（水利水电工程专业论文）锥形阀消力池数值模拟.pdf

翟4 2 8 9 8 4 摘要 、。 f 1 本文首先总结了当前数值模拟计算的现状，并应用现代紊流理论 对锥澎阀消力池池内流态进行理论分析，对消力池中轴纵向截面建立 了数学模型： 卫十盟：o a x 0 y 【，掣+ 矿罢：一三等+ 兰( ，+ v ) 掣+ 晏( v + v ) 掣+ 昙( _ 罢) + 拿( v 当 m n ，口优讲 哦甜 o y 蕊西 c yc y u娑+矿等=g一吉筹+昙cv，娑+苦cv，筹+昙v，豢+昙q_auox o xo x o yc y鲫p 州印删 口 u 芒+ 矿豢：il v , _ o k + i # 【一v , i 6 9 k 】+ p 一 m o ) 1 o xo k d x 国6k 助 u 塞+ y 嘉= 嘉c 手宴，+ 拿c 善宴，+ c 。妻p - c ：, o x o y4 9 - o y 譬m 卯廊， 芹 其中：p ：2 v , 掣掣+ v f ( 掣+ 尝) ：十2 v , 尝尝 出出 d y 钡 砂鲫 对上述数学模型采用有限体积法进行离散，得离散方程： d 。u 。= 甜u 。+ 玎。u 。+ 口n u 7 ，+ 口e 。u 挑+ b d ，k = 口。，+ 口 + 口，f f + 口f 坩+ b a p k p = n p k e + a 叫。k e + a t k r + b k b + b n p p = a e 占e + a w s 苫e + a f 占r + a b 占b + b 对匕述离散方程采用a d i 法，结合欠松弛迭代求解，对动量方程 松弛因子取0 5 ，紊动动能、紊动耗散率方程松弛因子取0 4 ：对压力 场的计算采用压力校j 下法，压力校正系数取0 8 ；计算网格采用交错网 格：固擘条件按壁殖f 函数率给定：自由水面假设波动不大，按“刚盖” 假定处理：下游出口假定紊流已经达到自相平衡。计算过程中，根据 锥形阀消力池自身的特点，对扩散项和源项也进行了欠松驰，扩散项 和源项的松弛因子均取为o 5 。程序实现如下 r e l = 1 一r e l a x d o j 一 d o 卜一 a m t ；c m u * r h o c o n + a k e ( i ，j ) ”2 ( d 1 s ( i ，j ) + 1e 3 0 ) i f ( n u m r p t ，e q 0 ) a m u t ( i ，j ) = a m t a m u t ( i j ) = r e l a x + a m t + r e l + a m u t ( i ，j ) e n d d o f n d d o r 匕l = 1 一r e l a x d o j 一 d o1 - 一 a p ( 1 ，j ) = ( a p ( i ，j ) + v o l + a i m ( i ，j ) + a i p ( i ，j ) + a j m ( i ，j ) + a j p ( 1 ，j ) ) r e l a x c o n 0 ，j ) = c o n ( i ，j ) + v o l + a p ( i ，j ) + v ( 1 ，j ) + r e l e n d d o e n d d o 为了便于分析计算结果，文中结合v i s u a lf o r t r a n 和 v i s u a lc + + 计算机语言进行混合语言编程，运用o p e n g l 图形显示技 术，丌发了模拟计算图形处理系统软件，以帮助分析模拟计算结果。 、 根据计算，1 论文对锥形阀消力池流态的影响因素进行了分析和对 比，分析认为，锥形阀消力池内的水流流态与入射水流的流速、入流 角度和进l l 尺、j 以及水挚尺寸等反映淹没撞击射流的基本参数有关， 也受消力池长度、宽度影响。消力池中的基本流动结构为射流主射区+ 旋滚区的混合结构，主射流区与各漩涡区之间的交界区域是一层强紊 动翦切作用，主流在该区通过强烈紊动剪切和扩敞作用耗散其有效 十【械能，i 亥区域是射流有效机械能消敞的主区域。交界面区域所消散 的剁流动能一部分传递给紊流，用于生成紊动涡体，维持紊流脉动和 紊动耗散：一部分传递给宏观漩涡区，维持这些漩涡区的转动。主射流 机械能的传递、再分配和消散过程中，紊流脉动所提取的能量最多，其 次是漩涡所吸收的能量。模拟计算证明了入流水舌有利于能量的消耗， 也从理论上验证了锥形阀消力池消耗能量效果好的特点。 论文最后对锥形阀消力池最佳入流角和合理的锥形阀消力池尺 寸的确定进行了探讨。 