（基础数学专业论文）自守l函数的非零区域.pdf

s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 自守l 一函数的非零区域 孔亚方 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 现代数论的发展动力来源于l a n g l a n d s 纲领根据此纲领，每个l 一函数都可以 表示为g l 。( m 1 ) 上自守表示的l 函数的乘积因此，对于自守l 一函数解析性 质的研究具有很重要的理论意义 本文中，我们研究h e c k e 同余群新形式所对应l 函数的非零区域令g 是一 无平方因子的正整数，k 是任一偶自然数定义，是h e c k e 同余群r 0 ( q ) 上权为k 的新形式， m ) = 入加) n ( 1 m e ( n z ) 是它在尖点o 。处正规化的的f o u r i e r 变换那么， l ( s ，) = a l ( n ) n 一= i i ( 1 一a i ( p ) p 。1 + x o ( p ) p q 8 ) 。1 是次数为2 前导子为q 的l 函数广义黎曼猜想预测l ( s ，) 在临界带形内的所有 非平凡零点都位于淞一1 2 这条临界线上。 我们首先在一般意义上描述这个方法令p ，= 互1 + i r i 表示l ( s ，厂) 上的非平凡 零点，那么广义黎曼猜想预测r 澎n a l 为了观察这些非平凡零点我们定义 d ( 倒) = 西( 芸l 。gr ) ， 其中兄 1 是一个参变量，( z ) 是在( 一”， ) 内紧支的s c h w a r z 类函数定义 郴舻三西4 7 r 2 允( 等) ，委。，附一( 1 , s y m 2 ) ， 其中h ( x ) 是支集在 0 ，。) 内的光滑函数，k 是一个参变量 在我们的讨论中，我们取 北，= ( 等) 2 ，o r 0 ，0 1 0 1 1 + e 很自然的，我们可以更一般地对h e c k e 同余群上新形式对应的l 函数来考虑这个 问题不幸地是，由于对关键项a ( k ，) 的估计太粗略，我们的结果比【1 中的要 差在我们的证明中，我们发现由( o 1 ) 定义的测试函数满足( z ) z li sap a r a m e t e r ，a n d 曲0 ) i sat e s tf u n c t i o no fs c h w a r t zc l a s sw i t hc o m p a c t s u p p o r ti n ( 一 ，u ) l e t a ( 砌) = 两4 7 r 2 ( 等) d ( ，；m 一( 1 s ( ，) ) e v e n 、 7 ，巩( 0 w h e r eh ( x ) i sas m o o t hf u n c t i o ns u p p o r t e di n 【0 ，+ 。o ) a n dkap a r a m e t e r 5 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n i no u rd i s c u s s i o n s ，w ew i l lt a k e 咖 ) = s i n 丌卵z 7 r 叼z 、2 l ，。0 叩 0a n d0 6 1 0 1 1 + i ti sn a t u r a lt oc o n s i d e rt h em o r eg e n e r a lp r o b l e m c o n c e r n i n gl - f u n c t i o n so fn e wf o r m sw i t hr e s p e c tt ot h eh e c k ec o n g r u e n c eg r o u p u n f o r t u n a t e l y , o u rr e s u l t si ss l i g h t l yw o r s et h a nt h a ti n 1 d u et ot h ec r u d ee s t i m a t e f o rak e yt e r mi na ( k ，咖) i no u rp r o o f ，w ef i n dt h a tt h et e s tf u n c t i o nd e f i n e db y ( 1 ) s a t i s f i e s ( z ) z 1 ，w h e r e ( z ) i st h ef o u r i e rt r a n s f o r mo f u s i n gt h i sf a c t ，t h ep r o o f i n 1 】c a nb es i m p l i f i e ds l i g h t l y k e yw o r d s ：c u s pf o r m ；n e wf o r m ；a u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n ；z e r o - f r e er e g i o n e x p o n e n t i a ls u m 6 s l 2 ( z ) f o ( q ) ： 最( q ) ： 三靠( 口) ： n 一 e ( ：) ： s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n n o t a t i o n s t h ef u l lm o d u l a rg r o u p h e c k ec o n g r l e n c eg r o u p t h es p a c eo fc u s pf o r m so fw e i g h t a n dl e v e lq t h es e to f n e wf o r m so f w e i g h t a n dl e v e lq 0a n d0 6 i t h e n e 橱川， ( 1 3 ) p 茎o w h e r et h ei m p h e dc o n s t a n td e p e n d so n6o n l y ， o u rp u r p o s ei st of i n d0 1i sap a r a m e t e r ，( $ ) i s 鑫ne v e nf u n c t i o nw h i c hi sr a p i d l yd e c a ya sl z l _ 。o h e r e ii sc o u n t e dw i t hm u l t i p l i c i t y w ea s s u m et h a t 自i saf u n c t i o no fs c h w a r t zc l a s s a n di ss u p p o r t e di n ( 一t ，u ) l e t 驴( 们b ei t sf o u r i e rt r a n s f o r m ， 或) = f 疹( 审# ( 一裙) 斑露， l 龇 b ( k ，妨= d f 五彩五1 ( 1 ，s f m 2 ( a ) ( 1 4 ) 捧h t 鳙 职加三兰矗( 譬) 砌棚， ( 1 s ， w h e r e 白) i sas m o o t hf u n c t i o nw i t hc o m p a c ts u p p o r ti n1 0 ，+ c o ) a n ds a t i s f i e s 三z n ( 等) 地啪+ d ( 1 ) ， ( 1 e ) w h e r eki sap a r a m e t e rs a t i s f y i n g 舻= r + t h ek e ys t e pi st og e taz e r o - f r e er e g i o nl i k e ( 1 3 ) i st of i n das u i t a b l e 书s u c ht h a t a ( 蜀妨k ( 1 7 ) 一s i f n 弘r q x 2 ，0 r v ( 1 1 8 ) 弛，世删制冀 n 。