（信号与信息处理专业论文）模态分析及信号处理在桥梁检测中的应用.pdf

摘要 本文介绍了国内外桥梁结构检测几种常用方法，并以土木结构动力特性为研究对 象，用模态的方法对其进行研究，然后详细的介绍了几种常用的模态方法。文章重点研 究了在环境激励下，桥梁结构的模态参数识别问题。 首先，系统地介绍了环境激励下模态参数识别频域过程，重点讨论了峰值拾取法， 并在深刻理解的基础上对峰值拾取法进行证明。 其次，描述了几种常用的模态方法。重点介绍了，研究了它的算法过程，并讨论了 把它应用在土木工程中的可行性。对模态参数识别的小波变换方法进行论证，通过该方 法计算得出多自由度粘性阻尼振动系统的模和相位。详细研究了小波的阈值去噪和奇异 性检测的过程，并对测得的桥梁扭转信号进行奇异性检测。 最后，将模态参数识别方法应用到实际桥梁检测中。对实际桥梁进行外观结构检测， 静力荷载检测和动力荷载检测。用i t d 法计算出桥梁的固有频率和阻尼比，并和理论值 进行比较。动力荷载检测以桥梁的加速度信号为研究对象，对测得的原始信号进行信号 处理，得到桥梁固有频率，把它和理论值进行对比，得出相对误差，结果表明基于小波 的模态分析方法优于其他模态方法。 关键字：环境激励，模态参数识别，小波变化，奇异性检测，土木工程结构 a b s t r a c t i ti si n t r o d u c e dt h a ts e v e r a lc o m m o na p p r o a c h e sa b o u tb r i d g e ss t r u c t u r ei n s p e c t i o nf r o m h o m ea n da b r o a d i ti st a r g e t e da tt h ec i v i ls t r u c t u r ed y n a m i cc h a r a c t e r , w h i c hi s s t u d i e db v t h ew a yo fm o d e ，a n dt h e ns e v e r a la v e r a g em o d ew a y sa l ei n t r o d u c e di nd e t m l i ti s m a i n l y s t u d i e dt h a tt h em o d ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o no f b r i d g es t r u c t u r eu n d e rt h es i m p l es t i m u l a t i o n e n v i r o n m e n t f i r s t l y , i ti ss y s t e m a t i c a l l yi n t r o d u c e dt h a tt h ef r e q u e n c yd o m a i no fm o d ep a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o nu n d e re n v i r o n m e n t a ls t i m u l u sa n dt h ew a yo fp e a kp i c k i n gi sm a i n l yd i s c u s s e d i nt h ep a p e r i na d d i t i o n ，t h ew a yo fp e a k p i c k i n gi sp r o v e d s e c o n d l y i ti si n t r o d u c e dt h a ts e v e r a lc o m m o nm o d ew a y s i ti sc h i e f l yi n t r o d u c e dt h a t t h ei t dw a y , i t sa l g o r i t h mi ss t u d i e da n di t i sd i s c u s s e dt h a tt h e f e a s i b i l i t ya b o u ti t s a p p l i c a t i o nt ot h ec i v i ls t r u c t u r e a n di t i sd e m o n s t r a t e dt h a tt h ew a v e l e tt r a n s f o m a t i o no f m o d ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n i ti sc a l c u l a t e dt h a tt h em o d ea n dp h a s eo f t h em u l t i d e g r e eo f f r e e d o md a m p i n gv i b r a t i o ns y s t e m i ti ss t u d i e dt h a tt h r e s h o l dd e n o i s i n go