（基础数学专业论文）关于十进制循环小数的一个注记.pdf

关于十进制循环小数的一个注记 摘要 关于十进制循环小数的一个注记 摘要 设素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根，研究：的十进制小数表示中的数码 的规律是一个非常有趣的问题本文的主要结果如下： ( 1 ) 设素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根则在；1 的十进制小数表示中的同 一个循环节里，数码1 ，2 ，4 ，5 ，7 ，8 出现的次数相同，数码0 与9 出现的次数相 同，数码3 与6 出现的次数相同 ( 2 ) 设素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根则在：的十进制小数表示中的同 一个循环节里，数码l ，2 ，4 ，5 ，7 ，8 出现的次数相同，数码0 与9 出现的次数相 同，数码3 与6 出现的次数相同，其中q = 1 ，2 ，3 ，p 一1 关键词：十进制小数，循环节，素数，原根 作者：张伟 指导老师：余红兵教授 an o t eo fp e r i o d i cd e c i m a l sa b s t r a c t a b s t r a c t t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) l e tp r i m ep 2 ，5 ，a n dph a s1 0a sap r i m i t i v er o o t t h e ni nt h es a m er e c u r r i n g p e r i o do fd e c i m a lo f ；1 ，t h en u m b e r so f1 、2 、4 、5 、7 、8a r ee q u a l ，t h en u m b e r so f 0a n d9a r ee q u a l ，t h en u m b e r so f3a n d6a r ee q u a l ( 2 ) l e tp r i m ep 2 ，5 ，a n dph a s1 0a sap r i m i t i v er o o t t h e ni nt h es a m er e c u r r i n g p e r i o do fd e c i m a lo f ：，t h en u m b e r so f1 、2 、4 、5 、7 、8a r ee q u a l ，t h en u m b e r so f 0a n d9a r ee q u a l ，t h en u m b e r so f3a n d6a r ee q u a l ，i nw h i c hq = 1 ，2 ，3 ，p 一1 k e y w o r d s ：d e c i m a l s ，r e c u r r i n gp e r i o d ，p r i m en u m b e r s ，p r i m i t i v er o o t s i i w r i t t e nb yz h a n gw e i s u p e r v i s e db yp r o f y uh o n gb i n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任 研究生签名： 脚日期：喜一牛 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 世址日期乒 趁日期鼬一。 