（流体力学专业论文）大气环流方程组性质研究及准确解计算.pdf

摘要 从正压原始方程开始，运用分层理论研究大气环流方程组定解问题的适定 性，以及适定的定解问题( 包括初值问题、边值问题和混合问题) 在解析函数类 空间准确解的求解方法。本文的研究主题是直角坐标系下的正压原始方程组和p 坐标系下的大气环流方程组，所得结果如下： 1 正压原始方程组的( 2 ，k 一1 ) 阶( k 1 ) 典则分层为： 。( r 3 ，r 3 ) = g 。( d ) u s i 。( d ) u 瓦。( d ) 2 大气环流方程组的( 3 ，k 一1 ) 阶( k 2 ) 典则分层为： 卜( r4 ，尺5 ) = 卜( d ) u s 2 一( d ) u s 玉一。( d ) u 正n ，( d ) 3 大气环流方程组压力方向的边值问题总是适定的。 4 大气环流方程组广义初值问题适定的充分必要条件是： 窘0 ，其中g ：g ( x ，y ，p ) 是初始超曲面。 印 5 得到了大气环流方程组侧边界问题适定的充分必要条件。 6 大气环流方程组混合问题解的存在唯一性讨论。 7 对两种坐标系下的大气环流方程组及其初值问题的性质进行比较。 8 适定的正压原始方程组广义仞值问题解析解的计算程序。 9 适定的大气环流方程组广义仞值问题解析解的计算程序。 1 0 大气环流方程组混合问题形式解的计算程序。 关键词：大气环流方程；正压原始方程：分层理论；初值问题：边值问题；混合 问题；适定性：不适定问题 a b s t r a c t b a s e do ns t r a t i f i c a t i o nt h e o r y ，b e g i nw i t ht h eb a r o t r o p i cp r i m i t i v ee q u a t i o n ，s o m e t h e o r e t i c a l p r o b l e m so fa t m o s p h e r i ce q u a t i o n s a r e d i s c u s s e d ，i n c l u d i n g t h ew e l l p o s e d n e s s o ft h e i ri n i t i a iv a l u ep r o b l e m ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dm i x e d p r o b l e m t h em e t h o d sa n dt h ep r o g r a m so fh o wt o g e tt h ea n a l y t i cs o l u t i o no f aw e l l - p o s e d p r o b l e m a r ea l s op r e s e n t e d i nt h i st h e s i s ，t h eb a r o t r o p i cp r i m i t i v ee q u a t i o nu n d e rt h e r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s y s t e m a n d a t m o s p h e r i c c i r c u l a t i o n e q u a t i o n u n d e r p c 0 0 r d i n a t es y s t e ma r em a i n l yr e s e a r c h e d io b t a i nf o l i o w i n gr e s u l t s ： 1 b a r o t r o p i cp r i m i t i v ee q u a t i o n s ( 2 ，k 一1 ) o r d e r ( 七1 ) c a n o n i c a ls t r a t i f i c a t i o ni s ，。一，( r 3 ，r3 ) = s ；，。一1 ( d ) u s ：。一l ( d ) u t 2 。一，( d ) 2 a t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n s ( 3 ，k 1 ) o r d e r ( k 2 ) c a n o n i c a ls t r a t i f i c a t i o n 肛( 足4 ，r5 ) = j s l ；卜，( d ) u s 矗一，( d ) u s s 一。