（应用数学专业论文）关于树的广义randic指标极值问题.pdf

摘要 摘要 化学分子图的拓扑指标理论是组合化学的一个重要研究分支。计算化学家 通过大量的数据，用统计方法给出了分子的各种物理化学性质与它的指标值之 间的数量关系。1 9 7 5 年，著名化学家r a n d i 6 在研究分子结构时引入了( 分子) 图的一个重要的拓扑指标，且p r a n d j d 指标( 也称为连通性指标) 。这一重要的 拓扑指标与分子的物理化学性质( 如分子的沸点、表面积等) 有着极为密切的 关系，因而得到了化学家的特别重视。 对于r a n d i 6 指标的研究一开始只是在化学界很盛行，而不为数学家所重 视。对于r a n d i d 指标数学性质的研究主要开始于f a j t l o w i c z 利用“g r a f f i t i ”这 一计算机程序得到了关于r a n d i d 指标值和图的不变量之间关系的许多猜想。但 对于那些很难被证明或推翻的猜想，似乎大多数数学家并没有注意到其中所蕴 含的困难与乐趣。 1 9 9 8 年，b o l l o b 画s 和e r d 6 s 提出了广义l h n d i 6 指标 风( g ) = ：( d ( 珏) d ( ) ) a ， u v e e ( a ) 其中q 为任意实数，d ( u ) 为图g 中顶点u 的度数。这个关于r a n d i 6 指标的推广可 以视为研究r a n d i 6 指标数学性质的一个重要转折点，它使r a n d i 6 指标真正为数 学家所熟悉。越来越多的研究者开始深入探讨各种图类的( 广义) r a n d i d 指标 值，而不再仅局限于对化学图的研究。 近年来，对于广义r a n d i 6 指标的研究主要集中在以下问题：对于某些给定 的图类和口值，如何求出最大或者最小的广义r a n d i d 指标值? 如何刻画这些极 值所对应的极图? 本文主要研究某些特定树的广义r a n d i 6 指标的极值以及对应的极图刻画问 题。论文分为两部分，第一部分主要研究化学树的最小广义r a n d i 6 指标值问 题，第二部分主要研究一般树的最大或者最小广义r a n d i 6 指标值问题。 第一部分是第二章。我们主要运用归纳法和线性规划的方法来研究给定 顶点数和悬挂点数的化学树的最小广义r a n d i d 指标值。当口一1 时，我们得 到最小广义r a n d i 6 指标值的一个下界并举例说明这一下界是最好的。对于其它 情况，我们给出最小广义r a n d i 6 指标值并且完全刻画出达到这些极值的所有极 i 摘要 图。 本文的第二部分由第三章和第四章组成。在第三章中，我们考虑给定顶点 数和直径大小的树。对于0 q 0 时取到最大广义r a n d i d 指标值的极图的结构。最后，我们给出 当0 a 1 时的最大广义r a n d i d 指标值并证明对应的极图是唯一的。 关键词：( 广义) r a n d i d 指标，( 化学) 树，悬挂点，直径，匹配 i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h et h e o r yo ft o p o l o g i c a li n d i c e sc o n c e r n e dw i t hm o l e c u l a rg r a p h sp l a y s3 2 1 i m p o r t a n tr o l ei nc o m b i n a t o r i a lc h e m i s t r y t h et o p o l o g i c a li n d i c e sm a yb eu s e d d i r e c t l ya ss i m p l en u m e r i c a ld e s c r i p t o r si nac o m p a r i s o nw i t hp h y s i c a l ( e g ，b o i l - i n gp o i n t so fm o l e c u l e s ，s u r f a c ea r e a s ) a n dc h e m i c a lp a r a m e t e r so fm o l e c u l e s i n 19 7 5 ，r a n d i 6p r o p o s e da 3 2i m p o r t a n tt o p o l o g i c a li n d e x ，c a l l e dr a n d i 6i n d e x ( a l s o k n o w na st h ec o n n e c t i v i t yi n d e x ) ，o fam o l e c u l a rg r a p hi nh i sr e s e a r c ho nm o l e c - u l a rs t r u c t u r e s t h i si n d e xi sw e l lc o r r e l a t e dw i t hav a d e t yo fp h y s i c o c h e m i c a l p r o p e r t i e so fa l k a n e s ，s oi ta t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o no ft h ec h e m i s t s i ns p i t eo fi t sg r e a tp o p u l a r i t ya m o n gc h e m i s t sa n de a s i l yu n d e r s t a n d a b l e d e f i n i t i o n t h er a n d i di n d e xw a sd i s r e g a r d e db ym a t h e m a t i c i a n sf o ral o n gt i m e t h er e s e a r c ho nm a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e so ft h er a n d i di n d e xw a ss t i m u l a t e db ya s e r i e so ff a j t l o w i c z sp a p e r sd e s c r i b i n gc o n j e c t u r e so b t a i n e dw i t ht h ea