fw a v e l e ta n dt h e p r o c e s so fw a v e l e ts i n g u l a r i t yt e s ti nt h ep a p e r t h e nb r i d g er e v e r s i n gs i g n a li sd e t e c t e da b o u t t h es i n g u l a r i t y f i n a l l y , i ti sa p p l i e dt h a tm o d ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nt ot h ee n g i n e e r i n g t h er e a l b r i d g ei st e s t e da b o u tt h ea p p e a r a n c es t r u c t u r e ，s t a t i cl o a di n s p e c t i o na sw e l la sd y n a m i cl o a d i n s p e c t i o n t h ei n h e r e n tf r e q u e n c ya n dd a m p i n gr a t i oo fb r i d g ei sc a l c u l a t e db yt h ew a yo f i t d ，a n dc o m p a r e dw i t ht h et h e o r e t i c a lr e s u l t d y n a m i cl o a di n s p e c t i o ni s t a r g e t e da tt h e a c c e l e r a t e ds i g n a lo ft h eb r i d g ea n dt h ep r i o rs i g n a li sp r o c e s s e d t h e nt h ei n h e r e n tf f e q u e n c y i s c a l c u l a t e d ，c o m p a r e dw i t h t h et h e o r e t i c a lr e s u l ta n dr e l a t i v e e r r o ri s a c q u i r e d t h e e x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h em o d ea n a l y s i sb a s e do nw a v e l e ti sb e u e rt h a no t h e ro n e s k e yw o r d ：e n v i r o n m e n t a ls t i m u l u s ，m o d ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ，w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，s i n g u l a r i t v i i 长安大学硕上学位论文 第一章绪论 1 1 论文研究的背景和意义 随着我国经济的发展，越来越多的大桥矗立在江河湖海上，而这些大桥不仅方便了 我们的出行，而且使我们的城市变得更加美丽。基于桥梁结构损伤识别的研究，是近几 十年来随着桥梁工程的不断发展和工程实际需要而提出的一个新兴课题。进行桥梁安全 性检测和识别的目的是通过一定的方法，测试结构的实际状态参数并判断结构是否出现 损伤和损伤的程度，为以后桥梁结构的加固和修补提供了参考依据。因此如果我们能提 早发现桥梁损伤，并及时诊断出损伤的具体位置以及损伤程度，工程技术人员就可以制 定出可行的修补和加固方案。对桥梁及时修复，不但可以继续使用，延长桥梁寿命，而 且可以节约成本和保障路人安全。 桥梁健康监测的实质其实是结构损伤识别，损伤查找的成功研究对如何建立损伤修 补和桥梁以后加固有重要指导意义。因此需要将损伤识别理论与方法得以解决并应用于 实际工程当中。所以，开展桥梁结构损伤识别研究，具有重要的理论意义和实用价值。 传统的结构分析理论为了确保结构设计的稳定性主要是从强度、稳定性等方面研究 的。主要是等土木结构完成以后，再对该结构进行静力实验，主要了解它在试验荷载作 用下的工作状态，通过测试它的强度、挠度、刚度、应变等，再分析它是否满足桥梁规 范。结构损伤识别的理论经过多年的发展已经非常成熟了。然而它只针对结构精确的静 力设计和静载试验，这样是不能充分地保证结构的可靠性。复杂的环境会产生较大的动 力荷载，它对桥梁的动力特性会有一定的影响，例如交通荷载、风荷载、地震等，桥梁 结构还要承受发洪水时，水流的冲击，以及河水上涨船只对它的撞击。所以我们只对它 进行静力实验是不能达到要求的。 因为动力的影响造成桥梁坍塌的例子不胜列举。例如在1 9 6 0 年，美国密西西比河 大桥( 图1 1 ) 建成后五年，就因为动力原因造成共振而坍塌。所以对桥梁结构进行全面的 检测和评估，不但要掌握桥梁结构在静载作用下的特征参数，而且需要充分掌握桥梁结 构在动力荷载下的特征参数。