《微积分与数学模型》教材编写基本思想.pdf

2 0 0 8年 9月 第 2 6 卷第 3期 太原 理工大学学报( 社会科学版 ) j o u r n a l o f ta i y u a n un i v e r s i t y o f te c h n o l o g y( s o c i a l s c i e n c e s ed i t i o n ) s e pt 20 0 8 vo1 26 no3 微积分与数学模型 教材编写基本思想 贾晓峰 ， 魏毅 强 ， 王希云 ( 1 太原理工大学 理学 院 ， 山西 太原 0 3 0 0 2 4 ； 2 太 原科 技大学 数学系 ， 山西 太原 0 3 0 0 2 4 ) 摘 要 ： 微 积 分 与 数 学模 型 教 材 是 用 以 替 代 原 高 等 数 学 教 材 的 。 该 教 材 产 生 于 以“ 启 发 应 用 意 识 ， 提 高 应 用 能 力 ” 为 宗 旨 的 、 针 对 非 数 学 专 业 的 多项 教 学 改 革 项 目 。 文 章 介 绍 其 编 写 基 本 思 路 为 ： 在 强 调 直 观 的 基 础 上 ， 改 善 对 数 学 原 理 的 叙 述 ， 并 在 强 调 思 想 性 与 综 合 性 的 基 础 上 模 块 式 地 融 入 数 学 建 模 内容 。 文 章 还 对 改 革 内容 进 行 了具 体 介 绍 。 关 键 词 ： 微 积 分 ； 数 学 建 模 ； 应 用 能 力 中 图 分 类 号 ： g4 2 o 文 献 标 识 码 ： a 文 章 编 号 ： 1 0 0 9 5 8 3 7 ( 2 0 0 8 ) 0 3 0 0 7 1 - 0 4 微积 分 与数 学模 型 这 部 教材 ， 是 我 们 在 1 9 9 6 2 0 0 5年期 间多 项教 学改 革项 目( 其 中两 项 在教 育 部立项 ， 一项 得 到山西 省教 育厅 重点经 费 支持 ) 的实 施 中 ， 以“ 启 发应 用 意识 ， 提高 应 用 能力 ” 为宗 旨 ， 为 在 数 学教 学 中 突 出素质 教 育 ， 以及 培养 学 生 的创 新 能力 和应 用 能力 ， 将 微 积 分及 与 之 相关 的数 学模 型 内容进 行整 合而产 生 的_ 】 。 该 书 自 1 9 9 9 年 在高 等教 育 出版社 和 s p r i n g e r出版社 联 合 出版 以来 ， 经 国 内 多所高校使用 ， 获得好评 ， 并获得 2 0 0 2年全国优秀 教材二等奖 。如今教材再版在即， 编者欣慰之余 ， 也 深有 如履薄 冰之感 。 令 人高 兴 的是 ， 十年 的教学 改革 进 程 ， 不仅 没有动 摇初衷 ， 反 而使 当初 不甚 成熟 的改 革思 想渐渐 清 晰而形成 系统 。然 而这 一 系统毕 竟 与 原教材 的体 系大 有不 同 。 为便 于使 用起 见 ， 我们 将编 写思路稍加整理， 罗列如下 ， 一方面试 图引起共鸣 ， 另一方面， 也作为交流和抛砖引玉之用 。 希教学同仁 不吝 赐教 ， 使 教材 渐臻 完善 。 ( 一 ) 教 材编 写的 思想 渊源 2 0世 纪后 半 叶 ， 尤 其 是 近 三 十年 来 ， 计 算 机 的 发 展给数 学 带来 了革命 性 的变 化 ， 而且 通 过 数 学模 型 和 电子 计 算机 ， 数 学 已在几 乎 所 有 的高 技术 领域 扮 演 了越来 越重 要 的角色甚 至 主角 。 