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算子方程的解与算子的d r a z i n 逆 杨凯凡 摘簧算子理论是泛函分析的重要分支。算子方程是算子论中的一个热点闯 题关于算子方程的正算子熊的研究产生予2 0 世纪九十年代，并在控髑论，动 态规划和统计学等方面都有广泛的应用，因此近年来得到很大的发展，关于算子 方程的论文也层出不穷，使得算子方程成为一个非常活跃的领域本文在无限维 h i l b e r t 空间上研究了三种形式的算子方程x + 岔x - 2 a = q ，x + a + x “a = q ( 0 1 ) 的歪算子解的特征，并给出了这三种形式 的算子方程的正算子解的刻画 算子的d r a z i n 逆问题从上世纪末一直受到国内外许多学者的关注本文在 无限维磁l b e r t 空阕上研究了d r a z i n 可逆算子的扰动闻题，给出了扰动后算子的 d r a z i n 逆及其扰动界的刻蜃 本文分为三章，主要内容如下： 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和后面要用到的一些基本 定理等在套绍了一些符号之后，引入了算予的数值域，滋，数值域半径以及谱半 径的定义，又给出了一些特殊算子如正规算予，自伴算子，正算子，算予的d r a z i n 逆，d r a z i n 可逆算子的指标等定义，而后我们给出了正算予的一些基本特性以及 本文将甩弱的一些熟知的定理。躲谱分解定理，谱映射定理，值域包含定理等 第二章在无限维h i l b e r t 空阕上研究算予方程x + 岔x _ 2 a = q ，x + a x 。a = q ( 0 1 ) 的正算子解的相关问题首先研究了算 子方程x + a + x 越a = q 的正算子解的特征，给出了该方程有正算予解的一些 必要条件和充要条件以及该方程有正算子解时正算子解的范围，并从范数，谱半 径，数值域半径等不同的角度给出了方程有芷算子解x 时，算子a ，x ，q 之间 的关系其次我们讨论了非线性算子方程x 十小x 。a q ( 0 1 ) 正算予鳃存在的 条件，并且得出下西的结论：方程有一个范数为1 的正箕子解的充分必要条件是 a 不是下有界的而且还研究了当a 嚣) 是正规算子，= 扩( m 为正整数) 时方程x 一小x 。a = j ( t 1 ) 有正算子解的条件，并且利用迭代的方法得到其 正算予解 第三章我们在无限维h i l b e r t 空间上研究了d r a z i n 可逆算子扰动盾的d r a z i n 可逆性闫题给出了扰动算子的d r a z i n 逆的刻画及其扰动界证明了d r a z i n 可 逆算子在满足一定条件的葬子的扰动下仍然是d r a z i n 可逆的，并给出了扰动算 子的d r a i n 逆的刻画，将y m w e i 等人的结论加以推广 关键词；算予方程正算子谱d r a z i n 逆扰动 i i s o l u t i o n so fo p e r a t o re q u a t i o n sa n dt h ed r a z i ni n v e r s eo f t h eo p e r a t o r s y a n gk a i - f a n a b s t r a c t ：o p e r a t o rt h e o r yh a sa l w a y sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l eo nt h es u b j e c t o ff u n c t i o n a la n a l y s i sa n dh a sb e e nc o n s i d e r e db ym a n ya u t h o r s o p e r a t o re q u a t i o n i so n eo ft h eh o t e s tt o p i c si no p e r a t o rt h e o r y t h ef 它s e a f c h e so nt h ep o s i t i v es o l u t i o n s t oo p e r a t o re q u a t i o n sb e g a ni n1 9 9 0 s a n dh a v eb e e na p p h e dt o8 0 m ef i e l d ss u c ha s c o n t r o l ，d y n a m i cp r o g r a m m i n ga n ds t a t i s t i c 。