（应用数学专业论文）具暂时免疫力及不同感染机会的传染病模型研究.pdf

s t u d yo ne p i d e m i cm o d e l sw i t hi m p e r m a n e n ti m m u n i t y a n dd i f f e r e n ti n f e c t e dc h a n c et ot h ed i s e a s e l u oa n n a b e ( h u n a nn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 0 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l h u n a n u n i v e r s i t y s u p e r v i s o r a s s o c i a t ep r o f e s s o ry u a nz h a o h u i m a y , 2 0 1 0 舢47呲 9 舢1删y 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 储繇罗泖嗍p 年7 月7 学位论文版权使用授权书 日 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密叼。 ( 请在以上相应方框内打“ 一) 作者签名： 导师签名： 日期：p 年7 月7 日 日期。五加年7 月) 日 i 硕士学位论文 摘要 本学位论文分别研究了个体对疾病的非永久性免疫力和易感者对疾病的感染 机会的差异性对传染病动力学行为的影响进入恢复类的患者可在患病过程中产生 自然免疫力及对易感者进行接种而获得人为免疫力假设恢复者所获得免疫力并 非永久的而是在一定时间后会丧失掉在假设这两种免疫力的有效期为固定正常数 的基础上，我们建立相应的数学模型同时，根据易感者对传染病的感染机会的差 异性也建立相应的传染病动力学模型利用微分方程的基本理论与数值仿真方法， 对这些模型的动力学性质进行分析，得到无病平衡点和地方病平衡点的稳定性及 一致持久性的条件 本论文共由四章组成 第一章主要介绍了传染病动力学研究的背景、意义及进展情况，并简单地介绍 本文的主要工作 在第二章中，考虑恢复类因病所获得的免疫力为某一固定正常数的情形，建立 相应的s e i r s 传染病模型，得到无病平衡点全局稳定的阈值条件和系统一致持久 的充分条件，并给出了系统的数值仿真分析 在第三章中，对易感者经接种而获得暂时免疫力的情形建立相应的s e i r s 传 染病模型，并对模型的无病平衡点、地方病平衡点的稳定性进行研究，得到描绘无 病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定的阈值条件 第四章主要根据易感者感染机会的不同把易感类分成不同的组而建立相应的 数学模型，通过对模型的分析，得到无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定的阈 值条件 关键词：稳定性；持久性；l y a p u n o v 函数；l a s a l l e 不变原理；免疫力 硕士学位论文 a b s t r a c t t h ef o c u so ft h i st h e s i si st os t u d yt h ee p i d e m i o l o g i c a ld y n a m i c sr e l a t e dt 0 t h ea c q u i r e di m p e r m a n e n ti m m u n i t yo ft h ei n d i v i d u a la n dt h ed i f f e r e n ti n f e c t e d c h a n c et ot h ed i s e a s eo ft h ec l a s so ft h es u s c e p t i b l e ，r e s p e c t i v e l y w ea s s u m et h e a c q u i r ei m p e r m a n e n ti m m u n i t yo ft h er e m o v e di sar e s u l tf r o mt h ei m m u n es y s t e m f i g h t sw