一个完整的桥梁检测工作应该包括外观检测、静力荷载检 测和动力荷载检测，只有这样才能为我们安全的出行提供重要保证。 第一章绪论 图1 1 风致振动引起坍塌的美国密西西比河大桥 结构振动的主要模态参数是频率、振型和阻尼，这些参数构建的模型即为模态动力 学模型，用其衡量桥梁结构的动力特性，不仅物理概念清晰而且还具有直观，简单的优 点。如：依据该模型可以计算出土木结构对实际荷载作用的响应，并据此对其振动的校 核和结构的修改，所以说，结构进行动力特性分析的基础是准确地识别土木工程结构的 模态参数。本文重点研究桥梁结构模态参数识别的理论、计算机实现并处理有关数据和 工程实际应用，有着重要的理论意义和工程实用价值。 1 2 国内外研究概况 模态参数识别方法的分类方法有多种，例如：依据对激励响应自由度的个数可分为 多入多出( m i m o ) 方法、单入多出( s i m o ) 和单入单出( s i s 0 ) ；依据响应自由度的运用状 况可分为局部识别法与整体识别法；以及依据模态参数的识别方式分为频域法与时域法 等。 根据应用的普遍性和实用性，因此把模态参数识别的方法分成时域法和频域法，这 种方法最方便并且最能体现它的特点。 1 2 1 模态参数识别的频域法 频域法主要有：非线性最小二乘法、单自由度法、频域多参考点识别法、正交多项 式拟合法以及复模态指示函数法等，它是一种传统的模态参数识别方法。 长安大学硕士学位论文 频域法是在二十世纪7 0 年代中期逐渐发展起来的，单点激振频响函数法和多点稳 态正弦激振法是其所采用的关键技术。单点激振频响函数法被广泛的使用着，它的优点 是方法简单，并且所需的设备少；多点稳态正弦激振方法多被使用于精确地提取出分布 密度较高的模态，但它还有诸多不足，例如，实验设备庞大、实验耗时长、对激振力的 适调依赖于经验等，航空航天等重要部门普遍使用这种方法，例如该方法就被很好的使 用在伽利略航天器地面模态试验中【l 】。 导纳圆法和分量分析法是频域单自由度识别两种方法。导纳圆法是一种模态参数曲 线拟合的方法，它的识别精度非常高，其通过在固有频率附近采集多个数据进行识别； 分量分析法是将频响函数分成实部分量和虚部分量进行分析。总的来说，频域单自由度 识别法简单且使用，但是十分局限仅在系统各阶模态较好解耦时使用。随着信息技术的 不断发展，在实际应用中，单自由度方法已经用得越来越少，所以频域多自由度分析法 就被广泛的使用。 2 0 世纪8 0 年代中后期开始出现频域多自由度识别法，其中以非线性最小二乘法最： 具有代表性，这是一种几乎使用了全部测量数据，对模态振型、系统的极点、模态参与 因子等进行整体估计的频域多自由度识别法，故估计精度相对较高，然其初值的选定须 多加关注【2 1 。应用实例如：c y 6 1 4 0 机床实验模态分析【3 ，4 1 。 正交多项式拟合是运用正交多项式依据频率响应函数整体对模态振型、系统极点、 模态参与因子的进行可行性分析，其是由r i c h a r d s o n 、v a n h 等人证明的【5 7 1 。这种方法， 把非线性优化问题转化为线性优化的问题来处理，不仅降低了计算过程中系数矩阵的条 件数，还降低了运算中所运用的方程的阶数，这就降低了错误方程出现的可能性。 频域多参考点识别法( s f d ) 是一种复杂的算法。首先利用多输入一多输出频响函数来 获取测量数据，使用得到的数据识别低阶完整直接模型，而后整体对模态振型、系统极 点、模态参与因子进行估计。该方法为了使辨识变得精确，它使用了响应点和激励点的， 所有信息，而且与其所辨识的各阶模态参数相一致，这样有益于降低人为因素的干扰【8 j 。 频域多参考点识别法( s f d ) 通过多输入多输出频响函数获取测量数据用以识别低 阶完整直接模型，而后整体对模态振型、系统极点、模态参与因子进行估计。该方法几 乎使用了全部激励点和响应点的信息，这不仅使辨识更准确，还与其所辨识的各阶模态 参数相一致，有益于降低人为因素的干扰。 将复模态指示函数( c m i f ) 用于多参考点输入实验的方法被f l a d u n g 提出，这种方法 的基本流程可概括为如下三个步骤：第一步，计算频响函数矩阵的奇异值；第二步，将 第一章绪论 第一步求得的奇异值表示于坐标系其中横轴表示频率，纵轴表示频率的位置；第三步， 通过前述的单自由度法识别系统的模态换算因子及极点。这种方法虽然可以大大降低模 态参数识别的数据运算量，但是它在求解高耦合系统时产生了较大的误差【9 】。 1 2 2 模态参数识别的时域法 时域法又被称为多自由度分析法，传统的i t d 法、最小二乘复指数法、特征系统实 现算法、时序分析方法是最基本最常用的识别方法。随着人们对模态技术在应用和研究 上的进一步深入，许多新的分析方法被衍生出来，例如，随机子空间法、n e x t 法、神 经网络识别法等。 二十世纪7 0 年代初，传统i t d 法开始崭露头角，从i b r a h i m 发表的多篇论文起始， 宣告时域模态参数识别方法的诞生，随之该方法获得了不断的发展1 1 2 】。i t d 法是指通 过实验得到结构自由响应数据，然后识别出系统模态参数，最后利用模态参数建立系统 特征矩阵并求出特征值。