（控制理论与控制工程专业论文）非线性观测器设计方法与性能分析.pdf

摘要 本文主要研究了非线性系统的观测器设计问题针对几类不同的非线性系 统，分别设计t l u e n b e r g e r 型观测器、比部分状态观测器、自适应观测器，给出 了观测器存在的条件或其增益矩阵的计算方法，并分析了所设计观测器的收敛 性、抗干扰性等本文主要内容分为以下三个部分： 一、更一般l i p s c h i t z 非线性系统的观测器设计 本部分研究了一类更一般l i p s c h i t z 非线性系统的l u e n b e r g e r 型观测器设计问 题，将渐近收敛观测器设计问题转化为求解相应的增益矩阵问题，并给出了增益 矩阵满足的充分条件和计算该增益矩阵的方法首先，当系统满足某种可检测性 时，利用奇异值理论得到了使得观测误差渐近收敛增益矩阵满足的充分性条件， 并基于1 5 d c c a t i 方程给出了计算增益矩阵的方法其次，当系统不满足该可检测性， 但满足其它条件时，仍存在使得观测误差渐近收敛的增益矩阵，并类似地得到了 增益矩阵满足的充分性条件和计算方法 二、非线性系统的比部分状态观测器设计 本部分研究了一类具有c 2 ( 即平方可积) 干扰的非线性系统的鲁棒部分状态 观测器设计问题，设计了新的能够重构非线性系统部分状态的如状态观测器 首先，给出了部分状态观测器设计矩阵应满足的约束条件和具体的表达形式进 而通过对观测误差动态的分析，研究了观测误差对2 干扰的衰减性问题，并基 于l m i 技术给出了比部分状态观测器存在的充分条件理论分析指出，当干扰为 零时，所设计的观测器可渐近重构待估状态；当干扰不为零时，观测器误差具有 对c 2 干扰的衰减性 三、非线性系统的自适应观测器设计及其鲁棒性分析 本部分研究了一类具有未知参数和c 2 干扰的非线性系统自适应观测器设计 问题，设计了新的能够重构系统状态的鲁棒自适应观测器首先，当干扰为零时， 利用礅c c a t i 方程给出了能够使得观测误差渐近收敛的观测器增益矩阵的计算方 法其次，当干扰不为零但有界时，仍存在使得观测误差渐近收敛的增益矩阵，并 类似地得到了增益矩阵的计算方法。 非线性观测器设计方法与性能分析 以上三部分还分别给出了相应的仿真算例，验证了所给出的观测器设计方法 的有效性与可行性 关键词：非线性系统；l i p s c h i t z t 乍线性系统；不确定非线性系统；观测器设计； l u e a b e r g e r 型观测器；如状态观测器；部分状态观测器；自适应观测器；2 干扰； r i c c a t i 方程 a b s t r a c t t h e p r e s e n tp a p e rf o c u s e so nt h ei n v e s t i g a t i o no ft h eo b s e r v e rd e s i g nf o rn o n l i n e a rs y s t e m s l u e n b e r g e rt y p eo b s e r v e r ，h o op a r t i a l s t a t eo b s e r v e ra n da d a p t i v e o b s e r v e ra r ed e s i g n e df o rs e v e r a ld i f f e r e n tc l a s s e so fn o n l i n e a rs y s t e m s ，r e s p e c t i v e l y ，a n di th a sa l s ob e e np r o v i d e dw i t ht h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n so rt h em e t h o d s o fs o l v i n gg a i nm a t r i xo ft h eo b s e r v e r s m o r e o v e r ，i th a sb e e na n a l y z e dt h a tt h e c o n v e r g e n c ep r o p e r t ya n dd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o np r o p e r t y ，e t c o ft h ed e s i g n e d o b s e r v e r s t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r ec o m p o s e do ft h ef o l l o w i n gt h r e e p a r t s ： ( i ) o b s e r v e rd e s i g nf o rm o r eg e n e r a ll i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m