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摘要 本论文主要讨论了以下三个 方面的问 题: 具有: h a r p 基的 拓扑空间， f u l l 零集及m o s a i c a l 集族. 在 第 一 章中 ， 我们 讨论了 具有s h a r p 基的 拓扑 空(fi j . a lle c h e , a r h a n g e l s k ii 及c a l b r ix 于2 0 0 0 年介绍了s h a r p 基的概念， 它介于u n i f o r m基与可数序 基( 即b c o ) 之间 。 拓扑 学家们已 对具有u n i fo r m基或 可数序基的 拓扑 空间进行了充分的研究， 但是， 关于s h a r p 基， 我们知道的结果甚少。 本章中， 我们主要讨论了具有s h a r p 基这一拓扑性质在各种映射下从原 像到像， 或从像到原像是否保持的问 题. g o o d , k n ig h 、 及m o h a rn a d 提出 : 具有s h a r p 基的 拓扑空间 在完备映 射 ( 开闭映射， 开紧映射， 可数或有限fi b e r 。 映射) 下的像空间是否仍具 有s h a r p 基? 关于这个问题，我们给出了如下结果: ( 1 ) 具有s h a r p 基的拓扑空间 在开有限到一映射下的 像空间 不一定 有 s h a r p 基; ( 2 ) 具有 s h a r p基的拓扑空间在完备映射下的像空间不一定有 s h a r p 基; ( 3 ) 具有s h a r p 基的拓扑空间在开 k - t o- o n e 映射下的像空间有s h a r p 基; ( 4 ) 具有s h a r p 基的 拓扑空间 在开闭 2 - t o- o n e 映射下的原像空间不一 定有。 h a r p 基， ( 5 ) 具有: h a r p 基的拓扑空间在开k - t o- o n e 映射下的原像空间有s h a r p 基. g o o d , k n ig h t 及 m o h a m a d 给出了一个具有s h a r p 基的h a u s d o r ff 空间 p 使 得p x 0 , 1 ) 不 具 有s h a r p 墓.b a ile y 与g r u e n h a g e 将这 个空间p 改 进为正则空间.g o o d 等人证明了: 若正则空间x具有一个。点有限 s h a r p 基， 则x x 0 , 1 有s h a r p 基. 我们的如下结果推广了 这个定 理: (6 ) 若x是具 有一 个。 一 点 有限s h a r p 基的 正则空间 ，y 有一 个u n ifo r m 基，则xx y有一个s h a r p 基。 在第二章中， 我们讨论了完全正则空间中的f u l l 零集的 性质及应用。 令z是空间x的一个零集， 若 il 3 x z 是y的c e c h - s t o n e 紧化 3 .y 的 零 集， 称z 是x的一个f u l l 零集. 关于f u l l 零集的性质，我们证明了: ( 7 ) 有限个f u l l 零集的并集是 f u l l 零集;有限个f u l l 零集的交集是f u l l 零集; ( 8 ) 若f是x的有界f u l l 零集，z是x的零集， 则f n z 是x的f u ll 零集; ( 0 ) 若 f是x的一个s m a l l 紧、有界f u l l 零集， 则 f 是 n e a r l y 可数紧 的; 若z是空间x的一个有界f u l l 零集，关于z的紧性，我们证明i ( 1 0 ) 与( 1 1 ) : ( 1 0 ) 若x有一个正则g d - d i a g o n a l ， 则z 是紧的; ( 1 1 ) 若x是一个b a i r e 空间且x的 每个开覆盖有一个。 一 点有限开加 细，则z是紧的. 我们给出了一个例子说明( 1 1 ) 中的条件，, f u ll , 是不能去掉的. ( 1 2 ) 存在一个具有。点 有限基的m e t a c o m p a c t , b a i r 。 空间x , x不含有 非紧、有界零集. 运用以上结果，我们证明了: ( 1 3 ) 若x的d ie u d o n n e 完备化ju x是仿紧m - 空间， 且x是正则g d - d i a g o n a l ， 则x是可度量化的; ( 1 4 ) 若x的d i e u d o n n , 完备化p x是仿紧m - 空间， 且x是具有一个 。点有限基的b a i r e 空间，则x是可度量化的. ( 1 3) 与 ( 1 4) 分别推广了下面的定理: ( i) ( m c a r t h u r ) 具 有正 则g 6 - d ia g o n a l 的p s e u d o c o m p a c t 空间 是可 度量化 的; 间 ( u s p e n s k i i ) 具有*点有限基的p s e u d o c o m p a c 。 空间是可度量化的。 在第三 章中， 我们 讨论了r ，r 及r 的m o s a ic a l 集族.t a m a n o 在 研究分层空间时给出了m o s a ic a l 集族的定义. 这里， 我们主要证明了: ( 1 5 ) m o s a ic a l 集族在开映射下的像不一定是m o s a i c a l 集族; ( 1 6 ) r的闭包保持开区间族是m o s a ic a l 集族; ( 1 7 ) 若a是r 2 的闭包保持开矩形集族， 则 a是m o s a ic a l 集族; ( 1 8 ) 存在招的 一 个具有 形式ii , e , ( a n , b . ) 的闭 包保持的 开 集 族不 是m o- s a i c a l 集族. ab s t r a c t i n t h i s t h e s i s , w e m a i n l y d i s c u s s p r o p e r t i e s o f s p a c e s w i t h s h a r p b a s e s , f u l l z e r o-s e t s a n d mo s a i c a l c o l l e c t i o n s . i n c h a p t e r 1 , w e c o n s i d e r s p a c e s w i t h a s h a r p b a s e . t h e n o t i o n o f s h a r p b a s e w a s i n t r o d u c e d场 a l l e c h e , a r h a n g e l s k i i a n d c a l b r i x a s a n i n t e r m e d i a t e n o t i o n b e t w e e