( d ) u t 3 卜，( d ) 3 a t m o s p h e r i c c i r c u l a t i o n e q u a t i o n s b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi npd i r e c t i o n i s a l w a y s w e l lp o s e d 4 t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o raw e l l p o s e dg e n e r a li n i t i a lv a l u e p r o b l e m o f a t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n s i s ： a g 0 ，i n w h i c hg = g ( x ，y ，p ) i sa ni n i t i a lh y p e r s u r f a c e 5 o b t a i n e dt h es u m c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rw e l l p o s e d1 a t e r a lb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m so fa t m o s p h e r i c c i r c u l a t i o ne q u a t i o n s 6 d i s c u s s e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea n a l y t i cs o l u t i o no ft h ea t m o s p h e r i c c i r c u l a t i o ne q u a t i o n s m i x e dp r o b l e m 7 c o m p a r et h ep r o p e r t i e so fa t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n si nza n dpc o o r d i n a t e s y s t e ma n d t h e i ri n i t i a lv a l u e p r o b l e m s 8 p r e s e n tt h e c o m p u t e rp r o g r a mf o rf i n d i n g a n a n a l y t i c s o l u t i o no fw e l l p o s e d b a r o t r o p i cp r i m i t i v ee q u a t i o n s g e n e r a li n i t i a lv a l u ep r o b l e m 9 p r e s e n tt h e c o m p u t e rp r o g r a mf o rf i n d i n g a n a n a l y t i c s o l u t i o no fw e l l p o s e d a t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n s g e n e r a li n i t i a lv a l u ep r o b l e m 10 p r e s e n tt h e c o m p u t e rp r o g r a m f o r f i n d i n g f o r m a ls o l u t i o no f a t m o s p h e r i c c i r c u l a t i o ne q u a t i o n s m i x e dp r o b l e m k e y w o r d s ：a t m o s p h e r i c c i r c u l a t i o n e q u a t i o n ；b a r o t r o p i c p r i m i t i v ee q u a t i o n s t r a t i f i c a t i o nt h e o r y ；i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；m i x e dp r o b l e m w e l l - p o s e d n e s s ；i l l - p o s e dp r o b l e m 上海大学 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学 博士学位论文质量要求 糍；藤誊魏 黧翥鞯麟銎 槲肌簿一篱孙 良鲫酬她吣利蚓飧舻，l 吖i x 川奸1 一“，u “洲似鸭一岵：小t 泓 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰 写过的研究成果。