关键词：锥形阀，有限体积法，交错网格，a d i 法，涡 a b s t r a c t t h e p a p e r s u m m a r i z e dt h e p r e s e n t s i t u a t i o no fn u m e r i c a l s i m u l a t i o no nh y d r o d y n a m i c s b a s e do n c o n t e m p o r a r yv i e w p o i n t s a b o u tt u r b u l e n t t h e o r y , t h ec o m p l i c a t e d f l o ws t r u c t u r ei nt h e c o n e s h a p e dv a l v ea b s o r p t i o np o n di sq u a l i t a t i v e l ya n a l y z e d a n da m a t h e m a t i c a lm o d e lo f l e n g t h w i s es e c t i o no f t h ep o n ei sb u i l t ： 型+ 坐：o 0 x 0 y u 笔+ 矿掣：一三等+ 晏( v + v ) 掣+ 0 0v + v ) i o u + _ 8 “_ 8 u ) + 晏( v i c 3 v ) 血咖p 出出血 础甜 i c xg x 卿卿 u 豢+ f 筹= g 一去筹+ 去( v + v ，i o v 十_ o ，面o v + 昙v ，_ o v + 昙v ，_ o u c y o xo x c yo y呶 。、ioo 、| 。x 。) c 铆 u 娶+ 娑：_ 8i _ v , i o kj + i c 3l 一v , i o k j + j p 一 o x o y d xg k d x o ) oka ) _ u 塞+ 考= 夏c 3t z v , 瓦o g - + 瓦0tiv,_c38-,+c，。妻p-c2ie20fd x咖mdo xo ，kk h e 峨尸= 2 q 掣等瓦8 u + 娑) 2 + 2 v ，面o v 瓦o v u xo x僦以+洲洲 t h ea b o v em a t h e m a t i c a lm o d e li s d i s p e r s e db y t h ef i n i t e v o l u m e m e t h o d ( f v m ) ，t h ed i s p e r s e de q u a t i o n s a r ea c h i e v e d ： “u 。= ( f u 。+ 以。u 。+ a l z , u 7 。+ d h ，u b 。十b ( f ，f ：= a ，+ 以 + a t e k f + a _ + b 口p k p = a p k + a w k e + a f k t + a b k b + b a p g p = 口p 占+ 口甜e + a f 占r + a b 占b + b t h e a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t ( a d l ) i sa p p l i e d t os o l v et h ea b o v e d i s p e r s e de q u a t i o n s ，a tt h es a m et i m e ，t h er e l a x i s a p p l i e d l e tt h e r e l a xf a c t o r so ft h em o m e n t u me q u a t i o n sa r ee q u a lt oo 5 ，t h er e l a x f a c t o r so ft h et u r b u l e n tk i n e t i ce n e r g ye q u a t i o na n dt h et u r b u l e n t d i s s i p a t i o ne q u a t i o na r ee q u a lt oo 4 t h e m e t h o do fp r e s s u r ea d j u s t ( m e t h o do fp r i m i t i v ev a r i a b l e s ) i sa p p l i e dt oc a l c u l a t et h ep r e s s u r e t h ef a c t o ro f p r e s s u r ea d j u s ti so 8 t h eg r i ds y s t e mi s t h es t a g g e r e d g r i d t h es o l i dw a l li st r e a t e db yl a wo ft h ew a l l t h es u r f a c eo ft h e p o n d i st r e a t e dw i t ht h ea s s u m eo fh a r dc o v e lf o rt h ef l u c t u a t i o no ft h s u r f a c ei sv e r yl i t t l e a n dt h et u r b u l e n tf l o wi nt h ee x i ti sa s s u m e d t h a ti th a sb e e n b a l a n c e a c c o r d i n g t ot h e s p e c i a l t y o ft h e c o n e s h a p e dv a l v ea b s o r p t i o np o n d ，t h ei t e mo f d i f f u s ea n dt h ei t e m o fs o u r c ea r et r e a t e db yr e l a xi nt h ep r o c e s so fs i m u l a t i o n r e l = 1 一r e l a x d 0 j 一。 