（应用数学专业论文）基于数值微分的两种群食饵—捕食者模型的参数估计及其性质的研究.pdf

堕一删觥 - _ - - _ - _ - _ _ _ - - - l _ - _ - _ - _ - _ _ - o o - _ - - _ _ _ l i l ”二。一_ n 7 摘要 近来，数学模型的研究已经产生了多元化的发展，对具有随机性复杂系统的 分析更是涉及多个领域，如生物、环境、经济、金融和材料加工工程等较常见 的方法是对复杂系统建立微分方程模型，结合计算机模拟技术，探求该动态系统 的演化规律，进而对系统进行预测、组织和控制 当前，利用观测数据研究微分方程的反问题，即微分方程的参数估计，是国 际上概率统计界的研究热点现在许多学者在研究微分方程的参数估计时，均以 食饵一捕食者模型为模拟对象，以分析估计方法的有效性因此，很有必要对食 饵一捕食者模型的参数估计进行更加深入和详细的探讨 本文给出了食饵一捕食者模型参数估计的一种新的两阶段估计法第一阶 段，基于有限差分原理，利用观测数据求解数值微分，第二阶段，将食饵捕食 者模型的参数估计问题转化为一个线性最d - 乘问题两阶段法大大减小了计算 量，提高了计算速度然后，本文对两阶段法进行了较详细的理论研究，给出了 一般意义上微分方程参数估计的统计结构，并：，沦了两阶段法的大样本性质最 后，对两种群食饵一捕食者模型的参数估计进行了数值模拟，结果表明，本文提 出的两阶段法是有效的 本文由五章构成第一章简述了问题产生的历史背景，文章所涉及到的预备 知识；第二章首先从理论上给出了一般微分方程参数估计的统计结构，并详细讨 论了非线性最小二乘估计，给出了基于有限差分数值微分的两阶段参数估计方 法；第三章，讨论了两阶段参数估计量的一致性和渐进正态性等大样本性质；第 四章，对两种群食饵一捕食者模型的参数估计进行了数值模拟，详细分析了三种 常见有限差分数值微分法的参数估计，并与非线性最d , - 乘估计及文献中的有关 结果进行对比，结果表明本文提出的方法是可行的；第五章，对全文作了总结， 并给出了研究展望 关键词：食饵捕食者模型；数值微分；参数估计；最小二乘法 i i a b s t r a c t - 一_ 一 _ a b s t r a c t r e c e n t l y ， m es t u d yo fm a t h e m a t i c a lm o d e l p r o d u c e daw i d er a n g eo f d e v e l o p m e n t ，i nw h i c ht h ea n a l y s i so fc o m p l e xs y s t e mi si n v o l v e dm a n ya r e a s s u c h a sb i o l o g y ， e n v i r o n m e n t ，e c o n o m i c ，m a t e r i a lp r o c e s s i n ge n g i n e e r i n ga n ds o o n a g e n e r a lr e s e a r c hm e t h o di sc o n t r i b u t i n gam a t h e m a t i c a lm o d e lt oar a n d o n m e s s c o m p l e xs y s t e m a n di nt h eb a s i so fc o m p u t e rs i m u l a t i o nw ef i n dt h ee v o l u t i o no f t 1 1 i s d y n a m i cs y s t e m t h e nw ec a nf o r e c a s t ， o r g a n i z ea n dc o n t r o lt h es y s t e m c u r r e n t l y ，u s i n go b s e r v a t i o n a ld a t ao ft h ei n v e r s ep r o b l e mo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t h a t1 st h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i sah o ti s s u eo f p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c si nt h ei n t e m a t i o n a lr e s e a r c h f i l e d m a n ys c h o l 锄冬u s e p r e d a t o r - p r e ya st h es i m u l