（运筹学与控制论专业论文）带宽度的半无限裂纹的拼接问题.pdf

中文摘要 摘要 近年来断裂力学理论取得了迅速发展，但研究模型大多以不带宽度为主。2 0 世纪7 0 年代，我国著名物理学家陈篪先生率先提出了钝裂纹模型，此模型要求要 从真实裂纹出发去讨论裂纹问题。但由于该问题断裂理论分析解析求解较难，至 今研究的学者比较少。本文采用是真实裂纹带宽度的裂纹模型，研究带宽度半无 限裂纹的拼接问题及力学分析，并使用g a u s s 数值求解。 本文首先简要地叙述了断裂理论的发展与研究现状，并介绍了几种求解断裂 理论的数值法和解析法，给出了平面弹性问题的基本方程。其次，建立带宽度的 半无限裂纹的数学模型，提出了边界条件，建立符合边界条件的关于+ y 上的奇 异积分方程，将方程化归为y 上的第一型奇异积分方程，该方程的解是存在唯一的， 利用g a u s s l e g e n d r e 求积公式对方程离散，进行数值求解。再次，给出数值算例， 绘制出裂纹尖端应力分布图，比过去的应力强度因子判据更加直观地显示裂纹和 各个参变量之间的变化规律。最后，对本文的工作进行了总结并对以后研究课题 作出了展望。 关键词：半无限裂纹；拼接问题；弹性材料；奇异积分方程 英文摘要 a b s t r a c t r e c e n t l yt h ef r a c t u r em e c h a n i c st h e o r yg m n sd e v e l o p m e n t w h i l ed e s p i t eo ft h e d e c o r a t i o ni tb r i n gu sm o s to fr e s e a r c h e sc o n c e n t r a t e0 1 1n o n - w i d t hc r a c k 19 7 0 sm rc h i c h e n ，a l lo u t s t a n d i n gc h i n e s ep h y s i c i s tf i r s t l yi n t r o d u c e dt h eb l u n tc r a c ka st h es t a r t i n g p o i n t h o w e v e rf o rt h eg r e a td i f f i c u l t i e sa n do b s t a c l e si nt h ep r o c e s so fp u r s u i n gt h e a n s w e rt ot h i sq u e s t i o n l e s sp r o f e s s o r st e n dt os p e c i a l i z ei nt h i sf i l e d t h i sp a p e ra d o p t s t h er e a lc r a c ka st h em o d e ，m a i n l yd i s c u s s e st h es p l i c i n gp r o b l e mo fw i d t ho ft h e s e m i - i n f i n i t ec r a c k a n di m p o r t a n t l y , g a u s sn u m e r i c a lw a yw o u l dd e v o t et ow o r ko u tt h e r e s u l t f i r s t l yt h ep a p e rw i l lp r e s e n tab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h ed e v e l o p m e n to fa n di t s p r e s e n tr e s e a r c h i n gc o n d i t i na n da d d i t i o n a ll i s ts e v e r a la p p o a c h e so fn u m e r i c a la n d a n a l y t i c a lf o rw o r k i n go u tt h er e s u l to ff r a c t u r em e c h a n i c st h e o r ya n ds o m ee q u a t i o n s o fp l a n ee l a s t i c i t y s e c o n d l yt h ep a p e rc o n t r i b u t e st oc o n s t r u c tt h em o d eo ft h e s e m i - i n f i n i t ec r a c kw i t hw i d t h ，b r i n gf o r w a r db o u n d a r yc o n d i t i o n sa n db u i l dt h es i n g l a r i n t e g r a le q u a t i o n w