信号与系统(郑君里)复习要点.pdf

1 信号与系统复习信号与系统复习 书中最重要的三大变换几乎都有。书中最重要的三大变换几乎都有。 第一章第一章 信号与系统信号与系统 1、信号的分类、信号的分类 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 连续周期信号连续周期信号 f(t)满足满足 f(t) = f(t + mt)， 离散周期信号离散周期信号 f(k)满足满足 f(k) = f(k + mn)，m = 0,1,2, 两个周期信号两个周期信号 x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为 t1和和 t2，若其周期之比，若其周期之比 t1/t2为有理数，则其和信为有理数，则其和信 号号 x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为仍然是周期信号，其周期为 t1和和 t2的最小公倍数。的最小公倍数。 能量信号和能量信号和功率信号功率信号 因果信号和反因果信号因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（、信号的基本运算（+ - ） 2.1 信号的（信号的（+ - ） 2.2 信号的时间变换运算信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换）（反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质 f(t) (t) = f(0) (t) ， f(t) (t a) = f(a) (t a) 例：例： 3.2 序列序列(k)和和(k) f(k)(k) = f(0)(k) f(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 4、系统的分类与性质、系统的分类与性质 4.1 连续连续系统和离散系统系统和离散系统 4.2 动态系统与即时系统动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 线性性质线性性质 t af ( ) = a t f ( )(齐次性齐次性) t f1( )+ f2( ) = t f1( )+t f2( ) （可加性可加性） 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： )0(d)()(ftttf )(d)()(aftattf ?d)() 4 sin( 9 1 ttt )0( d)()( fttft )0() 1(d)()( )()(n n n fttft 4)2(2)2( d d d)( )2( 00 22 tt tt t ttt )( 1 | 1 )( )()( t aa at n n n )( | 1 )(t a at)( | 1 )( 0 0 a t t a tat )0()()(fkkf k 2 y ( ) = yf( ) + yx( ) = t f ( ) , 0+ t 0，x(0) (可分解性可分解性) ta f ( ) , 0 = a t f ( ) , 0 tf1(t) + f2(t) , 0 = t f 1 ( ) , 0 + t f 2 ( ) , 0(零状态线性零状态线性) t0,ax1(0) +bx2(0) = at0,x1(0) +bt0,x2(0)(零输入线性零输入线性) 4.4 时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统 t0，f(t - - td) = yf(t - - td)(时不变性质时不变性质) 直观判断方法：直观判断方法： 若若 f ( )前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 lti 连续系统的微分特性和积分连续系统的微分特性和积分特性特性 微分特性：微分特性： 若若 f (t) yf(t) ， 则则 f (t) y f (t) 积分特性：积分特性： 若若 f (t) yf(t) ， 则则 4.5 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述、系统的框图描述 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析 1、lti 连续系统的响应连续系统的响应 1.1 微分方程的经典解微分方程的经典解 y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解） 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求求（1）当当 f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1 时的全解时的全解； （2）当当 f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0 时的全解时的全解 2、冲激响应、冲激响应 系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法 系数平衡法系数平衡法 系统方程两端对应系数相等系统方程两端对应系数相等 由单位阶跃响应求单位冲激响应，即由单位阶跃响应求单位冲激响应，即 ( ) ( ) dt t dt 例例 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应求其冲激响应 h(t)。 3、阶跃响应、阶跃响应 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。 4、卷积积分、卷积积分 4.1 定义定义 1212 ( )( )( )()f tf tff t 4.2 任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应 tt xxyxxfd)(d)( f 3 4.3 卷积积分的求法卷积积分的求法 按照定义按照定义 图解法图解法 4.