a t i o no b j e c ti nt h es t u d yo ft h ep a r a m e t e ro fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt or e s e a r c hi n d e p t ha n dd e t a i l e do np m 撇e t e r e s t i m a t i o no ft h et w o s p e c i e sp r e d a t o r - p r e y i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ean e we s t m = t i o nm e t h o dt w o s t a g ee s t i m a t i o nt o s t u d yt h ee s t i m a t i o no fp a r a m e t e r si nt h e2 - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e l i nt h ef i r s t s t a g e ， w eu s eo b s c r v a t i o n st os o l u t i o n d i f f e r e n t i a le s t i m a t i o nb a s e do nf i n i t e d i f f e r e n c et h e o r y i nt h es e c o n ds t a g e ， w et r a n s f o r mt h ep a r a m e t e re s t i m a f i o no f p r e d a t o r - p r e ym o d e li n t oal i n e a rl e a s ts q u a r e sp r o b l e m t h i sm e t h o dg r e a t l yr e d u t e d t h ec o m p u t a t i o na n di m p r o v e dt h es p e e d t h e nw eh a v e s t u d yt ot w os t a g em e t h o di n d e t a i l ， g i v eas t a t i s t i cm o d e lo fp a r a m e t e re s t i m a t i o no fd i f f e r e n t i a le s t i m a t i o ni l la g e n e r a ls e n s e ， a n dd i s c u s st h el a r g es a m p l e p r o p e r t i e so ft w os t a g em e t h o d f i n a l l y ， w eh a v et h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt o 2 - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e lo fp a r a m e t e r e s t i m a t i o n t h er e s u l ts h o w st h a tt h ep r o p o s e dm e t h o di se f f e c t i v e t h i sp a p e ri s c o m p o s e do ff i v ep a r t s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h e h i s t o r i c a lb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e ma n dp r e r e q u i s i t e sr e q u i r e di nt h i sp a p e r i nt h e s e c o n dc h a p t e r ， w eg i v et h es t a t i s t i cm o d e li n t h e o r yf i r s t ， a n dd i s c ：u s e st l l e p a r a m e t e re s t i m a t i o np r o b l e mi nd e t a i l ，t h e ng i v eab a s e do nf i n i t e d i 行：r e n c e