h i c hr i g h t l yt ot h e b o u n d a r yc o n d i t i o n s f u r t h e f l y , c h a n g e st h e e q u a t i o ni n t os i n g l a ri n t e g r a le q u a t i o no ft h ef i r s tt y p e ，g a u s s - l e g e n d r e sq u a d r a t u r e f o r m u l ah e l pt o d i s c r e t et h ee q u a t i o n t h i r d l yt h ep a p e rw i l lo f f e rs o m en u m e r i c a l e x a m p l e s ，d r a wt h ef i g u r eo fp l a n es t r e s so fc r a c k i tr e f l e c ti n t u i t i v e l yr e g u l a rp a t t e r n s b e t w e e nc r a c ka n dp a r a m e t e r s l a s t l y , t h i sp a p e rm a k e sar o u g hc o n c l u s i o nt h ep r e c i o u s r e s e a r c hi nt h ea i mo fb e i n gab e t t e rd e c o r a t i o nt ot h ef u r t h e r r e l a t e dr e s e a r c h e s k e yw o r d s ：s e m i i n f i n i t ec r a c k ；s p l i n gp r o b l e m ；e l a s t i cm a t e r i a l ；s i n g u l a r i n t e g r a le q u a t i o n 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博硕士学位论文 竺堂童廑的堂玉陧型筮的迸蕉闻壁：。除论文中已经注 明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或 未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：亟丝蔓纰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士 学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全 文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发 行和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密口在年解密后适用本授权书。 不保密( 请在以上方框内打“) 论文作者签名：予“每删导师签名： 日期：力d 年万月硝 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 第1 章绪论 1 1 断裂基础理论回顾 工程结构的设计与制造已有很长的发展历史。古代的建筑，如中国的长城， 埃及的金字塔，主要依靠实践经验。直到1 6 1 9 世纪，应力和应变概念的发展和弹 性理论、材料力学的建立，才使定量设计成为可能。 断裂力学经历了半个多世纪的发展之后，现在已经是一个研究范围广，内容 丰富，又有许多分支的综合性学科。它使用固体力学方法研究含裂纹缺陷，固体 在外力作用下变形规律的学科，其中心任务是分析裂纹尖端端部应力应变场，并 找出描述这些场的特征参数，以便对裂纹的产生、发展和扩展规律进行研究。 g d f f i t h t i 2 1 在1 9 2 1 年和1 9 2 4 年，对脆性材料的断裂理论做了开创性的研究， 他发现玻璃的实际强度远远低于分子结构理论所预期的理论强度。他认为强度的 降低是由于玻璃内部存在细小的缺陷裂纹导致玻璃在低应力下发生脆断。从能量 平衡的观点出发，提出了裂纹失稳扩展条件：当裂纹扩展释放的弹性应变能等于 新裂纹形成他的表面能时，裂纹就会失稳扩展。他的贡献得益于c e i n g l i s ，是 c e i n g l i s 在他的文献 3 】里用线弹性理论计算了无限大板中含有一椭圆形孔洞受拉 伸时的应力分布和位移，按应力集中的观点解释了材料实际强度远低于理论强度 是固体材料中存在缺陷的缘故，而且给出了关于无限大板含椭圆孔的弹性解。 虽然嘶街m 的工作被后人认为是非常了不起的，但他的理论严格地说只适用 于理想脆性材料，对含裂纹固体的整体能量释放率计算得复杂，再加上受当时生 产水平的限制，g r i f f i t h 理论并没有重要进展。 