i t ht h ed i s e a s ea n dv a c c i n a t i o n f o rt h ec a s eo ft h ef i x e de f f e c t i v ep e r i o d s o ft w ok n do fm u n u u i t y , w ee s t a b l i s ht w or e l e v a n tm a t h e m a t i c a lm o d e l s a l s o ， am a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt h ec a s eo ft h es u s c e p t i b l ei n d i v i d u a l sh a v i n gd i f f e r e n t i n f e c t e dc h a n c et ot h ed i s e a s ei se s t a b l i s h e d u s i n gt h eb a s i ct h e o r ya n ds i m u l a t i o n o ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w es t u d yt h ed y n a m i c sa n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s e n s u r i n gt h es t a b i l i t yo ft h ed i s e a s ef r e ee q u i l i b r i u m ，t h ee n d e m i ce q u i l i b r i u ma s w e l la st h eu n i f o r m l yp e r s i s t e n c ea r eo b t a i n e d t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a t i o na n de v o l v i n go fe p i d e m i o - l o g i c a ld y n a m i c sa r eb r i e f l yr e v i e w e d f u r t h e r m o r e ，w es i m p l yi n t r o d u c et h em a i n w o r ki nt h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ec a s eo ft h ef i x e de f f e c t i v ep e r i o do f a c q u i r e di m m u n i t yd u et od i s e a s e a ns e i r se p i d e m i cm o d e li se s t a b l i s h e d t h e t h r e s h o l dv a l u ec o n d i t i o n se n s u r i n gt h es 乞a b i l i 锣o ft h ed i s e a s ef r e ee q u i l i b r i u m ，t h e e n d e m i ce q u i l i b r i u ma sw e l la st h eu n i f o r m l yp e r s i s t e n c ea r eo b t a i n e d a l s o ，s o m e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ep r o v i d e dt o 滥mo u ra n a l y t i cr e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ec a s eo ft h ec l a s so ft h es u s c e p t i b l eo b t a i n i n gat e m - p o r a r yi m m u n i t y b yv a c c i n a t i o ni sc o n s i d e r e