（飞行器设计专业论文）飞行器折叠尾翼的弹性动力学有限元数值分析.pdf

西北工业大学硕，卜学位论义 摘要 折叠翼设计技术在飞行器类武器装备中具有解决几何空间矛盾的技术优势， 得到了越来越多的应用。折叠翼的机械设计原理及其工作的可靠性需要细致的计 算分析技术支持，获得对过程的认识并对技术参量进行定量评估。 有限元素法已成为工程设计中不可或缺的重要技术手段，在大型结构作用力 分析、变形分析、失效分析、动力学分析、传热分析、电磁场分析、流体流动分 析等方面扮演着越来越重要的角色。随着计算机技术的飞速发展，有限元素法及 其技术在工程设计中的应用更加广泛。 本文运用大型有限元c a e 软件a n s y s 和l s d y n a 3 d 对某具体飞行器水 平折叠尾翼的机构运动进行了细致的有限元建模和动力学计算分析，运用 l s p o s t 对计算结果进行了详细的后处理，运用可视化技术对数值分析结果进行 了图形及曲线描述。获得了对该机构弹性动力学运动过程的数值模拟及动力学过 程的数值可视化再现，并运用刚体动力学方法对有限元数值模拟结果进行了对比 分析。在此基础上，对折叠翼面机构各构件在弹性动力学运动过程中的工作应力 水平给予了分析与评估。 本文还对弹性动力学有限元数值计算过程中遇到的若干技术细节进行了深 入分析与探讨。这包括质量缩放技术对时间步长的影响、单位制对计算速度的影 响以及单元刚度单点数值积分的沙漏模态控制技术等。 关键词：折叠机构，弹性动力学，有限元建模，数值计算 一 堕j 垦王、业盔兰堡主兰垡笙塞； a b s t r a c t t h e f o l d e d w i n gd e s i g nt e c h n i q u e ，a r ea p p l i e dw i d e l yi nt h ea i r c r a f ta r m a m e n t s ， w h i c hi sam o s tf a v o r i t es c h e m et os o l v ec o n t r a d i c t i o n so fg e o m e t r i c s p a c e t h e d e s i g np r i n c i p l e so ft h ef o l d e d - w i n gm e c h a n i s m sa n dt h ew o r k i n gr e l i a b i l i t yn e e dt o b es u p p o r t e db yt h ea c c u r a t ec a l c u l a t i o na n dr e f i n e da n a l y s i s ，s oa st o g e tt ok n o w a b o u tt h ew o r kc o u r s ea n de v a l u a t et h ee f f e c t so f t e c h n i c a l p a r a m e t e r s t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) h a sb e c o m ea ni m p o r t a n tm e a n si nm o d e m e n g i n e e r i n gd e s i g n s ，w h i c hi su s e di nm a n yf i e l d s ，s u c ha ss t r u c t u r a ls t r e s sa n a l y s i s ， d e f o r m a t i o n a ls t i f f n e s sa n a l y s i s ，m e c h a n i cf a i l u r ea n a l y s i s ，d y n a m i cp r o c e s sa n a l y s i s ， h e a ta n a l y s i s ，e l e c t r o m a g n e t i s mf i l e da n a l y s i sa n ds o0 i l ，w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n t o ft h ec o m p u t e rt e c h n i q u e s ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n di t s a p p l i c a t i o nw o u l db e u s e di nm o r ea n dm o r e e n g i n e e r i n gd e s i g n f i e l d s t h i st h e s i si saf e m a n a l y s i so fo p e n i n gp r o c e s so f t h ef o l d e dh o r i z o n t a lt a i l w i n go fs o m ea i r c r a f t ，a n d t h ew o r ki n c l u d e s m o