， 毒( ) 一( 西1 1 ，学) p r o v i d e dt h a tki ss u 历c i e n t l yl a r g ei nt e r m so le n o t et h a tb yt h e o r e m1 ，t h eb e s tp o s s i b l ez e r o - f r e er e g i o ni s 西1 1 + e ， w h i c hc o r r e s p o n d st o6 = i n ( 1 3 ) ，i e e ( a 4 p - ) 。” p o t h ef o l l o w i n gs e c t i o n sw i l lb ed e v o t e dt ot h ep r o o fo fl e m m a1 1 a n dt h e o r e m 1 a n di ti sa r r a n g e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2w er e c o r d ss o m eb a s i cf a c t sa b o u tt h e a u t o m o r p h i ef o r m s i ns e c t i o n3w ep r o v el e m n m1 1 i ns e c t i o n4w eg i v ep r o o fo f t h e o r e m1 3 c h a p t e r2 p r e l i m i n a r i e sf o ra u t o m o r p h i cf o r m s i nt h i ss e c t i o n ，w er e c o r ds o m eb a s i cf a c t sa b o u tt h ea u t o m o r p h i cf o r m st h a tw i l l b en e e d e di nt h i sp a p e r f o rr e f e r e n c e ，o n ec a n8 【2 】，1 3 a n d 【4 】 t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w ea s s u l n et h a tki sa ne v e nn a t u r a ln u m b e ra n dqa s q u a r e - f r e ep o s i t i v ei n t e g e r l e tr 0 ( q ) b et h eh e e k ec o n g r u e n c eg r o u po fl e v e l 口，i e 洲= ( ：) 吨。c z ”；岫) t h ei n d e xo fr o ( q ) i nr o ( 1 ) = s l 2 ( z ) i s 嘶) = 【f 0 ( 1 ) ：r 0 h 梁( + ；) t h e g r o u pr o ( q ) a c t so n t h eu p p e rh a l f - p l a n e h = 名= z + i y ：y o ) b y r 。= 孺a z + b ，i f 一7 = ( ：) “ 7 。2 ；再刁， ，y 2l c d 严1 am o d u l a rf o r mfo fw e i g h tka n dl e v e l 口i sah o l o m o r p h i cf u n c t i o no n w h i c hi s h o l o m o r p h i ea ta l lc u s p so ff o ( q ) a n ds a t i s f i e sf l y = ff o rm 17 r 0 ( q ) ，w h e r e ( f l f l ( ：) = ( c ：+ d ) 一f ( t z ) am o d u l a rf o r mi sc a l l e dac u s pf o r m ，i fi tv a r n i s h e sa t8 1 1c u s p s d e n o t eb y 瓯( g ) t h e s p a c eo fc u s pf o r m so fw e i g h tka n d l e v e lq i ti saf i n i t e - d i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c ew i t h r e s p e c tt ot h ei n n e rp r o d u c t ( ，g ) = ( z ) g 1 ( z ) 缸毛 w h e r e 咖2 = y - 2 d x d yi st h ei n v a r i a n tm e a s u r eo n l e t ，= t h e r e f o r e z ( s ，fo ，) h a ss i m i l a ra n a l y t i cp r o p e r t i e sa sl ( s ，s y m 2 ( ，) 圆s y m 2 ( 川 7 ，一 n 2 盯 ， 。d j j ，0 z q nn 2 ， 入 = ， o ，p z c h a p t e r3 p r o o fo fl e m m a1 1 i nt h i ss e c t i o nw ep r o v el e m m a1 1 o u rm a i nt o o l sa r ep e t e r s s o nt y p ef o r m u l a e x p l i c i tf o r m u l aa n dt h eh r g es i e v et y p ei n e q u a l i t yf o rl - f u n c t i o n s n o t et h a ts i m i l a r e s t i m a t ef o rq = 1w a se s t a b l i s h e db yh 1 w a n i e c ，w l u oa n dps a r n a k ( s e el e m m a 1 0 1o f 【l 】) h e r ew ee s t i m a t eb ( k ，庐) f o ra r b i t r a r i l yq l e t ，b ean e wf o r mo fw e i g h t a n dl e v e llw h e r e 湘b y ( 2 ，4 ) ，w eo b t a i n ，磊曲确。