da n da r e l a t e ds e 浴e p i d e m i cm o d e l i se s t a b l i s h e d w ea n a l y z et h es t a b i l i t yo ft h ed i s e a s ef r e ee q u i l i b r i u ma n dt h e e n d e m i ce q u i l i b r i u ma n dt h r e s h o l dv a l u ec o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h e d i s e a s ee q u i l i b r i u ma n dt h ee n d e m i ce q u i l i b r i u ma r eo b t a i n e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，t h ec l a s so ft h es u s c e p t i b l ei sd i v i d e di n t od i f f e r e n t g r o u p sa c c o r d i n gt h ed i f f e r e n c eo ft h ei n f e c t e dc h a n c et ot h ed i s e a s ea n da r e h t e d m a t h e m a t i c a lm o d e li se s t a b l i s h e d b yt h es t u d yo ft h em o d e l ，w eo b t a i nt h e t h r e s h o l dv a l u ec o n d i t i o n se n s u r i n gt h es t a b i l i t yo ft h ed i s e a s ef r e ee q u i l i b r i u ma n d t h ee n d e m i ce q u i l i b r i u m k e yw o r d s ：s t a b i l i t y ；p e r s i s t e n c e ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；l a s a l l ei n v a r i a n e e p r i n c i p l e ；i m m u n i t y i i i 硕士学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 i 研究背景及意义1 1 2 传染病动力学模型的研究进展2 1 3 传染病动力学模型的基本形成与基本再生数3 1 4 本文的主要工作6 第2 章一类s e i r s 模型的动力学行为分析8 2 1 引言8 2 2 模型的建立8 2 3 解的非负性与有界性9 2 4 平衡点和基本再生数1 1 2 5 稳定性与持久性1 1 2 6 数值仿真1 7 第3 章接种有效期为有限时间的s e i r s 模型的动力学行为分析1 9 3 1 引言1 9 3 2 模型的建立1 9 3 3 解得非负性与有界性2 0 3 4 平衡点与基本再生数2 0 3 5 稳定性2 l 第4 章疾病在多个易感群体中传播的d & b i - a 模型研究2 8 4 1 引言2 8 4 2 模型描述及预备知识2 8 4 3 主要结果3 0 结论3 4 参考文献3 6 致谢4 0 附录( 攻读学位期间所完成的学术论文目录) 4 l 硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 传染病是严重危害人类健康的一类疾病历史上传染病的每次流行都给人类 带来了巨大的灾难使人闻之色变的鼠疫( 又称黑死病) 曾在人类历史上有数次毁 灭性的大流行文【1 】1 中描述了瘟疫曾在西罗马帝国的数次大流行，瘟疫高峰期每 日造成的死亡人数高达万余人，许多城市整个被毁掉公元6 世纪查士丁尼统治 的东罗马帝国，鼠疫持续的时间长达5 2 年之久，仅君士坦丁堡，在3 个月的时间 内，每天要死去5 0 0 0 人，后来更增加到1 万人十四世纪鼠疫再度猖獗，欧亚两 大洲均不能幸免1 3 4 8 