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三角范畴及其上的t 结构 专业基础数学 研究生谢云丽指导教师彭联刚教授 摘要：本文主要研究三角范畴的t 结构我们利用b k e l l e r 和d v o s s i e c k 提出的a i s l e 的概念及其与t 一结构的关系，从三角范畴的一个特殊的 阿贝尔的满子范畴出发，得到了该三角范畴上的一个t 一结构并且， 这个t 一结构的h e a r t 恰好就是这个满子范畴 关键词t 三角范畴；导出范畴；t 一结构 t r i a n g u l a t e dc a t e g o r ya n d st s t r u c t i 瓜e m a j o r zm a t h e m a t i c s s t u d e n t ：y u n l ix i es u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i a n g a n gp e n g a b s t r a c t ：i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt - s t r u c t u r e so ft r i a n g u l a t e dc a t e g o r y b y u s i n ga i s l e sg i v e nb yb k e l l e ra n dd ，v o s s i e c k w eg e tat - s t r u c t u r ef r o maf u l l a b e l i a ns u b c a t e g o r yo fat r i a n g u l a t e dc a t e g o r ys u c ht h a tt h es u b c a t e g o r yi sj u s t t h eh e a r to ft h i st - s t r u c t t i r e k e yw o r d s ：t r i a n g u l a t e dc a t e g o r y ；d e r i v e dc a t e g o r y ；t - s t r u c t u r e 本文是在导师彭联刚教授的悉心指导下完成的彭联刚教授不仅 学识渊博，科学作风严谨，而且为人谦逊和蔼三年的学习使我受益 终生在此谨向彭老师表示衷心的感谢 作者诚挚地感谢谭友军副教授对本人学习上的指导 同时借此机会，感谢各位学友对我的关心和帮助 口川大学硕士学位论文 第一章引言 代数表示论是国际上二十世纪七十年代发展起来的数学分支，与 群的模表示，李群及李代数的表示，代数群的表示，代数几何，量子群 等学科有着密切的联系和应用 三十年前，g r o t h e n d i e c k 提出了三角范畴的概念随后，v e r d i e r 发展了三角范畴的理论，三角范畴在代数表示论中占有重要地位三 角范畴中的一个重要例子是导出范畴( 如见m ， k 】，阻a j ) 起初，导 出范畴是作为研究代数几何的工具( 参见【s 】) ，特别是在发展对偶理论 中成为了必不可少的工具 h a t ，同时也是研究线性偏微分方程强有力 的同调工具近年来，与三角范畴尤其是导出范畴相关的问题得到了深 入的研究( 参见【c p s l ， c p s 2 ，f r l 】， p a ，【k 1 】等) 例如，在 p x 中，彭联刚和肖杰在三角范畴上发现了一种内蕴对称，这种对称给出 了一个无限维李代数结构，从而在导出范畴上成功地实现了一切可对 称化k a c - m o o d y 李代数( 参见 k a 】) 的整体结构 b e i l i n s o n ，b e r n s t e i n ，d e l i g n e 在 b b d 】中提出了三角范畴上的 t 一绪构的概念在【a j s 】中，三角范畴上的一些非平凡t 一结构被研究 了，同时一些三角范畴的等价问题也被解决了一般她，三角范畴d 上都存在一个平凡的t 一结构( d ，o ) 于是，一个自然的问题是如何在 一个三角范畴上构造非平凡的t 结构我们的主要工作就是从三角范 畴的一个特殊的阿贝尔的满子范畴出发，得到了该三角范畴上的一个 四川大学硕士学位论文 t 一结构并且，这个t 