i nr e s e n ty e a r s ，o p e r a t o re q u a t i o n g o tag r e a td e v e l o p t m e n ta n dm a n ys c h 0 1 0 r sd e v o t e dt os t u d y i n gd i f f e r e n tk i n d so f o p e r a t o re q u a t i o n s i nt h i sa r t i c l e ，w ed i s c u s st h r e ek m d so fo p e r a t o re q u a t i o n s x + a x 一2 a q ，x + a x “a q ( 0 1 ) m 毡ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e w em a i n l yd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so ft h ep o s i t i v e o p e r a t o rs o l u t i o n st ot h e s ee q u a t i o n sa n dc h a r a c t e r i s et h e s e t h r e ek i n d so f e q u a t i o n s f u r t h e r m o r e 。w es t u d yt h ed r a z i ni n v e r t i b i l i t yo ft h ep e r t u r b e do p e r a t o ri na n i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c ea n dg i v et h eb o u n do ft h er e l a t i v ee r r o r t h i sp a p e rc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1m a i n l yi n t r o d u c e ss o m et e r m i n o l o g i e s ，n o t a t i o n sa n d , s o m ew e l l - k n o w nt h e o r e m sw h i c ha r eu s e dl a t ei nt h i sp a p e r f i r s t l y , 踟i n t r o d u c es o m e t e r m i n o l o g i e sa n dn o t a t i o n ，a n di n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fn u m e r i c a lr a n g e ，s p e c - t r u m ，r a d i u so fn u m e r i c a lr a n g ea n ds p e c t r a lr a d i u so fo p e r a t o re t c ，s e c o n d l y , w e g i v es o m ed e f i n i t i o n so fn o r m a lo p e r a t o r ，s e l f - a d j o i n to p e r a t o r ，p o s i t i v eo p e r a t o r i t h ed r a z i ni n v e r s eo fo p e r a t o ra n dt h ei n d e xo fd r a z i ni n v e r t i b l eo p e r a r t o re t c 。a t l a s t ，w ei n t r o d u c es o m ep r o p e r t i e so fp o s i t i v eo p e r a t o ra n ds o m ew e l l - k n o w nt h e o - r e i ns u c ha ss p e c t r a lt h e o r e m ，s p e c t r a lm a p p i n gt h e o r e m ，r a n g ei n c l u s i o nt h e o r e m e c t 。 c h a p t e r2d i s c u s s e st h r e ek i n d so fo p e r a t o re q u a t i o n s ：x + a + x - 2 a q ，x + a + x 一a = qa n dx a + x 一a ii ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e f i r s t l y , w es t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h ep o s i t i v eo p e r a t o rs o l u t i o n st ot h eo p e r a t o re q u a t i o n x + a + 叉一2 a q a l s o ，w ed i c u s st h er e l a t i o n so fo p e r a t o ra ，qa n dxi nt h e f o r m 。