埃博拉病毒感染数量的一个数学模型_周后卿.pdf

第 11 卷 第 4 期邵阳学院学报( 自然科学版)vol 11no 4 2014 年 12 月 journal of shaoyang university( natural science edition) dec 2014 文章编号: 1672 7010( 2014) 04 0001 05 埃博拉病毒感染数量的一个数学模型 周后卿 1， 徐幼专2 ( 1 邵阳学院 理学与信息科学系， 湖南 邵阳 422000; 2 邵阳广播电视大学， 湖南 邵阳 422000) 摘要: 埃博拉病毒病( evd) 是严重的、 往往致命的人类疾病， 病死率高达 90% 埃博 拉病毒病疫情主要发生在中非和西非靠近热带雨林的边远村庄 该病毒通过野生动物传到 人， 并且通过人际间传播在人群中蔓延 病情严重的患者需要获得重症支持治疗， 无论对人 还是对动物都无可用的已获正式许可的特异性治疗办法或者疫苗 由于缺乏有效的治疗手 段和人用疫苗， 提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施， 这是 减少人类感染和死亡的唯一方法 本文建立一个埃博拉病毒的数学模型， 对疫情进行实证 分析; 并且对疫情的发展也做了一个预测 关键词: 埃博拉病毒; 数学模型; 实证分析; 预测 中图分类号: o175 1文献标志码: a a mathematical model of ebola virus infection numbers zhou hou qing1， xu you zhuan2 ( 1 department of science and information science， shaoyang university， shaoyang， hunan 422000， china; 2 shaoyang adio tv university，shaoyang， hunan 422000， china) abstract: ebola virus disease ( evd) ， formerly known as ebola haemorrhagic fever， is a severe， often fatal illness in humans evd outbreaks have a case fatality rate of up to 90% evd outbreaks occur primarily in remote villages in central and west afri- ca， near tropical rainforests the virus is transmitted to people from wild animals and spreads in the human population through hu- man to human transmission severely ill patients require intensive supportive care no licensed specific treatment or vaccine is a- vailable for use in people or animals in the absence of effective treatment and a human vaccine， raising awareness of the risk factors for ebola infection and the protective measures being taken are the only two ways to reduce human infection and death this paper established a mathematical model of ebola virus， and made an empirical analysis of epidemic diseases furthermore， we made a pre- diction to the development of epidemic key words: ebola virus;mathematical model;empirical analysis;prediction 收稿日期: 2014 10 12 基金项目: 邵阳市科技局科技计划项目( m230) 作者简介: 周后卿( 1963) ， 男， 湖南新邵人， 副教授， 研究方向: 组合数学及其应用 2邵阳学院学报( 自然科学版)第 11 卷 0引言 埃博拉病毒病( 以往称作埃博拉出血 热) 是一种严重且往往致命的疾病， 死亡率 高达 90% 该病会影响人类和非人类灵长 目动物( 猴子、 大猩猩和黑猩猩) 埃博拉是 1976 年在两起同时出现的疫情中首次出现 的， 一起在刚果民主共和国靠近埃博拉河 的一个村庄， 另一起出现在苏丹一个边远 地区， 病毒的起源尚不得而知 但基于现有 证据， 人们认为果蝠( 狐蝠科) 可能是埃博 拉病毒的宿主 自西非的几内亚卫生部在 2014 年3 月 21 日宣布本国出现埃博拉疫情后， 另外几 个西非国家 利比里亚和塞拉利昂也出现 了埃博拉疫情 这种病毒是一种严重的致 命疾病， 病死率高达 90%， 其传播感染的途 径是直接接触受感染的动物或人的血液、 体液和组织 