d o 卜- a m t = c m u * r h o c o n * a k e ( i ，j ) ”2 ( d i s ( 1 ，j ) + 1 e 3 0 ) i f ( n u m r p t e q 0 ) a m u t ( i ，j ) 2 a m t a m u t ( i ，j ) = r e l a x + a m t + r e l + a m u t ( i ，j ) e n d d 0 f n d d o r e l = 1 一r e l a x d 0 j 一 d o i 一 a p ( i ，j ) = ( 一a p ( i j ) 4 v o l + a i m ( 1 ，j ) + a i p ( 1 ，j ) + a j m ( i ，j ) + a j p ( i ，j ) ) r e l a x c o n ( i ，j ) = c o n ( i ，j ) + v o l + a p ( i ，j ) + v 0 ，j ) + i 拒l e n d d o e n d d o c o m b i n et h eb o t hc o m p u t i n gl a n g u a g eo fv i s u a lf o r t r a na n d v i s u a lc + + t op r o g r a mi no r d e rt o a n a l y s e t h er e s u l to ft h e s i m u l a t i o n ，t h eg r a p h s h o w i n gs y s t e ms o f t w a r eo ft h ec o r e s h a p e d v a l v ea b s o r p t i o np o n d t h ep a p e ra n a l y s e sa n dc o m p a r e st h ef a c t o re f f e c to nt h ef l o w i nt h ep o n db yt h en u m e r i c a ls i m u l a t i n gs o f t w a r e t h ea n a l y s i ss h o w s t h ef l o ws t r u c t u r e si nt h ep o n da r en o to n l yr e l a t e dw i t ht h ev e l o c i t y o ff l o n , a n g l eo f j e ta n d t h es i z eo ft h ee n t r a n c ea n ds oo n ，b u ta l s o a r er e l a t e dw i t ht h es i z eo ft h ep o n d t h ee l e m e n t a r yf l o ws t r u c t u r ei s am i x e ds t r u c t u r eo ft h em a i ni e ts e c t i o na n dt h es w i r ls o f t w a r e t h e b o u n d a r y s e c t i o ni s a s t r o n g t u r b u l e n tc u ts e c t i o n t h em a i nj e t m a i n l yd i s s i p a t e st h ee n e r g yi nt h i ss e c t i o n t h ee l 】m e t jc a ls jm u 】a tjo nv a li d a t e st h a tt h ef l o w t o n g u eo fj e t i sh e l p f u lt od i s s i p a t et h ee n e r g yo fw a t e r i ta 1s op r o v e st h ee f f e c to fd is s i p a t i n ge n e r g yi sb e t t e f ， a tt h el a s t ，t h ep a p e rh a sad i s c u s sa b o u tt h eb e s tj e ta n g l ea n d t h er e a s o n a b l es i z eo ft h ec o n e - s h a p e dv a l v ea b s o r p t i o np o n d t h i si s h e l p f u lf o rt h ed e s i g no f t h ec o n e s h a p e dv a l v ea b s o r p t i o np o n d k e y w o r d s ： c o n e s h a p e d v a l v e ，a d i ，t h e f i n i t e 。