如今 ， 对 于一个 科研人员或工程技术人员 ， 使用计算机已成为一种 基本 的能力 和素 质 。但 计算 机 的介入 必须 依赖 一定 的 数学 工具 ， 所 以计 算 机 的介 入 通 常 就意 味 着 数学 的介 入 ， 计 算 机 能力 很 大 程度 上 就 成 了数 学 的 实践 能力 。 而在 数学 的实 践能力 中 ， 最重要 的又是数 学建 模能 力 。它反 映 了一个科 研 人员 和工 程技术 人员 最 基本 和 最重 要 的研 究 能 力 和解 决 实 际 问题 的 能力 ， 反映了一个人在现代信息社会的基本素质。尤其是 当今科学技术领域都在追求“ 高精 确、 高速度、 高 自 动 、 高 安全 、 高效 率 和高 质量 ” 的形势 下更 是 如此 j 。 所 以培养 学生 的数 学建模 能 力应是 大 学数学 教育 最 重要 的 目标之一 。 但 迄今 为止 ， 这一 能力 的培养 并未 在大 学数 学 主干教 材 中得到 应有体 现 。这就 给我 们 提 出了 巨大 的、 前所 未有 的挑 战 。 尤 其是 非数 学类专 业 的数 学教 育 ， 由于要 同时 完 成数 学 基 础知 识 教育 和应用能力培养 的两大任务 ， 且受学时所限， 面临的 形势更 加 严峻 。 基于 以上 出发 点 ， 我们经 多年 努力 ， 将微 积分 及 相关 的数 学模 型 内容整合 为 微积 分与 数学建 模 课 程 ， 并 编写 出相 应教 材 。 教材编写的基本出发点是， 首先， 结合当前的科 学教 育发 展水平 和需 要 ， 以及 我 国的教 育现状 ， 认 为 原教 材 ( 以 同济 大学 高 等数 学 第 三版 为例 ) 对数 学 理论 内容 的取舍 大 致是 合理 的 。 但 另一 方面 ， 在教 学 改 革实 践 中 ， 与 国 内外 不 同模 式进 行 认 真 比较 使 我 们认 识 到 ， 由于 高等 数 学 教 材脱 胎 于 前 苏联 教 材 体系口 ， 再往前追溯 ， 则其核心内容是从数学分析课 程经 简化 、 修 改而来 ， 所 以存 在下 面一 些 问题 。 首 先 ， 由于原 教材 脱 胎 于数 学 专业 的 数 学 分 析 教 材 ， 而 数 学分 析 教材 本 来并 不 重 视微 积 分 的实 际应 用 ， 这 就 使原 教 材在 微 积分 应 用 的 内容 方 面 “ 先 天不 足 ” 。 其次， 原教材在从数学分析中简化和降低难度时 ， 又 收稿 日期 ： 2 0 0 8 0 6 2 6 作者简介 ： 贾晓峰 ( 1 9 4 7 一 ) ， 男， 山西太原人 ， 太原理 工大学教授 ， 首届 山西省 高校教 学名 师， 研 究方向为数学模型、 图论 。 太原理工大学学报 ( 社会科学版 ) 第 2 6 卷 删除了较为艰深 的理论 内容 ， 以利于非数学专业教 学之用 。这本是必然的举措 ， 但正因其重点在于“ 删 简” ， 所 以同时导致 高等数学 教材中微积分的部分 思 想也 变得 隐 晦而难 以理解 。国 内有识 之 士早 已指 出， 高等数学 教材有“ 重推理 ， 不重说理” 的弊病， 正是对这一问题的形象描述。讲不清微积分的思想 方法 ， 再加上不重视应用 ， 就构成 了 高等数学 教材 的两 大弊病 。 而 且这 两大 弊病在 “ 几 十年一 贯制 ” 的 ， 被应 试 教育 方式 主导 的教学 活 动 中 ， 早 已成 为根 深 蒂 固的积 习 ， 对 改革形 成 巨大 的阻力 。 