据法新社 2014 年 8 月 8 日报 道， 国际卫生组织( who) 8 日宣布， 在西非 国家肆虐的埃博拉病毒为国际公共卫生紧 急事态 据世界卫生组织最新统计， 截至目 前， 埃博拉病例已增加到1711 例， 死亡人数 上升至 932 人; 8 月 2 日到 4 日两天内新增 病例数量为108 例， 又有45 人死亡 另据报 道， 利比里亚和尼日利亚分别于当地时间 6 日宣布国家进入紧急状态 国际卫生组织 还表示埃博拉病毒是 40 年来最严重的疫 情， 它呼吁各国帮助遭受埃博拉病毒肆虐 的国家 1 目前尽管只有少数国家和地区 出现疫情， 但由于人们对埃博拉的传播机 理， 如传染源、 传染途径、 发病机制、 流行和 变异规律等问题没有弄清楚， 并再加之缺 乏有针对性的治疗药物， 所以病毒尚没有 得到根本控制， 因而引起人们的恐慌 为了 应对具有蔓延态势的埃博拉病毒， 必须搞 清楚， 现有的干预手段究竟有多大效果， 埃 博拉病毒的发展态势如何?只有这样， 才能 确定更加科学准确的防治措施 因此， 我们必须在调查研究的基础上， 应用科学的分析方法， 揭示预测埃博拉传 播的趋势 本文利用传染病模型对南非部 分国家的埃博拉疫情进行了模拟， 模拟结 果与实际疫情比较吻合 在此基础上对疫 情的发展提出了预测， 以期有利于对疫情 的防范和控制 1数学模型 对于埃博拉病毒的数学模型研究， 早 在 1996 年， 文献 2 就使用 s i 和 s e i 模型， 模拟扎伊尔两个时段的埃博 拉爆发: 1976 年 yambuku 疫情爆发和 1995 年 kikwit 的疫情爆发 他们得到: 当基本再 生率 0满足范围 1 7208 60 时， 意味 着埃博拉病毒传染性不如以前那么厉害， 可以使他们减少潜在的死亡 近些年来， 也有一些文献( 参见 3 6 ) 对埃博拉病毒做了研究 现在在这些文 献的基础上， 建立埃博拉病毒感染数量的 数学模型 首先对模型进行假设: 把研究对象当 成理想人群， 总人数保持在固定水平 n 没 有迁入迁出及其他原因引起的死亡现象 假设患传染病后通过治好的人， 都具有长 期的免疫力， 同时设传染病的潜伏期很短， 可以忽略不计， 即任何人患病后立即成为 传染者 在这种情况下， 把居民分成易感者 ( s) ， 传染者( i) 及移出者( ) 三类， 分别记 作 s( t) ， i( t) 和 r( t) ， 三者之和保持常数 n， 即 s( t)+ i( t)+ r( t)= n( 1 1) 病人的日接触率为 ， 日治愈率为 ， 传染 期接触数为 = 模型构成 根据 s i 传染病模型: 第 4 期周后卿， 徐幼专: 埃博拉病毒感染数量的一个数学模型3 ds dt = si， s( 0)= s0 di dt = si i， i( 0)= i0 dr dt = i ，( 1 2) 由( 1 1) 式和( 1 2) 式的第 1， 2 个方程 解得 s( t)= s0e r ( 1 3) 取 e r 的泰勒展开式的前三项， 移出人 数变化率近似地等于 dr dt = nr s01 r + 1 2 r () () 2 ( 14) 在初始值 r0= 0 下得到其解为累计移 出人数: r( t)= 2 s0 s0 1 + tanh 1 2 t () ， 其中 = s0 () 1 2 +2s0i0 2 1 2 ， tanh = s0 所以， ( 1 4) 式可化为 dr dt = 22 2s0 1 ch2 t 2 () ，( 1 5) 因为 ch2 t 2 () 1， 所以有 1 ch2 t 2 () 1， ( 1 5) 式当且仅当 t 2 =0， 即 t = 2 时， dr dt取得极大值， 也即移出的人最多 下面我们再分析 s( t) ， i( t) 和 r( t) 的变 化情况 模型中前两个方程与 r( t) 无关， 所 以可以从前两个方程求出 i( t)与 s( t) 之间 的关系 即先考虑 ds dt = si， s( 0)=s0 di dt =si i， i( 0)=i 0 ， ( 16) 消去 dt， 得一阶方程， di ds = 1 + s ， i s = s0 = i0， 解此方程得: i( s)= i0+ s0 s + ln s s0 ( 1 7) 记lim t ! s( t)=s!， lim t ! i( t)=i!， lim t ! r( t)=r!， 不论初始条件 s0， i0如何， i!= 0， 即 病人终将治愈或者死亡 7 最终未被感染的健康者的比例是 s!， 在( 1 7) 式中令 i( s)=0， 得到 s!是方程 i0+s0s!+ln s! s0 =0 在( 0， ) 内的根 若 s0 ， 则 i( t) 先增加， 当 s = 时， i( t) 达到最大值: im=s0+i0 1 +ln s0 () 然后 i( t) 减小且趋于 0， s( t) 单调减小 至 s! 就是说， 如果仅当感染者比例 i( t) 有 一段增长时期才认为传染病在蔓延， 则 是一个阈值， 当 s0 时传染病会蔓延 若 s0， 则 i( t) 单调减小到 0， s( t) 单调减小至 s! 