的灵活转换。但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。理解函数 概念时，需要学生在头脑中建构一个情景( 解析式的、表格的或图形的) ，使得 函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映；函数是对应法则、定义域、值域 的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握。像这 种抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究对象，而且要在头脑中把整个 动态过程转化为研究对象来研究，这就需要学生的思维在静止与运动、离散与连 续之间进行转化“。但是，学生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶 段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体 事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能 理解的学习任务。例如，学生常常认为，x “代表”一个单个的数( 可能是未知 的) ；求函数值就是把数代入“公式”中的字母的运算；学生举出的函数的例子 是形如“x 2 + 2 ”之类的代数式。学生常常把函数概念与“公式”等同起来，因 此函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应。 因此，对中学生的思维水平来说，建立函数这样一个复杂的概念，在认知上 需要克服许多障碍。也正因如此，锻炼思维体操的数学函数概念的学习，一 定会对学生的思维发展具有重大意义，它将使学生通过这一概念的形成引发其思 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 组织学生对问题进行思考和讨论而不是直接奉送正确答案，在对所犯错误的反思 中，调整认知活动，吸取教训逐渐进步，这样有利于使纠正错误成为学生自觉的 行动和掌握良好分析问题的方法，进而养成良好的反思能力。 ( 3 ) 重视交流和鼓励合作学习。 本调查4 题学生在回答“当你在数学学习中遇到困难时，谁帮助最大? ”选 择“老师”的学生有3 2 8 9 ，而选“同学”的有4 5 7 8 。这比例值得我们思考， 一方面教师忙于完成教学任务与学生的交流少，另一方面学生比较认可和接受同 学之间的交流“。学生所学的知识或对某个问题的理解不是全部由教师教会的， 例如当老师在给学生解释某个问题学生怎么也不明白时，而有可能他的同学的解 释却能让他明白。我们应该提倡和鼓励“合作学习”等形式，提供机会让学生互 相学习，互相依赖，共享学习资源。特别出现某个错误时，学生通过彼此的交流 与思考解决认知冲突，进而达到对错误性质的认识和知识的理解。 ( 二) 教师对待学生学习错误的基本态度 教师在对待学生学习中的错误问题上，不能知识有错就改错，而应从更高的 或更广泛的角度对问题作出进一步的分析，它包括两个方面：一是态度，即教师 看待错误的态度：二是方法，如何对学生的错误作出诊断和进行纠正。 1 、教师在对待概念学习中的错误问题上的一些误区 心理学家阿瑟柯伯斯在研究教师观念时说，影响教育成败的关键因 素也许莫过于教师他自己相信的是什么。相对传统的观念而言，先进观念对 于学生的学习错误采取了更为“宽容”的态度，即认为应努力去发现学生的错误 中韵合理成分”。 张奠宙先生在文章数学美与课堂教学就持一种学生在错误中创造的美“对 称”，“和谐”，犯这种错误的学生从某种意义上是从美学观点出发的一种本性的 体现。我们实在不应该太多地责备这样的学生，相反应该珍惜这种审美意想。当 然我们要告诉他们，美观的东西不一定就是好东西，金玉其外可能败絮其中m 1 。 但在现实生活中，在对待教学中，在对待学生概念学习中的错误问题上笔 者认为还存在一些误区： ( 1 ) 粗暴对待错误。我们许多数学教师的口头禅“刚刚给你讲过这个问题( 或 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 方法) ，怎么又错了! ”；一些老师更为偏激的做法是惩罚数学学习中常犯错误的 同学，并保证下次不再犯类似的错误。 ( 2 ) 没有足够耐心，急功近利，立竿见影，希望立即以正确代替错误，不管 学生如何想的就直接给出正确答案，认为只要通过传授数学知识，正确的概念就 会自然代替学生的错误概念。 ( 3 ) 害怕学生出错。允许学生出错是部分教师传统做法中忽视的，有些老师 怕学生出错，怕他们浪费时间，总想搀扶着他们，甚至去代替学生思维。 ( 4 ) 通过反复训练纠正错误，以确保学生不再犯类似的错误。在纠正学生的 错误概念时效果不够理想，有的老师认为是学生记忆不牢固，于是对新概念进行 大量重复性训练，而事实上效果并不理想”“。 2 教师的基本态度 差错人皆有之，笔者认为作为教师对学生的错误应该有一些基本的认识和态 度。 ( 1 ) 尊重学生的见解 传统教学中，教师是权威的代言人。他以专家的状态，将各种经验、概念、 法则与理论强制地灌输给学生，学生记忆、背诵这些现成的知识。然而，教学是 一宗沟通现象，我们所教的学生不像是在一张白纸上画画，学生有其自身的认知 结构，对每一个新的内容，他们自有他们的理解，所以有正确，也有错误。教师 要善待学生的“错误”，保护学生的自尊，树立其自信。 要把探索研究的机会留给学生。尊重学生的见解，让学生具体说出他们的想 法，挖掘有价值的见解。对学生所具有的观念给予暴露的机会捌。 ( 2 ) 帮助学生比较不同观念 帮助学生对不同的观念作比较，通过观念冲突，迫使学生去面对他们的错误 并作出正确的选择。这样的认知冲突可以打破学生的心理平衡，激发学生弥补“心 理缺口”的动力3 9 1 。产生认知冲突的方式是多样的，教师可以明确指出学生的 错误，让他认识到自己的问题；也可以要学生自己反思：还可以使同学之间的观 念进行比较，发挥合作学习的优越性，重视学生之间的互相作用，组织学生对问 题进行讨论。 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 ( 3 ) 要有足够的耐心 研究表明学习一个新的数学概念比扩展一个旧概念出错率要低得多，所以在 教学实践中教师有时感到要修正学生的一个错误观念比教一个正确的知识都难， 因为它具有反复性，多样性，个性等特点，而且有时操作较困难，如集体讲解很 难有针对性，但分别讲解又花时间。这确实需要教师有足够的耐心。在学习概念 时，教师不可急于求成，“消灭错误”的做法或想法是不可取的，因为学生就是 在这样的反复过程中，不断修正自己对概念的理解与认识，学生才能不断达到概 念的更高层次。 如果学生对某概念总是出现不同程度错误，这时教师应考虑改变自己的教 学方法。 对一些过程性的概念的错误。有时后面的知识对前面的知识有正迁移作用。 有些错误，等待或许也是一种方法。例如函数概念的学习，学生往往在学习了 复合函数后，才会将函数看成一个对象。 ( 4 ) 要懂得学生的心理 一个人努力做事失败了，如果得到的只有指责，任何人心里都会不愉快， 会产生反感，作为教师要善于把自己置于学生的心理角度去体会和思考问题，激 发学生的学习欲望和提高学习能力。 在如何对待学生的错误上，我们如果急于改变它，学生会从我们的眼中看 到不耐心，不信任，对他不抱希望。心理实验皮格马利翁效应证明教师对学生的 期待会影响学生的发展，我们应该以发展的眼光对待学生成长中的错误，建立积 极的教师期待”3 。 ( 5 ) 帮助学生形成对待学习错误的积极态度 调查表明：部分学生对自己错误的冷漠，认为学数学就是寻找唯一正确的答 案，不懂得如何发现问题有效纠正自己的错误，不习惯反思等。这些观念对学生 的数学学习产生消极影响。 学生数学观的形成并非一朝一夕，跟平时的学与教密切相关，教师正确的 数学观是学生正确数学观形成的重要条件。 作为教师应让学生明白一个道理：学习是一个过程，错误的出现是不可避 免的，错误是有意义的学习所必不可少的，每个人要想想为什么会出现错误，错 初中生函数学习中认知错误分析及教学对策研究 在什么地方，如何纠正，这样就会有进步，但如果没有及时补救与矫正，问题越 积越多，就会出现学习困难，丧失学习信心。就如在现实中一样不要在困难面前 低头，有一句话说的好“不经风雨怎能见彩虹” 我相信这些态度的形成不仅对数学学习有益，而且可以增强学生的自我意 识和培养社会责任心，对学生形成良好的人生态度也有积极的意义。 ( 三) 教学策略与措施 这一章在初中数学占有很重要的地位这一方面是因为中学数学里有很多内 容要以函数观点去解决，比如一些方程和不等式的求解：另一方面，这一章的内 容对高中数学中各种初等函数的学习以至高等数学中函数概念及性质的研究也 奠定一定的基础学好它，对今后的学习会有很大帮助另外，在这一