d e l i n gt h ed e t a i l e d m e c h a n i c a s s e m b l yo f t h et a i lw i n g ，a n dc o m p n t i n gi t se l a s t i cd y n a m i cp r o c e s sb yl a r g e s c a l e f e ms o f t w a r es y s t e m ，a n s y sa n dl s d y n a 3 d ，a sw e l lw i t ht h ep o s t p r o c e s s o r t o o l - 一l s p o s tt ot a k et h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t si n t ov i s u a l i z a t i o n i no r d e rt oc h e c k u pt h ee l a s t i cd y n a m i cn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，t h i st h e s i sa l s o c r e a t e st h er i g i d - b o d y d y n a m i cm o d e lo f t h et a i lw i n ga n dg e t si t sc o m p a r a t i v eo p e n i n gt i m e w i t ht h e s e w o r k g r o u n d i n g s ，t h ew o r k i n g s t r e s sl e v e l sf o ri n d i v i d u a l c o m p o n e n t o ft h e f o l d e d w i n ga r ee v a l u a t e d t h et h e s i sa l s oi n v o l v e ss o m ed e t a i l e dt e c h n i q u e sc o m ea c r o s si nt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o np r o c e s so fe l a s t i cd y n a m i cf e ma n a l y s i s ，a n dr e m a r k st h et h e o r e t i c a l f o u n d a t i o na n d a p p l i c a t i o n s t ot h e m ，w h i c hc o v e r sm a s s s c a l i n g ，h o u r g l a s s d e f o r m a t i o nm o d ea n dd i m e n s i o n a lc o m p a t i b i l i t y k e yw o r d s ：f o l d e d - w i n gd e s i g n ，f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，e l a s t i cd y n a m i cp r o c e s s ， n u m e r i c a is i m u l a t i o n i i 第一幸绪论 西北工业大学硕二 学盘论文 第一章绪论 1 1 飞行器折叠翼技术概述 早在二战时期，飞行器折叠翼技术作为舰载机的一项重要技术得到了广泛的 应用，当时美国有布鲁斯特f 2 a 水牛式战斗机，英国有喷火s e a f i r em k 4 7 战斗 机，日本有零式( z e r o ) 战斗机，都是航空母舰的舰载机，主要是为了减小飞杌 在航空母舰上的停放空间。二战后，苏联不甘落后，先后研制了t u 一9 l 舰载鱼 雷机、米格2 9 k 和雅克3 8 舰载机。不管是现在还是将来，更多更先进的舰载机 将会不断的出现。 现在，飞行器折叠翼并不仅仅用于舰载机，如a r e s 火星探测无入机，机尾 和机翼折叠，减小运输空间；美国的小折刀轰炸机，主要是为了优化飞机飞行各 阶段的气动外形，提高飞机的性能。 - 飞行器折叠翼有如下特点：折叠结构不影响机翼的设计外形，各种形状的 机翼都可以采用折叠技术：机翼上操纵控制运动部件如副翼，不受折叠结构的影 响，并能跟随机翼一起折叠；在保证机翼原有强度时，因折叠结构所增加的重量 不超过机翼原重量的1 0 ，甚至可达到5 以内；机翼外形内部的多余空间，能 在折叠时被大量压缩，机翼折叠后的体积变得更小，便于折叠后的运动及整机的 存放；机翼能够实现多重折叠，而且折叠后的形状能与机身的形状相协调，有如 鸟类的翅膀与身体的协调一样：折叠过程简单、快速、方便，能单人坐在机舱内 操作，也可以用自动方式操作；折叠机翼结构简单、可靠、安全性高、且生产制 造容易；折叠结构使机翼的成本增高约3 0 。由于超轻型飞机利用折叠翼技术可 以在平滑公路上利用拖车运输，甚至可以在公路上起飞降落，或者在公路加油站 加油，飞行器折叠翼技术有可能是飞机向大众化个人交通工具发展的这条技术路 线上的项重大技术进步。 