（基础数学专业论文）量子逻辑的代数结构与运算连续性.pdf

摘要 伴随着量子理论的数学公理化而发展起来的量子逻辑理论，已有八十年历 史和丰富内容本文研究了近十多年来发展起来的部分a b e l i a n 半群、差分集的 代数结构，和一类重要量子逻辑结构的运算连续性问题，主要结果如下： 1 部分a b e l i a n 半群是效应代数的无界推广。我们引入了其上的特殊同余， 在一定条件下，证明了该同余类所诱导之商仍是部分a b e l i a n 半群 2 定义了部分a b e l i a n 么半群中的特殊理想，在一定条件下，证明了特殊同 余恰由特殊理想所诱导同时研究了一类称为s 一理想的特殊理想，证明了该理想 具有某些格的性质 3 滤子是理想的对偶在正交代数中有c r - 滤子、f g r - 滤子和局部滤子， 在格效应代数中有格滤子我们证明了正交代数中的局部滤子和c r - 滤子等价： 在格效应代数中的f g r - 滤子和局部滤子等价，而f g r - 滤子真强于c r - 滤子 4 作为差分偏序集无界推广的差分集，我们研究了它的张量积问题，证明 了任何消去差分集和布尔代数的张量积一定存在 5 研究量子逻辑的拓扑结构，是一个重要而困难问题其困难点是该拓 扑结构必须保证量子逻辑运算的连续性。本文证明了对于某些效应代数，运 算。和。关于理想拓扑是连续的，在一定条件下，格运算a 和v 关于理想拓扑也是 连续的 关键词：部分a b e l i a n 半群；差分集；效应代数；同余；理想；滤子；张量积；理想 拓扑：连续性 a b s t r a c t t h et h e o r yo fq u a n t u ml o 垂c ，w h i c hh a sd e v e l o p e dd u r i n gt h ec o u r s eo ft h e m a t h e m a t i c a la x i o m a t i z a t i o no ft h eq u a n t u mt h e o r y , i sc o p i o u s ，w i t he th i s t o r y o f8 0y e a r s t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ea l g e b r a i cs t r u c t u r e so fp a r t i a la b e h a n s e m i g r o u p sa n dd i f f e r e n c es e t s ，w h i c hw e r ei n t r o d u c e dt e ny e a r sb e f o r e ，a n dt h e o p e r a t i o nc o n t i n u i t yo fac l a s so fi m p o r t a n tq u a n t u ml o g i c s t h em a i nc o n t e n t s a n dr e s u l t sc a nb es u m m a r i z e d 罄f o l l o w s ： 1 p a r t i a la b e h a ns e m i g r o u pi so n eo ft h eg e n e r a l i z a t i o n so fe f f e c ta l g e - b r aw h i c hi sn ol o n g e rb o u n d e d s p e c i a lc o n g r u e n c e sa r ei n t r o d u c e di np a r t i a l a b e h a ns e m i g r o u p sa n di ti ss h o w nt h a tu n d e r8 d i n ec o n d i t i o nt h eq u o t i e n ti n - d u c e db ya s p e c i a lc o n g r u e n c ei sa l s oap a r t i a la b e l i a ns e m i g r o u p 2 s p e c i a li d e a l sa r ei n t r o d u c e di np a r t i a la b e h a nm o n o i d i ti sp r o v e dt h a t u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n ，s p e c i a lc o n g r u e n c ea r ej u s ti n d u c e db yt h es p e c i a li d e a l s m o r e o v e r i ti sa l s os h o w nt h a tac l a s so fs p e c i a li d e a l sn a n l e ds - i