（应用数学专业论文）非线性方程xaxqai（q＞0）的hermite正定解.pdfVIP

山东大学硕士学位论文 非线性方程x + x g a = ，( q o ) 的h e r m i t e 正定解 曲文蕊 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到 方程的解由于h e n n i t e 正定解在实际中应用较多，所以我们只讨论此类解的 情况在现实生活中，方程x + 小x a a = ，的来源相当广泛，包括控制理论， 动态规划，统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域关于此类 方程的求解通常涉及到三个问题：( 1 ) 可解性问题，即方程有解的充分和必要 条件；( 2 ) 正定解的性质，即解的唯一性，解之间的可比较性，解的估计，多 解性；( 3 ) 数值求解问题，即有效的数值方法 首先，本文讨论了方程 x + a x 2 a = j( 1 ) 在g o 时的可解性，主要结论如下： 定理1 对任意的矩阵a c - l “，方程( 1 ) 总是有解 定理2 若为非奇异矩阵，方程( 1 ) 有解的充要条件是存在酉矩阵p ，q 和 对角矩阵o r o ，使得 a = p 4 r q 2 q e p 。 其中，+ = j 此时x = p ”是方程( 1 ) 的解 定理3 若a 是正规矩阵，一定存在酉矩阵p ，使得a = p 以p ，其中以= 出叼( ，k ，a 。) ， ( f = 1 ，2 ，n ) 为a 的特征向量，则方程( 1 1 ) 的解x = p d f 叼( p 1 ，p 。) p ，其中胁是m + a p = l 唯一正定解0 = 1 ，2 ，n ) 山东大学硕士学位论文 1 方程( 1 ) 有唯一解x ，并且满足 其中p ，e 满足方程 并且 2 x 可以由以下迭代得到： h lsx i l 一_ 【= e 丝 1 一e = “ 。) + l = ( ( a ) 一1 ( ，一k ) 一1 a 一1 ) 1 向；n = o ，1 ，2 ， 其中阻，e 耳 s 令p = 等 - ，则 o 一矧：为j j 墨一肚，o 矗一驯。南| j 一k 川。 ( 4 ) ( 5 ) 当o q l 时，本文证明了方程( 1 ) 的解唯一，并对此唯一解做了扰动分 定理1 lo 口 1 时，方程( 1 ) 对a a ，有解并且其所有的解都在 b j ，舢内 定理1 2o g 1 时，方程( 1 ) 有唯一的正定解x ，并且x 口，口n 对任 意蜀陋，明迭代 k + 1 = ，一a 4 弼 ，l = o ，l ，2 ， 收敛到x ，即l i m = x 定理1 3 设x 和贾分别是矩阵方程 和 x + a x 9 a = ，0 g 1 爻+ 罾爻q 彳= j ，o g o 近似于矩阵方程x + 岔鄹a = ，( o 0 b yt h ef 0 u o w i n gt h e o r e 脚 t h e o r e m1e q ( 1 ) h a sa 鲫1 u t i o n f o ra n y a “ t h 弛m2f b ra n yi n v e r t i b l em 8 t r 呔a 口跏，e q ( 1 ) h 鲳8s o l u t i o ni fa n d 删妙i f t h e r e 酷tu n i t a 呵m a t r i o pa n d q 躲dd i a g 伽出m a t r i 嘲0 r 0 而t h r + e 2 = js i l d l t h a t a = p + r q 2 0 e p i n t h i 8c a 靶x = p r p i sa s 0 i u t i o no f e q ( 1 ) t h e o r e m3 ai sn o n n a l ，t h 盱e 耐s t 8al l i n t a r yps u c ht h a t a = p a 尸，a = 旃凹( a 1 ，a 2 ，k ) ，( = 1 ，2 ，凡) a r e t h ee i g e i l 、，a l u 鹤，t h e n e q ( 1 ) h 踮t h e f o l l o 丽n g s o l u t i o nx = p i d i 叼( 肛1 ，比，蜘) p ，w h e r e 雎i gt h e1 1 n i q u ep o s i t i v es o l u t i o o ft h e e q u a t i o n 胁+ 碍脚= l f o r i _ l ，2 ，n v 山东大学硕士学位论文 。o 嗍篑t o x ，t h 8 t i s ，墨氅= x t h e o r e m l 3s u p p e t h a t x 柚d 贾唧t h es o l u t i o 璐o f t h e m a t r 波e q u a t i o n s x + a x 4 a = j ， o 口 l a i l d 贾+ 矛牙q 彳= ，o 口 ob ea na p p r o 妇m a t i o nt ot h es o l u t i o nxo f t h ee q u a t i o n x + a + x q a = ，( 0 o ， t 2 ) l l q l q - 1 m 则对方程 x 一印x 一1 a = 口和贾一矛贾一- 彳= 百 的任意解x 和贾，都有 错s 和帮s ；黼+ 篱( z + 雠) 山东大学硕士学位论文 并且，如果 i 赢， 则 钎；黼+ 帮e ， 1 i x | i 。