具体而言 ， 从原教材 ( 以同济大学 高等数学 第 三版为例) 总体编排看， 存在下列问题 ： 1 ) 重视数学 体 系完整 ， 轻视数学知识应用 ； 2 ) 重 推理 而不 重说 理 ， 造成教材 内容 可读性差 ， 不利 自学 ； 3 ) 对例题和 习题 ， 过度重视解析解 ， 轻视近似解、 数值解 ； 4 ) 在应 用 内容 方面 ， 存在 重科 技 、 轻 经济 的倾 向 。 应 试教 育带来 的不 良后 果还 有很 多 。例 如 近似 性 是 工程 思维 的特 征 ， 也是 强 调 数学 建 模 教育 的需 要 。现行 高等数学 教材上已包含一定量的近似计 算和数值计算的内容( 注意这是微积分应用的精华 和优 势 所在 ) ， 但 由于 这部 分 内容不 便 闭 卷考 试 ， 所 以在教 学 中从来 不被 重视 ， 以至 于对 于例题 和 习题 ， 同样也是过度的重视解析解， 轻视近似解和数值解。 还有一点值得特别指 出的是 ， 体现在课程实践 环节 上的习题选择的问题 。 这类 问题常被人们忽视 ， 但却 属于极重要的教学环节。时下流行的高等数学习题 集 ， 存在的问题大都集中在以下两个方面 ： 一方面是 部分题 目涉及数学理论过于艰深 ， 以至其 中许多已 超出非数学专业学 生的应有水平 ， 而且要害是许 多 题 目与微积分 的思想根本无关 ； 另一方面是一些题 目盲 目增添不必要的解题技巧 ， 它并非蕴涵知识 的 综合性 ， 仅仅是在思维的“ 巧妙性” 上做文章 ， 其最主 要 的功 能不过 是考 考学 生 ( 这 并非 完全不 需要 ， 但绝 对不能太多 ， 更不能成为习题 的主流) 。其中数学理 论 过 于艰 深 的题 目当然 与 高等 数 学 内 容脱 胎 于 “ 数 学分 析 ” 有关 ， 也 可 能 和选 题 教师 本 人 出 自数 学 专业有关 ， 一旦有需要“ 加强数学教育” 的呼声， 而又 缺乏正确的指导思想的时候 ， 最 自然省力的做法 ， 就 是向数学专业的内容靠拢。 而那些单纯注重“ 解题技 巧” 的题 目， 显然 是 高 等数 学 课 程 多年统一 考试 带 来的应试教育的后果。由于几十年一贯制的应试教 育 ， 这类 题 目为数很 多 ， 而 且早 已“ 深得 人 心 ” ， 成 为 许多教 师训 练及 测试学 生 的法宝 。这些 问题 都在 一 定意义上预示了改革的阻力与困难。 ( 二 ) 改革 途径 ： 在 强 调 思想 性 与 综 合性 前 提 下 融入数 学建模 内容 新 教 材建 设 中 ， 首 先 遇 到 的是 如何 在较 为 直 观 的基础 上 ， 深 入浅 出地 阐述微 积分 思想 本质 的问题 。 这 一 问题 在教 材 中解 决 起来 是 比较 困难 的 ， 但 数 学 史 上早 已提示 了解决 这类 问题 的途径 。 众所 周知 ， 历 史 上 本来 就是 先 产生 了微 积分 的数 学 模 型 ， 然 后 其 理论才逐步走向严密， 逐步走向完善化的 ， 4 所以一 般性地介绍微积分的思想本质 ， 并非必须学习数学 分析 中的艰深理论 。 我们完全可以借鉴历史， 在较为 直观 的水平 上介 绍微 积分 的思 想方 法 。 当然 ， 为 了使 学生 对微积 分 的思想本 质及数 学建模 思 想有足 够 的 理解 ， “ 直 观” 应该 在恰 当的水 平上 。例 如 ， 我们 不宜 像某些西方的微积分教材那样 ， 使微积分的理论过 于空泛。 _ 5 我们在新教材编写 中， 在引进积分概念、 引进微元法等处都借鉴了数学史和直观性 ， 努力使 学 生既 知其然 又知其 所 以然 。 与数学思维相比， 工程思维的突出特征是其综 合性， 所 以在数学中加强综合性的教育和训练， 对数 学建模思想与数学内容本身的融合是非常有利 的。 这就是说， 要将数学建模思想融人数学课程中， 就要 先对数学课程作“ 适应性改造” ， 要先从数学内容“ 内 部 ” 适 度地加 强综合 性做起 。就 这一 目的来说 ， 我们 认 为 首先 应 该 而且 比较 容 易 做 到 的 是 对 习题 的 改 造。因为现有的高等数学习题集中已包含了一些综 合性题 目， 在此基 础上进 行修改 和增 补 ， 已经基本上 可 以满足要 求 。 当然 ， 需 要根据 突 出微 积分 的思想 以 及数 学建模 的要 求 、 甚 至贴近 “ 工程 思维 ” 的要求 ， 对 这类题 目进行选择或改造。 至于教材 内容本身， 加强 综合 性则要 注意 适度 。 因为过 度强调 综合性 ， 有可 能 冲淡 微 积分 理论 本 身 的脉 络 和思 想性 ， 导 致不 伦 不 类 ， 这样 就得不偿 失 了 。 最重要 的是如何将数学建模内容融入微积分教 材之中。我们认 为， 这一工作有两方面值得特别注 意 。 一方 面 ， 现行 工科微 积分教 材 由于只 注重数学 理 论本身的脉络 ， 而并不考虑数学建模思想和方法 的 教 育 ， 所 以虽然 教 材 中 已包 含 了不 少 数学 应 用 的例 题和习题 ， 但这些“ 应用题” 穿插于数学理论的间隙 中， 只能作为理解数学理论的例证 ， 而难以使学生学 到数学建模方法。数学建模有其不同于数学理论 的 规律和法则。 例如就微积分内容而言， 导数对应于某 一 变量 的变化 率 ， 这 是最基 本 的 ； 利用微 元法可 以建 立 积分 求 某些 总量 ， 也 可 以建 立微 分 方 程求 某些 未 知 函数 ， 但这些在原教材中都缺乏足够的篇幅加 以 第 3 期 贾晓峰等 ： 微积分与数学模型 教 材编写基 本思想 指导， 从而都有待在新教材 中加强。另一方面 ， 微积 分 本 质 上 就 是 一 类 数 学模 型 ( 例 如 所 谓 “ 无 穷 小 模 型” ) ， 其思想根本上与数学建模思想是吻合 的。 这提 示我们 ， 在微 积分 课程 中融 人数学 建模 内容 ， 不 仅毫 不勉强 ， 而且 有希 望收 到双 重功效 ： 一 方 面可 以使学 生学 到数 学建 模 知识 ， 另一 方 面 也 可 以使 学 生加 深 对 微 积分 思想 本 质 的理 解 ， 而后 者 既 是课 程 的根 本 目标之一 ， 也有利于后继的学习。出于以上原 因， 新 教材 必须 同时 注重数 学理 论和 数学 建模 教育 两个 方 面 。我们认 为 ， 解 决这 一 问题 的最佳 途径 ， 就 是在微 积 分理 论 的适 当部 分 ， “ 模 块 式 ” 地 加人 数 学 建模 内 容 。这样 做 ， 一 方 面可 以避 免 对 数 学理 论 内容 的干 扰 ， 保 证 了 主干基 础 课程 在 数 学理论方 面 的要求 ， 另 一 方面 ， 也有利 于集 中透彻 地介绍 数学建模 的思想 和 方法 ， 同时还有利于安排数学建模的实践训练 。 还有一 个重要优点 ， 就是具有 良好 的可操作性 。 以上思路 是我 们在 教学 改革 的实践 过程 中逐 步 明确 的。 