d e a l sh a v es o m e l a t t i c ep r o p e r t i e s 3 f i l t e ri sad u a ln o t i o no fi d e a l t h e r ea r et h r e ef i l t e r si no r t h o a l g e b r a ： c r - 6 l t e r f g r - f i l t e ra n dl o c a lf i l t e ra n dt h e r ea r et w of i l t e r si nl a t t i c ee f f e c t a l g e b r a ：e f f e c ta l g e b r af i l t e ra n dl a t t i c ef i l t e r i ti ss h o w nt h a t 诅o r t h o a l g e b r a s l o c a lf i l t e r sa x ee q u i v a l e n tt oc r - f i l t e r sa n di ti sa l s os h o w nt h a ti n1 a t t i c ee f f e c t a l g e b r a sf g r _ 丘l 钯r sa x ee q u i v a l e n tt ol o c a lf i l t e r sw h i l ef g r - f i l t e r sa r es t r i c t l y s t r o n g e rt h a nc r - f i l t e r s 4 d i f f e r e n c es e ti so n ek i n do fu n b o u n d e dd i f f e r e n c ep o s e r t h ee x i s t e n c e o ft h et e n s o rp r o d u c t so ft w oc a n c e l l a t i v ed i f f e r e n c es e t sa r ei n v e s t i g a t e d i ti s p r o v e dt h a tt h et e n s o rp r o d u c to fab o o l e a na l g e b r aa n da c a n c e t t a t i v ed i f f e r e u c e s e ta l w a y se x i s t s 5 i ti sa l li m p o r t a n ta n dd i f f i c u l tt o p i ct os t u d yt h et o p o l o g yo nq u a n t u m l o g i c s t h ed i f f i c u l t yi st h a tt h eq u a n t u ml o g i co p e r a t i o n sm u s tb ec o n t i n u o u s w i t hr e s p e c tt ot h ei d e a lt o p o l o g y i ti sp r o v e dt h a tf o rs o m ek i n do fe f f e c t ! ! 量王望堡堕垡塑堕塑量堡塞壅堡堡 a l g e b r a st w ov a r i a b l eo p e r a t i o n so a n dea r eb o t hc o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt o t h ei d e a lt o p o l o g ya n di ti sa l s os h o w nt h a tu n d e rs o m ec o n d i t i o nt w ov a r i a b l e l a t t i c eo p e r a t i o n saa n dva r eb o t hc o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt ot h e i d e a lt o p o l o g y k e y w o r d s ：p a r t i a la b e l i a ns e m i g r o u p s ；d i f f e r e n c es e t s ；e f f e c ta l g e b r a s ；c o n g r u - e n c e s ；i d e a l s ；f i l t e r s ；t e n s o rp r o d u c t s ；i d e a lt o p o l o g y ；c o n t i n u i t y 第一章绪论 1 1 量子逻辑的历史 量子力学和相对论，是二十世纪物理学最伟大的两项科学成就量子逻辑是 