酾1 2 q，磊曲瓷铲 比h ( 1 + ；1 h 2 a l - i ( 1 一( 口( 2 ) 2 骣1 一扩 a n d l ( s ，s y m 2 ( ，) ) = ( ( 2 s ) 白( 2 5 ) z ( s ，) ， d e r i v et h a t ，e h k ( 曲飘( 彬2 拣，羲神揣( 3 - ) t h ep e t e r s s o nf o r m u l ai st h ek e yt o o lo fa v e r a g i n go v e rn a t u r a lf a m i l i e so fa u t o - m o r p h i cf o r m s i tr e v e a l st h a tt h ef o u r i e rc o e f f i c i e n t so fa u t o m o r p h i cf o r m sb e h a v e h a r m o n i c a l l y t h i sf a c t i se s p e c i a l l yi m p o r t a n ti nd e a l i n gw i t hc o e f f i c i e n t so fn e w f o r m s ，s i n c et h e r ei sn ob a s i so f 鼠( g ) c o m p o s e do n l yo fn e wf o r m si n 巩( g ) h o w e v e r ， i nt h es e n s eo fa t k i n - l e h n e rt h e o r y , o n ec a nt a k eab a s i sf o r m e do fn e wf o r m sw i t h l e v e ld i v i d i n gg i n d e e d ，u s i n gas p e c i a lo r t h o g o n a lb a s i s ，h 1 w a n i e c ，w l u oa n dp s a r n a ke s t a b l i s h e dt h ef o l l o w i n gp e t e r s s o nt y p ef o r m u l a ( s e ep r o p o s i t i o n2 1 1o f 1 】) ： ，蔷的飘= ；三揣荨l - l a k , t ( 咖) ( 3 z ) n o ww ea r er e a d yt op r o v et h ef o l l o w i n gp e t e r s s o nt y p ee s t i m a t ef o rn e wf o r m so f w e i g h tkm a dl e v e lg 8 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n l e m m a3 1 l e tgb es q u a r e - f r e e ，t h e nf u rp 十q ，w eh a v e r查鱼2 ，幺玉l o ，s y m 2 ( ，) ) = 学产、c 。1 跏，m 一，( 竿) + d ( 一，3 橱 ” e ：- - o ( m a t q 、 、 7 w h e r et h ei m p l i e dc o n s t a n td e p e n d so n 口 p r o o f b y ( 3 1 ) a n d ( 3 2 ) ，w eh a v ef o rpt 口 w h e r e 2 铲r a ，p ) ( 一1 ) q ，幺砷( 1 ，s y m 2 ( ，) ) 捌邑c 1 呲c 阻t ( 学) 州 目o ( - 0 d 0 、7 c l e a r l yf o r p f g 脚，= ；驴，。矿训2 1 ， a k , t ) 筹 t h u sr ( 后，p ) k - 4 3 厦皿l i bc o m p l e t e st h ep r o o f o f l e m m a3 1 口 t h ef o l l o w i n gl e m n l ai sr e c o r d e df r o ml e m m a4 1o f 【1 】 l e m m3 2 l e t 西b e e v e nf u n c t i o n 吖, s c h w a r t zc l a s sw h o s et r a n s f o r m 乒h a s c o m p a c ts u p p o r t t h e n 如r ，h k ( 口) ，t o eh a v e 州) = 如) 硒l o g k 2 q 印1 ( o ) + 。l k o g 。3 _ _ q 、丢洲( 器) 怒 一若w 吼( 2 1 0 l o g g m p 、2 1 0 9 l o g 瓦p ， ( 3 3 w h e r eri sap a r a m e t e ra n dt h ei m p l i e dc o n s t a n td e p e n d so n 饥et e s tf u n c t i o n 口o n l y 口 n o t et h a ti f 毒h a sc o m p a c ts u p p o r ti n ( 一u ，u ) ，t h e nt h ef i r s ts u mi n ( 3 3 ) r u n 8 。v e rp r i m p p 1 = r e ，a dt h e 黜。n ds u mr t i l l so v e rp r i m e sp 尸2 = r 譬w i t h 9 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e yd i s s e y t a t i o n t ， 0 ， a n di ts a t i s t i e s ，f o ra l m o s ta l l ， 9 氕b u to ( h ) e x c e p t i o n a lp a i r s ，t h ef o l l o w i n g i n e q u a l i t y j z ( 0 ，9 ) l z l s l 。，腑s = 1 一口， w h e r ed = d ( f ) 0 ，h = l h i 1a n d z 1 l e m m3 3 l e t 撬e 劬口 ec o n d i t i o n sb es a t i s f i e d t h e n o ra n yc o m p l e xn i g m b e ， o 事 w t h l 唧l 1 ， l a ，( ，) 0 p 1 2 ( n x 一”+ h 一1 + x 一2 ) 1 一h x 2 ( 1 0 9 x ) o + 2 f e n ，曼x w h e mr 2 妇a ni n t e g e ra n dt h ei m p l i e dc o n s t a n td e p e n d so nj d p r o o fo fl e m m a1 1 b yl e m m a3 2 w eh a v e 踯埘= 丽l o g k 2 q + 删1 ) 倒e l - 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