v o l u m e m e t h o d ( f v m ) ，s t a g g e r e d g r i d 郑州大学硕十学位论文 第一章前言 1 1 锥阀消力池数值模拟的意义及问题提出的背景 长期以来水力学的发展主要藉助于物理模型实验，然而，近三四十 年来，随着科技的不断发展，计算机运用的越来越普及，计算水力学 有了很大的发展，利用计算机模拟计算已逐渐成为一个重要的研究手 段，发展至今，已广泛应用于水利、航运、海洋、环境、流体机械与 流体工程等各种技术科学领域。以计算机模拟计算代替实际物理模型 实验为手段进行数值计算并将计算结果采用清晰，明了的图形显示， 使对问题的分析研究更加方便、直观，更有利于达到对工程问题研究 的目的。与常规的物理模型实验相比，数值模拟适应性强、应用面广、 不仅具有投资少、过程量值化、精度高、计算速度快、结果形象直观 等特点，而且可在短时间内进行物理方程中各项的有效性和敏感性模 拟讨算，不受物理模型实验率的限制，具有较多的灵活性和较好的移 植性。 当前，国内外在对流扩散问题、传热问题、边界层问题、漩涡问题、 紊流问题等方面的研究有了很大的发展，非恒定三维紊流问题已不再 是高不可攀。国外一些发达国家和地区利用计算机应用于水利工程设 计和讨。算，进行数值模拟替代常规的实验手段，取得了显著的成效， 并日编写了些相当不错的软件供工程设计研究使用。因此数值模拟 成为世界各国竞相实现的目标，也是我固水利界重点攻克的研究项目， 因此，对研究数值模拟技术在工程水力学中的应用有着重要作用。 锥形阀是一种利用遄射流的紊动扩散来传递能量与质量的流体机 械，具有结构简单，本身没有转动部件，维修方便，密封性好以及具 有“j 精确控制小流量高流速水流消能等一系列独特特点。工程中对于 小流鞋大流速水流常采用锥形阀来代替弧型闸，避免采用弧型闸引起 的1 ：能精确控制，易引起震动，且由于闸室过小，不易施工等的缺点。 但是“ 于锥形阀是采用锥体使水流出流后沿锥面向消力池四周扩散， 形成强烈紊动水流来消减能量。其出阀水流浑掺剧烈，水流瞬时脉动 流速脉动瓜强等值均比时均项明显且重要，消力池池内流态十分复杂， 尤其在锥阀周围，水流具有明显的强三维特性。本来喷射出流在水力 郑州大学硕士学位论文 学研究t p 直是一个的难题，而锥形阀出流由于其出流边界条件的复 杂，水流流动的强三维性以及当前测试手段有限，对其进行试验研究、 理论分析都比较困难。国内外对锥型阀研究甚少，工程上也由于其资 料的不完善应用较少( 仅有美国，委内瑞拉及乌克兰等少数国家采用锥 形阀。) ，有关锥形阀消力池池内流态的数值模拟成果至今尚未见过。 针对工程应用中迫切需要对其流态分布，消能特性等进行研究，为锥 形阀消力池设计提供科学依据，对锥型阀的研究将对工程应用以及今 后的进一步研究具有十分重要的意义。 2 2 论文工作 本文主要任务是依据锥形阀消力池消散能量的基本原理，建立数值 模型，采用一定的计算方法，对锥阀消力池流场进行计算分析，为消 力池的设计提供理论依据。 论文的工作主要分五个阶段，具体如下： 第一阶段：分析数值模拟技术在水力学中的发展概况，研究数学模 型的建立与计算方法的特点。熟悉了解各种数学模型及计算方法，包 括各种边界的处理以及技巧性的措旋。 第二阶段：针对锥形阀消力池的特点，建立相应的控制方程，并针 对所选择的网格系统及离散方法，对建立数学模型，包括对边界条件 建立，以及源项的处理。 第三阶段：编程实现。根据确立的数学模型，应用计算机语言进行 模拟计算。 第四阶段：编制可视化的图形显示系统，对模拟计算结果进行图形 昆示。 第血阶段：计算结果分析。通过模拟计算和图形显示，分析消力池 的流态特征、紊动动能的分布规律、紊动耗散的分布规律及压强分布 规律等，针对入射流量、入流流向、池长、池深等对消力池流态的影 响，为消力池设计提供理论依据 最后，论文对整个研究工作进行了总结，并指出了存在的问题和下 一步的工作打算 郑州大学硕士学位论文 第二章目前常用的数学模型及计算方法简介 真实流体都是有粘性的，包括水也常常需要考虑粘性的作用，而且， 山丁粘性作用使水流的运动特性发生了根本的变化，对于很多工程问 题，流体的粘性作用必须加以考虑。对于液体和低速的气体，通常可 以看作是不可压缩的流体。因此，在计算水力学中通常对水考虑为粘 性不可压缩液体。 2 1 数学模型 2 1 1n a v i e r s t o k e s 方程 对于不可压粘性流体流动，主要在于求解连续方程和动量方程。 连续方程： 连续方程是质量守恒定律的数学表达式，以微小控制体为研究对 象，可推导得到其微分形式为 一o p u + 型+ o p w ：0 ( 2 1 ) 融 砂 出 动量方程： 动量方程是牛顿第二定律或动量守恒原理的数学表达式。分析微小 控制体受力及运动情况可推导得到其微分形式为 掣+ u 掣+ 矿掣+ 掣：+ ( 了o c t + 孥+ i o r = ) a融两8z 。 