（基础数学专业论文）一些包含smarandache函数性质及均值问题.pdf

中文摘要 著名的美籍罗马尼亚数学家f s m a r a n d a c h e 教授在他的 o n l yp r o b l e m s ， n o ts o l u t i o n s ! 一书中，他提出了1 0 5 个关于数论函数和序列的未解决问题和 猜想很多专家学者对此进行了深入的研究，也取得了不少具有重要理论价值 的研究成果，同时这些未解决问题极大地激发了数论爱好者对它们的研究兴趣 本文利用初等和解析方法研究了一些新的s m a r a n d a c h e 函数和序列的性 质，同时也给出了一些相关的恒等式和渐近公式具体地说，本文的主要成果包 括以下几个方面： 1 用初等方法研究了一个关于s m a r a n d a c h e 商函数列 q ( n ) ) 的无穷级 数的性质 2 用初等和解析方法研究了一个包含s m a r a n d a c h e 函数e 孑( n ) 和r i e m a n z e t a 函数的无穷级数之间的关系，并给出了一个相关的渐近公式 3 利用分类的思想以及解析的方法研究了一个关于包含s m a r a n d a c h e 二 重阶乘函数s d f ( n 1 的均值问题，并得到了一个有趣的渐近公式 关键词 s m a r a n d a c h e 商函数，无穷级数，渐近公式，均值，初等方法 a b s t r a c t ( 英文摘要) a sw ea l lk n o w ，a m e r i c a n r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n - d a c h ep r e s e n t e dal o to fu n s o l v e dp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e so ns m a l a n d a c h e f u n c t i o n s i nt h eb o o k “o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ，1 0 5u n s o l v e da r i t h - m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sw e r ep r e s e n t e d a l t h o u g hm a n yr e s e a r c h e r s a n s w e r e dt h e s eu n s o l v e dp r o b l e m sm o s t l y , a n do b t a i n e ds o m eg o o dv a l u e dr e - s u l t sa b o u tp r o b l e m so nt h e o r i e s ，m a n yu n s o l v e dn e wp r o b l e m ss t i l le x i s t a tt h e s a m et i m e ，m a n yp r o b l e m sh a v eg o o dv a l u e so i lt h e o r i e sa n da l lo ft h i si n s p i r e t h er e a d e r si n t e r e s t i n ge x t r e m e l y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，e l e m e n t a r ya n da n a l y t i c a lm e t h o d sw e r ea p p l i e dt od e - l i b e r a t es o m en e ws m a l a n d a c h ef u n c t i o n sa n dt h ea r i t h m e t i c a ls e q u e n c e sw h i c h w e r eg i v e ni nt h eb o o k “s e q u e n c e so fn u m b e r si n v o l v e di nu n s o l v e dp r o b - l e m s a tt h es a 江l et i m e ，s o m er e l a t e di d e n t i t i e sa n da s y m p t o t i cf o r m u l a s w e r eg i v e n t h em a i np o s i t i v er e s u l t sc o n t a i n e di nt h ed i s s e r t a t i o na