（基础数学专业论文）细胞模型自由边值问题的分歧.pdf

摘要 摘要 本文主要研究细胞生长模型的自由边值问题。大家知道，任何生物体都 能通过新陈代谢保持自身的稳定，而这种稳定就是常说的保持形状和大小随 时间变化的一种稳定性。本文也正是要讨论单细胞物化模型在给定自由边界 时的稳定性问题。具有自我保持能力的单细胞模型基于反映扩散的过程，并 具有自己控制边界的机制。早期的文章中已经讨论了特殊的球对称细胞。因 此，本文关心是否存在非球对称的细胞，也就是这个模型是否存在对称破缺 的稳态解。在二维空间中，数学家们 1 2 ，1 3 】已经给出了，对任意的正半径r ， 都存在对称破缺解。这篇文章的目的主要有两个：其一是把【1 2 ，1 3 】中分歧的 结果扩展到更实际的三维空间中；其二是用一种简单而且系统化的方法，应 用c r a n d a l l r a b i n o w i t z 定理来建立对称破缺分歧稳态解的存在性。 文章的布局是这样的：第一章，给出了模型的背景，并且列出许多贝塞尔 函数的推导式，这些公式是在后面几章中将要用到的。第二章，建立了细胞 模型的分歧问题。第三章到第五章，证明了f 将空间c m + 口( ) r 映射为空 间c m 托一1 ( ) 。第四章中，形式的计算了f 的n 6 c h e t 导数。由于f 是光滑的， 形式的推导在第三章中给出了严格证明。 最后文章得出结论，在三维空间中，对于自由边界r = 兄+ e ，o ( 口) + 0 ( e 2 ) ， 模型有对称破缺分歧分支解，其中几2 且为偶数，| e l 足够小，k ，o 是( 几，o ) 的球 面调和函数。 关键词：自由边值问题；稳态解；分歧；对称破缺；原始细胞 b i f u r c a t i o nf o raf r e eb o u n d a u r yp r o b l e mm o d e l i n gap r o t o c e n a b s tr a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o nw es t u d ys o m e 行e eb o u n d a 呵p r o b l e m sa r i s i n gf r o mt h e f i e l do fc e l lg r o v 盹hm o d e l l i n g a sw ea uk n o w n ，a n yo r g a n i s mm a i n t a i n si t si d e n t i t y a u saf i n i t ea n dd e l i m i t e ds y s t e mb yp u r s u i n gam e t a b o l i s mt os u c had e g r e et h a t t y p i c a lf o r m sa n ds i z e sa r ed e v e l o p e da n dp o s s i b l ys t a b i l i z e d t h ea i mo ft h e w d r kr e p o r t e db e l o wi st os t u d yt h i sa b i l i t yi naf r e eb o u n d a r yp r o b l e mf b rp h y s i c o c h e m i c a lm o d e lo fap r o t o c e l l t h em o d e lo fa s e l f - m a i n t a i n i n gu n i t yo rap r o t o c e u i sb a s e do i lt h er e a c t i o na n dd i m l s i o i lp r o c e s s ，a 1 1 dam e c h a n i s mo fs e l f c o n t r 0 1o f t h eb o u n d a r y t h es p e c i a lc a s eo fr a d i a u ys y m m e t r i cc e u s r a ss t u d i e di ne a r l i e r 丽的r k s t h ep