一结构的h e a r t 恰好就是这个特殊的满子范畴 口j l i 大学硕士学位论文 第二章三角范畴及其上的t - 结构 2 1 三角范畴 3 这节主要是回忆三角范畴的概念，并列出我们将用到的一些熟知 的基本事实( 如见【h a 】) 设c 是加法范畴，t 是c 的自同构我们通常称t 为平移函 子记r 的逆为t 一记c 中态射的合成x y 乌z 为，9 称 c 中形如x 兰y 兰z 竺+ t x 为六元组我们称( 夕，h ) 为六 元组之间的态射，如果有下面的交换图： x 与y 与z 与t x lgkhl t f x i | y f 立z + 立t x 若上述，9 ，h 都同构，则称相应两个六元组同构 现在，我们回忆三角范畴的定义如下： 定义2 1 1 设s 是c 中一些六元组的集合，其中的六元组称为 三角，称c 是三角范畴，如果满足： ( t r l ) 每个与三角同构的六元组是三角；c 中每个态射u ： x 一y 都可以扩充为一个三角x 马y 与z t x ；x x 一0 _ 了j x 是三角 日川大学硕士学位论文 4 ( t r 2 ) 如果x 与y 与z 与t x 是三角，那么y 二 z 与t x 二霉t y 也是三角 ( t r 3 ) 存在态射h 使得下图交换： xj yj zj t x l ，lgij ir ， x ，工y ，乓z ，三t x ， 其中第一个“方块”是已知的交换图，并且两个行是三角 ( t r 4 ) ( 八面体公理) 若有三角( x ，y z ，让，i ，i ，) ( y ，z ，x ，u ，j ，歹7 ) 和( x ，z ，y ，u v ，k ，k ) ，则存在，：z - y ，g ：y 7 一掣使得 下图交换，且第三行是三角 t y ，! jx 量+ x t 一9j ul u t ，i t x ，型y 与z 上x ，二t y ii 南il 鼻l死l z ，卫y ，旦x ，驾t z ， i 7l l t x 甄t x 下面我们回忆三角范畴的一些基本性质 口川大学硕士学位论文 和 命题2 1 2 设x ky 马z 生t x 是三角，则 ( 1 ) “口= v w = 0 ( 2 ) 对任意的m c ，有a b e l 群的长正合列 一h o m c ( m ，p x ) h 0 “1 避p h o m c ( m ，y ) h o m 驾t h o m c ( m ，p z ) h 呷h o m c ( m ，t i + i x ) 。 一h o m c ( t + 1 x ，m ) 硒吨? 川h o m c ( t i z ，m ) h 唑9 t 肼 h o m c ( t y , m ) 舶1 姆 川i - i o m c ( t i x ，m ) 一 ( 3 ) 在三角态射 x 与y 与z 与t x i | ig lhl t x f 兰- y f 兰。z 型。t x 5 中，若，g 为同构，则h 也是同构 命题2 1 3 若x 与y 与z 与t x 是三角，则t z - 一t - w x 与y - z 也是三角 注若x 马l ，与z 与t x 是三角，则有下面长正合列 一? 一z - s ：_ rx 与l ，与z 与r x 当t y 一- t vt z 当p x 空铲y 一 里盟墨茎翌壁垒堕塞 一 6 使得任意相邻的六元组是三角 命题2 1 4 设( ，g ，h ) 是三角态射，若其中两个是同构，则第三 个也是同构 命题2 1 5 设x 马y 鸟z 马t x 是三角，则下列等价： ( 1 ) w = o ； ( 2 ) u 是s e c t i o n ( 目p 存在妒：y x 使得u 妒= 1 x ) ； ( 3 ) v 是r e t r a c t i o n ( 1 i p 存在妒：z y 使得妒v = l z ) 2 2t 一结构 本节回忆三角范畴的t - 结构和生成子范畴的定义，并给出一些 已知的例子( 如见【h a ) 定义2 2 1 设d 是三角范畴，t 是d 的t r a n s l a t i o n 函子，d o 和d o 是口的两个满子范畴，并且它们对直和，直和项，同构都是 封闭的令口 n = t “( 口o ) ，口 o ) 是口上的t 结构记7 l f = 口o n d o ， 则称h 为该t 一结构的h e a r t 四川大学硕士学位论文 7 一般地，三角范畴d 上都存在一个平凡的t - 结构p ，0 ) 下面，我们给出一个已知的例子 设4 是阿贝尔范畴，d 6 ( 4 ) 是4 的导出范畴设口o 和d - o 是d 6 ( a ) 的满子范畴，定义如下： 口s o ：= x + d 6 ( 一4 ) l 印( x + ) = 0 对任意的i 0 成立) 口o ：= ( x + d 6 ( 棚f ( x + ) = 0 对任意的i 0 成立 其中，x 为复形x 一2 竺x 一1 堡x o 三x l 旦x 2 要 那么，( 口( o ，d o ) 是驴( a ) 上的t 结构并且其h e a r t 为a 为了读者的方便，我们给出验证 t 结构定义中的( 1 ) 和( 2 ) 是很容易验证的，现在验证( 3 ) 设x + d 6 ( 棚下 o x + 的定义如下t 当i 0 时，( t 0 时，( v i x + = x + 丁 o x + 显然，t o x + d 1 ， 并且有复形的正合列 于是，有三角 0 _ r i x + _ ? r o x + 满足b o x + d _ i x + d 1 四川大学硕士学位论文8 这样就验证了( _ d 0 ，口o ) 是a 上的t 一结构很容易从d s o 和 口o 的定义看出该t 结构的h e a r t 恰好就是阿贝尔范畴a 定义2 2 2 设d 是三角范畴，a 是口的满子范畴记( a ) 是口 的包含。的t 1 1 , 的三角子范畴，且同构闭如果( a ) = d ，则称a 为 口的生成子范畴 例如，设一4 是阿贝尔范畴，则它是导出范畴d 6 ( 4 ) 的生成子范 畴 ! 业盎茔塑堂垡煎圭 9 第三章a i s l e 与逼近 3 1 a i s l e 为了研究d 6 ( r o o da ) 的倾斜理论，b k e l l e r 和d v o s s i e c k 在 【k v l 中提出了a i s l e 的概念，并且建立了a i s l e 和七i 结构之间的等价 b k e l l e r 和d v o s s i e c k 还在【k v i 】中，乖j 用a i s l e 研究了在同一个三 角范畴上的两个t - 结构的h e a r t 之间的关系本节的材料引自【k v ， 为了读者的方便，我们写出相应结果的证明 定义3 1 1 设丁是三角范畴，s 是丁的t r a n s l a t i o n 函子丁 的加法满子范畴甜称为丁的a i s l e ，如果它满足下面三条： a ) 蹦c 纠； b ) 甜是扩张闭的，i e 对丁中的三角 xhyhz _ s x 如果x ，z 1 1 ，则有y 1 4 ； c ) 嵌入甜丁有右伴随丁甜，x - 施 定义3 1 。2 “称为p r e a i s l e ，如果它满足a ) 和b ) 设v 是7 的满子范畴，记y 上= y t i h o m ( x ，y ) = o ，v x v ) 命题3 1 3t 的一个严格的( = 同构闭) 满子范畴“是a i s l e 当 且仅当它满足a ) 和c ) 日川大学硕士学位论文 c ) 对任意的x t ，存在三角 x u 。x _ x u l _ 8 x u 1 0 其中x u 甜，x u le 1 4 上 证明假设“满足a ) 和c ) 设x 丁由c ) 可知，存在三角 勘一x x 甜与s 而( ) 其中x u 甜，x u l 翻上对任意的u “，用正合函子h o m ( u , 一) 作g i - - 角( ) ，有 h o m ( u ，勘) 兰h o m ( u ，x ) 这说明了甜满足c ) 设u - x y 一s u ( 料) 是三角，其中以v “用正 合函子h o r n ( - ，“上) 作用三角( 丰木) ，得到长正合列 一h o m ( v , h 上) 一h o m ( x ，矿) 一h o r n ( u , 1 4 上) 一 注意到 h o m ( v , h 上) = 0 ，h o m ( u , h 上) = 0 于是，h o m ( x ，1 4 上1 = 0 再由三角( + ) 可得三角 x “。