1 2 本文主要工作和思路 本文主要的研究工作内容即针对某类飞行器水平折叠尾翼的具体机构设计 及其构件运动展开过程进行有限元数值计算仿真，对其构件的数值模拟结果进行 应力和运动分析，研究展开过程的动力学行为及其构件的工作应力水平，获得机 第1 页 第一葶绪论 西北工业大学倾l 学也论文 构运动的动力学行为的深入认知，并确定构件合理的工作应力水平。研究工作内 容包括对具体水平折叠机构设计原理及传力特征进行分析，在合理的定性分析基 础上，丌展细致的有限元数值分析建模工作，并确定结构建模的力学边界条件及 其数值计算的细节处理方案。 针对具体的机构设计方案及工作原理，本文采用两段数值建模的数值模拟计 算方案，即翼面与驱动机构部分、锁机构细节部分。对两段有限元数值模拟的计 算结果进行应力分析和运动分析，利用可视化技术制作水平尾翼展开过程和锁机 构解锁过程的动画，可以对有限元数值模拟结果有一个直观、感性的认识。运用 刚体动力学方法对水平尾翼展开过程所需时间进行了理论分析，并与有限元模拟 结果进行对比分析，对于锁机构着重分析了解锁力，并对解锁力的控制过程进行 了多次有限元模拟。 本文还对弹性动力学有限元数值计算过程中遇到的若干技术细节进行了深 入分析与探讨。这包括质量缩放技术对时间步长的影响、单位制对计算速度的影 响以及单元刚度单点数值积分的沙漏模态控制技术等。 l - 3 有限元技术的发展概况 在大力推广c a d 技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离 不开有限元分析计算，f e a 在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。发 展方向及重大进展国际上早2 0 世纪在5 0 年代末、6 0 年代初就投入大量的人力 和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航 局( n a s a ) 在1 9 6 5 年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 n a s t r a n 有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规 模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大 学也发展了批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件， 主要有德国的a s k & 、英国的p a f e c 、法国的s y s t u s 、美国的a b q u s 、a d i n a 、 a n s y s 、b e r s a f e 、b o s o r 、c o s m o s 、e l a s 、m a r c 和s t a r d y n e 等公 司的产品。 当今国际上f e a 方法和软件发展呈现出以下一些趋势特征阻3 ： 1 、从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从 结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实 第2 页 第一市绪论 两北t 业大学预十学位论史 践证明这是一神非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明，只要用于 离散求解对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。 2 、由求解线性工程问题进展到分析非线性问题随着科学技术的发展，线性理论 已经远远不能满足设计的要求。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投 资开发诸如m a r c 、a b q u s 和a d l n a 等专长于求解非线性问题的有限元分析 软件，并广泛应用于工程实践。 3 、增强可视化的前置建模和后置数据处理功能。早期有限元分析软件的研究重 点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。在强调“可视化”的今天，很 多程序都建立了对用户非常友好的g u i ( g r a p h i c s u s e r i n t e r f a c e ) ，使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求 将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列 表输出。 4 、当今有限元分析系统的另一个特点是与通用c a d 软件的集成使用，即在用 c a d 软件完成部件和零件的造型设计后。自动生成有限元网格并进行计算，如 果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从丽极大 地提高了设计水平和效率。 