参与同工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：一日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：一 ：日期： 上海大学博士论文 绪论 1 描述大气环流运动的原始方程组 大气环流是指大气层具有一定稳定性的各种气流运动豹综合现象。它既包括 平均现象，也包括瞬时现象。其流场的水平尺度达1 0 6 米量级，垂直尺度则只有 1 0 4 米量级，时间尺度一般在两天以上。大气环流的主要表现形式有全球规模的 东西风带、三圈环流( 即出现在低纬度和高纬度的两个正环流圈和中纬度地区的 一个逆环流圈) 、常定分布的平均槽脊、行星尺度的高空急流、西风带中的大型 扰动以及世界气候带的分布等。大气环流构成全球大气运行的基本形势，是全球 气候特征和大范围天气形势的主导因素，也是各种尺度天气系统活动的背景。太 阳辐射能在地球上的非均匀分布，是大气环流的原动力，本文第4 章例4 2 描述 了温度在空间分布上的不均匀性所导致大气环流运动这样个事实。 整个大气系统的动力学和热力学运动是由一组流体力学方程组控制，这组流 体力学方程组实际上是由若干个非线性偏微分方程( 包括运动方程、连续方程、 热力学能量方程、水汽方程以及状态方程) 所构成的复杂系统。在不考虑地形、 海洋等因素影响，并略去了分子粘性力的情况下，在局地直角坐标中所描述的各 控制方程为： 万d u = 一万1 瓦0 p + 少+ 吉r 鲁c p 罢，+ 品c p “熹，+ 鲁c p u 老， i d v 万1 瓦3 p 乃十去 昙c p 罢) + 言( p “言，+ 鲁( p “象) j 坐：一土罢一g+昙(piow)+昙(肌，娑)+晏(p“掣)d t j 言一g + 石秀p 瓦) + 瓦p ”，瓦) + 瓦【p ”v 瓦) 1 鲁+ p c 罢+ 考+ 警，= 。 c ， 掣：s 。+ 土 拿( 俐。掣) + 导( 肼“挈) + 拿( 刚。掣) d t p0 x m。v o y 0 zo z 等镀+ 去 杀c 眺，豢，+ 昌c 以。暑，+ 鲁c 以。警，】 其中2 f ，v ，w 分别为风速三个空间坐标方向的分量，p 是宅气密度，p 是 上海大学博士论文 空气压强，目是位温，q 。，q ：，q ，分别代表固态、液态、和汽态水的比湿。s 。为 非绝热加热汇源项，s 。则为水汽的汇源项。“和v 。分别代表水平湍流粘性系数 和垂直湍流粘性系数，m 和“代表水平湍流导热系数和垂直湍流导热系数，五。 和五。则分别代表水汽的水平湍流扩散系数和垂直湍流扩散系数a 根据大气环流系统在空间上的大尺度以及时间上的较大跨度的特性，本文首 先忽略水汽的影响，即仅考虑干的大气环流系统，这样方程组( 0 1 ) 中将去除 第6 8 个( 水汽) 方程，状态方程也将变成p = p ( p ，口) ( 理想气体的状态方程 为p = 艘r ，r 为干空气比气体常数，丁是绝对温度，它与位温的关系为 r 目：丁( 蔓) i ，风是某一标准状态( p ot o ) 时的压力，定义此标准状态的熵为零， p c 。是定压比热) 。其次在作大尺度研究时，可假设重力与气压的垂直梯度力近 似相平衡，即有静力平衡方程 言2 一p g 引入重力位势o = g z ，可得 抛= - r t d ( 1 n p 、 即压强p 与重力位势中之间有关系 或 p = p s p ”7 中：r t i n ( 堕) 口 ( 0 2 ) ( 0 3 ) ( 04 ) ( 0 4 ) p 。是z = 0 时( 即地面) 压强。将( o 4 ) 式代入原方程组即得到所谓的原始方程 模式。原始方程模式保留了重力惯性波( 而风、压场的适应过程主要依赖于重力 惯性波) 。此外，它还考虑了非地转风、平流速度、散度等的作用。因此原始方 程模式与滤波模式相比较更接近于实际大气。为了得到一个相对简洁的原始方程 形式，引入p 坐标体系。在z 坐标中，p 是空间和时间的函数p = p ( x ，儿毛，) ， 上海大学博十论文 解出z 得z = z ( x ，y ，p ，f ) 。由重力势函数的定义以及根据静力平衡方程得到的 p 坐标下的静力平衡方程 现设p 坐标下的一个f = f ( x ，y ，p ，r ) ，则有 ( 篓) ： o ；x ( 娑) ： 洲 r a f 、 l _ j ： 出 ( o f 1 。l 。二 由此得 r d f 、 d ! ) ： 其中 = c 飘 o f a p 加o z = c 瓢 = c 务 = ( 等) ，十a 印z ( a 甜p ) ：+ “( 篆) ，+ “篆( 罢) ： 珊：塑望十。塑+ 。