（应用数学专业论文）裁元齐次moran集的hausdorff维数.pdf

太原螋1 人学坝允生学位论义 栽元齐次m o r a n 集的h a u s d o r f f 维数 摘要 近几年，m o r a n 集作为一类典型的分形集，一直备受人们的广+ 泛关注， 由于m o r a n 集的复杂性，目前人们对m o r a n 集的研究还停留在齐次m o r a n 集上，仅获得了在逐阶压缩比下确界大于零时，齐次m o r a n 集的h a u s d o r f f 维数，填充维数；高维齐次m o r a n 集的h a u s d o r f f 维数；齐次m o r a n 集积集 的h a u s d o r f f 维数。 将齐次m o r a n 集迭代过程中的k 项序列集进行适当的裁剪后所生成的 集合称为裁元齐次m o r a n 集，由于裁元之后所得m o r a n 集己不是齐次的， 所以不能像齐次m o r a n 集那样定义质量分布，或者降阶补齐，也不能按针 对c a n t o r 集的办法来证明等价覆盖网。但它仍然具有一定的齐次性，仍可 用一定的方法进行处理而获得其h a u s d o r f f 维数。因此裁元齐次m o r a n 集的 讨论对一般m o r a n 集的研究有着十分重要的意义。 本文的主要工作： ( 1 ) 回顾了m o r a n 集的产生、发展和研究现状，介绍。j ，课题研究的背 景。然后给出了h a u s d o r f f 维数定义、性质以及研究的一般方法。接着又 介绍了一般m o r a n 集的构造、定义及其相关性质。在此基础上，给出了裁 元齐次m o r a n 集的定义 ( 2 ) 研究了将齐次m o r a n 集迭代过程中的k 一项序列集裁减为 太原删t 人学硕i 研究生掌位论义 6 = ( f 1 ，i t ) ：1 i ，n j , i ，2 且，j 3 除非i - 1 = 1 ， 2 七) ， 所确定的裁元齐次m o r a n 集茁，在行= 门，一2 = 疗，一2 = = 行，一2 = m 。， 一2 = 刀。一2 = = 胛：。一2 = m ：，且聊。 m ：的条件下，通过分析七一阶基本元 的个数及基本元的升降阶规律确定了该集类的h a u s d o r f f 维数为 dim，亩：一三一。g。!垒二二3厶三三三三萎圃。 ( 3 ) 研究了将齐次m o r a n 集迭代过程中的k 一项序列集裁减为 反= 撕，i ) n ：1 i j 刀j ，当i ，一1 = 1 时i 2 ，2 _ ，七) ， 所确定的裁元齐次m o r a n 集，在”。：疗，一1 ： ，一1 = = ”：川一1 = 册， 刀：一1 ：门。一1 = = 胛：。一1 = 坍：，且m 。 m 。的条件下，通过分析七一阶基本元的 个数及基本元的升降阶规律确定了该集类的h a u s d o r f f 维数为 dim，左：一圭，。g。(m,m2+m,+m2)+4至(m三乏,m孚三2二+三三m三,二+巫m2)2_4m,m2 关键词m o r a n 集，分形集，裁元齐次m o r a n 集，k 一项序列集，h a u s d o r f f 维数 太原堙丁人学硕f 彻宄生学位论义 h a u s d o i fd i m e n s i o no fs o m er e d u c e d ho m o g e n e o usmo r a ns e t s a bs t r a c t t h em o r a ns e t s ，ac l a s so ft y p i c a lf r a c t a ls e t s ，a r ev e r yi n t e r e s t i n gt ot h e r e s e a r c h e ri nr e c e n ty e a r s f o rt h ec o m p l e xo fm o r a ns e t s ，t h ew o r k so ft h e mi s s t i l lf o c u so nh o m o g e n e o u sm o r a ns e t sa tp r e s e n t t h eh a u s d o r f f d i m e n s i o na n d t h ep a c k i n gd i m e n s i o no fh o m o g e n o u sm o r a ns e t sa r eg i v e nw h e nt h el o w e r b o u n d a r yo ft h e r a t eo fc o m p r e s s i o ni s g r e a t e rt h a nz e r o ，t h eh a u s d o r f f d i m e n s i o no fh i g h e rd i m e n s i o n a lh o m