u t o m a t e d s y s t e m “g r a f f i t i ”t h er e m a i n i n gc o n j e c t u r e s ，m a yh a r dt op r o v eo rd i s p r o v e ，a r e s u b m i t t e dt ot h em a t h e m a t i c a lc o m m u n i t y a tt h a tt i m e ，i ts e e m st h a tv e r yf e w m a t h e m a t i c i a n sr e c o g n i z e dh o wd i 毋c u l ta n dh o wi n t e r e s t i n ga r et h ep r o b l e m s e n c o u n t e r e di nt h et h e o r yo fl h n d i 6i n d e x i n1 9 9 8 ，b o l l o b 磊sa n de r d s sd e f i n e dt h ef o l l o w i n gi n d e x ( c a l l e dg e n e r a l r a n d i di n d e x ) 玩( g ) = ( 矗( 珏) 文仃) ) ， 锚v 6 e ( g ) w i t hs u m m a t i o ng o i n go v e ra l le d g e so ft h eg r a p hga n dqi sa na r b i t r a r yr e a l n u m b e r 。t h i sg e n e r a l i z a t i o nm a yb ev i e w e da sat u r n i n gp o i n ti nt h em a t h e m a t - i c a le x a m i n a t i o no fr a n d i 6i n d e x m o r ea n dm o r er e s e a r c h e r sb e g a nt os t u d y t h e ( g e n e r a l ) i ：h n d i 6i n d e xf o rd i f f e r e n tk i n d so fg r a p h s ( n o tj u s tf o rc h e m i c a l g r a p h s ) f r o mam a t h e m a t i c a lp o i n to fv i e w ，t h er e s e a r c ho nt h eg e n e r a lr a n d i 6i n d e x i nr e c e n ty e a r sm a i n l yf o c u s e so nt h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ：g i v e nac e r t a i nc l a s so f g r a p h sa n ds o m e 政e dr e a ln u m b e r 口，h o wt oc a l c u l a t et h em a x i m u m o rm i n i m u m g e n e r a lr a n d i di n d e x ? h o wt oc h a r a c t e r i z et h er e l a t e de x t r e m a lg r a p h s ? i i i a b s t r a c t t h em a i no b j e c t i v eo ft h i st h e s i si st oc o n s i d e rt h em a x i m u mo rm i n i m u m g e n e r a lr a u d i 6i n d e x f o rt r e e ss a t i s f y i n gc e r t a i nc o n d i t i o n sa n dc h a r a c t e r i z et h e c o r r e s p o n d i n ge x t r e m a lt r e e s t h et h e s i sh a st w op a r t s t h ef i r s to n em a i n l y c o n t r i b u t e st ot h em i n i m u mg e n e r a lr a n d i 6i n d e xf o rc h e m i c a lt r e e s ，w h i l et h e 8 e c o n do n ed e a l sw i t ht h em a x i m u mo rm i n i m u mg e n e r a lr a n d i 6i n d e xf o rt r e e s t h ef i r s tp a r ti sc h a p t e r2 w es t u d yt h em i n i m u mg e n e r a lr a n d i 6i n d e x f o rc h e m i c a lt r e e sw i t hag i v e no r d e ra n dn u m b e ro fp e n d e n tv e r t i c e s t h em a i n t e c h n i q u e sw eu s ea r ei n d u c t i o na n dh n e a rp r o g r a m m i n g f o rt h ec a s eq - 1 ， w eg e tal o w e rb o u n do ft h em i n i m u mg e n e r a lr a n d i 6i n d e xa n dw es h o wt h a to u r b o u n di sb e s tp o s s i b l e f o ro t h e rc a s e s ，w eo b t a i nt h em i n i m u mg e n e r a lp 治n d i 6 i n d e xa n dc h a r a c t e r i z et h ec o r r e s p o n d i n ge x t r e m a lt r e e s t h es e c o