（工程力学专业论文）功能梯度材料孔周热应力分析.pdf

n 鲫_ j i n gu n i v e r s i t yo f a e r o n a u t i c sa n da s t r o n a u t i c s t h eg r a d u a t es c h o o l c o l l e g eo f a e r o s p a c ee n g i n e e r i n g r e s e a r c ho nt h e r m a ls t r e s s e sa r o u n da c i r c u l a rh o l ei nf u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s a t h e s i si n e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s b y y a n gq u a n q u a n a d v i s e db y p r o fg a oc u n f a s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f l l l m e n t o fm er e q u i r e m e n t s f o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fe n g i n e e n n g d e c e n 拍e r 2 0 0 9 5叭叭i 6嗍52咖8ii-m y 承诺书 本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。 本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：盘起遮 日期：弼多；、化 南京航空航天人学硕十学位论文 摘要 在航空、冶金、机械制造和建筑行业以及其他它国防及民用结构中，普遍存在热应力现象。 由于热应力与各种工程结构，特别是高温结构的材料寿命密切相关，已愈来愈为人们所关注。 而功能梯度材料具有缓和热应力、耐热冲击、耐热疲劳、耐腐蚀、耐磨损等优点，所以对于功 能梯度材料热应力的研究无论在理论上还是实际工程中都具有重要的意义。 基于复势函数理论，本文分别研究了含圆孔功能梯度板在机械载荷和热载荷作用下板内的 应力分布。主要研究内容分为如下几个部分：第一章简要介绍了功能梯度材料的发展以及国内 外研究现状；第二章给出了本文所需要的基本方程；第三章分析了含圆孔功能梯度板在均布载 荷作用下板内的应力分布问题。首先采用分层均匀化的方法，将问题近似的转化为一个均质板 含有n 个环的情况，其中每个环的材料常数不同，这样可以利用m u s l ( t l e l i s h v i l i 理论对问题进行 求解。在数值算例中，我们讨论了不同载荷作用下板内的应力分布，然后又分别讨论了杨氏模 量和泊松比的变化对应力分布的影响。第四章研究含圆孔功能梯度板在均匀热流作用下板内的 二维热应力问题。采用同样的方法，将问题转化为一个均质板含有n 个环的情况。与机械载荷 作用不同的是，此处要先根据温度连续条件计算出温度场，然后再利用m u s l ( 1 1 e l i s h v i l i 理论，求 得应力场。在最后的数值算例中，我们分别讨论了杨氏模量，热膨胀系数，导热系数和泊松比 的变化对热应力集中的影响。最后，对本文所做的工作做了总结以及对未来的工作做了展望。 关键词：功能梯度材料，圆孔，热应力，复变函数法，分层均匀化 功能梯度材料孔周热应力分析 a b s t r a c t t h e m ：l a ls 廿e s s e su s u a l l y0 c c u ri i la e r o s p a c e ，m e t a l l u 噼脚c h i i l e 巧姗珈l f a c t 嘶n g ，c o l l s t l l 惦t i o n i 1 1 d u s 扛y 锄dm a n y o t l l e rm t i o n a ld e f e i 塔ea r l dc i 讥l i 锄i n d u s t r i a ls 伽l c r u r e s e s p e c i a l l y i i l h i 曲_ t e i n p e m t u r e 舶n n l e n t ，s t u d i e s0 n 廿l e m a ls 仃e s s e sh a v er e c e i v e dm u c h 触e r e s ti i ls t r e