o g e n o u sm o r a ns e t sa n dt h ep r o d u c ts e t s o fh o m o g e n o u sm o r a ns e t sa r ed e v e l o p e da ls o t h es e t st h a ta r ec o n s t r u c t e db yr e d u c t i o no f 七一s e q u e n c es e t si nt h e i t e r a t i v ep r o c e s so ft h eh o m o g e n e o u sm o r a ns e t sa r ec a l l e d t h er e d u c e d h o m o g e n e o u sm o r a ns e t s b e c a u s et h e ya r en o th o m o g e n e o u sm o r a ns e t s ，w e c a nn o ts t u d yt h e mb ym a s sd i s t r i b u t i o no rd e c r e a s i n go r d e ra n da d d i t i o n a lb a s i c u n i t s ，w ec a nn o tu s et h ew a yo fc a n t o rs e t st op r o v ee q u i v a l e n tc o v e rn e ty e t b u ts o m eh o m o g e n e i t yo ft h er e d u c e dh o m o g e n e o u sm o r a ns e t si ss t i l lh e l d ，t h e h a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h e m c a nb eg i v e n b y s o m em e t h o d s s ot h e 太原理丁人学颀j 研究生彳7 位论文 一 i n v e s t i g a t i o no fr e d u c e dh o m o g e n e o u sm o r a ns e t si s v e r yi m p o r t a n tt ot h e r e s e a r c ho fg e n e r a lm o r a ns e t s t h em a i nw o r k so f t h i sp a p e ra r ef o l l o w e d i t h eo r i g i n ，d e v e l o p m e n ta n dc u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o no fm o r a ns e t sa r e r e v i e w e d ，a n dt h eb a c k g r o u n do fr e s e a r c hi si n t r o d u c e d t h e nt h ed e f i n i t i o n ， p r o p e r t i e sa n dg e n e r a lr e s e a r c hm e t h o d so ft h eh a u s d o r f fd i m e n s i o na r el i s t e d t h ec o n s t r u c t i o n ，d e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so ft h em o r a ns e t sa r eg i v e n ba s e d o ni t ，r e d u c e dh o m o g e n e o u sm o r a ns e ti sd e f i n e d i i t h e r e d u c e d h o m o g e n e o u sm o r a ns e t 茁t h a ta r ec o n s t r u c t e db y r e d u c i n gk - s e q u e n c es e t si nt h ei t e r a t i v ep r o c e s so ft h eh o m o g e n e o u sm o r a n s e t st o z l = ( i f ，i k ) ：1 i ，2j ，i j 2a n di ，3 u n l e s s j ，一i = 1 ， 2 j 七j t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fi ti s g a i n e db