瓠曲8 z j 掣十u 掣+ v o p _ ，z v + 掣：肌( i o ry + 孥+ 冬) a融。z j ? 瓠a v8 z o p w + u 业+ y o p w + 业：p z + ( 挚+ 拿+ 挚) o tm幽 g z礅g z ( 2 2 ) 考虑不可压缩的n e w t o n 流体，方程( 21 2 ) 中的应力项根据广义 n e u a o n 定律，有下面关系： 郯州大学硕士学位论文 吒：一尸m 一：) d i 。u + 2 掣 o u a v 、 f ，。= 【+ ，) u y g x ，o ua w 、 f 了= ( + 一) ：一j d m ，+ ：) d i v 矿+ 2 娑 3 u y r 川= r 1 1 ，o va w 、 f 二。= ( + ，j o z u y 盯。：一j d m 一：) d i 。+ 2 ? f ：x2 fx ： r 。= 一： ( 2 - 3 ) 其中，尸为压强，为流体的动力粘性系数。将上式带入式( 2 2 ) ，并 考虑连续方程( 2 1 ) ，得到n a v i e r s t o k e s 方程： 印世+ u 望世+ 矿弛v + w o p u ：p x 一虫+ 口w z “ 助y + u 印矿+ 矿劫矿+ w 爹竺：p y o p + p w 2 i 曲￥u i w i v o ：，z o p + ) 闪1 ( 2 - 4 ) 式中己，、v 、分别表示x 轴向的流速、y 轴向的流速、z 轴向的 流速，p 表示压强，p 表示密度，t 表示时间，y 表示流体的运动粘性 系数。 求解不可压缩流体流动的问题，就是求解( 2 一1 ) 和( 2 - 4 ) 所组成的基 本控制方程。 2 1 2 雷诺方程 由于实际水流大多数是紊流，对于大型水体的三维数值模拟和局部 水流现象，如射流、水跃等的数值模拟，必须细致的考虑紊动的效应。 郑州大学硕七学位论文 在【程实践中，常对紊动的总的平均效应感兴趣，即对紊流的平均量 进行分析研究。利用r e y n o l d s 法则，则式( 2 1 ) 和( 2 - 4 ) 得 蟹u + 翟+ 簟：0 ( 2 5 ) c xc o z a 擘+ u a 0 + y c o p 、u + w 孽：o x 一譬+ 2 ( p v 8 7 - - d 乱 d f出o v出o x o x + ? ( p v 掣。+ 善( p v o u g t w ，) 印y + u 印矿+ 印y + 劫：硝一a p + a ( p y 一“，v ，) o t出 e y 出 砂g x o x + ! ( p v 3 。v 埘) + 知气c o v - - v i w t ) 簟+ u 掣+ y 掣+ 宅嘭：廖一挲+ 曼( p v a i w u t w ，) 硝o x钟也o z( 9 c傩 + ? ( p v c o w 一订) + 要( p v 掣一w 一，谚) c yc y “ 式f 2 6 ) 目l j 为雷诺方程。 ( 2 6 ) 上述( 2 5 ) 、( 2 6 ) g o 为控制时均物理量u 、v 、矽p 的方程，这些 方程均为精确方程。但方程不再构成闭合的方程组：由于时均过程中 引入了未知的紊动应力一p u ；u ：项。为了求解上述的方程，得到速度u 、 矿、压力p 的时均值，必须确定紊动相关项一p u ；u ：。为了封闭方 程( 2 5 ) 、( 2 6 ) 求解得速度【，、矿、，压力p ，采用较多的办法是引 入紊流模型。 2 1 3 紊流模型 由于水流输运问题中的实际水流几乎都是素流。紊流运动对于流场 中的速度分布、压力分布，起着决定性的影响作用。紊流的特点是具 有很强的随机性、非恒定性，而且紊流问题几乎都是三维问题。由于 紊流现象的复杂性，紊流运动的极难描述，对紊流理论预测极难进行， 因此，要通过数值模拟来解决这一问题，必须对紊动输运过程提出各 郑州火学硕士学位论文 种假设和经验性的结果，以便将紊流流动过程中的各物理量和时均流 场联系起来，封闭方程组并求解计算。根据提出的不同假设，出现有 不同的紊流模型。 紊流是一种涡旋运动。b o u s s i n e s q 在1 8 7 7 年提出紊动粘性系数的概 念，认为紊动应力可类比于层流的粘性应力，丁f 三比于时均速度梯度。 叫_ c 警+ 警，每t ”， 式中v ，为紊动粘性系数，依赖于紊动状态。女为脉动动能，定义为 k = ：( 甜n + v n + w 2 )( 2 - 8 ) b o u s s i n e s q 的假定形成了紊动模型的基础。 根掘采用微分输运方程的个数，紊流模型主要划分为零方程模型、 单方程模耍! 、双方程模型。 1 ) 零方程模型 零方程模型有两种，一种是常数紊动粘性模型，另一种是混合长度 模型。 常紊动粘性是在对于大型水体计算时，对整个流场采用一个不变的 紊动粘性系数，粘性系数由实验确定。这种模型其本质上并不是真正 的紊动模型，对于紊动应力与对流项相比较小时，采用这种模型是可 行的。 混合长度模型是由p r a n d t l 提出的，p r a n d t 提出紊动粘性系数与 特性紊动速度，混掺长度成j 下比。