n g m a n a l y s i so fn e wm a t e r i a l sa r l ds t r i l c t u r c s f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e 血l sh a 、，ema i l _ ym e r i t ss u c h 舔 r e d u c i l l gd l e r m 鲥s 扭髂s ，h e a ts h o c kr e s i s t a l l c e ，h e a t 如t i g u er e s i s t a n c e ，c o r r o s i o nr e s i s t a l l c e ，w e a r r e s i s t a n c e 锄ds oo n t h l l s ，i ti so ft l l e o r e t i c a l 锄dp r a c t i c a li m p i 订t a i l c et 0s t u d yt h e l e 加：i a ls 仃e s so f f u n c t i o n a l l y 伊a d e dm a t e r i a l s h ln l ep 北s e n tw o r k ，b yl l s i n gc o n l p l e x 谢a _ b l em e t l l o d ，w es t u d yt l l es n e s sd i s t r i b u t i o no fa 如n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a lp l a t ew i mac i r c u l a rh o l eu 1 1 d e rm e c h a l l i c a “o a d sa n dt l l e m l a l l o a d s ，r e s p e c t i v e l y b e l o wa r em em i i lc o n t e n t so ft l l ew o r k ：f o l l o w i n gt l l eb r i e fi i l t r o d u c t i o n 百v i nc h a p t e rl ，k e ye q u a t i o n st ob eu s e di i i l ew o r ka r e0 u t l i n e di i lc h a p t e r2 i i lc h a p t e r3 ，s t l l d i e di s t l l es 缸e s sd i s t r i b u t i o no fa 如n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a lp l a t ew i t l lac i r c u l a rh o l eu n d e rc o n s 协tl o a d s b 筋e do nt l l em e l o do fp i e c e w i s eh o m o g e n e o u sl a y e r s ，t l l ep r o b l 锄i sr e d u c e da p p r o x m m t e l yt ot h e c 勰ew h e r em eh o m o g e n e o l _ l sp l a t ec o n t a i n sn r i n g sw h i c hi i a v ed i 疏r e n tm a t e r i a lc o n s t a i l t s ，锄dt l l u s i tc 鲫b es o l v e db 勰e do nm u s k h e l i s h v i l i st l l e o r y i i ln u m e c a le x 锄p l e sw ed i s c u s s em es 缸e s s d i s t r i b u t i o ni 1 1m e p l a t eu 1 1 d e rd i 虢r e l l tl o a d s ，锄dt l l ee 位c t so f l cv a r i a t i o i l so fy o u n g sm o d u l u s 锄d p o i s s o n sm t i o0 nt l l es n l e s sc o r l c e n 吼t i o n s h lc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t