o fn o r m ，s p e c t r a lr a d i u sa n dr a d i u so fn u m e r i c a lr a n g ew h e nt h i se q u a t i o n h a sp o s i t i v es o l u t i o n s m o r e o v e r ，w eo b t a i ns o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n su n d e rw h i c h i i i t h eo p e r a t o re q u a t i o nx + a + x - 2 a = qh a sp o s i t i v eo p e r a t o rs o l u t i o n s s e n - c o n d l y ，w eo b t a i ns o m ec o n d i t i o n sf o rp o s i t i v eo p e r a t o rs o l u t i o n st ot h eo p e r a t o r e q u a t i o nx + a + x - - t a = qa n dd i s c u s st h en o r m ，t h es p e c t r a lr a d i u so faa n dq w h e nt h ee q u a t i o nh a sp o s i t i v eo p e r a t o rs o l u t i o n s w ea l s og e tt h a ti ft h ee q u a t i o n x + a + x 。a = qh a sp o s f t i v eo p e r a t o rs o l u t i o n s ，t h e ni th a st h em a x i m a ls o l u t i o n x l m o r e o v e r ，w ea p n yi t e r a t i v em e t h o dt oo b t a i nt h em a x i m a lp o s i t i v es o l u t i o n o ft h ee q u a t i o nx + a + x - - t a = q t h j r d l y 】w eo b t a i ns o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n s f o rp o s i t i v eo p e r a t o rs o l u t i o no ft h eo p e r a t o re q u a t i o nx a + x - - t a = i w ea l s o g e tt h a tt h ee q u a t i o nx + a + x 一a = i ( t 1 1h a sap o s i t i v es o l u t i o nw i t hn o r mo f 1i fa n do n l yi fai sn o tb o u n d e db e l o w ，h e na i sn o r m a l ，t = 2 m f mi sa l lp o s i t i v e i n t e r g e ) ，w ea p p l ye f f e c t i v ei t e r a t i v em e t h o dt oo b t a i nt h ep o s i t i v es o l u t i o no ft h e e q u a t i o n x a + x a i c h a p t e r3i sm a i n l ya b o u tt h ed r a z i ni n v e r s eo ft h ep e r t u r b e do p e r a t o r 、 ，e o b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rad r a s i ni n v e r t i b l eo p e r a t o rt ob es t md r a z i n i n v e r t i b l eu n d e rap e r t u r b a t i o na n dt h ee