s 【q | i mj i ，j 但是这两个引理给出的扰动估计依赖于对系数矩阵a ，q 较强的限制，这将无 法讨论不满足此限制条件的方程的扰动估计 在方程( 1 2 ) 研究的基础上，j ，g i v a n n o v ，v i h a s a n o v 和b v m i n c h e 、，将 此类问题进行了扩展，在【1 3 】中讨论了方程x 土x 一：a = j 的情况首先， 此文在第三节提供了方程( 1 2 ) ( g = 一2 ) 的两个迭代方法即： 弱= 札竺鲨 i 疋+ 1 = 、a ( 墨一j ) - 1 小，s = o ，1 ， 等竺+ 啮删，”一 阻s ， i k + 1 = ，+ a x i 2 ，s = o ，1 ， 、7 其次，此文给出了方程( 1 2 ) 的解存在的充分条件，其重要结果概括如下； 1 若a 非奇异且满足以下条件 ( i ) a 芝二三堂陋一1 ) ， ( i i ) 兰一扣a l 咖酽压蒿( 而器) 2 q 其中a o ，则方程( 1 2 ) 有正定解 2 若( i ) a a 2 ( a 一1 ) ， ( i i ) ( 篙) v 2 一扣a l ( i i t ) 茄咚 得u + a u = a 引理2 2 1 2 0 】( 奇异值分解定理) 设aj 纂；型l l 幕一，。滗津蹑磊薯墓2 ?羔手镯蕉蓊 、j 壁- 錾霭。 “! i 喜o= 薹器塞 j x a ，其中x 由迭代序列 山东大学硕士学位论文 性并且对非线性矩阵方程x 一岔x p a = j ( o p 1 ) 的h e r m i t e 正定解做了 扰动分析 前面都是研究的g 为负实数的情况，r a ，r i n g s 在 1 8 】中进一步讨论了g 为 正实数的情况，证明了o q o ) 的解文中以 2 1 】为基础，讨论了方程的可解性和解的一些性质，以及在【2 1 】的 基础上进一步研究g 为所有正实数时的迭代方法和迭代解的收敛性并且， 本文讨论了非线性矩阵方程x + a + x 。a = ，( o 口 o ，使得方程y + ”y q a = j 令y ； 出叼( m ，p 2 ，p 。) ，则得到y 是方程的解 定理2 4a 为非奇异矩阵，当o g l 时，若方程( 1 1 ) 有解为x ，则 舭) 竿 证明由于方程( 1 1 ) 有解为x ，由定理2 2 得，存在酉矩阵p ，q 和对角阵 o o ，o m 1 ，t = 1 ，2 ，n 由f + e 2 = ，得m + 砰= 1 ，m = 1 一砖，l = 1 ，2 ，n 故 p ( a ) 0 e r 一“2 0 = m 磐 以( 1 一) 一q 2 ) 令，( 盯) = 盯。( 1 一盯z ) 一，则，协) = 2 盯( 1 一盯2 ) 一一一1 ( 1 一盯2 + 妒2 ) 所以当盯= 可同 时，( 口) 。= 血i 碧兰故 峄纠1 _ 矿一2 ( 1 - c r 2 2j 。南= 甓竽， 因此p ( a ) s 蛀笋证毕 定理2 5 若a 为j # 奇异的正规矩阵，当o 口 1 ) 的迭代求解 我们对当q 为大于1 的实数时对解的唯一性进行讨论 注3 1 ：【2 1 】中只是对g 为整数时进行了讨论 定理3 1 对任意h e r l i t e 矩阵o 1 ，都有 i l x g y 9 i | 2 曲9 “0 x y 憾 证明令m = 【q 】，t = 口一m ，则o 1 ，g = m + t 对任意x ，y w i l x 4 一y 9 1 1 2 = i l x “x 一l ，”y l | 2 = l i ( x ”一y ”) x + y “( x 2 一y 。) 1 1 2 首先 故 i l ( x m y m ) x | | 。0 x 2 2 i l x m y m i | 。 = “矾隆州1 y 一虬 j i x i i z i l x ”一1 一i y x l y l0 。 6 l 6 “一1 一0 y x 忆 = m 垆1 | i y x 怯 又可知当o t 1 时，函数x t 单调递增，且x w ，y w ，得 1 1 y 一y 2 0 2 t 矿一1 l i y x | | 2 所以 | | y “一y ) z 0 l ，剐。0 f p i i 。 t 扩6 t - 10 y x 她 t 酽- 1 l i y x 怯 0 x 4 一y 9 0 2 0 ( x “一l ，”) x l | 2 + i i y ”( x 一矿2 m 铲- 1 | | y x l l 2 + t 伊- 10 y x i f 2 = g 垆一1 8 x y 1 4 山东大学硕士学位论文 下面证明f 在n 上是压缩算子对任意的蜀，恐n ，由定理3 1 得 l l f ( x ) 一f ( 恐) i l 。 = 8 a ( x 一霹) a q “一1 ) 0 a a i l 2 l i h 一恐0 2 = p i f j ，1 一磁恢 其中p = 口i i 小圳2 口r 1 1 故f 是压缩算子由b a n a c l l 压缩映象原理，定理得 证证毕 定理3 3 若 i 业盖掣( 心南 则 1 方程( 1 1 ) 有唯一解x ，并且满足 恤i s x s l ， 其中“e 满足方程 1 一p = 毯( 3 3 ) 并且 1 一e = 9 a( 3 4 ) 2 x 可以由以下迭代得到， + l = ( a 1 ( ，一) 1 a _ 1 ) v q ，n = o ，1 ，2 ，( 3 5 ) 其中【p ，j 3 令p = 等 1 ，o x l ，可推出 协) ( g 南，所以可以推出 p o ，若o g o 由( 4 5 ) 式，可得 i i x 一