关于十进制循环小数的一个注记引言 引言 本文我们讨论：的十进制小数表示的同一循环节中数码的规律，其中p 是以1 0 为原根的素数，q = 1 ，2 ，3 ，p 一1 本文内容安排如下： 第一章中介绍了初等数论的基本概念，如整除、同余、阶及原根等，以 及一些相关的基本结果 第二章中介绍了实数的十进制小数表示的基本结果 第三章给出了m i d y 关于；1 为正整数) 的十进制小数表示的一个著名结 果 在第四章中，我们对不等于2 ，5 且以1 0 为原根的素数p ，给出了关于： ( q = 1 ，2 ，p 1 ) 的十进制小数表示的一个基本结果，并通过实例提出了下 面的结果： 设素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根则在；1 的十进制小数表示中的同一个 循环节里，数码l ，2 ，4 ，5 ，7 ，8 出现的次数相同，数码0 与9 出现的次数相同， 数码3 与6 出现的次数相同 在第五章中，我们给出了上述结果的证明 关于十进制循环小数的一个注记 第一章基本知识 第一章基本知识 本文涉及到初等数论的一些基本概念和结果，本章就此作一简单介绍： ( 参考文献【1 】， 2 】，【3 】) 一整除 设a 和b 是整数，b 0 ，若存在整数c 使得a = b c ，则称b 整除a ，表示成 bia ，并称b 是a 的一个约数( 或因子) ，而称a 为b 的倍数 由整除的定义，我们可得到如下性质： 定理1 1 ( i ) 如果bc ，且cln ，则bi 口； ( i i ) 如果bin ，且n 0 ，则ibi 0 ，且( o ，m ) = l ，则 ( i ) 存在正整数佗，1 墨n m ，使a n 三1 ( r o o dm ) ； ( i i ) 设他为具有( i ) 中性质最小的正整数，则对整数k 和z ，同余式扩兰 a i ( m o dm ) 成立的充分必要条件是k 兰l ( r o o dn ) ，特别地，a 知三1 ( m o dm ) 成立 的充分必要条件是n k 定义1 1 对于与m 互素的整数n ，满足a n 兰1 ( r o o d 仇) 的最小正整数礼 称为n 模m 的阶 由定理1 6 ( i i ) 及欧拉定理得，a 模m 的阶一定整除妒( 仇) 特别地，a 模 3 关于十进制循环小数的一个注记 第一章基本知识 素数p 的阶不超过p 一1 例1 1 ( 3 ，5 ) = 1妒( 5 ) = 43 1 兰3 ( m o d5 )3 2 三4 ( m o d5 ) 3 4 兰1 ( m o d5 ) 因此3 模5 的阶为4 如果存在整数9 与m 互素，使得g 模m 的阶恰是妒( m ) ( 其中妒( m ) 为欧 拉函数) ，则称模仇有原根，并称9 是模m 的一个原根 定理1 7 对于每个奇素数p ，模p 有原根 若9 是模p 的一个原根，那么9 ，9 2 ，旷一1 构成模p 的一个既约剩余系 在5 0 0 以内以1 0 为原根的素数有7 ，1 7 ，1 9 ，2 3 ，4 7 ，5 9 ，6 1 ，9 7 ， 1 0 9 ，1 1 3 ，1 3 1 ，1 4 9 ，1 6 7 ，1 7 9 ，1 8 1 ，1 9 3 ，2 2 3 ，2 2 9 ，2 3 3 ，2 5 7 ，2 6 3 ， 2 6 9 ，3 1 3 ，3 3 7 ，3 6 7 ，3 7 9 ，3 8 3 ，3 8 9 ，4 1 9 ，4 3 3 ，4 6 1 ，4 8 7 ，4 9 1 ，4 9 9 4 关于十进制循环小数的一个注记第二章十进制小数 第二章+ 进制小数 本章主要介绍关于实数，特别是有理数的十进制小数表示的一些基本概 念和结果：( 参考文献【3 】 【4 】) 在初等算术中有一个众所周知的程序可以把任何正数表示成一个十进 制小数 记 f = 鹰】+ z = x + z ，( 1 ) 其中x 是一个整数，0 z 0 且 1 0 8 x 1 0 外1 ， 而a ，和托是x 被1 0 s 除所得的商和余数，那么 x = a t 1 0 3 + x 1 ， 其中 0 a 1 = 1 0 叫x 】 1 0 ，0 x 1 1 0 8 类似的有 x i = a 2 1 0 8 1 + 恐( osa 2 1 0 ，0 磁 1 0 5 1 ) ， x 2 = a 3 1 0 8 2 + x 3 ( o a 3 1 0 ，0 x 3 1 0 8 2 ) ， 墨一1 = a 。