x p r e s s i o nf o rt h ed r a z i ni n v e r s eo ft h e p e r t u r b e do p e r a t o ri sd e r i v e d m o r e o v e r ，b a s e d0 nt h ee x p r e s s i n g ，w eo b t a i nt h e b o u n do ft h er e l a t i v ee r r o r ，w h i c he x t e n d st h ec o n c l u s i o n so fy m w 西 k e y w o r d s ：o p e r a t o re q u a t i o n ，p o s i t i v eo p e r a t o r ，s p e c t r u m ，d r a s i ni n v e r s e ， p e r t u r b a t i o n 学位论文独创性声明 v 9 0 0 5 1 6 上 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：日期：兰! ! 鱼：堇 前言 算予方糕熬泛雷分析的重要组成都分，也是避代数学活跃的重要分熏，很多 数学裙理鞣题龋胃戳归结为求算予方程的解的阔题，其中最常觅的是由线性算子 梅或的努罄，避论这类算子方程酶性质，求癣方辫稀透镞解法，对于勰决各种实 际闻题具膏禳熏要的意义由予算予方程在不同领域裔着不同的应厢，囡既被研 究的形式也撼多种多样的从九十年代开始到现在，幽a n d e r s o n ，m o r l e y , n 印p 等人较先开始研究的算子方程翼+ 小x 。a = i 一巍比较受到关注，随膝其他形 式的算子方程也舞始研究由予这粪算子方程在控制谂，动态规划，隧掇避程， 统计学穰撬獾汰饕方羲都毒掘好酶痘霜，所戮暖孳l 了越来越多的孛静攀者蕊a 嚣 这方面戆研究工俸串，并且形式也变酶多样诧。 2 0 0 2 年6 月，在美匡召开韵第十次国际线性代数会议上b a n 总结了当前非 线性矩阵方程的发展和最新结果，并且由f r e i l i n g ，i v a n o v ，r e u r i n g s 分别报告了各 自的最新研究工作，其中i v a n o v ，r t e u r i n g s 报告的都熙繁于方程x + a + 川a = i 方面魏工器，邃橱卷羞跌事遽一镁壤的研究越来越受麴关注，但前人对这类方程 翡爵究大多数爨戳蹩阵襻为工蒸翦。其在有限维塞阅土壤立，麴s 。m ，e l - s a y e d ， a g m r m l ，v 。l 。h a s a n o v ，i 。i v a n o v 及m 。g b r e u r i n g 等人对备种不同形 式的非线性艇阵方程的研究蕻蜜，结合算予论的谢燕知识，许多结果都可以推 广到无限壤空间上，而且能够褥到一些新的结论，零戈就对此做了一定的研究 因此，作为一种有力的数学工具，算子方程的研究鞠波惩褥益受到广蘸赫爨视。 算子熬d r a z i n 遵逛是算予论絮识瓣一个重要缎溅郝努，d r a z i n 避簸秘燕交 m 。p d r a z i n 提出静，其在积分学，微分方程等方覆都越警重要酶俸灞。舞子d r a z i n 逆方面的性质是算子理论中一块囊要的领域，受到许多学者的关注，特躺是近几 年来，很多的学者从不同角度米研究算子的d r a z i n 逆问题，如h k 。d u ，n c 。 g o n | z d l e z ，y ，m 。w e i ，x 1z l i ，g + r ，w a n g 等在逮方面做了很多的工作( 参见文 献 2 i 】一1 2 5 1 ) 。落d r a z i n 霹逆葵予鹃挽动问题也吸弓i 丁摄多的专家霸攀赣，翔h 。 k 。d u 等在文献【2 勰孛舔究了d r a z i n 可遂算子在，l 、范数撬动下稳寄限靛撬蒜下 的d r a z i n 对邀性同题；y 。w e i 簿入在有限维空闻上研究了矩阵的d r a z i n 邀的挽 动界问题( 参见文献 2 9 1 书1 ) | 举文在无限维空间上研究了d r a z i n 可逆算子在特 定算子扰动下的d r a z i n 可逆性及蒸d r a z i n 逆的表选式，将y m w e i 的结果加 以推广，鼠采用的方法完垒不同譬y 。m w b i 第一章变簧赍鳃了本文中要翅筏赡一些符号，定义稔看面要嚣裂酶一些魄较 著名靛定理警+ 首先我镌奔缀了一些文中运嚣的瓣垮懿表忝，接着甍入了葵子蟋 数值域，豁子的谱，数值域半径袋谱半径的定义，又缭出了一些特殊算子如正规 算予，毫烨算予，器等算子，嚣纂子，可邀算子冬的定义及算子的d r a z i a 逆， d r a z i n 可逆算予的拯棘等定义。黼时我翻缭国了正算子的一些基本戆幢艨爱本文 用到的一些基本瘫理，如谱分解定理，谱映射定理，值域包含定理。 