n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o no ft w o s t a g ep a r a m e t e re s t i m a t i o n a n di nt h et h i r dc h a p t e r ， w ed i s c u s st h e c o n s i s t e n c ea n d a s y m p t o t i cn o r m a l i t ya n do t h e rl a r g es a m p l e p r o p e r t i e so ft w os t a g ep a r a m e t e re s t i m a t i o n i nt h ef o r t hc h a p t e r ， w ea r es i m u l a t e d t ot h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no ft w o s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e l a n da n a l y s i s p a r a m e t e re s t i m a t i o no f t h r e eg e n e r a lf i n i t ed i f f e r e n c en u m e r i c a ld i 埔；r e n t i a l t h e nw e a b s t r a c t c o m p a r et h e nr e s u l tt on o n l i n e a rl e a s ts q u a r ee s t i m a t i o na n do t h e rr e f e r e n c er e s u l t s i t s h o w st h a tt h er e s u l ti nt h i sp a p e ri sf e a s i b l e i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w eh a v eas u m m a r y f o rt h i sp a p e r ，a n dg i v et h er e s e a r c hf o r e c a s t k e yw o r d s ：p r e d a t o r - p r e ym o d e l ；n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n ；p a r a m e t e re s t i m a t i o n ； l e a s ts q u a r em e t h o d i v 目录 目录 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章引言1 1 1 选题背景1 1 2 主要工作4 1 3 预备知识5 第2 章微分方程参数估计的两阶段法1 0 2 1 统计结构1 0 2 2 非线性最小二乘估计1 1 2 3 两阶段法估计的一般原理1 2 2 4 基于数值微分的两阶段估计1 3 第3 章统计性质1 6 3 1 一致性1 6 3 2 参数估计的渐近正态性1 9 第4 章数值模拟，2 1 4 1 模拟数据的产生2 1 4 2 模拟结果2 2 第5 章结论与展望2 6 5 1 全文结论2 6 5 2 研究展望2 6 参考文献2 7 附录一两阶段法估计源程序2 9 附录二辅助程序3 3 致谢3 8 攻读学位期间的研究成果3 9 v 第1 章引言 1 1 选题背景 第1 章引言 本课题来源于导师的江西省自然科学基金项目( 2 0 0 7 g z s 2 3 9 8 ) ，国家自然科 学基金资助项目( 3 0 9 7 0 5 9 7 ) 微分方程的参数估计，也就是微分方程的反问题是目前国际上概率统计领域 的研究热点之一常微分方程( o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，o d e ) 模型是描 述实际对象的某些特性随时间或空间演变的过程，进而是分析它的变化规律、预 测它的未来性态、研究它的控制手段的重要方法在工程领域和物理、化学、生 物学等学科有着广泛的运用因此对微分方程的参数估计问题的研究具有十分重 要的实际意义n 1 羽 假设所研究的系统是封闭的，建立的o d e 模型一般可表示为h 3 x ( t ) = f ( x , t l 汐) ， ( 1 1 ) 共中z o ) ：g 。