e 廿l et l l e 彻a ls 仃s s e si i la f h n c t i o m l 野以e d 麟l t e r i a lp l a t ew i mac 疵u kh o l eu n d e r 岫i f o 】皿h e a tn u xa ti i l f i n 咄b yu s i i l gt h e s i m i l a rm e 廿1 0 dt o 吐l e 址1 0 v e ，t l l ep 陀s e l l tp r o b l e mi s 他d u c e dt 0t l l ec 弱e 、v h e m l eh o m o g e r 圮0 u sp l a t e c o n t a i l l snr i n g s h o 、e v d i 彘陀n t 肋mn l ec 舔e 蚰d e rm e c h a i l i c a l1 0 a d s ，廿l et e i i l p e 髓t i l 】f i e l d 眦e d t 0b ed e r i v e dh e 他f i r s ta c c o r d i i l gt om et l l e n i l a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s f u m 圮m o 托，n u m e r i c a l e x a m p l e sa r ea l s op r e s e n t e dt 0d i s c u s st h ee f f e c t so fm ev 撕a t i o 璐o fy b u n g sm o d u i l l s ，t l l e 肌a l e x p a i l s i o nc o e m c i e n t ， m e 肌a lc o n d u c t i v i t ) ，锄dp o i s s o n sr a d o圮m e m 谢s t r e s s c o n c e n 删o n s f i n a l l y ，n l i sw o 出i sc o n c l u d e d ，a n d 如t u r c 、o r l 匹o n t l l et o p i ca 他p 1 0 p o s e d k e y w o r d s ：f l m c t i o m l l y 罂甜e d 姗t e f i a l s ，c i r c u l a rh o l e ，t 1 1 e 肌a is 仃e s s ，c o n l p l e xv a r i a b l e m e t l l o d ，p i e c e w i s eh o m o g e n e o u sl a y e 腮 n 南京航空航天人学硕士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 引言。l 1 1 1 功能梯度材料的概念1 1 1 2 功能梯度材料的优点及应用2 1 1 3 功能梯度材料的研究内容2 1 2 国内外研究现状3 1 3 存在不足5 1 4 本文研究内容6 1 5 总结。7 第二章弹性与热弹性二维问题基本方程8 2 1 引言。8 2 2 弹性二维问题的基本方程8 2 3 热弹性二维问题的基本方程8 2 3 1 平面温度场复势表示8 2 3 2 平面热弹性基本方程9 2 4 总结1 0 第三章含圆孔功能梯度板在机械载荷作用下应力分析1 1 3 1 引言1l 3 2 问题描述1 2 3 3 理论推导。1 3 3 4 数值计算1 6 3 4 1 不同载荷作用下板内的应力分布1 6 3 4 2 杨氏模量的不同变化规律对应力集中的影响2 0 3 4 3 泊松比的变化对应力集中的影响。2 2 3 5 总结2 3 第四章含圆孔功能梯度板在均匀热流作用下应力分析2 4 4 1 引言2 4 4 2 问题描述2 4 4 3 理论推导2 6 l 功能梯度材料孔周热应力分析 4 3 1 计算温度场2 6 4 3 2 计算应力场。2 8 4 4 数值计算3l 4 4 1 导热系数对热流分布的影响3 2 4 4 2 杨氏模量的变化对热应力集中的影响3 3 4 4 3 热膨胀系数的变化对热应力集中的影响3 5 4 4 4 导热系数对热应力集中的影响3 6 4 4 5 泊松比的变化对热应力集中的影响3 8 4 5 总结3 9 第五章总结与展望4 0 5 1 总结4 0 5 2 展望4 0 参考文献4 2 至定谢4 7 在学期间的研究成果及发表的学术论文4 8 南京航空航天大学硕士学位论文 图清单 图1 1 陶瓷金属功能梯度材料的结构和特性1 图1 2 具有不同厚度的功能梯度热障涂层微结构图( a ) 0 7 5 m m ，( b ) 1 1 i m 4 图3 1 含圆孔功能梯度板在无穷远处受任意均布载荷作用1 2 图3 2 将板分解成n 个环：1 2 图3 3 第i 层环示意图1 3 图3 4 单向拉伸作用下，仃，沿x 轴变化图1 7 图3 5 单向拉伸作用下，a 沿孔周分布图1 8 图3 6 双向拉伸作用下，仃，沿x 轴变化图。