混凝土最佳砂率数学模型研究.pdf

2 0 12 年第1 期( 总第2 6 7 期) n u m b e rli n2 0 1 2 ( t o t a ln o 2 6 7 ) 混凝土 理论研究 c o n c r e t e t h e o r e t i c a lr e s e a r c h 一 _ _ 一 d o i ：1 0 3 9 6 9 j i s s n 10 0 2 3 5 5 0 2 0 12 01 010 混凝土最佳砂率数学模型研究 王立久a b ( 大连理工大学a 建筑材料研究所；b 土木水利国家级教学试验中心，辽宁大连l1 6 0 2 4 ) 摘要： 依据砂率计算公式和坍落度计算公式【1 翻，由最佳砂率的基本概念出发，分别以坍落度最大、水泥用量最小原面，得到完全一致 的满足最佳砂率的砂灰比计算公式。进而提f f j 最佳砂灰比概念，指出确定最佳砂率 刚k 的实质就是求解最佳砂灰比【刚仞k 的过程。分析结 果表明：最佳砂灰比满足一元二次方程，它取决于最佳砂灰比参数卢= ( + g c ) ( 1 + e 。仞。) ；而最佳砂率【刚k 和最佳砂灰比【影q k 呈双曲线 关系，并取决于最佳砂灰比【影qk 、最佳砂灰比参数卢和混凝土密实系数e 。引用相关文献试验数据对上述结论进行验证。 关键词： 混凝土砂率；最佳砂率；砂灰比；坍落度；数学模型 中图分类号：t u 5 2 8 0 1文献标志码：a 文章编号：1 0 0 2 3 5 5 0 ( 2 0 12 ) 0 1 0 0 2 9 0 4 s t u d y o nt h e o p t i m ums a n dr a t i oo ft h ec o n c r e t e w a n g l i - j i u 8 山 ( a i n s t i t u t eo f b u i l d i n gm a t e r i a l s ； b n a t i o n a lc i v i la n d h y d r a u l i ce n g i n e e r i n ge x p e r i m e n t a lt e a c h i n gc e n t e r ，d a l i a nu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g y ，d a l i a n1 16 0 2 4 ，c h i n a ) a b s t r a c t ：b a s e do no p t i m u ms a n d ( o s ) r a t i oc o n c e p t ，d e d u c e db yt h es a n dr a t i o f o r m u l a tl1 a n ds l u m pf o r m u l a tl 一2 l ，o b t a i n s t h es a n d t o c e m e n t ( s c ) r a t i oi na c c o r d a n c ew i t ht h eo sr a t i ou n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo f m a x i m u m s l u m p l o s sa n dm i n i m u mc e m e n tc o n t e n t t h e ni tp u t sf o r w a r d t h eo sr a t i ot h e o r y ，w h i c hm e a n st h a to s r a t i oi sd i r e c t l ya s s o c i a t e dw i t h o p t i m u m s cr a t i o i ti sd e m o n s t r a t e dt h a tt h eo s r a t i o ，w h i c hi sd e t e r m i n e d b y s a n d t o - c e m e n tr a t i oa n df a c t o ra n dc o n c r e t e p a c k i n g c o e f f i c i e n t i tf i t st h e h y p e r b o l i cf u n c t i o nw i t h t h e o p t i m u m s cr a t i o b y t h e a n a l y 。