微积分小论文——关于拉格朗日乘数法的方程组解法讨论.doc

关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论作者信息：通信工程 201201916005雷志坤摘要本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。从而，在我们遇到相关问题时，能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。关键词：地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法 问题的提出在学到多元函数微分学时，会涉及多元函数极值与最值问题。而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时，常使用拉格朗日乘数法，在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦，于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。方法的发现及其证明首先，引入拉格朗日乘数法步骤：（1）、作辅助函数F(x,y,z,)=f(x,y,z)+(x,y,z)（2）、根据方程组解出可能极值点(x0,y0,z0)以及（3）、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点现给出方法发现过程：在我们教材中实际遇到该种问题时，常常得到的方程组很有规律。例如：题目1： 求w=lnx+lny+3lnz在球面x2+y2+z2=5R2上的极大值(x0,y0,z0)，并利用这个结果证明当a0,b0,c0时，恒有)(辅导教程P250，例5.48)在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为：F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x2+y2+z2-5R2)我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。而对于该方程组，我们可以划分为两个部分:A、Fx=0,Fy=0,Fz=0 B、F=0 。可以这样想：A部分用以求解x,y,z之间的关系，B部分用以给x,y,z定值。所以，求解该方程组的关键在于A部分的求解。现在剔出A部分观察分析：可以发现上述方程组很有规律。即x与y地位对等，而x,y分别与z地位对等。怎样解释这种地位对等的关系呢？可以这样说，所谓地位对等关系，即是：假设以x变量以及等式Fx=0为标准，若进行变量代换y=kx后得到等式Fy=0形式上与前面的Fx=0相同，则称kx与y地位对等。我们假设x=t,则观察易得yx=t,zx=t（表示地位对等），同时上述方程组可划为：我们可以把这个过程叫做统一化过程。因而易知，能进行统一化过程的充分条件是：方程组中多元变量之间相互存在地位对等关系。经验证可以发现：若一个方程组能进行统一化过程，且有对等关系xk1yk2z，则此方程组中多元变量关系为x=k1y=k2z=。（结论）现给出方法证明过程：证： 同理，可推广到更多变量的方程组中证毕结论：若一个方程组能进行统一化过程，且具有对等关系xk1x1k2x2knxn，则此方程组中多元变量关系为x=k1x1=k2x2=knxn。总结：首先，不得不说的是，虽然该方法看起来很麻烦，其实很简单（主要是要讲清楚很麻烦）。只用观察，就能非常轻松地发现变量之间的倍数关系，非常方便。而且由于决定x,y,z等变量关系的方程是由同一方程求偏导得到，因而很多时候该方法都很适用，能大大减少计算量以节约时间。但是，也有部分问题不适用，例如：题目2：求曲面z=4-x2-y2平行于平面pi:2x+2y+z=8的切平面，并求曲面到平面pi的最短距离。（辅导教程P251，例5.49）该题后一问运用拉格朗日乘数法解决时，有：G(x,y,z, )=(2x+2y+z-8) 2+(x2+y2+z-4)但是对于此种方程组方法就不适用了，原因在于：对原方程组A部分我们无法找到x，y与z之间的地位对等关系。但是很明显可以看出x,y之间是存在xy，即一定有解x=y，这样虽然没能直接看出x,y,z间关系，但是对于方程组来说也解决了的问题，余下工作量也会少一些。其次，也不得不说的是，虽然该结论方法原理十分简单，但是我觉得这种根据外在形式观察并推测结果，然后进行验证证明猜想的思维过程值得记录。最后想说的是，很遗憾，该题经抽象后得到的方法的原理十分简单，但由于知识所限也实在想不出如何进行更为