对于剪力层，有认为只有一个起主 导作用的紊动应力。歹，和速度掣，认为特征速度v 等于时均速度梯度 ( 砂 和混合长度的砌乘积，即 矿：o 掣 c f v 则可将紊动粘性系数写为 ( 2 9 ) 郑州人学硕士学位论文 铲2 髻 ( 2 1 0 ) 红某些简单情况下，可用简单的经验公式确定，于是可以确定v t ， 阿( 2 9 ) 可以求出紊动扩散系数k ，于是，应用原来的时均方程组 便可以求解紊流的流动，此即零方程模型。 但是上述混合长度假设。，与平均速度梯度掣直接相关，在掣为 哕c 零的地方v 耿零，与许多流动实际不相符，因此不适用于紊动输运过程 占重要地位的分析研究。 = i 一( 1 t 2 ，2 - i w 2 ) u ，= c 。4 k l ( 2 1 1 ) 式中气为经验常数。则由纳维埃一斯托克斯方程可导出准确的k 的输 争匿b k = 驰( 半+ 剀 则博_ 赫磊而赢一 郑州1 人学硕十学位论文 a c ， 一“，“， u x 吐j f 1p v 8 u ，。“，( 2 一i 2 ) c x - c u - - - - - 一 州| l 敞f 精确的女方程在紊流模型中无法使用，因为扩散项和耗散项中出现 了新的未知的相关关系。为了封闭方程组，必须提出假设，对这两项 进行模拟。假设k 的扩散通量与k 的梯度成正比。 + 尸1 _ v t 8 k ( 2 1 3 ) p3 a ka x ? 式中盯。办为经验常数。耗散率g 可用下式进行模拟 ( 2 1 4 ) 式中 。亦为经验常数。 将( 2 13 ) 、( 2 1 4 ) 式代入紊动动能方程( 2 1 2 ) ，并对“，i 采 用紊动粘性系数表达式( 2 7 ) ，k 方程可写为 8 。k ，+ “，出o k j = 墓，( ；：磊o k ， + v ， 雾+ 耋 ：詈+ 屈；，i i 罢一c 。：2 此即大多数单方程模型中采用的k 的输运方程。其中经验常数的数一值 为c c ，zo 0 9 ，吼z 1 。对于单方程中的长度比尺的确定，主要根据 经验方法。 单方程模型考虑到紊动速度比尺的对流输运和扩散输动；在非恒定 流动中，还考虑到紊动的历史。当对流输运或扩散输运比较重要时， 单方程模型比混合长模型优越。但是，单方程模型中如何确定长度比 尺仍为不易解决的问题。对于比剪力层复杂的流动，确定长度比尺 的分布如同在混合长模型中确定混合长的分布一样，很难用经验方法 解决。这使得单方程模型迄今为止仍限于剪力层流动。 甜2 ，l 郑州i 大学硕士学位论文 3 ) 双方程模型 双方程模型主要有k l 和k s 两种，其中k 模型应用较广泛。 k 一紊流模型 在高雷诺数情况下，水流具有局部各向同性，耗散率s 等于分子粘 性系数乘以脉动速度的梯度，见式( 2 1 3 ) 。由纳维埃一斯托克斯方 程可导出脉动速度的准确的输运方程，因而也可导出s 的准确的输运方 程。象k 方程一样，s 的输运方程包含变化率、对流、扩散的产生以及 旋度的破坏等项；如果紊动处于各向异性状态，还会出现一些附加项。 与k 方程相类似，实际采用s 方程，必须对其中的扩散项、产生项和破 坏项进行模拟。一般采用梯度假设模拟扩散项，并将产生项和破坏项 合并加以模拟。模拟的结果，便是下面给出的占方程，式( 2 1 8 ) 。 占方程与k 方程、柯莫哥洛夫一普朗特表达式一起，构成完整的紊 流模型，称为标准k 一占模型。构成标准k s 模型的方程为 肾c i r = 一 盯 褰= 北势u 隆o 西u , 愚1 0 u 嗽兰 ( 2 - 1 7 ) 塞+ 攀。掣+ 掣一1 8 )变f t 睾j j 磊。1 ；广 芦生赢 表达式( 2 1 4 ) 代入( 2 1 1 ) ，得到式( 2 1 6 ) 。s 方程中包含经验常数傩、 g 。和c 1 。通常采用表2 一l 中值。 表2 1k 一模型中的常数数值 eg 。c 2 。o k盯 0 0 914 41 9 21 o1 3 郑州大学硕士学位论文 双方程紊流模型不仅考虑到紊动速度比尺的输运，而且考虑到紊动 长度比尺的输运，因而能确定各种复杂水流的长度比尺分布。尤其对 长度比尺不可能用简单的方法经验地确定的水流，双方程模型能较成 功地计算这些水流的最简单的模型。在各类双方程模型中，方程最为 简单，除混合长假设之外，k 一模型是经过了最广泛的检验和应用最 成功的紊流模型。但是，女一s 模型也有不足之处，模型中的经验常数， 通用性不十分令人满意，有些情况下必须用一些函数代替经验常数，占 方程缺少足够的通用性；因为假设雷诺应力的各个向量“：“，紊动粘 性系数相同，即：紊动粘性系数是各向同性的标量，k 一模型无法预 测到紊动引起的二次流。 2 2 模拟计算方法 近几十年来，计算水力学有了很大的发展，对于各种离散方法和 数值模型的研究已有相当大的成果。根据离散基本原理的不同，数值 模拟的计算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限体积法、特征 法等 2 2 1 有限差分法( f d m ) 有限差分法r 厅门j t ed i ，f e r e n c e m o t h o d 简写尼眇是计算机模 拟计算水流运动最早使用的方法，也是数值解法中最经典且常用的方 法，至今应用仍最为广泛。