l e ： 1 i ti sv e r ys i g n i f i c a n tt od e l i b e r a t es o m ei n f i n i t ys e r i e s i nt h i ss e c t i o n ，t h e p r o p e r t i e sa b o u ti n f i n i t ys e r i e si n v o l v e di nt h es m a r a n d a c h eq u o t i e n t ss e q u e n c e 【q ( n ) ) a l es t u d i e d ，a n dw ea l s og a v ea si d e n t i t yi n v o l v e di nt h es m a l a n d a c h e q u o t i e n t ss e q u e n c e 2 m e a nv a l u ei sv e r yi m p o r t a n ti nn u m b e rt h e o r y w eu s e de l e m e n t a r y m e t h o d st od i s c u s st h em e a nv a l u ea b o u tt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n s 锣( 礼) a n dr i e m a nz e t af u n c t i o n ，a n dw ea l s oo b t a i n e ds o m ei n t e r e s t i n gi d e n t i t i e sa n d a s y m p t o t i cf o r m u l a 3 i nt h i sp a r t ，a ni n t e r e s t i n gm e a nv a l u ef o r m u l aa b o u tt h es m a l a n d a c h e d o u b l ef a c t o r i a lf u n c t i o ns d f ( n ) w e r es t u d i e d w eu s e da n a l y t i cm e t h o d st o o b t a i na ni n t e r e s t i n gm e a nv a l u e 1 1 k e y w o r d s s m a r a n d a c h eq u o t i e n t ss e q u e n c e ，i n f i n i t ys e r i e s ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ，m e a n v a l u e ，e l e m e n t a r y m e t h o d 1 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：击：! ! 玺指导教师签名：豺爻鹏 少抄年多月侈日 功| | o 年6 月f 弓e l 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 亡巴 思。 如若篓警售警孚如孳如| 口年占只l 弓b 西北大学硕十学伊论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 数论最初也叫整数论，是研究数的规律以及整数性质的学科它与几何学 一样，是最古老的数学分支数论的研究对象虽然始于最简单不过的整数，但却 拥有最丰富不过的内涵数论常常可以给人们提出很多需要高智商才能解决的 问题在人类数学发展史中，数论有着举足轻重的地位如果把数学比作是科学 的桂冠，那么数论则是桂冠上的明珠 在数论中，很多问题都可以表示为数论函数来加以讨论，因此说数论函数 是一类非常重要的函数所谓数论函数是指当自变量礼在某个整数集合中取值 时，因变量取实数值或复数值的函数y = ，( n ) 数论的一个主要内容就是探讨数论函数的各种性质在数论研究中，对函 数的均值讨论有着非同一般的意义数论中许多悬而未决的难题与这些均值关 系密切，虽然许多数论函数的单独取值没有明显规律性，但其均值f ，( 佗) 却 n s z 有着出人意料的规律可循所以说数论函数的均值是刻画函数性质的一个重要 指标 4 1 罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个关于特殊序列，算术 函数的未解决问题和猜想【2 】2 许多数论专家对s m a r a n d a c h e 问题表现出极大的 兴趣并对其进行深入的研究，取得了丰硕的成果例如c o m m e n t sa n dt o p i c s o ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ) 