1 4 本文使用的有限元工具 1 4 1 a n s y s 简介0 1 a n s y s 是一种广泛的商业套装工程分析软件。所谓工程分析软件，主要是在 机械结构系统受到外力负载所出现的反应，例如应力、位移、温度等，根据该反 应可知道机械结构系统受到外力负载后的状态，进而判断是否符合设计要求。 般机械结构系统的几何结构相当复杂，受的负载也相当多，理论分析往往无法进 行。想要解答，必须先简化结构，采用数值模拟方法分析。由于计算机行业的发 展，相应的软件也应运而生，a n s y s 软件在工程上应用相当广泛，在机械、电机、 土木、电子及航空等领域的使用，都能达到某种程度的可信度，颇获各界好评。 使用该软件，能够降低设计成本，缩短设计时间。 主要技术特点： 唯能实现多场及多场耦合分析的软件 。 第3 页 生二立皇塑l 一一 翌! ! 三些查兰堡主兰垡堡苎 唯一实现前后处理、求解及多场分析统一数据库的一体化大型f e a 软件 唯一具有多物理场优化功能的f e a 软件 唯一具有中文界面的大型通用有限元软件 强大的非线性分析功能 多种求解器分别适用于不同的问题及不同的硬件配置 支持异种、异构平台的网络浮动，在异种、异构平台上用户界面统一、数据 文件全部兼容 强大的并行计算功能支持分布式并行及共享内存式并行 多种自动网格划分技术 良好的用户开发环境 1 4 2 d y n a 简介4 3 d y n a 3 d 是一套泛用型的有限元素分析软件，最早由j o h a l l q u i s t 博士在 美国l a w r e n c el i v e r m o r en a t i o n a ll a b 开发此套软件，早期研究主要在于计算结 构物受冲击负荷时的应力分析而后j o ，h a l l q u i s t 博士成立了l i v e r m o r e s o f t w a r e t e c h n o l o g yc o r p ( l s t c ) ，经过历年的发展，d y n a 3 d 强大功能已广为世界各地 使用者所认同，它同时包含了e x p l i c i t m e t h o d ( 显式求解法) 与i m p l i c i t m e t h o d ( 隐 式求解法) 两种求解模式，特别适合于非线性问题。d y n a 3 d 拥有庞大的材料和 元素资料库，多种的碰撞模式且能提供高度的准确性，可以模拟现实生活中的复 杂碰撞问题，在非线性分析上也被视为主要的辅助设计软件。d y n a 3 d 不仅是用 于结构分析，可计算流一固耦合问题及热传问题。 d y n a 3 d 的应用广泛，在美国已广为航空业及汽车业应用于结构分析，如 车辆碰撞及安全性分析，在其它的领域亦有杰出的表现。 第4 页 塑二! 里查兰塑垦星塑壁堑璺锁机构设计原理与分析两北工业大学硕二i 学位论文 第二章水平折叠尾翼展开及锁机构设计原理与分析 作为本文的主要研究工作对象，本章首先论述分析了飞行器水平折叠尾翼的 结构构成和解锁机构的机械设计原理；依据飞行载荷在该尾翼上的作用以及本文 的分析目的，本章分析了水平折叠尾翼和锁机构的构件内力传力特征。 2 1 水平折叠尾翼结构设计及其结构的传力特征分析 飞行器导弹的总体设计要求，水平尾翼结构为折叠型技术方案，实现其由未 展开的铅垂位置到完全展开的水平位置的机构运动、结构承载以及活动舵面控制 的三大技术功能，机构运动如图2 1 示意。本节详细描述了实现折叠尾翼结构三 大技术功能的设计思路、实施方案以及主要特征分析，提出设计关注的关键问题， 为动态有限元数值仿真分析建立技术总体思路。 2 1 i 水平折叠尾翼结构设计方案 根据总体设计协调方案，水平折叠尾翼 结构的几何尺度特征在空间上有以下技术一一 要求： l 、折叠后( 未展开位置状态) ，水平尾 翼单向翼展长：8 0 m m 。此即表明水平尾翼 的固定翼面( 称为内翼，与弹体连接) 长度 为8 0 m m 。 图2 1 折叠尾翼结构前向示意图 2 、展开位置状态，水平尾翼单向最大翼展长2 9 0 m m 。此即表明水平尾翼的 折叠段翼面( 包括运动机构的直径长度) 长度约2 1 0 m m 。 3 、折叠前后状态，水平安定面与活动舵面沿翼展方向尺度一致。 根据上述总体设计的基本要求，本文的水平尾翼结构设计包括：固定段内翼 ( 与弹体连接) 、安定面以及活动舵面。安定面为折叠翼面的主动运动部分，而 活动舵面为折叠翼面的从动运动部分。通过支点耳片的连接，实现主动部件带动 从动部件的旋转运动。 本文折叠机构的运动采用齿轮传动的机械原理，即外齿轮与活塞杆一体( 以 下称外齿轮轴) ，由动力源( 火药) 驱动直线运动：内齿轮套筒与折叠翼面( 安 第5 页 ， ， 一 j=i=u 第一二嚣水、p 折叠尾冀展开发锁机构设汁原理与分析两北工业人学硕j ：学位论文 定面) 固连，与外齿轮轴间隙动配合，受外齿轮轴的驱动实现旋转运动。经细致 工程设计，水平尾翼结构及其运动机构的构件由以下各构件组成：内翼( 固定翼 面段) 、外翼( 折叠安定面) 、副面( 折叠舵面) 、支座】、支座2 、作动筒、活塞 杆、外齿轮( 活塞杆与外齿轮为一体构件) 、内齿轮( 套筒) 、锁定机构、副翼转 轴等。其结构组装原理如图2 2 所示。 