1 0 + 五( 0 a 。 1 0 ，0 咒 z o ) ， x 8 = a 8 + 1( 0 a 8 + 1 t o ) 从而x 可以表示成形式 x = a 1 1 0 8 + a 2 1 0 8 1 + + a 8 + a 。+ 1 ，( 2 ) 其中每个a 都是0 ，1 ，2 ，9 中之一，且a ，不为0 将此表达式简记成 5 关于十进制循环小数的一个注记 第二章十进制小数 x = a 1 a 2 a s a 。+ i ， ( 3 ) 这就是x 在十进制记号下的通常的表示法下面证明x 的这种表示法唯一 若 x = b 1 1 0 8 + b 2 1 0 5 1 + + b 8 1 0 + b s + 1 ，( 4 ) 其中每个b 都是0 ，l ，2 ，9 中之一，且b 1 不为0 将( 2 ) 式和( 4 ) 式两边分别除以1 0 可得： a 1 1 0 5 1 + a 2 1 0 5 2 + + a s + 簪= b 1 1 0 k 一1 + b 2 1 0 七一2 + + j e i 知+ 里址1 0 ， 由于0 a s + lb k + 1 9 ，则可a s + l = 纽1 0 ，即a 卧1 = b k + 1 ，故我们有 a 1 1 0 8 1 + a 2 i 0 一2 + + a s = b 1 1 0 一1 + b 2 1 0 知一2 + + j e 7 上式两边同时除以1 0 得 a 1 1 0 8 2 + a 2 1 0 8 3 + + a 。一1 + 台= b i 1 0 七一2 + b 2 1 0 2 3 + + 仇一1 + 岳 同理可得 a 。= b k 重复上述过程可得 a s 一1 = b k 一1 ，a 8 2 = b k 一2 ， 进而必须尼= s ，且a 产鼠，i = 1 ，2 ，七+ 1 故x 可唯一地表示成( 2 ) 的形式 转向讨论z ，记 z = ( 0 1 ) 假设0 1 = 1 0 1 1 ，于是 虹1 0 丑1 丝0 ， a 1 是0 ，1 ，2 ，9 中之一，且 o , 1 = 1 0 】，1 0 = a l + 厶，( o5 ，2 1 ) 类似地，用 a 2 = 1 0 ，2 】， 1 0 ，2 = a 2 + ，3 ， ( o5 厶 1 ) ， 6 关于十进制循环小数的个注记 第二章十进制小数 a 3 = 1 0 ，3 】， 1 0 = a 3 + ，( 0 1 ) ， 来定义n 2 易知每一个o 。都是0 ，1 ，2 ，9 中之一从而 z = z t l + g n + 1 ， ( 5 ) 其中 z n = 器+ 静+ + 舞， ( 6 ) 0 9 n + 1 = 皓 击 ( 7 ) 由此我们对z 定义一个与之相伴的十进制小数。皿n z a 3 o 。称a l ，a 2 ，是 这个小数的第一位数码、第二位数码， 由于a n n 有a 。= 0 ，b n = 9 ， 我们上面已指出这两种情形都是不可能的从而对所有的礼有= 因此 z 可唯一地表示成十进制小数形式 z = 0 a l a 2 a 3 现在将( 1 ) ，( 3 ) ，( 9 ) 组合成下述形式： = x + z = a 1 a 2 a 8 + 1 a l a 2 a 3 可将结论总结如下： 命题2 1 任何正数可唯一地表示成十进制小数 a 1 a 2 a 8 + 1 a l a 2 a 3 ， 其中 0sa 1 1 0 ，0 a 2 1 0 ，0 1 0 ， 每个a 和不全为0 ，且有无穷多个叼小于9 在本文中我们讨论的是正有理数；的十进制小数表示，其中p ，q 为互素 的正整数，且0 q p 下面我们给出把正有理数；表示成十进制小数的过 程，由带余除法( 见定理1 2 ) 我们有： 1 0 q = a l p + r l ， l o r l 。a 2 p + t 2 1 0 r 2 。