ya n a l y z i n gt h en u m b e r sa n d i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g o r d e r s r e g u l a r i t y o fb a s i cu n i t sw h e r e 疗l2 ”3 2 = 以5 - 2 = = 挖2 i + l 一2 = 研l ，i v l 2 - 2 = 丹4 2 = ，= 2 女一2 = 棚2a n d川i 阴7 t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no f 蚕is d i m 村主= 一圭。g 。 掰i 掰2 +石藏f 赢瓦+ 4 ， i ii t h e r e d u c e dh o m o g e n e o u sm o r a ns e t 三t h a ta r ec o n s t r u c t e db y r e d u c i n gk - s e q u e n c es e t si nt h ei t e r a t i v ep r o c e s so ft h eh o m o g e n e o u sm o r a n s e t st o t 5 。= ( 0 ，) n n ，i ，2 a si ，一l = 1 ，2 j 足) i v 太原理t 人学颂1 1 - j ，t 生学位论义 t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fi ti s g a i n e db ya n a l y z i n g t h en u m b e r sa n d i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g o r d e r s r e g u l a r i t y o fb a s i c u n i t sw h e r e ，7 l = ，7 3 1 = 刀j 一1 = = ，7 2 膏+ l 一1 = ，竹l ， 2 1 = ，? 4 1 = = ，7 2 七一1 = ，”： a n d 所 ，7 7 ， t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no f 左i s a i m h 营一圭，。g 。 ( 1 聊2 + 埘i + 聊2 ) + 2 k e y w o r d s ：m o r a ns e t ；f r a c t a ls e t ；r e d u c e dh o m o g e n e o u s m o r a n s e t ；k - s e q u e n c es e t ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n v 声明户明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名： 趣鳋一 日期：冽z 一一 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 导师签名： 蕴趋呈虽 日期：迎盘! ： 太原理t 人学坝l 研究生学位论义 1 1 从自相似集到m o r a n 集 第一章绪论 自2 0 世纪7 0 年代关籍法国数学家m a n d e l b r o t 为了表征复杂图形和复杂过程将分 形( f r a c t i o n ) 这名词引入自然科学领域以来，它在数学、物理、化学、天文、地质、生 物、医学和金融等众多领域都获得了广泛的应用。近年来引起了人们广泛的兴趣，但迄 今为止，还没有一个严格的数学定义。最初m a n d e l b r o t 定义的分形是其h a u s d o r f f 维数 严格大于拓扑维数的集合。但这个定义不够精确、全面。英国数学家f a l c o n e r 在其 3 书中认为，分形的定义应以生物学家给出“生命”定义的类似办法给出。即不寻求分形 的确切简明定义而是寻求分形的特征，将分形看成具有如下性质的集合，： ( 1 ) f 具有精细结构，即有任意小的细节。 ( 2 ) ，是如此的不规则以致它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。 ( 3 ) f 通常有某种自相似性，可能是近似的或统计意义上的。 ( 4 ) 一般情况，f 的分形维数大于其拓扑维数。 ( 5 ) 大多数情况，以非常简单的方法定义，可能由迭代产生。 分形可以分为规则的和不规则的。在分形名词使用之自，j 的个世纪， 止莹数学家就 研究过不少奇异的、不光滑的集合，如1 8 7 2 年w e i e r s t r a s s 提出了一种处处连续f f 了处处 不可微的w e i e r s t r a s s 型函数；1 8 8 3 年c a n t o r 提出了c a n t o r 集：1 8 9 0 年p e a n o 构造出。 