水平尾翼折叠的工作原理可总结如下：当接到尾翼展开指令后，火药点火， 产生的高压气体解开锁机构后，推动活塞杆、外齿轮作轴向运动；由外齿轮的轴 向运动产生扭矩，使内齿轮套筒连带折叠翼面作旋转运动，从而使外翼折叠部分 展开到位。火药爆炸的能量大小决定了运动机构的展开时间，从导弹的飞行控制 工程技术要求及技术实现角度上看，该机构体系的运动时间控制在0 2 秒以内为 宜。翼面展开到位后，由锁定机构将外翼锁定。 i ： i l 7 。 蓁 外翼耳片 副翼 7 汴辛差 最 。_ 。1 。1 。_ 。 | 一 内翼定轴 。1 。 = r f 1 崔芋刳替稠一7 一 ii 恼f 内翼支座。支座： 解锁机构位置 图2 , 2 水平尾翼结构组装原理示意图 2 1 2 水平折叠尾翼结构的主要传力特征 由上述水平尾翼结构设计方案可以分析得知，水平尾翼的主要传力特征集中 于水平尾翼折叠运动的传动机构及其支持构件上( 与内翼连接的支座) a 由传力 路线分析可知作用在外翼面上的气动载荷相对弹体将产生剪力、弯矩以及扭矩， 第6 页 笙三妻查：! 堑垦堡墨墨茎丝塑垫塑垦堕原理! 沙析西北工业大学颂十学位论文 弹体与水平尾翼的内翼固连，因此，外翼段的各种载荷将通过内翼传至弹体上： 而外翼段( 包括副翼) 与内翼段的连接则通过运动机构的支座以及内外齿的螺旋 运动副结合面。具体的外翼段的载荷传力路线分析如下： 1 、外翼段的剪力主要通过外齿轮活塞杆的连接支座传到内翼，从而传至弹 体；与副翼由销钉连接的内翼定轴也作为一有效的剪力传力路径。 2 、外翼段的弯矩主要通过内外齿的螺旋接触面传递，即内齿轮套筒将弯矩 转变成作用于外齿轮齿面上的扭矩，外齿轮由方截面活塞杆与支座的面配合产生 抗扭力矩，最终即通过支座传到内翼及弹体上。 3 、外翼段扭矩则直接通过折叠运动机构的支撑( 即与内翼连接的支座) 以 及内翼的后定轴，直接传到内翼及弹体上。 4 、外齿轮及其活塞杆受火药动力驱动的直线运动。由螺旋运动副转变成内 齿轮的扭转运动，由此产生的扭矩克服外翼段的惯性力及其阻尼，使折叠着的外 翼段实现展开。因此，这种运动的转换必然受到外翼段惯性力、气动力的抗力作 用：反之，使外齿轮及其活塞杆受到外翼段惯性力、气动力的反作用力。 根据以上定性分析可以明显看出，运动机构的传力不仅在于折叠展开过程当 中；同时展开后，运动机构承担着外翼段载荷的传递。因此，运动机构体系的运 动及其内力承载成为本文分析研究的关键。 2 2 锁机构原理及其工作过程 锁机构限制活塞杆的启始运动，使之固定在初始位置；点火装置产生的高压 燃气达到一定压力后，压锥推动钢球离开原来位置，使锁机构解锁，不再对活塞 杆运动起阻挡作用，这就是锁机构的基本工作原理。 零件描述( 参照原理图2 3 ) ：阻挡圈镶在活塞壁上( 为固定件1 ，它阻挡钢球向右 运动；铡球( 共有8 个) 在活塞端部沿周向均布，可在活塞孔中运动；活塞套在 活塞杆上，内外两个槽装有密封圈，防止高压气体从左边向右渗漏，活塞右边承 受弹簧的压力，使之有向左运动的趋势，活塞左边通过钢球与压锥相接，阻挡活 塞向左运动；弹簧为压缩弹簧，两端分别给活塞和活塞杆施加压力，弹簧套在活 塞杆上；压锥为锥形，中有圆柱孔，套在活塞杆上，压锥通过挤压钢球作用于活 塞：活塞杆在原理图上并不完整，左边尚有一部分螺杆，上套有压衬，压衬可通 过螺纹旋动，调整压锥位置，进而调整弹簧压缩量，从而调整锁机构的解锁压力； 第7 页 笙三垦查：! 三塑垦堡望壁开甚堂机构哒原理与分析西北工业大学硕士学位论文 阻挡圈 图2 3 锁机构模型原理圈 活塞杼右边尚有一段方形杆，它可以在活塞口和支座2 的方形孔中运动，这样， 活塞杆只能左右平动，被限制了转动自由度；活塞杆右端连有外齿轮。 工作过程如下( 参照原理图2 3 ) ：活塞上有密封圈，这样作动筒中活塞左边 是一个封闭的空间，火药爆炸产生的高压气体进入作动筒，气体压力作用在压衬 和活塞杆端面，使之有向右运动的趋势，压锥、活塞杆、钢球、活塞、弹簧和衬 套作为整体向右运动，直到阻挡圈挡住钢球。当压力达到定程度( 可由压衬调 节) 时，钢球沿着压锥的斜面向下运动，推动活塞向右克服弹簧压力，弹簧被压 缩。当钢球进入活塞，阻挡圈不再起阻挡作用时，压锥、活塞杆、钢球、活塞、 弹簧和衬套这个整体继续向右运动，通过阻挡圈，锁机构失去作用，解锁完成。 解锁压力很重要，解锁压力太小，不能锁定，折叠翼可以晃动，带动外齿轮， 外齿轮晃动带动活塞杆，处于不稳定状态；解锁压力太大，则解锁过程须用时间 增加，对于作战时间影响增大。所以由压锥调节解锁压力需要很高的精度，对于 解锁压力的设计和校验的重要性也就凸现出来了。 受力特点：解锁机构主要承受冲击载荷，其承受冲击的能力很重要。故除对 整个模型进行有限元模拟外，还要对解锁机构进行有限元模拟和分析。 2 3 本文需解决的主要关键问题 依据以上两小节的分析，本文对于飞行器折叠翼展开和锁机构解锁的技术思 路及拟解决的主要关键问题如下： l 、运用动态有限元数值分析技术，对水平尾翼折叠展开过程进行数值计算 第8 页 i ! 二三堂水、! 塑垦星墨壁茎壁篁机构避捕原理与分析西北t 业大学硕士学位论文 仿真，获得对展开过程中各物理量及运动量变化规律的深入认识，提供于火药动 力分折； 2 、由动态有限元数值计算获得运动机构及其水平尾翼主要构件再展开过程 中以及展丌到位状态下的工作内力水平，从而，进行有效的动强度设计以及结构 重量优化设计； 3 、由动态有限元数值计算对水平尾翼的运动过程仿真，获得主要构件上的 强度危险部位认知。 