a 3 p + r 3 关于十进制循环小数的一个注记第二章十进制小数 l o r p 一2 = 0 p l p + r p 一1 ， 中啦【0 ，1 ，2 ，3 ，9 ) ，n 为非负整数，且0 n p ， i = 1 ，2 ，3 ， ；= 5 0l p o q = 击丑譬且= 器+ 南= 器+ 南翌譬旦 = 器+ 静 = 器+ 静 从而 其中 + 占盟 1 0 2p + + 箭+ 击等 ；= z n + 9 n + l ， z 竹= 器+ 盎+ + 器， 0 g n + l ，g n + l = 击 击， 由( 8 ) 式和舫_ 0 可知 记 ；2 军击， ；= o a l a 2 o n 在上述运算过程中，如果对于某个竹有r n = 0 ，则r n + 1 = r n + 2 = = 0 ， 称；= o a ，n z 为有限小数，反之，称；为无限小数 我们 若对于一个无限小数。川0 2 ，能找出两个整数8 0 ，t 0 ，使得 a 州= a 州+ 舰成立，其中i = 1 ，2 ，3 ，t ，且k = 0 ，l ，2 ， 为循环小数，记作o 0 l n 2 n 。+ 1 + 2 n 4 t 9 我们就称o a l a 2 a n 对于循环小数而言，具有上述性 其则 关于十进制循环小数的一个注记第二章十进制小数 质的正整数8 及t 不只一个，如果我们找到的t 是最小的，那么我们就称 瓦币再- 可鬲为循环节， 小数就叫做纯循环小数； 数 t 称为循环节的长度如果最小的8 = 0 ，那么循环 如果最小的s 1 ，这时的循环小数叫做混循环小 例2 1 斋= 0 5 3 ，妾= 0 2 i 4 2 8 5 7 ，= o 3 ，丢= o 3 i ，击= o b 7 6 9 2 则 ，击为纯循环小数，循环节分别为亏，0 7 6 9 2 3 ，循环节长度分别为1 和6 ， 而数两8 ，夏7 ，再3 为混循环小数，循环节分别为吾，丽，丽，循环节长度分别为 1 ，2 和6 下面给出有理数十进制小数表示的基本命题及证明： 命题2 2p ，q 为正整数，设0 q p ，且( p ，口) = 1 ，如果：能表示成纯循 环小数，则0 ，1 0 ) = 1 i i i s q ：设；能表示成纯循环小数，由0 ； 1 ，可设 ；= o d l a 2 d t ， 其循环节长度为t ，这里n 。，a 2 ，a t 都是不大于9 的非负整数， 个a i 1 因此 1 0 。；= 1 0 扣1 a l + l o 卜2 a 2 + + l o a t 一1 + a t + 0 d l a 2 c i t 把( 1 1 ) 式与( 1 2 ) 式两边相减得 孚一；= 1 0 。一1 a l + 1 0 。一2 a 2 + + l o a t _ 1 + 毗， ( 1 1 ) 但至少有一 ( 1 2 ) 即( 1 0 。一1 ) g = p ( 1 0 2 1 a 1 + 1 0 一2 a 2 + + l o a t 一1 + 吼) 由于0 ，口) = 1 ，贝l jpi ( 1 0 t 一1 ) ，因此p ，1 0 。) = ( p ，l o t 一1 + 1 ) = ，1 ) = 1 ，故0 ，1 0 ) = 1 命题2 2 给出了把正有理数表示成十进制循环小数的必要条件下面的 命题2 3 是命题2 2 的逆，并且给出了更强的结果： 命题2 3p ，q 为正整数，设0 q p ，其中0 ，t o ) = 1 ，h 是1 0 模p 的阶 1 0 关于十进制循环小数的一个注记 第二章十进制小数 ( 见定义1 1 ) ，则；能表示成纯循环小数o d ，如，这里啦为不超过9 的非 负整数，i = 1 ，2 ，h 证明：由于1 0 h 一1 兰0 ( r o o d p ) ，进而可得l o h q q 三0 ( r o o d p ) 设1 0 q q = p m ， 其中m 是一个正整数，则 设 则 血p 一；= m p ；2o a l a 2 a 3 a h a h + l a h + 2 a 2 h ， 号笋= n 1 1 0 一1 + a 2 1 0 h 一2 + + 1 0 口 一1 + 。