s i nt h i sp a r t ，t h el u e n b e r g e rt y p eo b s e r v e rd e s i g ni si n v e s t i g a t e df o rac l a s so f m o r eg e n e r a ll i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m s t h ep r o b l e mo fa s y m p t o t i c a l l yc o n v e r g e n to b s e r v e rd e s i g ni sc h a n g e d i n t ot h a to fs o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gg a i nm a t r i x t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tt h eg a i nm a t r i xs a t i s f i e sa r eg i v e n ，a n dt h em e t h o d o fs o l v i n gg a i nm a t r i xi sa l s op r e s e n t e d f i r s t l y , u n d e rc e r t a i nd e t e c t a b i l i t yt h a t t h es y s t e ms a t i s f i e s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ep r e s e n t e df o rt h ea s y m p t o t i cc o n v e r g e n c eo ft h eo b s e r v e re r r o rb yu s i n gt h es i n g u l a rv a l u et h e o r y , a n dt h em e t h o d o fs o l v i n gg a i nm a t r i xi sp r e s e n t e db a s e do nt h er i c c a t ie q u a t i o n s e c o n d l y , w h e n t h es y s t e md o e sn o ts a t i s f ys u c hd e t e c t a b i l i t yb u ts a t i s f i e so t h e rc o n d i t i o n s ，t h e r e i sa g a i nm a t r i xe n s u r i n gt h ea s y m p t o t i cc o n v e r g e n c e o ft h eo b s e r v e re r r o r ，a n dt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dt h em e t h o do fs o l v i n gg a i nm a t r i xa r eo b t a i n e ds i m i l a r l y ( i i ) 乩p a r t i a l - s t a t eo b s e r v e rd e s i g nf o rn o n l i n e a rs y s t e m s i nt h i sp a r t ，t h er o b u s tp a r t i a l - s t a t eo b s e r v e rd e s i g ni si n v e s t i g a t e df o ra c l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m sw i t hc 2 ( i e s q u a r ei n t e g r a b l e ) d i s t u r b a n c e an o v e l h o os t a t eo b s e r v e ri sd e s i g n e dt or e c o n s t r u c tt h ep a r t i a l s t a t eo fn o n l i n e a rs y s t e r n s f i r s t l y , t h er e s t r i c t e dc o n d i t i o n sa n dt h ed e t a i l e de x p r e s s i o n sa r eg i v e n f o rt h ep a r t i a l - s t a t eo b s e r v e rd e s i g nm a t r i c e s