o ) ，勤o ) ) ，托) ：堕掣，p 为待定参数向量，tc 【o ，r 】 口l 二 若外界向系统有输入量u ( t ) ，o d e 模型可表示为 x = f ( x ，u ，r i o ) ( 1 2 ) 上面两式同样可以处理高阶导数d ”x 的情况目前对微分方程的研究主要集 中于所谓的“正问题”中，即研究微分方程的建立及解的存在性等问题在实际 问题中，我们通常会得到大量的动态系统的观测数据，而该系统的特性可由微分 方程描述，需要根据这些观测数据来反演微分方程中的参数，即微分方程的反问 题 当o d e ( 1 1 ) 式有解析解时，参数估计可采用常规的非线性参数估计方法但 通常o d e ( 1 1 ) 没有解析解，这时参数估计就比较复杂一种简单和直接的处 理方法是将方程( 1 1 ) 看成x ( t ) 的隐函数方程，当微分方程的解存在惟一时， 即确定隐函数x ( t 1 ，然后采用极大似然估计法或最小二乘估计法估计参数，不妨 称这种方法为微分方程参数估计的“直接法”直接法的优点是方法简单直观， 7 但其最大的缺点是计算工作量相当大，其一，x ( t 1 是由o d e ( 1 1 ) 确定的隐函 数，在参数估计的计算中需要利用微分方程的数值计算方法，女h r u n g e k u t t a 法： 其二，优化问题的求解算法而且优化问题的求解还与初值的选取有关【7 j ，很容 易导致局部最优解 第1 章引言 为此，v a r a h n l ( 1 9 8 2 ) 从数值计算的角度给出了参数估计的“两阶段法”， 其基本思想是首先给出( 1 1 ) 式左边导数项的估计，然后将问题化为通常意义下 的线性或非线性参数估计由于两阶段法的优点显著，其数学结构简单，计算量 较小，故目前微分方程参数估计的研究工作基本上都是基于该思想而展开的，主 要集中于二方面：一是如何构造两阶段估计，使得两阶段法的整体误差和计算工 作量减少，优化算法不会落入局部最优值的陷阱；二是这种两阶段法是否具有优 良的统计性质后者是两阶段法研究的困难所在，比较复杂 b o c k 乜1 ( 1 9 8 3 ) 针对两阶段法收敛速度较慢的特点，提出了采用迭代求解的改 进方法p u t t e r 口1 ( 2 0 0 2 ) 从贝叶斯统计的角度，提出了一种针对h i v 动态模型和 观测数据为纵向数据时的贝叶斯参数估计方法z h e n g f e n gl i 埔3 提出了一种正交 化方法来简化参数估计的新算法，这种新算法使用拟高斯一牛顿序列二次规划 ( s q p ) 求解优化问题r a m s a y ，h o o k e r ，g 和j i g u oc a o 1 0 】【l l 】基于函数型数据 分析方法，将两阶段法进行综合，提出了一种参数估计的广义轮廓法( g e n e r a l i z e d p r o f i l i n gm e t h o d ，简称g p m ) ，该法采用p a r a m e t e rc a s c a d e s ，分别估计出讨厌参 数( n u i s a n c ep a r a m e t e r s ) 、平滑参数( s m o o t h i n gp a r a m e t e r s ) 和方程中的未知参 数用g p m 估计出的微分方程的参数具有较高的精度，相对误差在1 一5 之 间为方便起见，此处仅考虑一。维情形记y = l 一，y 。) 为时刻f i ，一，t 。x c x ( f ) 的 刀个观测数据g p m 法首先以样条函数为基函数拟合g o ) ，即估计出参数c ，得 到 r x ( f ) = c 。九o ) = c o ) ， ( 1 3 ) 上式中k 不固定，通常随，z 的增大而增大记观测误差向量e = 如，一乞y ：。一x1 ) ，y 。一xt ? 1 ) ) ，且p 服从依赖参数盯的联合分布密度函数g g i 盯) ， 则得到参数向量矿= g ( 0 y ，盯，0 ) ，对c 和矽的估计分别采取不同的最优准则进行 处理 为估计c ，采用带惩罚项的对数似然准则【4 1 2 l 2 ( cl 护，口，五) = 一l n g ( el 口，盯，2 ) + p e n ( xi 兄) ， p e n ( xia ) = 2 i 2 一厂g ，“，fi 口) 】2 d t ， 其中的允即称为平滑参数，可将其看成变量，也可取定为常数， 定* ze e x ( xl 五) 为惩罚因子( r o u g h n e s sp e n a l t y ) 极小化目标函 估计值6 ，即。满足学i 。