年鼠疫肆虐时，佛罗伦萨、威尼斯、伦敦的死亡人数均在十 万以上，据估计欧洲因这次鼠疫死亡的人数占当时人口的1 4 一i 2 历史资料显 示我国元末曾大疫频发，有学者认为当为鼠疫流行，瘟疫的流行无疑加速了元朝的 灭亡1 9 世纪后半叶，鼠疫再度在世界流行据文【2 1 描述，1 8 9 4 年我国粤港、云 南、福建地区爆发鼠疫，广州为重灾区，由于缺乏对鼠疫的认识，又无专门的防疫 部门，没有明确的目标和有组织的防治措施，估计广州死亡人数达十万之众天花 是历史上另一种对人类造成极大危害的烈性传染病，一旦染上此病会出现突然寒 战、高热、头痛、四肢和腰背酸痛、高度乏力等严重的全身中毒症状，继之循序成 批出现斑疹、丘疹、疱疹、脓疱等皮疹，病死率高，幸存者的面部常常遗留瘢痕公 元三世纪和公元四世纪天花曾在罗马帝国大规模流行在1 8 世纪欧洲大陆曾流行 多种传染病，其中以天花的危害尤甚欧洲殖民者还把天花带到新大陆，给生活在 那里的印第安土著带来毁灭性打击 一直以来，人类与各种传染病进行了坚持不懈的斗争，尤其是2 0 世纪在传染 病的治疗方面取得了划时代的进步，化学疗法的发明，特别是抗生素的应用开创了 传染病治疗的里程碑，取得了辉煌的成果，使许多传染病得到了有效控制肆虐了 近千年的天花已被消灭；椎髓灰质炎、麻风病被彻底消灭的日子也指日可待；破伤 风、百日咳、麻疹、白喉等流行病在许多国家得到了遏制；鼠疫在人间的流行已在 世界范围内得到了有效控制，现在鼠疫已非常罕见1 9 6 0 年以来我国每年仅发生 1 1 2 例由于人类在预防和控制传染病方面取得的巨大进展，2 0 世纪7 0 年代 起，在许多国家传染病这个人类的第一杀手已让位于心脑血管、肿瘤等其它疾病 然而，各种新的传染病不断出现，艾滋病、军团病、莱姆病、疟疾等时刻提示我们 传染病仍威胁着人类2 0 0 3 年爆发的非典型肺炎和2 0 0 9 年甲型h i n l 流感在全 球的流行更为我们敲响了警钟，告诉我们人类要征服传染病，道路仍然曲折漫长 据世界卫生组织( w h o ) 发表的2 0 0 9 年报告f 3 1 表明，目前全球有近一半的人仍 然面临疟疾的威胁，2 0 0 8 年全球共有2 4 3 亿例疟疾发生，2 0 0 8 年因疟疾而死亡的 一1 一 具暂时免疫力及不同感染机会的传染病模型研究 人数达8 6 3 万人，其中重灾区非洲死亡人数达7 6 7 万人鼠疫的自然疫源并未缩 小，除澳洲外各大洲均有分布，目前仍然不能排除局部地区暴发的可能性据中国 卫生部2 0 1 0 卫生统计提要【4 1 显示，2 0 0 9 年全国报告2 8 种法定传染病共3 4 9 9 5 8 2 病例，死亡1 4 8 5 1 人，在全世界流行的甲型h i n i 流感2 0 0 9 年在中国造成1 2 1 8 4 3 例感染病例，死亡6 5 4 例 目前，对传染病的研究方法与手段多种多样( 见文【5 ，6 ，7 ，8 ，9 】) 动力学的方 法是通过对传染病的传染特性进行研究，建立合理的动力学数学模型，然后利用现 代数学手段对模型的动力学性质进行定性、定量分析和数值仿真，从而显示疾病的 发展，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析疾病流行的原因和关键因素 为人们寻求传染病预防和控制的最优策略，找到预防传染病的合理决策提供理论 和数量依据这种对传染病研究的动力学方法与传统的统计方法相比，更能从疾病 的传播机理方面来反映流行规律，使人们了解流行过程中的全部情形，从而人们对 传染病流行规律的认识更加深入、更加全面，使所建立的理论与预防策略更加可靠 和符合实际 1 2 传染病动力学模型的研究进展 最早研究传染病动力学模型的学者当属d a n i e lb e r n o u l l i ，1 7 6 0 年他在研究 天花传播的规律时建立了相应的动力学模型公共卫生医生r o s s 博士于1 9 1 1 年 利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究，结果表 明：如果将蚊虫的数量减少到一个临界值以下，那么疟疾的流行将会得到控制这 项研究使r o s s 第二次获得了n o b e l 医学奖k e r m a c k 与m c k e n d r i c k 为了研究 1 6 6 5 - 1 6 6 6 年期间黑死病在伦敦的流行规律，在文【1 0 1 中构造了著名的s i r 仓室 模型，又在文f 1 1 1 中于1 9 