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 交换律结合律分配律交换律结合律分配律 积分性质积分性质 微分性质微分性质 任意时间函数与冲激函数的卷积任意时间函数与冲激函数的卷积 f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*(t) = f(t) ；f(t)*(t) 卷积的时移性质卷积的时移性质 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析 1、lti 离散系统的响应离散系统的响应 1.1 差分与差分方程差分与差分方程 1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似）差分方程的经典解（和微分方程相类似） 1.2.1y(k) = yh(k) + yp(k) 当特征根当特征根为为单根单根时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为： ck 当特征根当特征根为为 r 重根重根时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为： (cr-1kr-1+ cr-2kr-2+ c1k+c0)k 当特征根当特征根为一对共轭复根为一对共轭复根 时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为： 1.2.2 特解特解 yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同特解的形式与激励的形式雷同(r1） 。 所有特征根均不等于所有特征根均不等于 1 时时; yp(k)=pmkm+p1k+p0 有有 r 重等于重等于 1 的特征根时的特征根时; yp(k)=krpmkm+p1k+p0 （2） 激励激励 f(k)=ak 当当 a 不等于特征根时不等于特征根时; yp(k)=pak 当当 a 是是 r 重特征根时重特征根时; yp(k)=（prkr+pr-1kr-1+p1k+p0)ak （3）激励）激励 f(k)=cos(k)或或 sin(k) 且且所有特征根均不等于所有特征根均不等于 e j ； ； yp(k)=pcos(k)+qsin(k) n n n n n n t tf tftf t tf tftf td )(d *)()(* d )(d )(*)( d d 2 12 1 21 d)(*)()(*d)(d)(*)( 212121 ttt ftftffff 1,2 j e cos()sin() k ckdk 4 若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件已知初始条件 y(0)=0，y(1)= 1；激励激励 f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 2、单位序列响应和阶跃响应、单位序列响应和阶跃响应 2.1 单位序列响应单位序列响应 2.1.1 定义定义 2.1.2 求法求法 递推求初始值，求齐次差分方程的解递推求初始值，求齐次差分方程的解 例例 已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应求单位序列响应 h(k)。 例例 若方程为：若方程为： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2) 求单位序列响应求单位序列响应 h(k) 2.2 阶跃响应阶跃响应 2.2.1 定义定义 2.2.2 求法求法 3 常用序列常用序列 0 1 ( )( )(1) ( )() ( )(1) ( ) 1 ( )(1) ( ) 2 1 ( )(1) 1 i k i k i k k i i kkk kki ikk iik kk a aia a 4 离散信号的卷积和离散信号的卷积和 4.1 任意序列的分解任意序列的分解 f(k) 4.2 列作用下的零状态响应列作用下的零状态响应 4.3 定义定义 4.4 卷积和的求法卷积和的求法 4.4.1 图解法图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步： 0 )()()( j k j jkhihkg ，h(k) = g(k) i ikif)()( i f ikhifky)()()( i ikfifkf)()()( 21 5 （1）换元换元： k 换为换为 i得得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移反转平移：由：由 f2(i)反转反转 f2(i)右移右移 k f2(k i) （3）乘积乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和求和： i 从从 到对乘积项求和。到对乘积项求和。 注意：注意：k 为参变量。为参变量。 4.1.2 不进位乘法求卷积不进位乘法求卷积 例例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=0 4.2 卷积和的性质卷积和的性质 4.2.1 法的三律：法的三律：(1) 交换律交换律, (2) 分配律分配律,(3) 结合律结合律. 4.2.4f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) 第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 1 傅里叶级数傅里叶级数 1.1 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式 1.2 波形的对波形的对称特性和谐波特性称特性和谐波特性 a .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标 展开为余弦级数展开为余弦级数 b .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点 展开为正弦级数展开为正弦级数 c f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tt/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量傅里叶级数中只含奇次谐波分量 d f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t) = f(tt/2) 只有直流只有直流(常数常数)和偶次谐波。和偶次谐波。 1.3 傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 2 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置是基频的整数倍；性。谱线位置是基频的整数倍； (2)一般具有收敛性。总一般具有收敛性。总趋势减小。趋势减小。 4.2.2f（k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0) 4.2.3. f(k)*(k) = k i if)( 4.2.5 f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 11 0 )sin()cos( 2 )( n n n n tnbtna a tf 2 2 d)cos()( 2 t tn ttntf t a 2 2 d)sin()( 2 t tn ttntf t b n tjn n ftfe)( 2 2 1 ( )ed t jnt tn ff tt t n = 0, 1, 2， 6 例：周期信号例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期 t，基波角频率，基波角频率，画出它的单边频谱图。