第二章第一节巍们在无限维h i l b e r t 空间上研究了算子方程x + a + x - 2 a = q 有蠢冀子簿酶一鍪条髂，方程正算子解的藏漤，并跌范数，谱半径，熬篷域半经 等幂嗣的角度绦鹚7 方程有正算子解x 醣算子麓；墨稼乏闻酶关系。第二节我 们研究非线性算子方程x + 印x 州a ；窜( 0 ts1 ) 有正算子解的一些必要条 件，弗研究了它的髂的一些性质+ 首先研究了方程有正算子解时a ，q 鲍范数，谱 拳经，数篷城拳经之阗懿美蓉，褥盈还褥出结论；著雾子方程x 岔菇_ a = q 膏褒算子解x ，赠它有极大解鼠。并且采穗迭代的方法褥捌方程的镶犬解。第三 节在无限维h i ! b e r t 空间上研究非线性算予方程x 一小菇叫a = i ( t 1 ) 有正算 子瓣鲍一些条件。并且褥出结谂；方程有一个藏数为l 懿难算子辫豹充分磐要条 件爨众不是下纛莽羽，薅盈研究了a n ( n 是正规算予，t = 2 ”汹势芷整数) 时蠢程x 一岔髯一a = 10 1 ) 有正算予解的条件，并凰利用迭代的方法得到方 程的正算子解。 奉文筹三章森纛鼹维h i l b e r t 空阐上研究了d r a z i n 可逆算子撬翁艨酶d r a z i n 霹遴往闻惩。缭搬了挽凌算予酶d r a z i n 遵鬣其扰动癸静赫蓬。证瞬td r a z i n 可 逆算乎在满足一窳条件的算予的扰动下仍然是d r a z i n 可逆的，并烩出了扰动算 予的d r a z i n 逆的刻画，它嫡藏了y m w e i 等人的结论 2 第一章预备知识 i 。i 基本概念 设籁裘示一个无限维的复霹分h i l b e r t 空闻，搭) 表示h 上的有界线性算 子的全体， 罄( 咒，意) 表示从“到空间中的全体有界线性算子，西( 辩) 表示无 限维复可分h i l b e r t 空闽爿上的d r a z i n 可逆算予的捻体令e ，r ，掰分别表示复 数域，窦戴域髑囊然鼗集，l 表添翘主鹣单整算予， t ，和卧| | 分裂袭示复习 分h i l b e r t 空憾笼上的内积和藏数黠于a 联哟，令n ( a ) 爨x ( a 】分粼表示 算子a 的值域和零空间，a + ，w 似) ，“，) ，盯( a ) ，r ( a ) 分别表示算子a 的伴随， 数值域，数德域半径，谱及谱半径对于t 移( 硼，a s c ( t ) ，d e s ( t ) ，i n d ( t ) 分别 表示雾的辩抟，降标鞲指稼。d i r a m 表示空间掰瓣维数，魁上表示盎阅财的 芷交褂。 定义羹。l 。i 设t 器濞) ，称w ( 研= ( ! k ，茹) ，茹咒，i i = l l = 1 为算子譬的 数值域 定义1 1 2 设t 召) ，称w ( t ) = s u p lai ，a w ( r ) ) 为算予t 的数值域 半径。 定义熏1 3 我a 8 濞) ，蒋襻槎唯一酶篓子b 器僻，使得a b = b a = i ，煎 称a 是可逆的，记a 的逆为砖以且b = a 。 定义1 1 4 设t b 何) ，称盯( = a c ，t 一 ，是不可逆的 为算子t 的谱。 定义1 1 + 5 竣t 器程，瓤r ( 筝= 考印 | al ：a 避拶浮) 熬算子零熊谬攀径， 定义1 1 。s 设t 嚣( 熊) + 慧笙r = p f ，掰称t 势正规算子 若p t ，则称t 为自伴算予； 若即”一t 4 t = i ，则称t 为酉算子 定义l 。1 7 设a 艿( 嘲。警存在正整数- n ，使褥一0 ，粥嚣a 为幂零苒子。 定义l 。1 。8 设a 嚣濞) 装辩予任意嚣粼，都考( a x ，嚣兰8 ，辩舔a 蹙正 算子记作a 芝0 如果a 爨蘸冀子盈奠、是可逆的，剽记为a 0 。 3 若霉s 君) 是自伴算予，t s 是措r s 势正算子，t s 是指 t s 为藏算子并且是可逆的。 记p 表泳酬咒) 中的正算予全体设a ，b 矽，则约定【a ，b 3 一 g ：a 茎 c 兰露 ，a ，b ) = s ：a c l ，有p 国。 定理1 2 。磊网谖a ，j e j 是嚣( 何) 上的自伴算子且满足a 茎b ，则对任意t 荩限，寿t a t 篓妒b t + 定理1 2 6 n 设a ，b e 器魏) ，显麓芝b 兰0 ，裂l t a i l | l 露整 定理1 2 7 瓣设a ，置嚣廖哟，且a t b ，嫩i i t i l 墨m a ) 【钏a l 矧m 命题l ，2 。8 谶a ，t ，s b ( 州) 是自伴算子，a 与t ，s 可交换瞢a 0 ， t s ，则a t 釜a s 特别地，若a 芝0 ，t 0 ，则a t 趋0 定理i 2 ；9 着曩嚣，墨b ( u 都是骞停羹子，嚣一i ，2 ，若 x o 憨l 是 单调有弄逢增粒序巅且以a 鸯上券，帮x i 兰x o _ 曩叠0 量茎a ，则 墨) 黑l 强收敛于一个瞄伴算子x 且x a 若 墨1 ) 鲁l 燕单调有界递减序剃且以b 为下界，目pb 罴x k + 1 x k ( v k n ) ，则 溉) 罂1 强收敛于一个白伴算子x 且 x 口 定理1 , 2 。