一书中，k e n i c h i r ok a s h i h a r a 教授提 出了许多与s m a r a n d a c h e 函数相关的数论问题，也介绍了有关的研究进展罗 马尼亚的l u c a 教授，日本数论专家金光滋教授，印度的c h a r a b o r t y 教授和意 大利的p a p p a l a r d i 等国外数论专家都在研究s m a r a n d a c h e 问题；在国内，张文 鹏教授、徐哲峰博i ： 1 4 - 1 6 】等在s m a r a n d a c h e 函数的研究方面也取得丰硕的成 果这些都极大地激发了我们对s m a r a n d a c h e 问题的研究热情 1 第一章绪论 1 2 主要成果和内容组织 本文用初等和解析的方法对一些新的数论函数如s m a r a n d a c h e 函数 进行研究，主要研究了s m a r a n d a c h e 的商函数序列的一些性质，和一个包 含s m a r a n d a c h e 函数e 孑( 佗) 的均值问题以及一个关于s m a r a n d a c h e 二重阶乘 函数s d f ( n ) 的均值问题内容分布在第四至六章具体来说，本文的主要成果 和内容组织如下： 1 第四章用初等方法研究，并给出了一个关于s m a r a n d a c h e 商函数 列 q ( n ) ) 无穷级数的性质 2 第五章用初等和解析的方法研究了一个包含s m a r a n d a c h e 函数e 孑( n ) 和r i e m a nz e t a 函数的无穷级数之间的关系，并给出了一个渐近公式 3 第六章研究了一个关于包含s m a r a n d a c h e 二重阶乘函数s d f ( n ) 的均 值问题，并得到了一个有趣的等式 2 西北大学硕1 二学位论文 2 1数论概述 第二章数论发展史 最早的数论问题可以追溯到巴比伦时代泥板勾股数，毕达斯学派也明确开 展了关于数论的研究，他们对整数及其性质做过较为彻底的研究此后古希腊 时代的数学家也提出和应用关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念【1 1 】 古希腊数论在丢番图的算术中达到了它当时的项峰，同时在我国古代， 许多数学名著如周髀算经、孙子算经、数书九章等都阐述了数论 里有关最大公约数、勾股数组、不定方程整数解等一些基本问题之后随着对 数论里这些基本问题的深入研究，数学家们取得了有关整数性质更深层次的理 论成果，数论的基本理论因此得以逐步地完善 尽管就整数的性质而言数学家们做过大量的研究，同时也取得过卓越的成 果，但是数论在十九世纪前还是没有完整的形成统一的学科因为在当时的算 术著作中，还仅仅只是孤立地记载着这些研究成果在算术研究这本书中， 高斯把过去人们研究整数性质所用的记号标准化，比如引进了同余符号高斯 还系统化了存在于当时各个著作中的定理并且进行了推广，系统的分类和归纳 当时研究的问题以及采用的方法，从而发展成了新的方法，并确定了现代数论 许多课题这些直到今天都是我们研究的方向高斯在这一著作中提出了同余 理论，还发现了著名的二次互反律，被其誉之为“数论之酵母 【1 1 】 在近代的几个世纪，整数理论吸引着许多伟大的数学家如费马、欧拉、黎 曼，高斯、狄里克雷等他们对数论问题提出了许多新的看法，其理论研究的贡 献使数论成为数学中最有魅力的一个分支，从而极大地推动了数论的发展费 马提出了很多猜想，开拓了近代意义上的数论 我国在上世纪也涌现出不少著名的数学家诸如华罗庚在华林问题，闵嗣 鹤在m o r d ei i 定理的推广，王福春在黎曼s 函数上的研究都取得了很多有价值的 成果特别是陈景润在1 9 6 6 年对“歌德巴赫猜想”取得y ( i + 2 ) 直到现在还是 3 第一：章数论发展史 世界上此问题最好的结果人们称赞陈景润的论文是解析数学领域中的骄傲， 是筛法的光辉顶点【2 2 】 此后，伴随着研究数学工具的不断深化，数论开始和几何紧密地联系在一 起它们将从前的许多的研究方法和研究观点统一起来，融合了数论、代数、 几何的知识，从更高的观点出发，进行探讨和研究 伴随着人们对数学的进一步的认识和计算机科学的迅猛发展，数论在这些 领域里有了更广的使用如在计算方法、代数编码、组合论以及信息论等学科 中，都广泛应用了初等数论的基本理论，同时也使得这些学科有了长足的发展 数论的一个很重要的结果表明，素数是正整数的乘法结构的基石正整数 素因子分解是数论中的一个很重要的核心问题用目前最先进的技术，可以很 容易找到几百位长的素数但要把同样长的整数因子分解，连当今速度最快的 计算机都还不能胜任于是，找出大素数和分解大数在时间上的强反差是如今 一种很重要的被称为r s a 密码系统的基础，要明白这种密码系统就必须要懂得 一些数论的基础知识【2 0 1 这使得数论除本身理论的优美之外，还成为解决实际 