1 8 图3 7 双向拉伸作用下，a 沿孔周分布图1 9 图3 8 纯剪切作用下，沿9 = 一万4 方向变化图1 9 图3 9 纯剪切作用下，沿孔周分布图2 0 图3 1 0 当e 以不同规律递增时，仃。沿x 轴变化图2 l 图3 1 1 当e 以不同规律递减时，盯，沿x 轴变化图2 1 图3 1 2 单向拉伸作用下，泊松比变化时，a 沿孔周分布图2 2 图3 1 3 纯剪切作用下，泊松比变化时，a _ 沿孔周分布图2 3 图4 1 含圆孔功能梯度板在无穷远处受任意均匀热流作用2 5 图4 2 将板分解成n 个环。2 5 图4 3 当a 以不同规律变化时，口，沿y 轴变化图3 2 图4 4 当a 以不同规律变化时，g 。沿孔周分布图j 3 3 图4 5 当e 以不同规律变化时，0 0 沿y 轴变化图。3 4 图4 6 当e 以不同规律变化时，a _ 沿孔周分布图3 4 图4 7 当口以不同规律变化时，a _ 沿y 轴变化图。3 5 图4 8 当口以不同规律变化时，a 沿孔周分布图。3 6 图4 9 当五以不同规律变化时，a 0 沿y 轴变化图3 7 图4 1 0 当a 以不同规律变化时，a _ 沿孔周分布图3 7 图4 1 l 当y 以不同规律变化时，a 0 沿y 轴变化图。3 8 图4 1 2 当y 以不同规律变化时，a 0 沿孔周分布图3 9 v 功能梯度材料孔周热应力分析 表清单 表1 1 功能梯度材料的应用2 表3 1 弹性模量递减变化时，不同层数对应的应力集中系数s c f 1 6 表3 2 弹性模量递增变化时，不同层数对应的应力集中系数s c f 1 7 表4 1 弹性模量递减变化时，不同层数对应的应力集中系数s c f 3 1 表4 2 弹性模量递增变化时，不同层数对应的应力集中系数s c f 3 l 南京航空航天大学硕士学位论文 仃 f “， x k 伊( z ) y ( z ) g ( z ) g e y 正应力 切应力 位移 边界上x 方向的合力 边界上y 方向的合力 复应力函数 复应力函数 热流势函数 剪切模量 杨氏模量 泊松比 注释表 导热系数 热膨胀系数 温度 总热流 x 方向热流 y 方向热流 级数展开项数 层数 参考半径 圆孔半径 第j 环半径 v 见口 r q以以mr乃 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 随着现代科学技术的飞速发展，人们对材料性能的要求越来越高，尤其是在诸如超高温、 超高压等极限环境下更要求材料有特殊的性能。一个典型的例子就是载人飞船或者航天飞机穿 越大气层时，由于飞行速度特别快，机体表面与空气剧烈冲擦将产生很高的温度。如此苛刻的 工作环境对机体的热防护系统和发动机的耐热材料都提出了极高的要求：一方面要有优异的耐 热隔热特性以承受高温和热冲击，另一方面又要求材料具有优良的强韧性以承受机械载荷和温 度梯度引起的热应力。因此作为机体材料的隔热型超耐热材料的开发是必不可少的。 1 1 1 功能梯度材料的概念 根据上述背景，日本几位材料科学家【l 】在1 9 8 7 年提出了功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e d m a t e n a l s ) 的概念。所谓功能梯度材料是指构成材料的要素( 组成、结构) 沿厚度方向由一侧向另 一侧呈连续梯度变化，从而使材料性质和功能也呈梯度变化的一种新型材料。初始，这种材料 的应用目标主要在航天飞机的防热系统中，如图1 1 所示【2 】通过控制过渡区的成分、微观结 构和孔隙率，使外层陶瓷与内层金属的热膨胀系数差得到补偿，使结合部位的宏观界面消失， 从而得到具有热应力缓和功能的高性能功能梯度材料，这样一方面避免了金属和陶瓷之间因物 理及力学性能上的巨大差异所造成的界面应力问题，另一方面又能充分缓和材料在使用过程中 因高温度落差所产生的热应力。 图1 1 陶瓷金属功能梯度材料的结构和特性 功能梯度材料孔周热应力分析 1 1 2 功能梯度材料的优点及应用 功能梯度材料正是通过引入组织与成分的逐渐变化，来满足工程对构件不同位置具有不同 性能的要求，进而使该- 下程整体上达到最佳效果，其耐热性、可靠性和再用性是以往使用的陶 瓷涂层复合材料所无法比拟的。