（基础数学专业论文）有限域上典型群的bn对及有限t群的分类.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 令g 是群，子群b 和是g 的b n 一对，t = bnn 是的正规子群，则商群 w = 丁是一个有限反射群，设w 的极小生成集为s ，那么f = f ( 形s ) 是一个 b u i l d i n g 本文的目的是研究典型群中非经典b n 一对的构造，以及b n 对的有理不变式 域另外，本文还研究了z 2 上不可约有限t _ 群的分类问题 第一章用矩阵的方法构造了有限域上典型群的非经典的b n 一对，并给出了子群b 和 的有理不变式域的生成元集 第二章找出了有限域上( 广义) 典型群的子群b ，以及t 的有理不变式域的完整的 代数无关的生成元集，并计算子了群b ，以及t 的阶数 第三章讨论了z 2 上本质的不可约有限t - 群的分类问题我们利用t - 群与c a r t a n 矩阵的关系，在群同构意义下重新给出了群的生成元，并计算了群的阶数 第四章利用特征数为2 的有限域上辛对合矩阵构造了一类c a t e r s i a n 认证码，计算 了该码的所有参数在假定信源和编码规则按照等概率均匀分布的条件下、给出了该认 证码被成功模仿攻击的最大概率片和被成功替换攻击的最大概率b 关键词：典型群；不变式域；b n 对；有限t 一群；认证码 b n p a i r so fc l a s s i c a lg r o u p sa n dt h ec l a s s i f i c a t i o no f t h ef i n i t et - g r o u p so v e rf i n i t ef i e l d s a b s t r a c t l e tgb eag r o u p ba n dnb et h eb n p a i r so fg ，a n dt =b n ni san o r m a l s u b g r o u po fn ，t h e nw eg e taf i n i t er e f l e c t i o ng r o u pw = t l e ts b eam i n i m a l g e n e r a t i n gs e to fw ，t h e n = ( 彬s ) i s ab u i l d i n g t h ep u r p o s eo ft h i s t h e s i s i st os t u d yt h en o n - c l a s s i c a lc o n s t r u c t i o no fb n p a i r so fc l a s s i c a lg r o u p s ，t h er a t i o n a l i n v a r i a n t so fs u b g r o u p sba n d ，a n da l s ow ec o n s i d e rt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t e i r r e d u c i b l et - g r o u p so v e rz 2 i nc h a p t e rl ，w ec o n s t r u c tn o n c l a s s i c a lb n p a i r sa r i s i n gf r o mt h ec l a s s i c a lg r o u p s 0 、，e r 血i t ef i e l d s f u r t h e r m o r e ，w eg i v et r a n s c e n d e n c eb a s e so ft h er a t i o n a li n v a r i a n tf i e l d o fs u b g r o u p sba n dn i nc h a p t e r2 ，w ec o n s t r u c te x p l i c i tt r a n s c e n d e n c eb a s e so ft h er a t i o n a li n v a r i a n tf i e l d s o ft h eg e n e r a l i z e dc l a s s i c a lg r o u p sa n ds u b g r o u p sb ，na n dt ，a n dw ea l s oc o m p u t et h e o r d e r so ft h e m i nc h a p t e r3 ，w ed e t e r m i n et h es t r u c t u r eo ft h e f i n i t ee f f e c t i v ei r r e d u c i b l