4 、对锁机构的解锁过程进行数值计算仿真，获得对解锁过程中各物理量及 运动量变化规律的深入认识： 5 、获得锁机构的各主要部件在解锁过程中的工作应力水平，进行有效的动 强度设计及校核； 6 、对锁机构解锁力的控制进行分析，并与设计要求进行比较。 第9 页 笠三里! 里堡垫查兰堑焦坌堑堇墅 堕! ! = ! 些盔堂堕堂焦丝塞 第三章弹性动力学数值分析基础 飞行器折叠翼展开的有限元模拟和分析过程，涉及到了弹性动力学基本理 论、弹性动力学数值计算方法以及弹性动力学有限元算法，另外还有有限元素法 中的接触理论和算法。通过本章的介绍，我们对于上述理论和方法会有一个大致 的了解，便于以后的模拟和分析。 3 1 弹性动力学基本方程与数值计算方法 弹性动力学主要研究弹性物体对动力载荷的响应。加载过程使物体产生显著 的加速度，由加速度引起的惯性力的影响不可以忽略。弹性动力学的基本假设与 弹性静力学相同，基于这些假设，可以知道弹性静力学的基本方程中，除平衡方 程外的几何方程与物理方程均可以直接应用于弹性动力学。 3 ，1 1 弹性小变形动力学基本方程 弹性小变形动力学基本控制方程组为： f 运动方程盯+ 厩= v ( 3 1 ) i i 几何方程白：丢o 。+ ，) ( 3 2 ) 卜方程p o - 。f “= ( 3 彬2 + 9 2 + 2 - ) g 肫u = ， s ， 【边界条件 缘象岛盛j 椭2 , t t o 。 。， 这里最+ s ，= s ，且巧g ，f ) 和曩g ，r ) 都是预先知道的函数。式( 3 4 ) 最后一项 为应力边界条件，在这些边界上，有：p 。= 仃f ”。 3 1 2 弹性动力学数值计算方法( h a m i l t o n 变分原理) 在弹性动力学问题中，除了考虑变形体的应变能以及外力势能外，还需考虑 物体的动能，建立包含这些能量在内的泛函，由它们的驻值条件便可以得到弹性 动力学的支配方程以及定解条件，这就是弹性动力学的变分原理巧3 。本文采用 h a m i l t o n 变分原理进行弹性动力学有限元计算模型的推导。 第二章弹性动力学数值分析基础 西北j 业大学硕士学位论文 h a m i l t o n 变分原理采用的初终值条件为：u ( x ，o ) = ( x ) ，u ( x ，f ，) = “，( x ) ，其 中l d 0 g ) 和“( z ) 为给定的函数，保留几何方程、物理方程与边界条件。满足上述 方程的状态称为可能运动状态，即约束所允许的运动状态。h a m i l t o n 变分原理的 表述如下：在一切可能的运动状态中，真实状态满足下式驻值条件： 占j 。l d t = 5 c k u d t = 0 ( 3 5 ) 上式：工称为l a 铲a 1 1 9 e 函数；k = i 1f p - d 魂u jd 出u , d 矿为系统动能； u = f - , s g , j 2 一崩m p 矿一1 a 虬d s 为系统势能。 将k 与u 代入式( 3 5 ) 中，逐项进行变分运算，可以得到： “l ( 例i + g d , i + 厩b 。d 矿+ ( 一n + 只脚栅p 2 0 ( 3 - 6 ) 由于h d u ，) ，= ，d u ，+ 啦，n = o q n ，代入式( 3 6 ) ，并应用散度定理， 可得： 棚= 引f , o ，函，j 矿+ f 出。d 矿一f 施，d 矿一只函。嬲j 硪= o ( 3 7 ) 应用有限元方法直接计算泛函驻值是将结构空间离散化，在离散化的单元以 及节点上进行位移插值，即： u i ( x ，y ，z ，f ) = n t ( x ，y ，z k ( f ) ( 3 8 ) 上式n ，为节点，的形函数，重复下标表示在其取值范围内求和。写成矩阵形式 有：“：n u ，i i = d 。同弹性静力学有限元计算方法相似，将几何方程与物理 方程写成矩阵形式：盯= e e 、占= b u 、如= n b u ，并代入式( 3 7 ) 中，得： 钔= f 1f n r p n d v 驴+ p 7 e b d v 【，一删7 一妒7 西j 观协= o ( 3 9 ) 令： 肼= f n r p n d v - k = p 7 e b d v ，一= f 7 d v ，五= p 7 d s 。由础 的任意性，有： m o + k u = 巧+ 疋= f ( 3 1 0 ) 上式即为经过有限元离散化之后获得的关于结构动力响应的二阶常微分方程。 在上面的推导中，没有考虑结构阻尼的影响，实际上，结构在外载荷作用下 总会以多种方式( 声、光、热等) 消耗系统能量。般认为，系统阻尼在工程尺 第1 i 页 第三章弹性动力学数值分析基础 西北。t 业大学硕士学位论文 度上可以认为是运动速度的线性关系，即f = 嘶，c 为粘性阻尼系数。将阻尼项 引入动力学微分方程，经与上述相同的推导过程，可得： 肘d + c o + k u = f ( 3 1 1 ) 上式中阻尼矩阵c 工程上一般采用比例阻尼计算方法，即： c = o r o m + 吼k ( 3 1 2 ) 系数、甜，可以由实验方法或经验确定。在d y n a 3 d 中可以应用 * d a m p i n gp a r ts t i f f n e s s 语句定义该系数。 