（基础数学专业论文）曲率渐近非负黎曼流形和双曲流形中的若干问题.pdf

摘要 本文共有五章。第一章分为五节，主要讨论了在曲率渐近非负的流形上，由 对一固定指数的多项式增长的调和函数所组成的空间的维数。第二章包括三节， 我们讨论了径向r i c c i 曲率渐近非负流形上的本性谱。第三章包含三节，主要研 究了双曲空间形式的h e s s i a n 方程的边值问题。第四章包括两节，主要讨论双曲 空间中具有平行平均曲率的紧致子流形的一个分类。第五章共有四节，我们主要 研究常曲率空间中具有常标量曲率的紧致子流形的一个分类。 第一章是关于曲率渐近非负的完备非紧流形上的调和函数，共包含五节。在 第1 1 节中，我们给出了我们所要证明的 定理1 1 1 设m 为曲率渐近非负的完备非紧r i e m a n n 流形，如果其调和函数是 对一固定的指数的多项式增长，那么这些调和函数所组成的空间是有限维的。 在第1 2 节中，我们给出了些定义与记号，如：曲率渐近非负，是指 如( x ) 以( 厂o ) ) ，这里九( ) 是定义在【o ，+ ) 上非增非负函数，且r x ( r ) d r + 0 0 ， 这里r ( x ) = d i s t ( p , x ) ，p 为m 上的固定点。对一固定指数的多项式增长的调和函数 所组成的空间，我们记为：日d ( 肘) = 似为调和函甄且i ”i - 且为与n 有关的某一常数。 性质1 2 6如果a 1 ，甜为肠“上任一调和函数，对v x m ”和， 0 ，则 3 c f = c f ( 九) 0 ，都存在一个d ( ) 的无穷维子空间g ，使得对 每一个厂g ，都有0 鲈一 0 。令 a 眠耻州丽n 3n 黜2 ( n 历瓦而谚 一7 2 一1 )一1 ) 、7 定理4 2 1设膨”是日叶p ( 一1 ) 中具有平行平均曲率的紧致子流形，当 s a ( 刀，日) 时，或者m 为伪脐点的，或者s = = 仅( 刀，日) ，且m 为全测地子 流形日州( 一1 ) 中的两个全脐点常曲率子流形的黎曼积。 推论4 2 2 设m ”是日州( 一1 ) 中具有平行平均曲率的紧致子流形，当 s q ( 力，h ) 时，或者肘为全脐点的( 当h 2 1 时) 或者m 为两个全脐点常曲率 子流形的黎曼积。 4 定理4 2 3 设膨”是肿p ( - o ( n 3 ) 中具有平行平均曲率的紧致子流形，当 s a ( 以，日) 时，或者 ( 1 ) 晶= 棚2 ，墨= 0 ，即肘为全脐点的， 或者 ( 2 ) s 日= s = a ( ，| ，日) ，即m 为全测地子流形日肘1 ( 一1 ) 中的两个全脐点常曲率 子流形的黎曼积。 定理4 2 4设m 2 是h 2 + p ( - 1 ) 中具有平行平均曲率的紧致子流形，当 s 口( 2 ，日) 且2 1 时，则或者是全脐点，或者肘是两个全脐点常曲率子流 形的黎曼积。 第五章共包含四节，分析了常曲率空间n 斛p ( c ) ( 这里c = l ，一1 ) 中具有常标 量曲率的紧致子流形问题。我们利用第5 2 节中的准备知识在第5 3 节和第5 4 节中分别证明了下述定理5 1 1 和定理5 1 2 。 定理5 1 1 设m ”o 3 ) 是p ( c ) 中具有常标量曲率n ( n 一1 ) r 的紧致予流形， 当第二基本形式模的平方s 仅( 稽，厂，c ) 时，则m 等距与全脐点子流形s ”( ，) 或者 全测地子流形斛1 ( c ) 中的两个全脐点常曲率子流形的黎曼积，这里 a ( n ，r ，c ) = 忙l ，芋+ 杀最胁= l ”) 芝n 譬2 + 杀n ( r 南2 胁蚧叫 、 一 + 1 1 一 。一7 定理5 1 2 设膨2 是常曲率空间2 + ，( c ) 中具有常标量曲率n ( n 1 ) r 的紧致子流 形，当，o 时，则m2 或者是极小曲面( 当c = 1 时) ，或者是全脐点子流形s 2 ( ，) 。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h e r ea l ef i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro r l e ，w h i c hi n c l u d e sf i v es e c t i o n s ， w em a i n l yc o n s i d e rt h ed i m e m i o no ft h es p a c eo fh a r m o n i c f u n c t i o n sw i t h p o l y n o m i a lg r o w t ho faf e dr a t eo i lar i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t ha s y m p t o t i c a l l y n o n n e g a t i v ec u r v a t u r e i nc h a p t e rt w o ，w h i c hi n c l u d e st h r e es e c t i o n s ，w es t u d yt h e e s s e n t i a ls p e c t r u mo i lac o m p l e t en o n c o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t ha s y m p - - t o t i c a l l yn o n n e g a t i v er a d i a lg i c c ic u r v a t u r e i nc h a p t e rt h r e e ，w h i c hc o n s i s t so f t h r e e s e c t i o n s ，w es t u d ym a i n l yt h eb o u n d a r yp r o b l e mo fh e s s i a ne q u a t i o ni nh y p e r b o l i c s p a