t h e n ，t h ec 2d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o np r o b l e mi si n v e s t i g a t e df o rt h eo b s e r v e re r r o rb ya n a l y z i n gt h eo b s e r v e r e r r o rd y n a m i c s ，a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h e h o op a r t i a l - s t a t eo b s e r v e rb a s e do nt h el m im e t h o d t h e o r e t i c a la n a l y s i st u r n s o u tt h a tt h i so b s e r v e rd e s i g n e dc a nr e a l i z et h ea s y m p t o t i cr e c o n s t r u c t i o nf o rt h e s t a t e st ob ee 8 t i m a t e dw h e nn od i s t u r b a n c e ，a n dt h e o b s e r v e re r r o ri sa t t e n u a t i o n t ot h e 2d i s t u r b a n c ew h e nd i s t u r b a n c e e x i s t s ( i i i ) a d a p t i v eo b s e r y e rd e s i g nf o rn o n l i n e a r s y s t e m sa n di t sr o b u s t 。 n e s sa n a l y s i s l nt n l sp a r t ，t h ea d a p t i v eo b s e r v e rd e s i g ni s i n v e s t i g a t e df o rac l a s so fn o n 1 1 n e a rs y s t e m sw i t hu n k n o w np a r a m e t e r sa n d 2 d i s t u r b a n c e ，a n dan e wr o b u s t a d a p t l s t a t eo b s e r v e ri sd e s i g n e dt or e c o n s t r u c tt h e s y s t e ms t a t e s f i r s t l y w h e n n od i s t u r b a n c e ，t h em e t h o do fo b t a i n i n go b s e r v e r g a i nm a t r i xi sp r e s e n t e df o rt h e a u s y m p t o 七i cc o n v e r g e n c eo ft h eo b s e r v e re r r o rb ys o l v i n gs o m er i c c a t i e q u a t i o n s e c o n 呶w h e nd i s t u r b a n c ee x i s t sb u ti sb o u n d e d ，t h e r ei sa g a i nm a t r i xe n s u r i n g t h ea s y m p t o t i cc o n v e r g e n c eo ft h eo b s e r v e re r r o r ，a n dt h em e t h o d o fs o l v i n gt h e g a i nm a t r i xi so b t a i n e ds i m i l a r l y f h et n r 能p a r t sa b o v ea l s og i v et h ec o r r e s p o n d i n g s i m u l a t i o ne x a m p l e s r e - s p e c t i v e l y , t oi u u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n d f e a s i b i l i t yo ft h eo b s e r v e rd e s i g nm e t l l - k e y w o r d s ：n 。