值得 特别指 出的是 ， 就我们 在教 学改 革 中所 取 得的一 些经 验而 言 ， “ 在 强调 思想 性 与综合 性 的基 础 上融人 数学建 模 内容 ” 的思路 是 完全 可行 的 ， 并且 已经 在教 学实践 中取 得 了 良好 的效果 。当然 首先 需要 教 师本 人对 此 思 路 有足 够 的认 同 ， 同 时也 要在 实施中付出应有 的努力。 而上述的教学改革实践 ， 也 使我们深深体会到 ， 这一路程是漫长而艰巨的。 如果 没有 良好 的环境 和 各 方 面 的配 合 ， 如果 不 付 出艰 苦 的努力 ， 改革 绝 不可能 成功 。 ( 三 ) 改革 的具体 内容 和思路 针 对 以上 思 想 ， 我 们在 教 材 编写 和 修 改 中采 取 了如下 措施 。 1 借 鉴 历 史 ， 强调 对数 学原 理 和 背景 的 直观 介 绍 ， 提 高教材 的 可读性 数 学 专业 的 学 生 ， 由于 有 较 深入 的理论 学 习和 足 够 的训 练 ， 所 以对 微积 分数 学原 理 的掌握 较深入 。 但 非数学 专业 的学 生在数 学原 理 的训练 方 面不可 能 与 数学 专业 的相 比 ， 鉴 于 这 一 点无 论 对 理论 和 应用 都 是极 为重 要 的 ， 所 以教 材 应在 数 学 原 理 和背 景 的 直观 阐述 方面 给予加 强 。例如 “ 极 限” 概 念 的困难在 其 抽象 性 ， 为什 么 一 定要 通 过 e 定 义 阐述 极 限? 牛顿和莱布尼兹创立 了微积分 ， 其标志就是牛顿一 莱布 尼兹公 式 吗?又 如“ 微 元法 ” 是微 积分 应用 的重 要手 段 ， 其本 质含 义何 在 ? 为 什么 它是 精确 的?无穷 级数 应 用 中有用 的是幂 级 数 和傅 里 叶 级 数 ( 体 现为 对 函数 的“ 点” 逼 近和“ 全局 ” 逼 近 ) ， 为什 么要研 究那 么多 常数项 级数 ? 我们 采用借 鉴 历史 、 强调 直观 阐述 的方式 回答 了上-述 问题 ， 争取为工科学生达到“ 解 惑” 的 目的， 使学生既“ 知其然” ， 又能在一定程度上 知其“ 所以然” 。这样既可以使学生加深对数学原理 的理解 ， 受到数学思维方法的训练 ， 又可以提高其应 用能力 。 例 如为 了加 深直 观认 识 ， 有 利 于微积 分 的应 用 ， 我们 特 别对 幂 函数 、 多 项式 的简 单性 质进行 了强 调 ； 在介 绍 “ 凑 微分 法 ” 时 ， 我 们 特别 在 “ 微 分 形式 不 变 性” 的基础 上 ， 引进 “ 积分 形式 不变 性” ， 将 “ 凑微 分 法 ” 分为 两个 步骤 ， 使教 学效 果大 大改 善 。 2 强调微 积 分 的计算 功能 微积 分 的巨 大威力 很大 程度上 依 赖于 它给 出的 计算 公式 和方 法 。 通 过 电子计 算机 ， 这些 方法 在实 际 应用 中都 可 以发挥 巨大效 用 。 另 一 方 面 ， 介 绍 这些 方 法 既有 助 于对 微 积 分原 理 和全 貌 的理解 ， 也 有利 于扭转 “ 解 数学题 就是 求解 析 解 、 精确 解” 的片 面观念 。 所 以在微 积分课 程 中， 应 给一些 简单 而又 基本 的计 算方 法 以应 有 的重视 和训 练 。 但微 积 分不是 计算 方 法 ， 增 添这些 内容 必须 严格 取 舍 。新教 材增 添近 似积 分法 三种 ： 矩形法 、 梯形 法 和辛 卜 森方法 。 