个能填充平面的p e a n o 曲线；1 9 0 4 年k o c h 提出了k o c h 曲线：1 9 1 5 年s i e r p i n s k i 提出 了s i e r p i n s k i 缕挚和海绵等。这些都是规则的分形图形，是数学家按定的圳则构迅m 来的，具有严格的自相似性，属于自相似分形集。自然界中的许多事物如连绵起伏f l ，j i l t 峦轮廓线；四通发达的江海河川：蜿蜒曲折的海岸线等也具有不光滑性和不规则性。这 类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，只存在于标度不变区域，超出杯度不变f x - 域自相似性不复存在，这类曲线为不规则分形集。 自卉甘似集1 2 - 4 1 是一类非常重要的分形集，它可以通过如下方式生成：设d 足尺“的 太原理t 人学硕 j 研究生学位论义 闭子集，s ：d 寸d ，s = s ，是，s ，。) 为一族凡“上的相似压缩，即对任意的r y r “， s ( x ) 一s c y ) l = c ，i x y l ，其中0 c ， 1 ( 1 i 所) ，若fcd ，满足f = u s ，( f ) ，则称 ，= j ，对s 不变或f 为s 的不变集。又称相似压缩映射族下的不变集为自相似集。该集类的 性质已被广泛而深入地研究。具体结果见文献 1 2 。 2 0 世纪9 0 年代以来，人们对自相似集进行了推广并研究了它们的性质。例如，文 5 对自相似集作了非线性推广，用共形映射代替相似映射得到切饼集并确定了它们一 些维数关系：用自仿映射代替相似映射得到自仿集，文 6 m c m u l l e n 讨论了非常特殊自 仿集的一些维数性质；m a u l d i n 和u r b a n s k i 7 1 分别将相似压缩族的元素推广到无限的情 形并作了深入的讨论；k e n y o n i s ，饶辉和文志英1 9 1 对不满足开集条件的自相似集的一些 典型情形作了讨论；p e s i n 与w e i s s 1 0 1 考虑了称为类c a n t o r 集的相当广泛的一类集合， 利用一致与非一致质量分布原理研究了保证类c a n t o r 集为正则集的条件；华苏一孙， m a r i o nf i = ；1 研究了广义自相似集与内自相似集并确定了该集类的h a u s d o r f f 维数与填充维 数：文献 1 4 1 8 分别将自相似集推广到某些随机的情形；d e k k i n g1 1 9 i ，m a r i o n1 2 0 l ， m a u l d i n 与w i l l i a m s t 2 1 1 把自相似集推广为图递归集；f a l c o n e r 2 2 1 推广为上自相似集与下 自相似集。从自相似集的生成方式上，我们还可以从以下几个方面进行更一般的推广 1 2 3 1 ： ( 1 ) 在逐阶构造中，开集条件满足但基本元的相互位置可以任意改变； ( 2 ) 逐阶压缩比可以改变： ( 3 ) 压缩比的下确界可以为零。 具有上述性质的集合称为m o r a n 集。 1 2m o r a n 集的研究现状 设jcr t 7 为内点非空的有界闭集。 仇) 必为一币整数序列( 仇2 ) ，= ； 为 太晾堙t 人学坝f “奶t 乍学位论义 列有限f 实向量序列，其中0 。= ( c ，c 帆) ，c 钉1 ， 七n 。设 l ，蔓，1 f = ，。：o - d ) 为r 。的子集族，称f 满足m o r a n 结构，如果它满足下列m o r a n 结构条 ( 1 ) 也= ，； ( 2 ) 对任意仃d ，集，几何相似于j ，即存在相似映射s 。：r 7 寸r “，使得 j 。= s 。( j ) ； ( 3 ) 对任意尼o 及任意盯b ，川，j 。为厶的子集，并且对任意i ， i n t ( d 州) f l i n t ( j 叫) = 矽( 亦即满足开集条件) ； ( 4 ) 对任意七1 ，盯。( 1 ) ，有= t id 丌a , i 。 若f c zr d 满足m o r a n 结构，令毛= u ， 口晓 e = n e 。，非空紧集e = e ( f ) 称为结 七2 0 合集族f 的m o r a n 集。若c h = c ，集e 称为齐次m o r a n 集。 近几年，人们对m o r a n 集的性质进行了大量的研究。例如，h a t a ，p e s i n 与w e i s s l 。l 考虑了变尺度m o r a n 集的某些特殊情形；m a u l d i n 与w i l l i a m s l 2 。i 考虑了逐阶压缩尺度不 变的m o r a n 集的结构与维数。在m o r a n l 2 4 1 首先对m o r a n 集的某些特殊情形进行了研究 之后，齐次m o r a n 集引起了人们的广泛兴趣。