3 2 年提出了s i s 仓室模型，并在分析模型的基础上提出 了区分疾病流行与否的“阈值理论”，为传染病动力学的研究奠定了基础 在二十世纪中叶，传染病动力学的建模与研究得到了蓬勃发展，b a i l e y 于1 9 5 7 年出版、1 9 7 5 年再版的专著【5 】是其中的标志性著作优化控制的方法也常被用于 传染病动力学的研究1 9 7 3 年h e t h c o t e 与w a i t m a n 在文 1 2 】中用动力学方法研 究了控制疾病流行花费最少的最优接种策略1 9 7 8 年l o n g i n i 等在文【1 3 】中对香港 和亚洲的流感在有限接种资源情况下确定了接种的最佳年龄和社会群体1 9 8 8 年 h e t h c o t e 在文【1 4 1 中找到了三个地理区域对麻疹接种的最佳年龄文【1 5 ，1 6 ，1 7 】 通过建立数学模型的方法对传染病传播规律进行了研究对于2 0 0 3 年发生的s a r s 疫情，国内外学者建立了大量的动力学模型，如文【1 8 】构建了8 a r s 传播的系统 动力学模型，以越南的数据为参考，进行了m o n t ec a r l o 实验，初步结果表明，感 染率及其随时间的变化是影响s a r s 传播的最重要因素，文【1 9 1 建立了可定量评 一2 一 硕士学位论文 价s a r s 干预措施效果的传播动力学模型，并对北京的数据进行了较好的拟合， 文f 2 0 】建立的模型与卫生部公布的数据非常吻合文【2 1 】研究了隔离预防措施对 s a r s 传播的影响 在国际上，传染病动力学的研究近年来得到了迅速发展，大量的数学模型被 用于分析各种各样的传染病问题这些数学模型不但适用于各种传染病的一般规 律的研究，而且也有部分是针对诸如流感、肺结核、疟疾、天花、麻疹、登革热和 丝虫病等具体疾病的规律的研究从传染病的传播机理来看，这些模型涉及接触传 染、媒介传染、垂直传染等不同传染方式从模型的数学结构来看，主要有：差分 方程形式的模型，如1 2 2 】；常微分方程组形式的传染病模型，如文1 2 3 _ 3 0 1 ；一阶偏 微分方程组形式的年龄结构模型，如文f 3 1 】；扩散项的二阶偏微分方程组模型，如 文【3 2 1 ；考虑滞后因素的时滞微分积分方程组模型，如文 3 3 - 3 9 传染病防制优化 模型是满足一些方程组的泛函极值问题按照疾病的种类和种群、环境的不同，及 出生、死亡、传播、患病、治愈等规律的不同，又可将模型分为线性、非线性、自 治、非自治等类型在模型的理论研究方面，主要是讨论模型的解的适定性，疾病 是否能持续生存，平衡位置特别是导致地方病的平衡位置，模型的周期解的存在性 和稳定性，再生数以及分歧点的寻找等动力学性态目前国内外传染病动力学研究 中占主导地位的方法是沿用1 9 9 1 年a n d e r s o n 和m a y 在文【6 1 中所建立的经典性 方法，通过建立常微分方程组进行研究另外一类模型为随机模型，可以在相应常 微分方程的基础上增加随机考虑或利用m a r k o v 链进行m o n t ec a r l o 模拟 1 3 传染病动力学模型的基本形式与基本再生数 在传染病的动力学研究中，通常采用的是k e r m a c k 和m c k e n d r i c k 于1 9 2 7 年提出的。仓室”建模方法，我们简称用这种方法建立的模型为k m 模型( 见文 【1 0 ，1 1 】) 所谓的s i r 模型就是k m 模型，这种模型的建立基于以下三个基本假 设 假设a ：假设所研究地区的人口总数是常数，不因时间的变化而改变 我们把所研究地区的人口分为三类： s 类易感者( s u s c e p t i b l e ) 类，即在这一地区内所有未染病的人的全体，这一 类人若与染病者作有效接触，就容易受传染而得病 i 类染病者( i n f e c t i v e ) 类，即在这一地区内已染上传染病而且仍在发病期的 人的全体，这一类人若与易感者类的人作有效接触，就容易把疾病传染给易感者 r 类移除者( r e m o v e d ) 类或恢复类或移出类，即表示在这一地区内因为染病 而死亡或病愈后有免疫能力的人的全体这一类人不再受染病者的传染而重新得 病，也不会把疾病传染给易感者 一3 一 具暂时免疫力及不同感染机会的传染病模型研究 我们以s ( 亡) ，l ( t ) 和r ( t ) 分别代表在时刻t 时s 类、i 类和r 类中的人数， 这样根据假设a 可知 s ( t ) + i ( t ) + a ( t ) = n = c o n s t 假设b ：设发生率为双线性发生率，或称为简单质量作用率，即假设易感者由 于受传染病的影响，其人数随时间而变化的变化率与当前易感者的人数和当前染 病者的人数之积成正比 假设c ：设从染病者类转到移出类的速度与当前染病者类的人数成正比 由以上三个基本假设下，易感者从患病到恢复的过程可用框图1 1 来描述 图1 is i r 模型的框图 e 儿 q 1 ， 岛唧 一弘1 吲卜= 。 