伴随着量子理论的数学公理化而发展起来的一种理论，有着8 0 年的历史和丰富 的内容她的发展经历了三个重要阶段，每个阶段都有一篇重要的论文作为其标 志：第一阶段，1 9 3 6 年，b i r k h o f f 和v o nn e u m a n n 在美国数学年刊上发表了这方面 第一篇重要论文( 【1 】) ；第二阶段，1 9 5 7 年，g l e a s o n i 正明了h i l b e r t 空间的闭子空闻 格上的概率表示定理( 【2 】) ；第三阶段，1 9 9 4 年，f o u l i s 和b e n n e t t 提出了能够描述 不可精确测量量子现象的效应代数概念( 【3 1 ) 量子逻辑的主要内容包括两方面： 研究其自身的代数结构以及这些量子结构上的态，即概率测度下面，我们简单 概述一下她的历史和发展 1 1 1 布尔代数与正交模格 布尔代数和正交模格是量子逻辑的基础，这里我们来介绍它们的一些基本 概念 在1 8 4 7 年和1 8 5 4 年，g e o r g eb o o l 发表了他的著作m a t h e m a t i c a la n a l y s i s 巧 f 9 舛c ( 4 】) 和( l a w so ft h o u g h t ) ( 【5 】) ，正是这两项奠基性的工作，导致了现在以 他的名字命名的代数学分支：布尔代数布尔代数是一类具有补运算的分配格 1 1 1 1 定义设( 三，) 为一偏序集对于任意的n ，b l ，如果它们的下确 界( 记为d a6 ) 与上确界( 记为v6 ) 都存在，那么( 厶v ， ) 称为一个格 设，v ， ) 为一个格，如果对于任意的o ，b ，c l ，成立如下的二条分配律： o a ( 6 vc ) = ( a a 砩v ( 8 ac ) ， n v ( b ac ) = ( a vb ) a ( a v c ) 那么称( l ，v ，a ) 为一个分配格 设( 厶v ， ) 为一个格，且( l s ) 有最大元1 与最小元o 对于o l ，若存在唯 一的b l ，使得8 v6 = 1 ，口ab = 0 ，则称6 为8 的一个补元，我们用a 4 g b ，如果对 于格( l ，v ，a ) 中任意的元。都有补元o ，那么称( l ，v ， ) 为一个有补格 2 量子逻辑的代敷结构与运算连续性 对于有补格( l ，v ， ) ，可以定义一个一元运算：l l ，称为补运算，从而 有补格( 厶v ， ) 也称为有补运算的格，记为( 厶v ，a , i ) 有补运算的分配格称为布 尔代数 l 1 1 2 例设( x ，刁为一拓扑空间，b 是x 的所有既开且闭的子集形成的 族则( 8 ，n ) 是一个布尔代数 1 1 1 3 定义设( r + ，) 为一个环若r 关于乘法幂等，即对于任何的r 兄，都有r r = r ，则称( r ，+ ，) 为一个布尔环若1 r ，且对任何r r ，1 - r = r ， 则称l 为布尔环( r ，+ ，) 关于乘法的单位元，此时称( r ，+ ，) 为有乘法单位元的布 尔环或简称为有单位元的布尔环 l 1 1 4 例设x 为一集合，a ，b x 定义以与b 的对称差为 a b = ( a u b ) ( a n b ) 若用2 x 表示集合x 的幂集，即由x 的所有子集形成的集族，则( 2 x ，n ) 是一个 有单位元的布尔环， 关于布尔代数和布尔环之间的关系。我们有如下的定理： 1 1 1 5 定理( 【6 】) 布尔代数等价于有单位元的布尔环 定理t 1 5 可以看作是布尔代数的第二个等价定义关于布尔代数的更一般 的内容见文献f 7 1 布尔代数是经典逻辑的最重要的模型然而，按照布尔的原始思想，布尔代 数是只有一个部分运算的代数系统对此，我们有下面的定理： 1 1 1 6 定理( 【3 】) 设( 厶o ，0 ，1 ) 是一个代数系统，其中工为一集合，o 和1 是三 中的两个特殊元，0 是l 上的一个部分二元运算那么( l ，o ，0 ，1 ) 是布尔代数当且 仅当下列奈件成立： ( b 1 ) 交换律：若p o g 有定义，则q o p 有定义，并且p 0 口= 口o p ( b 2 ) 结合律：若q or 与p 0 ( q or ) 有定义，则p oq 与0 0q ) or 有定义， 却o ( q or ) = 0 0q ) o r ( b 3 ) 正交补律：对每个p l ，存在唯一的q l ，使得- p q 有定义，f 1 p q = 第一章绪论 3 ( 1 3 4 ) 0 - 1 律：若l o p 有定义，则p = 0 ( b 5 ) 凝聚律：若p oq ，p or t 受q or 都有定义，则oq ) 0r 有定义 ( b 6 ) 相容律：对任意的p ，g 厶存在a ，b ，c l ，使得b o c 与a o ( 6 0c ) 有定 义，邱= a o c ，q = b o c 定理1 1 6 可以看作是布尔代数的第三个等价定义下面将看到，它揭示了作 为经典逻辑的布尔代数和作为量子逻辑的正交模偏序集、正交模格、正交代数、 