振动系统的固有频率和阻尼比可以利用系统特征值和模型特征 值之间的关系求出来【b 】。i t d 法也有一些缺点：噪声对其有一定影响；很难剔除噪声模 态；而且病态问题也会伴随着高阶矩阵；因而使用率比较低。 二十世纪7 0 年代后期，b r o w n 提出多参考点最小二乘复指数法( l s c e ) 【1 4 】，它是一 种多输入形式时域模态参数识别的方法。该方法为了达到很高的精度，它把所有激励点 与响应点的数据进行分析。为了得到系统的振型、模态频率和模态阻尼，它充分利用了 脉冲响应函数、留数以及极点之间的关系。最小二乘复指数法的计算量要比传统i t d 法 小得多，所以得到了广泛的应用。例如，美国国家航空航天局在对射星( j e t s t a r ) 层流控制 飞机地面振动模态识别时使用了这种方法【1 5 1 。 j u a n g 将系统实现理论运用在模态分析中，并且提出了特征系统实现算法( e r a ) 【1 6 】， 它是一种时域子空问参数识别的方法。e r a 算法首先要测出系统的自由响应和脉冲响应 数据，其次以控制论中的最小实现法则为基础，利用测得的数据来估计状态空间模型。 e r a 算法的具体过程是：先构造一个矩阵，再通过对这个矩阵进行奇异值分解得到相应 的系统矩阵，然后求出系统矩阵的特征向量和特征值，这样就可以得到系统的模态参数。 该方法被用在苏联的和平号空间站的结构动力学试验中，利用自由衰减数据进行对结构 模态参数进行提取【1 7 】。e r a 是目前比较常用的方法，该方法具有鲁棒性【18 1 ，但其抵抗 噪声能力相对较差，因而需要对e r a 方法做进一步的改进，使之更加实用。改进方法 目前常用的如：使用e r a d c ”】和利用q r 分解的e r a 递推格式【2 0 1 等等。 除以上方法外，比较常用的方法还有时间序列分析方法，2 0 世纪7 0 年代初b o x 和 4 长安大学硕士学位论文 j e n k i n s 两位研究工作者深入的研究了时间序列分析方法的理论和应用，2 0 世纪8 0 年代 初，研究员p a n d i t 等把统计理论运用到时间序列分析方法中，并在此基础上做了大量研 究，提出了在时间序列分析方法中使用动态数据，很快将它用到模态分析的研究中【2 1 2 3 1 。 1 9 8 7 年我国的傅志方很好的解决振型识别问题以及模态参数识别精度问题【2 4 】，提出了 维时序模型( a r m a v ) 模态分析方法。 环境激励下的模态参数识别方法，除了前面已经提到的i t d 法，1 9 9 3 年j a m e s 等 人将一种称为n e x t ( n a t u r a le x c i t a t i o nt e c h n i q u e ) 的模态参数辨识的方法首次在自己的 报告中使用，同时将该方法在汽轮机叶片在工作状态下固有频率和模态阻尼的测试中进 行了成功应用【2 5 2 7 1 。它的基本思想是利用系统脉冲响应函数与两个响应点之间的互相关 函数之间的表达式具有相似性，并求出两个响应点之间的互相关函数，随后运用时域方 法识别出系统模态参数。1 9 9 5 年p e e t e r sb 等人提出第二种环境激励下模态参数识别方 法，该方法被称之为随机子空间方法【2 8 】。随机子空间法主要运用在平稳激励下的线性结 构参数辨识工作当中，抗噪声干扰能力强。针对某些大型结构来说，环境激励下的模态， 参数识别具有特殊意义，如大跨度桥梁的振动模态测试、大型海洋平台的测试、高层混 泥土建筑物2 9 3 4 1 。 随着工程应用实践的不断深入，涌现出大量的非线性问题，系统特性的数学模型单 用线性系统已经很难准确建立。这使系统的识别问题越来越困难，由此提出了一种称为 神经网络的识别方法。该方法无需建立数学模型和识别格式，但是由于非线性系统过于 复杂，目前还处于研究阶段。 1 3 数据采集系统 图1 2 动力测试数据采集系统 1 3 1 振动测试系统组成 1 振动信号的测量 振动信号测量是由传感器和放大器组成，传感器用于获取振动信号，放大器用于将 5 第一章绪论 传感器所输出的电信号进行加工。振动测试传感器又可以成为拾振器，它将振动信号变 换成电参数。也就是说，振动测试传感器的是将被测的振动物理量转换成电参数如电压、 电流或者其他电参数如电阻、电容、电感等主要形式的信号。因为对于不同的传感器输 出的信号的电参数也不尽相同，常常需要通过特定的放大器或者变换器对不同类型的电 信号进行放大、阻抗变换、调制解调等加工处理，这样满足需求，达到便于输送和数字 化处理的模拟电信号。 2 振动数据的采集 振动数据采集部分由数据采集器、计算机和采集软件系统组成，数据采集器用于转 化模拟信号为数字信号，计算机和采集软件系统用于操纵数据采集器进行采样并保存数 字信号。数据采集器的首先要按等长时间间隔对模拟信号进行采样即离散化，然后将离 散时间信号量化，即对每一个瞬时模拟量通过数模转换装置转换成数字量，于是得到时 间离散的数字信号。 1 3 2 振动测试的仪器 常用的振动测量传感器按工作原理可分为：第一，发电式传感器，输入量是振动物 理量，输出是电量。第二，参数式传感器，它的输入是振动物理量，输出是电参数，此 类传感器有电阻式传感器、电容式传感器、电感式传感器。 