（基础数学专业论文）对几种分布的参数和风险函数的贝叶斯估计.pdf

摘要 本文将贝叶斯，经验贝叶斯理论应用于双指数分布族的刻度参数估计和w e i b u l l 分布的损 失函数和风险函数的估计。首先利用非对称的l i n e x 损失函数对双指数分布族刻度参数进 行了经验贝叶斯估计，并讨论了该估计的性质，给出了收敛速度。其次在共轭先验分布下给 出t w e i b u l l 分布参数估计的损失函数和风险函数的贝叶斯估计，并讨论了它们的保守性和 合理性。 关键词： 贝叶斯估计：经验贝叶斯估计；l i n e x 损失函数；收敛速度：保守性；合理性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，b a y e s i a na n de m p i r i c a lb a y e s i a nt h e o r ya r eu s e dt oe s t i m a t et h es c a l e p a r a m e t e ro ft h ed o u b l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na n dt h el o s sf u n c t i o na n dr i s kf u n c t i o no ft h e w e i b u l ld i s t r i b u t i o n f i r s t ，w eo b t a i nt h ee m p i r i c a lb a y e s i a ne s t i m a t o ro ft h es c a l ep a r a m e t e r f o rt h ed o u b l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nb a s e do i ll i n e xl o s sf u n c t i o na n dt h ec o n v e r g e n c e r a t eo ft h ee s t i m a t e s e c o n d ，w eo b t a i nt h eb a y e se s t i m a t o r so ft h el o s sf u n c t i o na n dr i s k f u n c t i o nb a s e do i lt h ee o n j u g a t ep r i o rd i s t r i b u t i o nf o rt h ew e i b u l ld i s t r i b u t i o n ，a l s od i s c u s s t h ec o n s e r v a t i v ep r o p e r t ya n dt h er a t i o n a l i t yo ft h e s eb a y e se s t i m a t o r s k e yw o r d s ：b a y e s i a ne s t i m a t o r ；e m p i r i c a lb a y e s i a ne s t i m a t o r ：l 1 n e xl o s sf u n c t i o n c o n v e r g e n c er a t e s ：c o n s e r v a t i v ep r o p e r t y ：r a t i o n a l i t y 1 1 第一章绪论 数理统计学界有两大学派，一个是经典统计学派，即频率学派；另一个是以十八世纪著 名统计学家贝叶斯( h a y e s ) 命名的贝n 1 斯学派。这两个学派都假设我们所研究的总体服从某种 分布类型，例如，对一批产品进行抽样检查，其次品率p 是未知参数。但是，这两个学派对于 分布类型中所包含的参数的认识却截然不同。 频率学派认为这些参数是客观存在的，在未得到全部数据前，它是未知的，是通过抽样 的结果来估计的。这种估计，推断的理论是建立在频率的基础上。贝叶斯学派认为这些参数 本身也是随机的，它服从某种类型的分布，称这种分布为先验分布。例如对产品抽样的例子 中，就当前受检的这批产品，次品率的确是一个未知常数值，但是从该厂生产的产品来看，肯 定生产不止一批，而是很多批。每批的次品率显然不能相同。但它们足在同一工厂，在同样设 备工艺条件下生产的，每批产品的次品率大致相差不多，它也受到某种随机规律的制约。贝 叶斯学派认为，从生产的历史过程来看，同一工厂生产的同种产品的次品率是随机变量，服 从某种先验分布。当前受检的这批产品的次品率只是这个随机变量的一个实现。