问题的一种重要手段 2 2 数论的分支 随着数学的发展和人们对数论的进一步认识，按照研究方法的差异，分为 初等数论、代数数论、几何数论以及解析数论等这也构成了数论的基本内容 一初等数论 初等数论顾名思义是用初等以及朴素的方法去研究数论最主要的工具包 括整数的整除理论、同余理论，此外它也包括了连分数理论和少许不定方程 本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上其重要的结论包括算数基 本定理、欧拉一费马定理、二次反转定理、中国剩余定理、勾股方程的商高定 理和费马小定理等初等数论不仅是研究纯数学的基础，同样也是许多学科的 不可或缺的理论工具 4 西北大学颐 ：学位论文 二解析数论 简单的说，应用分析的方法来解决数论问题就被称作解析数论具体来说 它由加性数论与积性数论两类构成加性数论是研究整数的加法分解的可能性 与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题而积性数论则是由研究积性 生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个 领域中最著名的古典成果解析数论常常被称作是用来解决数论中未知问题的 强有力的工具【2 0 1 其方法除了圆法、筛法等等之外，也包括和椭圆曲线相关的 模形式理论等等 三代数数论 代数数论是将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代 数数域，是用代数结构的方法研究数论于是相应地就建立了素整数、可除性 等概念其中的一个主要课题就是关于代数整数的研究，目标是为了更一般地 解决不定方程求解的问题代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类整环 的性质，比如在给定整环上是否存在算术基本定理等等 四几何数论( 数的几何) 几何数论主要在于通过几何观点研究整数( 格点) 的分布情形，是由德国数 学家闵可夫斯基等人开创和奠基的最著名的定理为闵可夫斯基定理，对于研 究二次型理论有着重要作用空间格网是由全部整点构成的组，它对于几何学 和结晶学有着深刻的影响由于所涵盖的问题繁多，想要深刻研究几何数论除 非具有深厚的数学基本功1 2 0 1 5 第三章预备知识 第三章预备知识 为了完成后面几个问题，以下介绍一些与之相关的基础知识 3 1 几个函数 1 可乘函数 定义：若f ( x ) 是一切正整数上都有定义的函数，并且具有以下两个性质： ( 1 ) 有一正整数a 使得函数值f ( a ) o ； ( 2 ) 对于两个互质的正整数a l ，a 2 来说，f ( a l a 2 ) = f ( a 1 ) f ( a 2 ) ， 则f ( x ) 叫可乘函数 定理：若函数f ( x ) 满足f ( 1 ) = 1 ，则，是可乘的当且仅当 ，( p a 卜霹) = ，宇1 ) ，0 笋7 ) ， 小，= p ，圣三一； p ( 孔) = 7 1 ， 西北大学硕仁学忙论文 为n 的约数的q 次方幂的和 除数函数( 扎) 也是一个可乘函数 当n = 0 ，a o ( n ) = d ( n ) 代表佗的约数的个数，即有 d ( 佗) = 1 d i n 3 2 几个基本渐近公式 定理【1 1 ：如果z 1 ，则有 ( 1 ) 寺- - l o gz + c + d ；1 ) ，其中c 是欧拉常数； ( 2 ) 嘉= 菩三+ ( ( s ) + d ( z 叫) ，其中( ( s ) 是r i e m a n z e t a 函数， 且当s 1 时，有( ( s ) = 石1 ， 当。 o f 铲 j ：一 l 1 ； 一n + 1 x w , - 雨+ 0 ( z a ) ，如果q 3 3e u l e r 求和公式 定理【1 】= 如果，在区间 y ，。】上有连续的导数，7 ，其中0 耖 z ， 那么 ，(n)=zz，(t)出+(z(亡一m)厂(f)出ynz j ，暑， + ，( z ) ( z 】一。) 一，( 可) ( 暑， 一秒) 7 矿 m = 神 a 仃 篙 第三章预备知识 3 4a b l e 等式 定理【1 】：对任一数论函数n ( 礼) ，令a ( z ) = 。