其以泰勒级数展开为工具，对水流运动微 分方程中的导数项用差分式来逼近，从而在每一计算时段为得到一个 差分方程式。简单地说，有限差分法是将求解域划分为差分网格( 最 简单的为矩形网格) ，用有限个网格结点( 即离散点) 代替连续的求解 域然后将偏微分方程的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限 个未知数的差分方程组。求差分方程组( 即代数方程组) 的解，就作 为微分方程定解问题的数值近似解。如差分方程组解耦，几个方程可 独立求解，成为显格式：反之，若需联立求解，称为隐格式。随着所 用泰勒展丌式的不同，差分格式可按逼近精度的阶分为一阶、二阶、 三阶，以至更高阶，也可按格式的性质分为中心及逆风( 或偏心) 格 郑州大学硕士学位论文 式两大类。 由于建立在经典的数学逼近理论的基础上，有限差分法简单且易 为人们接受，处理效力高。但应注意到( 1 ) 要使差分方程正确反映水 流的物理机制，如用中一t l , 格式来计算，只利用阶的连续性，在物理上 是不合适的。( 2 ) 控制微分方程表达了质量守恒与动量守恒的物理定 律，而差分方程有时有不平衡的守恒误差。( 3 ) f d m 不能用来正确计算 m 断解。( 4 ) 在二维情形，由于使用台劳级数展开，f d m 一般只用于矩 形网格或正交曲线网格。( 5 ) f d m 通常在计算与概化及数值计算解精度 方面，存在根本性的困难。 2 2 2 有限元法( f e m ) 自f e m 在固体力学中显出相对于f d m 的强大竞争力以后，从7 0 年代起丌始应用于计算水力学中。其原理是分单元对解逼近，使微分 方程空阳j 积分的加权残差极小化。由此建立f e m 方程组给出函数值解。 通常选择权函数和逼近用的形状函数相同，称为g a l e r k i nf e m 。显然， 当权函数在某一单元内恒等于一时，加权残差即为守恒误差。如果把 f e m 理解为在网格格点邻域内逼近解的话，f e m 就是在整个计算域上 的逼近。 f e m 用于水流计算问题时，对非恒定流每一时j 训步要求解一个大 型线性方程组( 标准f e m 是隐式的) ，耗机时多。同时，g a l e r k i nf e m 在数学上适于求解椭圆型方程的边值问题，不适于求解以对流为主的 输运问题，虽然后来提出了逆风、最小二乘、特征耗散的嗯嗯方法以 求解决，但结果均未能令人满意。又次，g a l e r k i nf e m 的性质类似中 心差分格式，缺乏足够耗散，不适于计算间断，要加上人工粘性。因 此，f e m 至今在流体计算中尚未得到广泛应用，仅限于低r e 数情形。 2 2 3 特征法( m o c ) l o c ( 孳卧奇形办称特征线法) 与f d m 的主要不同在于利用沿特征 成立的特征方程( 又称相容关系) ，而不是利用普通空间坐标种的原始 方程。特征方程反映了双曲线问题中信息沿特征线传播的性质，因而 算法符合水流的物理机制。如急流只受上而缓流同时受上下游流态影 郑州人学硕= = _ = 学位论文 响可通过沿特征向后去差分得以实现。因此，m o c 是一种更合理的逆 风格式，具有优良的精度。不足之处是，特征方程常常为非散度形式 ( 非q i 百- 形式) ，用差分法离散特征方程式会带来守恒误差。当水流沿 程变化较大( 如存在底坡) 时，非齐次项的计算较繁，且可能带来可 观的误差。m o c 也不能直接计算问断解，在间断点需采用拟合法使两 侧衔接起来。 2 2 4 有限体积法( f v m ) f v m 和f e m 一样将计算域化分成若干规则或不规则形状的单元或 控制体。在计算出通过每个控制体边界沿法项输入( 出) 的流量和动 量通亮后，对每个控制体分别进行水量和动量平衡计算，便得到计算 时段末各控制平衡水深和流速。因此，f v m 正是对于推导原始微分方程 所用控制体途径的回归，与f d m 和f e m 的数值逼近相比物理意义更直 接明晰。如跨边界通量的计算只使用时段抽值为显式f v m ：反之，当涉 及时段始末的值时，这为隐式f v m 。因为跨控制体间接口输运的通量， 对榴邻控制体来说大小相等，方向相反，故对整个计算域而言，沿所 有内部边界的通量相互抵消。对由一个或多个控制体组成的任意区域， 以至整个计算域，都严格满足物理守恒律，不存在守恒误差，并且能 够正确计算间断。设计f v m 格式的关键在于如何计算跨控制体接口的 通量。如果采用相邻控制体形心处通量的平均，便相当于中心格式。 此时，格子中心( c e c e n t e r ) 方式的f v m 在矩形网格上，相当于二 阶中心f d m 格式，格子定点式( e e l lv e r t i c w ) 格式的f v m 和线性三 角形及双线性四角形单元的g a l e r k i nf v m 等价。但如采用特征逆风格 式计算通量，f v m 便适于处理对流占优的输运问题，且在矩形网格上相 当于：于恒逆风f d m 格式。因此，f v m 能象f e m 一样适于任意的不规则网 格( 坐标用于预先计算网格几何特性而不影响通量算法) ，且着眼于控 制体上的逼近，具有守恒性，又能象m o c 格式一样具有以特征( 而非 流速) 为基础的逆风性。