其 中前两种不仅简单 ， 而且有利于强 调 “ 积分 和 ” 概 念 ； 辛 卜 森 方 法则仅 作 为 自学 要求 ， 开 阔眼界 ， 让学 生知 道有更 精 确 的近似 积分法 。 斜率 场 和 欧拉 折 线法 的引 入是 基 于 以 下思 路 ： 多 数微 分 方 程都 是 难 以积 分 求解 的 ， 然 而 给定 一 个 一 阶微 分 方 程就 是 给定 了一 个平 面上 的斜 率 场 ， 而 欧 拉折 线 法 是沿 斜率 场寻 找近 似 曲线 的最 简单 方法 。 进 一步 ， 我 们 也 给 出龙 格 一库塔 方 法 ， 以开拓 学生 眼界 。 在微分 方 程解 法 中 ， 我 们还增 添 了幂 级数解 法 ， 因为 这在提 高理论 的完 整性 和应 用两 方 面都是 重要 的 。又如经 济 学 中“ 复 利 ” 的计 算 既是 很 有 用 的 ， 同 时又 有 助于 加 强 对 微 积 分 理 论 本 身 的 理解 ， 所 以我们 也纳入 积 分应用 内容 中。差分与插值方法是微分在离散 情形下 的近似 ， 我们也在微分学应用 中进行 了简单介绍。 3 加 强对微 积分 知识 应 用方 法和原理 的介 绍 微 积分 知识 的应用 ， 这 里指 其数 学建模 ， 也有 规 则 和法则 。 这 都需 要在 教学 中有 足够 的强 调和训 练 。 只 把 “ 应 用题 ” 穿 插 于数 学 理 论 的 间隙 中 ， 作 为理 解 数 学原 理 的例 证 ， 显 然难 以让 学 生学 到 相 应 的数 学 建模 方法 。 所 以 ， 工科 微 积分 教材 只注 意数 学理论 本 身 的脉络 是不 够 的 ， 也应 强调 “ 应 用” 的思想 方法 。 例 如 ， 对 于微 元法 的 引入 ， 我 们 不仅 介 绍具 体 算 法 ， 同 时还 利用 微分 概念 在直 观基础 上 ( 同时介 绍 “ 以直 代 曲 ” 等 提法 ) 努 力 阐述 其 原 理 ， 进一 步 还佐 以我 国数 学史 上 的著名 例证 ( 刘 徽 和祖 咂 的工作 ) 。 我们 认为 ， 7 4 太原理工大学学报 ( 社会 科学版) 第 2 6 卷 这样做虽然增加了教材篇幅， 然而有利于学生重视 和掌握微积分的根本思想方法 ， 所以是值得的。 同时 在教 材下 册 的各 种 积 分 和微 分 方 程 内容 中 ， 也努 力 对微元 法 在直 观基 础上 的强调 。 4 数 学理论 内容的顺序要有利于强调应用 对 高等数学 教材的理论 内容顺序， 我们做 了 如下 重要 调整 。 ( 1 ) 积分学 中 ， 先提 出定 积 分概 念 ， 介 绍 微 积 分 基本定理和近似积分法 ， 然后才介绍不定积分法 。 这 样 做是 基 于如下考 虑 ： 首先 ， 这样 做有 利于强 调 积分 概念 的“ 模 型性 ” ， 从 而 有 利 于建 立 积分 模 型 ； 其 次 ， 这样做 也有 利 于削 弱原教 材对 不定积 分技 巧 的过度 强 调 。还 有 一 点值 得 一 提 ， 就是 我 们在 教 学 中 发现 “ 牛顿 一莱 布 尼兹 公式 ” 的 提法 易 于误 导 学生 ， 使 学 生 忘 记 它 并 没 有 全 面反 映微 分 和 积 分 的逆 运 算 关 系 ， 所以在新教材中我们也对此进行 了修改。 ( 2 ) 将 无穷 级 数 与 空 间解 析几 何 内容 的次 序进 行交 换 。 这 样做 是基 于如 下考虑 。 首先 ， 将无穷 级 数 内容提 前到 上 册 中 ， 就 可 以把 泰勒 公 式 的相 关 内容 集 中到这 一章 ， 避免 了原 教材 中这部 分 内容 的重 复 。 