，l + o a h + l a + 2 从而 m = a 1 1 0 一14 - a 2 1 0 一24 - 4 - l o a h 一1 + a h ， 0 a l a 2 a 3 a h a h + l a h + 2 a 2 h = o a h + l a h + 2 a 3 h 由( 1 3 ) 式可得 a l2a h + la h + l2a 2 h + la 2 h + l2a 3 h + l a 22a h + 2a h + 22a 2 h + 2a 2 h + 22a 3 h + 2 a h2a 2 ha 2 h2a 3 ha 3 h2a 4 h 进一步有 a k h + i = 啦，k = 0 ，1 ，2 ，3 ，i = 1 ，2 ，3 ，h ， 故；为纯循环小数 ( 1 3 ) 注若p 是不等于2 ，5 的素数，则由命题2 3 知， ；1 的十进制小数表示 必是一个纯循环小数，且循环节的长度为1 0 模p 的阶( 从而这一长度不超过 p 一1 ) 特别，；1 的十进制小数表示中循环节的长度等于p 一1 的充分必要条件 是，p 以1 0 为原根 1 1 关于十进制循环小数的一个注记 第二章十进制小数 例2 2 ；= 0 i 4 2 8 5 7 ，；= 0 2 8 5 7 1 4 ，；= 0 4 2 8 5 7 i ，；= 0 5 7 1 4 2 8 ， = 0 7 1 4 2 8 5 ， ；= 0 8 5 7 1 4 2 命题2 2 和命题2 3 告诉我们怎样的有理数可表示成纯循环小数，如何把 这样的有理数表示成纯循环小数；下面的命题则告诉我们怎样的有理数可 表示成混循环小数，如何把这样的有理数表示成混循环小数 命题2 4 设p ，口，p 1 都是正整数，q 1 ，1 ，1 0 ) = 1 ， p = 2 a 5 p p 1 ，其中口，p 是不同时为0 的非负整数令h 是1 0 模p 1 的阶( 见定 义1 1 ) ，则当a 卢时，我们有：= o d l n 2 n 3 a n 口+ 1 n 4 ；当a p 时，我们有 ：= o d 10 2 0 3 卢n p + l n j i 证明： ( 参考文献【3 p p 3 0 一3 3 ) 例2 3 嚣1 3 = 0 4 6 4 2 8 5 7 i ，丽1 5 = 0 0 4 8 7 0 1 2 9 ，孺3 6 1 = 0 4 1 2 5 7 1 4 2 8 1 2 关于十进制循环小数一个注记第三章 m i d y 定理 第三章m i d y 定理 设p 为正整数，( p ，l o ) = 1 ，则石1 的十进制小数表示中循环节里数码的规 律性是一个令人感兴趣的问题m i d y 在1 8 3 6 年对于循环节为偶数的情形， 证明了下面的漂亮的结果： m i d y 定理( 参考文献( 5 】) 设p 为正整数，且p ，1 0 ) = 1 ，若；1 的十进制小 数表示中循环节长度为2 d ，设丢1 = o d l a 2 如d ，其中a i 为不超过9 的非负整 数，i = 1 ，2 ，3 ，2 d 令u = 万而r 面， 口= 瓦再了瓦耳f l _ 面蟊，贝! ju + u = l o d 一1 ， 且a l + a i + d = 9 ，i = 1 ，2 ，3 ，2 d 证明： 设b ( p ) 表示；1 十进制小数表示中所对应的循环节，记 b ( p ) = 面面l 面函 因为 所以 则 ；= o d l a 2 a j d ，1 1 0 厂2 a = 1 0 2 d - l a l + 1 0 2 d - 2 a 2 + + a 2 d + o d l a 2 a 2 d ， 1 0 2 7 d - - 一1 = 1 0 2 d 一1 。