et g r o u p s 0 v e r 踢u pt oi s o m o r p h i s m ，w eg i v ee x p l i c i tg e n e r a t o r so ft h et g r o u p sb yu s i n gt h e c a f t a nm a t r i c e s ，a n dw ea l s oc o m p u t et h eo r d e r so ft h e m i nc h a p t e r4 ，w ec o m p u t et h en u m b e ro ft h es y m p l e c t i ci n v o l u t i o n so v e rt h ef i n i t e i e l df 谢t h 出越f = 2 ，a n da l s oo n ec a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d ei so b t a i n e d f u r - t h e r m o r e ，i t ss i z ep a r a m e t e r sa r ec o m p u t e dc o m p l e t e l y a s s u m et h a tt h ec o d i n g r u l e sa r e 出o s e na c c o r d i n gt oau n i f o r mp r o b a b i l i t y , 片a n d 尸sd e n o t et h el a r g e s tp r o b a b i l i t i e so f as u c c e s s f u li m p e r s o n a t i o na t t a c ka n das u c c e s s f u ls u b s t i t u t i o na t t a c kr e s p e c t i v e l y , t h e n p fa n dp sa r ea l s oc o m p u t e d k e yw o r d s ：c l a s s i c a lg r o u p s ；i n v a r i a n tf i e l d ；b n p a i r ；f i n i t et - g r o u p ；a u t h e n t i c a t i o n c o d e n 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方 外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已 申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的 贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文 作者签名 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文 作者签名 导师签名 6 9 大连理工大学博士学位论文 引言 本章将简要介绍所要研究问题的背景和方法，包括b u i l d i n g 理论、有限反射群、不 变式理论以及认证码的发展历史和研究进展，并在最后一节介绍了本文的主要工作 0 1b u i l d i n g 理论 b u i l d i n g 理论是一个相对崭新的研究领域。由j t i t s 创立。最初，t i t s 创立这个理 论是为了从几何观点理解例外李型群b u i l d i n g 这个几何结构对于研究相应群的各种性 质具有非常重要的意义，在有限李型单群的结构理论和表示论、代数群及其表示等方面 都得到广泛应用恤- 1 川李型有限单群是有限单群大家庭中最重要的成员之一而其相应的 b u i l d i n g 反映了群的局部结构的全貌，所以b u i l d i n g 理论对于有限单群分类定理的简化 起了非常重要的作用有限单群可以比喻为搭成有限群的“积木块 ，是有限群结构的 基石单群的重要意义在于，每个有限群可以被惟一地“分解”为若干有限单群，就像任 何整数可以被分解为若干质数之积长期以来它是群论研究的中心问题有限单群的完 全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界数百名数学家多年的共同努力，终于 在二十世纪八十年代得到彻底解决，这是数学史上的又一个非凡成就有限单群分类的 整个论证使用了巨大的篇幅，引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理因此，简 化有限单群分类问题的论证有着重大的现实意义后来人们发现，每个李型群都对应一 个b u i l d i n g ，与之相应的就是李型群中的b n 一对结构b n 一对是b u i l d i n g 的代数实现，而 b u i l d i n g 刻划了b n 一对的几何结构 自t i t s 提出b u i l d i n g 的概念以来，众多数学家在这方面取得了丰硕的成果旺m 卅。