n l i n e a rs y s t e m s ；l i p s c h i t zn o n l i n e a r 8 y s t e m s ；u n c e r t a i n t yn o n l i n e a r s y s t e m s ；o b s e r v e rd e s i g n ；l u e n b e r g e rt y p eo b s e r v e r ；s t a t e o b s e r v e r ；p a r t i a l s t a t eo b s e r v e r ；a d a p t i v eo b s e r v e r ；c 2d i s t u r b a n c e ；r i c c a t i e q u a t i o n 山东大学硕士学位论文 c 。 d i a g a l ，】 d i ms 1 ：s l _ s 2 日t k a m a x ( p ) ( 入m i n ( p ) ) r r n r a n k ( a ) ( s ) d _ m “( a ) ( 盯m i n ( a ) ) l a i = 镀飘 0 m n 符号说明 无限次可导函数组成的集合 对角元素为a 1 ，n n 的对角阵 集合s 的维数 从集合岛到集合的映射 向量或矩阵日的转置 mxm 单位矩阵 对称矩阵尸的最大( 最小) 特征值 实数域，礼维实欧氏空间 矩阵a 的秩 复数8 的实部 矩阵a 的最大( 最小) 奇异值 标量a 取的绝对值 向量z r n 的2 范数 所有元素皆为零的mxn 矩阵 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容 外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科 研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：煎董童 日期：2 q 噬、2 簦 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的 印刷件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学 位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 一：缉聊虢电一 第一章绪论 观测器设计是控制理论的核心问题它在很多方面得到了广泛的应用，例如： 输出反馈控制、系统监控、过程辨识、故障诊断等等早在上世纪六、七十年代， 著名的k a l m a n 滤波器【1 】和l u e n b e r g e r 观测器f 2 】就给出了线性系统状态观测器完 好的设计方法与线性系统相比，非线性系统观测器的设计要复杂、困难的多，至 今仍有很多问题有待解决在过去的几十年里，非线性状态观测器设计一直是众 多学者研究的热点 1 1观测器的基本概念 状态反馈对控制系统中各种综合问题解决具有重要意义【3 】系统的极点配 置、镇定、解耦、无静差跟踪以及最优控制，都需要引入适当的状态反馈才能实 现但是，由于状态不易直接测量，或者由于测量设备在经济性或适用上的限制， 使状态反馈的物理实现成为不可能或很困难的事状态反馈在性能上的不可取代 性和物理上的不可实现性形成了一对矛盾解决这一矛盾的途径之一就是通过重 构系统的状态，并用这个重构的状态代替系统的真实状态，来实现状态反馈状 态重构问题正是在这种背景下提出的一个同时具有理论意义和应用价值的课题 另一方面，故障诊断、信号处理等理论也在一定程度上推动着观测器理论的不断 发展【3 ，4 | 简单的说，观测器是基于模型和测量信息的闭环信息重构器【5 】5 具体来说，状 态重构问题( 亦称观测器设计问题) ，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直 接测量的信息( 如输入和输出) 作为新系统的输入信号，并使其输出信号在一定的 条件下收敛于原系统的状态，这个用以实现状态重构的新系统通常称为原系统的 观测器【3 】3 考虑如下形式的状态方程： ， j 圣( 亡) = ，( z ( 亡) ，u ( t ) ) ，、 1 秒( 亡) = ( z ( t ) ) ， 其中：z r n 是系统的状态向量；u r m 为系统的已知外部输入向量；y r p 为系 统的可测输出向量一般情况下假设函数，：r n 咿_ r n 和h ：酞n _ 孵是其 变量的c o o 函数令咒( 亡，x t o ) 表示在输入u ( t ) ，t 【t o ，纠作用下，方程( 1 1 ) 的解，其 初值满足咒( t o ，z t 。) = x t 。 非线性观测器设计方法与性能分析 至今已得到广泛研究的是如下两类特殊的具有仿射结构的非线性系统： ( 1 ) 控制仿射非线性系统：f ( x ，u ) = ，o ( z ) + 夕( z ) u ；( 2 ) 状态仿射非线性系统： ，( z ，u ) = a ( u ) z + b ( u ) 针对系统模型( 1 1 ) ，其观测器问题可简单阐述为：给定由状态方程( 1 1 ) 描述 的系统，根据己知的让( 7 - ) ，秒( 7 - ) ( 0 7 亡) ，找到。