1 + 1 0 2 d - 2 a 2 + + n 2 d = b p ) ， p s ( p ) = 1 0 2 d 一1 = ( 1 0 d 一1 ) ( 1 0 d + 1 ) 已知；1 的十进制小数表示中循环节长度为2 d ，由命题2 3 知，1 0 模p 的 阶为2 d ，因此p t ( 1 0 d 一1 ) ，故pl ( 1 0 d - t - 1 ) ，且( 1 0 d 一1 ) ib ( p ) ，其中b ) = 西订西l 面函= 1 0 d u + v = ( 1 0 d 一1 ) u + ( t 正+ ) ，所以( 1 0 d 一1 ) i ( u + 口) 易知0 ；1 i 1 ， 贝l j0 让+ ( 1 0 d 一1 ) - i - ( 1 0 d 一1 ) = 2 ( 1 0 d 1 ) ，故u + = 1 0 d 1 又 u + 口= a l a 2 口d + a d + l a d + 2 a 2 d = a 1 1 0 d l + + n d + a d + 1 1 0 d 一1 + + n 2 d = ( a 1 + a d + 1 ) 1 0 d 一1 + ( a 2 + a d + 2 ) 1 0 d 一2 十+ ( n d + a 2 d ) 且u + 移= 1 0 d 一1 = 9 1 0 d 一1 + 9 l o 如2 + + 9 由于正整数的十进制表示唯一，故 吼+ a d “= 9 ，其中i = 1 ，2 ，3 ，d 注：关于m i d y 定理的一些有趣的推广，参考文献 5 】， 6 】，f 7 】，【8 】 1 3 关于十进制循环小数的个注记第四章 ；1 的十进制小数表示及本文的主要定理 第四章；1 的+ 进制小数表示及本文的主要定理 本章我们考虑：( q = 1 ，2 ，p 一1 ) 的十进制展开，这里素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根由命题2 3 后面的注可知，：的十进制小数表示中循环节的长 度为p 一1 命题4 1 ( 参考文献 4 】) 设素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根则；，i ， ；，孚的十进制小数表示是由；1 的十进制小数表示的数码轮换得到 证明： 易知；1 为纯循环小数，把；1 表示成十进制小数的过程可由以下 运算得到： 1 0 = a l p + r l ， l o r l = a 2 p + r 2 ， l o r p 一2 = a p l p + r p 一1 ， ( 1 4 ) 其中o t 为不超过9 的非负整数，n 为商毗所对应的余数，且n 为大于0 且 小于p 的正整数，i = l ，2 ，3 ， 则 ；1 = 葡1 万1 0 2 南( 0 1 + 蛩) = 器+ 土1 0 丑p = 虬1 0 + 形1 皿p = + 形1 堡皆 = 器+ 静+ 殍1 翌p = a _ 1 0 t + 号+ + 貉+ 罚手1 可垒尹= 由于；1 的十进制纯循环小数表示中循环节长度为p - 1 ，因此，r p 一，= 1 ，把石1 化为十进制小数的过程中可通过上述p - 1 步运算而得到，记石1 = o d z a 2 喀1 由( 1 4 ) 式运算过程可知 1 0 = l o x l p + r 1 ， 1 4 关于十进制循环小数的一个注记 第四章 ；1 的十进制小数表示及本文的主要定理 1 0 2 = 1 0 2 x 2 p + r 2 ， 1 0 p 一1 = 1 0 p 一1 却一1 + 勺一l ， 贝ll o t 兰n ( r o o d p ) ，其中i = 1 ，2 ，3 ，p 一1 由命题2 。