效应代数等范畴之间的内在关系 下面我们来介绍正交模偏序集和正交模格的概念 1 1 1 7 定义设( 厶) 是一个偏序集如果对于o ，b l ，8 6 ，有8 vb ，存 在，并且成立下面的正交模律恒等式( 或正交模律) ： b = 口v 似v ) ， 那j a 伪；( l ，) 是一个正交模偏序集 若( 厶v ， ) 是一个正交模偏序集且同时又是一个格，则( l ，v ， ) 称为是一个 正交模格 任何布尔代数都是正交模格 1 1 1 8 例设h 是一个h i l b e r t 空间，p ( h ) 是h 上的正交投影算子的全体构 成的集合，三( h ) 是h 上的闭子空间的全体构成的集合那么p ( h ) 和l ( 咒) 都是正 交模格，而且它们是同构的 关于格的更一般的内容见b 谊k 蝴的巨著l a t t i c et h e o r y ) ) ( 【8 1 ) 以及g r a t z e r 的名著g e n e r a ll a t t i c et h e o r y ) ( 【9 】) 对于布尔代数和正交模格而言，如果布尔代数表示经典物理系统，那么正交 模格则表示量子物理系统；如果布尔代数代表经典逻辑，那么正交模格则代表量 子逻辑经典逻辑和量子逻辑的最主要的区别在于：在经典逻辑中，分配律成立， 故正交模律当然也成立；而在量子逻辑中，正交模律成立，分配律却不成立 接下来我们来简单地介绍量子逻辑的历史和发展 1 1 2 量子逻辑 关于量子逻辑的研究，可以追溯到1 0 0 多年前1 9 0 0 年，在法国巴黎举行的 4量子逻辑的代数结构与运算连续性 第二届国际数学家大会上，h i l b e r t 发表了他关于2 3 个公开数学问题的历史演讲。 他的演讲深刻地影响了2 0 世纪世界数学的发展方向直到今天，他的演讲仍然具 有相当大的影响 他的第六个问题是一个数学物理问题，其内容是关于量子力学的数学基础， 具体表述如下： 能否象几何一样，用为数不多的几条物理公理来描述一个尽可能大的物理 体系 这个问题直到2 0 世纪3 0 年代才有了突破性的进展 1 9 3 3 年，k o l m o g o r o v 出版了他的著作g r u n d b e g r i f f ed e rw a h s c h e i n l i c h k e i t - s r e c h n u n 9 ( 1 1 0 ) 在他的著作里，k o l m o g o r o v 提出了一个概率模型的公理体系， 并给出了概率论的公理化定义，即 1 1 2 1 定义设n 为一个集合是q 上的p 代数或布尔口代数如果a 上 集函数p ：a 一【o ，1 】满足 ( p 1 ) p ( 0 ) = 0 ( p 2 ) p ( q ) = 1 ( p 3 ) 对于互不相交的 a h a ，若u i a a ，剐p ( u i a t ) = 。v ( a ，) 那么称口是a 上的一个概率 k o l m o g o r o v 的概率论公理化是非常成功的k o l m o g o r o v 也试图用他的概率 模型来描述物理系统但是他的概率模型是建立在口一代数或布尔j 一代数上的，因 而它描述的是经典物理系统随着物理学的发展( 比如，h e i s e n b e r g 钡l j 不准原理的 发现，等等) ，k o l m o g o r o v 的概率模型已经不能描述象以h e i s e n b e r g 澳0 不准原理 等为特征的量子物理系统 1 9 3 6 年，b i r k h o f f 和v o nn e u m a s m 在美国数学年刊上发表了影响深远的著 名论文t h el o o i co fq u a n t u mm e c h a n i c s ( f 1 】) 。该文将每个量子力学系统看 作h i l b e r t 空间“上的所有闭子空间全体构成的集合l ( 7 - 1 ，而量子力学的中心任 务是描述l ( u ) 中元素间的逻辑关系及其统计行为，即确定下面意义下的量子概 率： 1 1 2 ，2 定义设笼为一h i l b e r t 空阗，p ：l 洱) 一【0 ，1 】是一个映射，满足下 列条件： 第一章绪论5 ( q p l ) p ( 0 ) = 0 ( q p 2 ) v ( u ) = 1 ( q p 2 ) 对于两两正交的 厶k 互l ，有p ( u 。厶) = 。