同时 ， 空 间解 析几 何 ( 欧 氏空 间) 内容 与 多元 函数 关 系紧密 ， 将空间解析几何 内容移入下册 ， 有利于在多 元 函数微 分 学 中立 即讲 授其 应用 ， 这对 节省课 时 、 提 高教学效率都是有利的。 其次， 将无穷级数提前到常 微 分 方程 内容之 前 ， 也 为 用无 穷 级数 方 法解 微 分 方 程 做 了准备 。但 这样做 产生 的新 问题 是上册 内容 的 分 量进 一步 加大 了 。我们认 为可 以考 虑把傅 立 叶级 数 的教 学推 后 到第二 学期 。 ( 3 ) 为了突 出数学建 模思想 ， 我们 将各 部分数 学 模 型 内容都 集 中成 模块 形 式 ， 这样 既有 利 于 较 系统 地介绍建模思想 ， 也有利于保持数学理论本身 的脉 络 。 另 外 ， 为了将数 学建模 的实 践环节 安排 在学期 中 段 ( 这样 可 以把数 学 建模 实 践教 学 对数 学 理论 教 学 和期末考试的影响最大程度减少 ， 对两者都是有利 的) ， 我 们也 对各 章 节 次序 进行 了调整 ， 例如 最重 要 的数学建模模块 ， 上册积分模型和下册微分方程模 型都安排在学期教学进程中段部分。 5 教材增添“ 科学论文初步知识” 的附录， 成为 学 生撰 写论 文的 必要 辅 导材料 以上观点， 希冀高水平同仁的指正， 也希望更多 的 同仁们 参 与到 这 一实 践 中来 ， 为 新世 纪 的人 才 之 战 ， 为中华 民族 的崛起 出力 。 参 考 文 献 ： 1 贾晓峰 微积分 与数 学模型 m 北京 ： 高等教育 出版 社 ， 1 99 9 2 周仲 良， 译 谷超 豪， 校 美 国数 学的现在和 未来 m 上海 ： 复旦 大学出版社 ， 1 9 8 6 3 樊映 川 高等数 学讲 义e m 北京 ： 人 民教 育 出版社 ， 1 9 64 4 美i n 克 菜因 古今数 学思想( 第二册) m 上海 ： 科 学技 术 出版 社 ， 1 9 7 9 5 f r i e d ma n n a ， c a l c u l u s a n d ma t h e ma t i c a l mo d e l s m c o p y r i g h t b y p r i n d l e ： we b e r&s c h m i d t ， 1 9 7 9 6 d hu g h e s ha l l e t ， 编 微积 分 m 胡 乃 同， 译 北京 ： 高等教 育出版社 ， 1 9 9 7 7 贾晓峰 工程 高校微 积分与数 学建模课 程改革 思路 与 实践 r j_ 工科 数 学 ， 1 9 9 8 ， ( 3 ) ： 7 0 7 2 ba s i c t he m e s i n t he wr i t i ng o f ca l c u l u s a nd m a t he m a t i c a l m o d e l s j i a xi a o f e n g ， w ei yi q i a n g ， w ang xi y u n ( 1 c o l l e g e o f s c i e n c e of 丁y 丁， ta u a n s h a n x i 0 3 0 0 2 4， ch i n a； 2 de p a r t me n t of ma t h e ma t i c s ， ta u a n un