c ef o r m i nc h a p t e rf o u r , w h i c hd i v i d e si n t ot w os e c t i o n s ，w ec l a s s i f yt h ec o m p a c t s u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e f l l lc u r v a t u r ei nh y p e r b o l i cs p a c ef o r mc o m p l e t e l y i n c h a p t e rf i v e ，w h i c hi n c l u d e sf o u rs e c t i o n s ，w ea l s oc l a s s i f yt h ec o m p a c ts u b m a n i f o l d w i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ei nc o n s t a n tc u r v a t u r es p a c ef o r m t h ef i r s tc h a p t e ri sa b o u th a r m o n i cf u n c t i o n s0 1 1ac o m p l e t en o n c o m p a c t m a n i f o l dw i t ha s y m p t o t i c a l l yn o n n e g a t i v ec u r v a t u r e ，a n di n c l u d e sf i v es e c t i o n i n s e c t i o n1 1 ，w eg i v e t h e o r e m1 1 1l e tmb eac o m p l e t en o n c o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t h a s y m p t o t i c a l l yn o n n e g a t i v ec u r v a t u r e ，t h es p a c e o fh a r m o n i cf u n c t i o n sw i t h p o l y n o m i a lg r o w t ho faf i x e dr a t ei sf m i t ed i m e n s i o n a l i ns e c t i o n1 2 ，w ee s t a b l i s hs o i t 把d e f i n i t i o n sa n ds y m b o l s ，f o re x a m p l e ，t h e a s y m p t o t i c a l l yn o n n e g a t i v ec u r v a t u r ee q u a l st o o ) - x ( r ( x ) ) ，h e r e 九( ) i sa n o n n e g a t i v ea n dn o n i n c r e a s i n gf u n c t i o n 。n 【0 + o o ) a n d 肛( ，) 毋 ，a n a c 。一a e 弦n a e m 。n 雅 p r o p e r t y1 2 6i f 九 1 ，”i sh a r m o n i co nm ”，v i m ”a n d ， 0 ，t h e nt h e r e e x i s t s c ，= c ，( 九) 0 ，t h e r ee x i s t sa ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls u b s p a c ego fd ( a ) s u c ht h a tf o re a c h f g ，w e h a v e 渺一v l l o l e t 以。 m + 而y 3n 端历丽 t h e o r e m4 2 1l e tm ”b eac o m p a c ts u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ei n h 唧( - i ) i fs 仅( 理，日) ，t h e ne i t h e rm i sp s e u d o u m b i l i c a l , o rs = 曲= a ( 刀，片) ， a n dm i sar i c m a n n i a np r o d u c to ft w ot o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l d sw i t hc o n s t a n t c u r v a t u r e si nat o t a l l yg e o d e s i c 日州( - 1 ) c o r o l l a r y4 2 2 l e tm “b eac o m p a c th y p e r s u r f a c ew i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r e i nh 叶1 ( 一1 ) i fs 仅( 以，日) ，t h e ne i t h e rm i st o t a l l yu m b i l i c a l ( w h e n h 2 1 ) ，o r mi sar i e m a n n i a np r o d u c to ft w ot o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l d sw i t hc o n s t a n t t h e o r e m4 2 3l e tm 4b eac o m p a c ts u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r e