r e s e n tp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ee i ) d s t e n c eo fs y m m e t d 卜b r e a k i n g s t a t i o n a 珂s 0 1 u t i o n s ，i e ，w i t hs 0 1 u t i o n sw h i c ha r en o tr a d i a l l ys y m m e t r i c i ti s p r o v e d 【1 2 13 1 ，f o ra n yp o s i t i v er a d i u sr ，t h e r ee ) 【i s t ss y m m e t r y - b r e a k i n gs 0 1 u t i o n i n 押伊d i m e n s i o n a ls p a c e t h ep u r p o s eo ft h ep r e s e n tp 印e ri st w _ 0f o l d s ：f i r s t l y r ew a n tt oe x t e n dt h eb i f u r c a t i o nr e s u l t so f 【1 2 ，1 3 】i n 乞ot h em o r er e a l i s t i ct h r e e d i m e n s i o n a lc a s e ；s e c o n d l y ，w es h a uu s eam u c hm o r es i m p l i f i e da n ds y s t e m a t i c m e t h o dt oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fs 皿m e t r y - b r e a k i n gb i f u r e a t i o nb r a n c h e so f s t a t i o n a r ys o l u t i o 璐b ya p p l y i n gt h ec r a n d a l l f h b i n o w i t zb i f u r c a t i o nt h e o r e m t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l 炳驾：i ns e c t i o n1 ，w ep r o v i d es o m eb a c k g r o u n d m a t e r i a la n dc o l l e c tv a r i o u sr e s u l t so nt h eb e s s e lf u n c t i o n st h a ta r er e q u i r e di nt h e s u b s e q u e n ts e c t i o n s i ns e c t i o n2 ，w ec o 璐t r u c tt h eb i f u r c a t i o np r o b l e mo fp r o t o e l l m o d e l l i n g i ns e c t i o n3 5 ，、es h a l ls e e t h a tf m a p st h es p a c eg m + q ( ) ri n t ot h e s p a c ec 仇+ a 一1 ( ) i ns e c t i o n s4w es h a uf b r m a u yc o m p u t e t h ef r 6 c h e td e r i v a t i v e 8 o ff s i n c efi ss m o o t h ，t h ef o r m a ld e r i v a t i o nw i l lb er i g o r o u s l yj u s t i f i e di ns e c t i o n 3 i nt h ee n d ，w ep r o v e dt h e r ee x i s tb r a n c h e so fn o n r a d i a ls t a 儿i o n a r ys 0 