3 知1 0 为模p 的一个原根，所以1 0 1 ，1 0 2 ，1 0 3 ，1 0 p _ 1 构 成模p 的一个既约剩余系，那么n ，您，和一t 也是模p 的一个既约剩 余系 由于0 心 p ，所以r 1 ， r 2 ，r 3 ，印一l 与1 ，2 ，3 ，p 一1 按照某种顺序排列后一一对应，由带余除法知，啦与r i 一一对应对于有 理数；( 口= 2 ，3 ，4 ，p 1 ) ，因为，l o ) = 1 ，0 ； 1 ，且1 0 模p 的阶为p 一1 ， 所以；为纯循环小数且循环节长度为p 一1 ，因此我们把；化为十进制纯循环 小数的过程是从以下等式中的余数为q 的后一个等式开始运算，直至第一次 出现余数为q 时停止： 1 0 = a l p + r l ， l o r l2a 2 p + r 2 ， l o r p 一2 = a p l p + r p 一1 ，其中勺一l = 1 因此，我们可得到p - 2 个纯循环小数o d 2 a 3 吻一l d l ，o a 3 a 4 a p _ l a i d 2 ， o 脚_ ，n ，a 2 啦。且这p 一2 个纯循环小数与；，；，；，咝p 存在某种 一一对应关系，故；，；，p 4 ，匣p 的十进制纯循环小数表示是由数 码口1 ，a 2 ，a 3 ，口p l 轮换得到 由命题4 1 可知，若素数p 以1 0 为原根，则研究；的十进制小数表示， 化为研究；1 的十进制小数表示我们先看几个这样的例子注意，在第一章 末我们提到过，素数7 ，1 7 ，1 9 ，2 3 ，4 7 ，5 9 ，6 1 均以1 0 为原根 例4 1 ；= 0 i 4 2 8 5 7 ， 刍= 0 6 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 ， 1 1 9 = 0 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 i ， 嚣1 = 0 0 4 3 4 7 8 2 6 0 8 6 9 5 6 5 2 1 7 3 9 1 3 ， 1 5 关于十进制循环小数的一个注记 第四章 ；的十进制小数表示及本文的主要定理 击= o 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 r ， 矗= o 0 1 6 9 4 9 1 5 2 5 4 2 3 7 2 8 8 1 3 5 5 9 3 2 2 0 3 3 8 9 8 3 0 5 0 8 4 7 4 5 7 6 2 7 1 1 8 6 4 4 0 6 7 7 9 6 6 i ， 击= o 0 6 1 3 9 3 4 4 2 6 2 2 9 5 0 8 1 9 6 7 2 1 3 1 1 4 7 5 4 0 9 8 3 6 0 6 5 5 7 3 7 7 0 4 9 1 8 0 3 2 7 8 6 8 8 5 2 4 5 对于上面的十进制循环小数，我们看到，在同一个循环节里数码l ，2 ， 4 ，5 ，7 ，8 出现的次数相同，数码3 与6 出现的次数相同，数码0 与9 出 现的次数相同。一个自然的结果是，若i 的十进制小数表示中循环节长度为 p l ，那么：的十进制循环小数表示中其数码是否都有这样的规律呢? 这 就是我们在本文中所要讨论的问题，我们得出如下结果： 定理4 1 设素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根则：的十进制小数表示中 在同一个循环节里数码l ，2 ，4 ，5 ，7 ，8 出现的次数相同，数码。与9 出现的次数相同，数码3 与6 出现次数相同。 由命题4 1 与定理4 1 我们即得出： 定理4 2 设素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根则：的十进制小数表示中 在同一个循环节里数码1 ，2 ，4 ，5 ，7 ，8 出现的次数相同，数码。