p ( 厶) 则称p ：l ( h ) 一【0 ，l 】是l ( m ) 上的一个量子概率( 或概率测度，态) b i r l 【h o f f 和v o nn e w m a n n 的论文被看作是一种新的理论：量子逻辑诞生的 标志，量子逻辑理论的发展也由此进入了第一阶段从它的诞生到今天，已经 有8 0 年的历史了 1 9 3 7 年，h u s i m i ：b 狙t l = 尸( 咒) 是一个正交模格( 1 i d ，这也是一个重要的 结果 1 9 5 7 年，哈佛大学教授g l e a s o n 在他的论文 m e a s u r e so nt h ec l o s e ds u b s p a c e s o fah i l b e r ts p a c e ) ( 1 2 】) 里成功地给出了上述量子测度的数学表示，这就是著名 的g l e a s o n 定理，它是一个有广泛应用的深刻结果： 1 1 2 3 定理( 【2 】) 若咒是一个维数不小于3 的可分h i l b e n 空间，t t ) p ( 7 - ) _ h 的概率测度，那么存在一个迹类算子t b ( m ) ，使得对每个p p ( h ) ，p ( p ) = t r ( t p ) ， p ( u ) 是最重要的一类量子逻辑，g l e a s o n 定理给出了正交模格尸( w ) 上概率 测度p 的具体表达式，也给出了p ( h ) 上的态( 即概率测度) 与b ( h ) 中迹类算子的 一一对应关系 g l e a s o n 的论文是量子逻辑发展到第二个阶段的标志、1 9 6 8 年，v a r a d a x a - j 柚出版了专著g e o m e t r y 吖q u a n t u mt h e o r y ) ( 1 2 一1 4 】) ，极大地刺激了这一理 论的发展 从那以后，出现了多种量子逻辑模型，它们都用来研究量子力学的数学基 础，其中有：正交模格、正交模偏序集、伊量子逻辑，以及f o u l i s 和r a n d a l l 在1 9 7 2 年提出的正交代数( 【1 5 1 ) ，等等( 关于正交偏序集和正交模格的更详细的内容见 文献【1 6 i - 【1 8 】) 这些量子逻辑模型有两个共同的特征：其一，它们都用来描述如 何合并以及分离两个互斥的物理事件；其二，它们使用的都是二值逻辑，即它们 只描述“是一非”事件换言之，上述所有的量子逻辑模型部不能描述不可精确 测量的量子力学系统 量子逻辑理论发展的第三个重要阶段是2 0 世纪9 0 年代 6量子逻辑的代数结构与运算连续性 1 9 9 4 年，k o p k a 和c h o v a n e c 引入了一种被称为差分偏序集的量子逻辑模型 差分偏序集是含有一个被称为差运算的部分二元运算的偏序集，其中包含的思 想是简单的：如果我们知道两个可以比较的物理事件的信息，那么我们也完全 可以知道这两个事件的差所代表的物理事件的信息这个思想的首次出现，是模 糊集理论在量子力学中的应用( 【1 9 1 ) ，在那之后则表现为一般的代数形式( 【2 0 】) 这种结构同时反应了个命题系统的代数观念和模糊观念，该结构第一次将不 可精确测量的量子现象引入到量子逻辑理论的研究中 下面是差分偏序集的定义： 1 1 2 4 定义( 【2 0 】) 设( d ，o ，1 ) 是一个有最大元1 和最小元。的偏序集， e 是定义在( d ，s ) 上的一个部分二元运算，使得b e d 有定义当且仅当osb ，并且 满足下列四条公理： ( p d i ) b e a s b ， ( p d 2 ) b e ( b e d ) = a ( p d 3 ) ( c e6 ) s ( c e n ) ( p d 4 ) ( c e a ) e ( c eb ) = b e o 那么( d ，s ，e ，0 ，1 ) 称为是一个差分偏序集 我们给出差分偏序集的两个例子： 1 1 2 5 例( 2 0 】) 设x 是一个非空集，f 是上所有形如，：x 一【0 ，1 】的函 数构成的集合设s 是p 上的一个偏序，使得，9 当且仅当对于每个t x ， 都有，( z ) 夕( 。) 令圣： 0 ，i 】一【0 ，】是一个单调递增的强连续函数，满 足中( 0 ) = 0 ，对于每个 g f ，满足，g ，以及每个t x ，如果我们定义 ( ge ，) 0 ) = 中一1 ( 中( 9 ( ) ) 一垂( ，0 ) ) ) 那么，( f 1 ，o ，0 ，1 ) 是一个差分偏序集事实上，它是一个由模糊集构成的差分 偏序集( 1 9 1 ) 1 1 2 6 例( 2 0 ) 设x 是一个非空集，s ( x ) 是x 的所有子集构成的集合如 果我们将集合论中的集合的差运算作为s ( x ) 中的部分运算e ，且将集合包含关 系作为s ( x ) 中的偏序，那么p ( x ) ，e ，0 ，x ) 是一个差分偏序集 第一章绪论 7 几乎在k o p k a 和c h o v a n e c 引入差分偏序集的同时，f o u 王i s 和b e n n e t t 独立地 给出了一个被他们称为效应代数的量子逻辑结构( 【3 1 ) 如果用效应代数来描述 量子物理系统的话，那么可以说效应代数的特征是其互相排斥事件的和， 下面是效应代数的定义，事实上，效应代数就是满足定理1 1 1 6 中前面四条 的代数系统： 1 1 2 7 定义( 【3 1 ) 设( 三，o ，0 ，1 ) 为一代数系统，其中l 为一集合，o 和1 是l 中 的两个特殊元，o 是l 上的一个部分二元运算，满足下列条件： ( e 1 ) 交换律：若p o g 有定义，别口o p 有定义，且p o q = 口o p ( e 2 ) 结合律：若q or 与p 0 国0r ) 有定义，则p oq 与0 0q ) or 有定义， 且p o ( q o r ) = oq ) o r ( e 3 ) 正交补律：对每个p l 存在唯一的q l ，使得p o q 有定义，e 印。