( t ) 的估计岔( 亡) 定义1 1 【5 1 系统( 1 1 ) 的观测器可由满足： ( i ) 岔( 0 ) = z ( 0 ) 令岔( t ) = z ( 亡) ，v t o ； ( i i ) 忪( 亡) 一x ( t ) l i 一0 ，t _ o o ； 的如下辅助系统给出： 州d - f ) 畎删y ( t 。) i ( 1 2 ) l 岔( 亡) = 日( x ( ) ，u ( t ) ，可( 亡) ，亡) 特别地，如果( i i ) 对任意的z ( o ) ，岔( 0 ) 都成立，则称之为全局观测器；如果( i i ) 成 立且是指数收敛的，则称之为指数观测器；如果( i i ) 成立且收敛率可调，则称之为 可调观测器 1 2 观测器存在的条件 当系统的状态不完全可测，但其相应的函数即y ( t ) 可测时，观测器设计问题 产生考虑在某些时间区间内，如果夕( t ) 带有所有状态向量的信息，则观测器问 题是可解的此种情况对应于“能观性”的概念然而，当严格地用定义1 1 中的条 件( i ) 一( i i ) 限定观测器的定义时，即使可( t ) 不带有状态向量的全部信息，观测器问题 同样可解 例如，考虑如下简单系统： 圣= 一z + u ，y = 0 ， 显然，可不带有z 的任何信息然而，系统 岔= 一岔+ u 满足定义1 1 中的条件( i ) 一( i i ) ，并能够得到z 的估计 上述情况对应“可检测性的概念由于此种情况收敛率不可调，因此如果设 计可调观测器，需保证系统是能观的 注如下定义1 2 1 1 0 引自文献【5 】、【6 】和 7 】 2 山东大学硕士学位论文 1 2 1观测器存在的必要条件 显然，能够由可测输出获得状态信息是设计状态观测器的前提这意味着能 观性是由如下事实来刻画：由输出可测信息，任意不同的初始状态皆可区分，或 等价的说，不能容许不可区分状态存在 定义1 2 ( 不可区分性) 考虑系统( 1 1 ) 如果对任意让r m ，t 0 ，都 有九( 艺( 芒，x o ) ) = ( 咒( t ，z 6 ) ) ，则称状态对( z o ，z ：) r nxr 几是不可区分的；如 果状态对( z ，x o ) 是不可区分的，则称状态z 与z o 是不可区分的 定义1 3 ( 能观性) 考虑系统( 1 1 ) 如果系统不存在与z o 不可区分的状态，则 称系统在z o 处能观；如果系统不存在不可区分的状态对，则称系统是能观的 由于实际应用中更有意义的是区分状态与其邻域，因此定义1 3 显得太一般 而不实用例如，系统圣= 牡，耖= s i n ( x ) 的输出y 不能用于区分状态z o 和x o + 2 k t r ， 因此系统不能观，然而可可以用于区分( 一i 7 1 ，吾) 区间内的状态 定义1 4 ( 弱能观性) 考虑系统( 1 1 ) 如果状态z o 存在一个邻域v 使得在该邻 域中没有与x o 不可区分的状态，则称系统在z o 处是弱能观的；更一般的，如果对 任意状态z ，上述条件成立，则称系统是弱能观的 由于在能够区分u 中的两状态之前，可能存在轨迹远离u 的情况，因此需引入 弱能观性的局部定义： 定义1 5 ( 局部弱能观性) 考虑系统( 1 1 ) 如果状态z o 存在一个邻域，对 包含在u q 的z o 的任意邻域v ，当考虑轨迹在y 中的时间区间内时，y 中不存在 与z o 不可区分的状态，则称系统在z o 处是局部弱能观的；更一般的，如果对任意状 态z ，上述条件成立，则称系统是局部弱能观的 定义1 6 ( 能观空间) 系统( 1 1 ) 的能观空间( 用o ( ) 表示) ，定义为包含元 素h 的c o o 函数的最小实向量空间，并且对任意的常向量u p ，沿 ：= ，( ，u ) 的李导数是闭的( 即对任意的妒o ( ) ，有l i t o p ( 九) ，其中l 凡妒( z ) = 甏厂( z ，u ) ) 定义1 7 ( 能观性秩条件) 考虑系统( 1 1 ) 如果对状态x o ，有d i m d p ( ) i $ 。= n 成立，则称系统在z o 处满足能观性秩条件；如果对任意状态z ，有d i m d o ( h ) l z = n 成立，则称系统满足能观性秩条件，其中d 0 ( 危) f z 是由d t p ( x ) ( 妒p ( 危) ) 组成的集 合 引理1 1 【6 】如果系统( 1 1 ) 在z o 处满足能观性秩条件，则系统在z o 处是局部弱 能观的更一般的，如果系统( 1 1 ) 满足能观性秩条件，则系统是局部弱能观的 然而，通常情况能观性秩条件对观测器设计是不够的。