n dp a r tc o n s i s t so fc h a p t e r s3a n d4 i nc h a p t e r3 ，w ea r ei n t e r e s t e d i nt r e e sw i t hag i v e no r d e ra n dd i a m e t e r f o r0 q 0 f i n a l l y ，w eo b t a i nt h em a x i m u mg e n e r a lr a n d i 6i n d e x f o r0 口1a n dw es h o wt h a tt h ec o r r e s p o n d i n ge x t r e m a lt r e ei su n i q u e k e yw o r d s ：( g e n e r a l ) p t a n d i 6i n d e x ，( c h e m i c a l ) t r e e ，p e n d e n tv e r t e x ，d i a m e t e r ， m a t c h i n g a m ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) ：0 5 c 0 5 ，0 5 c 3 5 i v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：湃诞手 卅年6 月牛日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密l o 年( 最长1 0 年，可少于l o 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：诗落平 加号年占月c e l c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d 1 1 1 g r a p ht h e o r ya n dt o p o l o g i c a li n d i c e s i t i sw e l l - k n o w nt h a tm o s to ft h ei m p o r t a n ta d v a n c e si ng r a p ht h e o r ya r o s e a sar e s u l to ft h ea t t e m p tt os o l v ep a r t i c u l a rp r a c t i c a lp r o b l e m s i nc h e m i s t r y , i t s n a t u r a lt ou s eag r a p ht or e p r e s e n tam o l e c u l ew h e nt h eo n l yp r o p e r t yc o n s i d e r e d i st h ee x i s t e n c eo fc h e m i c a lb o n d s t h a ti st os a y , ag r a p hp r o v i d e sap i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o no ft h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fam o l e c u l e ，w i t hv e r t i c e sa n de d g e s c o r r e s p o n d i n gt oi n d i v i d u a la t o m sa n dt h ev a l e n c eb o n d sb e t w e e nt h ep a i r so f a t o m s ，r e s p e c t i v e l y w h i c hm e a n s ，w eo n l yc o n s i d e rt h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h e v a r i o u sp a i r so fa t o m si nt h em o l e c u l ea n dn e g l e c to t h e rs t m c t u r a lf e a t u r e s ( e g ， b o n dl e n g t h s ，b o n da n g l e s ) ，s ot h ec h e m i c a lg r a p h ss i l n p n f yt h ec o m p l e x p i c t u r e s o fm o l e c u l e s i fw ek n o wh o wt h ec a r b o na t o m sa r ea r r a n g e d ，t h e nt h em o l e c u l ei sd e - t e r m i n e dc o m p l e t e l y , s i n c eh y d r o g e na t o m sc a nb ea d d e ds u c ht h a tt h ev a l e n c e o fe a c hc a r b o na t o mi sf o u r c h e m i c a lg r 印h sd e p i c to n l ym o l e c u l a rs k e l e t o n s w i t h o u tc o n s i d e r i n gh y d r o g e na t o m sa n dt h e i rb o n d s h o w e v e r ，e v e ns os i m p l ea p i c t u r eo fam o l e c u l ea sag r a p hc a ne n a b l eo n et om a k eu s e f u lp r e d i c t i o n sa b o u t t h ep h y s i c a la n dc h e m i c a lp r o p e r t i e so fm o l e c u l e s a n dc h e m i c a lg r a p ht h e o r yi s d e v e l o p i n gr a p i d l y a t o p o l o g i c a li n d e xi sam