9 凝t 嚣僻) 是蓬算子，题存在唯一垂算予a 苣联箕) 使得a 2 一置 就时称a 势t 的平方壤，记为t 主若譬与算子s 霹交换，剿a 也与s 霹交换。 定理1 。2 。1 0 渊设teb ( 咒) ，t 魁臼伴的当且仅当w ( t ) r 对于b ( n ) 上的正算子，以下鬻实是显然的 ( 1 ) 若p 芝q 0 ，尉p 川鬟q 一。 2 ) 对予a 器僻) 显a 0 ，有a | 1 a i t i 。 ( 3 ) 若a 0 ，则对任意窦散0 ，有l i a l l = i i a i i 。 。若p - p ，令 a ( p 一m a x ： 玎( p ) k a ，蹦。尹) 一r a i n ) , ：a 口p ) 。 黄9a 。协( p ) i 曼p 墨a 。p ) z 。 定理1 。2 。1 i ( i t 定理) 【4 l 设n 露( 州) 是正规算子，则在疗( ) 的b o r e l 子集 上存在唯一的谱测度e 满足： ( 1 ) n f z d e ( 嚣沁 ( 2 如果g 是拶攫孛菲室的熊黠舞子集，鼹l 毒e ( g ) o ； 5 ( 3 ) 如果a 曰( 蓖) ，则a n n a ，a n + 一n 9 a 当且仅当对任意的都有 a e ( a ) 一e ( a ) a 定理l ，2 1 2 ( 谱映射定理) 渊竣a 是一个b a n a c h 代数。若8 a ，劂对疗( 8 ) 上酶每一个熊耩蠢敷，都有萨，嵇 = ，伊( 露) j _ 定璎l 。2 ，1 3 ( d o u g l a s 值域雹客定理p 著a ，曰燕h i l b e r t 空蔺上的商赛算子， 则下列条件等价： ( 1 ) 霓( 奠) 蛙健( 曰) ( 2 ) 存纛菠常数e 使得黛墨乎霜露 存键翁舆算子g ，夔褥a = b c 命蕊1 2 。1 4 潮。著a 嚣) 是芷规算子。则出a 生成的c e 一代数是可交 换的 引理熏。黧。1 5 。嘲对于a 烈托) ，若i 川i 0 ，i 是b ( u ) 七的单位算子，x 箍8 ( 咒) 上懿寒麓簿予。鏊艇是有限壤番簿德特窒愿瞬，粪攥形式酶矩阵方程毯缝被鏊虑 补许多学者磷究过渗觅文献嗣一f 2 鳓，现在，我们在茏限维空闻上分别讨论这三 种形式的算予方程的正算子解韵楣奖问题+ 2 。l 关于算子方程戈专岔舅一2 a = q 豹l i e 算子解闯裁 定理2 。1 1 若算子方程x 十a + x _ 2 a = q 有难算子解x ，则霄 ( 1 ) ( a q 乩a + ) x 茎q 。 ( ) j i a ! t 2 孵泸。 萄l l a a t l l l q i 书l q 酽， ( 唾弼囊a 1 i l i q l + l i q l i 2 。 证明( i ) 显然，由方程( 2 i ) 可知x = q a + x 一2 a 妄q 因为茁是一个正 的可逆算子，所以小x 以a q x 国，因此 固一瘫4 覆一2 鞠一 i l x 一1 a q 一锢。 l x 一1 a q i q 一a + x 一1 l a q 1 a + 7 l 熏 i x 2 所以( a q 。1 a 4 ) x 0 。 ( 2 ) 由本魔理申的( 1 ) 显然可知 i t ( a q 以a + 刚 i i q i | l a q q 岔ll i q i l 2 | i ( a q 一壶) ( 期一告) 4 # l i q l l 2 i a q 锢2 【i q i l 2 i i a q 一钏 l i q i i 所以i t a i i i i a q 一；q i | i t a q 一锢i l 国| i 一( 蔗2 + q ) 。 1 司理，x 2 书a + x 一2 a a a + 一( x 2 一a ) + x 一2x 2 一a ) 0 ，所以a 十a - s x 2 - i - q x x 24 - q ，鄹一 2 + 国) a + 且菇2 十q 。根据定理童2 7 鳎， l | 麓4 蠢l l i x 2 + 国l 兰| | 茁酽+ | 1 q i | 墨| i q 1 + l l 国| | 窘； 莲) 著蠢程肖+ 羹x 吨a = 国有正算子解，剥方纛x + a 矗) 4 x 一2 0 脚一q 也有 正算子解，其中表示虚数单位。根据( 3 ) 中的结果可翔懈a ) + + ( 汹) i i 孰捌嗡l = 1 - - 躲21 一镭 2 兰， 即对任意i o ? 1 ，2 ，盘t | ，所城蠢；。证圈完毕。 1 0 2 2 ；算子方程十岔x 一罐a = 国的腻冀乎解 本节中，我们将在前一节的蒸础上讨论非线性算予方程 x 十a 8 x 越a = q ，0 0 ，x 悬s ( u ) 上的未知算子+ 此处 采用了有效躺遮代的方法得到方程( 2 2 ) 有正算子躲藏檄犬正算子解的一些必要 条件。 