这是由于能观性还依 3 非线性观测器设计方法与性能分析 赖于系统输入，即由于输入的存在使得系统不能观因此，观测器设计还需考虑 系统的输入 1 2 2 观测器存在的充分条件 本节讨论与系统输入有关的观测器设计的充分条件 定义1 8 ( 通用输入) 考虑系统( 1 1 ) 如果对任意x o z ：，存在7 0 ，小蔫 足危( 兢( 7 - ，x o ) ) ( 咒t ，z ：) ) ，则称输入u 为系统在区间【0 ，亡】上的通用输入；更一 般的，如果存在7 0 满足上述条件，则称输入u 为系统的通用输入 定义1 9 ( 一致能观系统) 考虑系统( 1 1 ) 如果任意输入u 在区间 0 ，胡上是通 用的，则称系统是局部一致能观的；更一般的，如果任意的输入牡都是通用的，则 称系统是一致能观的 此特性意味着能观性不依赖于输入，因此观测器设计也与输入无关，例 如l t i 系统通常不一致能观系统其观测器将会依赖于输入，并且不是所有的输 入是容许的当限制系统输入为通用输入时，对设计观测器也是不够的，这是由 于还须确保输入所有时刻的通用性，即必须具有持续性为了表征此持续性，首 先给出如下引理： 引理1 2 【5 l 考虑系统( 1 1 ) 输入u 在区间 0 ，胡上是通用输入的充要条件是对 所有的z o z ：，满足片i i h ( x u ( r ，z o ) ) 一h ( x u ( r ，z ；) ) 1 1 2 d t 0 定义1 1 0 ( 持续输入) 考虑系统( 1 1 ) 如果 f t + t j 幻，t ：v t 芝t o ，v x t z ：， l l ( 咒( 7 ，z ) ) 一 ( t ，z ：) ) 1 1 2 d t 0 ， ，t 成立，则输入乱是持续输入 持续性确保了给定时间区间内的能观性，但是如果随着时间趋向无穷，能观 性消逝此时，观测器的渐近收敛性须通过增益趋向于无穷来补偿 针对一致能观系统，可以设计一致观测器( 但不是唯一的) ，此情况对应于针 对l t i 系统的l u e n b e r g e r 观测器1 8 1 ；对不一致能观的系统，可以设计不一致观测 器( 但也不是唯一的) ，此情况对应于针对l t v 系统的k a l m a n 观测器【9 1 1 3 非线性观测器发展简况 对于非线性系统状态观测器的研究始于上世纪7 0 年代，在8 0 年代取得了较大 的进展，但由于非线性系统本身的复杂性，非线性观测器理论还未能系统化对 非线性系统，观测器理论方面最初的系统性结果是在观测误差是线性的等一系列 4 山东大学硕士学位论文 条件下得出的1 1 0 ，1 1 1 这类观测器存在的充分必要条件是相当严格的在1 9 8 9 年， t o r n a m b e 1 2 】提出了基于“高增益”近似抵消的方法然而此方法不能保证增益任 意高时，估计的状态渐近收敛到真正的状态即使观测器与系统的初值一致，一 般情况观测器误差只是有界的，而不能保证是渐近收敛到零对于能够转换成 能观标准型的单输入单输出非线性系统，1 9 8 8 年，b a s t i n s d g e v e r s 给出了系统转 换成这类标准型的充要条例- 3 1 ，然而此类观测器所需要的转换是很难找到的， 并且b a s t i n 和g e v e r s 提出的条件是相当严格的随后，m a r i n o 和t o m e i 在1 9 9 0 年 针对此系统提出了自适应观测器【1 4 l ，这种自适应观测器虽然不需要完整的系统 模型，但是它只能保证有界误差因此，1 9 9 0 年，t s i n i a s 1 5 】提出了能够确保观测 器误差收敛到零的观测器1 9 9 3 年，c i c c a r e l l a 1 6 】对非线性连续时间系统提出了 类l u e n b e r g e r 观测器，它是著名的l u e n b e r g e r 观测器的扩展随着研究的进行，所 提出的设计方法还有：反馈线性化技术，变结构观测器，以及基于神经网络的状 态观测器等等，但目前现有的方法都存在影响观测器设计的限制条件，今后非线 性观测器研究的重点将是研究它的适应性条件，使之在较宽条件下也能应用于一 般的非线性系统 1 4 关键性引理与事实 本部分给出文中所用到的几个关键性引理和“事实” 引理1 3对给定的h u r w i t z 矩阵山p n 和常数a ，存在正定、对称矩 阵p 1 满足 钉只+ p i a o + q 2 p 1 只+ 2 q ， 0 ，我们可以选择充分大的常数t 0 使 得： f t + h。 ! i x 2 ( t ) l d t t 熹0 1 v 1 1 ， 因此对于所有的亡 t 有i z 3 ( t + h ) 一x 3 ( 亡) i e 因为危是任意的，所以当亡_ o o 时z 3 ( t ) 有个极限l 因此当t _ 时z ( 亡) 一l i ，又因为z ( t ) 是平方可积的，所 以l 一定是0 即原命题得证 事实一如果 m 。