s i sr e s u i t s k e y w o r d s ：c o n c r e t es a n d r a t i o ；o p t i m u ms a n dr a t i o ；s a n d t o c e m e n tr a t i o ；s l u m p ；m a t h e m a t i c a lm o d e l 0引言 混凝土砂率是指混凝土中砂的质量占砂石总质量的百分率， 它是混凝土配合比设计最基本三参数之一。砂率的变动会使集 料的孑l 隙率和总表面积显著改善，影响混凝土填充密实性，特别 是对混凝土拌合物的工作性产生影响。粗集料是混凝土的基本 架构或骨架，而水泥砂浆则相当于嵌固和填充该骨架的“肌肉”， 并在混凝土拌合物中起润滑作用。砂率过大会减弱水泥浆润滑 作用，使拌合物流动性减小；反之过小，又不能保证粗集料间的 砂浆层，会降低拌合物的流动性，也影响黏滞性和保水性，产生 离析和流浆现象，严重者还影响混凝土体积稳定性。因此存在一 个最佳砂率【3 】。其确定方法目前还是采用试配法，即在水泥用量 及用水量一定情况下，使拌合物获得最大流动性且能保持良好 的黏滞性、保水性；或者使拌合物获得要求的流动性及良好的 黏滞性与保水性而使水泥用量最少。这种确定方法既有很大盲 目性，也使工作量增加，浪费大量人力物力和时间。 本研究基于作者关于砂率和坍落度数学模型的研究成果，根 据最佳砂率的基本概念，利用数学方法建立了最佳砂率计算公式。 1 砂率公式的推导 1 1 公式推导 粗集料形状可量化为直径为d 的球体，球体体积为j 一1 t 扩， 收稿日期：2 0 11 - - 0 7 一l7 表面积为百扩。1m 3 粗集料体积为g 和g ，所包含球体的个数为 i 6 g 瓦，总表面积为罢。如粗 集料表面砂浆层厚度为6 ，则有 粤翌+ p 乓的体积被水泥、砂和水所填充，如图1 所示。 中gp g 即： p 6 g 图1集料填充模型 笪p 一+ p 旦= s + c + w一十p = 十十 ， 中gp c , p s p c ( 1 ) 式中：g 、c 、w 、5 分别为混凝土中粗集料、水泥、水、砂的量，k g ； p g 、p c 、p 。分别为粗集料、水泥、砂的表观密度，g c m 3 ； p g 粗集料堆积密度，g c m 3 ； p 粗集料堆积孔隙率，。 由于驴丽s ，酉s p ：- ，集灰崎等测万c = 孟丽1 ， 9 0 一， 万方数据 则式( 1 ) 司写成： 署+ 等= t 两s p 1 。+ 丽1 。，( 1 p p ，+ 旦c ) ( 2 ) 咖op j( 1 、s )。n ( 1 ， 7 令。： 生+ 乓，则式( 2 ) 可整理为： 妒gp o s 剐一i + 詈) 式中：a = ( 1 + e s p 。) ，b = e s a 。 其中e 。定义为密实系数( i n f i l l e da g g r e g a t ec o e f f i c i e n t ) ，一 般应通过试验确定。 1 2 密实系数e ；及砂率5 。试验验证 将式( 3 ) 变换一下，得到： ， 。：生( 4 ) 。怛+ 彬+ 旦 p c p 。 式( 4 ) 表明e 。的物理涵义是单位孔隙体积粗集料的质量。 如式( 3 ) 两边同时除以p 。，则e 加。表示粗集料所占体积与其孔 隙体积的比值。 将e 。定义为密实系数( i n f i l l e da g g r e g a t ec o e f f i c i e n t ) ，一般 应通过试验确定。 根据试验数据，按式( 3 ) 绘图( 1 4 ) ( 丢+ 詈) + ，如 图2 所示。图中的斜率即为密实系数e 。的数值。 0 - 7 0 6 0 5 “04 一 致0 3 0 2 o 1 00 1o 2o 30 4 。：上f 上+ 形1 + 昱z - ”i l p c + j + 著p n ， s 图2 ( 1 _ 砂吾融百w p c1 + 器系n 、 o a 表1 岛实测值 根据e s 试验值，由式( 3 ) 计算砂率，计为嘲计，而将试验值 计为 踟实，做图，如图3 所示。可以看出，式( 3 ) 用以计算砂率具 有较好的计算精度。 