，画出它的单边频谱图。 3 傅里叶变换傅里叶变换 3.1 定义定义 3.2 常用函数的傅里叶变换常用函数的傅里叶变换 （1）单边指数函数）单边指数函数 f(t) = e t(t)， 0 实数实数 （2）双边指数函数）双边指数函数 f(t) = e t , 0 （3）门函数）门函数(矩形脉冲矩形脉冲) （4）冲激函数）冲激函数 (t)、 (t) （5）常数）常数 1 （6）符号函数）符号函数 （7）阶跃函数）阶跃函数 3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 （1）线性）线性 （2）时移性质）时移性质(timeshifting property) （3）对称性质）对称性质(symmetrical property) （4）频移性质）频移性质(frequency shifting property) （5）尺度变换性质）尺度变换性质(scaling transform property) 121 1cossin 243436 tt jj tjf tj tjt 1 e 1 dee)( 0 )( 0 22 0 0 211 deedee)( jj ttjf tjttj t 2 , 0 2 , 1 )( t t tg j tjf jj tj 22 2/ 2/ ee de)( ) 2 sa( ) 2 sin(2 1de)()( ttt tj j t ttt t tjtj 0 e d d de)( )( )(2)(2de1 t tj 22 00 22 sgn( )lim()lim j tfj j 111 ( )sgn( )( ) 22 tt j a f1(t) + b f2(t) a f1(j) + b f2(j) 0 0 ()e() jt f ttf j f( jt ) 2f () 0 0 ()e( ) jt f jf t 1 () | f atfj aa 7 （6）卷积性质）卷积性质(convolution property) （7）时域的微分和积分）时域的微分和积分 （8）频域的微分和积分）频域的微分和积分 （9）怕赛瓦尔关系怕赛瓦尔关系 （10）奇偶性）奇偶性(parity) 4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 5 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 5.1 5.2 无失真传输无失真传输 y(t) = k f(ttd) y(j )=ke j tdf(j ) 例：系统的幅频特性例：系统的幅频特性|h(j)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生所示，则下列信号通过该系统时，不产生 失真的是失真的是 6 抽样定理抽样定理 第五章第五章 连续系统的连续系统的 s 域分析域分析 if f1(t) f1(j)， f2(t) f2(j) then f1(t)*f2(t) f1(j)f2(j) then f1(t) f2(t) f1(j)*f2(j) 1 2 ( )( ) ()() nn ftjf j () ( )d(0) ( ) t f j f xxf j 0 (0)()( )dff jf tt (jt)n f (t) f(n)(j) 1 (0) ( )( )()dftf tf jxx jt 1 (0)()d 2 ff j d)( 2 1 d)( 22 jfttfe n nt n tjn nt nfjfftf)(2)(e)( 2 2 de)( 1 t t tjn tn ttf t f y(j ) = f(j )h(j ) (a)(b) 1010 -10-10 5 5 -5-5 0 0 | |h h(j(j)|)| () ) 5 5 -5-5 (a) f(t) = cos(t) + cos(8t) (b) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (c) f(t) = sin(2t) sin(4t) (d) f(t) = cos2(4t) 8 9 二、求解方法二、求解方法 1、部分分式展开法、部分分式展开法 （1）f(s)为单极点（单根）为单极点（单根） 1 110 1 110 .( ) ( ) ( ). mm mm nn n a sasa sab s f s a ssbsbsb n n i i ps k ps k ps k ps k sa sb sf . )( )( )( 2 2 1 1 10 （2）若）若 f(s)包含共轭复根时包含共轭复根时(p1,2 = j ) （3）f(s)有重极点（重根）有重极点（重根） 若若 a(s) = 0 在在 s = p1 处有处有 r 重根，重根， 三、系统的三、系统的 s 域分析方法域分析方法 思路：用拉普拉斯变换微分特性思路：用拉普拉斯变换微分特性 例例 1 描述某描述某 lti 系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t) 已知初始状态已知初始状态 y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励，激励 f (t) = 5cost (t)， 求系统的全响应求系统的全响应 y(t) 四、系四、系统函数统函数 系统函数系统函数 h(s)定义为定义为 系统的系统的 s 域框图域框图 第六章第六章 离散系统的离散系统的 z 域分析域分析 i psii sfpsk )()( )(e 1 1 t ps l tp i i 22 ( )( ) ( ) ( )()( )(j )(j ) b sb s f s d ssd s ss )( jj 2 21 sf s k s k j e| j e| jj )( j 1 j 121 1 s k s k s k s k sf )( . )()()( )( )( 1 1 1 1 12 1 11 ps k ps k ps k sa sb sf r rr k11=(s p1)rf(s)|s=p1， k12=(d/ds)(s p1)rf(s)|s=p1 1 )()( d d )!1( 1 1 1 1 1ps r r r r sfps sr k )(e ! 