在 任意域上，k s b r o w n 【2 0 1 和p g a r r e t t l 2 ”构造了典型群的b n 一对( 或广义b n 一对) ，从而得 到了b u i l d i n g 结构此外，n 1 w a h o r i 【2 捌和h m a t s u m o t 0 1 2 2 1 构造了具有离散赋值的域上 的特殊线性群的b n - 对他们所使用的方法都是“三角化”的方法。用这种方法构造的 b n 对通常称为经典b n 一对那么，除了以上两种方法外有没有其他的方法可以构造出 完全不同的b n - 对呢? 构造出完全不同的b n 对就意味着可以从其他角度更全面地了解 群的结构。这在群理论里是非常重要的 0 2 不变式理论 不变式理论有着一百多年的历史，它的起点是研究线性代数群在向量空间上的线性 表示所诱导的该群在此向量空间上的多项式函数环上的线性作用的性质和结构一个 代数群的有理不变式域所包含的信息对于研究该群来讲是非常重要的 令f 是域，礼1 是个整数，g g l ( v ) 是一个有限群，于是有扩张 f f ( 五，托，墨) g f ( 墨，岛，) 由g a o i s 幽1 理论知道，扩张f ( 五，k ) g f ( 蜀，恐，) 是有限维代数扩 张n o e t h e r 的问题是问：扩张f f ( 墨，恐，k ) g 是否是纯超越的? 1 有限域上典型群的b n 一对及有限t - 群的分类 一般情况下，n o e t h e r 问题的回答是否定的1 9 6 9 年，r 。g s w a n 烨1 就曾给出了一个反 例：假设群g 可迁地置换未定元x 1 。，墨，当p = 4 7 ，1 1 3 或2 3 3 时，q ( x l ，k ) g 在基域q 上不是纯超越的1 9 8 4 年，d j s a l t m a n 皿驯给出了n o e t h e r 问题的又一个反例 l e d i c k s o n 忙科找到了g l 住( e ) 和s 厶( e ) 的有理不变式域的生成元。d c a r l i s l e 弘卅和 p h k r o p h o h e r 【2 刀给出了有限域上正交群和酉群的有理不变式域的生成元1 9 9 7 年， h c h u l 2 驯对有限典型群g 4 。的有理不变式进行了统一的研究，找出了其的有理不变式域 的生成元，其中g a p = ( t g l 几( r ) ：t t a p = a ) ，a g l n ( b ) ，p 是日的某个自同 构变换此外，还有众多的数学家投身到了不变量理论的研究之中1 2 弘矧 0 3 有限反射群 设g ，是群，t 是g 的极大环面，而是t 在g 中的正规化子令w = n t ，则 缈是有限反射群( 称为g 的w e y l 群) 在群g 的b r u h a t 分解g = 丌b w b 中，b 与 疾w 之间到底存在什么关系呢? 这一问题是b r u h a t 在研究诱导表示论的时候提出来的， 他在研究这个问题的同时又提出另外一个问题：双陪集b g b 是不是有限的呢? 后来， 他在研究a 他，玩，g ，d n 这四类单群的时候发现：这些双陪集不仅是有限的，并且与有 限反射群w 是一一对应的因此有限反射群特别是不可约有限反射群的研究具有举足 轻重的意义 h s m c o x e t e r 于1 9 3 4 年第一次对实数域上的有限反射群进行了比较系统的 研究。有限反射群的分类是有限反射群研究的中心课题之一1 9 3 5 年，c o x e t e r p 9 j 完成了实数域上不可约有限反射群的分类。并得到了很多有关该群的很重要的性 质g c s h e p h a r d i 0 1 和j a t 0 d d 【柏1 于1 9 5 4 年对不可约有限复反射群进行了完全分类 a e z a l e s s k i 一4 1 和v n s e r e s , k i n l 4 叫完成了特征数大于2 的域上的不可约有限反射群的分 类问题有限反射群的分类及其研究在代数学和几何学等方面都有着非常广泛的应用 众多数学家投入到了有限反射群的研究当中1 4 2 - 5 2 1 我们知道，特征数等于2 的域上没有 反射，只有平延从而，人们就试图对特征数等于2 的域上的由平延生成的有限群( 称之 为t 群) 进行分类j e m c l a u g h l i n l s s l 于1 9 6 7 年对域k ( c h a r k = 2 ，并且k z 2 ) 上的没 有非平凡幂幺子群的b 群进行了几何描述随后1 9 6 9 年，m c l a u g h l i n l 5 4 对z 2 上的不 可约t 一群进行了分类。