3 0 i 磐 嚣 袜 露 槲 金 砂率的计算值 图3 砂率的计算值【剐计与实测值【剐实比较 1 3 砂率s 与砂灰比c s 的关系 又矿杀毒，因此式( 3 ) 也可写成： s ，- 万s ( 1 + 暑) p 丁w ) - l i ， 心+ 要 令萨l ，式( 5 ) 即： 1 + 堡 p s 5 ，( - + 暑) 吾( 罟托舅) c 6 ， 式( 5 ) 、( 6 ) 说明，在砂石、水泥品种及卢一定条件下，砂率与 砂灰比呈双曲线关系如图4 所示。当s c = o 时，踣0 ；而c 俗一* 时，因e u 0 则j s 。一1 或1 0 0 。 图4 蹄昙关系 2 坍落度公式推导 2 1 基本公式 新拌混凝土可以认为是一种b i n g h a m 体【1 ，根据流变力学 原理，新拌混凝土的流变方法可表达为： z - - c o - u j 9( 7 ) 式中：丁剪应力； 丁。屈服剪应力； 灿黏滞系数； d 剪切率或速度梯度。 混凝土流动性通常用坍落度试验确定。混凝土的坍落度是 由于自重而引起的变形。从混合料锥体顶面开始，剪应力随锥 体深度增加而增加，在剪应力等于屈服应力( 产丁。) 点以下会产 生变形。最大剪应力和变形率产生在锥体部位的位置、当底部 最大剪应力丁击砥时变形将停止。如忽略内摩擦力和惯性变形， 底部剪应力可以表达为： 吁譬( 8 )。m u ， 式中：p 混凝土拌合物表观密度； 静止后的锥体高度。 因此混凝土坍落度丁可表示为： t = 3 0 一h = 3 0 2 z m3 0 一堕( 9 ) -pp 考虑到惯性对变形影响，将f 击咄曲其中k 为试验常数，则： t = 3 0 一( 1 0 ) 助 根据文献 4 】研究，屈服剪应力n 与固体浓度的n 次方 成正比，即f o = a s ：，而对混凝土s 产c + s + 旦，因此式( 1 0 ) 可 p cp sp 6 表达为： 万方数据 但+ 旦+ 旦1 ” t = 3 0 一! 壁! 旦! 旦! !( 1 1 ) 切 考虑到混凝土表观密度变化在一定范围内，且引入砂石平 均表观密度p 。概念，则： t = 3 0 - k o 。p 壶y ( 1 2 p c s g ， l ) p p 7 此式( 1 2 ) 也可写为： c ， 印丽sy ( 1 3 ) 或 仁 ! ! 鱼二型竺尘! !( 1 4 ) u 一 、j - r ， f 上+ 上 p 。c s p p s l 3 2 2 公式验证 采用大连理工大学建筑材料实验室14 3 2 组试验数据进行 验证分析。实际上，旦+ 旦+ 旦：1 一w ，其中w 为单位用水量( 用 p cp sp a 小数表示) ，该式表示1m 3 混凝土固含量。因此为了方便，式( 1 2 ) 也可用式( 1 5 ) 表达。结果表明，对于未使用外加剂的普通混凝 土，单位用水量与坍落度之间有着明显统计相关性( 图5 ) 。由试 验确定的各参数为：n = 9 ，k = 1 6 0 ，相关系数r = 0 9 ，则： t - - 3 0 1 6 0 ( 1 - w 9 ( 1 5 ) x = l n ( 1 一1 图5 混凝土单位用水量与坍落度之间的关系( 未使用夕b j j , 剂) 分析统计数据的同时也发现，对于使用外加剂的混凝土，由 于不同种类外加剂的差异较大，尤其是各种减水剂的减水率差 别较大，使得单位用水量与坍落度之间不呈现明显的统计相关 性，而是稳定在某一范围内( 图6 ) 。对于c 2 0 - - c 6 0 的普通混凝 土，其单位用水量的范围：w = 1 6 0 2 4 5k g ，平均值w = 1 9 5 7 2k g ， 方差o = 1 6 7 8 k g 。 ，。e m 图6 混凝土单位用水量与坍落度之间的关系( 使用外加剂) 因此。对于使用外加剂的混凝土，如用式( 9 ) 计算单位用水 量时，应首先根据式( 9 ) 计算出未加外加剂时的用水量形。，再 由试验确定外加剂减水率7 ，则使用外加剂时的单位用水量 w 瑚文l - g ) t 日： 为验证式( 1 5 ) 的正确性，根据式( 1 2 ) 计算得到各坍落度值 所对应的单位用水量，同时根据各坍落度值及粗骨料的最大粒 径查表得到所对应的单位用水量，将它们与实际单位用水量相 比较( 见图7 ) ，可见由公式计算及查表得到的单位用水量值相 接近，且与实际单位用水量比较吻合。 t c m 图7 由坍落度按不同方法确定的单位用水量与实际单位用水量的对比 3 最佳砂率公式 根据最佳砂率的概念，在用水量和水泥同一定的条件下，使 坍落度最大的砂率为最佳砂率，这事实上是式( 1 2 ) 的t 求极值 问题，根据式( 1 2 ) ，最佳砂率本质上就是确定最佳砂灰比s c ， 也就是求满足最佳砂率的s g 即面d 面t 万2 0 。 