2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版).doc

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合M1,0,1，Nx|x2x，则MN等于()A0 B0,1 C1,1 D1,0,12命题“若，则tan1”的逆否命题是()A若，则tan1 B若，则tan1C若tan1，则 D若tan1，则3某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()4设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心C若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg5已知双曲线C：的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A BC D6函数f(x)sinxcos(x)的值域为()A2,2 BC1,1 D7在ABC中，AB2，AC3，则BC等于()A B C D8已知两条直线l1：ym和l2：(m0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为()A B C D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 (一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.10不等式|2x1|2|x1|0的解集为_11如图，过点P的直线与O相交于A，B两点，若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_ (二)必做题(1216题)12已知复数z(3i)2(i为虚数单位)，则|z|_.13 的二项展开式中的常数项为_(用数字作答)14如果执行如图所示的程序框图，输入x1，n3，则输出的数S_.理图 文图15函数f(x)sin(x)的导函数yf(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点(1)若，点P的坐标为(0，)，则_；(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_16设N2n(nN*，n2)，将N个数x1，x2，xN依次放入编号为1,2，N的N个位置，得到排列P0x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1x1x3xN1x2x4xN，将此操作称为C变换将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2；当2in2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi1.例如，当N8时，P2x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置(1)当N16时，x7位于P2中的第_个位置；(2)当N2n(n8)时，x173位于P4中的第_个位置三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望； (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积19已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1,2，.(1)若a11，a25，且对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列20某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数)(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案21在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值22已知函数f(x)eaxx，其中a0.(1)若对一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，记直线AB的斜率为k.问：是否存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由1 B由Nx|x2x，得x2x0x(x1)0，解得0x1.又M1,0,1，MN0,12 C命题“若，则tan1”的逆否命题是“若tan1，则”3 D若为D项，则主视图如图所示，故不可能是D项4 DD项中，若该大学某女生身高为170 cm，则其体重约为：0.8517085.715879(kg)故D项不正确5 A由2c10，得c5，点P(2,1)在直线上，.又a2b225，a220，b25.故C的方程为.6 Bf(x)sinxcos(x)故选B项7 A，.又，.8 B由题意作出如下的示意图由图知a|xAxC|，b|xDxB|，又xAxB1，xCxD1，.yAyClog2xAlog2xClog2xAxC，当且仅当，即时取等号由log2xAxC，得log2xAxC，即0xAxC从而，当时，取得最小值，故选B项9答案：解析：C1：C1的方程为2xy30.C2：C2的方程为.C1与C2有一个公共点在x轴上，且a0，C1与x轴的交点(，0)在C2上，代入解得.10答案：x|x解析：对于不等式|2x1|2|x1|0，分三种情况讨论：1，当时，2x12(x1)0，即30，故x不存在；2，当时，2x12(x1)0，即；3，当x1时，2x12(x1)0,30，故x1.综上可知，不等式的解集是11答案：解析：过P作圆的切线PC切圆于C点，连结OCPC2=PAPB=13=3，.在RtPOC中，.12答案：10解析：z(3i)2，|z|321210.13答案：160解析：的通项为(1)r26rx3r.当3r0时，r3.故(1)326323160.14答案：4解析：输入x1，n3.i312，S6(1)213；i211，S(3)(1)115；i110，S5(1)014；i011，10，输出S4.15答案：(1)3(2)f(x)sin(x)，f(x)cos(x)解析：(1)时，f(x)cos(x)，即，3.(2)当x时，；当x时，.由几何概型可知，该点在ABC内的概率为.16答案：(1)6(2)32n411解析：(1)由题意知，当N16时，P0x1x2x3x4x5x16，P1x1x3x5x15x2x4x16，则P2x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，此时x7位于P2中的第6个位置(2)方法同(1)，归纳推理知x173位于P4中的第32n411个位置17解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本将频率视为概率得，.X的分布列为X11.522.53PX的数学期望为. (2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21).故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.18解：解法一：(1)如图所示，连接AC由AB=4，BC=3，ABC=90得AC=5.又AD=5，E是CD的中点，所以CDAE.因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于点F，G，连结PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角由题意PBABPF，因为sinPBA，sinBPF，所以PABF.由DABABC90知，ADBC又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形故GDBC3，于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以，.于是PABF.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为.解法二：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以CDAE，CDAP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)又(4,0，h)，故.解得.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为.19解：(1)对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)A(n)C(n)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故数列an 是首项为1，公差为4的等差数列于是an1(n1)44n3.(2)必要性：若数列an是公比为q的等比数列，则对任意nN*，有an1anq.由an0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是，即.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列充分性：若对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1)，即a2qa1，从而an2qan10.因为an0，所以.故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列20解：(1)设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有，其中x，kx,200(1k)x均为1到200之间的正整数(2)完成订单任务的时间为f(x)maxT1(x)，T2(x)，T3(x)，其定义域为x|0x，xN*易知，T1(x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数注意到T2(x)T1(x)，于是当k2时，T1(x)T2(x)，此时f(x)maxT1(x)，T3(x)max由函数T1(x)，T3(x)的单调性知，当时f(x)取得最小值，解得.由于，而f(44)T1(44)，f(45)T3(45)，f(44)f(45)故当x44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44).当k2时，T1(x)T2(x)，由于k为正整数，故k3，此时.记，(x)maxT1(x)，T(x)，易知T(x)是增函数，则f(x)maxT1(x)，T3(x)maxT1(x)，T(x)(x)max由函数T1(x)，T(x)的单调性知，当时(x)取最小值，解得.由于，而(36)T1(36)，(37)T(37).此时完成订单任务的最短时间大于.当k2时，T1(x)T2(x)，由于k为正整数，故k1，此时f(x)maxT2(x)，T3(x)max由函数T2(x)，T3(x)的单调性知，当时f(x)取最小值，解得，类似的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于.综上所述，当k2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44,88,68.21解：(1)方法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以.化简得曲线C1的方程为y220x.方法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆C2圆心(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是.整理得72k218y0ky0290.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根故.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A