在估计当前 受检的次品率时，应当考虑这个事实，不仅要用到当前的抽样数据，还要利用先验所提供的 信息。该学派的理论是：利用当前抽样的数据，及先验分布，由贝叶斯公式建立后验分布，以 后的一切统计推断，皆在后验分布基础上进行。从数学论证来看，如果先验分布选择的恰当， 利用贝叶斯学派方法进行的统计推断就较为准确。 贝叶斯学派的发展经历了以下几个阶段： 1 7 3 6 年t o m a sb a y e s 提出了重要的贝叫斯定理，1 7 3 6 年其遗著“论有关机遇问题的求解” 被他的朋友r i c h a r dp r i c e 整理发表，贝叶斯理论的价值才被世人认识，贝叶斯理论开始奠基。 随后，p cl a p l a c e 等作了进一步的工作，之后虽然有了一些零星的研究，但是由于理论 的不完善和应用中出现了一些问题，贝 j 斯学派的理论不被人所接受。进入到上世纪5 0 年代， 贝叶斯理论得到了充分发展。6 0 年代以来，许多专家学者投身于贝叶斯理论的研究和应用推 广中来，力图从不同的角度对贝叶斯理论进行进一步的探讨和研究，形成了具有很多分支的 理论系统。这期间，l js a v a g e ，hj s f f e r y ，aw a l d ，m v e s t ，ijg o o d 等人对贝叶斯理论做了大 量有意义的工作，使贝叶斯理论成了一个统一的理论体系和方法论。 近年来，贝叶斯理论在许多领域有广泛的应用，尤其以经济领域居多。可以说，贝叶斯统 计是当今国际统计科学研究的热点。尽管两个统计学派的争论仍在继续，但它对统计学的发 硕士学位毕业论文 展却起到了推动作用。正如e 册o n 所指出：“由于这场争论而使统计学领域1 1 r 繁花茂。” 经验贝叶斯理论就是经典统计学派和贝叶斯学派争论的产物。这个理论是由美国统计学 家hr o b b i n s 于1 9 5 5 年提出。它吸收了贝叶斯学派不孤立的利用当前抽样数据来进行统计推 断的思想而避开或少用先验分布的假设，使当前抽样数据及有关历史抽样数据来进行统计 推断。这样统计推断的精度能接近在先验分布准确条件下，利用贝叶斯方法进行的统计推断。 而这种推断的解释仍采用频率理论，也就是说这种理论采用了两派的一些优点，形成了自己 的观点。 2 第二章贝叶斯方法和经验贝叶斯方法及l i n e x 损失函数 2 1b a y e s 估计方法 b a y e s 估计方法是将b a y e s 理论应用于参数估计的结果，简记 ， r h ( d ) = e r ( 日，d ) _ r ( 自，6 ) ( 日) d o( 2 1 ) j 0 b 估计。它是运用决策理论研究参数问题，方法概述如下： ( 1 ) 将总体分布中的未知参数看成随机变量记为日，于是当口已知时，样本x = ( x ，墨。) 的联合分布密度就看成是x 。，墨。对目的条件密度记作p ( x i 目) 。 ( 2 ) 确定先验分布7 ( 8 ) ，这是根据以往对参数口的知识来确定的。 ( 3 ) 利用条件分布密度p ( 。l 口) 和先验分布”( ，可以求出噩，x 。与日的联合分布和样 本x h ，墨。的边缘分布密度g ( x ) ，于是就可以用它们求得日对墨，x 。的条件分布密度，也 就是用贝叶斯公式求得后验分布密度h ( e lz ) 。 ( 4 ) 利用后验分布密度h ( 目z ) 作出对口的推断，以上的方法可以用公式形式表示。由于样 本x 。，五。和目的联合概率分布为： 由乘法公式 于是有 ，( z ，扫) = p ( 。l 疗) 7 r ( 口) f ( x ，目) = p ( 叠l 目) ”( 目) = g ( x ) h ( oz ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) h ( e z ) = ”( 口) p ( z i 口) 9 ( z ) ( 日0 ) ( 2 4 ) 其中0 为参数空间，9 ( z ) 是联合分布，( z ，日) 关于样本x 的边缘分布。如果日是连续型随机 变量，则： 如果p 是离散型随机变量，则 g ( ) = 尸( z i 口) 丌( 臼) d 臼 j 0 3 ( 2 5 ) 硕士学位毕业论文 g ( z ) = 尸( z i 目) ”( 口) e 4 ( 2 , 6 ) 在数理统计学中，当观察值为x = ( x h j 厶) 时，采取决策6 = d ( x ，墨。) 。我们称 函数d 血) 为决策函数，决策函数的优劣可以用风险函数来衡量。设l ( o ，6 ) 是损失函数，它表示 当参数真值为目，采取决策为6 时所造成的损失。 定义1 1 称n ( o ，6 ) = e 。