3 1 - 3 弹性动力学有限元基本解法与求解过程 3 1 2 节中通过h a m i l t o n 变分原理建立了弹性动力学数值计算方法微分方程 组( 3 1 1 ) 。根据分析者所关心问题的不同、结构复杂性的差异以及方法的精度、 求解的难易程度，求解弹性动力学振动响应主要有以下三类方法：1 ) 时域方法； 2 ) 频域方法；3 ) 响应谱方法( 冲击谱方法) 。其中时域方法根据解法的不同又 可以分为直接积分法、模态叠加法与状态空间法。直接积分法又可分为中心差分 法( 显式) 、h o u b o t t 方法( 隐式) 、w i l s o n o 法( 隐式) 以及n e w m a r k 方法( 隐 式) 等。其中显式中心差分法是d y n a 3 d 所采用的主要算法，而隐式n e w m a r k 方法是a n s y s 中动力响应计算部分的主要算法。 ( 1 ) 中心差分法 中心差分法对加速度、速度的导数采用中心差分代替，即： d f2 丐1 一 u 2 + 叫 ( 3 1 3 ) 口t 2 西1 ( - u “t + u 一 将上式代入( 3 1 i ) 中，整理后得 a ? u 。，= 盖， ( 3 1 4 ) 式中：庙= 嘉m + 面1c ，耻f 一( 世一嘉肘) u f 一陆m 一面1c n 别称为有效质量矩阵与有效载荷向量，f 、m 、c 、k 分别为结构载荷n i t 、质 第1 2 页 第二章弹性动力学数值分析基础 西北：l 业大学硕十学位论文 量阵、阻尼矩阵与刚度矩阵。 求解线性方程组( 3 1 4 ) ，即可获得f + f 时刻的节点位移向量u 。，将u 。， 回代几何方程与物理方程中即可获得f + 出时刻的单元应力与单元应变。( 31 4 ) 形式与弹性静力学有限元基本方程f = k u 相同，因此可采用静力有限元求解方 法。 由上述计算过程可知，中心差分方法在求解t + a t 瞬时的位移向量u 。时， 只需要根据h 出时刻以前的状态变量计算出口与盖，即可直接计算出u + 。，这 种求解方法称之为显式，因此中心差分法又称作显式直接积分方法。 时削步长r 的选择涉及两个方面的约束：1 ) 在直接积分方法中，实质是用 差分代替微分，且对位移加速度的变化采用引伸的线性关系，这就限制了f 的 取值不能过大，否则结果可能失真过大， 数值稳定性问题。在每一步数值计算中， 不能正确表现冲击振动的真实响应；2 ) 不可避免地存在舍入误差，这些舍入误 差又不可避免地代入下一个时间步算式中，如果算法不具备数值稳定性，则可能 导致结果发散，不能正常表现真实响应，甚至无法求解。计算误差的控制要求f 的取值不可能过大，这取决于算法本身构造对误差的容限。 可以证明，中心差分算法是有条件稳定的，也即时间步长必须小于由该问题 求解方程性质所决定的一个时步临界值：0 = l n ，其中是有限元系统的最 小固有振动周期，一般只需要求解系统中最小尺寸单元的最小固有振动周期 m i n 脚可。 在d y n a 3 d 的计算中，考虑上面时步的两种约束及中心差分法的稳定条件， 采用“变时间步长法”，即每一时刻的时步址由当前结构的稳定性条件控制，具 体算法为：计算每一个单元的极限时步长a t 。i = 1 , 2 ，取a t = m i n ( a t 。) 为下一 时刻的时间步长。各种单元的的计算方法如下： 1 ) 杆元、梁元：a t 。= a ( l c ) ，其中：t 2 为时步因子，系统默认o 9 ；l 为杆 单元与粱单元的长度；c = 驯p 为材料的声速。 2 ) 板元：a t 。= 口0 。c ) ，其中：l m m 为板元最小的单元边长度。 第1 3 页 第三章弹性动力学数值分析基础 两北工业火学硕士学位论文 c = 酬( 1 一v 2 ) p 为材料的声速。 3 )三维体元：a t 。= 础。 q + ( q 2 + c 2 y 2肌g = q t k l 篙 。1 眇l “瑟蒜嚣一踽v ) p 为材料魑c o 牝为无量 = er = i _ o l w m m 口1 ，l ，t 目 i 。对于4 节点体元。v ( 1 + y x l 一 “1 1 4 1 “2 纲常数，缺省值为1 5 和0 0 6 ；k 为单元体积；a 。为单元最大一侧的面积。 根据量纲分析可知：不论采用何种单位制，只要量纲是协调的，时间步长数 值不会发生变化。 中心差分法求解方程组( 3 1 1 ) 的步骤为： 1 ) 形成刚度矩阵k ，质量矩阵m 与阻尼矩阵c ； 2 ) 按照初始条件计算初始状态向量吼，d 。，玩： 3 ) 计算时间步长出； 4 ) 形成有效质量矩阵船和载荷向量釜。； 5 ) 求解方程( 3 ，1 4 ) ，获得t + a t 时刻的位移u ； 6 ) 根据u ，+ 。计算f + 出时刻的d ，+ & 、驴。+ 矿s ：+ 。、盯，+ 。： 7 ) 返回3 ) ，迭代求解，直到满足计算结束条件。 ( 2 ) n e w m a r k 方法 n e w m a r k 方法采用如下形式的加速度、速度表达式： 舷u 未u 黥僦 ( 1 2 曼泼识。k ： 【。，= 。+ 以出+一a 虹+ 口谚+ 。j ，2 上式甜、占为参量。