1 u t i o n s b i f u r c a t i n gf r o mr a d i a l l ys y m m e t r i cs o l u t i o i l si nt h em o r er e a l i s t i ct h r e es p a c e d i m e n s i o n a lc a s e ；i n d e e d ，f o ra n ym o d en ，n 2 ，t h e r ee x i s t sau n i q u eb i f u r c a t i o n b r a n c hw h o s ef r e eb o u n d a r yh a st h ef o r m7 = 冗+ e k ，o ( p ) + d ( e 2 ) ( 礼i se v e n ) f o r s m a l ll e l ，w h e r ek ，oi st h es p h e r i c 甜h a r m o n i co fm o d e ( 佗，o ) k e y w o r d s ：f r e eb o u n d a r yp r o b l e m ；s t a t i o n a r ys 0 1 u t i o n ；b i f u r c a t i o n ；s y m m e t r y b r e a k i n g ；p r o t o c e u i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 墨裹篡妻纂霎裹茎亍羔指导教师签名：趁学位论文作者签名：丛玺指导教师签名：z 鲨竺垒二 口8 年莎月8 日护8 年多月8 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：酝牮 叼年莎月g 日 第一章绪论 第一章绪论 半个世纪以来，医学科学取得巨大的进展，基本上控制了以往主要威胁人 类健康的传染病，而肿瘤之类的非传染性疾病逐渐成为人类健康的主要敌人， 恶性肿瘤更是危害人类生命健康的严重疾病。据世界卫生组织( w h 0 ) 报告指 出：2 0 世纪后期近3 0 年以来癌症发病一直呈上升的趋势，恶性肿瘤的死亡率在 近2 0 年期间呈上升趋势。因此对其生长机理的深入研究，无疑具有重要的科学 意义。 经过长期的探索和研究，尤其是近2 0 年来大量的医学观察和医学实验表 明：肿瘤的生长和其他生物体( 如生物种群、动植物体等) 的生长很类似，有 很强的内在数量变化规律。我国微生态学奠基人魏曦教授更是指出【l 】：人体 有l o 倍于自身体细胞数1 0 1 3 的活微生物细胞数1 0 1 4 ，平均每1 个体细胞约有1 0 个 微生物为其服务。他们与机体形成相互依存、互为利益，相互协调又相互制约 的统一，称为微生态平衡。失衡则会致病。因此，对于细胞的研究也成为医学 界一个重要的领域。 从二十世纪五、六十年代，人们就开始建立细胞以及肿瘤生长的数学模 型。最初人们建立的生长模型基本都是常微分方程模型。进入七十年代以 后，大量的偏微分方程模型被建立。1 9 7 2 年，h g r e e n s p a n 运用化学物质的反 应扩散原理【4 3 ，4 6 1 结合细胞繁衍和死亡的规律，提出来用一个偏微分方程的自 由边界问题来描述早期肿瘤的生长【3 9 ，4 0 】。随后，j a d a m ，m c h a p l a i n ，h e l e n m b y r n e ，j w a r d ，j k i n g ，g p e t t e r 等人不断发展h g r e e n s p a n 的思想，从 各个侧面提出了一系列描述肿瘤生长的偏微分方程自由边界问题的数学模 型【3 2 】一【3 8 】。由于偏微分方程模型都是根据最基础的物理学、化学、生物学和医 学原理建立的，并且近似的数值求解表明，它们能够比常微分方程模型还好地 模拟细胞和肿瘤的生长曲线，所以受到了人们的高度重视。因此细胞和肿瘤生 长的自由边界问题，成为近年来在国际上热门的一个数学研究课题。 这篇文章主要是针对细胞模型进行讨论。正如数学上描述肿瘤生长的自由 边界问题一样，它不仅含有反应扩散方程组，在稳态情形还可能含有退化或奇 1 第一章绪论 异微分方程等不同类型的方程，另外还可能含有两个以上不同类型( s t e f a n 型、 障碍型) 的自由边界，因而这是一个全新类型的自由边界问题。