经严格推导满足言斋一o 亦即满足s p 一- s p = o , 叩2 丽a s p ， 考虑到式( 5 ) 砂率计算公式，代入后经整理，得到： 噍州去+ 詈+ 圳* 0 ， 说明满足最佳砂率的灰砂比s i c ，满足式( 1 6 ) ，它是一个一 元二次方程。 如果从另一角度，即从满足混凝土工作性条件下，使水泥 用量最少的砂率为最佳砂率的话，也就是根据式( 1 4 ) ，求另一 个极值问题即0 畿万= 0 ，同样可推导出式( 1 6 ) o 分析式( 1 6 ) 可知，最佳砂率取决于水泥、砂、石的品种和密度 p c , p 。、p 。，集料的密实性系数e s 水灰比w c 和最佳砂灰l 艺 s c t 。 由于式( 1 6 ) q h1 + 生 0 ，且常数项为负值，因此式( 1 6 ) 属下 凹抛物线，且有一个是正值解： = e s ( 去+ 詈+ 甜“噍雌+ 丁w ) _ e ：詈m + 苦) 2 。 ， 所以： 一2 峙h 老+ 针调去+ 爿h 峨) 2 一 c 止 2 f 1 + 生 一争 u 8 考虑到t e2 f 2 是微小量，则、孚+ 1 = 1 + ( 争) ，则式( 1 8 ) 转换为线件关系的式f1 9 ) ： 之( 1 9 ) 上+ 旦 式中，萨垦，将式( 1 8 ) 或式( 1 9 ) 代入式( 6 ) 即可求得最佳 1 + 堕 p s 砂率【踟。，图8 所示。 由于上+ 要本质上是水疣浆体积浓度的倒数；e s 是粗集料 p c l 3 1 万方数据 姊 k 万匹 口 嘉。 一 ；l e ， s | c 口 图8 计算过程p 叫g q k _ 叶s p 】。 孔隙单位体积粗集料质量，是种虚拟粗集料密度。而l + 生：丛竺生 p sp s 1矽。 也可定义为虚拟密度砂率的倒数，因此口：垦羔 1 + 生 是表征虚拟 p s 密度砂率与水泥浆体积浓度的比值。粗细集料确定时1 + 生基 p s 本为定值，但如再使w c 一定时，卢就唯一确定。因此，不同强 度等级混凝土就有相应的卢值，进而有对应的例c 。以确定该 混凝土的最佳砂率。 由式( 1 9 ) 看出卢是唯一确定最佳砂灰比叫c 】。的参数，称 之为最佳砂灰比参数。从式( 1 9 ) 可知卢 0 ，即使水灰比等于o ，口 也不可能等于0 ，因此回c t 2 。则0 s c k 2 。 4实例 为验证最佳砂率数学模型的正确性，特别引入参考文献 5 】的 试验数据。该文献选用原材料为5 2 5 普通硅酸水泥( 相当于i s c 标准的p 。0 4 2 5 级水泥) ；超细矿渣平均粒径1 2 0 1 “m ；i 级粉煤 灰，烧失量1 7 ，4 5 斗m 筛余量9 2 ，需水量比8 7 ；中砂，细度模 数2 4 ；1 i 柘5 - 2 5 m m ，连续级配；外加剂为高浓度萘系f d n a 型。 文献 5 】定义的最佳砂率是采用砂石最低孔隙率方法确定， 如表2 所示。 文献 5 从表2 认为砂石混合物最低孔隙率为2 1 2 ，对应 的最佳砂率为3 8 。而混合孔隙率为2 1 8 时，对应砂率为4 5 和3 3 。实际上，由物料填充角度，得到的砂率并非是最佳砂率， 因为这与最佳砂率的基本概念截然不同。 对于3 8 砂率、0 4 水胶比混凝土配合比，见表3 。 由表3 可以看出，3 8 砂率0 4 水胶比配制的混凝土外加 剂以及胶凝材料对s c 都有显著的影响，如图9 所示。 1 44 2 2 4 4 1 7 6 4 1 3 54 1 6 6 4 1 5 0 5 2 0 8 0 2 1 5 0 1 63 8 2 6 01 6 0 4 1 6 0 4 1 8 6 4 1 7 3 0 2 0 8 6 2 1 2 0 1 8 3 62 7 01 5 0 4 1 7 5 4 1 6 1 4 1 6 8 0 2 0 8 4 2 1 3 5 等了五熹赢蠹笺i 邕i 塑坐l 里丝一 型!型! 注：本表格数据取自文献【5 】，以下同。 、w 2 9 52 9 0 0 8 2 8 4 1 6 9 8 11 3 81 6 5 8 4 61 8 5 23 5 7 4 2 8 4 7 6 w 311 0 3 0 4 08 7 0 4 3 5 6 8 31 11 4 1 7 4 04 3 2 0 523 3 6 3 3 83 8 1 w 4 1 2 5 3 1 8 0r9 1 0 4 5 56 6 8 10 8 9 1 8 2 04 0 1 9 523 2 9 4 0 44 6 5 w 5 1 4 03 3 0 0 9 5 0 4 7 56 5 2 10 6 51 9 0 0 3 72 0 023 1 4 3 5 95 2 - 2 墅! ! ：竺塑：! ! ! ：!