“l ( 日，6 ( z ) ) 一rl ( 口，d ( z ) ) p ( z lo ) d x 为决策风险函数。 定义12 称r h ( 6 ) = e f r ( 日，d ) 】= r 白r ( 口，d ) ”( 目) d o 为决策函数6 ( z ) 的贝叶斯风险。 定义1 3 将任意满足条件的r h ( 6 ) = i n fr 。( 6 ) 的判决函数如称为统计判决问题的贝叶 斯解，在估计问题中通常称为贝叶斯估计。 2 2 先验分布的选取和经验贝叶斯估计方法 2 2 1 共轭先验分布的选取 本文采用共轭分布法对先验分布进行选取。共轭分布法是r a i f f a 和s c h l a i f e r r 于1 9 6 1 年提 出的。 定义1 4 设样本x 。，墨。对参数目的条件分布为p ( x ，x 。i 目) 如果口的先验分布”( 日) 所决定的后验分布密度h ( 口jx 1 ，五。) 与”( 目) 是同一分布类型，则先验分布”( 口) 称为 p ( x 1 ，：五。l 目) 的共轭分布。 经验贝叶斯方法简称为e b 方法。该方法的基本思想是用样本估计的先验分布代替真正的 先验分布去求贝叶斯估计，并称该估计为经验贝叶斯估计，简记为e b 估计。它的数学描述如 下：需要估计当前数据x 所对应的参数目，x 。，x 。是己知的历史数据，但x 所对应的分布 中的参数目。( i = 1 ，2 n ) 是未知的，而正是我们要估计的。8 。( i = 1 ，2 n ) 虽然未知，是随机 变量p 的实现，但它们都要遵从同一先验分布”( 日1 。经验贝叶斯估计的任务就是要找一个依赖 于x ”，x 的函数i ( x ，墨。；x ) 来估计p ，并使它接近7 r ( 目) 已知时的贝叶斯估计。 n 2 2 2经验贝叶斯估计及收敛速度 在求e b 估计时，可以参考由历史资料x ，x 。中获得的关于先验分布”( 的信息，以选 定一个判决函数d ( z ) ，这里6 ( z ) 与蜀，有关，可记为k ( x i x z ，x 。) 。当x 1 ：，x 。已 知时，k ( x l x l ：，) 的贝叶斯风险为： r 一( 矗( x l x ”，墨) ) = z ，上( 口，矗( x 蜀，) ) d p o ( x ) d ”( p ) ( 27 ) 硕士学位毕业论文 由于上式仍是x ”，瓦的函数，所以对( x ，j ) 的联合分布再求数学期望，得到 矗( x lx l ， ，) 的全面贝叶i 斯风险： 确( 6 。) = e 。( r 日6 。( x l x l ，五) ) = ( 6 。( x x ，) ) d f ( x - ) d f ( ) j 一。 ( 2 8 ) 定义15 如果一串经验判决函数 d 。( x l x ，x ，) ) 满足条件h m ( 6 。) = r h ( 妇) ， 即6 ，。的全面贝叶斯风险的极限等于贝叶斯估计如的贝叶斯风险，则称6 。( xj x l ，x 。) 为渐 近最优的经验贝叶斯估计，简记为a oe b 估计。 定义1 6 如果r 备( “) 一r ”( 如) = 0 ( n - q ) ，其中g 0 ，则称晶是具有收敛速度为口的经 验贝叶斯估计。 2 3l i n e x 损失函数简介 v a r i a n 于1 9 7 5 年提出了l i n e x 损失函数，它受到了广泛的关注，z e l l e r 于1 9 8 6 年将其应用 于预测问题的贝叶斯分析：k u o g l d e y j j n 求的柏松的均值估计；l i g 和h u a n g 于1 9 9 7 年 将其应用于一类单边截断型分布族的参数估计。下面简单介绍l 1 n e x 损失函数： a = j 一日表示以目估计的误差，v a r i a n 提出的l i n e x 损失函数为如下凸函数： l ( 0 ，0l = l ( ) = b e c a b( 2 9 ) 其中。，c 0 ，b 0 。显然l ( 0 ) = 0 ，按照损失函数的意义，要使l ( ) 在a = 0 时最小值 存在，必须有a b = c 。该式中参数a ，b 分别是该损失函数的尺度参数和形状参数。 ( 1 ) 当。= l 时，函数曲线是不对称的，且过高估计( 0 ) 比过低估计( l 时更加显著。 ( 2 ) 当a o 时，如果a = j 一0 0 ，则函数呈指数级增长；如果 0 ，则呈线性增长。 当a 。) ( 3 - ) 其中口，口分别是位置参数和刻度参数一0 0 o ) ( 32 ) 设g ( a ) 为q 上的先验分布，g ( a ) 为其密度函数，随机变量x 的边缘分布密度为： m ) = 上去唧( ；) d g ( 取损失函数： ” ( 3 3 ) l ( 口，a ) = e x p c ( a 一口) 一c ( a 一口) 一1 ( 3 4 ) c r ，且c 0 为该损失函数的尺度参数，n 为口的估计值。