：0 然后，得到拟合式曼o ) ：6 矽o ) o c 2 第1 章引言 也可采用最小二乘准则估计c ，此时( 1 4 ) 式即化为 ， 2 j ( c 咿，口，兄) = 陟，一曼( f ，) 】+ p e n ( x 见) ( 1 6 ) i = 1 为估计护，构造目标函数 h ( cl0 * 7 0 f ，兄) = 一i n g ( e1 秒，仃，旯) ( 1 7 ) 将五视为变量时采用g c v 准则( g e n e r a l i z e dc r o s s v a l i d a t e dc r i t e r i o n ) 来估计 gc秒c五，五，=，z鬻 ( 1 8 ) 在上面三步估计过程中，将6 作为口和兄的函数，而臼作为允的函数，称这 种参数之间具有的函数关系为p a r a m e t e rc a s c a d e s g p m 求解中的一个关键步骤 是选取恰当的基函数和阶数，文献中一般使用三次样条函数g p m 法的优点是， 方法具有一般性且易推广，拟合的模型具有良好的光滑度明显的不足是没有充 分利用方程( 1 1 ) 的大量定性研究成果，而且方法的统计性质未知 ” 最d , - - 乘估计是使得预测值霉= 尹( 墨) 与真实值z 的残差的平方和最小的 参数的值残差直接衡量了预测值与真实值的拟合程序，当残差服从正态分布时， 线性统计模型的最小二乘估计具有大量的优良性质，而且与极大似然估计等 价基于此，最小二乘估计是一种非常常用的参数估计方法j e r o m e n 们在2 0 0 5 年考虑了该方程的非线性最d , - 乘估计法，并详细讨论了求解非线性规划的信赖 域方法对参数估计的影响文 1 1 利用两阶段估计方法，并借鉴r a m s a y h l 中的求 解思想，以两种群的食饵一捕食者模型的解具有周期性的性质为基础，提出了一 种基于潜周期模型的两阶段参数估计法，得出了参数的估计及置信区 间l i a n g 瞄1 ( 2 0 0 8 ) 基于局部多项式逼近，利用回归分析的思想，给出了一种拟 最小二乘估计( p s e u d o - l e a s ts q u a r e s ) ，并讨论了参数估计量的渐进性 质m i a o 口1 ( 2 0 0 9 ) 则基于非线性最小二乘估计方法，讨论了不同的全局优化求解 方法对估计的影响，并给出了模型选择和推断的方法 这些文章虽然给出的方法不尽相同，但他们的一个相同之处是：为验证求解 方法的有效性，均采用食饵一捕食者模型做模拟计算作者认为，这不是偶然的， 因为食饵一捕食者模型虽然简单，但该模型在工程、物理、化学、生物学等学科 有着重要的应用，且有很多实际的数据供验证因此针对该类微分方程的具体特 点，对其参数估计进行更为细致的研究很有必要 在自然界中，许多种群恻存在竞争同一有限食物的现象，这势必影响种群间 的相互增长，为了解决这一实际问题，需对这一现象建立种群竞争模型结合 第1 章引言 l o t k a v o l t e r r a 竞争系统，以两种群生物为例，记a 生物是捕食者，b 生物是被捕 食者，假设t 时刻捕食者彳的密度为工( f ) ，被捕食者b 密度为j ，( f ) ，可用下面的 方程描述一般的食饵一捕食者系统 xo()t)：=一ctlx(y a 3 y ( t f + 口a 2 2 4 x ( t y ) y ( x t ) ， ( 1 9 ) 【 ( f ) = 一) ， 、。 初始条件为： x ( o ) = 2 ， 【朋) = k2 吼 ( 1 1 0 ) 其中口。，( 1 口6 ) 为模型的待定参数 令 x i ( f ) = 工( f ) ，x 2 ( f ) = y ( t ) ， j o ) = g ( f ) ，夕o ) ) = g 。o ) ，工：o ) ) ，x 。( f ) = q ，口。) ， = l ，一，) ，为结构参量， f ( x , t lf 1 ) = ( 五( f ) _ + 吃屯( f ) ，乇( f ) 吃+ 五( f ) ) 。 若外界向两种群食饵一捕食者系统有输入量“o ) ( 已知) ，则考虑 f g ，“，ti ) 从而把食饵一捕食者系统( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) 转化成了向量的形式 x ( f ) = ，( x ，ti ) ， ( 1 i i ) 或 x = f ( x ，“，t l ) ( 1 1 2 ) 基于上述分析，本文提出了一种基于数值微分的食饵一捕食者模型的参数估 计方法该法也属于两阶段法，首先采用有限差分法将微分方程离散化，然后采 用最d , - - 乘法估计出模型中各参数，文章还研究了该方法的一致性、渐进正态性 等相关统计性质数值模拟结果表明该方法是有效的 1 2 主要工作 本文旨在运用两阶段法对常微分方程( 1 9 ) 进行参数估计，得到高精度的结构 参数 7 首先，从理论上给出了微分方程参数估计的统计模型，构造了基于有限差分 法的两阶段参数估计方法，该方法将微分方程的参数估计转化为数值微分和线性 最d , - 乘估计 4 第1 章引言 其次，讨论了基于有限差分法的两阶段法统计模型的相关性质，得出了参数 估计量的相合性及渐进正态性 第三，针对两种群食饵一捕食者模型的参数估计进行了数值模拟，通过与 直接法比较，可以得出本文提出的估计方法是有效的 最后，给出了全文结论及研究展望 1 3 预备知识 定义1 1 设 弓) 是一个平稳序列，如果对任何f ，s n ， 即艄v ( 瞒) = 嚣 ( 1 1 3 ) 就称 乞) 是一个白噪声，- 记作w n ( a ，盯2 ) 同样地，如果二维零均值实值噪声 x ( 厅，聊) = x ( 玎，肌) ：( 胛，m ) 2 满足 m 川m 删= 勰：? 