i n 日时尹( 一1 ) 伽3 ) ，i fs a ( 疗，胃) ，t h e ne i t h e r 品= n h 2a n d 研= 0 ，l e ，m i s t o t a l l yu m b i l i c a l , o rs j ! r = s = 伉( 力，日) ，l e ，mi sa r i e m a n n i a np r o d u c to f t w ot o t a l l y u m b i l i c a ls u b m a n i f o l d sw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r e si nat o t a l l yg e o d e s i ch 叶1 ( 一1 ) t h e o r e m4 2 4l e tm 2b eac o m p a c ts u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ei n l o h 2 + p ( _ 1 ) i fs 仅( 2 ，日) a n d 日2 1 ，t h e ne i t h e rm i s t o t a l l yu m b i l i c a l , o r mi sar i e m a n n i a np r o d u c to f t w ot o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l d sw i t hc o n s t a r l t o u t v a t u r e $ t h ef i f t hc h a p t e ri n c l u d e sf o u rs e c t i o n sa n di sa b o u tt h ec o m p a c ts u b m a n i f o l d w i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ei nc o n s t a n tc u r v a t u r es p a c ef o r m n ”，( c ) ，w h e r ec = 1 ， 一1 w eu s et h ek n o w l e d g ei ns e c t i o n5 2t op r o v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m5 1 1a n d t h e o r e m5 1 2i ns e c t i o n5 3a n ds e c t i o n5 4r e s p e c t i v e l y t h e o r e m5 1 1 l e tm ”( 挖3 ) b eac o m p a c ts u b m a n i f o l dw i t hc o n s t a n ts c a l a r c u r v a t u r en ( n 1 ) ri nn 肘p ( c ) i f t h es q u a r e dn o r mo f t h es e c o n df u n d a m e n t a l s a ( 拴，c ) ，t h e ne i t h e rm i si s o m o r p h i ct oa t o t a l l yu m b i l i c a ls p h e r es ”( ，) o ra r i e m a n n i a np r o d u c to ft w ot o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l d sw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r e si n at o t a l l yg e o d e s i cn 斛1p ) ，w h e r e m ，妒仁 1 ) 1 ) n ( r 1 ) + 2 n 2 n ( r + 1 ) 一2 ”一2 + 黑n d a n t i r 。1 ，c = 。l 十一 2 n ( r 1 ) + 2 7 + 黑r n d 0 9 n l a n dr c+ n ( r + 1 ) 一2 t h e o r e m5 1 2l e tm 2 b eac o m p a c ts u b m a n i f o l dw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e n ( n - 1 ) ri n 2 + p ( c ) i f ，0 ，t h e ne i t h e rm 2i sam i n i m a ls u r f a c e ( w h e nc = 1 ) ，a t o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l ds2 ( ，) 1 1 第一章曲率渐近非负的完备非紧流形上的调和函数 1 1引言 最近t o b i a st t c o l d i n g 和w z l l i a np m i n i c o z z ii i 在【c m 】中证明了y a u 的一个 猜想。 猜想具有非负r i c c i 曲率的完备非紧g i e m a n n 流形m ，如果其调和函数是对一 固定的指数的多项式增长，那么这些调和函数所组成的空间是有限维的。 我们证明在曲率渐近非负的条件下，y a u 的上述猜想亦成立，即 定理1 1 1 设m 为曲率渐近非负的完备非紧r i e m a n n 流形，如果其调和函数 是对一固定的指数的多项式增长，那么这些调和函数所组成的空间是有限维的。 1 2 准备工作 首先，我们给出一些定义与记号。 定义1 2 1曲率渐近非负，是指磊0 ( x ) 一九( ，o ) ) ，这里九( ) 是定义在 o ，+ ) 上 非增非负函数，且p ( ，) 咖 + o o ，这里科2 如f 锄x ) ，p 为膨上的固定点。 定义1 2 2 我们记。