n a u n i f o r m b a s e a n d a b a s e o f c o u n t a b l e o r d e r ( i e . b c o ) 一 p r o p e r t i e s o f s p a c e s w i t h u n i f o r m b a s e s o r b c o a r e w e l l - k n o w n . b u t w e k n o w l i t t l e a b o u t s p a c e s w i t h s h a r p b a s e s . w e m a i n l y c o n s i d e r t h e p r o b l e m u n d e r w h a t k i n d o f m a p s t h e p r o p e r t y o f h a v i n g a s h a r p b as e i n h e r i t s f r o m t h e d o m a i n t o t h e r a n g e . o r c o n v e r s e l y , f r o m t h e r a n g e t o t h e d o m a i n l e t s b e t h e c l a s s o f s p a c e s w i t h - a s h a r p b a s e . g o o d , k n i g h t a n d m o h a m a d a s k e d : d o e s t h e i n i a g e o f a s p a c e w i t h a s h a r p b as e u n d e r a p e r f e c t ( c l o s e d a n d o p e n m a p , o p e n m a p w i t h c o m p a c t , c o u n t a b le o r fi n i t e fi b e r s ) h a v e a s h a r p b as e ? a n s w e r i n g t h is q u e s t io n , w e g i v e t h e t h e f o l lo w i n g r e s u l t s : ( 1 ) t h e i m a g e o f a s p a ce i n s u n d e r a n o p e n fi n i t e - t o- o n e m a p i s n o t n e c e s s a r i ly i n s ; ( 2 ) t h e i m a g e o f s p a c e i n s u n d e r a p e r f e c t m a p i s n o t n e c e s s a r i ly i n s ; ( 3 ) e v e r y o p e n k - t o- o n e i m a g e o f a s p a c e i n s i s i n s ; ( 4 ) t h e p r e i m a g e o f a s p a ce i n s u n d e r a n o p e n c l o s e d 2 - t o- o n e m a p is n o t n e c e s s a r i l y i n s ; a n d ( 5 ) e v e r y o p e n k - t o- o n e p r e i m a g e o f a s p a c e i n s i s i n s . g o o d , k n i g h t a n d m o h a m e d g a v e a n e x a m p l e o f a h a u s d o r ff s p a ce p w i t h a s h a r p b a s e s u c h t h a t p x 0 , 1 ) d o e s n o t h a v e a s h a r p b a s e . b a i le y a n d g r u e n h a g e m o d i fi e d t h i s s p a ce p t o m a k e i t r e g u l a r . i t i s s h o w n t h a t i f a r e g u l a r s p a c e x h a s a a - p o i n t - fi n i t e s h a r p b a s e , t h e n x x 0 , 1 1 h as a s h a r p b a s e . t h e f o l l o w i n g t h e o r e m i s a g e n e r a l i z a i o n o f t h i s r e s u l t . ( 6 ) i f x i s a r e g u l a r s p a c e w i t h a o - p o i n t - fi n i t e s h a r p b a s e , y i s a s p a c e w i t h a u n i f o r m b as e , t h e n x x y h a s a s h a r p b as e . i n c h a p t e r 2 , w e c o n s i d e r p r o p e r t i e s a n d a p p l i c a t i o n s o f f u l l z e r o - s e t s i n c o m - p l e t e l y r e g u l a r s p a c e s . a z e r o- s e t z in a s p a c e x i s c a l l e d a f u l l z e j。 