望：塑 aa x西 e zd i 另一方面，在( o6 ) 中令f = z ，得 ( o 5 ) ( 0 6 a ) ( 0 6 b ) ( 0 6 c ) ( 0 6 d ) ( o 7 ) 催盯矿 式 + 塑印 印瓦 笙印 + l 堡舐 i i 售妒印 勿瓦 ，l 即印 竖瑟 似 + l 堡砂 叹 + 笪融 “ + 印瓦 兰印 w 印一砂矿一劫 v+ b 盟妙 “ + 堡印 印瓦”一印 斗 p 争告争 “ 叫 “ o 专喀等 + l + 、印瓦，山。也 弘西，。卵西担饥 要罢= 一昭互o z = 1 d nc 2o 口 o o 上海大学博士论文 c 缸+ 毒害= 。 将( o 7 c ) 代入( o 7 a ) 和( 0 7 b ) 得 - g ( 氖 ( 0 8 a ) ( 0 8 b ) ( 0 ，8 c ) ( 0 8 d ) ( 0 8 a ) ( 0 8 b ) 在( 0 7 ) 中分别令，为“和v ，以及( 08 ) ，得到在不考虑耗散的情况下，( 0 1 ) 中水平运动方程的p 坐标表现形式 ( 0 9 a ) ( 0 9 b ) 对于( o 1 ) 中的连续方程，利用静力平衡方程( o 2 ) 消去p ，得 利用( o 6 ) ，上式为 代入( 0 1 ) 中的连续方程，得p 坐标下的连续方程 4 = l 印一良 ( 融一印 + 0 瑟一缸 ( = 约 出一印 + p 爹 丝缸 = b 出一缸 烈 一 i f l 印一缸 ，一p 一 翌妙 一 印一妙 ( ，一p 一 步 + 翌础 一 咖万 扣 一 翌妙 一 = 咖一出 印瓦灿塑玉 ： a一赴一泣嗟哮 + a一易p一涉争崞骞 址。叫c毽加_l瑟 卫融州 气。协出售皤枣毫 ，一g，一占。卜g 妒万 丝出 一 l 加一钞 一 础瓦 一 b 却砂 l 抛瓦 p + 丝劫 p = 印万 土塑盔兰堡主堡苎 一 即 d ( 丝+ 竺+ 丝、：0 p ( 瓦+ 面+ 瓦2 丝。生；丝：0 ( o 1 0 ) 叙 砂印 对于( o 1 ) 中热力学能量方程，熵形式的热力学能量方程为 o l n 0d l n 8b l n o0 1 n 09 百i w 百怕百2 西 o to xo yo pl ，l 因为目：r ( 马毒， =一r。lnp+-。2r-r=2-或lno i n t lpp n p 。，代入上式，得因为目：r ( 堕) 0 ， = 一， n p 。，代入上式，得 l n l 即 上t 等+ 兰t 罢+ 兰t 等+ 棚c 手笨一南cp ，2 苦c e la x曲 ? t8 p ，l d t ：一m r t 旦m c p pc p 再由静力平衡方程( o 5 ) ，得p 坐标下的热力学能量方程： 塑：一旦翌+ 旦 d tc p 却cp ( o ，】1 ) 在考虑耗散情况下，综合( 0 5 ) ， ( o ，9 ) ，( 0 1 0 ) 以及( 0 1 1 ) ，n h 。2 t 本论文的主要研究对象大气环流方程组( 干的原始方程组) 。： 塑d t 一塑& + 昙c u 罢，+ 导c 嵋茜，+ 毒c v z 嚣，+ 警一等+ 去c u 菪+ 专c v t 生o y ，+ 暑c v z 参一如 堑：一要娑+ 昙( ；婴) + 昙( “娶) + 晏( ：罢) + s ， ( o1 2 ) i 百面+ 面【；i + 万万+ 瓦2 瓦7 w 丝+ 生+ 丝：o 8 x a ya p 丝+ 里：o 劫p 其中r ，i 2 代表p 坐标系下的水平和压力方向的内摩擦系数，。，f ! 则代表p 上海大学博士论文 坐标系下的水平和压力方向的热传导系数。s ，是新坐标系下的热源。p 坐标下 干的大气环流原始方程组是本论文的研究中心，从第二章开始将着重研究这类非 常的解空间构造、初值问题和混合问题的适定性，以及这类适定定解问题的解析 解计算方法。 对上述原始方程组( 0 1 2 ) 作进一步简化，假设 ( 1 ) 空气是无粘的，即h ，v 2 等于零； ( 2 ) 空气是均匀不可压缩的流体，即密度p 为常数。根据( 0 5 ) 式 砷r t1 印pp 此时气压p 仅仅是温度，的函数，即等压面与等温面保持相互重合。上式两边与 x ，y 无关，故有 拿o p ( v 。) = v ( 娑o p ) = 。 从而 v 中= v 中5 ( o 1 3 ) ( o 1 4 ) 这表明水平气压梯度力是不随高度变化的，因此任一高度的水平气压梯度都可以 用地面( 或自由面) 的坡度来表示； ( 3 ) 水平风速不随高度变化，即o u ：芸：0 。 c po p 在上述假设之下，水平运动方程与p 无关，可以看做在垂直方向进行平均后 的方程。对连续方程( o 7 d ) 在垂直方向进行平均，利用垂直方向的边界条件， p = p ，= 0 时( 大气顶部自由面) 功= 珊，= 0 ，以及p = p s ( 在地面) 时6 02 略， 考虑到上述假设( 3 ) ，则可得 。