i n o - m i n ( a l c j w i ) 讵， u r + 口 ( 1 5 ) 则存在 0 使得如下矩阵： 日= i 一( a 2 口- ，l c 一( v 一2 i e i a l c ) tl ， ( 1 6 ) i 一2 口，一( 一 ) ol 、7 没有实部为零的特征根 i i e n ：因为矩阵的奇异值是矩阵元素的连续函数，并且当u _ 0 0 时仃m i n ( a l c 一歹u ，) _ 0 0 ，则存在u 1 r + ，满足 u m r i n + a m i n ( a l c j w i ) = 盯m i n ( a l c 一歹u 1 ，) = ：u m i n ( 1 - 7 ) 因此，对所有的u i r + ，有( a l c + j w i ) t ( a l c j w i ) 磕i n i 由( 1 5 ) 和( 1 7 ) 易 知讵 ； o 使得 由此可得： 6 2 ( 2 u + e ) 2 3 ，+ 钞2 j ( 1 9 ) 山东大学硕士学位论文 a e t ( m - h e tl 二笼，肌z 姻t 1 = d e 七 m - ( a - l c ) 入，+ 。- - a v 一2 i 三c ，t 嘉。a ，一二一三c ，； ) l0 - - v 2 j l = d e t i2 御，+ j + 素( 入，+ ( a l c ) t ) ( 入j 一( a l c ) ) a ，+ ( a l c ) tj ：d e tf 2 3 + 口2 j 一 ( a l c ) + a 明t 【( a l c ) 一a 卅) ( 1 1 0 ) 至此，就可用反证法证明“事实一的正确性假设矩阵日有纯虚的特征根因 为日是实矩阵，所以日的纯虚特征根将以复共轭对的形式出现不失一般性，我们 可以假设用歹甜， o 来表示目的纯虚的特征根由此及( 1 。l o ) ，有 d e t ( j w i 日) = d e t 2 v 3 + 2 e i 一【( a l c ) + j w i t 【( a l c ) 一j u q ) = 0 显然，这与( 1 9 ) 矛盾结论得证 口 事实二如果由( 1 6 ) 给定的矩阵日没有实部为零的特征根，并且( a l c ) 是 稳定的，则如下礅c c a t i 方程： ( a l c ) t p + p ( a l c ) + 钞2 p p + 2 t v l x + s i = 0 ， ( 1 1 1 ) 存在唯一正定、对称解p 证明：该事实是如t h o o 珀论【1 7 1 的一个直接推论： t t 如果矩阵 阳心斟 没有纯虚的特征根，冗是负半定或正半定并且( 月，尺) 是可镇定的， 则r i c c a t i 方程 a tx + x a + x r x q = 0 ， 存在对称解此外，如果a 是稳定的，那么x 是正定的” 显然，由于矩阵日没有纯虚的特征根，r = u 2 ， 0 ，并且( a l g ) 是稳定的， 因此，r i c c a t i ：b 程( 1 1 1 ) 存在正定、对称解 口 7 非线性观测器设计方法与性能分析 1 5 本文的主要内容 本文主要利用t r i c c a t i 方程、奇异值理论、l m i 技术、比理论及l y a p u n o v 稳定性理论，系统的研究了几类非线性系统的状态观测器设计问题，得到了一些 新的理论结果各章的主要内容和结果概述如下： 第一章首先从总体上介绍了该课题的选题背景及意义，并给出本文所需要用 到的非线性系统观测器的基本概念和预备知识，为后面各章的研究奠定了基础， 主要包括观测器的严格数学定义、观测器存在的充分必要条件、关键性引理及事 实的证明等最后概括了本文所做的主要工作和研究的主要内容 第二章阐述了非线性系统观测器的分类情况分别从观测器的基本结构和非 线性系统的类型两种不同的角度对现有的非线性系统观测器进行了分类 第三章研究了一类更一般l i p s c h i t z 非线性系统的观测器设计问题，并将渐近 收敛观测器的设计问题转化为求解相应的增益矩阵问题针对系统满足某种可检 测性时和不满足该检测性时两种情况，分别给出了使得误差方程渐近稳定的增益 矩阵满足的充分条件和计算方法 第四章研究了一类具有c 2 干扰的非线性系统的鲁棒部分状态观测器设计问 题，设计了新的能够重构非线性系统的部分状态的比状态观测器通过对观测 误差动态的分析，研究了观测误差对岛干扰的衰减性问题，给出了鲁棒部分状态 观测器存在的充分条件 第五章研究了一类具有未知参数和2 干扰的非线性系统自适应观测器设计 问题，设计了新的能够重构非线性系统状态的鲁棒自适应观测器针对外部干扰 为零和不为零两种情况，利用r i c c a t i 方程分别给出了能够使得误差方程渐近稳定 的增益矩阵的计算方法 第六章对论文取得的成果作了总结，并提出了一些有待进一步研究的问题 8 第二章非线性系统观测器分类 自从l u e n b e r g e r 1 s 1 ： ：1 9 6 4 年提出了线性系统的观测器设计方法以来，有关线 性系统观测器的设计方法及其理论已日趋完美并得到了广泛的应用与线性系统 不同，对非线性系统至今还不存在一个统一的方法来设计观测器在过去的几十 年里，非线性状态观测器设计一直是众多学者研究的热点，取得了很多研究成果， 并发展了多种设计方法 2 1 按观测器的基本结构分类 观测器理论经过几十年的发展，形成了许多设计观测器的方法和理论但概 括起来，按观测器的基本结构分，所设计的观测器大致分为l u e n b e r g e r 型观测器 和k a l m a n 