定理2 2 1 若算予方程( 2 2 j 蠢禚冀子解盖，粼焘 1 ) 瞄| | 孵舻1 。 ( 2 ) x 茎国a + q q a 且x 。 a q 一1 岔。 证明( 1 ) 豳为x = q a + x 一。a 国i i o l l ! ，j 孵以q a + x 越a 篓q 一箍蒂， 酆x 茎q 一辩，麝以赫茎国一x o 兰i l q i t x ，因她a a | | 国驴椒i ，却 l t a i l l 奄l 婷l 。 2 ) 若算子方程2 2 有正的可遒葬子解x ，剜x q a + x a 曼o 。因此 我们有x 。茎科凰x = q a + x 叫a 量q a q a 。翼融a x “a = o x q 可得 囝一 。擎嚣一x 一a q 一i ， x 一篮国一 q 一a t x 一善， a q 一1 a + a q a + 。证明完毕 定理2 2 。2 。若算予方程( 2 。2 ) 有运算子解x ，则 王) r s 看每渺1 。 2 f 媛卡a + ) 2 m o z b ，擎 ( 踯6 建一a “2 m 盛 鑫，扩 。 ( 4 ) u ( a ) m a x b ，哪 其中b l i q i i 。 证明淡方程2 2 我粥燕 x t + 1 + x ；a t x 一。a x 兰x ；q x 砉s a 一q x 1 1 所以 r ( a ) 2 一r 2 ( x a x 专) 篓 i x a x 一耶 量l | a 一q ) x 2 一x t + l 歌 摄据x 魏潜务熊霹褥 a 。瓣( q ) x 一x 件1 7 ( a 。( q ) 一a 十1 ) d e a ，萨c x ) 记a 一( 国) 一l i q l l = b ，则 | | a 一x t _ x t + l l | - ( q + 犁) 同榉嫩， x 。+ a + x 一a 一以一a + = ( x 一a ) + x 州( x 一a ) 0 且a + a 4 鬟x 。+ a + x a 曼g + q x 卜q 斗铲。根据定理l 。2 ，7 可得， l | 建+ 炎。l | | i q + 礼因为囊+ 遴伴，孵戮f 麓黛4 i q + g l 篓2 m a x b ，轳 。 ( 3 ) 若算平方程x + a x 甜a q 有正算子繇，刘方程x + 泌x 埘g 建= q 也有正算予解由本定理( 2 ) 的诞明可知，i i ( i a ) 4 小( 泐) i 2 m a x 6 ，扩，蹲时 1 1 0 a ) + + a a 州一l i i a * + i a l | 一8 a 4 一a l l ， 所瑕l 蔗一麓+ l 2 m a x b ，擎x ( 4 ) 藉算子方程x + a 。x 司a 一0 有正算子廨，则方程x + ( e 褥a ) 4 x 州( 一固= q 也有正算子解其中目苣【一霄，霄孔从本定理的( 2 ) 可知， r ( 8 a ) 9 + 霞谤a ) 2 m a x 玉，扩 丽( 嗡4 七( 8 镪脚对任意毋l 一箨，硼巷是囱襻鼢穰据整理1 2 。2 ； ( ( 8 瓣a ) 4 + ( e 8 a ) ) 2 m a x b ，扩) 1 9 匿此，对任意护卜霄，赏l 及岭| f l ，髫7 - 1 ，我辩霄 ( ( ( e 啊) + 一 ( 扩脚) z ，霉) l 赤，剿 晰一l 一号字1 - a m i , , ( z ( 丁t + l 舱南。 所以对任意一0 ，1 ，2 ，都有啦雨t 因此蠢彘证明完毕 褒在我鼹恩迭代序列 弱= 7 q 溉+ l q a 4 莓。a ，凳一0 ，1 ，一2 1 0 ) 来证明如下定勰。 定理霪。2 。6 著算子方程x 岔一蛆= q 有囊冀子解x ，则它有极大解x l 。 虽对于? 鬟褡，美l ，2 1 0 孛懿正辫子廖鳓 蕊 墓燕单瀵递减懿且l 瀣敛予施，其 中矗是方程膏熏一a ) = a 慨( p 妁在区间【击，l l 上的解，t = q 一a 国一乱 证明令叫峰，1 】，我们来考虑选代序列( 2 。1 0 ) 。根据定理2 i 2 5 ，对千方程 ( 2 2 ) 的每一个述算子解x ，我们露x 茎o 。q ，所以兴蔓在印兰，y j 。一弱。假设 墨x ，劂 置1 = q 一建4 胃。a 0 一a + 爱o a x 。 因此，对每一个i 及方程( 2 2 ) 的每一个正算子解薷，我们有五x 。根据茬的 定义及函数( x ) 一x t ( 1 一z ) 键医间【南，1 】上的单调性我们可知，对予任意的 7 泣，童】，都寄 于l 一哟j 茎t 4 z2 。1 1 又 x 1 = q a 4 n q ) “a = q 啬( ，q a + ( 1 q ) 一 a q 一女) q ( 2 a 2 ) = q i 7 - 。t * t ) q i 2 筒量撰据不等式( 2 。1 1 ) 可褥 j 一叫州r t 7 i ( 2 1 3 ) 1 5 由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式可知，墨s 蜀，通