1 9 7 6 年h p o l l a t s e k t 5 5 1 对特征数等于2 的域上的不可约t 群进 行了统一的分类z a l e s s k i ? 5 6 1 和s e r e 乏l ( i n m l 完成了对特征数不等于2 的域上的不可约有 限t - 群的分类他们所采用的主要都是几何的方法，并没有具体给出每一类t 一群的生成 元b m o n s o n 5 n 卅和e s c h u l t e l 5 r - s g 对特征数不等于2 的域上的有限反射群进行了几何 描述得到了该群很多相关的几何性质 0 4 认证码 在信息的传输和贮存过程中，安全问题是至关重要的一般地说，信息系统的安全 性是指保证信息在系统中的保密性、完整性和认证性认证性即接收者要能够识别和 2 大连理工大学博士学位论文 确认信息的真伪，防止信息被敌方篡改、删除和伪造等认证是防止敌方这些主动攻击 的重要技术，而认证码是解决信息的认证问题的一种方法，是由g j s i m m o n s 唧首先提 出来的我国学者在这一领域也进行了卓有成效的工作，例如万哲先院士坶1 叩1 和游宏教 授6 3 1 等 假设在一个通信模式中，除了信息的发方和接收方之外，还存在一个敌方，通常敌方 对系统进行两种攻击：模仿攻击和替换攻击 上述认证码假定发放和收方是相互信任的，在实际生活中，还存在这两方互不信任 的情况，为解决通信系统中发方与收方互不信任问题，s i m m o n s 删在普通认证码的基础 上引入带仲裁的认证码模型，此模型涉及发方、收方、敌方以及仲裁者四个参与方，有 五种欺骗：敌方的模仿攻击、敌方的替换攻击、发方的模仿攻击、收方的模仿攻击、收 方的替换攻击这五种攻击成功的最大概率分别记为最，b ，片，p r 。和p r ， 在实际应用中，我们需要构造各种攻击成功的概率都尽可能小、信息源的数量尽可 能大、结构简单、发方和收方的编码规则的数量也尽可能小，且编码和译码都较易实现 的认证码研究认证码的构造问题具有重要的理论和现实意义。 o 5 本文的主要工作 第一章利用典型群生成元集的性质，构造了有限域上典型群的非经典的b n - 对，并 把不变量理论引入其中给出了b n 一对的有理不变域的代数无关的生成元集 第二章利用上三角矩阵的性质，巧妙构造了( 广义) 典型群的子群b ，和f 的有理 不变域的生成元，并计算了其阶数 第三章讨论了z 2 上的本质不可约有限t - 群的分类问题从生成元及其关系的角度 对t - 群的结构进行了刻划，并给出了具体的生成元，还计算了b 群的阶数我们所采用 的主要是矩阵计算。这使得对有限t - 群的分类更加直观易懂 第四章计算了特征数为2 的有限域上的辛对和矩阵的个数、然后利用它构造了一类 c a t e r s i a n 认证码并计算了该认证码的各个参数在假定信源和编码规则按照等概率均 匀分布的条件下，给出了该认证码被模仿攻击成功的最大概率b 和被替换攻击成功的 最大概率r 3 有限域上典型群的b n 对及有限t - 群的分类 1 构造有限域上典型群的非经典b n 一对 为了对例外李型群进行统一的几何刻划，t i t s 首先提出了b n - 对和b u i l d i n g 的概 念b u i l d i n g 这个几何结构对于研究相应群的结构和性质具有非常重要的意义，因此在 群表示论和结构理论等方面得到了广泛的应用判断在一个群中是否存在b n 一对，以及 如何构造它的b n 一对是b u i l d i n g 理论的中心研究课题之一r w c a r t e r 归卅证明了连通约 化群和有限李型群都具有b n - 对b r o w n 、g a r r e t t 、1 w a h o r j 和m a t s u m o t o 构造了经典 的b n - 对本章用矩阵的方法构造了非经典的b n 一对，并给出了子群b 和的有理不变 式域的生成元集 1 1 经典b n - 对 定义1 1 【2 0 】设彬是一个反射群，生成集为s ，其中s 是由反射构成的集合任意的 w w 都可以表达为叫= s 1 8 2 s d ，其中8 i s ，则在叫的所有的这些表达式中，非负 整数d 的最小值就称为w 的长度，记作f ) 定义1 2 例设w 是一个反射群，生成集为s ，其中s 是由反射构成的集合伽是 反射群w 中的任意元素若w 满足如下两个等价的条件( c ) 和( d ) ，则称彬是一个 c o x e t e r 群，此时也称( 彬s ) 是一个c o x e t e r 系统其中 ( c ) 彬具有表示 ( s ：( 或) 饥( 8 ，。) = 1 ) ， 其中m ( s ，亡) 是时的阶数，并且r n ( s ，亡) 。 ( d ) 若w = 8 1 8 2 8 d ，并且d f ( 叫) ，则存在i j ，使得w = 8 1 8 “i s j s d 通常我们称( c ) 条件为c o x e t e r 条件，而把条件( d ) 称为d e l e t i o n 条件( d ) 条件告 诉我们：在c o x e t e r 群中，约化任意元素的时候，每次约掉的反射的个数是偶数 定义1 3 跚1 设，是任意一个指标集，m = ( 哟) i ，歹卧其中zu o o ) 。若对所 有的i j ，都有佻t = 1 ，并且2 j = t 。，则称矩阵m 是一个c o x e t e r 矩阵 由c o x e t e r 群的定义容易知道，每一个c o x e t e r 群都对应一个c o x e t e r 矩阵，事实上， 只要取m ( s ，s f ) = 佻f 即可反之，任意给一个c o x e t e r 矩阵，也可以找到一个c o x e t e r 群与之相对应也就是说c o x e t e r 群和c o x e t e r 矩阵是一一对应的c o x e t e r 矩阵在研 究域f ( c h a r f 2 ) 上有限反射群的分类时发挥了巨大的作用 定义1 4 【2 哪令g 是一个群，子群曰和生成g ，t = bnn 是n 的正规子群，并 且在商群w ：t 申存在一个生成集s 满足以下条件： ( b n l ) b s b - b w b b s w b u b w b ( b n 2 ) s b s 一1 霪b ，其中8 s 则称b 和是g 的b n 一对，也称( g ，b ，s ) 是一个t i t s 系统，群称为g 的与 b n - 对相伴的w e y l 群 4 大连理工大学博士学位论文 半序集称为单纯形( s i m p l i c i a lc o n e ) ，如果它同构于一个由有限集s 的所有 子集在包含关系下所组成的半序集s 的基数称为的秩半序集称为单纯复形( s i m p l i c i a c o m p l e x ) ，如果对每个a ，所有使得bsa 成立的元素b 组成一个单纯 形，而且中任何两个元素c ，d 均有最大的公共下界c nd 定义1 5 刚是一个有限维的单纯复形如果其所有的极大单纯形都具有相同的 维数，并且任意两个极大单纯形都可以通过一个廊道( g a l l e r y ) 连接起来，则称是一个 房复形( c h a m b e rc o m p l e x ) ，而极大单纯形则称为房( c h a m b e r ) 定义1 6 驯如果房c 和有一个公共的余维数是1 的脸( f a c e ) ，则称这两个房是 相邻的( a d j a c e n t ) 由相邻的定义可以看出：房g 与它自己是相邻的 定义1 7m 1 廊道( g a l l e r y ) 指的是房的一个序列r ( c 0 ，q ) ，并且对任意的i ，有 g 一1 和g 是相邻的此时，也称r 是从房g 到房q 的廊 设c o = c ，q = w c ，事实上，连接房g 和房g 的极小廊的长度与w 的长度f ( 叫) 是相等的 定义1 8 删房复形称为可被集合i 标号的、如果存在一个映射把的每个顶点 都映到，中的元素，也就是存在一个从的顶点集到集合，的双射易知在同构意义下， 这种标号是惟一的 设( 彬s ) 是一个c o x e t e r 系统，特殊陪集指的是形如幻( s ) 的陪集，其中s 7 s 记= ( 彬s ) 为由特殊陪集构成的集合，其关系为集合的反包含关系，即b a 当 且仅当作为w 的子集有b2a ，此时称b 为a 的脸( f a c e ) = ( 彬s ) 称为与 ( 彬s ) 相伴的c o x e t e r 复形可以证明与( 彬s ) 相伴的c o x e t e r 复形= ( 彬s ) 是 一个薄的( t h i n ) 、可标号的房复形，并且彤在上的作用是保号的 定义1 9 单纯复形称为b u i l d i n g ，如果它可以表示为一些满足以下条件的子复 形f ( 称为a p a r t a m e n t ) 的并： ( b 0 1 每一个a p a r t a m e n t 是一个c o x e t e r 复形； ( b 1 ) 任意两个单形a ，b 。仝，每矛在一个a p a r t a m e n t ，使得同时包含单形a 和b ：。 ( b 2 ) 设和是包含单形a 和b 的两个a p a r t a m e n t ，则存在妒：- - - - + 为 同构，使得妒保持单形a 和b 的每一个点都不动。 如上定义的b u i l d i n g 通常称之为厚的( t h i c k ) 今后如无特殊说明，提到的b u i l d i n g 一般都指的是厚的 5 有限域上典型群的b n 对及有限t - 群的分类 设x 是一个厚的b u i l d i n g ，c o 是x 的一个房( c h a m b e r ) ，a o 是包含房g 的一 个a p a r t m e n t g 是一个群，它在x 上的作用是单纯复形同构，并且使得由x 中的 a p a r t a m e n t 构成的集合保持不动设a 是x 的标号，g = 如g ：a 。