垂直平分线与角平分线典型题.doc

线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段ab垂直相交于点d，且adbd，若点c在直线m上，则acbc.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记：2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段ab垂直相交于点d，且adbd，若acbc，则点c在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是abc三边ab、bc、ca的垂直平分线，则直线相交于一点o，且oaoboc.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在abc中，bc8cm，ab的垂直平分线交ab于点d，交边ac于点e，bce的周长等于18cm，则ac的长等于（）a6cm b8cmc10cm d12cm课堂笔记：b针对性练习：ad已知：1)如图，ab=ac=14cm,ab的垂直平分线交ab于点d，交ac于点 e，如果ebc的周长是24cm，那么bc= 2) 如图，ab=ac=14cm,ab的垂直平分线交ab于点d，交ac于点e，如果bc=8cm，那么ebc的周长是 e3） 如图，ab=ac,ab的垂直平分线交ab于点d，交ac于点e，如果a=28 度，那么ebc是 cb 例2. 已知： ab=ac，db=dc，e是ad上一点，求证：be=ce。课堂笔记：b针对性练习：已知：在abc中，on是ab的垂直平分线,oa=oc 求证：点o在bc的垂直平分线na ocb例3. 在abc中，ab=ac，ab的垂直平分线与边ac所在的直线相交所成锐角为50，abc的底角b的大小为_。课堂笔记：b针对性练习：1. 在abc中，ab=ac，ab的垂直平分线与ac所在直线相交所得的锐角为40，则底角b的大小为_。例4、如图8，已知ad是abc的bc边上的高，且c2b，求证：bdaccd.证明：在bd上取一点e，使dedc，连接ae，则aeac，课堂笔记：课堂练习：1.如图，ac=ad，bc=bd，则（ ）a.cd垂直平分ad b.ab垂直平分cd c.cd平分acb d.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）a.直角三角形b.锐角三角形 c.钝角三角形 d.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点p在线段ab外且pa=pb，过p作直线mn，则mn是线段ab的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.a.1个b.2个c.3个d.4个4.abc中，ab的垂直平分线交ac于d，如果ac=5 cm，bc=4cm，那么dbc的周长是（ ）a.6 cmb.7 cmc.8 cmd.9 cm5.已知如图，在abc中，ab=ac，o是abc内一点，且ob=oc，求证：aobc.6.如图，在abc中，ab=ac，a=120，ab的垂直平分线mn分别交bc、ab于点m、n. 求证：cm=2bm. 课后作业：1. 如图7，在abc中，ac23，ab的垂直平分线交ab于点d，交bc于点e，ace的周长为50，求bc边的长.2. 已知：如图所示，acb，adb都是直角，且ac=ad，p是ab上任意一点，求证：cp=dp。线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知oe是aob的平分线，f是oe上一点，若cfoa于点c，dfob于点d，则cfdf. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记：5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点p在aob的内部，且pcoa于c，pdob于d，若pcpd，则点p在aob的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.课堂笔记：6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果ap、bq、cr分别是abc的内角bac、abc、acb的平分线，那么： ap、bq、cr相交于一点i； 若id、ie、if分别垂直于bc、ca、ab于点d、e、f，则dieifi. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记：经典例题：例1、 已知：如图，点b、c在a的两边上，且ab=ac，p为a内一点，pb=pc， peab，pfac，垂足分别是e、f。求证：pe=pf课堂笔记：b针对性练习：已知： pa、pc分别是abc外角mac和nca平分线，它们交于p，pdbm于d，pfbn于f，求证：bp为mbn的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形abcd中，abcd，abbc，e为bc中点，连接ae、de，de平分adc，求证：ae平分bad.课堂笔记：b针对性练习：如图所示，ab=ac，bd=cd，deab于e，dfac于f，求证：de=df。例3、如图11-1，已知在四边形abcd中，对角线bd平分abc，且bad与bcd互补，求证：adcd. 课堂练习：1. abc中，ab=ac，ac的中垂线交ab于e，ebc的周长为20cm，ab=2bc，则腰长为_。2. 如图所示，ab/cd，o为a、c的平分线的交点，oeac于e，且oe=2，则ab与cd之间的距离等于_。已知：如图，b=c=900，dm平分adc， am平分dab 。求证： m b=mc课后作业：1.如右图，已知beac于e，cfab于f，be、cf相交于点d，若bd=cd.求证：ad平分bac.2. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） a. 一处b. 二处c. 三处d. 四处11.3 角平分线的性质1如图，已知bq是abc的内角平分线，cq是acb的外角平分线，由q出发，作点q到bc、ac和ab的垂线qm、qn和qk，垂足分别为m、n、k，则qm、qn、qk的关系是 2如图，在abc中，b=300，c=900，ad平分cab，交cb于d，deab于e，则bde= = 3如图，已知abcd，peab，pfbd，pgcd，垂足分别为e、f、g，且pf=pg=pe，则bpd= 4如图，已知abcd，0为cab、acd的平分线的交点oeac，且oe=2，则两平行线ab、cd间的距离等于 5已知rtabc中，c=900，ad平分bac交bc于d，若bc=32，且bd:cd=9:7，则d到ab边的距离为( )(a)18 (b)16 (c)14 (d)126如图，mpnp，mq为nmp的角平分线，mt=mp，连结tq，则下列结论不正确的是( ) (a)tq=pq (b) mqt=mqp (c) qtn=900 (d) nqt=mqt 7如图是一个平分角的仪器，其中ab=ad，bc=dc将点a 放在角的顶点，ab和ad沿着角的两边放下，沿ac画一条射线ae，ae就是角平分线说明它的道理8如图，ad是bac的平分线，deab于e，dfac于f，且db=dc求证：be=cf9如图，c、d是aob平分线上的点，ceoa于e，cfob于f 求证：cde=cdf10如图，addc，bcdc：，e是dc上一点，ae平分dab (1)如果be平分abc，求证：点e是dc的中点； (2)如果e是dc的中点，求证：be平分abc15如图，在直线mn上找一点p，使点p到直线ab和射线oc的距离相等16如图，c=900，ac=bc，ad是bac的角平分线求证：ac+cd=ab 17如图，在abc中，ab=bc=ac，adbc于d，e、f分别为ab、ac中点求证：da平分edf18如图