本文考虑c 0 的情形。 当gp ) 已知时，在损失函数( 3 4 ) t ，可求得基于x 的贝叶斯估计。设6 6 ( z ) 为决策函 数，b ( 吒6 ) 为相应的风险函数，b ( 6 ) 为6 的贝叶斯风险。则 b ( 6 ) = o 。，( z ) ( ：_ l ( 一，6 ) 。( a i z ) ) d z ( 3 5 ) 其中，( z ) 为x 的边缘分布密度，gpi z ) 为给定x = z 时口的条件分布密度。 在贝叶斯方法中，若如= 如( z ) 为a 的估计，则应有b ( 如) = i n 。f b ( g ) ，并且b ( g ) 达到 最小。等价于l lo ，6 ) g ( oi z ) 达n n d 、，通过微分学运算可以得出分布族在l i n e x 的贝叶斯 估计： 6 g ( z ) = 一l n e ( e x p ( 一- c 一) i z ) = ；l n 叼( z ) ( 36 ) 6 硕士学位毕业论文 其中 由于 所以 e ( e i z ) 亿( z ) = f e ( e x p ( 一c a ) l z ) 一1 ，。一d g ( 。i x ) ：。 j ej e 7 f 3 7 1 ”掣掣m ，= 帮b s ， 础) = 揣 ， ( 3 9 ) 椭则| 。黼蝴 一：i n 揣 31 0 如( z ) = 三丢b ( ) 本章以e ( 。) 表示( z ，o ) 联合分布的期望，则可以求得d g ( z ) 的贝口i 斯风险为 e ( ( l ( o - ，6 g ) e 甜。e ( e 一”l z ) 一c 5 c4 - c e ( 引z ) 一1 i f 扛) d ( z ) c 5 c + c e ( e l x ) ，( z ) d x f 3 儿1 若先验分布g ( a ) 己知，则口的贝叶斯风险可以精确求出，若g ( a ) 是未知的，6 g 也是未知 的，这就需要引入e b 方法。 3 2 概率密度函数的核估计 令( 。) 是b o r e l 可测有界函数，在( o ，1 ) 之外为零，且满足如下条件 f oy k ( y ) d y = 1 。，。：，。t 。= 一0 。 c 。z ， 这时密度函数的核估计定义为： ( z ) 瓦1 n 壹i = 1m ( 等) ( 3 1 3 ) 硕士学位毕业论文 此处k 一0 m 一。) ，( z ) 是满足条件的核函数。 引理31 对于任意的非负常数和b 有：e ( 。一6 ) 一( a 证明：令f7 ( z ) = e ( 。“) 一 一b ) 一1 一( 矿一e b ) 2 ，则 f 扛) = e ( x - b ) 一1 2 ( 矿一e 6 ) e 。 = ( 孑1 ) e z - - e b - - 2 z _ e b ) 魂6 ) = ( 孑1 ) ( 弘e 6 ) ( 1 - 2 e z e b ) 当z b o 时，f 7 ( z ) s0 ，即f ( z ) 单调非增，故f ( 。) f ( b ) = 0 当0 z 墨b 时，一( z ) 0 ，即f ( z ) 单调非减，故f ( ) f ( b ) = 0 所以，对任意的o 0 ，都有f ( ) 0 ，由此可得e ( 。一6 ) 一( n 一6 ) 一1 ( e n e 6 ) 2 。 引理3 2 设y7 分别为随机变量，y ，g7 为实数，l 0 ，则对0 as2 有 8 ( 3 1 4 ) e l 等一萼 。1 1s 。l ”i 一1 e i y7 一v 1 1 十( i 吾i + l ) 1 e l y v 1 1 证明参见 3 6 】 引理3 3 设厶( x ) 由( 3 1 3 ) 定义，若条件( 3 1 2 ) 式成立，且，( z ) 连续，x 1 ，为同分 布l i d 样本，j j n h 。一。时有l i r ae l ( x ) 一，如) l = 0 比( 0 ，o o ) 。 证明参见【2 9 】 引理3 4 设，n ( z ) 由( 3 1 3 ) 定义，若条件( 31 2 ) 式成立，且，( ) 连续，x ”，x 。为同分 布以d 样本，则当取 。= n 丽1 时，e l 厶( z ) 一f ( x ) 1 2 1 m 蒜。 证明参见2 9 1 3 3e b 估计的构造 设x 。，和x 是托d 样本，具有相同分布，通常称两，为历史样本，称x 为当前 样本，为构造e b 估计函数，首先要构造丁g 扛) 的估计量。设密度函数的估计为( 31 3 ) 式中的核 估计。