激拳 n 就称 x ( 以，研) ) 为二维白噪声 ， 定义1 2 设( ，b ) 为可测空间，p 为其上的个概率分布族，则称三 元组( j ，b ，曰) 为统计结构，或称为统计模型假如分布族回仅依赖于某个参 数( 或参数向量) 0 ，即p = 另：o s 0 ，其中0 为参数空间，则称此结构为参 数( 统计) 结构，或称为参数( 统计) 模型 定义1 3 力设( j ，b ，田) 为一个统计结构，若在可测空间( j ，b ) 上存在 这样一个仃有限测度，使得p 中每一个概率分布p 对都是绝对连续的，即 j p “，v p p ，则称该结构是可控的 定义1 4 设 乙) 为一随机变量序列，z 为另一个随机变量，假如对v 占 0 ， 有e ( i z 。一z f g ) 寸0 ，万一o o ，则称随机变量序列( 乙 依概率收敛于z ，记为 z 。一z 定义1 5 设 乙) 为一随机变量序列，f 。( x ) 为z 。的分布函数，z 为另个随 机变量，其分布函数为f ( x ) ，若对f ( x ) 的每个连续点x ，有c ( x ) 一，( 石) ， 第1 章引言 刀jo o 则称随机变量序列 乙) 依分布收敛于z ，记为乙专z 或称分布函数序 列 e ( 工) ) 弱收敛于f ( x ) ，记为c ( 工) 专f ( x ) 定义1 6 设( j ，口，口) 为可控参数统计结构，g ( o ) 是未知参数， x 2 ( x ，以) 是来自该统计结构的一个样本，若用g ( x ) 估计g ( o ) ，且 易( ；( x ) ) = g ( 曰) ，v s e 。则称；( x ) 为g ( 秒) 的无偏估计 定义1 7 设务。：各。( x ，z ，) 是目的估计，如果当咒一时，有刍。一p 口，则 称各。是目的相合估计，或称一致估计 定义1 8 设0 。= 巩( x ，以) 是护的估计，如果存在一( 乡) ，满足 ( 巩- o ) a ( 0 ) - n ( o ，1 ) ，则称吼是目的渐近正态估计，蠢( 秒) 称为0 。的渐近方 差：记各。删( p ，( 川 定义1 9 在( 】，x ，盯2 l ) 中，如果 。 ( 1 ，一x p ) ( 】，一x ) 。啊n ( y x f l ) ( 】，一x ) ， 则称为的最小二乘估计( 1 e a s ts q u a r e se s t i m a t e ) ，简称l s e 第1 章引言 的数值求解，引入点列& 。 ，其中x 。= x 川+ h = x 。+ n h ，h 为定步长单步法 y 。= y 。+ 鱼垦刍二三三掣， k 。= 厂g y 。) ， f l x n + 知+ 斟 驴f ( x n + 知+ 钭 k 4 = 厂g 。+ 矗，y 。+ h k 3 ) ， 称为经典四阶r u n g e - k u t t a 方法 定义1 1 3 设方程厂g ) = o 存在根工+ ，且假设厂。存在并连续为求解根x ，设 有一个近似值以工，用t a i l o r 公式展开得。 o 可：厂k ) + 厂，k * - - x k ) + 掣g 飞) 2 ， 其中孝在k 与x 之间若k ) 0 ，可得 ， 工一矧一帮 m 峋 若式子s n ( a ) ：圭口，c 以一乃) + c g ，名) 中右端最后一项忽略不计，作为 工+ 新的一个近似值，就有 弘一粥， 称为n e w t o n 迭代法，又称n e w t o n - r a p h s o n 迭代法 若f g ) 为多元函数，则相应的n e w t o n - r a p h s o n 迭代式为 x 。+ 。= x 。一 篆l 机 ，g 。， c - 8 ， 其中，竺为j a c o b i 矩阵 定理1 1 2 q 设厂关于x 满足l i p s c h i t z 条件，关于“几乎处处可微，则初始值 问题 肖= ( x ，“， 护) ，j ( ，。) = x o 第1 章引言 定理1 2 【2 2 1 设_ 是函数f g ) + 胪g ) 的极小值点，即 x a = a r g m i r f ( x ) + 2 p ( x ) ， 则 _ 2 ：。懈a r g m 删i n 砟) ， 并且，当刀 旯，有p ( x z ) m 。) 推论1 1 【2 2 1 对刀 a ，有如) 币。) 推论1 2 【2 2 1 若存在z 使得p g ) = 0 ，则p g 。) 