华中师范大学 20122013学年第 一学期概率论期末考试试卷.pdf

华中师范大学华中师范大学 20122013 学年第一学期学年第一学期 期末考试试卷（期末考试试卷（a 卷）参考答案卷）参考答案 课程名称 概率论 课程编号8341010 任课教师 题型 选择题 填空题 计算题 证明题 综合题 总分 分值 15 20 30 10 25 100 得分 得分 评阅人 一、选择题（共5题，每题3分，共15分） 1、在0,1线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为 （ a ） （a）0.25； （b）0.5； （c）0.75； （d）1。 2、设0)(, 0)(bpap，且a与b相互独立，则下列选项一定成立的是 （ d ） （a）ab ； （b）()( )p abp a； （c）a与b互不包含； （d）a与b相互独立。 3、设有甲、乙两个袋子各有3个白球、2个黑球，从甲袋子中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中取 出一个白球的概率是 （ c ） （a）2/5； （b）1/ 2； （c）3/5； （d）2/3。 4、设独立随机变量,x y分别服从 1 和 2 泊松分布，则xy服从 （ a ） （a） 21 泊松分布； （b） 2 12 ()分布； （c） 12 (0,)n； （d）不能确定。 5、以下随机变量序列收敛性关系正确的是 （ b ） （a）依概率收敛则以概率1收敛； （b）r-阶收敛则依概率收敛； （c）概率1收敛则r-阶收敛； （d）r-阶收敛则以概率1收敛。 院（系） ： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 - 第 1 页(共 3 页) 得分 评阅人 二、填空题（共5题，每题4 分，共20分） 6、 设a,b,c为三个事件， 则a,b,c都发生可表示为：abc； a, b,c至少一个发生可表示为：abc； a,b,c恰有一个发生可表示为：cbacbacba。 7、甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为 2 2 (1/2) nn n c。 8、,x y独立同分布于参数为2的指数分布， 则min , zx y的密度函数为 4 ( )4,0 z z pzex 。 9、设随机变量x服从标准正态分布，对给定的) 10(，定义数 u满足()p xu则 p)( 2)1(2)1( uxu=。 10、若随机变量(0,1)xn，则21yx的特征函数是 2 2 ( ) itt y fte 。 得分 评阅人 三、计算题（共3题，每题10分，共30分） 11、箱中装有标有号码1,2,n的n个球。从中有放回地摸了n次球，依次记下每次摸出球的号 码，试求：这些号码按严格上升的次序排列的概率。 解：设a号码严格上升 a中包含元素 n n c个 5分 全排列为 n n 所以 # ( ) #( ) n n n ca p a n 10分 12、空战中，从 1 a, 2 a, 3 a处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1，而在各处射击时命中敌机的概率 分别为0.2,0.1,0.05。 1） 从 1 a, 2 a, 3 a中任一处射击一发炮弹，求敌机被击中的概率。 2） 若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由 3 a处射出的概率。 解：1） 设b表示目标被击中。则由全概率公式 )|()()|()()|()()( 332211 abpapabpapabpapbp =115. 005. 01 . 01 . 07 . 02 . 02 . 0 5分 2) 由bayes公式 )|()()|()()|()( )|()( )|( 332211 33 3 abpapabpapabpap abpap bap 115. 0 05. 01 . 0 043. 0 23 1 10分 13考察某段时期内某小店的冰淇淋销售存储情况。假定每天冰淇淋店需求量是随机变量x盒， 它服从200,500u。设每售出1盒，可挣0.5元，但假如销售不出而屯积，则每盒每天的冰柜 保鲜费0.1元。如你经营小店，第一天组织多少货源，才能使得当天收益期望最大？ 解: 设应组织y盒，则显然应有200500y，这样的收益为（元） 0.5 () 0.50.1() yxy yg x xyxxy 4分 它是一个随机变量。在经济问题中常用其数字期望来整体评价收益的好坏。 500 200 500 200 2 1 ( ) ( )( ) 200 11 (0.60.1 )0.5 200200 1 0.327012000 200 y y eyg x p x dxg x dx xy dxydx yy 要使收益最大，即这种平均收益最大，用分析的方法容易得到， 当450y 时，ey达最大，因此组织450盒是最好的选择。 10分 注：离散随机变量的解法答案近似。 - 密 - 封 - 线 - 第 2 页(共 3 页) 得分 评阅人 四、证明题（共1题， 10分） 14、设cosx，cos(/2)y，其中服从0,2 上的均匀分布， 证明,x y不相关但不独立。 证明： 2 0 1 cos0 2 extdt 2 0 1 cos(/2)0 2 eytdt cov(, )()()x ye xex yeye xy 2 0 1 cos cos(/2) 2 d cos( /2)0 所以,x y不相关。 （6分） 又 22 1xy所以不独立 （10分） 得分 评阅人 五、综合题（共2题，第15题 10分，第16题 15 分， ） 15、历史上蒲丰做过掷铜币试验，他进行了4040次试验，其中出现正面2048次，试计算 当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度不大于蒲丰试验中所发生的偏差 的概率？（(0.88)0.8106） 解：将一枚匀称硬币抛掷4040次，记x表示正面出现的次数， x服从参数4040,0.5np的二项分布。 20201010exdx，由于n较大，x近似服从正态分布 则 1010 28 | 1010 2020 |28|2020| 5 . 0 4040 2048 |5 . 0 4040 | x pxp x p 6212. 01)88. 0(2 注 此题需要解释清楚原理，说明积分极限定理断言， n 的分布渐近于正态分布(,)n np npq 因此伯努利试验中事件a出现的频率 n n 的分布渐近于正态分布( ,) pq n p n - 密 - 封 - 线 - 第 3 页(共 3 页) 16、若二维随机向量(, )x y的联合密度函数为 (3), 0,0 ( , ) 0, x y aexy p x y 其他 试求： （1）常数a；(2)(3,1)p xy； （3）x的边际分布函数； （4）条件密度( | )p x y； （5）(3|1)p xy； （6）(4)p xy。 解：1） ( , )1p x y dxdy 可得3a； 3分 2） 31 391 00 (3,1)3(1)(1) xy p xyedxe dyee ； 6分 3） 3 ( )()1 x x fxp xxe 当0 x时，0,( )0 x xfx； 8分 4） 3 ( , ) ( | )3 ( ) x y p x y p x ye py 当0 x 时； 10分 5） 9 (3,1) (3|1)1