此种材料具有以下优点【3 4 】： ( 1 ) 热应力值可减至最小，而且可以有效地控制热应力达到峰值的临界位置： ( 2 ) 对于给定的热机械载荷作用下，可以推迟塑性屈服和失效的发生； ( 3 ) 抑制了自由边界与界面交界处严重的应力集中和奇异性； ( 4 ) 与突变的界面相比，可以通过在成分中引入连续的或渐变的梯度来提高不同固体( 如金属和 陶瓷1 之间的界面结合强度； ( 5 ) 可以通过对界面的力学性能梯度进行调整来降低裂缝沿着或穿过界面扩展的驱动力； ( 6 ) 通过渐变的或连续的梯度可以方便地在延性基底上沉积厚的脆性涂层( 厚度一般大于 1 m m ) ； ( 7 ) 通过调整表面层成分中的梯度，可消除表面锐利压痕根部的奇异场或改变压痕周围的塑性 变形特性。 由于功能梯度材料具有这些显著的优点，目前已在很多领域得到了广泛的应用。表1 1 列举 了功能梯度材料在航空航天、生物工程、机械工程、光电工程、电磁工程、核工程、民用及建 筑、能源：r 程等领域的应用5 ，6 1 。 表1 1 功能梯度材料的应用 1 1 3 功能梯度材料的研究内容 功能梯度材料的研究包括材料设计、材料制备和材料的特性评价三个部分。材料设计为功 2 南京航空航天大学硕士学位论文 能梯度材料合成提供最佳的组成和结构梯度分布，材料制备根据材料设计的结果，采用适当的 方法制备出符合实际应用目标的功能梯度材料，材料特性评价通过建立针对功能梯度特性的一 整套标准化实验方法，对材料进行测试。三者相辅相成，缺一不可【7 】。 材料的设计包括复合材料物性参数预测、热应力模拟与计算和梯度组成分布优化设计等几 个主要部分，其最终目的是为了得到满足使用要求、热应力缓和程度最大的梯度材料成分分布。 在设计时，以知识库为基础选择可供合成的材料组成和制备技术，然后选择表示梯度变化的分 布函数，并以材料基本物性数据库为依据进行功能( 温度、热应力等) 的解析计算，最后将最优 设计方案提交材料合成部门。 材料的制备是指根据材料设计的结果，采用适当的方法制备出符合实际应用目标的功能梯 度材料。制备出的功能梯度材料可以是金属一金属、金属陶瓷、非金属非金属、非金属陶瓷等。 功能梯度材料制备的关键是控制材料结构，使组成和显微结构按照要求逐渐变化。目前f g m 的 制备方法主要有气相沉积法、粒子排列法和电沉积法。 材料的特性评价是将经材料设计和制备所制得的梯度材料在模拟的实际使用环境条件下， 测定其各种性能，判断其是否满足使用要求，并将评价结果反馈到材料设计和材料制备中的综 合技术。由于功能梯度材料的特性评价涉及热力学、流体力学、材料力学和材料工程等不同领 域，所以只有通过这些领域的通力协作才能建立准确评价功能梯度材料特性的一整套标准化试 验方法，并将有关测试结果及时反馈给材料设计部门以建立材料的热物性数据库。除了力学性 能和热学性能分析，其他物理、化学性能的分析对功能梯度材料的实际应用也是很有用的。 1 2 国内外研究现状 功能梯度材料是一种组分、结构和物性参数都呈连续或梯度变化的高性能材料，其材料的 耐热性、可靠性和再用性是以往使用的陶瓷涂层复合材料所无法比拟的。如图1 2 所示【8 l 的两 个具有不同厚度的功能梯度热障涂层微结构图，底部为钢基体，顶部为氧化锆陶瓷材料，中间 为功能梯度过渡层，实验证明这种结构具有韧性好、强度高、以及良好的抗高温氧化与抗热腐 的优点，其在航空航天领域有着广。泛的应用。例如，由于航天飞机在进入大气层的过程中，机 头尖端和机翼前沿可以达到1 6 0 0 k 的高温，同时作为航天飞机机体的耐热材料要求具有很高的 强度，有效地采用功能梯度材料既可以满足耐热和强度的要求，又可以减小温度产生的热应力， 满足航天工业的需求【9 1 。美、法、英、德等国家已先后发表了特超音速客机“n e wo r i e n te x p r e s s ” 和载人航天飞机“h o t o l ”、“h e n n e s ”和“s a n g e r ”等与功能梯度材料相关的各种计划i ， 而日本一直在功能梯度材料的研究上处于领先地位，已经研制出了多种功能梯度材料。目前， 功能梯度材料的应用领域已经从航空航天拓展到核能、生物医学、机械、电磁电子、石油化：亡、 光学、民用及建筑等其他诸多领域。3 1 ，如化学性能功能梯度材料可应用于制作化学反应容器， 3 功能梯度材料孔周热应力分析 能量转换功能梯度材料可应用于制作太阳能、宇宙射线能、核能能量转换器，从而可大幅度地 提高热一电、光电的转换效率。 ( a ) ( h ) 图1 2 具有不同厚度的功能梯度热障涂层微结构图( a ) o 7 5 咖，( b ) 1 1 i 姗 随着功能梯度材料应用领域的不断扩展，其结构的力学性能分析研究越来越重要，对具有 逐渐变化属性的功能梯度材料进行力学分析，给人们提出了挑战性的任务，同时也给力学工作 者提供了一个显露身手的机会。功能梯度材料的力学行为与均匀材料相比有很大差别，作为一 种典型的非均匀材料，其性能具有极大的特殊性。因此随着功能梯度材料的出现，极大地推动 了这种典型非均匀材料力学行为问题的研究。 在过去的二十年里，功能梯度材料的力学性能引起了许多学者的兴趣，在理论，数值和实 验方面都有很多研究工作：d 勰等人【h 】研究了各向异性功能梯度涂层中裂纹的应力强度冈子。 z 1 1 a i l g 等人研究了均质材料和功能梯度材料界面处动态裂纹的扩展问题。办o n g 和c h e n g l l 6 】 分析了材料参数任意变化的功能梯度板条内的裂纹问题。c l l i u 【1 7 】等研究了受均布动荷载作用 下，功能梯度板中一维弹性波的传播。b 1 1 l c k l i8 1 等研究了层状结构和功能梯度材料中一维弹性 波的反射。c i l i 和c h 蚰叠1 蚣o 】给出了横向载荷作用下功能梯度矩形板弯曲问题的解析解和数值 解。s i i l g l l 等人b 1 1 分析了功能梯度球壳的振动问题。s o f i y e 、r 【2 2 l 等利用g a l e r k l n 法得到了受非周 期轴向荷载作用下稳态响应的解析解。h 觚【2 3 】等提出了一种混合数值方法( h y b r i dn 硼硎c a l m e t h o m ，将有限元法和f o 嘶e r 变换相结合，分析了径向受有线荷载的功能梯度圆柱壳的瞬态 响应。随后，h 锄和l i u 【2 4 】又将前期的工作扩展到功能梯度压电圆柱壳中表面波圆。d i i l g 和l i 【2 5 l 研究了功能梯度涂层和基体间含有界面裂纹的反平面问题。y i n g 等人【2 6 】给出了功能梯度梁置于 弹性基体模型的二维弹性解。曲t a l y 柚和m e 璐h y k o v a 【2 7 】研究了有限厚度功能梯度涂层基体 系统的三维问题。砧t e n b 孔h 和e 咒m e y e v 【2 8 1 分析了功能梯度板的粘弹性行为。t u t u l l c u f 2 9 l 得出了 功能梯度厚壁圆筒仅受内压作用下应力和位移的幂级数解。最近，乃饿等人1 3 0 】利用里兹法分析 4 南京航空航天人学硕+ 学位论文 了功能梯度板的自由振动问题。a y h 锄【3 ”利用有限元方法计算了功能梯度材料内混合型裂纹应 力强度因子。 有关功能梯度材料热应力问题的研究，人们也做了大量的工作。例如，o b a t a 和n o d a 【3 2 】 利用摄动法分析了功能梯度圆筒和功能梯度空心球体内的稳态热应力。l u t z 和z i m m e m 锄【3 3 】 进一步得到了弹性模量和热膨胀系数沿径向线性变化的实心球体在均匀加热时应力的精确解。 s u g 锄o 【3 4 】给出了杨氏模量和热膨胀系数变化，泊松比不变的功能梯度圆筒内热应力的解析解。 f u k u i 等人【3 5 1 利用数值积分法，给出了径向非均质厚壁圆筒在均匀加热时应力的数值解。a w a j i a n ds i v a k l l m a n 【3 6 1 利用有限差分法，研究了功能梯度圆筒的瞬态热应力。l i e w 等人鲫得到了功 能梯度圆筒稳态热应力的解析解。戤m 和n o d a l 3 8 1 利用格林函数法，研究了功能梯度圆筒的非 稳态热应力。陈伟球等1 3 9 】从三维热弹性力学基本方程出发，导出了一个二阶的齐次状态方程和 一个四阶的非齐次状态方程，并给出了任意厚度的四边简支横观各向同性功能梯度矩形板的热 弹性分析。l ( i m 和k 1 4 0 埂出了计算各向异性功能梯度材料热应力的一般积分方法。k e 等人【4 1 1 研究了金属陶瓷功能梯度板受热机载荷作用时的静态响应。s 锄l ( a 等【4 2 】采用级数解形式分析了 二维稳态功能梯度梁的热弹性问题，沿着梁厚度方向的热弹性常数呈指数变化。g 啪e s 和 r e d d ，4 3 】利用g r e 铋一b g 啪g e 应变张量对功能梯度圆板在热机载荷作用时进行了几何非线性分 析。k o 础l c l l e i l i 和n a 曲d a _ b a d i 】给出了有限长功能梯度圆筒在热载，内压和轴向载荷作用下热 弹性解析解。j a b b 撕等【4 5 朋1 采用直接方法分析了一维稳态功能梯度空心圆筒热弹性问题，后来 又采用变量分离与傅立叶级数法分析了二维稳态功能梯度空心圆筒热弹性问题。