对于这个问题， 人们更为关心解在时间趋于无穷时，它的渐近性态【2 8 卜1 3 1 】。这个课题，在数学 上有相当的难度，必须应用非常深入的偏微分方程、常微分方程、泛函分析和 调和分析等数学理论作为工具，创造一些新的方法。事实上，迄今为止人们 对这一课题的研究，已经发展了一些新的理论和方法。从九十年代末期起， 以国际著名数学家、美国科学院院士a v n e rn i e d m a n 以及他的学生、n o t r e d a m e 大学教授胡钡，和国内的崔尚斌教授等一批偏微分方程研究工作者开始 了对肿瘤生长偏微分方程模型的深入系统的研究工作，偏微分方程的极值原 理、不动点理论和护理论【4 1 ，4 2 】等被广泛应用到其中，迄今为止已获得了许多结 果【1 9 1 一【2 5 】。目前，越来越多的数学工作者开始参与到这个课题中。 1 1 背景介绍 大家都知道，最原始的生命就是一个最简单，最原始的细胞。原细胞 ( p r o t o c e l l ) 通常是由一个细胞构成，但能独立完成营养、呼吸、排泄、运 动、生殖和调节等生命活动【2 ，3 】。最早对细胞的研究只是医学上的，医学家 们只是给出了细胞的一些定性理论。逐渐的，数学家们开始对细胞产生兴 趣【1 7 1 8 ，2 6 】，但他们大多也只是研究模型的球对称解和解的稳定性之类的问题， 而这篇文章是希望通过建立细胞的数学模型，找到细胞模型自由边值问题的对 称破缺分歧解，也就是非球对称的解。( 其他的分歧问题还可参看【4 4 】) 这是现有 文章中很多人都没有考虑过的。 原细胞具有多孔结构，这种结构由浓度为c 的纤维蛋白构成，只有当c 超 过临界浓度c + ，这种结构才能很好的保持。分布在整个空间中，浓度为盯的营 养物质负责细胞的新陈代谢，在无穷远处浓度盯= 7 - ( 7 - 0 ) 。c 和盯满足耦合 的反应扩散方程： c 筹一c 硇山一仃细胞慨 一盯= 0 细胞外部， 2 第一章绪论 其中c 是一个正常数。常数c 表示扩散时间与细胞分裂时间的比率。在细胞的边 界上c = c + 。 由于细胞要做很多工作，这些工作会使得细胞不断收缩。因此在模型中， 考虑在边界上用p 表示这样一个量，p 0 。另方面，边界上的纤维蛋白使得 细胞不断生长。这两方面作用的最终结果就是： = 一筹一p ，在细胞的边界上， 其中n 是外法向向量，是边界上的点在法方向上的速率。 在三维的球状细胞中，若令 r = 、乞 而，让= c c + ，f = 兰 并用r = s ( ) 表示细胞的边界，从而就有关于u = 乱( 7 ，) ，盯= 盯( 7 ，t ) 和7 = s ( ) 的方程组： 和 u 。一( 景+ ；岳) u 弘扮。， t 上= o ，r = s ( t ) ，芒 o ， u = 乱o ( r ) ，t = o ， 自由边界条件为 s 心) = 一洮r ( s ( 亡) ，t ) 一印 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 文章【1 7 】中已经证明了方程组( 1 1 ) ( 1 3 ) 存在球对称稳态解( r ，u 占) ，并且 精确地给出了 c r s c r ，= 二三二三爹二：月， 3 ( 1 4 ) d l 中r在 咄 l _ n k 、j i州当 kx ， 畎 l = _ 盯 盯 - a 万2 一r + 里舭 第一章绪论 姒忙志( 学一半) ， 7 r ，( 1 5 ) 其中r 满足 寺= 若 ( 1 6 ) 一= 一 i1 i il 口r t a n hr r 。 文章【1 1 】对球对称解的渐近行为作了讨论。那么对于非球对称解会有什么样的结 果，就是一个非常有意思的问题了。由于现有的文章很少有讨论这个问题的， 因此它也是一个很有挑战性的问题。为了回答这个问题，首要要看模型是否有 非球对称的稳态解。文章【1 2 1 3 】中已经给了肯定的回答：在二维情况下，方程 组( 1 1 ) 一( 1 3 ) 有一族对称破缺分歧稳态解。作者是通过把解和自由边界都展开， 进行分析得出的结论。但过程比较冗繁。当然更现实的模型应该是三维的，然 而【1 3 】中复杂的展开过程却很难用到三维空间中。