与9 出现的次数 相同，数码3 与6 出现的次数相同，其中g = 1 ，2 ，3 ，p 一1 定理4 1 的证明见第五章 1 6 关于十进制小数的一个注记 第五章主要定理的证明 第五章主要定理的证明 本章我们证明本文的主要定理( 见第四章末) 定理4 1 设素数p 2 ，5 ，且p 以1 0 为原根则；1 的十进制小数表示中 在同一循环节里数码1 ，2 ，4 ，5 ，7 ，8 出现的次数相同，数码0 与9 出现的次数相 同，数码3 与6 出现的次数相同 证明： 由命题4 1 知；，；，；，宁与p 一2 个十进制纯循环小数 o d 2 a 3 吻一1 d 1 ，o d 3 a 4 唧一1 d 1 d 2 ，o n p - 1 0 1 0 2 喀2 按照某种次序一一 对应 因此，；1 的十进制纯循环小数表示中数码0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 在同一个循 环节中出现的次数，与；1 ，；，；，；，宁的十进制纯循环小数表示 中数码0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 在这p 一1 个十进制纯循环小数的第一个循环节首 位出现的次数相同 设p 一1 个有理数；1 ，；，；，；，宁的十进制纯循环小数表示 中，第一个循环节首位为i 的个数记为m ，i = 0 ，1 ，2 ，9 对于；，其中q = l ，2 ，3 ，p 一1 ，当；的十进制纯循环小数表示中第一 个循环节首位为0 时，我们有0 ： 5 0 ，则0 q 喘所以这样的q 共有 【哿】个，故n o = 【喘】 当：的十进制纯循环小数表示中第一个循环节首位为1 时，我们有5 0 ： 斋，则景 q 瓷，所以这样的q 共有 哿卜【南】个，故1 = 【脊卜 南】 同理可得 2 v 2 = 脊】- ， n 3 = 【等卜 器】， n 4 = 【等卜 等】， 5 = 脊】_ 器】， 6 = 【蛩卜， 7 = 脊卜， n 8 = 瞀卜， n 9 = 【等卜 1 7 关于十进制小数的一个注记 第五章 主要定理的证明 设p = 1 0 m + 礼，m ，n 为非负整数，0 冗9 由于慨l o ) ；1 ，故扎：1 ，3 ，7 ，9 则0 = 喘】= 地昔d 】- m + 【昔】， l = 【互铲】一 南】= 。2 0 - + l 。2 - 1 1 ，一。1 0 m l 。+ n 。 = m + 尘斋量】一【盎】， 2 = 【丑铲】一 驾】= 。 3 0 m + 。0 3 n - - 1 一【警】= m + 垒菇量】一 哿】， 3 = 【生铲】一 器】= 【型垃铲】一f 学】= m + 尘铲】一 裔 ， 4 = 皇宇】一 韶】= 【壑虹铲】一【堑号手纽 = m + 【墅铲】一 哿 ， 5 = 【脊卜 6 = 【祭1 - 7 = 【哿】- 8 = 瞀卜 9 = 等】- = 【垡垃铲】一【学】= m + 【鱼铲】一 器】， = 【垫业等吐】一【鲤号拶】= m + 【z 铲】一 器 ， = 【墅堕铲】一【警】= m + 【墅斋三】一嚆】， = 笾独铲】一【垦q 号手匦】= m + 【鱼铲】一 器】， = 墅塾堡壮】一【艘鲍1 业0 j = m + 塑斋生j 一 哿j 当凡= 1 时，1 = 2 = 眠= 5 = 7 = 8 = m ，3 ：6 当死= 3 时，l = 飓= 4 = 5 = 7 = 8 ：价， n o = 9 = m ； = 仇，n o = 炳= m ； 3 = 6 = m + 1 当n = 7 时， 1 = 2 = 4 = 5 = 7 = 8 = m + 1 ，3 ：6 ：m ， n o = 9 = m ； 当n = 9 时， 1 = 2 = 4 = 5 = 7 = 8 ：m + 1 ，3 ：6 ；m + 1 ， n o = 9 = m 故 l = 2 = 肌= 5 = 7 = 8 ，飓= 6 ，n o = 9 ，即得证 注若应用m i d y 定理，可稍稍简化上述证明： 我们设p 一1 = 2 d ，；1 = o d 1 n 2 a d a d + 1 口五，则由m i d y 定理可知 o i + a i + d29 ，i = 1 ，2 ，3 ，d 因此在同一个循环节中数码0 ，1 ，2 ，3 ，4 出现的次数分别与数码9 ：8 ， 7 ，6 ，5 出现的次数相同，即n o = n 9 ，n i = 8 ，2 = 7 ，3 ：