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十字路口黄灯闪亮时间的数学建模分析 ? 马? 锐 ( 云南财贸学院 计科系, 云南 昆明 650221) 摘? 要? 随着社会经济的迅速发展, 交通道路拥挤已成为众所周知的? 都市顽症?. 利用微分方程建模、 寻求十字路口黄灯 闪亮的最佳时间, 对缓解十字路口的? 肠梗塞?现象, 有一定的帮助. 关键词: 交通; 微分方程; 十字路口; 黄灯 ?中图分类号?o154? ? ?文献标识码?a ? ? ?文章编号?1672? 8513( 2004)04- 0302- 03 0? 引言 随着社会经济的迅速发展, 城市交通建设显得相对滞后, 交通道路拥挤已经是世界许多国家大中城市共 同面临的难题. 在中国, 尤其如此. 一方面, 由于城市迅速扩大, 交通运输高度聚集, 再加上私人购车不断上升, 对交通道路的需求巨增; 另一方面, 现有交通设施容量不足, 系统功能不尽完善, 造成许多大中城市, 交通拥 挤, 事故频繁, ? 行路难?已成为众所周知的? 都市顽症?. 以昆明市为例, 机动车总量近几年保持约 20% 的年增长率. 至 2003 年末, 全国机动车保有量已突破 52 万辆, 机动车辆的迅猛发展, 使原本脆弱的道路系统不堪重负, 道路拥挤状况进一步加剧, 行车难的问题日趋 加重, 在交通矛盾最突出的中心区主干道上, 高峰期拥挤的交叉口占77?4%, 车速降到 10 km/ h, 最低车速仅 为 5km/ n, 低于正常人的步行速度, 在十字路口, 尤为严重. 近年来, 虽然政府投入大量资金兴建交通道路, 使 交通困难有所缓解, 无奈车辆增加速度太快, 许多交通? 瓶颈?依然如故, 特别是十字路口的? 肠梗阻?现象经常 发生, 交通事故发生率未见实质性下降. ( 例如, 昆明市道路交通事故情况统计显示, 2000 年, 1381 次, 损失 630. 7 万元, 2001 年, 1985 次, 损失 910. 9 万元, 2002 年, 3621 次, 损失 1339 万元, 2003 年, 3356 次, 损失 975?5万元, 短短四年, 交通事故就增加 1975 次) 并且持续出现整体交通状况的改善导致局部交通状态恶化 的问题, 因此, 如何最大限度地利用现有交通资源, 如何以科学的理论来制定交通规则, 加强交通管理, 就成为 交通管理部门迫切需要解决的一个问题. 现代交通流动力学随之应运而生. 1? 交通流动力学的研究方法 交通流动力学是流体力学, 应用数学, 系统工程和交通工程等领域的交叉性边缘学科, 旨在应用现代科学 知识正确地描述交通流性态, 通过建立科学适当的数学模型, 揭示各种交通现象的本质特点, 最后达到对交通 系统实行科学的实时控制的目的, 并且为交通规化和优化提供可靠的理论依据. 但是, 交通问题是一个十分随 机的现象, 很难预测出一个非常精确的数学模型, 这就给科学地研究交通问题带来极大的不便. 与此同时, 我 们通过大量交通数据的采集、 整理与辩识, 发现一些解决交通拥挤的关键, 就是尽最大限度地解决交通? 肠梗 阻?现象, 尤其是十字路口的? 肠梗阻?现象. 如果十字路口的? 肠梗阻?现象, 能尽最大可能地得以解决, 市区交 通拥挤现状就有望缓解一些. 例如, 在十字路口的交通管理中, 亮红灯之前, 要亮一段时间黄灯, 这是为了让那 些正行驶在十字路口上或距十字路口太近以致于无法停下的车辆通过路口, 那么黄灯应该亮多长时间才合理 呢? 这是解决都市交通? 肠梗阻?的这一症状关键所在. 黄灯亮的时间太短, 不仅容易造成驾驶员? 闯红灯?现 象发生, 而且极易发生交通事故. 黄灯亮的时间过长, 又容易加重? 肠梗阻?的症状. 那么, 黄灯究竟应该亮多长 时间最为合理呢? 本文运用微分方程概念, 研究这一现象, 旨在寻找最优化的解决方法. ?收稿日期: 2004- 04- 20 作者简介: 马? 锐( 1963- ), 女, 云南人, 副教授, 主要从事应用数学的教学和研究. 第 13 卷第 4 期 2004 年 10 月 云南民族大学学报( 自然科学版) journal of yunnan nationalities university(natural sciences edition) vol. 13, no. 4 oct. 2004 2? 问题分析 在十字路口行驶的车辆中, 主要的是机动车辆. 当车辆驶近交叉路口时, 驾驶员在看到黄色信号后要作出 决定, 是停还是要通过路口, 如果他按法定速度( 或低于法定速度) 行驶, 当决定停车时, 他必须有足够的停车 距离, 少于此距离时不能停车, 大于此距离时必须停车, 等于此距离时可以停车, 也可以通过路口, 当决定通过 路口时, 他必须有足够的时间使他完全通过路口, 这包括作出决定的时间, 通过十字路口的时间以及通过停车 所需的最短距离的驾驶时间. 于是, 黄灯应该持续的时间包括驾驶员的决定时间( 反应时间) , 他通过十字路口的时间和停车距离的驾 驶时间. 3? 建模与求解 记t1?驾驶员的反应时间; t2?汽车通过十字路口的时间; t3?停车距离的驾驶时间, 则 t = t1+ t2+ t3为黄灯应亮的时间. 下面计算 t2、 t3. 设法定行驶速度为 v0, 十字路口的长度为 i, 典型车身长度为 l, 则汽车通过十字路口的时间为 t2= i + l v0 . 注意, 车的尾部必须通过路口, 这样路口的实际长度就是 i + l. 