= 一r 5c 罢+ 考，咖= 一p s c 罢+ 考， 又魄= 等+ ”誓+ v 等佻警= 等+ “等+ v 等，于是有 上海大学博十论文 即 亟+ 。监+ 。挚协( 宴+ 宴) ：o o to x却、瓠加 一o p s + 旦竣+ 塑立：0 西苏 却 再由静力平衡方程按垂直方向积分得 p s = p ( o r 一巾s ) 代入( 0 1 0 ) 式，便有 a o ， a f o u ( 。r - c b s ) 。型皇! 二竺! 苏 劫 = 0 ( o 1 5 ) 取消上式中的下标r ，并假设下边界是平坦的，即o 。= 0 ，则得到将在第一章中 着重讨论的正压原始方程组 a “a “a “ ， 0 q a r叙a v 。缸 西加o v ，a 中 a。x卸。卸 塑+ 垫盟+ 亟型：o a缸却 2 关于大气运动方程理论研究的一些结果 ( 0 1 6 ) 对于大气方程组定解问题适定性方面的理论研究，国内最早开始对这领域 的开创性工作是顾震潮 1 ，他最先对大气方程组的初值问题进行了研究。曾庆 存在上世纪7 0 年代做过很多工作。他在l 2 空间中论证了正压无幅散大气初值问 题解的唯一性和稳定性，正压大气初值问题解的唯一性和稳定性，斜压大气初值 问题解的唯一性和稳定性，正压准地转准无幅散模式初值问题解的存在性，斜 压准地转准无幅散模式初值问题解的存在性，正压大气初值问题解的存在性和 取标准层结及整层无幅散近似斜压大气原始方程组解的存在性。这些均收入了他 的专著 2 中。以后，在1 9 8 0 年代，穆穆考察了r i e m a r m 流型上广义涡度方程的 初边值问题，证明了斜压准地转准无幅散模式初边值问题整体光滑解的存在唯 一性 3 1 ；汪守宏、黄建平和丑纪范 4 讨论了定常外源强迫下并带有耗散时的斜 l 海大学博j ：论文 压大气原始方程组的存在唯一问题，得到若外源的变化相对于月季变化是慢过程 的话，则长期天气过程实际处在吸引子状态：但目前数值天气预报的框架无 外源无耗散的一般斜压大气原始方程组的适定性问题仍尚未圆满解决。w a n g x i y o n g 等【5 】应用l a p l a c e 变换法和残差积分法对线性化的正压原始方程组的频 谱进行分析，得到了其初值问题的解。李建平，丑纪范【6 】一【1 1 】于1 9 9 0 年代末发 表了一系列文章，讨论了一些特殊大气方程组解的性质、大气吸引予的存在性以 及利用无穷维动力系统的理论讨论了强迫耗散的非线性大气系统的定性理论等。 王必砸【j 2 】 1 3 】利f i = jh i l b e r t 空间的l i o n s 定理，对于水汽方程的第一类边值问题， 证明了其弱解的存在唯一性闯题。国际上从数学的角度研究大气方程组的有 j l l i o n s ，r t e m a m ，p c o n s t a n t i n ；j m a j d a ，j t b e a l s ，h o k r e i s s ，a b a b i n ， a m a h a l o v 以及n i c h o l a e k o 等 1 5 1 2 3 】，但其解的函数类讨论范围均扩展到了 l 2 。然而，住( “与c “解析函数类中讨论大气运动方程定解问题的适定性以及准 确解的计算问题，目前为止只有借助分层理论才能得以解决。 3 使用分层理论研究偏微分方程的一些结果 从7 0 年代开始，人们就试图借助e h r e s m a n n 空间的基本理论，把偏微分方 程问题转化为相应的拓扑学问题( 代数拓扑和微分拓扑) ，从所给的微分方程出 发，构造两个流形序列，然后对这两个流7 臣序列构成的纤维丛进行分层，结论是： 如果横截层非空那么所论方程是稳定的。当初始条件所对应的术方程落入横截 层时，使用w e i e r s t r a s s 的方法可以将相应的唯一稳定解用收敛级数表示出来。 而当横截层为空集时，则所给方程不存在任何c ( k 不低于方程的阶数) 稳定 解。上述分层理论基础及其在非线性偏微分方程定性问邀分析小的运用均收入在 f 2 4 2 5 1 两本专著中。往上吐纪8 0 年代应用分层理论，流体力学中著名的 n a v i e r s t o k e s 方程的性质得到了充分、完整的讨论，其结果发表在 2 6 1 2 8 。1 9 9 0 年代以后，分层理论成功地解决了大量非线性偏微分方程的适定性问题。比如， 若某个拟线性方程是简单的( l 1 ) ，则此方程是一个不稳定方程 2 9 1 1 3 0 1 ； 3 2 1 1 3 3 3 5 1 q $ 仑y _ 维n a v i e r s t o k e s 方程、广义n a v i e r s t o k e s 型方程、带未知 函数多项式| ； 寸加项的n a v i e r s t o k e s 方程的c 不稳定性。 3 1 3 4 】提出了一类偏微 上海大学博十论文 分方程准确解或形式解的计算方法。