1 3 3 采集系统的工作原理 在测试过程中，振动测量仪器输出的是随时间连续变化的物理量，称为振动模拟信 号。将模拟量转换成相应的数字量的装置称为模数转换器( a d c ) ，这是采集器的核心。 数据采集是指将连续的模拟信号按相同时间间隔进行采样量化并将结果储存于计算机 内的过程。完成这一过程的系统就是数据采集系统。 6 长安大学硕士学位论文 第二章桥梁结构模态参数识别、理论和方法 2 1 概述 桥梁结构损伤达到一定程度会引起桥梁忽然断裂倒塌，并造成巨大经济损失甚至人 员伤亡。但是桥梁结构中的初始损伤一般很难被我们发现，所以对桥梁结构中是否出现 损伤、出现的位置、损伤的程度做出准确识别判断就需要及时而准确的对桥梁结构进行 健康检测和评估，这样就可以有的放矢进行维护和修补。桥梁结构的工程结构参数包括 阻尼、质量、刚度、柔度等，动力特征包括频率、振型等。当桥梁结构出现损伤时，桥 梁结构的动力特性和桥梁结构参数就会发生变化，损伤的出现不但降低了桥梁结构的刚 度、增大桥梁结构的阻尼、而且会改变桥梁结构的振动频率和振动模态。本章主要对桥 梁的模态参数概念以及模态参数获取的方法进行深度研究。 2 2 模态方法的原理简述 2 2 1 模态、模态分析、试验模态分析 模态是工程结构的固有振动特性，每一个模态都有它特定的固有频率、阻尼比和模 态振型。它以线性叠加原理为基础，一个复杂的振动系统可以分解成许多模态的叠加， 我们把这个分解的过程称为模态分析。模态参数是通过实地测量再通过计算分析可以 得到。如果模态分析过程是通过有限元计算方法取得，则称之为计算模态分析；如果它 是通过将实测数据经过参数识别获得，则称为之实验模态分析。一般我们所说的模态分 析都是指实验模态分析。振动模态是弹性工程结构的固有、整体的特性。我们可以通过 模态分析的方法弄清楚工程结构物体在某个频率范围内各阶主要模态的特性，这样就可 以推断工程结构在此频段内在各种振源作用下的实际振动响应。所以说模态分析对工程 结构动态设计和损伤识别诊断具有重要意义。 2 2 2 模态参数 在一般情况下把每一个模态作为一个单自由度系统的振动固有频率、阻尼比以及整 个工程结构在这个模态下作纯模态的振动的振型三个参数称之为模态参数。但是对于大 多数弹性系统理论上具有无穷多个模态，实际工程过程中也只有若干低阶模态发挥自身 作用。 2 3 结构模态参数识别 模态分析技术是从上世纪六十年代中后期发展起来，迄今为止已经发展的非常成 熟，目前被广泛应用于化工、土木、航空、机械、造船等领域。 7 第二章桥梁结构模态参数识别、理论和方法 模态参数识别是模态分析技术罩的重点内容，按照使用的激励信号把模态参数识别 分为传统模态参数识别方法( 人工激励是通过激励信号和响应信号进行参数识别) 和基于 环境激励的模态参数识别方法( 通过自然振动，然后再依据系统的响应就能够进行参数 识别) 两类。 传统的模态参数识别方法是通过一些激振设备对结构进行振动测试，再利用信号采 集处理仪器采集结构的振动响应信号3 6 1 。这种方法的不足之处在于耗费大量的人力和财 力，而且还要花费很多经费在激励上，操作起来难度也很大。针对结构复杂的大型桥梁 这种方法有两处不足：第一，如果实验时激振力过大，会对桥梁结构的造成损伤。第二， 试验现场复杂的环境，激振设备不能满足测试要求，这就会造成测试的数据质量往往不 达标。如果对桥梁进行复杂的健康检测，交通就会被截断，会给出行的人们及车辆造成 诸多不便。因此传统的人工激励方法不适合大型桥梁结构的模态参数识别。 2 4 环境振动模态分析的基本概念 2 4 1 基本概念 环境振动模态分析现在已经在土木工程结构方面大范围应用，而且它的应用也越来 越成熟，所以将它运用在大型桥梁健康检测中也是大势所趋。 在实际操作中，真实的环境与实验室环境差别较大，所以应该充分考虑周围复杂的 环境影响。另外，还会有一些非线性因素，而且因为一些现实的原因造成输入载荷是几 乎得不到的。所以由输出振动直接估计模态参数的新技术就应运而生。 环境振动模态分析也叫做周围环境振动模态分析，或者运行模态分析，在运行中的 模态分析和自然输入模态分析等。无论它的名称如何，所讲内容都是相同的，可以使用 自然激励作为系统的输入，例如，海洋波，风，或者车辆，人群等等，总而言之，它的 模态参数是通过无人为的激励作为输入振动响应信号来估计。 2 4 2 环境振动模态分析与传统模态分析比较 环境振动模态分析的优点有以下四点。 第一，操作起来十分的方便。在测量数据时，环境振动模态分析比传统的模态分析 要简单的多。环境振动模态分析中不需要任何激励器以及相关装置，它将周围环境产生 的自然力作为激励。因此，就可以选择一个有代表性的激励点而不用反复移动激励器， 这样就可以节省大量工作时间。 第二，测试过程具有连续性。为了使测量数据更精确，对结构的测试时间会非常长， 长安大学硕二仁学位论文 这就降低了效率。传统模态测试时，交通流需要被打断，桥梁需要被占用，而且测试的 设备容易老化。但是环境振动模态分析在试验期间结构亦然可以正常使用。 第三，多输入多输t b ( m i m o ) 的模态技术。多输入多输出技术的优点是：1 提供大量 的模态数据，提高了准确度。2 可以发现重复极点。传统模态分析是单输入单输出的技 术。