a pf r o mt h es e to fc h e m i c a lg r a p h st ot h es e to f p o s i t i v er e a ln u m b e r s t h et o p o l o g i c a li n d i c e sm a yb eu s e dd i r e c t l ya ss i m p l en u m e r i c a ld e s c r i p t o r si nac o m p a r i s o nw i t hp h y s i c a l ，c h e m i c a l ，o rb i o l o g i c a lp a r a m - e t e r so fm o l e c u l e si nq u a n t i t a t i v es t r u c t u r e - p r o p e r t yr e l a t i o n s h i p s ( q s p r ) a n d i nq u a n t i t a t i v es t r u c t u r e - a c t i v i t yr e l a t i o n s h i p s ( q s a r ) b e c a u s ea t o p o l o g i c a li n - d e xi san u m e r i cq u a n t i t y , m a t h e m a t i c a l l yd e r i v e di na d i r e c ta n du n a m b i g u o u s m a n n e r ，f r o mt h es t r u c t u r a lg r a p ho fam o l e c u l e 。s ov a r i o u st o p o l o g i c a li n d i c e s h a v e b e e nw i d e l yu s e di ns t r u c t u r e - p r o p e r t y - a c t i v i t ys t u d i e s a m o n g t h en u m e r o u st o p o l o g i c a li n d i c e sc o n s i d e r e di nc h e m i c a l g r a p ht h e o r y , o n l yaf e wh a v eb e e nf o u n dn o t e w o r t h yi np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s h e r e ，w eo n l y l i s tt h r e eo ft h e m i n1 9 4 7 ，w i e n e r 5 2 】p r o p o s e dat o p o l o g i c a li n d e x ，t h a tm i g h tr e l a t es t r u c t u r e t op r o p e r t i e so fh y d r o c a r b o n s t h e p a t hn u m b e rt t ) ，a l s oc a l l e dw i e n e rn u m b e r ，i s d e f i n e da st h et o t a ln u m b e ro fe d g e s ( b o n d s ) b e t w e e na l lp a i r so fv e r t i c e s ( a t o m s ) i nt h eg r a p hg ，i e ， i v ( g ) = d a ( u ， ) ， t l ， ) w h e r e 如( v ) d e n o t e st h ed i s t a n c eb e t w e e nt | a n d 移，a n ds u m m a t i o ng o e so v e r a l lu n o r d e r e dp a i r so fv e r t i c e s ( a t o m s ) h o s o y a 【2 5 】h a si n t r o d u c e da ni n d e xt h a tb e a r saf o r m a lr e l a t i o n s h i pt ot h e c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo ft h et o p o l o g i c a lm a t r i x ，s o m e t i m e sr e f e r r e dt oa st h e a d j a c e n c ym a t r i xo ft h eg r a p h t h ei n d e xzi sas u mo ft h en o n - a d j a c e n c y n u m b e r sp ( 七) ： z = p ( 七) ，j w h e r ep ( k ) i sd e f i n e da st h en u m b e ro fw a y si nw h i c hke d g e s ( b o n d s ) m a yb e c h o s e ns ot h a tn ot w oo ft h e ma r ec o n n e c t e d r a n d i 6w a si n t e r e s t e di nt h eq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ed e g r e eo f b r a n c h i n g 4 6 】t h ec o n c e p to ft h ed e g r e eo fb r a n c h i n gi sq u i t en e b u l o u s ，w i t hn o a g r e e m e n to nc r i t e r i af o rq u a n t i t a t i o n a sr a n d i da s k s ，w h i c hi sm o r eb r a n c h e d ， 3 - m e t h y l h e x a n eo r3 - e t h y l p e n t a n e ? ad e f i n i t i v ea