从本世纪开始，使用分层理论已成功地解决 了一些大气运动方程的定性问题【3 6 卜 3 9 。 本论文的大部分结果是在国家自然科学基金项目斜压大气初值问题的适定 性及其应用( 4 0 1 7 5 0 1 4 ) 和上海市自然科学基金项目大气环流方程组准确解 计算( 9 9 z a l 4 0 3 4 ) 资助下完成的。本文的第一章介绍分层理论的基本概念和 主要定理，这些概念和定理来自专著 2 5 】，并且以正压原始方程为例展示分层理 论在大气运动方程理论分析中的应用，这些结果发表在文献 3 6 中。第二章研究 了大气环流方程的解空间构造，第三章讨论了大气环流方程组的c a u c h y 问题， 第四章则给出了大气环流方程组混合问题在解析函数类中的一些结论。第五章将 p 坐标系下的大气环流方程组与：坐标系下的大气环流方程组作了比较。 第一章分层理论与偏微分方程 1 e hr e s m a n n 空问，偏微分方程的几何表示 设对应，：r ”寸r ”。对于给定u r “，将所有七阶连续可微的f c 及在 空间r ”中的一点x 构成如下集合 c i 。( r ”，r ”) = ( 厂，x ) 1 厂( x ) = u ；x r ”，u r m , ，c k ( 1 1 ) 在c ! 。( r ”，r “) 上定义如下关系： 对于( ，x ) ，( g ，x ) c ：。( r ”，r ) ，若厂( x ) = g u l ( x ) ，( ，= 0 , 1 ，一，k ) ，贝4 r ga 容易验证r 是一个等价关系厂g 。例如：一= x ， = s i n x 以及 六= x e 。均属于q ，。( r 1 ，r ) ，且z ， 。 定义1 1 用，：。( r ”，r “) 表示商集c i 。似”，r ”) ，其元素 ( ，i ) 称为厂在点x 处的k 阶无穷小j e t ，记为，f ( x ) 。称 ，( 月”，尺“) = u 正。( 矗”，月“) 为r ”到r “的阶e h r e s m a n n 空间 ( 1 2 ) 上述例子中的：， 和 ，它们之间相互( 阶) 等价是由于其在x = 0 处 的函数值以及一阶导数值分别为0 和1 。事实上，所有坐标在x ：0 处的函数值及 一阶导数值分别为0 和1 的r 到月1 的一阶对应都是相互等价的，故可用( 0 ，1 ) 表 示上述等价类代表。由此我们可以引入e h r e s m a n n 空间的局部坐标。设 记 x = ( x 1 ，。，x 。) r ” u = 一，z ，。) r ” f = ( z ，厶) ：r ”j r ，f c 2 ( 1 3 a ) 圭塑盔兰堡主堡苎 跨= 鑫一啦，m ， ，e ， 其中多重指标，z 为： ，= ( ，一，。) ，1 j 1 ( r 2 ，r ) ，来确定e - 1 ( j ( r 2 ，d ) ) a 根据定义1 3 ， 设卢：( x 、，x ：，“，a ，p ：，p p p 。p 2 ：) e ，2 ( r 2 ，r 1 ) ，由上例得p ( ) ，为使p ( ) ，1 ( r2 ，d ) ，必须有 p l p 2 = 0 ， p 1 2 一p 1 2 = 0 ， p 1 2 一p 2 i = 0 从上述特例容易得出一般情况下，e h r e s m a z m 逆对应口1 的计算方法，它由下 述定理进行一般描述。 定理1 1 设d ；f - 1 ( 0 ) ，( 尺”，r ”1 ) ，其中f = ( f ，瓦) ：，( 尺“，r ) 斗r 。 那么，p 一- ( j ( 月n ，d ) ) 互l ，( r “，r ”) 由下列一组关系式决定： f = o p ，( f ) ：0 ( 1 1 6 ) f = 1 , 2 ，m ；j = 1 , 2 ，” 这里e ( e ) 表示复合对应 上海大学博士论文 o j ! 。1 f 吲j “( r ”，寸八r “，( 趾只) ) 斗 ( 1 1 7 ) j l ( 趾r ) ：j o ( 跣尺) r n 写r n 的第j 个分量。 有了上述e h r e s m a r m 空间之间的对应关系之后，现在引进准本方程的概念。 设一k 。阶偏微分方程组dej “( 月”，r “) ，以此出发，记 l i ( d ) = a 女k 。( d ) ，k k o ( 1 1 8 ) l k + l ( d ) = e - i ( j 1 ( 尺”，l ( d ) ) ) ，k k o ( 1 1 9 ) 由此得到的一系列e h r e s m a r m 空间的子集( 方程) d ：= n 工。( 口j ( d ) ) ( r ”，r “) ，k 一1 ( 1 2 0 ) g k o 记此序列( 称作一个链) 为d ：，称为d 的准本方程。而每一个d ：称为d 的k 阶 准本方程。 