一 e t i f c l , . z i s a z e r o- s e t i n t h e c e c h - s t o n e c o m p a c t i fi c a t i o n 3 x o f x. a s b as i c p r o p e r t i e s o f b o u n d e d , f u l l z e r o - s e t s , w e p r o v e t h a t ( 7 ) t h e u n i o n o f fi n i t e ly m a n y f u l l z e r o- s e t s i s a f u l l z e r o- s e t , a n d t h e i n t e r s e c t i o n o f fi n i t e l y m a n y f u l l z e r o- s e t s i s a f u l l z e r o- s e t ; ( 8 ) i f f i s a b o u n d e d , f u ll z e r o- s e t i n a s p a c e x _ a n d z a z e r o- s e t i n x, t h e n f门z i s a f u l l z e r o-s e t i n x; a n d ( 9 ) i f f i s a s m a ll c o m p a c t , b o u n d e d , f u l l z e r o- s e t i n a s p a c e x , t h e n f i s n e a r l y c o u n t a b l y c o m p a c t ; l e t z b e a b o u n d e d , f u l l z e r o- s e t i n a s p a c e x. c o n s i d e r i n g t h e p r o b l e m w h e n t h e s e t z i s c o mp a c t , w e s h o w t h a t ( 1 0 ) i f x h a s a r e g u l a r g 6 - d i a g o n a l , t h e n z i s c o m p a c t ; a n d ( 1 1 ) i f x i s a b a i r e s p a ce s u c h t h a t e v e ry o p e n c o v e r h a s a o - p o i n t - fi n i t e o p e n r e fi n e m e n t , t h e n z i s c o m p a c t . we g i v e a n e x a m p l e s h o w i n g t h a t ( 1 1 ) f a i l s t o b e t r u e i f f u ll i s r e m o v e d ( 1 2 ) t h e r e e x i s t s a m e t b a i r e s p a ce x, w i t h a o - p o i n t fi n i t e b a s e , w h i c h h a s a n o n - c o m p a c t , b o u n d e d , z e r o- s e t we a p p l y t h e s e r e s u l t s t o s h o w t h a t i f t h e d i e u d o n n e c o m p le t i o n p x o f x i s a p a r a c o mp a c t m-s p a c e , t h e n x i s m e t r i z a b l e i f e i t h e r ( 1 3 ) x h a s a r e g u l a r g 6 - d ia g o n a l , o r ( 1 4 ) x is a b a i r e s p a ce w it h a a - p o i n t - fi n i t e b a s e . t h e s e a r e g e n e r a li z a t io n s o f t h e fo ll o w i n g ( i ) ( m c a r t h u r ) e v e ry p s e u d o c o m p a c t s p a ce w i t h a r e g u l a r g 6 - d ia g o n a l i s m e t r iz _ a b l e . ( i i) ( u s p e n s k i i ) e v e r y p s e u d o c o m p a c t s p a c e w i t h a a - p o in t - fin i t e b a s e is m e t r i z - a b l e i n c h a p t e r 3 , w e d i s c u s s s o m e m o s a i c a l c o l l e c t i o n s o f r , r a n d r w . mo s a i c s c o l l e c t i o n w a s u s e d b y t a m a n o i n t h e s t u d y o f s t r a t i fi a b l e s p a ce s . i n t h i s c h a p t e r , w e m a i n l y s h o w t h a t ( 1 5 ) t h e i m a g e o f a m o s a i c a l c o l le c t i o n u n d e r o p e n m a p p i n g n e e d n o t b e a m o- s a i c a l c o l l e c t i o n ; ( 1 6 ) e v e r y c l o s u r e - p r e s e r v i n g c o l l e c t i o n o f o p e n i n t e r v a l s o f r i s m o s a i c a l ; ( 1 7 ) i f a i s a c lo s u r e - p r e s e r v i n g c o l le c t i o n o f o p e n r e c t a n g l e s o f r 2 , t h e n a i s mo s a i c a l ; a n d ( 1 8 ) t h e r e i s a c l o s u r e - p r e s e r v i n g c o l l e c t i o n c o n s i s t i n g o f o p e n s e t s o f r w i t h t h e f o r m r / e w ( o. b ) w h i c h i s n o t m o s a i c a l ac k n o wl e d g e me n t s i w o u l d l i k e t o t h a n k a ll t h e p e o p l e w h o h a v e h e l p e d m e i n m a t h e ma t i c s . i a m m o s t g r a t e f u l t o p r o f e s s o r s s h a n g z h i wa n g , h