将上式代入( 3 1 1 ) 中，整理后得： 足u h 也，= 孟 ( 3 1 6 ) 上式：露：上m + 生c + k 札= ，+ m 西1 去蜘陆一 谚) + c b ( 割卧( 划) a ：t0 ，) 第1 4 页 第三章弹性动力学数值分析基础 西北l 业大学硕士学位论文 分别称为有效刚度矩阵与有效载荷向量。求解上式，不难得到，。，进而得到 t + a t 时亥0 的应力与应变。由上式可以看出，求解 ，。；时，需要用到只。，因此 该算法称之为隐式算法。本文研究对象载荷随着结构空间位置的变化而变化，当 载荷历史全部己知时，f 。为已知量，对于本文研究的接触问题，f = f p 。，) ， 上式的求解需要通过迭代实现，常用的迭代算法有牛顿法、拟牛顿法以及修正牛 顿法等。 可以证明，当参量占o 5 ，口o 2 5 ( 0 5 + 占) 2 时，n e w m a r k 方法是无条件稳 定的，也即时间步长出的大小不影响解的稳定性。此时岔的选择主要根据解的 精度确定，一般说可以比中一t 3 差分法中的时步大得多。n e w m a r k 方法相当于用 计算上的复杂代替了中心差分法的微小时步。n e w r n a r k 方法求解方程组( 3 1 1 ) 的步骤与中心差分法类似。 仔细分析上面的两种数值计算方法，发现显式中心差分法非常适合研究波的 传播问题，而n e w m a r k 方法更适合用于计算低频占主导的动力学问题。当介质 的边界或内部的某个小区域受到初始扰动后，扰动是逐步向介质内部或周围传播 的。分析式( 31 4 ) 发现，显式中心差分算法的肘与c 阵是对角阵，如给定某些 有限元节点以初始扰动，在经过一个时间步长后，和它相关的( 在足中处于同一 带宽内) 节点进入运动，即【，中这些节点对应的分量成为非零量，此特点正好和 波的传播特点相一致。另方面，研究波传播的过程需要微小的时间步长，这也 正是中心差分法的特点。 对于低频响应占主导的动力学问题( a n s y s 中主要求解的就是这类问题) ， 从计算精度考虑，允许采用较大的时间步长以节省计算时间；同时，较大的时间 步长还可以过滤掉高阶不精确特征解对系统响应的影响。因此可以采用n e w m a r k 方法进行计算。d y n a 3 d 主要用于求解碰撞、高速冲击、爆炸等问题，在这些 问题中，都需要考虑波的传播，因此d y n a 3 d 采用了显式中心差分算法。 3 2 弹性动力学有限元求解中的关键技术 3 2 1 单元计算的单点高斯积分与沙漏控制“7 1 非线性动力分析程序用于工程计算，最大的困难是耗费机时过多，显式积分 第15 页 曼三重堂丝垫塑堂塾堕坌丛茎壁 亘i e 王些盔堂堡主堂垡堡塞 的每一时步，单元计算的机时占总机时的主要部分。采用单点高斯积分的单元计 算可以极大的节省数据存储量和运算次数，但是单点积分可能引起零能模式，或 称沙漏模态( h o u r g l a s sm o d e ) ，需要加以控制。l s d y n a 3 d 程序采用沙漏粘性 阻尼控制零能模式。 在l s d y n a 3 d 程序中，按时步t = 0 ，f ，f + z s t 2 ，t ，t + t 求解 运动方程： 心( f ) = e ( x ，r ) 一f ( x ，i ) 式中f = 宝b r 耐矿 ( 3 1 7 ) m 1 单元计算b r 胡矿时，应力增量抛f 由应变率毒根据材料本构关系求出。而 应变率0 与单元速度场叠。，膏：，南有关，即 囊：堕，童，：盟，叠，：堕 鼻2 菇z 。菇 5 菇 ( 3 1 8 a ) = 圭( 鼍+ 鲁卜= 圭( 鼍+ 薏卜= 圭( 鲁+ 鲁 - s b ， 对于8 节点六面体实体单元内任意点的速度分量为： j ，皓，叩，f ，f ) = 丸皓，r ，f 砖，( f ) ( 3 1 9 ) 式中，形函数 。g ，叩，f ) = ( 1 + 4 d x l + 讯玎x 1 + 幺f ) ( 3 2 0 ) 2 挚+ t + q k t l k 毒+ 圆k 翻铂k 嚆七 k 成+ t t k k 翻 考虑到瓴，r 。，厶l 五= 1 2 8 是节点的自然坐标值，见下表， 节点 123 4567 8 11111111 亭 11111111 叩 11。1 1lll1 f 上式用矩阵形式表达为 第1 6 页 第二章弹性动力学数值分析基础 西北l ：业大学硕士学位论文 矗皓，叩，f ，f ) = ；伍7 + a 7 f + 人。叩+ a ，7 f + r 1 7 勃+ r 2 7 叩f + r 3 7 菇+ r 4 7 f 叩f 玲。( f ) ) ( 3 2 1 ) 式中，k - o ) ) 7 ：k 。1 0 ) ，i 。2 ( f ) ，量，3 阶量。8 ( r ) 】 单元节点速度矢量，j ：o ) 为第t 节点的节点速度分量。 = f = |，a 卣r i f 2 r 2 六仉 f 4 r 4 f 5 r 5 彘叩6 f ，玎。 磊r 8 点醌f 。 4 , 2 r 2 彳2 g ：3 r 3 六叩。厶 善5 野5 - 彘印6 4 - 6 善，叩。厶 磊耳8 9 8 卣 彘 点 六 掌j 氏 卣 磊 孔：。 f 2 = 叩l 矗 r 2 炙 玎j 乞 r 4 叩，厶 玎6 氕 玑f 。 印8 氏 ! ， ，a 3 = 乳： f 。卣 f ：白 f ，卣 车a a f ，孝，