初高中数学衔接系列讲座（五）——有约束条件的二次函数.pdf

有约束条件的二次函数 天津 余风冈 在初中数学学习中； 二次函数是学习的重点， 抛 物线 的开 口方向 对 称 轴 ， 最 大 ( 小 ) 值 ， 与 轴 的交 点等 问题 可 以 变化 出 多种 不 同 类 型 的题 目， 而与一 次 函数 ， 相似 三 角形 ， 解三 角 形 的知 识联 系 还 可 以变化 出 多种 不 同的 综 合题 ， 有 的 还 成 为 中 考 的压轴 题 在高中数学中， 对二次函数的研究将更加深 八 ， 对 各种 约束条 件进 行充 分 的讨 论 ， 就 显得 格 白 k 重 要 了， 稍 不注 意 ， 就 会 发 生 不 应 发 生 的错 误 而 这种 约 束条件 大部 分不 是明 显的 需要 认真 挖掘 例 1 已知 二 次 函 数 )=x 2 x 3分 别 求 出 一2 0 ， 0 3 ， ( 3 5时 ，的 最大值与最小值 解 ： ，= 一2 x一3： ：一2 x+1)一4： ( t 1 一4 作 出它的 图象 ， 对称轴 为 =1 ， 开 口向上 当一2 0时， 图象 在 对 称 轴 左 侧 ， = 一2 比 ： ( ) 距对称 轴远 j l i l -3 | 一 当 =一2时 ， y有 最大值 y =(一21 一 4=5 当 =0时 ， ， 有最 小值 一3 。 当0 3日 寸， 图象在对称轴两侧 当 =1时 ， y有最 ， j 、 值 一4 ， =3比 = 0 距对称 轴 远 当 =3时 ， y有最 大值 ， 。 _ 0 ， 能只 为自己活着 ， 只 为 自己活着 的入 永远也找 不到幸福和快乐 轴右 侧 ， x=5比 =3距 对称轴 远 当 =3时 ， y有 最小值 0 当 =5时 ， y有最 大值 ) ， =( 51 ) 一 4=1 2 说 明 ： 一般 来说 对于 二次 函 数 y=眦 +b x+c ( 00) ， 若 0 当 m n ， 且 m、 n 都在对称轴的左侧时 ， 则 在 =r 1 时 y有最 小值 ， =m 时 ， y有 最大值 当 mx n ， 且 m、 n分别在对称轴 = 0 的 两侧时 ， 则在 = 时 y有最小值 若 i m 。 i l 1 1 , 一 。i ， 则 =m时 y有最大值 若 l m一 l 1 ， ti l l 2 ， =l比 = 0离对称轴近 ：1时有最大值 2 y ：一 + n + 一 等 = 2 ， a = ，。 = 3 0 符 合 。2条件 ( i i i ) 若 0， 即 n 0， =0比 =1离对称 轴 近 = 0时有最 大值 2 y ：一 = 2 ， 孚= 一 ， n ： 一 6 符 合q 0) ， 则 0 02=r i+r ： ， 0i e =8一 i ， l r ： )， 02 e =9一 每 l ， 十 ， ) 生 妻 ，0 i f j 0 e ! 十 ， 设，n = r ， ， 仆 一 24 ” = ( 8一m ) ：+ 9一 ) ：5 4一 i 6 f l l+ ， ” +8l l 8 m +， ” 整理 得 1 1 1 一3 4 m +1 4 5= 0， ( m 一5 ) ( 一2 9) ：0 解得 m： = 5， m = 2 9 娃 然 r f +r ! 2 9 n l =5 即 r i+r ，：5， r 2=5一r i 两 厕 面积 和 为 盯 r + -fi r 1 t + ( 5 一 r ) =丌( 2 r 一1 o r i +2 5) =2 7 r ( r 一 5 r 。 )+2 5 r r 一 5 一 ) 一 2 s 耵 = 2 -rr( 寻 ) + 此二次函数开口向上当 ， 。 ： = 三 ， 有最， 直 2 5竹 此 时 r 。 =5 ， = 5一了5 = 5 ，符 合条佴 考虑 到 00。 在矩 形 a b c d 内， 故 0 的 直侉 不 大于 a d， 即 2 r l 8 ， ， l 4 同理 r 2 4 i+ 2：5， c 】 故 1 r 4 l 4 一 当 r 。 =4或 r i ：l时 两 恻 的面 积丰 r l 蠢 大值 力 霄 4 1 +叮 1 = 7 耵 + 两圆面积 和 冉 勺 最 犬 值 为 i 7 霄， 此 两圜 的半 径分 别为 4和 1 两圆 面_年 只 和 的最 小 值 为 1 t ， 此 时 两 的 半 ， 盂 侉鄯 为一 5一 说明 ： 本题 难 度 之 一 是把 关 于 的几 何 转 化成 一个有 约 束条 臀 的二 次 荫数 求 出 r +， ! =5 是关键。 难度之二是隐含的约束条件是 1 r l 4 1 r