兰! ：!塑! 1 0 4 0 1 9 8 03 5 2 1 022 9 0 3 9 15 2 8 = 一 ： ： _ 1 赢i 瓦- _ 毒 坐掣型粤型堂堂 未号 浆料富余水泥矿渣 粉煤灰砂石 水 f d n 爵磊茇j 瓦语鬲丐历翥西i 。石五i 墨鳖丝墼塑俺 k gk g 膈。c m ( k 咖，) i 广瓦了一 忑二= 二： ： ：w72 8 28 o 8 0 54 0 2 8 3 710 2 3 1 6 1 0 i 矿石五万丽r 百r w 1 w 6 试样砂率3 8 ，胶凝材料平均用量为4 4 5 4 2 k g m ，： 而w 7 、w 9 、w 1 1 、w 1 3 试样砂率4 5 ，胶凝材料平均用量为 3 2 最佳砂率本质上就是确定最佳砂灰比回q 。，也就是求满足 下转第3 5 页 万方数据 28d 7d 3d 02 0 04 0 06 0 08 0 0l0 0 0 加热温度 图4n s c 的强热减量( t g d t a ) ( a ) o p c ( 1o o 嘴) ( b ) n s c ( 1o o o g ：) 图5n s c 间隔带s e m 图谱( 2 8d ) 体，能看到的只是大量的c s - h 水化物和未水化的g m f s 颗粒。这 一点可用n s c 的t g d t a 图谱( 图4 ) 来证实，在c a ( o h ) 2 的分解 温度4 5 0 附近并未出现吸热峰值，说明n s c 在水化过程中几 乎不生成c a ( o h ) 2 ，因而不存在由c a ( o h2 晶体所形成的间隔 带，为n s c 中的骨料和水泥硬化体紧紧黏结在一起创造了条件。 这是n s c 的水化反应的最大特点j 是区别于o p c 水化反应的根本 标志【5 】，也是长期强度远高于o p c 的主要原因之一。至于b s c 的强度特点则位于n s c 和o p c 之间。 2 3n s c 与钢筋黏结力 钢筋和混凝土的黏结力是判断其结构物稳定性的重要指标。 为此，在大量的试验数据基础上，进行了数理统计分析，其结果 如图6 所示，表明n s c 的黏结强度和抗压强度之间有一定的内 在联系，其相关关系为：尸o 0 8 2 x + 13 2 6 。其中：y 为黏结强度；石为 抗压强度；相关系数为r z = _ 0 8 7 。由相关系数中可以看到，黏结强 度与抗压强度之间的相关关系并不是很密切。这可能与试验统 计数量不足且在相关分析中未考虑混凝土的安全系数等因素有 上接第3 2 页 最佳砂率的 s q k ，属于坍落度r 或水泥用量c 对s c 求极值问 题，即素骂击= 。或未斋歹一= 。得到陋q 产2 一等卢，称卢为最佳 计罟 砂灰比参数，它是确定最佳砂灰比唯一参数，户，乙一。 1 + 垒 p s 最佳砂率取决于水泥、砂石的品种和密度p c , p s 、p g ，集料的 密实系数e s 以及水灰比w c 和最佳砂灰t z s l q k 。 最佳砂灰比满足本文式( 16 ) ( 19 ) ，代入式( 5 ) 、( 6 ) 可求得 最佳砂率。 参考文献： f 1 1 w a n g l i - j i u ，a ih o n g - m e i c a l c u l a t i o no fs a n d - a g g r e g a t e r a t i oa n dw a o3579 钢肠埋深c m 图6n s c 与钢筋黏结力( 2 8d ) 关。但龄期2 8d 的n s c 黏结强度均高于o p c 和a s t m c2 3 4 规范所规定的黏结强度。 3结语 n s c 是一种新型混凝土，通过以上分析初步得出了如下结论： ( 1 ) n s c 的和易性优于o p c 和s b s 。 ( 2 ) n s c 的早期强度主要来源于钙矾石及其形成的网络空 间结构。 ( 3 ) n s c 的长期强度主要来源于c s h 水化物的数量及其 胶结力。 ( 4 ) 在n s c 中无隔离带是长期强度远高于o p c 的主要原因。 ( 5 ) n s c 的黏结强度大于o p c ，且存在y = o 0 8