夕= a ，则 g 是g 的正规子群，并且它在x 上的作用是保号的b = 9 g ：9 ( c o ) = c o ) ， n = 夕g ：9 ( a o ) = a o ) ，t = bnn ，可以证明b 和是g 的b n 一对令 b = 夕g ：9 ( c o ) = c o ) ，n = 9 g ：夕( a o ) = a o ，t = bnn ，可以证明 n = t ，b = t b ，g = t g 这时，称b 和构成g 的广义b n 一对( g e n e r a l i z e d b n p a i r ) p 是一个具有二元关系的集合，并且这个二元关系具有反身性和对称性，则称此二 元关系是关联( i n c i d e n c e1 集合尸上的旗( f l a g ) 指的是两两有关联的元素构成的p 的子集与尸相伴的旗复 形指的是以尸为顶点集，有限旗作为单纯形的单纯复形f 尸) ， 介绍一下经典b n 一对的构造先考虑一般线性群 令g = g l n ( k ) ，k 是任意域，b 为由可逆上三角矩阵构成的群，即使得标 准旗】k ，一1 j k ，e 2 】保持不动的g k ( ) 的子群，其中e i = ( 1 ，0 ，0 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，o ，o ) ，e n = ( 0 ，0 ，0 ，1 ) 是k 竹的标准基底设是 由可逆单项矩阵构成的群，即使得由直线构成的集合 【e 1 ， e 2 】，k 】) 保持不动的 g l n ( k ) 的子群易知置换这个集合中的元素，从而得到一个从到几个元素 的置换群的满同态，这个群同态的核为t = j e 7 n n ，易知丁是可逆的对角矩阵构成 的群因此，? 是的正规子群，从而w = j f 可以看作礼个元素的置换群令 s = 8 1 ，8 2 。，8 n - - 1 ) ，其中s t 置换i 和i + 1 位置可以验证( g ，b ，s ) 是一个t i t s 系 统，也就是说，这样选择的b 和构成一般线性群g = g l 礼( k ) 的b n 一对从而得到一 个b u i l d i n g ，这个b u i l d i n g 同构于由k 礼的非零真子空间构成的旗复形 在此，需要说明的是：对于任意域上的特殊线性群，射影一般线性群以及射影特殊线 性群，都可用同样的方法选取b n 对。 然后考虑辛群 设k 是任意域，( 一，一) 是k 2 n 上的双线性型，具体定义如下： 咖e 篱； 其中e 1 ，e 2 ，e 2 仡是k 的标准基底如果把标准基底记作e 1 ，e n ，厶， ，则如 上定义的双线性型可以简单记为他，五) = 一( 五，e t ) 易知，如上定义的双线性型是交错 的，即对于任意的秽，有( v ，钉) = 0 6 大连理工大学博士学位论文 如果把k 2 n 中的元素写成向量的形式( x ，y ) ，其中x ，y k n ，则有( ( x ，y ) ，( z ，w ) ) = x 缈2 一y z t 从而，可以如下定义辛群s 陇n ( ) ：使得双线性型( 一，一) 保持不变的2 扎上的自同 构群，也就是说对任意的g s p 2 n ( 耳) ，以及v ，w k ，有( g v ，g w ) = ( v ，伽) 子空间yc 轨称为全迷向的，如果对任意的口，伽v ，有( v ，w ) = 0 我们把全迷 向子空间链( e 1 】至【e 1 ，e 2 】【e 1 ，】称为k 2 扎中的标准迷向旗 令b g = s m n ( ) 为由上三角辛矩阵构成的群，则b 为标准迷向旗在辛群 s p 2 n ( ) 中的稳定子是由单项辛矩阵构成的群，即使得由直线构成的集合 l 1 ， k ，l 二，l ：) 保持不动的s p 2 竹( k ) 的子群，其中l t = 【e 小l ：= 【五】则t = bn n 是 对角辛矩阵构成的子群，其元素的形状为d i a g ( a 1 ，k ，a 二1 ，a f l ) 商群w = t 可以看作上面所说的厶，厶，l ：，厶这2 九条直线的置换群， 它可以由s = s 1 ，8 2 ，s n 生成，其中8 是这样的：当i 0 ) ，可以看出对任意的 z a 7 r a ，( z ) = 0 ，从而z 是可逆元，于是7 r a 是一个极大理想，这样，k = a t r a 是 一个域称为与赋值相伴的剩余类域 7 有限域上典型群的b n 一对及有限t - 群的分类 于是，我们得到两个映射，一个是i ：aqk 为单值嵌入，另一个是p ：a 叫k 为满 射从而得到了i ：s 厶( a ) qs k ( k ) 为单值嵌入，另一个是歹：s 厶( a ) 呻s 厶( 忍) 为 满射 取b s l 亿( k ) 为s l n ( 忌) 中由上三角矩阵构成的子群在映射歹下的原像，取为 s l n ( 忌) 中由单项矩阵构成的子群可以验证b 和构成s 厶( 尼) 的b n 一对 设v = k 礼，v 上的格( 或者称为a ，格) ，指的是具有如下形式的a 子模己y ：存 在y 的一组基e 1 ，e 2 ，使得l = a e lo oa 特别地，l 是一个秩为礼的自 由止模如果e 1 ，e 2 ，e 乱是y 的一组标准基，则此时的格为小，称之为标准格 以死= 2 为例来刻划一下如上构造的b n 一对所对应的b u i l d i n g 结构 当礼= 2 时，商群w = ( bn ) 同构于z 士1 _ 易知，这是一个无限二 面体群，由s 】和u 两个元素生成，其中8 】是_ f 士1 中的非平凡元，而乱是无限循环 群f = t ( k ) t ( a ) 冬w 的生成元( t ( k ) 和t ( a ) 分别是k 和a 中的对角矩阵) ，从 而，可选取s = s 1 ，s 2 ) 作为反射群w 的生成集，其中8 2 = 8 1 u 设心= ：) ，则 ，0 - 1 、，7 r0 、，0 7 r 一1 、 3 22 i10 八07 r 2l7 ro 厂 称线性空间k 2 中两个a 一格l 和l 是等价的：如果存在a k + ，使得l = a l 7 用 阎表示格l 的等价类若l = a f loa a ，其中 ，尼是2 的一组基，此时也把闯记 作 f ，如】 下面我们来给格标号任意的夕g l 2 ( k ) ，且g a 2 = a ，如果v ( d e t g ) 是偶数的话， 则说格人所在的等价类的型为0 ：否则，格a 所在的等价类的型为1 称两个格等价类a 和a 7 是相关联的( i n c i d e n t ) ，如果它们存在两个代表元l 和l 7 ， 使得r l cl 7 l 可以证明，由格的等价类构成的旗复形同构于s l n ( k ) 中如上选取的b n - 对所对应 的s u i i d m g ( g ，b ) 1 2 构造辛群的b n 一对 引理1 1 岬1 设 日= ( 一呈y ，：) ， 则辛群跏 ( 乃，h ) 是由以下三种形式的矩阵生成的 ( a 。a 。0 ，一，) ，( 舌罗) ，( 一。，二j ，了j ) ， 其中a g l p ( b ) ，= q ，j 是一个对角矩阵，并且有尸= j 口 大连理工大学博士学位论文 下文中的辛群指的都是s p 2 ”( b ，日) ，简记为跏u ( b ) 令bs 跏 ( 日) 由以下形式的矩阵构成 其中a 1 1 g l 扩( b ) ，a 1 1 a i 2 = a 1 2 码1 令是由8 1 ，s 2 ，8 生成的s p 2 u ( 日) 的子群，其中 l3 il 一】、 s 2 l 一( j 一也) 五 夕 五= ( a l m ) ，其中a l l = 1 ，a l m = 0 ( 1 m ) 对所有的l + t i 且l 2 u + i 一1 ， 而口，+ l 吐2 冉。1 = i = a 2 p “一1 舛t 一1 易见? = bnn 是平凡的，那么商群形= ? 就可以看作是由以上的s 1 ，s 2 ，s p 生成的，并且w 是一个交换群，于是，可选取 s = 8 l ，s 2 ，s - 作为w 的生成集 定理1 1 如上所选取的子群b 和生成g = 却。( 岛) 证明由引理1 1 ，锄u ( e ，日) 由以下三种形式的矩阵生成 ( a 。a 。0 ，一。) ，( 舌亨) ，( 一。j 二j ，im j ，) ， 其中a g l p ( 日) ，q 2 = q ，j 是一个对角矩阵，并且有，= j 易见子群b 包 含了前两种形式的所有矩阵，第三种形式的矩阵都在子群n 中所以b 和生成 g = 观。( 局) 口 定理1 。2 如上所选取的b ，和s 满足定义1 3 中的( b n l ) 和( b n 2 ) 这两个条件 证明条件( b n l ) 要求s b w b w bub s w b 两边同时左乘加一1 ，可以重新写成 s b b b ub s b ，其中豆= w b w 一1 也就是说，必需证明这样一个结论：s b 百cb 或 者b s ，即需要证明：s b 中的元素可以通过左乘b 和右乘豆中的元素。化成1 或者s 。 以8 = s 、为例说明如何证明该结论 假设g s ，b 有如下形式 、li， 2卜，a 血0 ，厂一一、 l，-、 p 1 p p k v 也 一铷吼 一 6 白 l l 1 1 k 1 坟 p q 一b 6 q p l p 纵 p o o o 9 d ， 2 2 l 2 吼 p o o o a l l l l q p o 0 0劬 口 ，。