( n ) ，其中4 ( z ) = 0 ， n s z 当x 1 时，假设，在区间 y ，x 】上有连续的导数，其中0 y z ， 那z , 有 n ( n ) ，( n ) = a ( z ) ，( z ) 一a ( ! ，) ，( ) 一z za ( t ) 厂7 ( t ) d t y n xf 8 西北大学硕士学伊论文 第四章关于s m a r a n d a c h e 商函数的问题 4 1 引言及结论 在( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 这本书里：f s m a r a n d a c h e 教授介绍 了很多函数序列例如： 对任意正整数佗，著名的f s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 被定义为最小的正整 数m 使得nim ! ，即就是 s ( n ) = m i n m ：nim ! ，n e ) 该序列的前几项可表示为： s ( 1 ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，s ( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s ( s ) = 3 ，s ( 7 ) = 7 ，s ( 8 ) = 4 ，s ( 9 ) = 6 ， s m a r a n d a c h e 幂函数s p ( n ) 被定义为对任意正整数佗，有最小的正整数m 使得nim m ，其中m 和n 有相同的素因子即 s p ( n ) = 血n m ：nm m , me n , i p l i np = p i i i m p ) ， 其中n 表示所有自然数的集合 对于任意正整数佗，伪s m a r a n d a c h e 函数z ( n ) 定义为最小的正整数m ， 使得礼整除1 + 2 + + 仇，即 z ( n ) = m ；n m n ：住i ! 丛竺l 立) ， 其中n 表示所有自然数的集合 从定义可看出它的前几项为：z ( 1 ) = 1 ，z ( 2 ) = 3 ，z ( 3 ) = 2 ，z ( 4 ) = 7 ，z ( s ) = 1 5 ，z ( 9 ) = 8 ，z ( 1 0 ) = 4 ，z ( 1 1 ) = 1 0 ，z ( 1 2 ) = 8 ，z ( 1 3 ) = 1 2 ，z ( 1 4 ) = 7 ，z ( 1 5 ) = 5 ， 9 第f r q 章关于s m a r a n d a c h e 商函数的问题 对于任意正整数n ，s m a r a n d a c h e 商函数 q ( n ) ) 定义为最小的正整数七使 得n 忌是一个阶乘数即q ( n ) = m i n k ：佗k = m ! ) 例如从q ( n ) 的定义我 们可以看出q ( n ) 的前几项是： q ( 1 ) = 1 ，q ( 2 ) = 1 ，q ( 3 ) = 2 ，q ( 4 ) = 6 ，q ( 5 ) = 2 4 ，q ( 6 ) = 1 ，q ( 7 ) = 7 2 0 ， q ( s ) = 3 ，q ( 9 ) = 8 0 ，q ( 1 0 ) = 1 2 ，q ( 1 1 ) = 3 6 2 8 8 0 0 ，q ( 1 2 ) = 2 ，q ( 1 3 ) = 4 7 9 0 0 1 6 0 0 ，q ( 1 4 ) = 3 6 0 ，q ( 1 5 ) = 8 ，q ( 1 6 ) = 4 5 ， 关于s m a r a n d a c h e 商函数很少有人对它进行研究k e n i c h i r ok a s h i h a r a 【6 】 教授在他的著作里证明了对任意的素数p ，有q ) = ( p 一1 ) ! 即说明了该序列 含有无穷多个阶乘数 在本节，我们将用初等方法研究包含在s m a r a n d a c h e 商函数中无限序列的 性质，并给出了一个有趣的等式即就是以下定理 定理4 1 ：如果d ( n ) 表示d i r i c h l e t 除数函数，则有等式 警上：# 竺：亟型r !：r 竺：竺型 惫q ( 佗) 。佗差三( m 十1 ) ! + 如果q l ( 2 n - 1 ) 表示最小的正奇数，使得q l ( 2 n 一1 ) ( 2 n - 1 ) 是一个双阶乘 数最p q i ( 2 n - 1 ) ( 2 n - - 1 ) = ( 2 m 一1 ) ! ! ，这里( 2 m 一1 ) ! ! = 1 x3x 5 x ( 2 m 一1 ) 则对于序列 q l ( 2 n 1 ) ，我们有以下结论： 定理4 2 ：如果d ( n ) 表示d i r i c h l e t 除数函数，则有等式 霎ql(2n1 2 n14 薹黼2 m r ! ：2 r 竺绁竺! ! ! 鲁一) 。( 一) 。羞虿 (+ 1 ) ! ! 4 2 定理的证明 利用初等方法直接给出定理的证明 对于任意的正整数亿，设q ( 礼) = k 从q ( n ) 的定义，我们知道k 是最小的 正整数使得n k = m ! 因此k 一定是m ! 的一个因数这意味着忌lm ! ，并且 所有的k 的个数( 使得kl 仇! ) 是d ( m ! ) 1 0 西北大学硕一 ：学伊论文 另一方面，如果七i ( m 一1 ) ! ，并且q ( n ) 七，则所有的七的个数( 使 得七i ( m 1 ) ! ) 是d ( ( m 一1 ) ! ) 于是满足条件的后的个数( 使得后im ! 