w 抽g 等人【4 7 1 分析了功能梯度板瞬间受到环境介质中不同温度作用时板的热抗冲强度。s h a o 【4 8 】采用分层方 法，得到了有限长功能梯度圆筒静态近似解，并且最近，s h a o 等人1 4 9 】研究了功能梯度圆筒的非 轴对称热应力问题。 1 3 存在不足 相对于功能梯度板条结构和功能梯度材料裂纹问题的研究而言，对于功能梯度材料孔洞的 应力集中问题的研究工作还不是很多。z h 锄g 等人【5 0 】给出了材料参数沿径向变化的含圆孔功能 梯度板在轴对称温度场作用下热应力的精确解。h u 孤g 等人1 5 l 】对弹性模量沿孔周对称递增的模 型进行了优化分析。v e i l l c a t a m m a n 等人l 咒】采用生物变量对骨骼设计进行了结构优化。 c a r d e n 弱g a r c i a 等人1 5 3 】研究了功能梯度板的孔周径向、切向热应力和热应变，以及径向位移的 轴对称解。z h a 0 等人【5 4 】解决了不同形状功能梯度材料在对流边界条件下瞬态温度场问题。f 锄g 等人【5 5 l 研究了含有圆洞的半无限功能梯度材料在反平面剪切波作用下的应变能密度。 t h e o t o k o g l o u 和s t a m p o u l o g l o u 【5 6 j 研究了具有对称儿何形状的非均质圆筒在对称载荷作用下的 平面问题。以上介绍的工作主要研究的是轴对称问题，事实上，在工程实际中，几何形状和材 5 功能梯度材料孔周热应力分析 料参数是对称的，而载荷一般是不对称的。这样，我们就必需解决非轴对称问题。最近，k u b a i r 和b h 觚u c 1 1 a n d 一5 7 1 利用有限元的方法数值研究了含圆孔功能梯度板在非轴对称载荷作用下材 料参数对应力集中的影响，但数值法存在计算量大、结果精度低等不足。 1 4 本文研究内容 本文采用复变函数方法，系统地研究了材料参数沿径向任意变化的含圆孔功能梯度板在机 械载荷和均匀热流作用下孔周应力集中问题，重点讨论了材料参数的变化对板内应力分布的影 响。主要研究内容概括如下： 第一章主要介绍了功能梯度材料的概念，优点及应用领域，然后综述了在过去的二十年里， 对于功能梯度材料的力学性能在理论，数值和实验方面国内外研究所取得一些成果，最后总结 了在该研究领域存在的不足以及本文研究的主要内容。 第二章主要介绍和推导了本文所要应用的基本公式。首先根据m u s l ( 1 1 e l i s h v i l i 理论给出了二 维问题应力分量及边界条件的复变函数表达式。然后推导了二维热弹性问题的基本方程，讨论 了平面温度场的复势表示，最后给出了热弹性问题中应力分量的复变函数表达式以及应力边界 条件和位移边界条件的复变函数表达式。 第三章研究了含圆孔功能梯度板在无穷远处受任意均布载荷作用时板内的二维应力分布问 题。采用分层均匀化的方法，将问题近似的转化为一个均质板含有n 个环的情况，其中每一个 环的材料常数不同，这样我们可以利用m u s l ( 1 l e l i s h v i l i 理论对问题进行求解。数值结果中，我们 首先讨论了不同载荷作用下，板内的应力分布，然后又分别讨论了杨氏模量和泊松比的变化对 应力分布的影响。结果表明当杨氏模量沿孔边向外递减时，应力集中相比于均质板时明显增加， 相反，杨氏模量递增变化时，应力集中明显减小。而杨氏模量递减或递增规律不同时，应力集 中增加或减小的幅度也不同。此外，泊松比的变化对应力集中的影响很小，可以忽略不计。 第四章研究了含圆孔功能梯度板在无穷远处受任意方向均匀热流作用时板内的二维应力分 布问题。采用分层均匀化的方法，将问题近似的转化为一个均质板含有n 个环的情况，其中每 一个环的材料常数不同，这样我们可以利用m u s l d l e l i s h v i “理论对问题进行求解。数值算例中， 主要讨论了杨氏模量，热膨胀系数，导热系数和泊松比的变化对应力集中的影响。结果发现杨 氏模量和热膨胀系数的变化可以减小应力集中，尤其是递增变化时，应力集中减小的更加明显， 相反，导热系数的变化却使应力集中显著增加，此外，泊松比的变化对应力集中的影响很小， 可以忽略不计。 第五章对全文所做的主要_ t 作做了总结，指出文中不足之处以及有待进一步研究的地方， 同时对本文的后续研究做了展望。 6 南京航空航天大学硕士学位论文 1 5 总结 本章首先介绍了功能梯度材料的概念、优点及应用领域，然后讨论了近二十年以来对于功 能梯度材料的力学性能在理论、数值和实验方面国内外的研究现状，指出了存在的不足，最后 介绍了本文研究的主要内容。 7 功能梯度材料孔周热应力分析 2 1 引言 第二章弹性与热弹性二维问题基本方程 弹性力学的许多问题可归结为寻求满足一定条件的调和函数或双调和函数。