c t r i r w i n 在他的经典著作【4 】中，将g r i f f i t h 理论进行推广用于金属和其它的 工程材料。i r w i n 作为现代断裂力学的创始人，其学说是在g r i f f i t h 经典断裂理论 基础上发展起来的。i r w i n t 5 i 进一步提出了应力强度因子的概念，巧妙地将裂纹尖 端应力强度因子与能量释放率联系起来，从而开创了断裂力学新时代。1 9 6 8 年， r i c e t 6 1 和c h e r e p a n o v1 7 】互相独立地提出了j 积分。j 积分是一种与路径无关的积分， 它在计算裂纹前缘应力强度因子时有重要的作用，在弹性范围内，j 积分直接与裂 纹尖端的应力强度因子有关。 第1 章绪论 我国老一辈科学家在断裂研究方面也有很高的建树，地质学家李四光教授是 我国最早研究断裂理论的科学家，1 9 4 3 年他出版的地质力学原理及方法一书， 引用了a a g r i f f i t h 的1 9 2 0 年和1 9 2 4 年发表的两篇经典性论文，用于探索地质力 学问题，以及后来他所著的论地震一书，仍在探求岩石与地壳断裂判据问题。 冶金学家李薰教授在金属材料氢脆和氢脆断裂方面有许多研究并作出贡献。物理 学家刘淑仪教授在上世纪5 0 年代初在断裂理论方面发表许多研究成果。材料科学 家张兴钤教授，1 9 5 6 年他在美国m i t 与g r a n t 教授合作，对金属与合金的高温蠕 变断裂做出重要贡献，他们的研究成果被国际学术界称为张g r a n t 模型，张兴钤教 授于1 9 6 1 年出版的金属与合金的力学性质1 8 1 ，该书是我国第一本材料力学性 能的著作，其中介绍了固体断裂理论与实验的许多成果，这是我国最系统、最全 面讨论金属与合金断裂及其影响因素的最早的著作，其中阐明的思想同今天新发 展的主导思想很一致，因而这一著作在我国断裂科学发展史上具有重要地位。中 科院院士钱伟长先生在1 9 5 6 年5 月，曾去波兰参加了国际固体力学研讨会和流体 力学研讨会，同年7 月参加中国科技访问团，访问苏、波、罗、匈、民主德国、保、 捷、南斯拉夫8 国的科学院和国家科委，8 月底出席了再比利时布鲁塞尔召开的第 九届理论和应用力学国际大会( i u t a m ) ，任中国代表团团长，并在大会上做了关 于长方板大挠度问题和浅球壳的跳跃问题这两个报告深受与会人士的重视。在6 0 年代，7 0 年代国际上有不少论文和研究，都是以这两篇论文为根据的，前者有关 大挠度板的系统摄动法被称为“钱伟长法 ，后者有关浅壳的大挠度方程被称为“钱 伟长方程 。2 0 世纪5 0 年代发表科学论文2 0 篇，出版了”弹性柱体的扭转理论圆 薄板大挠度问题，1 9 5 5 年获国家科学奖。这些老一辈的学者开创了断裂学科的较 好的势头，但后来由于国内出现特殊的形势，这个势头也就丧失了，因而同国外 的差距进一步拉大。直到2 0 世纪7 0 年代初，我国的陈篪同志领导的小组从材料 断裂韧性测试开始，率先在我国开展了断裂力学的工作。胡海昌 9 , 1 0 l 曾“按照变分 法所反映的客观规律进行分类 ，把弹性力学平衡问题的变分原理分为1 1 类，其 中第6 第1 1 两类是目前还未搞出来的。众多的工程问题几乎不可能求得解析解， 随着计算机行业的迅猛发展，2 0 世纪以来数值计算得到了较快发展，如有限单元 法，其中徐芝纶弹性力学问题的有限单元法是我国第一本有限单元法教科书， 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 “a p p l i e de l a s t i c i t y 是我国第一本英文版力学教材。徐芝纶l 】编著的力学教材 被我国工科院校广泛采用，为培养科技人才起到了重要作用。 1 2 断裂理论的分支 在断裂力学出现之前形成了三个学派：原苏联的m u s k h e l i s h v i l i 学派，发展了 复变函数论方法以及由该方法所得到的结果；英国力学与应用数学的s n e d d o n 学 派，开创了三维裂纹问题的分析解同曲线坐标、积分变换与积分方程密切关系； 德国n e u b e r 1 2 i 与原苏联c a b h h t ”1 的应力集中学派对断裂研究也作出过很大贡献。 这三个学派为断裂力学的诞生做了准备。 断裂力学从大的方面说，可分为宏观断裂力学和微观断裂力学。宏观断裂力 学所研究的裂纹尺寸与构成问题的晶粒的尺寸相比是较大的，因而可用连续介质 力学的方法对其进行研究。微观断裂力学研究的是一种微观裂纹，此种裂纹的扩 展与裂纹尖端附近的原子或晶体结构有关，因而需要应用固体物理的方法进行研 究。 宏观断裂力学又可分为线弹性断裂力学和非线性弹性断裂力学两种。前者是 建立在弹性力学的基础上，应用线弹性力学的方法，分析研究理想裂纹前端的应 力应变场，并找出描写此种场的特征参数，然后建立裂纹扩展的断裂准则。它的 一项重要的任务是计算各种裂纹的应力强度因子。线性弹性断裂力学适用于理想 脆性材料，是断裂理论中最早的、也是发展最完善的一个分支。线性弹性理论是 在2 0 世纪6 0 年代内得到迅猛发展，线性弹性断裂力学是以应力强度因子为最重 要的物理量。