而环境振动模态分析是一种以自然的力量作输入的多输入多输出技术。例如，来往 车辆，风，人群等都可以作为环境激励源。 第四，现场模态测试。对于大型的土木结构建筑物或者大型桥梁是不能使用冲击锤 和震荡器作激励源。由于存在许多未知的输入量在结构上，所以传统的模态分析是是难 以办到的，甚至是无法使用的，但这恰恰是环境振动模态分析的优势。当有很多随机输 入源，对于环境振动模态分析来说，就会得到精确的模态分析结果。这种技术被称为环 境振动模态分析是因为需要在实际现场测试数据，并以周围环境为激励源。 2 5 模态参数识别的频域方法 2 5 1 结构振动方程 多自由度体系结构的运动微分方程如下式： m x ( r ) + c x ( t ) + k x ( t ) = 厂( f )( 2 1 ) 其中：m 为结构的质量矩阵，c 为结构的阻尼矩阵和k 为结构的刚度矩阵。如果不 考虑结构的非线性因素，则结构可以用振型叠加法进行计算。x ( t ) 是在连续时间t 时刻 的位移向量：x ( t ) 表示位移向量对时间的一阶导数即速度向量；x ( t ) 表示加速度向量；f ( t ) 表示所加的外部激励向量【3 7 】。 式子( 2 1 ) 是用系统的物理坐标来描述的运动方程组。运动方程是依据牛顿第二定律 来建立方程的，用物理坐标系统来描述，一般是以质量为平衡对象，它的本质是一个复 杂的动力平衡方程，对这个方程很难直接求解，这是因为每一个质点之间的连接条件或 者相容条件使方程组之间必然是互相耦合的。 模态分析是对无阻尼系统中的各阶主振型的物理坐标进行解析，使得各主振型最终 以其对应的模态坐标表示，同时将耦合的方程组通过解耦的方式得到与其一对应的微 分方程组，这些方程组都具有坐标独立、均由模态坐标进行表示的特点。模态振型应用 在桥梁结构中时，具体是指在对桥梁结构进行无阻尼振动时，其变形能的一种固有平衡 状态。模态振型不会依存其它的任何平衡状态，即任何一个模态均是不耦合关系。进行 模态分析工作的中的物理坐标转换为模态坐标的方法是求解系统的特征值，得到系统的 q 第二章桥梁结构模态参数识别、理论和方法 特征值进而可以求得系统的特征向量，根据特征值与系统的模态频率和模态阻尼、特征 向量与模态向量之间的关系，均可以分析得出系统的固有特性。 2 5 2 传统频域识别过程 传统模态参数频域识别的过程为：首先要同时得到实测的输入输出信号，其次对 得到的信号进行傅里叶变化，再次按照模态分析方法计算得到频率响应函数( 又简称为 频响函数f r f ) ，最后利用频响函数和模态参数之间的关系，直接在频域中识别模态参 数。 1 傅里叶变换和拉普拉斯变换 通过拉普拉斯变换可以将线性时变的微分方程转化为代数方程，建立传递函数。对 时间信号进行拉普拉斯变换为： x ( s ) = 三 z o ) 】= ix ( t ) e x p ( 一s t ) d r ( 2 2 ) 式中：j = 仃+ t o 是复变量，它是拉普拉斯因子，它有一个非常重要的性质： x ( 纠= s x ( s ) - x ( o )( 2 3 ) 令t = 0 时则x ( t ) = 0 ，通过上式可以得出：对其时域内求导和在拉普拉斯域内乘以复 变量s 后相等。 若令复变量s 仅在纯虚数的范围内取值，即s = j t o ，则公式( 2 2 ) 可以变为： x ( j t o ) = ix ( t ) e x p ( 一j c o t ) d t( 2 4 ) d - o o 上式被称为傅里叶变化，它的傅里叶逆变换为： x ( ，) = i 1e x ( 扣) e x p ( j t o t ) d t( 2 5 ) 2 传递函数和频率响应函数 对于一个具有线性特性的系统，对其两边做拉普拉斯变化，用一个函数来表示输出 信号的拉普拉斯变换与输入信号拉普拉斯变换之比，这个函数被称为传递函数，它体现 了输入与输出之间的关系。线性系统的传递函数h ( s ) 是当初始条件为零时，输出的拉普 拉斯变换的象函数与输入的拉普拉斯变换的象函数2 _ 1 ：1 二t 3 8 1 。对式( 2 1 ) 1 拘i 等式两边同时做 拉普拉斯变换得到： ( m s 2 + c s + k ) x ( s ) = f ( s )( 2 6 ) 式中x ( s ) 表示系统输出位移信号的拉普拉斯变换，f ( s ) 表示外部激励的拉普拉斯 变换。则传递函数为： 1 0 长安大学硕士学位论文 耶) = 哿= 丽丽1 ( 2 7 ) 显然看出，传递函数是个复数，包括实部和虚部。线性系统的频响函数是输出的傅 立叶变换函数与输入的傅里叶变换函数之比。这表示传递函数的定义域仅为虚数时，即 复变量，称之为频响函数： 日( j c o ) = 日( j ) l s = 归2 - 6 0 2 m + 二j c o c + k ( 2 8 ) 频响函数表示在频域内，系统对外部激励的作用而产生的反应。对于有个自由度 的系统来说，频率响应函数为复数矩阵。其中它的每一个元素都是的函数。频响函数 也可以表示为模态坐标形式： 酬= 喜唼焉音器， 仁9 ， 上面公式( 2 9 ) q b ：n 为模态阶数；以、 是结构的一对共轭特征值( 极点) ；帆、帆 为第n 阶模态向量及其共轭。还可以用h ( c o ) 表示频响函数。