并 且七t ( m 一1 ) ! ) 是d ( m ! ) 一d ( ( m 一1 ) ! ) 即所有后的个数( 使得q ( n ) = k 并 且q ( n ) n = m ，! ) 是d ( m ! ) 一d ( ( m 一1 ) ! ) 从这些我们可以立刻得到： 礼= 1q ( n ) n + 0 0 ，7 l = 1 m = l =1+ + o 。 m = l 1 m ! 轷 q ( n ) n = m ! ) m ! # 型型二垡丛竺二! 塑 厶 m ! m = 2 。 d ( m ! ) m ! + m = l d ( m ! ) ( m + 1 ) ! ( m + 1 ) d ( m ! ) 一d ( m ! ) ( m + 1 ) ! m d ( m ! ) ( m + 1 ) ! 。 这里d ( m ) 是d i r i c h l e t 除数函数，并且轷【q ( n ) 佗= m l 表示满足等式q ( n ) n = m7 所有k 的个数这样证明了定理4 1 类似的我们证明定理4 2 ： + n = 1q ：( 2 n 一1 ) ( 2 n 一1 ) + + 0 0 m = ln = l ( 2 m 一1 ) ! ! q 1 ( 2 ，l 一1 ) ( 2 n - 1 ) = ( 2 m - 1 ) ! ! # 丝! 里! ! 兰2 二! ! ：! ! ! 二! 生! 兰竺二! 盥 名 ( 2 m 一1 ) 1 2 = 1 上 + t n = 1 + o o d ( ( 2 m 一1 ) ! ! ) 一d ( ( 2 m 一3 ) ! ! ) m = 2 d ( ( 2 m 一1 ) ! ! ) ( 2 m 一1 ) ! ! ( 2 m 一1 ) ! ! 一# 型兰竺二! 幽 ，急( 2 仇+ 1 ) ! ! ( 2 m + 1 ) d ( ( 2 m 一1 ) ! ! ) 一d ( ( 2 m 一1 ) ! ! ) ( 2 m + 1 ) ! 1 1 1 佃 佃 = 譬 = 第四章关于s m a r a n d a c h e 商函数的问题 。# m d ( ( 2 m 一1 ) ! ! ) 卅鼍群 m = l 、 这里d ( m ) 是d i r i c h l e t 除数函数，并且# q t ( 2 n - 1 ) ( 2 n 一1 ) = ( 2 m 一1 ) ! ! ) 表示满足等式q ：( 2 n 一1 ) ( 2 n 一1 ) = ( 2 m 一1 ) ! ! 所有k 的个数 这就完成了定理的证明 4 3 两个未解决的问题 问题一：该序列含有多少个素数方幂? 问题二：该序列含有多少个平方数，立方数， 西北大学硕i ：学位论文 第五章 一个包含s m a r a n d a c h e 函数e 罗( 佗) 的均值 5 1 引言 设p 是一个任意给定的素数，对于一个任意的正整数佗，函数e p ( n ) 表 示所有能够整除佗的素数p 的最大指数幂，即e p ( n ) = 口，p q n ，p c 。+ l t n f 。s m a r a n d a c h e 教授在文献【2 中建议我们研究函数列印( 礼) 不少学者都对这 个函数的性质进行过深入的研究，同时还得到了一些非常有用的结论参见文 献 2 4 ，2 5 刘燕妮【3 5 】研究了e p ( 6 ( n ) ) 的均值性质，其中b k ( n ) 表示n 的无七次幂部 分，并得到了一个渐近公式： 令p 是一素数，是任意一个整数，则对任意实数z 1 ，有 三删b k 酬= ( 南一筹) z + 。) ， 其中是任意固定的正数 吕川删用初等和解析方法研究了吻( n ) 妒( 礼) 和眵( 礼) 的渐近性质， n 1 时，有 5 2 定理的证明 n 。7 “j m ( ( c s p o s z ) 一f 上-_ n 2 = l p e ，工7 “j m ( ( ( s ) 一( ( s ) 专) ( ( s ) q 竹l p a s 1 4 ( 1 一专) 是筹 疃 哑 、lllij， 1 一硝 、，上州竺俨 星! 西北大学硕士学位论文 设 o n 仇 2 乙丽 n = 1 ， o n m = 色p 船 n 2 1 o n m =、 z n s n = - - 1p 1 则它是一个可算常数 + 。( 南薹学) + 0 c 耖妻r t = lr 刍蚓1 面l n x 广1 + o ( x 5i n m z ) 对于o 。( m ) 容易得出 并且有 p a sm ) 一1 = p 于是可得 叫啦薹筹， o1 1 n s ( 0 ) = 歹2 寿，n = lr r 0 0 o o n = 1 n 仃i ， 一l p n s 万n m 而一1 p ( n 一1 ) s 1 ( 佗+ 1 ) m p n 8 等+ 曝o o 尹+ 备 万钉m-1iq , + + 掣妻 歹- 一+ 呀1 笔 0 0 孓竺 z 一 s n n = lr n - i - ， p n 8 。 o o = 口5 ( m ) + c 二o sm 一1 ) + + c 署一1 a 。