以美籍华裔学者薛昌明( g c s i h ) 教授为代表的小组( 美国l e h i g h 大学) 在线性弹性理论的发展过程中起了重要的促进作用。 非线性断裂力学也称为弹塑性断裂力学，当裂纹尖端附近的塑性区域较大， 且直接影响到裂纹的扩展机理时，就不能单用线弹性理论进行分析，而必须使用 弹塑性理论来解决。弹塑性断裂力学是以弹塑性理论为基础的，它的中心任务是 要弄清裂纹尖端附近塑性区域的形状和大小，塑性区域中的应力和应变场的分布 规律以及裂纹扩展的断裂准则。弹塑性断裂理论大体可分为两类，一类是描述裂 纹起始扩展的；另一类是描述裂纹扩展规律的。对于弹塑性断裂力学的研究，2 0 第1 章绪论 世纪8 0 年代以来，呈现蓬勃发展趋势。1 9 8 6 年李尧臣和王自强1 1 4 1 建立了裂纹顶 端弹塑性高阶场的基本方程，得到了平面应变的二阶场，它的幅值系数表征裂纹 尖端的三轴张力状态，这就为弹塑性断裂双参数断裂准则提供了理论基础。对于 平面应变i 型裂纹，夏霖和王自强【1 6 】，x i a 、w a n g 和s h i h t l 7 1 得到了裂纹尖端弹塑 性应力应变场本征级数展开式前五项完整结果。对于平面可压缩情况，d r u g a n 、 r i c e 和s h a m t 墙1 与高玉臣0 9 1 分别提出两个不同的五区解，罗学富和黄克智 2 0 l 进一 步改进了d r u g a n 等人的结果。 1 3 半平面裂纹问题的发展及研究现状 对于半平面裂纹问题以及不同材料拼接的半平面裂纹问题国内外许多学者利 用了多种方法进行了研究。 对于各向同性半平面内含有裂纹的问题，文献【2 1 使用边界配置法得到半平面 内任置裂纹的结果，但仅限于研究直裂纹的情况。在文献 2 2 】的基础上，文【2 3 】研 究了弹性半平面上的裂纹问题，得到一个适宜于求解各向同性半平面断裂力学问 题的新边界积分方程，在裂纹面上以位错密度为未知量，以此求解应力强度因子， 新的边界积分方程值具有l r 的奇异性，且适用于求解半平面上任意形状的裂纹问 题。 文献 2 4 】从超奇异积分方程出发，对半平面中存在的任意方向斜裂纹的问题进 行了数值方法的研究，得到了求解问题的线性方程组，并用f o r t r a n9 0 编程实现 数据计算，得到不同方向斜裂纹的应力强度因子数值结果。计算表明，边界对裂 纹应力强度因子有剧烈影响：在边界附近，即便在裂纹面上作用单一的法向( 或 切向) 分布载荷，在裂纹尖端i 、型应力强度因子都同时存在：应力强度因子 的大小与裂纹到界面的相对距离、裂纹的方向有关，表现出复杂的多因素影响关 系，裂纹远离界面时( 裂纹中心到界面的垂直距离超过裂纹长度的5 倍) ，计算结 果与均质体中的结果基本相同，裂纹面在法向载荷作用下仅存在i 型应力强度因 子，在切向载荷作用下仅存在i i 型应力强度因子。 h a r t r a n f t 和s i h t 2 5 i 运用交替迭代法求解了再不分裂纹面上作用有常应力的半 平面边界裂纹问题：b e n t h e m 和k o i t e t 2 6 1 运用渐近逼进法求解了在裂纹面上作用有 4 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 线性压力的半平面边界裂纹问题：s t a l l y b r a s s t 2 7 】运用积分方程方法求解了在裂纹面 上作用有非线性分布压力时的情形；杨晓春、范天佑【2 8 l 运用分拆函数法结合r - h 边值理论，在特殊的边界条件下求解了弹性半平面中的斜边界裂纹问题。牛莉莎 等【冽运用保角变换方法求解了含v 型缺口的圆环问题。然而，这些方法仅限于求 解简单载荷，当载荷分布比较复杂时需要求解复杂的积分方程或者当几何构型不 规则时，需要进行繁复的保角变换。全平面的有限裂纹问题和边缘上作用分布力 的半平面问题，r - h 边值理论【3 0 】均能直接求得封闭解。如何运用这些解析解进而 求解半平面边界裂纹的问题。杨臻和牛莉莎在其论文【3 1 】中解决了这一问题，讨论 了载荷作用在裂纹面上的弹性平面边界裂纹问题，研究以线弹性断裂力学为基础， 采用复变函数方法以及r i e m a n n - h i l b e r t ( r h ) 边值问题的一般理论，将问题分拆为 含有限裂纹的全平面问题与无裂纹的半平面问题的叠加，计算得到裂纹尖端的应 力强度因子，该方法与以前的方法比较具有精度高的优点。 杨晓春【3 2 1 讨论了不同材料拼接的半平面裂纹问题，把问题转化为某正则型的 奇异积分方程，并采用分析函数的方法，给出了直裂纹情况的封闭形式的解，导 出了应力强度因子的公式。 1 4 断裂问题求解方法 对于裂纹问题的研究方法，过去的4 0 年内，已经发展了很多有效地确定应力 强度因子的方法。总体上可分为三类：解析法、数值解法和实验方法，每一种都 可以有效地解决某些类问题。解析法能处理各种典型问题，特别是二维问题。数 值解法可以解决三维裂纹问题和几何形状比较复杂的二维裂纹问题。 随着断裂力学的创立，尤其是应力强度因子一k 理论的创立和奇异积分方程 理论的完善，人们将注意力开始转移到对介质中缺陷( 裂纹) 的研究上来。