硕士学位论文 的唯一正解 从上述结论可以看出：如果记= 譬，即= 学，则当 1 时，疾病流 行：当 0 ， 卢 0 为处于潜伏期的感染者的移出系数，y 0 为处于感染期的h i v 感染者的移 出率系数( 即王i 】感染群体转化为艾滋病群体的比率) ，6 p 为自然死亡率系数 与艾滋病患者死亡率系数之和，第i 类h i v 易感群体感染h 的发生率为& j ， 其中啦0 反映了群体鼠中成员的有效接触率和易感的程度 本学位论文将利用稳定性理论对模型( 1 4 ) - ( 1 6 ) 的无病平衡点、地方病平衡 点的稳定性及模型的持久性进行研究，得到传染病最终消亡与否的阈值条件 一7 一 具暂时免疫力及不同感染机会的传染病模型研究 第2 章一类s e i r s 模型的动力学行为分析 2 1 引言 对许多传染病而言，患者自患病群体转入恢复类后，往往能获得对传染病的免 疫力，但对某些传染病( 如普通流感) 来说，这种免疫力并不是永久的，而是在一 定时间后，疾病恢复者将丧失对这种传染病的免疫力，从而重新从恢复者变为易感 者因此，文【4 0 】研究了一类疫苗接种的有效期为常数的s i r 传染病动力学模型 但文【如】并没有考虑疾病的潜伏期这一因素本章假设患病者获得的自然免疫力 的期限为一固定的常数，即假设患者转入恢复类以后，恢复者对传染病具有固定 的免疫期，在经典的s e i r 传染病模型的基础上，建立相应的s e i r s 传染病模型， 并对模型的无病平衡点、地方病平衡点的稳定性及模型的持久性进行研究 2 2 模型的建立 设s ( t ) 表示t 时刻易感者的数目，e ( t ) 表示t 时刻处于潜伏期的人口数 目，i ( t ) 表示t 时刻患病者的数目，r ( t ) 表示t 时刻恢复者的数目假设总人口的 输入率( 包括出生) 为常数a 0 ，且均为易感者，采用双线性发生率，易感者与感 染者的接触系数为p 0 ，自然死亡率系数为d 0 ，因病死亡率系数为口0 ，表 示自处于潜伏期的群体变为真正的感染者的患病率系数为p 0 ，恢复率系数为 ，y 0 ，假设平均免疫期为r 0 ，由于自然死亡率d 的存在，假设感染者到t 时刻 失去免疫力而成为易感者的概率为e - d r ，从而感染者在t 时刻由于免疫力的丧失 而成为易感者的数目为叩一打， 一丁) ，可用框图2 1 来描述这样我们可以建立相 t 盼1 ) 呻 图2 1 模型( 2 1 ) 的框图 一8 一 硕士学位论文 应的s e i r s 模型 ( t ) = a d s ( t ) 一z s ( t ) x c t ) + t e a 7 x ( t 一丁) ， e 7 ( t ) = z s ( t ) x ( t ) 一( d + p ) e ( t ) ， j ( t ) = 弘e ( 亡) 一( d + o t + ，y ) j ( t ) ， 冗( t ) = 正r7 l ( u ) e d ( 扣u ) d u t 0 ( 2 1 ) 显然，系统( 2 1 ) 为时滞微分方程组，考虑到模型的生物意义，系统( 2 1 ) 的初始 条件由下列形式给出 s ( o ) = 妒1 ( 口) ，e ( o ) = q 沈( 口) ，j ) = 妒3 ( p ) ，r c o ) = ( p ) ，0 卜7 - ，0 】， 其中妒= ( 妒l ( 口) ，仇( 9 ) ，( p ) ，钆( p ) ) t 的各分量协( p ) 0 ( 0 卜丁，o 】，i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 2 3 解的非负性与有界性 由于系统( 2 1 ) 的解中各分量分别表示易感者群体、处于潜伏期群体、患病群 体及恢复群体的成员数目，从生物意义来说，各不同群体的成员数目不可能为负， 因此，我们很自然地希望：对于给定的非负初始函数，系统( 2 