n s w e rc o u l dl e a dt oaq u a n t i - t a t i o no fs t r u c t u r er e l a t i n gt op h y s i c a lp r o p e r t i e s ，a n dh e n c eau s e f u lt o p o l o g i c a l 2 o注 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i n d e x t h er a n d i 6i n d e xi sd e f i n e da s r = r ( g ) = ( d ( u ) d ( ) ) 一i 1 ， u v 6 e ( g ) w h e r ed ( u ) d e n o t e st h ed e g r e eo fav e r t e x ( a t o m ) ui nt h em o l e c u l a rg r a p hg ， a n dt h es u m m a t i o ng o e so v e ra l le d g e s ( b o n d s ) o fg i nc h e m i s t r y , p e o p l ew a n tt of i n ds o m en e wm o l e c u l e sw i t hd e s i r e dp h y s i c - o c h e m i c a lp r o p e r t i e s ，s u c ha sb o i l i n gp o i n t s ，m o l e c u l a rv o l u m e sa n de l e c t r o n i c p o p u l a t i o n s a n dt h e s ep r o p e r t i e sc a nb eq u a n t i t a t i v e l yr e p r e s e n t e db ys o m e v a l u e so fac e r t a i ni n d e x s o ，t od e s i g nn e wm o l e c u l e sw i t hd e s i r e dp r o p e r t i e sc a n b eg u i d e db yf i n d i n gt h es t r u c t u r e so fm o l e c u l a rg r a p h sw i t hs o m eg i v e nv a l u e s o fac e r t a i ni n d e x i fw ea r eg i v e nav a l u eo fac e r t a i ni n d e x ，t h e nh o wt od e t e r m i n eh o wm a n y v e r t i c e s ( a t o m s ) a n de d g e s ( b o n d s ) o fam o l e c u l a rg r a p h w i t ht h eg i v e nv a l u eo f t h ei n d e xc a nh a v e ，a n df i n dt h el e a s ta n dt h em o s t ? t oc h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r e s o fg r a p l l sw i t hg i v e nv a l u eo ft h ei n d e x t h ea b o v ep r o b l e m sa r ec l o s e l yr e l a t e dt h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ：g i v e nt h e n u m b e ro fv e r t i c e sa n d ( o r ) t h en u m b e ro fe d g e s ，w h a ti st h em a x i m u mv a l u ea n d m i n i m u mv a l u eo fac e r t a i ni n d e x ? w h a ta r et h ec o r r e s p o n d i n gs t r u c t u r e s ? 1 1 2r a n d i di n d e xa n di t sa p p l i c a t i o n s i h er a n d i di n d e xr ，c o n c e i v e di n1 9 7 5b ym i l a nr a n d i 6 ，w h oh a ss h o w n t h i si n d e xt or e f l e c tm o l e c u l a rb r a n c h i n g i t sa l s or e f e r r e dt oa st h ec o n n e c t i v i 锣 i n d e xo rb r a n c h i n gi n d e xa n di sc e r t a i n l yt h em o l e c u l a r - g r a p h - b a s e ds t r u c t u r e - d e s c r i p t o rt h a tf o u n dt h em o s t n u m e r o u sa p p l i c a t i o n si no r g a n i cc h e m i s t r y , m e d i c - i n a lc h e m i s t r ya n dp h a r m a c o l o g y t h i si n d e x ，b a s e do i lt h ea p p r o a c h0 fw i e n e r ， h o s o y aa n do t h e r s ，r e p r e s e n t sa ne f f o r tt oa r r i v ea tt h ed e f i n i t i o no fas i n g l e p a r a m e t e rt od e s c r i b eb r a n c h i n ge f f e c t s u p o ne x a m i n a t i o no fal a r g