对频响函数做逆傅立叶变 换后，可以得到时域的脉冲响应函数矩阵： 砸) = 窆i = 1 ( 迸a ie 碱卅警e x p ( 碲) ) ( 2 1 0 ) 在单位脉冲输入作用下系统的输出反应可以用脉冲响应函数表示。 由式( 2 9 ) 可知，频响函数包含了结构所有的模态参数，当输入频率位于结构的自振 频率范围附近时，频响函数会出现峰值，峰值即为特征频率的良好估计。 3 功率谱密度函数【3 9 】 当系统的输入u ( t ) 为随机的环境激励时，就需要用信号的统计特性来表示。假设环 境激励信号是白噪声信号，白噪声信号的均值为零，即e u ( t ) 】= 0 ，则其自相关函数是与 时间t 无关的函数： 民。( f ) = e u ( t + r ) u 7 ( f ) 】= 9 6 ( r ) ( 2 11 ) 式中是r 。常数矩阵，6 ( ，) 是狄力克拉( d i r a c d e l t a ) 函数，对于任意函数f ( t ) ，在时间 a 点连续，则： lf ( t ) 8 ( t a ) a t = f ( a ) ( 2 1 2 ) 表示两个不同信号之间的相关性的函数被称之为互相关函数。它从时域角度描述了 随机信号的特性。相关函数的傅里叶变换与功率谱密度函数相等。若对任意随机过程x ( t ) 第二章桥梁结构模态参数识别、理论和方法 的自相关函数( ，) 做傅里叶变换，那么就会得到它的自功率谱( 自谱) 函数： ( 国) = 1 如( t ) e x p ( 一j o 【) t ) d t ( 2 1 3 ) 假设噪声为白噪声，那么根据狄力克拉( d i r a c d e l t a ) 函数特性，由式( 2 1 2 ) 可知： 瓯。油) 。l 咒。( t ) e x p ( 一j ( g t ) d t = 兄。 ( 2 1 4 ) 互功率谱密度函数( 简称互功率谱) 是通过对互相关函数进行傅里叶变换得到的。 对于输入输出系统，可以推导出频率响应函数和功率谱密度函数的关系为： s w ( c o ) = ( ) 瓯。( o o ) h 爿( c o )( 2 15 ) 当输入为白噪声激励时： s w ) = h ( c o ) r 卫。) 日月( c o ) ( 2 1 6 ) 4 相干函数 相干函数是互功率谱密度函数模的平方除以激励和响应自功率谱乘积所得到的商： c 叫( ) = 币is 丽眇( c o 而) r - ( 2 1 7 ) 其中，s 。，( ) 为互功率谱密度函数，瓯。佃) s 珂( ) 为自功率谱密度函数 相干函数是表示两个随机振动信号在频域内相关程度。对于一个随机振动的系统， 评价输入与输出信号的因果性可以用相干函数来表示，即输出信号的频率响应中有哪些 是由输入信号的激励引起的。通常情况下，在随机振动测试中，计算出来的相干函数的 值为0 l 之间的正实数。工程上通常采用相干函数e 。 ) 来评判频响函数的优良， g 。 ) 越接近1 ，则表明噪声的对其的影响越小，频响函数的估计结果也就越好。一般 认为c 。，) 0 8 时，频响函数的估计结果比较可靠准确。 2 6 频域识别的峰值拾取法 传统方法的基于输出和输入模态参数的识别法和频域识别的峰值拾取法两者之间 有着非常密切的联系。按照上面的结论可以看出，在激励频率周围出现自振频率的时候， 频域函数中就会有缝制的出现，顺便特征频率就得到了好的估计。从式( 2 9 ) 和式( 2 1 5 ) 两个式子中，可以得出功率谱的模态分解形式：当系统受到环境影响的时候，就不能准 确的测量出系统的输入，频率响应函数也就不存在很大的意义了。如果仅存在一个输出 信号，为了确认结构响应信号功率谱的相关参数，可深入研究周边环境振动响应的自功 率谱和频响函数之间的相似关系。在这个过程中，特征频率可通过功率谱密度函数曲线 1 2 长安大学硕士学位论文 上的峰值予以确定，所以将这种方法称为峰值拾取法。 渺c 喜c 去矗+ 瓦1 一器炉螬i 1 而v , v + 孑i 器氘舶， 式( 2 1 8 ) 是两个求和式的乘积，其中每一项的含义是特定模态的贡献。如果结构的 阻尼比较小，可以得到： = 一鲁q + ，1 一等 ( 2 1 9 ) 若系统的模态频率是平均分布的，那么在特征频率m 处，且对功率谱函数的函数值 贡献最大的是某单一模态，此时功率谱的近似值可表示如下： 蹦栌( 去器) r u 。( 专矗) h ( 2 2 。) 因此，可以认为系统的固有频率就是在功率谱图形中的峰值点对应的频率，于是选 取峰值点，再找到与其相对应的频率，就能确定系统的固有频率了。 式( 2 2 0 ) 的a ，是复实数， a ，= 万妥l f ，t r 。y j ( 2 2 1 ) ( 毒。q ) q a a y 。”“ 、7 则式( 2 2 0 ) 中，在特征频率处功率谱可写为： s w ( q ) = a ，y ，l f ，j ：f ，( 2 2 2 ) 从式( 2 2 2 ) 可以看出，在特征频率处，功率谱矩阵的任一行或任一列都可以看成对 应于某个比例参数的模态振型1 】f ，的估计。然而，相对于模态振型的节点，矩阵中对应系 统某个自由度的一列或者一行，是不能识别该阶模态的。 在峰值拾取法中，识别系统的阻尼的方法是半功率带宽法。