解析函数的买 部或虚部都是调和函数，解析函数的某种组合形式可构成双调和函数，于是弹性力学的许多问 题可转化为解析函数的边值问题，从而使弹性理论借助于复变函数理论的研究成果，找到了一 条近乎完美的分析途径。弹性问题的复势方法是迄今唯一能从已知到未知顺次求解的分析方法。 这一方法由克洛索夫和穆斯海里什维里发展并完善，是2 0 世纪力学领域的一大重要成果，至今 仍为许多科学研究工作者所采用。下面概述本文将要应用的平面弹性和热弹性问题的基本方程。 2 2 弹性二维问题的基本方程 对于各向同性均质材料，在直角坐标系( x ，y ) 中，二维问题应力分量的复变函数表达式【5 8 1 ： q + 吒= 4 r e 缈例，z 引耖， ( 2 1 ) q q 砌= 2 动( z ) + y ，( z ) ， ( 2 2 ) 其中吒，q 和为应力分量，缈( z ) 和沙( z ) 表示势函数，一撇表示对z 求导数，f 表示单 位虚数。 应力边界条件和位移边界条件的复变函数表达式分别为： 伊( z ) + z 缈( z ) + 雨= f r ( 以+ f 艺p ， ( 2 3 ) 印( z ) 一z 伊7 ( z ) 一y ( z ) = 2 g ( “+ f y ) ， ( 2 4 ) 其中鼍，e ，“和v 分别表示边界上力和位移的分量，横杠表示取相应函数的共扼值，。k 和 g 为弹性常数，对于平面应力问题k = ( 3 一y ) ( 1 + y ) ，g = 纠2 ( 1 + y ) ，对于平面应变问题， 须将式中的e 改换为可( 1 一y 2 ) ，l ，改换为( 1 一y ) ，e y 分别为杨氏模量和泊松比。 2 3 热弹性二维问题的基本方程 2 3 1 平面温度场复势表示 热传导平面问题达到稳定状态时温度分布丁( 工，y ) 不再随时间变化，因此满足拉普拉斯方 程： v 2 r = 0 ，( 2 5 ) 8 南京航空航天大学硕士学位论文 根据解析函数理论，若厂( z ) 是复变量解析函数，则其实部和虚部均为调和函数。而温度丁必 定是实数，所以丁的通解可设为： z = 2 r e 【g ( z ) 】， ( 2 6 ) 上式中，g ( z ) 为复平面上的解析函数，称为温度函数。热弹性力学中热流的直角坐标分量吼， g 。与温度的关系如下5 9 1 ： ”一磋吗一嘌， ) 曰x2 一九：= _ ，g y2 一九：， 【z 7 ) c 。d ， 上式中旯为导热系数。将式( 2 6 ) 代入上式，可得到用单个复势函数g ( z ) 表示的如下二维热传 导问题的基本关系式： 吼= _ 2 r e 【幻”( z ) 】， ( 2 8 ) g y = 一2r e 【f 名g ”( z ) 】， ( 2 9 ) q = f 吼砂一够出= 2 r e 【f 允g ( z ) 】， ( 2 1 0 ) 式( 2 1 0 ) 中q 为总热流。 2 3 2 平面热弹性基本方程 对于各向同性均质材料，在直角坐标系( x ，y ) 中，热载荷作用下二维问题的应力分量的复 变函数表达式为6 0 6 1 】： q + 吒= 4 r e z ) 删y ， q 一2 妒2 阳z ) + y ，( z ) - ( 罟一孑吻焉 ， 亿，2 ， v 2 y = k 丁， ( 2 1 3 ) 其中k 是一个常数，对于平面应力问题k = e 口，对于平面应变问题k = e 吖( 1 一y ) ，口为 热膨胀系数。 对比等温弹性理论中的克洛索夫二维应力一般式，( 4 ) ，( 5 ) 两式右边的第二项为热应力引起 的附加项。 此外，应力边界条件和位移边界条件的复变函数表达式分别为6 0 6 1 】： 北) + z 雨+ 羽一( 秘芳卜r ( k 灿， q m ， 9 功能梯度材料孔周热应力分析 吡) _ z 雨一羽+ ( 詈 = 2 g ”f v ) ， ( 2 1 5 ) 将( 2 6 ) 式代入( 2 13 ) 式得： v ：y ：4 黑：2 k r e 【g ，( z ) 】， ( 2 1 6 ) 瑟茏 p 、q 、 求解y 得： y = 三k g ，( z ) + 雨k 方， ( 2 1 7 ) 将上式代入式( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) ，得应力分量的表达式为： q + q = 4 r e i 妒( z ) i 一2 k r e 【g ( z ) 】， ( 2 1 8 ) 哆一吒一2 f = 2 动。( z ) + 矿( z ) 一昙 脑，( z ) 应 。 ( 2 9 ) 应力边界条件和位移边界条件的表达式为： 缈( z ) + z 缈( z ) + 羽一