因此，这篇文章的目的主要有 两个：其一是把【1 2 1 3 】中分歧的结果扩展到更实际的三维空间中：其二是用一种 更简单，更系统化的方法一一应用c r a n d a l l l r 加i n o w i t z 定理【5 】来建立对称破缺分 歧稳态解的存在性。为了达到这个目的，引入了很多很巧妙的p d e 估计。但由 于模型涉及了一个衍射型的问题，因此要把这些p d e 估计合理的用到模型中， 也不是件容易的事。 自由边值问题的这种讨论方法最早用于【4 ，7 】。继而又被成功的用于其它自由 边值问题模型中【6 ，1 4 ，1 5 】。肿瘤模型和分歧分析的系统化的介绍可以参看【8 一l o 】。 1 2 相关的基础知识 文中将用到球面调和函数以及修正贝塞尔函数k ( ) 的一些新的恒等式，其 中是一个复变量，m 是任意的非负实数。为了方便起见，现将所有需要用到的 等式和不等式在这部分中列出，相关的证明可以参考【1 4 】。 球面调和函数定义球面调和函数m ，m ( p ，) 为 m ，m ( 口，) = ( 一1 ) m p 锕坤 甲( c 。s p ) 焉( m 一，2 ) ， 4 第一章绪论 其中甲( z ) = 南( 1 一z 2 ) m 2 箬杀( z 2 1 ) 。函数族m ，m 构成了l 2 ( ) 空间中一个 完备的正交基，这里表示单位球面，并且 u m ，m = 一? ( f + 1 ) m ，m ， 其中u = 南品( s i np 品) + 赢品表示单位球面上的拉普拉斯算子。 贝塞尔函数修正贝塞尔函数k ( 莓) 定义为 大家已经知道 张) = ( 薹) m 薹赤( 泸七= 0 、 7 酬) = 丢s i n h ， ( 1 7 ) 眦) = 、丢 - 半+ c o 龇 ， ( 1 8 ) 厶，2 ( ) = 丢 ( 苫+ 1 ) s t n h 一詈c 。s h ， ( 1 9 ) 聪( ) + 喜( ) 一( 1 + 等) k ( ) = o ， ( 1 1 0 ) 岛( ) 一詈( ) = k + 1 ( ) ，m o ， ( 1 1 1 ) 佻m = 薹而鬻赫等揣筹南_ m ， 在论文中，将用到下面的函数 眯) = 器，删1 1 2 ， 它满足( c f 【1 4 ，p 目g e2 9 7 2 9 9 】) 账) = h 一言， 账) = 丽旨一善， 1f z r ( ) 2 赤一面矗褊+ d ( ，一o ， ( 1 1 3 ) ( 1 - 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 眯) = 一警+ d ( - 3 ) ， a r g i 0 ，n 0 ， 昙一字 晰， 吾一字+ 乏笋 另外以下的公式也是我们可能会用到的： 岛( ) + 詈k ( ) = k 一( ) ，m 1 ， k 一- ( ) 一k + ( ) = 警k ( 趴m 1 ， 再高 晰) r 2 + ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 5 ) 、”v 7 、 ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 7 2 + ( 2 礼+ 5 ) ( 2 礼+ 7 ) 2 ( 2 n + 5 ) 7 2 + ( 2 礼+ 3 ) ( 2 n + 5 ) ( 2 n + 7 ) 。 6 、l ，0“ 仉 r d) ，叭 p 只 r d 石 第二章分歧问题的提出 第二章分歧问题的提出 考虑区域的一族边界a q 。：r = r + 矗( 口，咖) ，其中克( p ，) = e s ( 口，咖) 。( 盯，u ) 是方程 仃= 口【z n 。 ( z ) ， 在r 3 中， ( 2 1 ) 仃_ 7 - ，当一o o ， 和 一u = 盯，q e ， ( 2 2 ) u = 0 ，a q 。 的解。 定义f 为 砌= 一象k 一等笋丁 ( 2 3 ) 那么由( 1 6 ) ，有 f ( 0 ，r ) 三。 对任意o r r ，仃。= 7 - ( 1 一掣) ， 盯8 r f _ = 一2 7 ( 冗一t a n hr ) 7 一3 ； 当r r 时， 从而可得 心s 七6 t 七6 i s 7 2s i n 2p+ 巩岛日刍+ 卉岛号娑= o ， 筹+ 鲁罟+ 南剐= o ，盯1盯1r 7 6 。 