在对应特征频率 处， 系统的功率谱出现峰值，4 就是它的幅值。和魄分别表示特征频率q 前后幅值 4 = 4 2 的频率值，称它为半功率点，这时的功率就是峰值功率的一半。如图2 1 ： 第二章桥梁结构模态参数识别、理论和方法 幅 值 图2 1 半功率带宽法 可以求出系统该阶模态的阻尼比为： 毛= _ c o b - - - 6 0 0 ( 2 2 3 ) z q 半功率带宽法在计算系统阻尼时候，它需要测试适合的数据的频率采样率，并且 准确画出该系统的功率谱图，由于频率采样率是测试前已经确定的，绘图过程中难免出 现误差，所以这种方法识别的系统阻尼是很不可靠的。 因为土木工程结构尺寸一般都非常大，实验测点也比较多，所以为了在检测中得到 包含所测点的功率谱密度的信息，可以通过平均正则化功率谱密度( a n p s d s ) 选取峰值， 从而进行频率识别。平均正则化功率谱密度的计算公式如式( 2 2 4 ) 所示【4 1 】： a n s d ( f k ) ：导圭掣 ( 2 2 4 ) 坼。1 p s d , ( f k )j - _ 一 k = l 其中，是有效的测点数量，z 表示测得的总的离散频率数量，五表示测得的第七个 离散频率，p s d , ( f k ) 表示由以求得的第f 个测点的功率谱密度函数，式( 2 2 4 ) 将多个 有效测点的功率谱密度合成为一个，将大大简单化多测点模态参数识别过程。结构模态 振型的频域识别决定于传递函数在特征频率处得幅度。如环境振动峰值拾取法，其传递 函数是结构响应与参考点响应的比值，而不是结构响应与输入的比值，这是因为此种情 况下输入是未知的，相对于参考点，每一个振动相应都有一个传递函数与之对应。这样 就有一个隐含假设：在峰值处的动力相应仅是由一种模态所决定，此假设在阻尼较低且 1 4 长安大学硕士学位论文 模态分离较好时是比较理想的。目前，峰值拾取法已在工程实践中得以大量应用。这也 是本论文中桥梁结构模态参数的识别所采用的方法。 2 7 本章小结 首先本章介绍了模态、模态分析的概念。模态是工程结构的固有振动特性，每一个 模态都有它特定的固有频率、阻尼比和模态振型。把每一个复杂的振动系统分解成许多 模态叠加的过程称为模态分析。其次介绍了模态参数识别的频域方法。对模态参数识别 的过程进行了详细的数学推导。然后重点介绍了峰值拾取法，峰值拾取法是一种简单实 用的模态参数识别的方法。 1 5 第三章实验模态参数的识别方法 第三章实验模态参数的识别方法 3 1 实验模态参数的概念及的特点 实验模态参数识别是模态参数识别最常用的一种方法，它也是振动信号处理的一个 重要组成部分。从检测所得到的振动信号数据中，确定待测系统的模态参数的估计，是 它要完成的主要工作。这些参数主要包括模态的刚度，质量，固有频率，振型和阻尼比。 时域法和频域法是当前模态参数识别的主要方法。 当人们研究一个振动系统时，一般用数学表达式来描述，称之为建立系统的数学模 型。建立系统的数学模型是结构动力学所研究的一个基本但又非常重要的内容。振动系 统的动力响应分析、减震隔震、振动控制等都与数学模型密切相关。需要先了解系统的 各种物理特性和它所服从的规律，才可以建立系统的数学模型。采用实验的方法，分析 和测量得到的系统的激励和相应数据，然后建立起它的数学模型，使这个模型所代表的 系统近似等价于所测量得到的系统。这种方法称之为系统识别。数学模型可以分为参数 模型和非参数模型两类。参数可以确定参数模型，唯一性是它重要的特征，并且它也是 一个数学模型。 一个多自由度线性振动系统，若己知系统参数( 阻尼矩阵 c 、质量矩阵 m 、刚度 矩阵 k ) ，那么就可得到系统的数学模型： m x o ) + c 】 x o ) + 【k 】 x o ) ) = 厂o ) ( 3 1 ) 参数识别( 也叫参数估计) 就是建立参数模型的系统识别过程。【m 】、 c 】和 k 】是 物理参数，如果对【m 、【c 】和【k 】进行识别，就称为结构参数识别。 系统识别和参数识别的概念是有区别的。系统识别利用实验数据识别方程的；通过 实验数据对已知方程式情况下的参数进行估计就是参数识别。当确定可以利用模态模型 对默认的实际结构进行动态响应的描述，对这些实验数据进行处理、分析，并且求出模 态参数就是模态分析法。模态分析的本质就是坐标的转换，在新的坐标系中对原来的坐 标系中的响应向量进行重新描述，振动系统的特征向量正好是这个坐标系统的基向量， 它们是一一对应的关系。响应向量的每个坐标就是利用每个特征向量坐标之间的正交特 性来进行恰当的描述。它们之间是互相独立而无耦合的。因此，这种坐标系的每一组坐 标都可单独求解，且振动方程是一组互不耦合的方程。 振动系统的模态参数识别，不是最终的目的，它只是结构动力特征分析的方法和手 段。它的最终目的在于应用参数识别的结果来解决结构动力学中的重要问题。它可以用 1 6 长安大学硕士学位论文 来做故障检测、修改结构设计、振动控制等。 常用的模态参数识别方法有功率谱峰值拾取法、a r m a 模型时间序列分析法、自然 环境激励技术、随机减量法、复指数法、i t d 法。 1 功率谱峰值拾取法 模态参数是有t g 。c a m e ，e b e r h a r dl u z ，等人利用谱峰法提取出来的，具体分下 面四个