，一 = 9 有限域上典型群的b n 一对及有限t - 群的分类 其中 则有 如果w 一1 ( ) 2 v ，则必有 t o 一1 ( ) = z 那么可以通过左乘b 中的元素使g 化为9 1 ， 令 h i = 10 o1o - d 1 1 - d 1 1 ，一11 一c l ，1 0 0 一c 玑l ，一1 1 0 l w b w ， 因为在a 1 1 ，a 2 l ，a p l 中至少有一个不等于0 ，所以不妨设a 1 1 = 1 取 1 0 b ， p v p y p 砂 p h 白q 一b 6 g 1 1 1 1 1 ：- 1 玩 p 白q p k b c 1 p 川。o o 口 2 k 2 2 虮 p 西o o钆 o j m 一血0 o 口 ，。一 i i g 、，-、 荔? 丫 大连理工大学博士学位论文 则 9 3 = a 9 2 = 7 1 a 1 2 j 口l l ，b l l 0 a l ，一1 ，2 o , v 一1 ，l ，b , , - 1 0010 0001 。000 c l ，一1 1 2 o 即 6 i ，1 因为9 3 s p 。( 日) ，所以c 1 2 = 0 ，c 1 ，= 0 ，o y l = 0 于是可以假设a 2 2 = 1 类似地， 可通过左乘b 中的元素，把夕3 化成如下形式的矩阵 吼= ( 御p = ) ，a = ( 三h 一 分两种情况进行讨论： 如果a p = 0 ，则9 4 b ，原论断成立 如拳口w 0 ，则k = ( 丢? ) 叫b 叫，其中q = ( ：一岛) 令9 5 = 9 4 2 = ( 乏，黔其帆2 = ( 苫一岛) ，( m t = - 帆锄= ( oo ) 2 = ( 渺用同样 方法，可以通过左乘b 中的矩阵，把9 5 化成8 ， 任意的f m ，存在6 州b ，使得b m l s l = s m ，所以有s z b = 8 r n b ，b s z = b s m 接下来讨论w 一1l , i ) = 2 v 的情况假设w = 8 i ，8 幻其中1 i 1 i j c 上面已经证明若i 1 1 ，则8 1 b 百bub s l 同样地，若存在岛不出现在w 的约化 表示中，则s l b b = 8 j b b 至b jb s ja n db 句= b s l 如果删= 8 1 s ，不难证明 s l b b bub s l 另一方面，很显然s b s 以垡b 至此，证明完成 口 1 3 构造正交群的b n 对 本节假设c h a r f 口= p 2 定义1 1 0i 部1 设k 为体，a _ 瓦为k 上的反自同构，若对任意的a k ，都有a = a ， 则称此反自同构为对舍性反自同构，或4 闻- a - 称为对舍fi n v o l u t i o n ) 若死死矩阵日满足 膏= h ，则称之为对于对合o _ a 而言的哈密顿( h a m i l t o n ) 矩阵如果矩阵日满足 膏：一日，则称之为对于对合g _ 五而言的斜哈密顿矩阵如果对于任意的礼维向量z ， 都有z 日= a + 瓦，a k 、这时称哈密顿矩阵日为迹式哈密顿矩阵 定义1 1 1 矧把特征数不等于2 的具有对合fi n v o l u t i o n ) a 叫石的体k 上的斜哈 密顿矩阵以及特征数任意的具有对合a 一石的体k 上的迹式哈密顿矩阵统称为对于 对舍n 叫五的h 一矩阵 1 1 、lliililllii， 眦o 乩 加 n 小 o 二 2 1 2 1 2 址 “o吼“ 加 旷n 巾 幻 有限域上典型群的b n 一对及有限t - 群的分类 定义1 1 2 蚓h 矩阵若无迷向线，则称为定号的，即由x h y ：0 ，推出z ：0 显然定号的哈密顿矩阵是可逆的 引理1 2 岬1 设 日= 砂 其中是h 的定号部分，则0 亿( ，h ) 是由以下形式的矩阵生成的 1 ，( 吾弓量) ，其；( 詈丢) e0 2 , , ( f q , h 1 ) , h 1 - ( ，0 。，譬) 2 ，( ，扩) ，其中u 仉一2 p c 岛， 3 ，i - p a l p 。；) ，其中p 是一个一2 v ) 矩阵，1 是一个对角矩阵并且 下文中的正交群指的都是o 竹( 岛，日) ，简记为0 竹( 岛) 取b o n ( 日) 由以下形式的矩阵生成： 口 删，( 喜= 其中a l l g l ，( 日) ，z ，= 【孚】，a l l a i 2 = 一a 1 2 鸽l ，u o n 一知( b ，) ，p 是一个 z ( 几一2 ) 矩阵，a 1 是一个对角矩阵，并且满足2 a 1 = a 取n 0 n ( 日) 由8 1 ，8 2 ，8 生成，其中 轳睁搿刎) 五= ( a l m ) ，对所有的l + i 一1 且l 2 矽+ i 一1 ，a “= 1 ，a l m = 0 ( 1 7 n ) ， o + 一1 ，2 p + t 一1 = 1 = a 2 工，+ l 一1 工，+ l 一1 一 易见t = b n 是平凡的，那么商群w = t 就可以看作是由以上的8 1 ，s 2 ，8 扩