亿的估计量定义为： 硕士学位毕业论文 础) ：揣 l 1 其中0 1 待定，定义口的e b 估计为 1 焘翳 l 为任意给定的自然数，0 a l 且下列条件成立： ( 1 ) 条件( 3 1 2 ) 式成立； ( 2 ) ，( z ) 的s 阶导数存在j t s u p f ( x ) o o ：s u p l f 5 ( 。) l 。； ( 3 ) 铲f 1 _ 1 ( x ) d x ，f 厂1 + c ) ，( 5 9 ) 如存在； ( 4 ) 仃喀( z ) f ( 。) d x 存在。 则由( 3 1 6 ) 定义的矗( z ) 当取h 。= n 一赢时 r ( g ，“) 一r ( g ，d g ) = ( ) ( n 一。) a = 端 ( 3 1 7 ) 证明：r ( g 占。) = e ( r ( g ，6 。i z 。) ) = e ( e ( 叩) l ( g ，k i z 。) ) 【e 。l ( o ，6 。i z 。) d g ( 口i z ) f ( 。) d x j e e 。 z 砷，驯引d g ( 咄) ) 他) 出 e 。 e “e ( e 。”l z ) 一c 6 。+ e e ( 口i z ) 一1 ) ，( z ) d x e 。 e 。“6 。一c 6 。+ c eo i z ) 一1 ) ，( z ) d x f 3 1 8 1 z z z z 硕士学位毕业论文 所以o r ( g ：6 。) 一r ( c ，咕) = f e 。 e c ( h 一6 。1 一c ( 矗一6 c ) 一1 s ( z ) d z 由引理33 1 0 。 冗c g ：知，一rc g ，d g ，z ”e nc e 出n e 甜。，2 ，c z ，d z = z 。e n ( h ( z ) 一t g ( 。) i ：竞；8 z 当z a 。时i t 。( 1 n ”，l h ( z ) 礼“ 7 - g ( z ) ，( h ( 。) 一, 1 - g ( z ) ) 2 4 诺( z ) ( 3 2 2 ) e + 表示对( x - ，墨；，日) ) 的联合分布求期望。 令 得 所以 其中 e ( ( z ) 一亿( z ) ) 2 ，( z ) d z4 e 2 ( z ) ) ，( x ) d x j b 。 m e 。( 7 _ g ( 。) ，口。( z ) ) 2 m e + ( 名( 。) ) e + i 如。( 。) 一l - 2 ( 32 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 紫删哪 r b 叫 r?i rth 砖 砖咕 e e e m m m zd 、j z ，、j z ，l 亿 r 2 一 n扩 一 一 一 一 一 2 ) 在l i n e x 损失中取c = 1 ，任意给定正数s ，0 i 时定理3 1 中条件 ( 1 ) 条件( 3 1 2 ) 式； 1 2 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 2 ) f ( z ) 的s 阶导数存在且8 u p ，( z ) 0 ，有e 。壬( b ) 2r ( 矿，如) ，即m ( 如) 是保守估计。 f 4 1 2 ) 南 硕士学位毕业论文 f 2 ) 若2 0 ，有e 口。r b ( z ) r ( 伊：如) ，即r b ( z ) 为保守估计； 若n 3 ，记 c ：2 + x 2 n 2 - _ 4 一n - 2 ( 4 1 3 ) 7 一。 则当0 a c 俨时，e 吾。r 口0 ) r ( 旷，如) ，即r b 扛) 是保守估计； 当a 印“时，。r b ( z ) 3 时，记 2 - fx 。2 。n 。2 。- 1 。4 。1 。n 。- 。2 。2 i i 一 当o a c 矿时，e 口。r b ( z ) r ( 伊，如) ，即r b ( z ) 是保守估计； 当a c 卢a 时，e 口。r b ( z ) 2 ，则西( 如) 和r 口( z ) 都不是保守估计。 证明：如果a = 0 ，那么 从而 若使 须使 甚口 e 小，= 矗警黠备 r ( 矿，如) 中( 如) ( n 十 t 2 ( o - 1 1 2 1 ) 2 + n 1 7 ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 跏邓沪等等冀杀茅 。， e 口。圣( d b ) 2 时，e 口。中( 如) 2 时，e 月。r b ( z ) o 对应的先验分布，a 较小时取r b ( z ) ，a 较大时取中( 如) 较合理； 当。：0 a = o 取无信息先验分布或。= 1 ，a = o 对应的广义先验分布时，t b ( 。) 和圣( 如) 都 是保守估计，由于简捷性取”。