停车过程是驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力, 使汽车减速直至停止. 设 m 为汽车质量, f 为刹车摩擦 系数, x( t) 为行驶距离, 刹车制动力为 f mg( g 为重力加速度), 由牛顿第二定律, 刹车过程满足下述运动方 程: ? ? ? ? ?m d 2x dt 2= - f mg(1) 初始条件为:x (0) = 0, dx dt |t= 0= v0 对该微分方程积分一次, 并代入条件dx dt |t= 0= v0得: dx dt = - f gt + v0 令未速度为零, 得刹车时间为 t1= v0 f g , 对上式再积分一次, 并代入条件 x( 0) = 0, 得 ? ? ? ? ? x ( t ) = - 1 2 gt 2 + v0t(2) 故停车距离为 ? x ( t1) = - 1 2 f g( v0 f g ) 2+ v 0 v0 f g = 1 2 v02 f g , 所以, t3= x( t1) v0 = 1 2 v0 f g 驾驶员的反应时间, 可根据统计数据或经验得到, 通常可假定为 1 2 秒. 这样, 求得黄灯应亮的时间为 ? ? ? ? ? t = i + l v0 + v0 2f g + t1(3) 例如, 以昆明市为例, 对十字路口调查统计得, 汽车通过路口行驶速度大约为 20k/ n, 路口长度为 15 20m, 典型车身长度为 3. 5 m, 汽车平均质量为 1 300kg, 二车道, 过红灯口车次大约是 5 min 100 辆, 刹车摩擦系数 按实际路面结构分析, 如水泥路面, 沥清路面等的摩擦系数不相同. 则可由上述公式, 计算出黄灯应闪烁的最 佳时间. 4? 结束语 由上推导公式, 如果在现有交通道路上, 要确定十字路口的黄灯闪亮的时间, 交通管理部门能够根据十字 303 第 4 期? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 马? 锐: 交通红绿灯的数学建模分析 路口长度, 统计单位时间内汽车通过路口的车次, 车型、 车速, 从而确定典型车身长度 l , 法定行驶速度 v0, 根 据不同地点, 不同时间, 可以准确计算出黄灯闪亮的最佳时间. 用同样的模型, 还可以计算红、 绿灯的最佳持续 时间. 对缓解十字路上的? 肠梗阻?现象, 将会有一定的改善. 参考文献: 1 ? 金松野. 城市交通网络与交通流的协调、 优化与控制研究 m. 上海: 上海交通大学出版社, 1998. 88- 91 2 ? 白其峥. 数学建模案例分析m . 北京: 海洋出版社, 2000. 171- 176. 3 ? 任善强, 雷鸣. 数学模型 m . 重庆: 重庆大学出版社, 1998. 60- 65. 4 ? 史历. 应用数学m . 上海: 复旦大学出版社, 2000. 295- 298. 5 ? 朱德通. 最优化模型与实验m . 上海: 同济大学出版社, 2003. 79- 107. 6 ? 汪国强. 数学建模优秀案例选编m . 广州: 华南理工大学出版社, 177- 204. an optimal approach to model and analyse the traffic lights ma ? rui ( department of computer science, yunnan university of finance differential equation; cross road; yellow light ( 责任编辑: 杨多立) ( 上接第 271 页) 参考文献: 1 ? 赵静, 但琦. 数学建模与数学实验 m. 北京: 高等教育出版社, 2003. 2 ? 管志宁, 张昌达, 程方道. 磁法勘探重要问题理论分析与应用m . 北京: 地质出版社, 1993. 98- 126. 3 ? 周熙襄, 张建中. 重力反演边界元法 j . 物探化探计算技术, 1991, 13(1): 21- 27. 4 ? 长春地质学院重力教研室. 重力勘探m . 北京: 地质出版社, 1980. 142- 208. the best choice method of the data processing in the heavy magnetism? s abnormity reflection li jiang?yun ( kunming metallurgy college, enrollment and employment division, kunming 650033, china) abstract:during the data processing of the heavy magnetism using different way in choosing may result in different conclusion, so as to having a directly affection on the discovery of the mine. in this essay, the author tells us that through choosing objectives to get the minimum of the non- linear objectives by the principle of the quadratic multiplication to do the data processing to get the b