( 1 ) + a s ( o ) ， n 5 ( m ) = p ! - 一1 ( c 是口。( m 一1 ) + + c 嚣m - l a s ( 1 ) + 口。( 。) + 1 ) 1 5 坚矿 啮 竺护 _ ：；! 坐酽 啮 一 竺矿 脚 脚 工磊 一p - l 言f 1 8 第托章一个包含s m a r a n d a e 函数f f 竹) 的均值 容易得出 以及 于是由上可得 州1 ) = 两1 ( 去+ 1 ) = f 品可， 口。( 2 ) ，口s ( 3 ) ，口。( 4 ) ， n 1 和任意固定的正整数k ，有 渐近公式 羡c s 。f c n ，一p c 训2 = 普鑫+ k 而c x 3 + 。( 翥) ， 其中p ( n ) 是n 最大的素因子，且q 是可算的常数 徐哲峰博士【14 】提出了一个关于s ( n ) 的值得分布性质并得出了非常重要的 结论：对任意的实数x 3 ，有渐近公式 ( 跏) - p 肛攀33 + 。( 熹) n 1 ，和任意给定的正整数k ，有如下的渐近公式 薹( 泖一一( - 1 ) n + 3 跏，) 2 1c 妻惫+ 。( 禹) ， 其中( ( s ) 是r i e m a n nz e t a 函数，q 是一个可算的常数 6 2 几个引理 对于任意的正整数m 1 ，先将区间 1 ，m 】的所有正整数分成以下的几个 子集： a = n l p ( n ) 何，1sn 仇) ， b = n l n p ( n ) 何，1 佗仇 ， 1 8 西北大学硕士学位论文 c= 凡i n 尸1 尸( n ) 磊， 1 n m ， d = 【训p ( 佗) 佗i 1 ，1 n m 其中p ( n ) 表示扎的最大素因子 为完成定理的证明，需要几个引理 弓i 理6 1 ：若n a ，贝0 有s ( 礼) = p ( n ) ；若r , b ，则有s ( n ) = 2 p ( n ) ：若n c ， 则有s ( n ) = p ( n ) 证明：只证第一种情况，其它情况可类似的证明 设佗= 硝1 p 呈2 p 7 p ( n ) ，于是有p 芋1 p ；2 霹7 何 p ( n ) ， 即有p ip ( n ) ! ，r i = 1 ，2 ，r ，此时有nip ( n ) ! ，但是 p ( n ) t p ( 礼) 一1 ) ! ，因此s ( n ) = p ( 几) 引理6 2 ： ( 1 ) 若n a ，且2in ，则有s d f ( n ) = 印( 礼) ；若扎a ，且2 t n 则 有s d f ( n ) = p ( n ) ； ( 2 ) 若n b ，且设他= m p 2 ( 扎) ，其中p ( - ) t m ，则当2in ，有s d f ( n ) = 知( 凡) ；若n b ，且2 t n ，则有s d f ( n ) = 3 p ( 佗) ； ( 3 ) 若孔c ，且设n = m p l p ( 佗) ，其中p 1 是素数，且p i ，p ( n ) ，m 两两互 素，则当2l 几，有5 d f ( n ) = 劬( n ) ；若n c ，且2 t 九，则有s d f ( n ) = p ( n ) 证明：由s d f ( n ) 定义、性质，容易推得： 设n = p 芋1 硝2 霹7 p ( 礼) ，于是有西1 p 呈2 p 7 何 p ( 孔) ， 即有霹ip ( 礼) ! ! ，且i = 1 ，2 ，i 此时， 若2ln ，则1 7 , l ( 2 p ( 九) ) ! ! ，但是2 p ( n ) t ( 2 p ( n ) 一2 ) ! ! ， 因此s d f ( n ) = 2 p ( n ) 若2 t n ，则死lp ( n ) ! ! ，但是p ( 扎) t ( 凡) 一2 ) ! ! ，因此s d f ( n ) = p ( n ) 其它情况可类似证明 引理6 3 ：若p 是一个素数，对任意正整数仇，有渐近公式 1 9 第六章一个关- 于s m a r a n d a e h e 重阶乘函数s d f ( n ) 的均值问题 其中a i ( i = 1 ，2 ，) 是 知 证明：由f l r ( x ) = 1 = p z 其中吼( i = 1 ，2 ，) 于是，利用a b l e 等式有 p 2 = 丌( n p 据 6 3 定理的证明 z =一 礼 ) 唔一万( n ) n ，2 2f v - f ( 可) ! ，西 2 一弋参 j n k i - - - - i = ( 署) ； 一兰3 ( 兰t , ) ； 、， 1 ，z 、墨 2 j ( - ) 2 + o c 焉，卜咖2 罱圳煮，卜 i n ( 署) + 0 a i 丽 ( 焉) + 。( 焉) + 。( 禹) 首先结合引理6 1 、引理6 2 可知，当n a 以及仡c 时， s d f ( 小学跏) 0 所以我们得到 ( s 。f ( 几) 一兰罢! 