( z ) 更加合理。 4 5 例子 由定理4 】和定理42 可以得到结论： 对于w 苟h l l l 分布，在情况。= o ，n = 3 , a 0 或情况a = 0 ，0 as2 或情况o = 0 , n 3 , 0 入sc 卢。其中 下7 b ( z ) 是w ( 矿，d ) 的保守估计 2 + 、压万二再 。i 百一 ( 4 2 5 ) 第五章结语 本文先后将贝叶斯，经验贝叶斯理论应用于双指数分布族的刻度参数估计$ i w e i b u l l 分 布的损失函数和风险函数的估计。利用非对称的l i n e x 损失函数对双指数分布族刻度参数进 行了经验贝叶斯估计，并讨论了该估计的性质，给出了收敛速度。在共轭先验分布下给出 了w e i b u l l 分布参数估计的损失函数和风险函数的贝叶斯估计，并时论了它们的保守性和合理 性。 在完成论文的过程中，本人深感还有许多有待研究的问题： 1 除了本文中所研究的分布族，还可以利用e i n e x 损失函数对其他分布族参数进行经验 贝叶斯估计。这是一个具有实用价值的研究方向。 2 本文对w e i b u l l 分布参数估计的损失函数和风险函数进行了贝叶斯估计。还可以对其他 类型的分布族参数估计的损失函数和风险函数进行贝叶斯估计。 1 9 致谢 本学位论文是在导师姜今锡教授亲自指导下完成的。在硕士研究生学习的三年的时问里， 笔者得到了姜教授多方面的指导和帮助。论文的完成与姜教授的辛勤付出和无微不至的关怀 分不开，他那严谨的治学态度和诲人不倦的精神使我在三年多的学习生活中受益匪浅，并将 继续指引我今后的人生道路。在此，特别感谢我的恩师在这两年多来对我学习和生活上的关 心与教诲。 感谢金兰老师对论文的完成提出了宝贵的意见。 感谢延边大学数学系各位领导和老师，本学位论文的完成也包含着他们的辛勤汗水。 感谢我的家人和同学在读研期间对我的关心和支持。 最后向我的指导老师及各位关心，帮助我的老师同学一并表示感谢。 参考文献 f 1 j a m eo b e r g e r 著，贾乃光译统计决策论及贝叶斯分析北京：中国统计出版社，1 9 9 85 2 1 张颖，刘金泉，周光亚l i n e x 损失函数下正态均值的估计问题吉林大学自然科学学 报，1 9 9 4 ( 4 ) 3 】师义民双边截断型分布族参数的经验b a 弘s 估计高校应用数学学报，2 0 0 0 f 4 l 丁晓，韦来生双指数分布位置参数的经验b a 弘s 估计问题数学杂志，2 0 0 5 ( 2 5 ) f 5 】梁华 二维双边截断型分布族中经验b a y e s 估计的收敛速度数理统计与应用概 率，1 9 9 1 ( 4 ) 6 1 姚永福，王治国l i n e x 损失下单边截断型分布族参数的e b 检验安阳师范学院学 报，2 0 0 2 ( 5 ) 7 李贤彬二项分布中成功率的几个应验b a y e s 估计及其优良性华东师范大学硕士学位 论文，2 0 0 , 5 8 1 康会光，赵小山，师义民l i n e x 损失下单边截断型分布族参数的e b 估计应用数 学，2 0 0 1 ，1 4 ( 3 ) 9 1 康会光，许勇非对称损失下单边截断分布族参数的经验b a y e s 检验问题工程数学学 报，2 0 0 5 ，2 2 ( 3 1 1 0 刘焕香，师义民，张素梅，董晓娜r 分布参数估计的损失函数和风险函数的b w e s 推 断昆明理工大学学报( 理工版) ，2 0 0 5 ，3 0 ( 2 ) 1 1 1 项志华参数估计的损失函数和风险函数的b a y e s 推断 数理统计与应用概 率，1 9 9 3 ，8 ( 3 1 1 2 r u b h i n a le s t i m a t i n g t i l el o s so fe s t i m a t i m a t o r so fab i n o m i a l p a r a m a t b j o m e t r i k a ，1 9 8 8 ，7 5 ( 1 ) 1 3 1 盂红玲，乔春平，张开广正态分布参数的估计郑州大学学报( 理学版) ，2 0 0 5 ，3 7 ( 2 ) 1 4 张平非平方损失下的经验b a y e s 估训的收敛速度系统科学与数学，1 9 8 7 ( 7 ) 1 5 ) 陈希孺高等数理统计学中国科学技术大学出版社，1 9 9 9 1 硕士学位毕业论文 2 2 1 6 k e i f e i ，jc o n d i t i o n a lc o n f i d e n c es t a t e m e n t sa n dc o n f i d e n c ee s t i m a t o r sj a ms t