专0 ，当力j 0 0 定理1 3 【3 5 】o ( t ，y ， ) 对于口t 6 ，0 h 1 , o 以及一切实数y ，关于t ，y ， h 满足l i p s c h i t z 条件，则方程儿+ 。= 儿+ ( 乙，只，j l i ) 收敛的充分必要条件是相容 条件成立，即o ( f ，y ，o ) = 厂( f ，y ) 定理1 4 在定理1 3 的假设条件下，若单步法儿+ i - y + 五( 乙，儿，j i l ) 的局部 离散误差满足k ( f ，h ) l - m h 川，则其整体离散误差巳= y ( 乙) 一以满足估计式 协p 砸叫| j l p t m 叫一1 ) ， 其中l 是( f ，y ，j 1 1 ) 关于j ，满足l i p s c h i t z 条件的l i p s c h i t z 常数 定理1 5 【3 5 】设俐在陋，6 】上存在n 阶连续导数，在0 ，6 ) 内存在n + l 阶导 数，y ( x ) 是满足插值条件j ，( 玉) 钡_ ) j 2 。，l ，n ，形如= 等二歹，产。，j ， 九，的插值多式，则对任意z ( 口，b ) ，插值余项荆为 肿锚啪) ， 州口，6 ) 其中c o + 。( x ) = ( x - x o ) ( x - x , ) ( x 一) 定理1 6 ( s l u t s k y 定理) ：设( 乙) 和 虬) 是两个随机变量序列，若乙专z ， u j , - c ( 常数) ，则有 ( i ) z 。+ u 。专z + c ； ( i i ) v z 一纪； ( i i i ) z 。u 。一z c ( c 0 ) 第1 章引言 9 第2 章微分方程的参数估计 第2 章微分方程参数估计的两阶段法 对于微分方程的参数估计问题，现有的研究基本上是采用两阶段法，而在第 一阶段的估计中，某些学者采用了7 0 年代广泛应用的样条插值函数，如 r a m s a y 【2 1 1 、n i c o l 2 l s 【2 2 】等以样条函数作为基函数，利用非参数估计法来对常微分 方程进行参数估计该方法的有效性较强的依赖于样条函数节点的选取本文以 有限差分法离散微分方程作为第一阶段估计，给出了一种微分方程参数估计的两 阶段法 2 1 统计结构 数理统计研究的出发点是一组受到随机性干扰的数据，对于这组数据，在结 合了各种假设下进行统计推断或预测的过程，就构成了统计结构 设状态变量为工= ( 五，t 而) t ，则含有初值问题的常微分模型为 j 戈( ) = f o ，x ( ) ，9 ) ，v o ，1 】，( 2 1 ) 【x ( o ) = x o ， 其中f 是从f d 到f d 的函数，d n ，0 o ，o 是欧氏空间的和集 我们现从含有噪声的时间观测序列0 f i 0 ，使得v f ，工( f + p ) = x ( t ) j l y ( t + p ) = y ( t ) ，故只要观测数列长度足够长，序列中的任一时间点均可 作为初始时间，所以我们可以推断初值参数的估计是不惟一的为简单起见，我 们可将初值参数的估计取为观测序列的起始值 由此，我们得到方程( 2 4 ) 所有参数的两阶段估计法 步骤1 估计初始值参数 步骤2 数值微分利用观测数据估计x ( ) ，y ( ) ( f = 1 ，2 ，1 ) 步骤3 线性最小二乘法估计状态参数( q ，口：，) ，即求解两个线性最小 二乘问题 一 m i n i iz l z ii i 和m i nj iz 2 - z 2i j 一 其中向量z l 、z 2 分别表示步骤2 中得到的z j 、z ：的估计值向量z l 、z 2 分别 表示由方程( 2 9 ) 得出z i 、z 2 的估计值 ，x ， 2 4 基于数值微分的两阶段估计 经过两阶段法对微分方程参数i ；- 1 题的转化，菲线性最优化问题( 2 9 ) 式转 化为简单的数值微分i ；- 1 题和线性最j , - 乘估计问题 步骤2 中的数值微分可采用有限差分数值微分数值计算领域的最新研究结 果表明，有限差分数值微分的误差是可控的【2 6 t2 3 1 考虑等距步长，记为 h = 0 。- t , ( i = l ，2 ，n ) ，并记( z ) 表示以上的x ( t ) 或y ( f ) 以下是三种最常用的有 限差分数值微分法： 厂( f ，) 丝掣，f - l ，2 ，加1 ( 2 1 0 ) 厂( f f ) 丝掣，f _ 2 ，3 ，儿 ( 2 1 1 ) 厂( f 弘丝掣，f = 2 ，3 ，川 ( 2 1 2 ) 分别称为向前差商、向后差商和中心差商3 怍冬f ( t i ：。) 在卢处作泰勒展开，得 于是 ( f f ：。) = 厂( i ) + ( t 。一i ) 厂( ) + 垒生t 丢三丘厂”( f ，) + ! 生型j 生厂”( ) + 第2 章微分方程的参数估计 一 半( f ：f ) + 五h 八卅可h 2 九抄， ，l z ：j ： 掣= 厂。