从而，在 国内外掀起了利用复变函数方法研究平面裂纹问题的热潮。 在实际工程中，由于介质中不可避免地存在着裂纹【3 3 1 ，导致构件断裂事故时 有发生，这引起了人们对断裂力学的关注。断裂力学正式成为一门学科后，对断 裂现象的分析和研究，国内外许多学者专家采用了多种有效的方法，下面主要介 绍几种解析法和数值法。 第1 章绪论 1 4 1 边界配置法 g r o s s 、s r a w l e y 和b r o w n t 3 4 】提出了用边界配置法解决标准试样墨标定问题。 边界配置法的优点是计算简单方便，特别适合用于紧凑拉伸、三点弯曲及含中心 裂纹的矩形试样；缺点是收敛性未得到证明，再就是配置点的选择对结果有影响。 但是一些学者为了得到可靠的计算结果，采用了边界配置法与最小二乘法相结合 的办法来分析问题，从而得到稳定的收敛结果。 1 4 2 复变函数方法 如果弹性平面介质中裂纹的几何形状比较复杂时，利用弹性复变方法作为分 析工具，就是一种有效的方法，它具有许多的优点 3 5 1 ，保角映射技巧的使用，使 某些形状复杂的裂纹问题在一定程度上得到了解决。这主要因为用复变方法求解 可以充分利用复解析函数已知在边界上的值，借助于c a u c h y 积分便可以确定出弹 性区域内部的值，而保形映照的使用可以把不规则的单连通区域化为简单的规则 区域，比如单位圆或者是上半平面，不仅使得积分曲线变得十分简单，而且为进 一步的解析延拓提供了基础，而解析延拓的使用又使得复变函数中的另一个著名 的定理刘维尔定理去确定函数的具体形式，即变隐函数为显函数提供了前途。 因而，复变方法求解平面弹性中的裂纹问题上是一种很有效地方法。 m u s k h e l i s h v i l i 在这一领域利用了复变函数理论求解弹性静态模型作出了巨大 的贡献。在他的经典著作 3 6 1 q b ，系统地介绍了如何利用复变函数理论去求解弹性 静力学问题，而且还应用此定理成功地解决了许多实际工程中的例子。 1 4 3 权函数法 最早提出权函数法的是b u e c k n e r t 3 7 , 3 8 ，他阐明了权函数的重要性质并且给出 了一系列应用。而后r i c e1 3 9 j 和p a r i s 等1 4 0 1 利用应力强度因子与能量释放率之间的 关系，在静态断裂力学中又对权函数的构造方法做了发展。断裂力学中的权函数 在数学上类似于数理方程中的格林函数，众所周知格林函数是解决边值问题的有 力工具。 1 4 4 积分变换法 裂纹问题可以化为偏微分方程的混合边值问题，积分变换是解决这类问题的 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 有效方法。常用的变换包括f o u r i e r 变换、l a p l a c e 变换等。采用什么样的变换要根 据裂纹的几何形状及最后得到的对偶积分方程是否可解来考虑。 该方法主要是由s i h 等人发展而来，s i h 在其著作 4 1 1 中给出了全面而详细的 介绍。国内学者范天佑1 4 2 1 也在这方面进行了深入的研究，对于瞬态问题，则先使 用l a p l a c e 变换，再通过f o u r i e r 变换或者h a n k e l 变换，可以将问题转化为对偶积 分方程问题求解，对于半无限裂纹一般用w i e n e r - h o p f t 4 3 l 方法以复变函数求解。有 限长裂纹可用c o p s o n 方法1 4 4 1 ，先将对偶积分方程变换为第二类f r e d h o l m 积分方 程，然后用数值积分方法求解。 积分变换通常是针对基本方程中的未知函数进行的。根据某些边界条件，得 到变换后未知函数的解答及应力场、位移场的变换公式，再根据裂纹所在面的混 合边界条件，得到一组对偶积分方程，解出这组对偶积分方程，再通过反演的方 法确定原有的未知函数及相应得位移场、应力场及应力强度因子。 、 1 4 5 奇异积分方程法 在应用复变方法研究裂纹问题时，一般将裂纹问题转化为c a u c h y 核或者是 h i l b e r t 核的奇异积分方程。由于在实际操作中，除了很少在特殊条件下可以求得 某些问题的解析解或者封闭形式的解以外，大部分的研究工作只是给出了所研究 问题的解的存在唯一性证明。但是在实际工程中，工程师们往往只是对数值结果 感兴趣，这就要求我们求解奇异积分方程的数值解。 我们知道，断裂力学中许多裂纹问题的数学模型都可以归结为求解奇异积分 方程。这些奇异积分方程的封闭形式的解一般情况下很难得到，由于在实际工程 中的需要，尤其随着计算机科学的飞速发展，使得奇异积分方程的数值解法迅速 成为了一个热门的研究课题。m u s k h e l i s h v i l i t 4 5 1 对奇异积分方程的一般理论进行了 深入的研究，这些研究成果为奇异积分方程的求解，不论是解析方法，还是数值 方法，都奠定了理论基础。随后在1 9 7 1 年e r d o g a n l , 帖, 4 7 】提出了奇异积分方程的直 接数值解法。我国学者也对奇异积分方程的理论研究做出了自己的贡献 4 7 - 4 9 i 。 