1 )( 1 1 1 1 1 tt nps l tpn n )0()()( )( 1 0 1)( p i p piii yssysty n i n i i p m j j j ppi i i i sfsbysasysa 00 1 00 )(1 )()0()( )( )( )( )( )( )( )0( )( 0 0 0 0 )( 1 0 1 sf sa sb sa sm sf sa sb sa ysa sy n i i i m j j j n i i i n i p i p pi i )( )( )( )( )( f def sa sb sf sy sh h(s)= l h(t) 1 ! )( n n s n ttl 11 12 13 )26() 1 (tf )26( d d )2(tf t 附：部分重要内容（无附：部分重要内容（无 z 变换）变换） 第一章：第一章： 1 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号 2 模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号 3 信号的运算信号的运算 （1）移位、反褶与尺度变换）移位、反褶与尺度变换 （2）微分和积分）微分和积分 （3）两信号相加或相乘）两信号相加或相乘 4 （1）单位阶跃信号）单位阶跃信号)(tu （2）单位冲激信号）单位冲激信号)(t ( )1t dt ot12 1 2 tf 14 抽样性：抽样性：( ) ( )(0)t f t dtf 00 () ( )( )ttf t dtf t 偶对称性：偶对称性： ( )()tt 尺度变换性：尺度变换性： 1 ()( ) | att a 相乘性质：相乘性质：( ) ( )(0) ( )f ttft 000 ( ) ()( ) ()f tttf ttt 冲激偶信号冲激偶信号 ( ) ( ) dt t dt 5 线性时不变系统线性时不变系统 （1）叠加性与均匀性）叠加性与均匀性 （2）时不变性）时不变性 （3）因果性）因果性 第二章第二章 1系统的状态（起始状态，初始条件）系统的状态（起始状态，初始条件） 2 系统的全响应系统的全响应 （1）求解方法：经典法，双零法）求解方法：经典法，双零法 （2）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应 3线性系统的特性线性系统的特性 （1） 响应的可分解性响应的可分解性 系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。 （2） 零状态线性零状态线性 当当起始状态为零时，系统的零状态响应起始状态为零时，系统的零状态响应)(trzs对外加激励信号对外加激励信号)(te呈现线性。呈现线性。 （3） 零输入线性零输入线性 当外加激励为零时，系统的零输入响应当外加激励为零时，系统的零输入响应)(trzi对于各起始状态呈线性关系。对于各起始状态呈线性关系。 第三章第三章 1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 （1）三角函数形式的傅里叶级数）三角函数形式的傅里叶级数 ( )0t（当0t 时） 15 （2）指数形式的傅里叶级数）指数形式的傅里叶级数 2 傅里叶变换定义为傅里叶变换定义为 正变换正变换( ) ( )( ) j t ff f tf t edt 逆变换逆变换 1 1 ( ) ( )( ) 2 j t f tfffed 3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 (1)对称性对称性 若若( ) ( )ff f t，则，则 ( )2()f f tf (2)线性性线性性 若若 ( )( )(1,2, ) i f f tfin，则，则 11 ( )( ) nn iiii ii fa f ta f (3)奇偶虚实性奇偶虚实性 若若( )( )( )frjx，则，则 ( )f t是实偶函数是实偶函数( )( )fr，即，即( )f为为的实偶函数。的实偶函数。 ( )f t是实奇函数是实奇函数( )( )fjx，即，即( )f为为的虚奇函数。的虚奇函数。 (4)尺度变换特性尺度变换特性 若若 ( )( )f f tf，则，则 1 ()()f f atf aa 式中式中a为非零实常数。为非零实常数。 (5)时移特性时移特性 若若 ( )( )f f tf，则，则 0 0 ()( ) j t f f ttfe (6)频移特性频移特性 若若 ( )( )f f tf，则，则 0 0 ( )() j t f f t ef (7)时域微分特性时域微分特性 若若 ( )( )f f tf，则，则 ( ) () ( ) df t fjf dt ( ) ()( ) n n n d f t fjf dt (8)频域微分特性频域微分特性 若若 ( )( )f f tf，则，则 1 ( ) () ( ) df fjt f t d 1 ( ) ()( ) n n n d f fjtf t d (9)时域积分特性时域积分特性 16 若若 ( )( )f f tf，则，则 ( ) ( )(0) ( ) t f ffdf j (10)时域卷积定理时域卷积定理 若若 1122 ( )( ), ( )( )f f tff f tf，则，则 1212 ( )*( )( )( )f f tf tff (11)频域卷积定理频域卷积定理 若若 1122 ( )( ), ( )( )f f tff f tf，则，则 1212 1 ( )( )( )( ) 2 f f tf tff 4.周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 周期信号周期信号( )f t的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频 11 (0, 2,)处，每个冲激的强度等于处，每个冲激的强度等于( )f t的傅里叶级数的相应系数的傅里叶级数的相应系数 n f的的2倍。即倍。即 1 ( )2() n n f f tfn 其中其中 n f还可用下式获得：还可用下式获得： 1 0 1 1 ( ) nn ff t 上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数 n f单脉冲的傅里叶变换单脉冲的傅里叶变换 0( ) f在在 1 n频率点频率点 的值乘以的值乘以 1 1 t 。 5 抽样定理抽样定理 （1）时域采样）时域采样定理定理 第四章：第四章： 1 拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定 单边拉普拉斯变换：单边拉普拉斯变换： 正变换正变换 0 ( )( )( ) st f tf sf tdt e 逆变换逆变换 1 ( )( )( ) 2 j st j f sf tf sds j e 2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性线性性 若若 11 ( )( )f tf s, 22 ( )( )f tf s, 1 , 2 为常数时，则为常数时，则 1 1221 122 ( )( )( )( )f tf tf sf s （2） 原函数微分原函数微分 17 若若( )( )f tf s则则 ( ) ( )(0 ) df t sf sf dt 1 1( ) 0 ( ) ( )(0 )