例1 2 ( 1 6 ) 式所示的正压原始方程组d 的准本方程的计算过程为 d ? ( d ) = d ， j ( d ) = j o ( r 3 ，r3 ) = r 3 x r 3 ， 口三( d ) = 口：( 口1 1 ( d ) ) = j _ 1 ( 月3 ，r 3 ) = r 3 根据准本方程的构造方式( 1 2 0 ) ，得 d ：= l _ 1 ( r3 ) n l 一。( r 3 r3 ) f l l 一( d ) = l _ t ( d ) = r 3 d j = k ( r3 ) f - i l o ( 月3 r 3 ) n l o ( d ) = l o ( d ) = r 3 r 3 d f = l l ( r 3 ) n 厶( r 3 r 3 ) n l t ( d ) = l ，( d ) = d d i = ：( 月3 ) n 上：( r 3 r3 ) n l ：( d ) = l ：( d ) = 矿( f ，p ，( f ) ) 一般地 d ；= 旷( f ，e ，( f ) ，p 。( f ) ，p 。：( f ) ) ( i = 1 , 2 ，3 ；1s j j i - j 一i 3 ) 口 ( 1 2 l a ) ( 1 2 1 b ) ( 1 2 l c ) ( 1 2 1 d ) ( 1 2 1 e ) 上海大学博士论文 定义1 4 若d ：的子链d ( d ：，即每一个仇互纠) 满足 i ) 口乙( 以) = d ，k 0 i i ) 任何满足，( b k ) = 反一。( k 0 ) 的d ：的子链西，必有西。d 。 则称d 为d 的本方程 例1 3 ( 1 6 ) 式所示的正压原始方程组d 的本方程d 与准本方程重合，证 明如下： 根据本方程的定义，需要证明对一切k o 都有口厶( d ：) = d k _ 1 ，即可知道d ， 满足定义1 4 中的i 1 和i i ) 。 由例1 2 的结论，显然成立口：( 珥) = ，和口j ( d i ) = d ；。而d ；为 其中 e ：p ；+ u l p ：+ l d 2 p ；+ p ? 一乃2 = 0 如：p ；+ l l i p j + u 2 p ；+ p ；+ f u i = 0 l ：p ；+ “l p ? + b 1 2 p ；+ “3 ( p f + p ；) = 0 p ，( e ) ：p j ，+ “。p ? ，+ “2 p ：，+ p i ：。u 1 _ 2 2 e j ( ) ：p 身+ “i p 0 + 2 p 一2 + p ；，= 2 ，j e j ( 只) ：p ；，+ p j + “2 p ；，+ ( p l + p ；，) = m 中= 一日i p ：一p p ；+ f p ； ：，= 一p j | p ? 一p ，2 p ；- f p ： o = _ p j p j p 1 2 p ；- p ；( p l + p ；、 ( j = l ，2 ，3 ) 若在上述1 2 个方程中给定了一阶坐标彰后，可以存在二阶坐标p 二使整个方程 组成立，则可说明d ? ( d ；) = d 0 注意到d ；中后9 个方程对应二阶坐标p j ，p 乞 p ；，p j ，p 毛，巧2 ，p j ，p ：3 ，p ；：的系数矩阵为 1 6 上海大学博士论文 m 2 = ( 1 2 3 ) 显然行列式f m ：f = l o ，说明d ；中后9 个方程可解， 即 一般地，对于d ；e p 后m m3 k ( k + i ) 个方程对应t 阶坐标的系数矩阵中对应于 p ：巧2 ，。，巧3 ，( 例：k 一1 ) 的一个丝笔业阶子矩阵为： f m io m j1 m 。= io 。m 乏m 乞l ( 1 2 4 ) l m 蠡m 墨m 墨j 其中各子块均为丛冬尘。丛冬坐矩阵，并且对于- 2 ，3 ，：2 ，3 ，f ： m i ，m ：k ：删。 k 的对角线元素为1 ，第_ i ( i - 1 ) + ，行翌掣+ ，一1 列元 素为，第型+ j i t 尘+ 一1 列元素为“：，其余元素均为o ： o t 是圭! ! 业阶零矩阵； 吖i 的对角线元素为l ，以及第型十行盟掣+ ，一l 列元素也为1 ， m 是的对角线元素为1 ，以及第型+ ，行型+ j 一1 列元素也为1 ，其 m 矗中仅第型+ 行堕兰娶二望+ ，一1 列元素也为“，其余元素均为o ； m 羔中仅第型：岩+ ，行i ( i - 1 ) + ，一1 列元素也为“，其余元素均为o ； 0 0 0 0 0 0 0 0 1 o 0 o o o o ， o o ，o o o o 川 o o 0 o o 1 o o o o 0 o o 叱o o 叱 o 0 o o o 0 o 0 o o o o o o o o 乜o o o 0 0 o o o 0 o 0 o 上海大学博士论文 支肘墨肘刍) 中的第堕掣+ ，一1 行乘上一。