e e r d o g a n 和g d g u p t a 5 0 l 利用g a u s s c h e b y s h e v 求积公式研究了c a u c h y 核的 奇异积分方程的数值解法：n i i o a k i m i d s 和p s t h e o c a r i s 5 1 1 证明了用g a u s s c h e b 第1 章绪论 y s h e v 求积公式得到的线性代数方程组与正则化方法得到的线性代数方程组是一 致的：在文献 5 2 1 中，他们进一步将l o b o t t o - c h e b y s h e v 求积公式应用于奇异积分 方程的求解中，从而改善了g u a s c h e b y s h c v 求积公式不能直接求解端点处函数值 的缺点；在比较g u a s s c h e b y s h c v 求积公式和l o b o t t o c h e b y s h e v 求积公式求解奇 异积分方程的误差范围和精度分析时1 5 3 5 扪，得到了l o b o t t o c h e b y s h e v 求积公式在 求解奇异积分方程数值解方面优于o u a s s c h e b y s h e v 求积公式的结论。 在实际操作中，我们往往先用l o b o t t o - c h e b y s h e v 求积公式将所得到的奇异积 分方程进行离散，再利用得到线性代数方程组来逼近所要求解的奇异积分方程。 通过计算机编程，就可以即方便又快速的得到奇异积分方程的数值解。 随着计算机科学的发展和奇异积分方程理论的成熟，使得奇异积分方程的数 值解法逐渐被应用到对各种断裂行为的研究上，比如当前比较热门的一种材料一 功能梯度材料中的裂纹问题，e e r d o g a n 做出了突出的贡献。在他的一篇经典的文 章 5 6 】中，他研究了具有功能梯度性质的层状板中包含垂直于边界的平面弹性问 题，并给出了数值算例。n i s h b e e b 5 7 1 利用带有c a u c h y 核的奇异积分方程理论， 研究了被两个均匀介质层状板夹击的功能梯度弹性长条中的有限裂纹问题，他利 用了l o b o t t o c h e b y s h e v 求积公式将所得到的奇异积分方程离散，并求得了数值结 果。可见，奇异积分方程在断裂理论中的应用是十分广泛的。 1 4 6 有限单元法 当物体几何形状、裂纹方位、裂纹几何比较复杂，或者加载方式比较复杂， 采用解析法和数值解析法难以求得解是，可采用有限元法求得数值解。为了得到 可靠地结果，裂纹尖端的网格要划分得足够细，网格尺寸一般为1 0 2 1 0 。3 工，是 裂纹的尺寸。w i l s o n 5 8 】最初提出了不考虑非协调修正的有限元公式。王克仁、徐 纪林和高桦【5 9 】提出了一种能反映裂纹尖端应力奇异性的八节点和十二节点等参元 的一般公式。 1 5 本文的主要工作 本文采用的是实验观察到的真实裂纹作为模型，去研究带宽度的半无限裂纹 的拼接问题。首先给出了研究此问题的相关方程，物理方程、几何方程、平衡方 - 8 - 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 程和相容方程，为后面问题的解决，做好基础性工作。其次根据实验得到的真实 裂纹给出该拼接问题的数学模型，根据模型提出边界条件，裂纹边界条件、应力 边界条件和位移边界条件，建立满足边界条件的奇异积分方程，由于是拼接问题， 得到两个奇异积分方程，一个是关于裂纹的，另一个是关于拼接线的，再将这两 个方程化简成一个只关于裂纹的奇异积分方程，此方程的解是存在唯一的。为了 用应力更好的描述影响裂纹的一些因素，对得到的奇异积分方程求导，再应用 g a u s s l e g e n d r e 求积公式对方程进行离散，至此在理论上解决了该问题。最后给出 数值算例，用图像更加直观地说明裂纹和各个参量之间的变化规律。 第2 章平面弹性理论基本方程 第2 章平面弹性理论基本方程 在本章中将介绍平面弹性理论中的一些基本概念与公式。用，仃分别 表示弹性体中各点在x ，y 轴方向的正应力，f ，为相应的剪应力。用l ，1 ，分 别表示弹性体中各点在z ，y 轴方向的位移分量，它们都是( x ，j ，) 的函数。 2 1 力学方程 2 1 1 平衡方程 根据静力学平衡原理，可得平衡方程： 2 1 2 几何方程 在小变形条件下，应变与位移分量间的关系为 d 甜 气2 _ 积 们 。