( a ，) = ( ，) 材2 ，歹。，似，d = ( ，) 钟，这里口是m 中的 点，bt r ) 是以a 为中心，为半径的测地球。 定义1 2 3 我们记片d ( m ) = 扣为调和函数，且i “l 1 且为与刀有关的某一常数。 我们将分别在第1 3 节，第1 4 节中证明。 另外，我们要用到下面的性质，即zy a u 在 y a u l 中证明了下面的 性质1 2 6如果九 1 ，甜为m ”上任一调和函数，对比m ”和， 0 ，则 = l c f - c f ( 九) o o ，使得 ，2 p v ”r 0 ，t 可以趋向+ o o 。 证明：下面用比较法，讨论微分不等式。 设6。(，)=案(-1+1i+4k)，屯(，)=(-i芝-而l+4i-丽)， 满足掣+ 学砰一击= o ，2 且现( o ) = 0 ， f - 1 , 2 反= 磊1 一丁( n - 1 ) k 砰= 等警 如= 击一学铲2 靠警 行一1 ，2 2 ( 刀一1 ) 七 令么2 肜( ，) ，则 一d a + ( - - 一o _ _ _ _ k ka 2 一上0 d rr 2拧一i 且彳( 0 ) = 0 由a 在，= 0 的泰勒展开式可知 a 2 = 【- ( 0 ) 厂+ d ( ，2 ) 】2 = 1 2 ( 0 ) ，2 + d p 3 ) 故 衲击一。世等b = 击一。一腑( o ) e p , i 。( o ) 毫( o ) 或- ：( o ) t ( o ) 下面证明j ，( o ) s 反( o ) 不成立。 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 因为若1 2 ( o ) 幺( o ) ，则j r l tst ，使得o ，st 7 l 时，爿2 ( ，) b 2 ( r ) o ，所以 一墅! 二! ! ! 堕二! 塑螋厂( ，) 5o 2 r 。、7 这与已知，l 叶i m + 。( ，) = 佃矛盾。， 1 4 由。( o ) 反( o ) 可知，了叼2 丁，l 当0 r - 1 1 2 时，彳l ( ，) 6 l ( ，) 。 若j 叩2 = t ，则证明结束。若3 q ：st ，则我们可以证明，对v ，【o ，7 1 ，都有 彳- ( ，) 6 l ( ，) ，否则设成立的最大区间为【o ，1 】，且_ 0 ，p 为固定点，r ( p ，x ) 为p 与工之间的距离。故其度量可以写成 d s 2 = d r 2 + 轧( ，8 ) ，则 o 燮s 坠她盟 (1310，or 2 r 、。7 这里g = d e t ( g 扩) 。 证明：我们将证明分成三步。 第一步：设x 在p 的割迹之内，即x 是可微点，且设y ( 功是以p 点出发的正则测 地线，取托 ：- 是沿测地线平行移动的一组标准正交基，= w ，v 厶g 。= o 。 令v = e ，v o = 口， = ( v ，e j ) = e i i e n , e ) - ( e 一，v q e 肛川，州 ( 1 3 1 1 ) = 口，2 ，。v ，e j ( r ) = h r ( e ，e j ) = t f 一 、。7 = ( v e , , e i ) = 七，v h 口j ) = ( 1 3 31 2 ) 1 5 一学蜊心善n - i ( 鲰e 廖，) =善n-!(vvqe，)一喜(ve。，p，)+善n-1-i ( v v h 唧p 。一) = 未嚼n - ik 薯瞎 q 3 1 3 扣沪击c 静2 这里，= 乏n - i ，r ，l 删h na t ( f ) = 佃。 故有引理1 3 1 可知，在可微点处，有 o ，( n - i ) ( i + 4 i + 4 k ) 2 r ( 1 3 1 4 ) 第二步：设x 是p 的割点。下面证明( 1 3 1 4 ) 仍成立。 我们令e 是p 的割迹，m = f 2 u e ，其中q 是一星形区域。l i p s c h i t z 函数，在q 中是可微的，所以由( 1 3 1 4 ) ，在q 中有 o ，( n - i ) ( i + 4 i + 4 k ) 2 r 我们取v 9 c 孑( m ) ，9 0 。 因为m e s s ( e ) = o ，所以 f u r a t p = j ：r a c p ( 1 3 1 5 ) 取一族星形子域q 。，使q ；c c q 磐q 。= q ，并且q 。是q 沿，方向内缩而成 的。 因为s t o k e s 公式对l i p s c h i t z 函数仍成立，且9 g ( 肘) ，所以 l 绣9 = 一l v 妒v ，= 觊( 一1 ) l v 妒v ， ( 1 3 1 6 ) 最后一步是因为lv ri = 1 几乎处处成立，以及v 9 是有界的。 由g r e e n 公式 一v 9 。v ，= l 。，甲一l 9 妻 其中v 是鼬。的外法线方向。因为缈之0 以及q 。是由q 沿，方向内缩而成的， 1 6 所以昙 o 。于是有 d ， 一v 9 聊l 缸9 5 尘_ 学9 ( 1 3 1 7 ) 最后得到 l ，妒! 骢j ：l 。堑竺二学妒 = j 二羔竺二学缈= l 墅! 二学缈( l 3 1 8 j q 2 ， j 2 ， 。 故在分布意义下，对比，i l pv r 【0 ，+ ) ，有 o 厶，s 坠堂。坠坐( 1 3 1 9 ) 2 r 第三步：( 1 3 1 0 ) 的证明。因为= 等+ 下o l o g 拓- i 0 + ，是每项仅含有砉的 微分算子，9 ，lsf 刀一1 是s q ( 1 ) 上的局部坐标。所以，：o l o _ g 厄。由 o r ( 1 3 1 9 ) 得 o 0 l o g ( n - 1 ) 0 + 4 i v y ) ( 1 3 2 0 ) o r2 r 。 引理l 3 3 设肘”是完备非紧流形，若其径向r f c c i 曲率一( n - 1 一) k ，则 v 仅，0 1 ( 1 3 2 3 ) q 1 ) ( 1 + 厕) 。下o ) 0 9 4 - 虿s 蛐掣婴功2 ， 1 7 令m = 螋粤，则对 v0 a 1 ， 因此 1 聊h 1 一 位 ( 1 3 2 4 ) _