口= 1 ( e 4 ) 0 - 1 律：若1o p 有定叉，则p = 0 那么( l ，0 ，0 ，1 ) 称为是一个效应代数 设，o ，0 ，1 ) 捏i - - 个效应代数，p , q l 若pe g 有定义，则我们称p 与g 是正交的，且记为p 上q 对于所有的p l ，p 上o r p00 = p 若口是满 2 = p 上q j l p q = 1 成立的唯一元素，则称g 为p 的正交补，记为p7 ，显然，p ) = n 0 = 1 ，1 = 0 ，若p o r p 上p ，则称p 为的l 的一个迷向元 设l 为一个消去的差分集，f = n 1 ，n 。 为l 的一个有限序列对于n2 3 ，如果0 1 0 0 一1 ，( 0 1 0 0 a n 一1 ) o d 。厶归纳定义l 中n 个元素的和如 下： g 】o oa n = ( 口1 0 。$ 一1 ) o8 ，l ， 由结合律知它是良定义的此外 而，由交换律和结合律可知，对于 1 足1 sk s n 的， 若凡：1 ，则定义1o 0 ：= 0 1 从 ，n 的任一个置换 i l ，i 。) 以及任何满 n l or o = 毗l0 o n l o ，- o = ( a l or r o a k ) o ( d 七+ 1 0 ，0 ) 工中的一个有限序列f = 0 1 ，o 。) 称为是。一可和的，如果o ，o o l 8 量子逻辑的代数结构与运算连续性 在这种情形下，我们称f 有一个0 一和i 啦，记为 设o l ，n 为一个正整数，毗= o “= l ，2 ，) 称舰有定义，如果0 毫。啦存在 若加有定义但+ 1 ) n 没有定义，则称n 为。的迷向指标如果对于所有的正整 数吼n a 都有定义，则称a 有无穷迷向指标， 下面我们给出几个效应代数的例子 1 1 2 8 例( 3 】) 设“为一个h i l b e r t 空间，它用来表示一个量子力学系统 咒上满足0 a ，的自伴算子称为效应算子用e ( h ) 表示爿由全体效应算子构 成的集合在e ) 上定义一个部分二元运算。如下： a o b = a + b 当且仅当a + b sj 很容易验证，( e ( 咒) ，o ，0 ，) 是一个效应代数事实上，效应代数也就是由此而得 名的( 【3 】) 这是最重要的一个效应代数的例子，称为标准效应代数( 另一个重要 的效应代数的例子是1 9 5 8 年由c h a n g 作为多值逻辑引入的m v 一代数( 【2 1 】，【2 2 】) ) 设伍，o ，0 ，1 ) 是效应代数在l 上定义一个二元关系如下 p 口当2 _ 6 z 当存在r 三使得p 上r 且p o r = q 则是一个偏序，且对所有的p l 0 p 1 此外，对于p ，q l ，psg 当且 仅当口sp ；p 上q 当且仅当p g 当且仅当q p 若l 在上述偏序下还是一个 格，则称( l o ，0 ，1 ) 是一个格效应代数；若l 还是全序的，则称( l ，o ，0 ，1 ) 是一个 尺度效应代数( 简称尺度代数) ( 【3 】) 设g 是a b e l i a n 群g 的子集c 称为是g 的一个锥，如果c + c c g c n c = o ，g 中的锥e 可诱导出g 上的一个偏序s ，使得 y 当且仅当存在z c 且满足z + z = 此偏序是平移不变的；反之，如果是g 上的一个平移不变的偏序，那么可以诱 导出g 中的一个锥g 称a b e l i a n 群g 是偏序的如果g 上有一个平移不变的偏序 关于偏序a b e l i a n 群与效应代数之间的关系，我们有下面的定理： n do o口 = o 。o 树 = f o 第一章绪论 9 1 1 2 9 定理( 【3 】) 设g 为一偏序a b e a n 群，0 缸g ，2 - l = g + 【o ，叫= 9 gl0 g ) 嗣- - y p ，口l ，在l 上定叉一个部分二元运算。如下： p oq 有定义当且仅当p + 口l 且p o 口= p + 口 则( l o ，0 ，u ，) 是一个效应代数，且l 上的效应代数偏序与g 上的偏序在l 上的限 制是一致的 1 1 2 1 0 定义( 【3 】) 具有g + i o ，甸形式的效应代数称为区间效应代数，简称 为区间代数 1 1 2 i i 定义( 【3 】) 若将r 看作是一个全序的a b e u a n 群，其上的正锥就是 通常的r + ，则区间代教r + 【o ，1 】称为是标准尺度代数 对于差分偏序集和效应代数这两个几乎同时独立提出的量子逻辑模型，我 们感兴趣的是它们之间的关系事实上，它们之间有着极为密切的内在联系为 了说明它们之间的关系，我们需要下面的态射概念： i i 2 1 2 定义( 3 】) 设( e ，o ，0 ，1 ) 和( f o ，0 ，1 ) 为两个效应代数映射w ： e 一f 称为是一个( 效应代数) 态射，如果下列条件满足： ( e