瓦 锄加 2 面+ 瓦 2 1 3 物理方程 各向同性材料的线弹性体，其应力与应变分量间的关系为 ( 2 2 ) 气= 面1 ( 一v c r ) = 面1 ( 一v ) 平面应力 ( 2 3 ) 勺= 掣 斗 + 笠砂笠砂 监锄笠知 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 = 寺( 1 ) 叫1 + v ) 】 = l ( 1 - v 2 ) c r 一1 ，( 1 + v ) 】 平面应变 ( 2 4 ) 2 0 + ，1 2 手 其中e ( o ) 表示其弹性模数， ，( o 1 ， 必) 表示其泊松比 2 1 4 相容方程 将( 2 5 ) 式代入( 2 3 ) 式，可得应力表示的相容方程 其中 v 2 ( + ) = 0 v 2 = 等+ 等 2 2 应力的复数表示 应力的复数表示为 + = 2 【m ( z ) + ( z ) 】- 4r e ( z ) 】 一+ 2 f = 2 抑( z ) + 甲( z ) 】 由相容方程( 2 6 ) 式知 ( 2 5 ) ( 2 6 ) a 2 ua 2 ua 2 u 2 矿3 可一丽 ( 2 7 ) 对v 2 u 作f o u r i e r 变换得 e v 2 垆出= ( 嘉) 万 其中 万 ，y ) = u ( x ，y ) e x d x j 方程( 2 9 ) 式的解为 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 监坳 监掰 堑妒 第2 章平面弹性理论基本方程 万( 占，y ) = 【彳( g ) + b ( s ) y 】e 一忙陟+ 【c ( g ) + d ( s ) y 】p i 叫y ( 2 10 ) 其中爿，b ，c ，d 是关于占的函数，待定，从而得应力分量的f o u r i e r 表示： 孑就( 占，y ) = e ( x ，j ，) p 衄出= r 丝o y 2p 融出= 矿( 占，力 孑( s ，y ) = e ( x ，y ) 口j “出= r 塑o x 2p 胁出= 一9 2 万( g ，j ，) ( 2 1 1 ) 为( 五y ) = e ( 毛咖船出= 一e 茜扩出= 捃矿( s 川 其中沌y ) = 百d u ，沌y ) = 窘鲫鲫。 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 第3 章带宽度的半无限裂纹拼接问题的研究 31 引言 前两章我们介绍了断裂理论的发展过程及弹性力学的基本方程，了解到断裂 力学是研究含裂纹缺陷固体在外力作用下变形规律的学科，把握裂纹的产生，发 展和扩展规律在工程实际中至关重要，因此许多学者对断裂力学进行了一系列的 研究。他们认为裂纹就是一条割缝，但这样抽象出的模型与工程实际存在一定距 离。2 0 世纪7 0 年代初，我国的陈篪同志领导的小组从材料断裂韧性测试开始， 在实验中得到裂纹在扩张中的图像如图31 所示。这一图形具有典型的意义，虽 然不见得所有实验观测都得到同样的裂纹构形，但对于余属材料，这一构形具有 一定的普遍性。 我们将这一真实裂纹在数学上进行简化后如图3 2 所示，即使这样一个简化的 裂纹模型在弹性力学的研究中尚未有人得出理论解。杨晓春在他的博士论文1 6 0 1 中得到了真实裂纹模型的分析解。本文将讨论带宽度的半无限裂纹的数值解。 ； _ h l ? # - 图31 阀门钢中裂纹的轮廓 f i 9 31t h ec o n t o u r so fc r a c k si nv a l v es t e e 3 2 问题的描述 一半无限大板上有一条半无限长裂纹，裂纹面在一a x o 区间内受应力为 第3 章带宽度的半无限裂纹拼接问题的研究 p ，上下表面平直且与拼接线三平行，裂纹向左端无限延伸，宽度为2 r ，其下拼 接另一半无限大板。( 如图3 2 ) 图3 2 问题的数学模型 f i 9 3 2t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo f t h ep r o b l e m 3 3 边界条件的提出 ( i ) 裂纹面边界条件 y = 尺，一a x 0 ，叮炒= p ，= 0 j ，= 尺，一o o x 一a ，叮= 仃匆= 0 ( 3 1 ) 厨= r ，0 x o 2 n ij - mf x 7 l 0i m x 0 去j c 丝蝣：( x ) 霄i - * 芒一x 。l 、。 去e 等咖，i h m x x 三0 。坤 4 2 万fhf x 7 l j ，( x ) 。 土亡丝蝣：一删j ：2 ，3 ，4 x ih 芒一x r 。 。 对( 3 2 4 ) 和( 3 2 6 ) 式求导，并取共轭，以z = f 7 代入得 击e 器咖。 荔1fk r ( 善i j 一( 孝f ) = 而，= 2 ，3 4 将( 3 2 5 ) 和( 3 2 7 ) 式代入( 3 2 3 ) 式得 o j ( x ) = 一口( x ) + + 【厶( x ) + 厶( x ) 一厶( x ) 】 舯口= 若南= 参 1 8 - ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 去等者去国( t ) a l o gt h - r _ + 幸亡爹曩等出 3 。， 去l 确岳一去e 确苦 j ：= 1f r f ( t ) d i + c ，z 绷l _ l rc z o ( 一x f ) 出= 一【厶( f ) + 厶( r ) 一厶( r ) 】 去e 熊出：川( - ) = z 万z 蛔x f 一。 一去e 确暑= 一鼍e 等出 = - p ( f 一- ) 【丽+ 丽一丽 寺鲁田一刍枷。g 鲁一去砚鲁 。