一五h 厂+ 可h 2 厂+ ，z z ：j ： 掣= 厂+ 酉h 2 厂+ 酉h 4 广b 卜 定理2 1 利用有限差分数值微分法求解一阶导数值一( f ) 、j ，( f ) 产生的截断误 差分别是： 向前差商：巨= 一去矽。( 点) = d ( 办) ， 向后差商：岛= 去矽。( 色) = d ( 矗) ， 中心差商：岛= i ( h 2 f 。( 乞) = o c h 2 ) ， 其中缶( ，“。) ，色( 书) ，磊( 中0 。) ；厂( f ) 毒示上面提到的工( f ) 或j ，( f ) ； h = “i t j ( i = l ，2 ：万) 舍入误差在数值微分计算中有重要影响【3 5 1 对于中心差商的截断误差h ，由 定理2 1 有 八伊去【厂( “) 川删一等厂( 舢 ( 2 1 3 ) 设计算厂( + 。) ，厂( 一。) 时，舍入误差为e ( 一) ， p ( 0 - ) ，q 可得( + 。) = 夕( “) + e ( + 。) ， 厂( 一。) = 夕( 一。) + e ( 一。) ， 其中夕( 0 。) ，夕( 一。) 为厂( + 。) ，厂( 一。) 的近似 假设函数厂( x ) 的三阶导数以m 为界，则中心差商法产生的截断误差为 2 m 6 定理2 2 ：有限差分数值微分法产生的总误差万由舍入误差和截断误差两部分组 成嘶s 掣一红 证明：由式( 2 1 3 ) 可知，有限差分数值微分法的中心差商差生的总误差值为： 1 4 第2 章微分万栏册爹毅俩订 一一一 万一掣 = 盟1 2 2 兰h 盟一生6 厂”( 善) _- _ 。 丝! ! ! 二丝= ! ! 一生m ， 2 6 。 其中夕( f f + 。) ，于( 一。) 表示厂( + 。) ，厂( 一。) 的近似值，e ( 一。) ， e ( + - ) 为舍入误 差即总误差万由舍入误差和截断误差两部分组成 证 毕! 假定舍入误差e ( “) ，p ( f j + ，) 以某一数s 为界，那么有 l p ( o 。) 占i 厂( ) 一 i 三+ 笙m ( 2 1 4 ) h6 c a ( 2 1 4 ) 式可以看到，为减小截断误差笙6m ，必需减小 ；另一方面， 的 减小使舍入误差增加了所以在实际应用数值微分的向前差分，向后差分，中心 差分时，应选取合适的h ，从而保证方法的可行性以及数据的准确性 第3 章统计性质 第3 章统计性质 这一章将给出方程( 2 2 ) 中参数估计值的统计性质- 首先记l i i i i 卿= ( 引厂( f ) 9 p ( f ) 以) i ，o 弼( 乡) 则统计模型可看作标准模型 3 1 一致性 如果微分方程( 3 1 ) 是部分线性关系，则设 其中x = u t i , , t 1 t ，“r d , ，1 ，r 以，d 。+ d 2 = d ，初始条件 1 6 ( 3 3 ) 参川l 非 吖刚0 义0 z - ， 有 m 是 于 = 凯 函卜 正 有 的 而 上 从 u ， 4 、， 卜 力卜 嵋 吁 “ “ g 阿 = = “ v ，、l 第3 章统计性质 就是用“( ) 代替方程( 2 2 ) 中的x ( ) ，q 为d - 维我们虮在想估计参数05 【7 7 ，a j ， h 是非线性函数，彳是矩阵，通过0 。可估计参数v 又由于初值为v ( o ) = 的非 齐次线性微分方程。= 么y + h ( ；矽) 的解在文献【2 3 】已经给出， v f 0 l 】，乏( r ) p ( 纠) v o + f e x p ( ( ) 彳) h ( 乏；秒弘 ( 3 5 ) 对群( 秒) 的估计依赖于初始值，同时须估计 (参，：。)=戳苫。m，i，n，群c刁，爿，=l卜。一f(三。，；。；叩)8。，。 如果日满足枷c 汜条件，在口中，积分式f e x p ( ( r s ) 爿) 日( 会。；p 弘依概 率一致地收敛于j e x p ( ( f 一5 ) 彳) 日( “；口净，于是群( 见彳，) 也满足收敛的渐近 准则 弼( 护，) = 8 厶一f ( “，v ；秒) 9 。， 知 其中群q ( 9 ，v o ) 满足式( 3 3 ) 定理3 1 假设参数口= ( 7 ，a ) ，其中a 为矩阵，f 在k 中满足k - l i p s c h i t z 条 件，o ，矽) o ，1 】o ，v s o ，乏。一三。专o ，。( f ) 肜几乎处处，则有 s u p l r q ，。( r , a ，v o ) - a ：( 7 7 ，a ，v o ) l = 咋( 1 ) ( r l ，a ) 。 证明：i r 删q ( 7 7 ，a ，v o ) 一聪( 7 7 ，彳，v o ) l ：llun，、：，刁，)11。，。uz：(。z，、，刁，彳)z；(t+，刁，4)ll。，。1 根据范数的性质有， l r 删q ( 刁，a ，v o ) 一弼( ，7 ，彳，) l s l i ( 。一f (