a m l ) w ( 1 ) = 1 ( e a m 2 ) 若a ，b e ，d 上b ，则印( 8 ) 上凹( 6 ) 且 ( 口ob ) = 伽( o ) o 叫( 6 ) 1 1 2 1 3 定义( 【2 3 】) 设( p ，e ，0 ，1 ) 和( q ，e ，0 ，1 ) 为两个差分偏序集 映射u ：e - f 称为是一个( 差分偏序集) 态射，如果下列条件满足： ( d p m l ) v ( 1 ) = 1 ( d p m 2 ) 若口，b e ，dsb ，则口( d ) w ( b ) e l v ( b e a ) = v ( b ) e 口( n ) 下面的定理说明了差分偏序集和效应代数是等价的： 1 1 2 1 4 定理( 2 3 】) ( 1 ) 设( p j ，e ，0 ，1 ) 和( q ，e ，0 ，1 ) 是两个差分偏序 集，a ，b ，c d 在p 上定义一个部分二元运算0 ：p p 如下： ( s )n 0b = c 当且仅当c eb = o 则e ( p ) = ( 只0 ，0 ，1 ) 是一个效应代数，且e ( p ) 上由。诱导出来的效应代数偏序 和p 上原有的偏序是一致的此外，对于每个差分偏序集态射h ：p q ，存在 唯一的效应代数态射g ：e ( p ) e ( q ) ，使得对每个z d ，都有h ( x ) = 9 ( z ) 1 0 量子逻辑的代数结构与运算连续性 ( 2 ) 设( e ，o ，0 ，1 ) 和( 只氟0 ，1 ) 是两个效应代数，8 ，b ，c e ，在e 上定义一个 部分二元运算e ：e 一，如下： ( d ) o ec = b 当且仅当b ec = 口 则d ( e ) = ( e ，e ，o ，1 ) 是一个差分偏序集，并且d ( e ) 上的偏序就是e 上由。诱 导出来的效应代数偏序此外，对于每个效应代数态射h ：e - f ，存在唯一的 差分偏序集态射9 ：d ( e ) d ( f ) ，使得对每4 z d ，都有扛( z ) = 孽( 工) 差分偏序集和效应代数还等价于g i u n t i n i 和g r e a l i n g - 于1 9 8 9 年引入的弱正交 代数( 【2 4 1 ) 正交模格、正交模偏序集等经典的量子逻辑和作为经典逻辑的布尔 代数都是效应代数， 下面我们来介绍一类特殊的效应代数，即所谓的正交代数我们将看到，从 正交代数到效应代数的发展，对应的是从可精确测量的量子逻辑到不可精确测 量的量子逻辑的发展 1 1 2 1 5 定义( 1 5 】) 设( l ，o ，0 ，1 ) 为一代数系统，其中l 为一集合，o 和l 是l 中的两个特殊元，o 是l 上的一个部分二元运算，满足下列条件： ( 0 1 ) 交换律：若p o 口有定义，则口o p 有定义，且巾0q = q o p ( 0 2 ) 结合律：若q or 与p o ( q or ) 有定义，则p 0q - 5 0 0q ) or 有定义， 且口o ( q or ) = p og ) o r ( 0 3 ) 相容律a ：对每个v p l ，p 上p 蕴含- p = 0 ( 0 4 ) 0 - 1 律：若1 0p 有定义，则p = 0 那么( l ，o ，0 ，1 ) 称为是一个正交代数 从正交代数的定义可以看到，正交代是就是将效应代数定义中的公理( e 3 1 换成( 0 3 ) 所得到的代数系统这里我们用相容律a 以区别与定理1 1 1 ，6 中的相容 律可以证明，由( 0 3 ) 可以推出( e 3 ) 所以，每个正交代数都是效应代数一个效 应代数是正交代数当且仅当它不包含任何迷向元在标准尺度代数r + 0 ，1 】中， 区间r + 【0 ，1 2 】中的每个非零元都是迷向元，故r + 【0 ，1 】是效应代数而不是正 交代数 关于效应代数与正交代数之间的联系，我们有如下的定理： i i 2 1 6 定理( 1 3 】) 设( l ，o ，0 ，1 ) 是一个效应代数则( l ，o ，0 ，1 ) 是正交代 数当且仅当对每个p l ，有p a p = 0 第一章绪论 上述定理中的式子p a p = o 反映了p 与它自身的补不交，而效应代数不满 足这个性质，所以从正交代数到效应代数，对应的是可精确测量到不可精确测 量可以证明，h i l b e r t 空间h 的闭子空间格l ( “) 是正交代数，所以b i r k h o i t 和v o n n e u m a n n 的量子逻辑模型描述的仅仅是可精确测量的量子理论 关于效应代数、正交代数、正交模偏序集、正交模格以及布尔代数之间的 关系，我们有下面的定理： 1 1 2 1 7 定理( 1 3 】) 一个正交代数是正交模偏序集 - a i 且仅当它满足凝聚律 一个效应代教是正交模偏序集当且仅当它满足凝聚律正交模格等价于格正交 代数布尔代数等价于满足相容律的正交模偏序集 由上述的定理可知，效应代数推广了在它之前出现的所有量子逻辑模型，我 们可以用下面的包含关系来表示它们之间的联系 布尔代数c 正交模格c 正交模偏序集c 正交代数c 