( - ) 一去硒鲁t 矗( - ) 一 弛) ( 3 3 2 ) z 万z 咿 一f 。、 f 气气7 、 + 7 飘r ) + ( f 一- ) 【丽+ 丽】) 。 一 一-_一,it 2 i 厶( f ) 一亿( f ) + ( f f ) 五( f ) 】+ c r ， 其中( 歹= 1 ，2 ，3 ，4 ) 由( 3 1 9 ) 式至( 3 2 2 ) 式给出，( ，= 1 ，2 ，3 ) 它们都 是未知函数的通常积分，而厶为已知函数，( 3 3 2 ) 式只是，上奇异积分方程。 对( 3 3 2 ) 式两端求关于f 的导数，应用等式竺1 - - r = 一钳，( f ，f 7 ) ，注意 其中；= 吾，令q ( f ) = 缈缸) ，并将厶，厶，厶，1 4 以及f ( f ) 的表达式代入( 3 3 2 ) 式，得 第3 章带宽度的半无限裂纹拼接问题的研究 去j f r 警出2 # ij f r 羔出2 ；, t ijfr等(tr觋一等j f r 等如删f f f ( ，f 1 )一1 ) 2 、7 删f f + 篓f 业! ! 堕排 三f 塑疗+ 三f 型盟厉 万l 吖f f7 c l j ，f r7 e l j ，t t + ( 1 + ；2 ) 【三【，兰迫疬+ 三r 2 t o ( r ) d r + ( 一；) 三f 巡d ； ；t e l t t；r g l j j t t7 t lj t t 一从寺l 辔西去半凼( 1 + ；2 。1i f ( 垄。疗 + 去半西卜- ) 去等疬 一去坐学而) 吲 代入积分上下限 三r 旦堕出+ 土r 旦堕衍一土 死ij - 4t t x ij - j rt tn l j 广j 盟国一j rj 盟出 j - 口r ( t r 1 ) 2 x ij = m r ( t r 1 ) 一去擎h - 石- ) d t 一刍e 宁 一鲁等舡嘉e 等舢鲁警出 + 尘i r 些挲垒打一堡r 掣如一生f j 只掣如 兀ij - mf 3 一t行i j or 3 一f ；r g l j - mr 3 一r 一等筹排丢e 筹加掣竽要如 一警r i r 巫t - - f 3 加掣竽雾出 一下2 f l ( 1 + r 2 ) i r 2 f z ( 2d f 一2 f l * ( r 2 - 1 ) 广1 2 f l ( r ) d f f 2 万f，一识i f t ；r g l j 一口f t 3 一警l r 一2 fz(r)ticf 刀z o f r 带宽度的半无限裂纹的拼接问题 =等r上1：3-加ip*-irj-mj - i r 篙2 r 器排冗i死ir j + 矿 一掣r 蜱d r - ( r 2 - 1 ) f l * f 2 万f j 一识( f 2 一1 ) 2 f 万f d f 警f坼上f-3zi j - j r f i _ ：、。2 p r 矿d r d r 将上式积分限改写成( 一l ，1 ) ，以便应用g a u s s l e g e n d r e 求积公式对该式进 行离散。 q ( 争争 、一，7 口口 一x f 22 d x + 墨f 1 里盟出f l 万j - ii r x f2 z fj - i 出一旦2 z ij f l - i q ( 争争 球争争- 1 ( 1 - r 2 ) ( 2 x 一兰) 嘞 【( 争争- l 】2 q ( 触) 出一 舢2 a 万， a f 1 q ( 争弘 q ( 兰x 一兰) 1 + ( 兰x 一兰) 2 】 ( 兰x 一詈，3 一c 兰x 一兰， 出a ，p - - 。 出一等j = ， q ( 争争 ( 兰x i a ) 3 一( 兰x 一兰) 犀x 一旦) 4 、22 7 出一a f t ( r 2 + 1 ) r 。万z 2 l - 一( 争j a ) 2 竺x一竺一(旦一一ax2222 ) 3 一x i 一一一l 。 、， 紫 r 艉 矿万 一 l 旦肌 器 旦纫 出 哼一。 ，l一7一， 赋i 1 一 一 碍一争 口一2 一 ( 一 l 立肌器 旦幼 器 广工 塑万 警篱 c = 一 塑万 l 融器堕万 q r 2 搬 f 丝万 尺( f 2 + 1 ) f 万 r ( r 2 + 1 ) f 2 万 r ( f 2 1 ) t 冗 第3 章带宽度的半无限裂纹拼接问题的研究 出一 口( f 2 + 1 ) 出一a f l ( r 2 - 1 ) f 万l 嚣出 罟x 一詈一( 了a x 一一x 【- 石一 22、2 d x e y _ if l 一掣l 一； 刀 j 一1 珏b 一2 ( i h c ) 3 + ( f 戤) 5 对上式应用g a u s s l e g e n d r e 求积公式进行离散得 q ( 兰_ 一i a ) 口口 i 一虿_ q ( f q ) 一 2 2 髟q i a 一争 水墨_ 一争_ 1 】 q ( 兰_ 一i a ) 疥 一器 p 口一2 器 ，i 山 一o ，；萋：| 拦 赤 “ 卜 半 。一 旦拥i 等 。一 r 一万 。一 旦册 芋 篝 一 旦撕黑 。一 旦幼 争一 一0口王：一 ，l一、j c：一皿一2 专i 一卫 口一2 一 ，l 一 一 。芦 。箜刀 打一 器 m