a r u t o o h t a , k e i k o c h i b a a n d k o h z o y a ma d a f o r t h e i r c o n s t a n t d i r e c t i o n i n t h e c o u r s e o f t h i s s t u d y . i n p a r t i c u l a r , i a p p r e c i a t e p r o f e s s o r s s h a n g z h i wa n g a n d h a r u t o o h t a f o r t h e i r c a r e f u l l y r e a d i n g a n d v a l u a b l e s u g g e s t i o n s . i w o u l d l i k e t o e x p r e s s m y a p p r e c i a t i o n t o p r o f e s s o r s s h o u l i a n y a n g , y o s h i k a z u y a s u i , z h i m i n g a o a n d k e n i c h i t a m a n o f o r t h e i r e n c o u r a g e m e n t . i a m a l s o g r a t e f u l t o d o c t o r s l i a n g x u e p e n g , l i w e n m a , y u n f e n g b a i a n d r e i y i n g wa n g f o r t h e i r w a r m f r i e n d s h i p . c h a p t e r 0 i n t r o duc t i o n b y a s p a c e w e m e a n a t o p o l o g ic a l s p a c e a n d b y a m a p w e m e a n a c o n t i n u o u s m a p . t h r o u g h o u t t h i s t h e s i s , lr d e n o t e s t h e r e a l li n e , z d e n o t e s t h e s e t o f a l l i n t e g e r s , h i d e n o t e s t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s , w d e n o t e s t h e fi r s t i n fi n i t e o r d i n a l , a n d w 1 d e n o t e s t h e fi r s t u n c o u n t a b l e o r d i n a l . a s u s u a l , a n o r d i n a l i s i d e n t i fi e d w i t h t h e s e t o f s m a l l e r o r d i n al s . f o r a s e t a , a d e n o t e s t h e c a r d i n a l i t y o f a . i n t h i s t h e s is , w e d i s c u s s t h e f o l l o w i n g t h r e e t o p i c s i n g e n e r a l t o p o l o g y : p r o p e r t i e s o f a s p a c e w i t h a s h a r p b a s e ; a f u l l z e r o- s e t i n a c o m p l e t e l y r e g u l a r s p a c e ; a n d m o s a i c s c o l l e c t i o n s i n t h e r e a l l i n e o r t h e p r o d u c t o f t h e r e al l i n e s . i n c h a p t e r 1 , w e c o n s i d e r s p a c e s w i t h a s h a r p b a s e . t h e n o t i o n o f s h a r p b a s e w a s i n t r o d u c e d 饰a l l e c h e , a r h a n g e l s k i i a n d c a l b r i x 2 a s a n i n t e r m e d i a t e n o t i o n b e t w e e n a u n i f o r m b a s e a n d a b a s e o f c o u n t a b l e o r d e r . w e m a i n l y c o n s i d e r t h e p r o b l e m u n d e r w h a t k i n d o f m a p s t h e p r o p e r t y o f h a v i n g a s h a r p b a s e i n h e r i t s f r o m t h e d o m a i n t o t h e r a n g e , o r c o n v e r s e l y , fr o m t h e r a n g e t o t h e d o m a i n . l e t s b e t h e c l a s s o f s p a c e s w i t h a s h a r p b a s e . g o o d , k n i g h t a n d m o h a m a d 1 8 , q u e s t i o n 7 a s k e d : d o e s t h e i m a g e o f a s p a c e w i t h a s h a r p b a s e u n d e r a p e r f e c t ( c l o s e d a n d o p e n m a p , o p e n m a p w i t h c o m p a c t , c o u n t a b l e o r fi n i t e fi b e r s ) h a v e a s h a r p b a s e ? a n s w e r i n g t h i s q u e s t io n , w e g i v e t h e t h e f