1 ) 的解亦为非负另 一方面，从生物意义来说，对于现实的传染病而言，处于各不同群体的成员数目应 该是有限的，因此我们亦希望系统( 2 1 ) 的解是有界的基于这个原因，在本节中， 我们将讨论系统( 2 1 ) 的解的非负性和有界性 引理2 3 1 对任意给定的初始条件，系统仁砂的解是非负的 证明若能证明j ( 亡) 0 对t - - t 成立，由( 2 1 ) 最后的方程可知自然就有 r ( t ) 0 对t 0 成立记 l ( t ) = m i n s ( t ) ，e ( t ) ，( d ，冗( t ) ) ，t 0 下面用反证法证明l c t ) 0 对任何t 0 成立反设存在某个t 0 ，使得 l ( t ) = 0 ，右导数d + l ( t + ) o ， 这与s ) = 0 相矛盾 情形2 - l ( t ) = e ( t 。) = 0 ，f ( 扩) f ( t ) = 卢s ( 矿) j ( 扩) 一( d + p ) e ( 矿) = 卢s ( 矿) ，( 矿) 0 ， 矛盾 情形3 - l ( t 。) = i ( t ) = o ，( 扩) 0 类似于情形2 可得矛盾 情形4 - l ( t ) = r ( t ) = 0 ，尉( 扩) 0 ，a 3 0 和a l a 2 一a 3 0 注意到 0 这说明当丁= 0 时( 2 5 ) 的零点都 具有负实部 下面我们利用反证法证明：对任意的7 0 ，方程( 2 5 ) 的任意零点入( 丁) = 叩( 下) + w o - ) 的实部, 7 0 - ) 为负 反设存在某个匍0 使得，7 ( 丁0 ) 0 ，由于a ( 7 - ) 关于丁连续，因此存在 7 【0 ，词使得a ( r ) = w 是( 2 5 ) 的零点，其中u 0 把a = w 代入( 2 5 ) ，分 离实部和虚部得 - ( 3 d + p + q + ，y + 卢j ) 铲+ 卢，( d + p ) 似+ 口+ ，y ) = 7 p f l i + e d rc o s w t ， 一u 3 + ( d + 3 1 ) ( 2 d + p + 口+ ，y ) u = 一，y 筇，e - d r s i n w r 上述两式两边平方再分别相加得 其中， q i ( i ) q 2 ( i 。) 及 6 + q i ( i ) u 4 + q 2 ( i 。) u 2 + q 3 ( i ) = 0 ，( 2 6 ) ( 3 d + p + a + ，y + 卢j ) 2 2 【( d + 卢r ) ( d + p ) + ( d + 声，。) 似+ 口+ 们+ ( d + p ) ( d + q + 7 ) 一筇s 】 5 d 2 + 矿+ q 2 + 铲+ 4 d ( q + 弘+ ，y ) + 2 ( q p + ，y p + 唧) + 俨j 2 + 2 f l d i 。， 【似+ p j ) ( d + p ) + ( d + p ，) + 口+ ，y ) + ( d + p ) ( d + q + ，y ) 一u # s 。】2 2 卢j ( 3 d + p + 口+ 7 + 声，) ( d + p ) ( d + 口+ 们 【( d + o t + ，y ) 2 + ( d + p ) 2 】( p ，。+ 田2 - 2 ( d + o ( d + 口+ ，y ) + p + q + ，y ) ( 卢，+ 田 + 2 d ( 2 d + p + q + 一y ) ( d + p ) ( d + q + 一y ) ， q 3 ( i 。) = 卢2 i 2 【( d + 弘) 2 ( d + q + ，y ) 2 一p 2 ，y 2 e 一盟7 】 一1 3 具暂时免疫力及不同感染机会的传染病模型研究 注意到 0 ， 因此，对i 。 0 ，我们有 同时 q a ( i 。) q 3 ( o ) = 0 ， ( 2 7 ) q 1 ( j 。) q 1 ( o ) = 5 d 2 + 矿+ 舻+ f + 4 d ( q + p + ，y ) + 2 ( q p + 一y p + q ，y ) 0 ( 2 8 ) 利用基本不等式妒+ 圹2 x y 得 q 2 ( ，) = 【( d + a + ，y ) 2 + 似+ p ) 2 1 ( 卢j r 。