效应代数 自从差分偏序集与效应代数这两个等价的模型出现以后，它们的推广模型 象广义效应代数、部分a b e l i a n 半群、广义差分偏序集、差分集、伪效应代数、广 义伪效应代数、广义伪差分偏序集、伪差分偏序集、双差集等也得到了相当的 发展( 【2 3 1 ， 2 5 1 一【3 3 1 ) 作为一种特殊的效应代数，m v 代数也被推广到t q m v - 代 数( 【3 4 】) 、伪m v - 代数( 【3 5 】，【3 6 】) 我们将在下一节说明上述这些量子逻辑模型之 间的联系 随着对效应代数研究的深入以及其他量子逻辑模型的发展，人们发现效应 代数和多种量子逻辑如类环形结构( 【3 7 】) 、b l r 瞰( 3 8 ) 、b c k 代数( 【3 9 】) ，等等， 都有密切的联系 同时，作为效应代数原型的标准效应代数本身的研究，也得到了很大的发 展( 【4 0 j 一【4 6 】) 此外，关于效应代数及其相关模型上的态( 概率测度) 的研究，也相应地得到 了充分的发展( 47 】一 5 3 1 ) 从1 9 9 4 年效应代数( 差分偏序集) 模型的提出，到现在已经1 2 年了其问 量子逻辑理论得到了极大的发展( 1 2 3 】，1 5 4 1 一i 5 m 1 ) f 扎k 和b e 城e t t 的论文( 以 及k 0 p k a 和c h o v a n e c 的论文) 可以看作是量子逻辑理论发展到第三个阶段的标 志 1 2量子逻辑的代数结构与运算连续性 量子逻辑与数学的很多分支，比如算子代数( 【5 8 h 6 0 】) 、概率论( 【6 1 】 6 8 1 ) 、 数理逻辑( 2 1 】，【2 2 ，【6 9 】) 等都有广泛的应用此外，量子逻辑对于量子物理、计 算机科学和信息科学都有重要应用( 【7 0 】【7 6 】) 1 2 本文内容相关的研究概述 1 2 1 本文研究的量子逻辑模型 本文所研究的量子逻辑模型都与效应代数和差分偏序集有关，所以我们有 必要梳理清楚这些量子逻辑模型之间的关系 效应代数或差分偏序集的推广，主要有两种方式：无界推广与非交换推广 关于效应代数的无界推广，主要有下面三个层次：部分a b e l i a n 么半群( f 7 7 】) ； 消去的部分a b e l i a n 么半群：正的消去的部分a b e l i a n 么半群( 即广义效应代 数) ( 【2 3 】) 效应代数就是有界的广义效应代数如果部分a b e l i a n 么半群没有 任何零元，就是部分a b e l i a n 半群( 【2 5 】) ；如果部分a b e l i a n 半群中的每个元素都有 与之对应的零元，那么我们可以称之为具有不同零元的部分a b e l i a n 半群：当这 些零元都相同时，它就成为了部分a b e l i a n 么半群 如果将效应代数进行非交换推广，得到的就是伪效应代数( 【2 8 】) ；如果伪效 应代数无界，那么它就成为广义伪效应代数( 1 2 9 j ) 广义伪效应代数同时也可以 看作是广义效应代数的无界推广如果我们将上述模型都进行非交换推广，就 可以得到相应的非交换模型， 与效应代数的情形相似关于差分偏序集的无界推广，主要也有三个层次： 有零元的差分集；消去的有零元的差分集；正的消去的有零元的差分集( 即广义 差分偏序集) ( 【2 6 】) 差分偏序集就是有界的广义差分偏序集对于有零元的差分 集，如果每个元素对应于不同的零元，那么它就成为了差分集( 【2 7 】) 如果差分集 没有任何零元，那么它就包含了本段所有的模型， 如果将差分偏序集进行非交换推广，得到的就是伪差分偏序集( 3 0 ，【3 1 】) ； 如果伪差分偏序集无界；那么它就成为广义伪差分偏序集( f 3 2 ) ；广义伪差分偏 序集也可以看作是广义差分偏序集的无界推广去掉广义伪差分偏序集的正性 与消去性，它就成为了一个有零元的双差集；如果对应于不同的元素有不同的零 元；那么就得到了双差集( 【3 3 】) 如果双差集没有任何零元，那么它就包含了本段 所有的模型 第一章绪论 对于上面提到的所有模型，我们可以将他们分为两大类：用和运算0 定义的 模型和用差运算e 定义的模型如果上述所有模型对于其中的运算都有消去律 成立，那么我们可以象效应代数那样通过( d ) 式由加法。来定义减法e ，又可以象 差分偏序集那样通过( s ) 式由减法e 来定义加法o 从而我们可以建立类似于定 理1 1 2 1 3 的结果例如，我们有：广义效应代数等价于广义差分偏序集( 【2 3 1 ) ；伪 效应代数等价于伪差分偏序集( 【3 0 】，1 3 1 】) ；广义伪效应代数等价于广义伪差分偏 序集( 1 3 2 】) 我们可以用下面的集合包含关系来表示上面所叙述的内容： 效应代数c 广义效应代数( 正的消去的部分a b e l i a n 半么群) c 消去的部 分a b e l i a n 么半群c 部分a b e l i a n 么半群c 部分a b e l i a n 半群 差分偏序集c 广义差分偏序集c 差分集 效应代数c 伪效应代数c 广义伪效应