e rs e to fd a t af o rt h er e l a t i o n s h i pw i t hs o l u b i l i t y , a m i d o na n da n i k 2 】h a v es h o w nt h a tt h ei n d e xd e s c r i b e db yr a n d i 6f o rh y d r o - c a r b o n sa p p e a r sal i t t l eb e t t e r ，a ss h o w ni nt a b l e1 as e c o n da d v a n t a g eo ft h e 3 4 o o n h _ 【西h _ 【 【no n o 1 h 【 _ 【_ 9 0 _ 【 一一o _ 【 寸一吲 o 寸 n 吲8 0 冀的o 宣-a墨t-ti苫d1宣p_ r a n d i 6i n d e xh e si nt h en a t u r eo fi t sf o r m u l a t i o n a l lo ft h eo t h e ri n d i c e sh a v e b e e nd e s i g n e df o rh y d r o c a r b o n sw i t hac o n s t a n td e g r e el i m i to ff o u rc o n n e c t i o n s f o re a c hv e r t e x ( a t o m ) i nt h eg r a p h o n l yf o rt h er a n d i 6i n d e xi st h ee d g e ( b o n d ) c o u n tw e i g h t e da c c o r d i n gt ot h ed e g r e eo fb r a n c h i n g r a n d i 4n o t i c e dt h a tt h e r ei sag o o dc o r r e l a t i o nb e t w e e nra n ds e v e r a l p h y s i c o c h e 血c a lp r o p e r t i e so fa l k a n e s ，h es h o w e dt h a ti fa l k a n e sg 风+ 2f o rf i x e d 礼a r e o r d e r e ds ot h a tt h e i rr - v a l u e sd e c r e a s e ，t h e nt h ee x t e n to ft h e i rb r a n c h i n gi n - c r e a s e s 4 6 1 h o w e v e r ，o t h e rb r a n c h i n gi n d i c e sw e r ea l s oc o n s i d e r e d ，i np a r t i c u l a r ， r 一1a n dr 1 ( s e e 【9 ，2 3 ，4 6 】) i ns p i t eo fi t sg r e a tp o p u l a r i t ya m o n gc h e m i s t sa n de a s i l yu n d e r s t a n d a b l e d e f i n i t i o n ，t h er a n d i 6i n d e xw a sf o ral o n gt i m ed i s r e g a r d e db ym a t h e m a t i c i a n s i ts e e m st h a ti nt h ef i r s tt w e n t yy e a r sa f t e rt h ep u b l i c a t i o no fr a n d i 6 sp a p e r 【4 6 v e r yf e wm a t h e m a t i c i a n sr e c o g n i z e dh o wd i f f i c u l ta n dh o wi n t e r e s t i n ga r et h e p r o b l e m se n c o u n t e r e di nt h et h e o r yo fr a n d i 6i n d e x a t u r n i n gp o i n ti nt h em a t h e m a t i c a le x a m i n a t i o no ft h er a n d i 6i n d e xh a p - p e n e di nl a t e r1 9 9 0 s ，w h e nas i g n i f i c a n tr e s e a r c ho nt h i sm a t t e rs t a r t e d e s p e c i a l l y t h ew o r k so fb o l l o b f i sa n de r d s s ( s e e 【1 2 ，1 3 】) ，t h e yp r o p o s e da g e n e r a l i z a t i o no f p m n d i 6i n d e x ，c a l l e dg e n e r a lr a n d i 6i n d e x 风= 凰( g ) = ( d ( 乱) d ( 可) ) 口， u t 1 w h e r eqi sar e a ln u m b e r ，a n d 咒( g ) i saw e l l - d e f i n e dq u a n t i t y s i n c et h e n ，t h em a t h e m a t i c a lw o r k e r sp a ym o r ea t t e n t i o nt ot h er e s e a r c ho f t h e ( g e n e r a l ) r a n d i 6i n d e x e v i d e n t l y ，t h er a n d i 6i n d e xi sas p e c i a lc a s eo ft h e g e n e r a lr a n d i 6i n d e xf o ra = 一互1 s om o r ea n dm o r ep e o p l es t a r t e dt of o c u s o i lt h eg e