a t i s t - a s s o c 1 7 1r u k h i n ，a l e s t i m a t e dl o s sa n da d m i s s i b l el o s se s t i m a t o r s i np r o c e e d i n g so ff o r t hp u r d u es y m p o s i u mo i ld e c i s i o nt h e o r y ，e dj o b e r g e r a n dss g u p t a ，b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g 1 9 8 7 ( 1 ) ：3 6 53 7 5 1 8 1m a r t z h fa n dw a l l e rr ab a y e s i a nr e l i a b i l i t ya n a l y s i sj o h nw i l e y ，1 9 8 2 1 9 1r o b b i n s h s o m et h o u g h t so ne m p i r i c a lb a y e ss t i m a t i o n a n no fs t a t i s t i c s ，1 9 8 3 ( i i ) 2 0 1 k u l l b a c k s i n f o r m a t i o nt h e o r ya n ds t a t i s t i c sd e c i s i o n 2 1 r a m ct i n a r i ，y iz h o u y a n gb a y e se s t i m a t i o nf o rp a x e t of a i l u r e - m o d e lu s i n gg i b b ss a m - p l i n g ，i e e e 1 9 9 6 ，4 5 ( 3 ) ：4 7 1 4 7 6 2 2 1 韦来生，袁家成指数分布定数截尾情形失效率函数的经验b a y e s 检验问题应用概 率统计，2 0 0 3 ，1 9 ( 2 ) ：1 3 0 1 3 8 2 3 1 胡太忠， 国华刻度指数族经验b a y e s 的收敛速度 数理统计与应用概 率，1 9 9 2 ，7 ( 1 ) ：8 6 + 8 9 2 4 1 周光亚数理统计吉林大学出版社，1 9 8 8 2 5 1 茆诗松，王玲玲可靠性统计华东师大出版社，1 9 8 4 2 6 韦来生一类离散型单参数指数族的双侧的经验b a y e s 检验问题应用概率统 训。，1 9 9 1 ( 7 1 2 7 k o ul a n dd e yd ko nt h ea d m i s s i b i l i t yo ft h el i n e a re s t i m a t i o n so ft h ep a s s i o nn l e a n u s i n gl i n e xl o s sf u n c t i o n ，s t a t i s t d e c i s i o n ，1 9 9 0 ( 8 ) ：2 0 1 2 1 0 2 8 】r o b b i n s h a e m p i r i c a lb a y e s a p p r o a c h t os t a t i s t i c sp r o ct h i r d b e r k e l y s y m pm a t hs t a t i s tp r o p b e r k e l y ：u n i v o fc a l i f o r n i ap r e s s ，1 9 5 5 ( 1 ) ：1 5 7 1 6 4 2 9 1 韦来生刻度指数族参数的经验贝n 十斯检验问题：n a 样本情形应用数学学 报，2 0 0 2 ，2 3 ( 3 ) ：4 0 3 4 1 2 3 0 1 王武鹏一类均匀分布在绝对值损失下的渐进最优经验贝叶斯估计系统科学与数 学，1 9 9 8 ，9 ( 3 ) ：1 9 82 0 1 3 1 w a l d ，a 王福保译统计决策函数【m 】上海：上海教育出版社，1 9 6 3 硕士学位毕业论文 3 2 1s m i t h j 决策分析的贝叶斯方法【m 上海：上海教育出版社，1 9 9 9 3 3 】h u i ，s l a n db e r g e r ，j o ( 1 9 8 3 ) e m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o no fr a t e s ，i nl o n g i t