并且，在具有上述优良性能的同时，处理效 率与f d m 接近，而远高于f e m 。在此意义上可以说f v m 体现了f e m 的几 何灵活性，m o c 的精度和f d m 的效率和守恒性。 f v m 由i c d o n a l d 在1 9 7 1 年首次用来求解二维欧拉方程，1 9 7 2 年被 一 郑州入学硕士学位论文 p a t a m k a r 等用于s i m p l e 算法，计算恒定不可压缩流。当时的f v m 采用 交错网格，通量计算也相当于中心格式。1 9 7 7 年j a m e s o n 开始用于气 体计算，此后，随着无结构网格的普及和通量算法的改进，在f v m 的 实现上有很大的丰富和提高，在计算中广泛应用，十分成功。 本文后面就是采用有限体积法对锥阀消力紊动池场的控制方程进 行离散。 2 2 5 其它算法 除上述四类算法，还有边界元法；有限分析法；普法等。 边界元法( b e m ) 是将控制微分方程化为边界积分方程，再用有限 元的基本思想处理边界积分方程。其特点是在域内满足微分方程，而 在边界上只近似满足边界条件。其优点是将全域的计算化为区域边界 上的计算，计算维数减少一个，使方程简化：适于解奇异性问题：精 度一般高于有限元法。缺点是方程组的系数矩阵不对称并为满阵，有 时为近似的奇异阵，使求解方程组方法受到限制，计算机内存和计算 时间不能缩短且其需采用解析函数的基本解，目前只适用于线性问题， 以及基本解已知的问题。 有限分析法( f a m ) 是在有限元法的基础上的一种改进，其基本思 想是：在离散单元的解，不再用插值函数式来表达，而是方程局部线 性化后的解析解。具体是：首先将待求问题的总体区域划分为许多小 的子区域，在这些子区域中求局部解析解；然后从局部解析解导出 个代数方程，使子区域中的内结点值与相邻的结点联系起来：接着把 所有的局部解析解汇集起来，就得到所求问题的有限分析数值解。有 限分析法具有自动迎风性质，能准确模拟对流项，同时不存在数值扩 散现象，计算稳定性较好，收敛较快。普法主要用于气象预报中。 2 3 边界处理 实际水流问题都有边界存在，水流输运问题中常见的各种边界类型 有固体壁面、自由表面，也可是以无紊动的水流，例如射流或尾迹的 自山边界，轴对称水流或面对称水流。 壁面边界 郑州大学硕士学位论文 原则上，对于壁面边界，可以在固体壁面上规定无滑动边界条件， 即：时均流速和脉动速度的各个分量均为零，耗散率s 为一有限值。但 是，这样规定边界条件，就必须将微分方程对粘性底层积分，从而引 起两方面的麻烦：a ) 粘性底层中的速度梯度极为陡峻，为了得到理想 的解答，必须在粘性底层中布置极为细密的网格点，计算费用将很昂 贵；b ) 粘性底层中，粘性效应很重要，不能采用只使用与高雷诺数情 况的紊流模型。 通常解决的办法是在粘性底层的外边缘应用经验性的定律由壁面 处的导出边界条件。对于紊流，最常用的经验定律是壁面定律( l a wo f t h ew a 1 ) 。假定流速分布符合对数分布： 生：一1l n ( z ，e ) u 。k 、 。 式中u 。为平行于壁面的流 速，u 。为阻力速度， 1i ( 2 1 9 ) ， 巧= 学胍无因姗易z p 参。；寰歹， 量，z 。是到壁面的距离，k 为 图2 - 1 壁面边界处理 卡门( v a n k a r m a n ) 常数，取k = 0 4 2 。e 为表征糙率的参数，对水力光 滑壁面，取庐9 0 。 在壁面附近，紊动处于局部平衡状态，u 。“，的对流和扩散可以忽 略，即p = ，可得 女：竺，：笠( 2 2 0 ) c ，。k z ， 上式通常作7 , j 单方程模型和双方程模型中计算i c 、的边界条件。对光 滑壁面和粗糙壁面同样适用，因为糙率的影响已通过u 。反映在( 2 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 之中，而u 与粘性底层外流速的关系则由糙率参数f 确 郑州i 大学硕士学位论文 定。壁面上的流速为零。 自由边界 在自由边界上，速度和标量的数值应等于自由流的对应数值。通常 假设层外流完全不受紊动的影响，即一切紊动量，如紊动应力和紊动 通量的各个分量，j c 、占等，在自由边界上均取零值。 对称条件 在对称平面或对称线上，由于对称性，一些量的法向梯度必须为零， 如：所有的标量，平行与对称平面或对称线的速度分量，法向应力等。 同时，另一些量本身的数值必须为零，如：垂直与对称平面或对称线 的速度分量，标量通量，剪应力等。 自由表面 自由表面边界条件的提出比较复杂，因为自由表面上通常有风成剪 应力，还有与大气层的热交换，物理极值相当复杂。目前尚无准确且 综合性能好的边界条件可资选用，通常有两种处理方法。一种是使用 “刚盖”假定，即假定自由液面是一个可移动的固体壁面，其上的边 界条件同固体壁面的边界条件。“刚盖”假定适用于自由液面波动不大 的情况。第二种是文献 6 提出的一种处理自由液面的方法。假定水 深为x 的单值函数( 在三维情况下，为x ，y 的单值函数，自由液面 运动方程可以写成 婴j r “。娑= w ，( 2 2 1