+ d ) 2 2 ( d + ，上) ( d + o l + ，y ) ( d + p + q + ，y ) ( p j + d ) + 2 d ( 2 d + p + 口+ ，y ) ( d + p ) ( d + a + 一y ) 一 ：【( d + 口+ 7 ) 2 + ( d + p ) 2 】p r + d 一垒生三气￥睾 差 专乒弩兰铲】2 ( d + p ) 2 ( d + q + 7 ) 2 ( d + p + q 十，y ) 2 ( d + q + - y ) 2 + ( d + p ) 2 + 2 d ( 2 d + 肛+ q + 一y ) ( d + p ) ( d + 口+ 7 ) 、( d + p ) 2 ( d + q + 7 ) 2 ( d + p + q 二竖 二 ( d + a + ，y ) 2 + ( d + p ) 2 + 2 d ( 2 d + p + q + ，y ) ( d + p ) ( d + 口+ 一y ) ( d + p ) 2 ( d + a + 7 ) 2 ：( ：d + i t _ + a + 7 ) 一2 2 ( d + q + ，y ) 【d + p ) + 2 d ( 2 d + 肛+ q + 7 ) ( d + p ) ( d + 口+ ，y ) = 去( d + p ) ( d + 口+ 7 ) 【7 d 2 + 2 ( p + a + 7 ) d 一( p + a + 一y ) 2 】， 因此，由条件d 型产似+ 口+ ，y ) 得 q 2 ( j ) 0 ( 2 9 ) 这样，由( 2 7 ) 一( 2 9 ) 易知：不存在0 使得( 2 6 ) 成立这就证明了特征方程 ( 2 5 ) 的所有解都具有负实部因而地方病平衡点e 是局部渐近稳定的 注2 5 1 在定理2 5 2 中，我们假设了不等式d 型笋“+ q + 们，从证明中可以 看出这假设只是为了说明q ( j ) 0 而给出的，是否在去掉d 垒学似+ q + ，y ) 的前提下还能证明q 2 ( p ) 之0 ，从而可以在定理2 量2 中去掉这假设呢? 这是一 个着趣和挑战性的问题 1 4 - 硕士学位论文 注2 5 2 定理2 5 2 只是说明了地方病平衡点的局部稳定性问题，但地方病平衡 点的局部稳定性并不能说明传染病最终是否能在种群中长期存在下去，而地方病 平衡点的全局稳定性能保证传染病在种群中不能最终被消亡，我们猜想骗 1 是 保证地方病平衡点最全局渐近稳定的充分条件，但目前我们并没有找到证明地方 病平衡点的全局稳定性的方法，因此，我们只好退而求其次来说明传染病的一致持 久性问题 下面我们讨论系统( 2 1 ) 的一致持久性 定理2 5 3 若a 卢 d ( d + p ) 及p q + d + ，y ，则系统偿砂是一致持久的 证明设 卢a d ( d + p ) 门1 瓦计。 若存在t o 0 使得i ( t ) a d s ( t ) 一e s ( t ) ，t t o ， s c 力e 一“助c t 一幻，p c 幻，+ a ：e ( d + t b ) ( o - t o ) d 一 再a c 1 - e - 似嗍】 再a 叫 1 - e - ( d + 们】，t t o + 噩 设v ( o = m l n e ( t ) ，( 芒) ) 下面分不同情形讨论 情形1 若e ( t 1 ) j ( 亡1 ) ，则y ( t 1 ) = l ( t 1 ) ，其中t l t o + t i ，从而 ( t 1 ) = ， 1 ) 一( d + q + 7 ) l v ( t 1 ) 取噩充分大，使得 m - 垒为【1 - e - ( a + o ) t 1 一( d + p ) 。，1 2 垒p 一( d + 口+ ，y ) 。 1 5 - 具暂时免疫力及不同感染机会的传染病模型研究 设m = m i n m 1 ，m 2 ) ，显然m 0 ，并且有 ( t ) m y ( t ) ，t t o + 噩， 从而 v ( t ) v ( t o + 乃) e m ( t 一垴一死) ，t t o + 孔， 因此y ( t ) - - 1 o o ( t 寸o 。) ，这与系统引理2 3 2 相矛盾故断言“存在t o 0 ，对任 意的亡 t o + 丑有j ( 亡) 0 ，不可能有x ( t ) d 似+ p ) 及弘 a + d + 7 表明 1 ， 是否不等式a p d ( d + m 及p a + d + q 能用勘 l 代替? 从数值仿真伽图 幺砂来看这一事实似乎是成立的，但如何证明这一事实，正如注幺五2 所提到的一 样，如果能说明