减小传染期接触数 ， 使得 s0 传染病就不会蔓延 注意到人们的健 康意识卫生水平越高， 日接触率越小， 医疗 水平越高， 日治愈率越大， 所以提高卫生和 医疗水平是控制传染病蔓延的有效途径 2实证分析 通过长期的研究发现， 埃博拉病毒主 要通过病人的血液、 唾液、 汗水和分泌物等 途径传播 常规检查发现， 血小板严重减 少， 常见淋巴细胞减少， 转氨酶升高， 有时 血淀粉酶也增高， 用电子显微镜有时可在 肝切片中观察到病毒 埃博拉感染潜伏期 为 2 21 天， 感染者表现为， 起初突然出现 高烧、 咽喉疼、 肌肉疼痛、 头痛、 和全身虚 弱;然后是腹痛、 呕吐、 腹泻 发病后的半个 月内， 病毒外溢， 导致人体内外出血、 血液 凝固，而坏死的血液迅速传及全身各个器 4邵阳学院学报( 自然科学版)第 11 卷 官， 最终病人出现鼻腔、 口腔、 肛门出血等 症状， 严重患者可在 24 小时内死亡 预防埃博拉的最有效办法是实施隔 离， 防止人们接触病患者 埃博拉病毒传播 的速度， 强度和广度取决于人群中感染者 和易感者的数量及两者间的有效接触 所 谓有效接触， 即病原体由感染者到达易感 者体内， 并使其感染乃至发病的接触， 它受 接触程度、 病原体种类、 病原体排出状况、 易感者的抵抗力等许多因素的影响 建立流行病学数学模型后， 还须把模 型得到的解用实际资料作拟合检验 若一 致， 则可初步认为模型合理， 可按其适用范 围到实践中去应用并作进一步验证 若不 一致， 则应认真检查模型的假设条件和数 学式， 进行修改， 直至拟合结果基本满意 为止 下面， 根据世界卫生组织公布的几内 亚自 3 月 26 日至 7 月 20 日所发生的埃博 拉病毒病疫情演变情况的数据( 见表一) ， 画出日增人数和死亡人数的散点图( 见图 1) 病例总数会因病例和实验室数据的重 新分类、 回顾性调查及合并整理以及监测 活动的加强而发生变化 表 12014 年几内亚埃博拉病毒造成的累计病例和死亡总数 tab 12014 guinea ebola virus caused cumulative cases and death numbers 日期3 263273 283 314 14 44 74 94 144 164 24 23426 累计病例86103112122127143151158168197208218224 死亡总数62667080838695101108122136141143 日期5 1535 55 75 15 125 235 275 286 16 36 56 16 累计病例226231235236233248258281291328344351398 死亡总数149155157158157171174186193208215226264 日期6 186 26 25637 27 67 87 127 147 177 2 累计病例390390393413412408409406411410415 死亡总数267270275303305307309304310310314 资料来源: 世界卫生组织 图 1日增感染人数和死亡人数散点图 fig 1the scatter plot of infecting numbers and deaths 再来分析预测每天感染的情况 根据( 1 3) 式和附录提供的数据， 取 = 372， =0 863， 可以估计出日感染人数 s = 1882 ch2( 0195t 602) ， 其图形参见图2 从上面的图 2 我们发现， 将在第 32 周 或 33 周， 日感染人数最多 也就是说， 如果 图 2日感染人数与周数关系 fig 2elationship between infecting numbers and weeks 我们以 3 月 26 日为基点， 那么将在今年的 11 月下旬或 12 月上旬每天增加的人数将 达到最多 以后， 随着积极治疗防控力度加 大， 被感染的人数将逐渐减少 尽管医学家们想方设法在努力探索， 但还是没有破解埃博拉病毒的真实身份， 至今埃博拉是一个不解之谜 没有哪个知 第 4 期周后卿， 徐幼专: 埃博拉病毒感染数量的一个数学模型5 道，每次爆发埃博拉病毒后， 它潜伏在何 处， 也没有哪个知道， 第一个受害者又是从 哪里感染到这种病毒的?埃博拉病毒就是 人类至今所知道的最可怕的病毒之一， 一 旦感染这种病毒， 病人没有疫苗注射， 也没 有其他治疗方法， 实际上等于判了死刑 唯 一能阻止病毒蔓延的方法， 就是把已经感 染埃博拉的病人完全隔离开来 8 现今治疗埃博拉的唯一方法， 就是注 射 npc1 阻碍剂 埃博拉病毒需透过 npc1 进入细胞核进行自身复制， npc1 蛋白于细 胞间进行运输胆固醇， 即使阻碍剂会阻挡 胆固醇的运输路线造成尼曼匹克症， 但那 是可以容忍的， 绝大多数的爆发都是短暂 的时间 从现在到最后彻底控制消灭埃博拉病 毒估计还有相当一段时间 随着秋冬病毒 高发季节的到来， 防治任务异常艰巨， 必须 引起高度重视 只有统一思想， 提高认识， 掌握实情， 科学应对， 做好防控工作， 才能 取得最后胜利 参考文献: 1world health organization ebola virus disease ( evd) eb/ol 2014 08 10 : http: / / www who int 2 fauci as: ebola underscoring the global dispari- ties in health care resources j the new england journal of medicine， 2014， 371: 1084 1086 3gerardo c and hiroshi n transmission dynamics