子l = 孑1 ，r 冗， 在第一个式子里令矛( 7 ) = r 一 秽( r ) 则第一个式子变为 象+ 三害+ ( 等燮) u _ 0 甭+ i 石+ ( 产) u 2 o 显然，这两个常微分方程可被精确的解出： 矛1 = 西r 一 k ( r ) ， r r 运用( 2 7 ) 中最后的两个关系式，可得 g r 一 l + 1 2 ( r ) = q r n 一1 ， ( 2 。9 ) q ( 一n 一1 ) r n 一2 一c 1h 尺一3 2 厶+ 1 2 ( r ) + 冗一1 2 l + 3 2 ( r ) 】= ( r ) ， 因此( 回忆( 1 1 3 ) 中r 的定义) c 1 = 一无( r ) 【( 2 n + 1 ) 冗一3 2 + r 1 2 p 竹( r ) 厶+ 1 2 ( r ) 由( 2 8 ) ，盯1 可以被精确的解为 q = 一 ( 月) 朋 ( 2 n + 1 ) r 一2 + r ( r ) ( 2 1 0 ) 盯。(r，毋，矽)=iii磊-；=i了；i皇善蒡；弓j专y五，m(目，)，r兄 1 0 ( 2 1 2 ) 篓产 一 一 ，1 ，l _ 盯 盯 2 一r 2 一r + + 1 1 盯 盯 第二章分歧问题的提出 2 2u 1 的计算 由( 2 2 ) 和( 2 4 ) 中的第二个方程，可知 一乱1 = 盯1 ，在b r 中， 又由于“h ：r + 。s = o 和u 。( r ) = o ， 其中 e u l l a b r = a ：= u s r ( r ) = 一7 - t a n h r 若忽略高阶无穷小项，则有 e u l i a n 。+ 0 ( e 2 ) =( u u 。) i r ：r + 。s + d ( e 2 ) 一让。( r + e s ) + 0 ( e 2 ) = 一【u 。( r ) + 让。r ( 兄) e 司+ o ( e 2 ) 一入e s + 0 ( e 2 ) ， rc o t hr 一1 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) = 一7 t a n hr 尸0 ( r ) 一( t a n hr ) r ( r ) i 、一 钆1 = 一入j i r = r 若s = k ，m ( 臼，) ，那么u 1 = 五1 ( 7 ) s ( p ，) 满足 也就是 因此 + 面警嘉+ m 导警+ 西警 + 嘉【叫翻= 一西 + 鲁h n + 1 ) 一一卉 r 2s i n 2 口 = 一盯l ( 面。+ 矛。) + 詈( 五。+ 子。) 7 一兰塑笋( 面。+ 矛。) = o ，r r ， 五1 + 子1 = 岛7 - n ， r r 1 1 ( 2 1 5 ) 2 一r 2 一r 2 一r ， ， 。 m 。虮 + + + 。 。m m 第二章分歧问题的提出 由条件( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 和( 2 1 5 ) ，可得 伤= 杀一赢 这样，解出“l 为 州咖卅= ( 杀一赢裂蠢) 心以沪 ( 2 1 6 ) 第三章严格证明 第三章严格证明 要说明( 1 1 0 ) 的写法合理，则需要对盯1 和u l 作估计。注意到乱是定义在q 。上 的，而乱。定义在b r 上。当然由和的表达式可以看出，几和u 。也可以定义 在整个空间上。显然要得到盯1 和乱l 所需要的估计，必须把所有的函数都变换到 同一个区域q 。上，这里需要用到h a n z a w a 变换，它是一个由 ( 7 ，p ，咖) = k ( r ，曰7 ，7 ) 三( r 7 + x ( r 一7 7 ) e s ( 曰7 ，7 ) ，目7 ，) ， 定义的微分同胚，其中 x e 。，x c z ，= ：三：三孑二- l 等i c ，醋 x e o 。