华苏i 5 1 与m a r i o n l 2 6 1 确定了在逐阶口i 缩比 下确界大于零时，研究了称为广义自相似集的齐次m o r a n 集的特殊情形并确定了该集 类的h a u s d o r f f 维数，华苏与李文侠l i 2 确定了该集类的填充维数；丰德军，饶辉与吴军 1 2 7 考虑了一类重要的齐次m o r a n 集，称为齐次c a n t o r 集并确定了它们的h a u s d o r f f 维 数。瞿成勤，苏维直与许勇m 1 讨论了高维齐次m o r a n 集的h a u s d o r f f 维数。 ：德v ，文 志英与吴军眇1 研究了齐次m o r a n 集的一般性质。饶辉，文志英与吴军1 3 0 1 利用网测度技 太原理t 人学坝i 。研究生孚位论义 巧确定了在逐阶压缩比下确界等于零时齐次m o r a n 集维数。黄精华1 3 q 利用网测度技i j 确定了齐次 f o r a n 集积集的h a u s d o r f f 维数。将齐次m o r a n 集迭代过程中的足项序列集 d 。= ( “，i 。) ：1 i ，刀，1 j k ) 进行适当的裁剪后所生成的集合称为裁元齐次 m o r a n 集，由于裁元之后所得m o r a n 集已不是齐次的，所以不能像齐次m o r a n 集那样定 义质量分4 - 1 3 6 1 ，或者降阶补齐p 6 1 ，也不能按文献 3 5 针对c a n t o r 集的办法束证明等价 覆盖网。但它仍然具有一定的齐次性，仍可用一定的方法进行处理而获得其h a u s d o r f f 维数。钟婷和杨竹锌1 3 2 1 将齐次m o r a n 集迭代过程中的k 项序列集裁减为 o k = ( f 1 。，) ：1 i 刀j ，2 除非i ，一1 = 1 ，2 尼) ， 利用基本元的个数及基本元的升降阶规律确定了该裁元齐次m o r a n 集的h a u s d o r f f 维 数。因此裁元齐次m o r a n 集的讨论对一般m o r a n 集的研究有着十分重要的意义。 1 3 本文的主要工作 本文所做的主要工作有以下两个方面： ( 1 ) 研究了将齐次m o r a n 集迭代过程中的k 一项序列集裁减为 厦= 地，i ) ：1 i j 1 3 i ，2 j ；t i ，3 除非i ，1 = 1 ，2 七) ， 所确定的裁元齐次m o r a n 集e ，在胛i = 胛3 2 = 刀5 2 = = 刀2 川一2 = m 1 ， 玎二一2 = 门。一2 = = 疗：。一2 = m ：，且聊， 0 ，令 ；( ) = i n f fu ，i - u ， 俐为的万一覆盖 j i 这里的i n f 表示对e 的所有万一覆盖取下确界。 注意到作为艿的函数，；( ) 单调菲减，从而当6 专o 时，它就趋于极 h ( e ) = 汕l i r a 。h l ；( ) ，、( ) 称为e 的s 一维h a u s d o t f f 测度，它的值可能为o ，l f 有限， 或正无穷。如果o 0 ，使得 d 2 ( 厂( _ ( ) ，( y ) ) c ( d 。( x ，j ，) ) 。x ，y e 则称f 满足口阶h 6 1 d e r 条件。如果口= 1 ，则称为李普希兹映射。如果存在常数c 0 ， 使得 c d ( x ，y ) d 2 ( ( z ) ，厂( 少) ) c d i ( 工，y ) ，x , y e 则f 称为双李普希兹映射。 容易看到，若满足口阶h 6 1 d e r 条件，则厂为连续映射。特别，若为双李普希兹 映射，则f 为单射，从而厂一存在。 命题2 1 11 4 1 设ecx ，：e 寸x 2 满足a 阶h 6 1 d e r 条件，则对任意j 0 ，宵 何形( ( e ) ) f 。一h 、( ) 命题2 1 2f 4 1 设0 s ， o ) = s u p s ：、( e ) = 0 0 ) 。 7 太原理t 人学坝 研究生学位论义 = i n f s ：h ( e ) o o ) = i n f s ：、( e ) = 0 ) 下面是h a u s d o r f f 维数的性质。 命题2 1 3 4 1 设ecx ，若h ( ) 0 ，则d i m ，e s ； 若0 h 5 ( e ) 0 ，使( u ) cui 对所有满 足iul 万的集u 成立，则h ( e ) a ( e ) c ，且，d i mhe 下面是求h a u s d o r f f 维数自相似方法。 命题2 2 3 f 3 1 假设丌集条件对压缩比为c ，( 1 i 所) 的r ”上的相似变换s ，成立，如 果f 是不变集，它满足：f = u s ，( f ) ，0 爿( f ) 0 时，d i m e = s ， d i m b e = d i m 。e = s ，并且 酞邯p 吣b 凹f 荟 ，。r 0 尸( e ) o 。