o l l o w i n g r e s u l t s : ( 1 ) t h e i m a g e o f a s p a c e i n s u n d e r a n o p e n fi n i t e - t o - o n e m a p i s n o t n e c e s s a r i l y i n占 ; ( 2 ) t h e i m a g e o f a s p a c e i n s u n d e r a p e r f e c t m a p i s n o t n e c e s s a r i l y i n s ; ( 3 ) e v e r y o p e n k - t o - o n e i m a g e o f a s p a c e i n s i s i n s ; 2 3 ( 4 少 t h e p r e i m a g e o f a s p a c e i n s u n d e r a n o p e n c l o s e d 2 - t o- o n e m a p i s n o t n e c e s s a r i l y i n占 ; a n d ( 5 ) e v e r y o p e n k - t o- o n e p r e i m a g e o f a s p a c e i n s i s i n s . i n 1 8 g o o d , k n i g h t a n d m o h a m a d g a v e a n e x a m p l e o f a h a u s d o r ff s p a c e p w i t h a s h a r p b a s e s u c h t h a t p x 0 , 1 d o e s n o t h a v e a s h a r p b a s e . b a i l e y a n d g r u e n b a g e m o d i fi e d t h i s s p a c e p t o m a k e i t r e g u l a r . i n 1 司i t i s s h o w n t h a t i f a r e g u l a r s p a c e x h a s a a - p o i n t - fi n i t e s h a r p b a s e , t h e n x x 0 , 1 1 h a s a s h a r p b a s e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m i s a g e n e r a l i z a i o n o f t h is r e s u l t . ( 6 ) i f x i s a r e g u l a r s p a c e w i t h a a - p o in t - fi n i t e s h a r p b a s e , y i s a s p a c e w i t h a u n i f o r m b a s e , t h e n x x y h a s a s h a r p b a s e . i n c h a p t e r 2 , w e c o n s i d e r p r o p e r t i e s a n d a p p l i c a t i o n s o f f u l l z e r o-s e t s z e r o- s e t j比a 氏h p l e t e l y r e g u l a r s p a c e s . a z e r o- s e t z i n a s p a c e x i s c a l l e d a is a z e r o- s e t in t h e o e c h - s t o n e c o m p a c t i fi c a t io n 叮 o f x . a s b a s i c p r o p e r t i e s o f b o u n d e d , f u l l z e r o- s e t s , w e p r o v e ( 7 ) t h e u n i o n o f fi n i t e l y m a n y f u ll z e r o- s e t s i s a f u l l z e r o- s e t , a n d t h e i n t e r s e c t io n o f fi n i t e l y m a n y f u ll z e r o - s e t s i s a f u l l ( 8 ) i f f i s a b o u n d e d , f u l l z e r o- s e t i n a s p a c e x a n d z a z e r o- s e t i n x, t h e n f f l z i s a f u l l z e r o- s e t i n x; a n d ( 9 ) i f f i s a b , a - c o m p a c t , b o u n d e d , f u l l z e r o- s e t i n a s p a c e x, t h e n f i s n e a r l y c o u n t a b l y c o m p a c t ; l e t z b e a b o u n d e d , f u l l z e r o- s e t i n a s p a c e x. c o n s i d e r i n g t h e p r o b l e m w h e n t h e s e t z i s c o m p a c t , w e s h o w t h a t if x h a s a r e g u l a r g 6 - d i a g o n a l , t h e n z i s c o m p a c t ; a n d i f x i s a b a i r e s p a c e s u c h t h a t e v e r y o p e n c o v e r h a s a a - p o i n t - fi n i t e o p e n r e fi n e m e n t , t h e n z i s c o m p a c t . 、.j、1.了 null ，111 了.、产护.、 w e g i v e a n e x a m p l e s h o w i n g t h a t ( 1 1 ) f a i l s t o b e t r u e i f f u l l i s r e m o v e d . ( 1 2 ) t h e r e e x i s t s w h i c h h a s a a m e t a c o m p a c t , b a i r e s p a c e x, w i t h a a - p o i n t fi n i t e b a s e n o n - c o m p a c t , b o u n d e d , z e r o- s e t . 