加到第型+ ，行，第 螋2 + ，一1 行乘上一“：加到第型+ ，行，最终使得肘羔成为丛等尘阶单位 阵。而m 支，m 羔子阵仍然保持仅下三角部分有非零元素。接下来依次将m 的 第型碧+ ，行减去m t 的第 ( 七+ 1 ) + 翌掣+ 一1 行，再将m t 的第 丛与唑+ 型+ ，行减去m 的第七( 七+ 1 ) + 尘+ - ，一l 行，使得m j 和村刍变 换成零子矩阵。 注意到型+ ， 旦掣+ 一1 以及 堕0 + 型+ 一l ，而m ；和m 墨又是仅有下三角部分有非零元素，于是 经过这样的行变换之后，m j ，m 是仍保持除对角线元素为1 外，仅是下三角部 分有非零元素。所以得到l m 。l ：l o ，说明磁中后3 k _ ( k - + 一1 ) 个方程可解，由此 u 1 哥z “。k ( 研) = d ；小从而我们得到了正压原始方程组d 的本方程d 就是d ：。 口 在用分层理论研究偏微分方程的整个过程中，本方程占有特别重要的位置。 可以这么说，无论是研究偏微分方程的解空间构造，还是求解偏微分方程定解问 题的解析解( 或形式解) ，都是以求得本方程为前提的。另外，准本方程与本方 程是否重合与偏微分方程的稳定性有着密切的关系，关于这一点请参阅专著 2 4 1 2 5 1 。 3 典则系统与分层 典则系统是建立在本方程基础上，经过精一i x , 设计的一个复杂系统。首先对于 - - y 0e h r e s m a n n 空间( 称为e h r e s m a n n 链，它们之间已建立起了典则投影关系) ： ，= 斗，t ( r 一，r m ) 霉，一，r ”，) 4 呻j 。( r 一，r m ) j y - ( r n ，月m ) ( 1 2 5 ) 相应地可以得到一列由切空间。( r ”，r ”) ( k 一1 ) 中横截与对应口! 的”一1 维 平面构成的g r a s s m a n n 流形的子流形构成的链： 上海大学博士论文 g ：一1 ( ，。) = 辛g ：一l ( r j t ( r 一，r m ) ) f f 寸；- t g ：一( ( rn ，r m ) ) 斗( 1 ，2 6 ) 其中的对应殴，：g ：一( t j 。( r ”，r ) ) 斗g ：一，( “1 ( 尺”，r “) ) 是口：一的诱导对应。 记i k ( r ”，r ) 为由j k ( r 1 ，r “) 的如下p f h f r 形式生成的微分理想子代数： i = 1 ，2 ，m ( 1 2 7 a ) 0 9 ，lz = 咖：- 一p ：- d x ，i = 1 2 ，脚；川七一1 ( 1 2 7 b ) 并称，。( 足”，r “) ( 在不引起混淆的时候，简记成。) 为，( 月“，r ”) 的 c a r t a n e h r e s m a n n 理想子代数。现考虑g ：一l ( r j ( r “，r ”) ) 的子空间 t ( r j ( r ”，r ) ) ： ，：一，( 2 ( 尺”，r ”) ) = f g ：一( r j 2 ( r ”，r ) ) i ( ，1 ) = o ，v c o l k , v e t r ) ( 1 2 8 ) 于是就得到了一。( ( 尺”，r ) ) 的一个子链： ，：一，( ，) _ _ ，：一，( r j 。( j r 一，r m ) ) 3 ，：一( t j “( r n ，r 一，) ) 专 ( 1 2 9 ) 其中= 祛，k ，( 。，再记 缸p e ：c 一( t j ( r ”，r ) ) 一t t ( t j “1 ( 跣r ) ) 产例) i ，( 尺“，r “1 ) 定义1 5 设 e - i , k ( r ”，r ) = 文p k + l ( c 一。( r j “1 ( r “，r ) ” ：g ：一1 ( r j ( n ，m ) ) ，。r 。r 。lj 2 + 1 ( 一， 一r ) 1 - 3 1 彤h ，女( 尺”，只) = f ：卅( ，：一( r j “( r “，r ) ) ) 量g ：一l ( t j ( r ”，r “) ) ( 1 3 2 ) 将e 。( r ”，r ) 与w 。( r ”，r ”) 之间存在自然投影 p ：e h ( r ”，r ) 呻“( r ”，r “) ( 1 3 3 ) 9 出 ， p 。一 一d = 上海大学博士论文 将两个链瓦- l ( r ”，r ”) 和 。( 尺”，r “) 联系起来所构成的系统 e n - i , 。( r “，r ”) j ，p 。d 。 岷。( r “，r ”) _ e h 女( r “，r ”) 斗 + p h 一1 t _ “( 只”，r ) _ ( 1 3 4 ) 称为r ”到r ”的典则系统 对于方程组d ，其本方程为d ：呻b + i _ 仇一一d o 叶d 一定义d 的典 则系统如下： 定义1 6 设 e