0 l i ms u p i 。r o 。 k _ 。 o e | ) 3 ) 如果s u p 捌 7 ， d i m he = s ，d i m 片e = d i m 尸e = s 4 ) 如果l i r a l n d i 并且o i 捌n f f ，m a 轨x l c t _ s u p m a 如x 。 c 幻) 1 ，那么 = 0 ，那么d i m he = s ，d i m b e = d i m ，e = s 有关一般m o r a n 集的性质可参看文献 4 ， 2 3 j 和 3 4 太原理t 人学坝l d i 究生：= ；j 位论义 第三章裁元齐次m o r a n 集的h a u s d o r f f 维数i 文 3 2 是将齐次m o r a n 集迭代过程中的k 项序列集 裁减为 d l = ( i i ，i ) ：1 i ，刀，1 j 七 6 = ( j ，i ) ：1 f y j , 2 除非i j 一1 = 1 ，2 尼) ， 并通过分析k 阶基本元的个数及升降阶规律确定言的h a u s d o r f f 维数。实际上，文 3 2 所讨论的裁元齐次m o r a n 集是在齐次m o r a n 集的迭代过程中去掉一个基本元而得剑的 集合，很自然的问题就是：我们可以在其迭代过程中去掉两个、三个、甚至 个基本元， 那么所得到相应的裁元齐次m o r a n 集是否可以用文 3 2 的方法得到类似的结果呢? 回 答是肯定的。本章只讨论去掉两个的情形的裁元齐次m o r a n 集并得到类似文 3 2 的结 果。 3 1 定义 定义3 1 1 仇3 时，如果将齐次m o r a n 集e ( j ，甩。，c i ) 构造过程中的j i 项序列集 d 。裁减为： 厩= ( ( ，) n ：1 f ，t l j , i ，2 4 i ，3 除非i ，一，= 1 ，2 歹s 女) ( 3 1 。1 ) 令巨= u 。，那么= ( ，胛。，c 。) = n 巨称为由序列 仇) 捌和 q ) 川确定的裁元齐次 c r e d t 2 0 m o r a n 集c = ，。：万西。) 称为三的k 阶基本元 下面我f f j i , - 论云的h a u s d o r f f 维数。 3 2 集三的k 阶基本元的个数 通过取三的k 阶基本元作为覆盖类即可得到h a u s d o r f f 测度的上界，从而确定它的 太原埋t 人学坝i 川究生学位论义 h a u s d o r f f 维数上界的关键是确定e 的k 阶基本元的个数。集左的k 阶基本元的个数也是 巨的k 项序列集( 札i ：，i 。) 的个数，对此有： 引理3 2 1( 3 1 1 ) 式定义的k 项序列集个数 id 。= f ( i 。i ! i 。) 满足： 其中， a 1 = ，z 1 ，口，= ( 门， 所以 而 证明 因此 即 所以 j f d 5a 1 a 2 口 一2 ) + 2 ，：2 3 ，七 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 记乏为 1 , 2 ，珞) 中不等于的数，由( 3 1 1 ) 式有： 群( i ，i ，1 ，2 ) = 0 j | ( n i 2 ，i ，1 3 ) = 0 拌( ，i 2 ，2 ，1 , 2 ) = 群( i- ，i h ) # ( i i ，i 2 ，i t 一2 ，1 , 3 ) = f ( i 1 ，i 2 ，- ，j 一2 ) 拌( 0 i 2 ，i h ，2 ) = 撑( i i ，i 2 ，i h ) j f j ( f l ，i 2 ，i t i ，3 ) = f ( i i j i ! ，i 一2 ) f ( i l ，i 2 ，i 川，2 且3 ) = ( 0 i 2 ，一1 ) ( ，7 一2 ) f ( 0 i 2 ，i ) = ( “i 2 ，i ，2 且3 ) + ( 0 i 2 ，i 川：2 ) + ( 0 f ：，i k _ 1 , 3 ) = ( 门i 一2 ) f ( f l ，i 2 ，i 一1 ) + 2 - # ( i l ，i 2 ，! t 一：) 群d = ( ，7 一2 ) f d t l + 2 - f d 太原堙t 人学坝i 埘究生学位论义 了# d k ：( 玎一2 ) + 群d k l “ 2 j ! j d t l # 域一2 ( 一2 ) + 2 ( ，7 一l 一2 ) + 2 ：f ；d 一2 拌d 一3 从而有 # 西i = 口i # 西t l = a k 盘一1 f 西一2 = = 口口i l 口l 引理3 2 2 对于由( 3 2 2 ) 式确定的臼，( = 1 ，2 ，七) ，如果 刀l = 刀3 2 = 刀5 2 = = 刀2 七+ l 一2 = 7 ”i ， 门2 2 = 疗4 2 = = 胛2 t 一2 = ，竹2 ， 且历i 聊2 贝0 有( 1 ) a l 口3 a 5 m l + 1 m 2 a 6 a 4 a 2 ( 2 ) a i 口2 a 3 a 4 a 5 a 6 s 口2 a 6 口7 a 4 口5 a 2 a 3 ( 3 ) 堕 口 其中口是： ，口1 口t 、：一 口 j i ma k a 川= m l m 2 +石磊f 丙两+ 4 2 证明：( 1 ) 由( 3 2 2 ) 式得 2 2 口 ：臼2 的算术平方根 ( 3 2 3 ) ，)7 旷钆z ”2 ) + 云一n t _ 2 - 2 ) 一翥 同理， a h a 川 口 一口一2 2 22 2 口 一la k 一3口 一i 臼t 一3 2 a k 一2 a k 一4 4 ( a 一2 一d 一4 ) a k _ i a k 一2 a k 一3 a k 一4 ( a 2 一口 1 4 口 - i ) ( k 4 ) ( a ) ( b ) ( 露5 ) ( c ) 太腺堙t 人学倾l 川究生学位论义 当k = 4 时，由( a ) 得 ，) a 4 一a 2 = 二( 口l a 3 ) = 口1 口3 即0 1 a 3 ，a 4 a 2 由( c ) 式递推下去有 一( 刀，一2 ) 一三】：一 口2 口l 口3 口5 a 2 k + l a 2 k a 4 口2 4 a i 口! 臼3 又由于口2 t + 1 = ， 1 + 二 m 1 + 1 ， 小1 ，竹2 ， ，1 a 2 ka 2 k i a 1 a 3 a 5 m 1 + 1 m 2 d 4 口2 ( 2 ) 因为奇数项序列 a ：川) 单调递增有上界，所以 即 解得 2 仉2 m l 十丁 蜥2 + 一 a a 。= l i ma 2 + l = k 朋i 朋2 +拓丽丁丽 2 m 2 同理可得，偶数项序列 口：。) 的极限为： = j i ma 2 = 因此 口。) 的排序为： 所l m 7 +石瓦f 蕊而 2 m 2 = l i m i n f a = l i ms u p a 0 故有 日l d 3 日5 - a 口+ 臼6 口4 口2 ( 3 2 4 ) 刀 一 ，)2 一一 一日 2 +m +所 m 帅 i_ ，i = 膏 d m 抑1 i1 j 女 足满在存 口 = 七 口 m 太原理1 人学坝i 。硎可i 生彳位论义 因为0 2 k 口2 川= a 2 ( m l + 口2 t l 口2 t 2 a 2 一j ( 坍2 + 3 l ) ：m l q 2 k + 2 的增减性j ：j 序列 臼：。) 相同， 臼2 序可得 口。a 川) 的排序为： + 2 的增减性j 序列 口! 川) 相同所以按 吼】的排 a l a 2 口3 口4 a s a 6 a 6 a 7 a 4 a 5 a 2 a 3 ， 且 ! i m 口2 口2 t + i = 脚l ! i m 口2 t + 2 = 朋l 口+ 2 = r _ c o m i 聊2 +4(。m。i。m。e。)。2。+。8。m1。1；。m。2+4 ：i 。m 。a 2 一l 口2 2 历21 i 。m 。a 2 t l + 2 = m 2 a o + 2 = 可见，对于任意k ，l i ma k a 川= 丘 聊1 m 2 + 聊l m 2 + 2 石瓦f 鬲画+ 4 2 4(m。ira。2。)。2。+。8m。l。m。2+4 2 = ：口2 存在。从而有 口l 口2 口3 口4 a 5 口6 口2 口6 口7 a 4 口5 a 2 口3 ( 3 2 5 ) ( 3 ) 当k 为偶数时，由( 3 2 5 ) 式 业：埤警半 ! l ! 兰 一= 一一一一。一 a 2 a a 2a 2 aaa 再由( 3 2 们 “q 。故詈，a 2 k 篙2 导 同理，当k 为奇数时，由( 3 2 5 ) 式 ! ! ：坠! ! ：鱼垒a 3 a 4 a _ 2 k _ l a ，k 生丝 a 2 k + l ， 臼2 k + l a 2a 2 a ? aa 由( 3 2 4 ) 她川 “口，故掣 号2 等 综埔r n a l 学 1 a口 3 3 言的基本元之升降阶规律 一般地，对于齐次m o r a n 集h a u s d o r f f 维数下界估计可通过构造适当的质量分布 来确定。但本章所讨论的裁元齐次m o r a n 集已不是齐次的，不能直接利用质量分伟，根 据裁元集的特点，可通过一定的升降阶方法来弥补其不足，获取覆盖的下界。为此我们 首先讨论基本集的升降阶规律变化。 以下总假设 ) 榭满足引理3 2 2 条件，( q 捌是正常数列，i f _ l 其中1 f 表示直 径。e 是这样的 件) 捌和慨) 捌确定的裁元齐次m o r a n 集设s = 一l o g 。a ，这罩a 仍由 ( 3 2 3 ) 式确定，c = 吼 对于丘的自然覆盖网疋。= ，。：1 7 西：。) 和疋川= 。：巧西：川) ，有 引理3 3 1 + ( 左) ( 营) ，即：忆i 、 i ，e ，j 1，。，。j 证明：由( 3 2 4 ) 知a 2 川 臼 三时，下列不等式都