，x ( z ) = l 号等l c 醋 i1 ，i f 2 2 ，有 局 、7 磊( 学 ( 2 n + 1 ) ( 驴( n + 2 ) 局( 咧蝴0 ，礼 2 ( 4 9 ) 这里用兄作分歧参数，也就是在定理4 1 中，取p = r 引入巴拿赫空间 x m + a = 壳c m + a ( ) ，克是关于p 以丌为周期的，关于以2 丌为周期的) ， x p + 口= x m + a 中，由 巧，o ( p ) ，歹= o ，1 ，2 ，) 张开的线性空间的闭包， 第四章分歧 砑+ q = x m + q 中，由 巧，o ( 口) ，歹= o ，2 ，4 ，) 张开的线性空间的闭包 那么f ( 詹，p ) 就是一个从x m + 2 + a 到x m + 1 + q 的映射 算子a ( p ) = ( o ，p ) 】把x + q 映到x ；+ a 中，由( 4 8 ) ， f m ，o ) ， p 尼，r 3 ， k e r a ( p ) = 【s p a n _ ，o ，m ，o ) ，p = 如果考虑x ；+ q ，那么当p = r 时，d i m ( k e r a ( p ) ) = 2 。为了满足c r a n d a l l - n b i n o w i t z 定理中( i i ) 的要求，应在瑶+ 口上考虑。在空间砖+ a 中，当肛= r 时，d i m ( k e r a ( p ) ) = 1 。若佗是偶数并且2 ，那么i m a ( 肛) o ，o ) 显然 是整个空间碗帕，因此对于p = ，c o d i m ( a ( p ) ) = 1 。 将( 4 5 ) 关于r 求导可得， 【( o ，r ) ，m = 未( 竺簧兰 ( 2 礼+ 1 ) r t ( r ) 一( 礼+ 2 ) 局( r ) 】) k ，m 特别的，由( 4 9 ) 可知 【p ( o ，凰) 】k ，。= 聂( 塑訾皇 ( 2 佗+ 1 ) r t ( r ) 一( n + 2 ) 昂( r ) 】) i 船如k ，。 gi m a ( ) 这样，就可以得到下面的结果： 定理4 2 ( 0 ，r ) 是( 2 1 ) ( 2 6 ) 的分歧点，相应的自由边界为 其中佗是偶数并且2 。 r = 兄+ e k ，o ( 护) + d ( e ) ， 这个定理给出了原自由边值问题的非球对称稳态解。 1 9 第五章的单调性 第五章的单调性 最后还剩下一个问题就是证明( 4 8 ) 和( 4 9 ) ，这里，采用文章【1 2 ，4 5 】中的方 法。在【1 2 】中，作者用整数阶的修正贝塞尔函数，而这里用的是礼+ 1 2 阶的修正 贝塞尔函数。 定理5 1 ( i ) 对任意礼2 ，方程 存在唯一正解r = 心； ( i i ) 如果2 z o ， ( 5 3 ) 则对任意的礼2 ，辱群= 精存在唯一正解兄= 心。 2 0 第五章r 的单调性 由于 加( 驴监丝坐丝避杀竽坠幽 只要证 ( + 1 2 2 + 厶+ 1 2 ，i 2 ) 厶一1 2 厶2 一厶+ 1 2 ，1 2 ( 一1 2 厶2 + 厶一1 2 e 2 ) o 也就是 厶2 厶2 ( 易+ 1 2 厶一1 2 一最+ 1 2 厶一1 2 ) 考虑到上式的结构，引入函数 如果能证明 厶+ 1 2 厶一1 2 ( 厶2 e 2 一，i 2 厶2 ) & = 1 0 9 厶( 冗) 畿+ 1 2 一& 一l 2 g 2 一研2 ， 那么( 5 3 ) 自然成立。要证明( 5 4 ) ，还需要下面的事实 引理5 1 对任意佗1 ， l 2 一g 2 o 证明：由( 1 1 1 ) 可知，( 5 5 ) 和 生一生：地上 厶+ 1 2，1 2厶+ 1 2 。 是等价的，也就是 学一( 瓮+ 等) 吴， r 厶2 r 、r i n + 3 f 2 厶+ 1 2 。1 3 f 2 0 畿+ ，2 + ( 戳+ 。2 ) 2 + 去畿+ 。2 = 1 + 学 畿一。2 + ( 畿一。2 ) 2 + 去殴一。2 = 1 + 学， ( & + l 2 一晶一l 2 ) + ( 爵+ 1 2 一& 一1 2 ) ( + 1 2 + 一1 2 ) + 去( 畿+ 1 2 一畿- 1 2 ) = 令( 5 7 ) 中孔= 1 ，并与( 5 7 ) 相减得 ( 佗+ 1 2 ) 2 一( 几一1 2 ) 2 + ( 畿+ 1 2 一畿一l 2 ) ( 畿+ 1 2 + 畿一1 2 ) 一( 2 + s i 2 ) ( 墨2 - s ；2 ) + 去咖7 = 2 佗一2 r 2 。 要证明7 ( 冗) o ，可分成两部分来考虑：首先，当r 离。很近时，由( 5 1 ) 知 山= 篙絮 ( 5 7 ) ( 5 8 ) + ( 譬) 2 而南丽】(