滤波器型观测器两类 2 1 1 l u e n b e r g e r 型观测器 l u e n b e r g e r 观测器是1 9 6 4 年1 扫l u e n b e r g e r 基于经典控制原理针对线性系统提 出的，其基本思想是采用反馈原理用偏差来消除偏差考虑的是如下线性时不变 系统： 峦o ) = a z ) + b u ) ， ( 2 1 ) i i 可( 亡) = c z ( t ) ， 其中z r n ，a 乏n n ，b 豫n 仇，c r p 仃，m n ，p 佗 显然，如果系统( 2 1 ) 满足能观秩条件，则存在观测器：岔= a 岔( 亡) + b u ( t ) 一 己( ( 亡) 一掣( 亡) ) ，如果a l c 是稳定的，则此观测器可渐近估计系统的状态，并且 通过设计适当的矩阵增益l 可使得观测器误差的收敛率任意改变【8 】8 在过去的几十年间，很多学者将上述线性系统的观测器设计思想应用到非线 性系统的观测器设计中，形成- j l u e n b e r g e r 型观测器设计的基本思想，即依赖于 线性时不变部分来设计l u e n b e r g e r 型观测器增益矩阵，通过选择充分大的常数增 益来补偿非线性部分或控制系统非线性部分，进而确保观测器误差动态方程的稳 定性下面通过一类特殊的非线性系统( 加性输出非线性系统) 来简单说明 非线性观测器设计方法与性能分析 考虑如下系统： 耋三竺+ 垆( c z u ) ( 2 2 ) 定理2 1 【1 0 1 如果( a ，c ) 能观，则系统( 2 2 ) 的状态可由如下形式的观测器重 仝= a 岔+ 妒( ，u ) 一l ( c 岔一可) ， 其中：l 使得a l c 是稳定的 显然，观测误差是线性的，因此收敛率可通过选择适当的己任意调节 l u e n b e r g e r 型观测器的一种特殊形式一高增益观测器 同样通过一特殊的非线性系统( 加性三角形非线性系统) 来简单说明考虑如 下系统： 鳓= a o z x ，” 一l ( 2 3 ) 其中：a 。= 。( 他苫1 。二：二。， ，c r o = t 1 0 1 ( n _ i ) ， 设计思想是应用一致能观性，依赖于线性时不变部分来设计观测器增益，使 得观测器误差线性动态与非线性部分相比占主导地位，从而确保误差动态方程的 稳定性【7 】 定理2 2 针对非线性系统( 2 3 ) ，如果妒关于z 是全局l i p s c h i t z 的，关于u 是一 致的，并且满足 篆( z ，u ) _ o ，歹i + 1 1g j n ， 则系统的观测器为： 叠= a o 岔+ 妒( 圣，u ) 一d i a g a ，a 2 ，a n 】l o ( c 0 岔一可) ， 其中：l o 满足a o l o 岛是稳定的，且入足够大 注由于此观测器依赖于足够大的调节参数a 的选择，故此设计称之为高增益 观测器，入越大则收敛越快此设计可被推广到如下形式【7 , 1 9 , 2 0 】： 1 0 圣( 亡) = 厂( z ( ) ，u ( 亡) ) ，可 ) = 岛z ( t ) ， 山东大学硕士学位论文 其中：对歹 i + 1 ，有磐= 0 ，并且对所有的z ，u ，有蒜畸m 0 另外，z e i t z 等【2 1 1 针对b i s o 非- 线性系统，提出了一种新的基于观测器标准形的 设计方法一扩展l u e n b e r g e r 观测器设计方法，首先利用微分几何方法寻找非线性 坐标变换化为广义观测器标准形，然后针对非线性误差动态系统，利用扩展线性 化方法沿重构状态轨迹进行线性化，从而求得状态观测器中的非线性增益函数 其优点是不需要求解一组偏微分方程，但这种方法有时不能保证观测器的收敛 性b i r k 等【2 2 】把上述方法推广至多输入多输出( m i m o ) 非线性系统，亦取得了较 方便的状态观测器设计方法对于扩展的l u e n b e r g e r 观测器方法，通常是要求经 过一定的坐标变换来进行实现，因此也可称为坐标变换法l u e n b e r g e r 型观测器 设计所考虑的对象一般是具有确定模型的系统 2 1 2k a l m a n 滤波器型观测器 所谓滤波，一般是指把外部干扰的噪声尽可能地排除掉，从中分离出所需要 的信号具有这样功能的系统就称为滤波器k a l m a n 1 】于1 9 6 0 年引进了最优线性 滤波器的概念，该滤波器的最终目标就是使均方差估计误差最小化，现在通常称 为k a l m a n 滤波器但由于系统很少是线性的，因此针对非线性系统提出了一种扩 展的k a l m a n 滤波器方法，得到了广泛的应用，其中最主要的一个应用就是将其引 用到非线性系统观测器设计中 k a l m a n 滤波器型观测器设计理论最初是针对线性系统提出的考虑如下线 性时变系统： ! 圣( t ) = a ( t ) 4 t ) + b 乱( 亡) ， ( 2 4 ) l 可( ) = c ( 亡) z ( 亡) ， 其中z r n ，a ：i t o ，o 。) _ r