兰s ( n ) ) 2 n x 一 n z n a( 一半跏，) 2 + 薹( 泐一掣跏，) 2 2 0 j j 嘶 器 七斟 ：l p 堕皤 - 1 一h 斟 西北大学硕十学伊论文 = 薹( 一 一( - - i ) n + 3 跏，) 2 + ( 泐一掣跏，) 2 半跏，) 2 + 薹( 泖一半跏，) 2 设礼= 钟1 p ；2 霹r ，于是当佗d ，且2n 时，有 以及 当2 t n 时，有 s d f ( n ) = 1 m 、。a 、x r s d f ( p ；啦) ) 1 m i 耐a x 2 a f p i ) ， s d f ( n ) = 1 m a x ， s d f ( p ；妒1 ) ) 1 m a x ， ( 2 c e 一1 ) p 一 此时，取o t p = 于是就有 因此 l m a x 2 0 e i p i ，显然 而当n b 时， s d f ( n ) = p 何， a 1 1 1 n s d f ( n ) v 元l n n ， 生二三笔二塑s ( n ) ) 2 仡1 n 2 n z l n 2 z 7 n x p s n ：( s 。f ( 2 佗) 一生兰学s ( 2 n ) ) 2 2 n z 、 7 一 = 、0 fdc ，) 鬈 + 第六章一个关于s m a r a n d a c h e 一：重阶乘函数s d f ( n ) 的均值问题 + ，( 泖( 2 n - 1 ) 掣即州) ) 2 ( 2 n - 1 ) o 、 。 7 结合引理6 3 ( 2 ) ) 2 = ) 2 ( 2 n - 1 ) _ x 2 n l b ( n p 2 ) z ，l 墨 ll p 上 礼詈n p s 镰 有 p 2 n 考n p 挥 = ；妻南 = 詈萎c 南 = 害薹委器+ 。 = 量3 娄惫i n l 匡去一 ：丝r 旦lr 三一 白。zi - 礼i l =、n = 1 1o k 耗) z 2 t = l + 0 + o ，l 专 惫i n + 。( 。z f 墨1 ； 、n ， k + l ，互 n f 互1 ； 、几， k + l ，王 、n ( 署) i 蚪1 ( 砉) l n k + 1 z + i n k + 1 z 其中玩( 佗) 是与佗有关的常数，c 4 是不依赖于任何变量的可算常数 这样，定理得到证明 1 _ 2 、-、 d l 一2 、ll， 1 1 舭 西北大学硕十学能论文 总结与展望 美籍罗马尼亚数学家f s m a r a n d a c h e 教授在他的只有问题，没有解答! 一书中提出了不少问题，这些未解决问题引起了许多数论爱好者去研究它们 本论文利用初等和解析方法研究了一些新的s m a r a n d a c h e 函数和序列的性质， 同时也给出了一些相关的恒等式和渐近公式 然而，当我们在探讨这些未解决问题与猜想的过程中，我们也发现了很多 值得进一步研究的新问题对于随之出现的这些新问题，我们要寻找新的思路 和方法这些都将激发我们不断探索和研究，以获得更多有理论价值的研究成 果 由于知识水平的原因，本文仅对该书中的个别问题做了研究，还有许多问 题期待我们去进一步解决 需要我们进一步探讨的问题： ( 1 ) 对亍= s m a r a n d a c h e 商函数 q ( n ) ) ，该序列含有多少个素数方幂? 该序 列含有多少个平方数，立方数， ( 2 ) 对于在第五，六章获得的渐近公式，能否找出更好的结果来表示它们 所有这些都将是在我们今后研究工作中须进一步解决和完善的对象! 参考文献 参考文献 1 a p o s t o lt 。m i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o d m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，19 7 6 【2 s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b l h o u s e ，1 9 9 3 3 潘承洞，潘承彪解析数论基础【m 】北京：科学出版社，1 9 9 9 【4 】潘承洞，潘承彪哥德巴赫猜想【m 】北京：科学出版社，1 9 8 1 5 】潘承洞，潘承彪素数定理的初等证明 m 】上海：上海科学技术出版社， 1 9 8 8 【6 k e n i c h i r ok a s h i h a r a c o m m e n t sa n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n d p r o b l e m s m n e wm e x i c o ：e r h u su n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 6 7 s m a r a n d a c h ef s e q u e n c e so fn u m b e r si n v o l v e di nu n s o l v