4 we a p p l y t h e s e r e s u l t s t o s h o w t h a t i f t h e d i e u d o n n e c o m p i e t i o n p ,x o f x i s a p a r a c o m p a c t m- s p a c e , t h e n x i s m e t r i z a b l e i f e i t h e r ( 1 3 ) x h a s a r e g u l a r g 6 - d i a g o n a l , o r ( 1 4 ) x i s a b a i r e s p a c e w i t h a u - p o i n t - fi n i t e b a s e . t h e s e a r e g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e f o l l o w i n g t h e o r e m s : ( i ) ( m c a r t h u r 2 6 j ) e v e r y p s e u d o c o m p a c t s p a c e w it h a r e g u l a r g j - d i a g o n al i s me t r i z a b l e ( i i ) ( u s p e n s k i i 3 4 ) e v e r y p s e u d o c o m p a c t s p a c e w i t h a o r- p o i n t - fi n i t e b a s e i s me t r i z a b l e . i n c h a p t e r 3 , w e d i s c u s s s o m e m o s a i c a l c o l l e c t i o n s o f r , r a n d r . mo s a i c al c o l le c t io n w a s u s e d b y t a m a n o i n t h e s t u d y o # s t r a t i fi a b l e s p a c e s . i n t h i s c h a p t e r , w e m a i n ly s h o w t h a t t h e i m a g e o f a m o s a i c al c o l l e c t i o n u n d e r o p e n m a p p i n g s a i c a l c o l l e c t i o n ; n o t b e a mo- e v e r y i f滋 r e - p r e s e r v i n go f o p e n i n t e r v a l s o f ri s m o s a i c a l ; =i ( a a , 嵘 ) x ( b i ， 2 )a b a: a。 。 ， a . , b a r o r i s o o , =1 , 2 is a 、卫.、，j、，卫1 一匕6门f 11，1，1 r矛.气矛t、 c l o s u r e - p r e s e r v i n g o p e n c o l l e c t i o n o f r z , t h e n 风i s m o s a i c a l ; a n d ( 1 8 ) t h e r e is a c l o s u r e- p r e s e r v i n g c o l l e c t i o n c o n s i s t i n g o f o p e n s e t s o f r w w i t h t h e f o r m n , ja . , b ) w h i c h is n o t m o s a i c a l ch a p t e r 1 s h a r p b a s e s a n dm a ppi ng s l e t s b e t h e c l a s s o f s p a c e s w i t h a s h a r p b a s e i n t h e s e n s e o f a l le c h e , a r h a n g e l s k i i a n d c a l b r i x 2 . i n t h i s c h a p t e r , w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m u n d e r w h a t k i n d o f m a p s t h e p r o p e r t y o f h a v i n g a s h a r p b a s e i n h e r i t s f r o m t h e d o m a i n t o t h e r a n g e , o r c o n v e r s e 坛fr o m t h e r a n g e t o t h e d o m a i n . f o r t h e d e fi n i t i o n s o f a s h a r p b a s e a n d r e l a t e d o n e s , s e e s e c t i o n 1 . 1 . t h e r e s u l t s i n t h i s c h a p t e r a r e s u m m a r i z e d i n t a b l e s 1 . 1 a n d 1 . 2 b e l o w , w h e r e al l m a p s c o n s i d e r e d a r e a s s u m e d t o b e m a p s b e t w e e n r e g u l a r t i - s p a c e s . we p r o v e t h e r e s u l t s i n t h e c o l u mn b o f e a c h t a b l e a n d o n e s w i t h a n a s t e r i s k i n t a b l e 1 . 2 . o t h e r r e s u l t s i n t h e c o l u m n s a a n d c , w h i c h a r e i n c l u d e d h e r e t o c o