二s x u _ s x s x u l 四川大学硕士学位论文 1 1 注意到h o m ( x ，“上) = 0 和x 卅4 上，则有h o m ( x ，x 犷) = 0 ，即 有h o m ( s x ，s x “1 ) = 0 于是，态射w ：动- s x u 是s e c t i o n ，即有x 犷= 0 所 以，动竺x ，即x 甜 这样，说明了“满足b ) 现在假设甜满足a ) ，b ) ，c ) 由b ) 可知，甜是同构闭的 下面说明“满足c ) 对任意的x t ，由c ) 可设妒：x u _ x 是a d j u n c t i o n 态 射于是，有三角 杨二x 土y s x u ( 十 ) 设v 甜，h o m ( i s , y ) 考虑下面三角的交换图； 施上一y 乌s x u j |igj ， i i 勘与x 上y 与s x u 由b ) 知， w “又由c ) 知，存在态射z ：w 一杨，使 得g2l 妒再由a d j u n c t i o n 态射的性质( 见 g t m4 】) ，可以证明 h _ f = 1 x u 这就说明h 是s e c t i o n ，即，= 0 四川大学确士学位论文 1 2 于是，存在态射g l ：v x ，使得f = g l 妒由v 酣和c ) 可知，存在态射9 2 ：v x u ，使得g l = 9 2 - 妒这样就有， ，= g l 妒= 9 2 i p 妒= 0 故y “上，亦即说明“满足c ) 口 命题3 1 4 吖h ，s i a 上) 是丁中的a i s l e s “和丁上的t 一结 构之间的一个双射 证明设甜是丁中的a i s l e ，下面验证似，s 4 上) 是丁上的t 结 构 令d 蔓o = “，d o = 鼠p ( 1 ) 对任意的x 口 l ，显然有h o m ( x ，y ) = 0 ( 2 ) 设x 口 o 因此，d 1cd u ( 3 ) 设x t 由命题3 1 3 知，存在三角 x h _ x _ x “。hs x u 其中x u “，x u l “上，即x u d ( 0 x u l 7 ) - x 故似，s 1 4 上) 是丁上的t 一结构 反过来，若似，s 1 a 上) 是丁上的t 一结构，那么由命题3 1 3 及t 结构的定义，很容易验证“是丁中的a i s l e 口 口川大学硕士学位论文 3 2 逼近 1 3 m a u s l a n d e r ，i r e i t e n 引进了逼近的概念( 见 a r ，也可参见 【h z y l ，【h z y 2 ) 下面的定义3 2 1 和命题3 2 2 引自文献【a r 】 定义3 2 1 设z 是范畴丁的满子范畴，z 对同构和直和项封 闭设x 疋，c 丁，态射，：x g 称为c 的右z 一逼近， 如果( 彤，x ) 幽( z ，g ) 一0 是正合的，i e 对所有的x ，z ， h o m r ( x ，x ) 一h o m t ( x ，c ) 一。是正合的 命题3 2 2 设c t 如果石是有限表示型的，并且对任意的 x 刀，h o m l r ( x ，c ) 是有限维的，那么存在，：x 一g 是g 的 右疋一逼近，其中x 7 石 证明我们只需要令x 7 = ox i 血，这里z 7 = x zix 是 不可分解的，且满足h o m r ( x ，c ) o ，盔= d i m kh o m t ( x i ，e ) ， 并且，：x 7 _ c - 是c a n o n i c a l 态射 口 由a i s l e 和逼近的定义及其性质，我们可以证明下面的结论 命题3 2 3 设c t ，甜是丁的a i s l e ，则a d j u n c t i o n 态射 妒：既一c 是g 的右址逼近 证明由c 丁，甜是丁的a i s l e 知，存在三角 国与c 一1 一s c u ( 十) 其中c ue 酣，c u l “上 日川大学硕士学位论文 用正合函子h o m 似，一) 作用- - - z j ( + ) ，得到正合列 h o m ( h ，c u ) h 唑例h o m ( h ，g ) 一0 故妒：c u g 是c 的右“一逼近 口 1 4 口川大学硕士学位论文 第四章主要结果 设d 是代数闭域k 上的一个三角范畴，且对任意的x ，y d ，有 h o m z ) ( x ，y ) 是一个有限维的k 一向量空间设? 是口的t r a n s l a t i o n 函子 下面是我们的主要结果 定理设4 和p 是三角范畴口的两个满子范畴如果它们满足 下列条件。 ( 1 ) a 是阿贝尔范畴； ( 2 ) a 是扩张闭的，即对d 中的三角x - l ，z 一t x ， 如果x ，z a ，则y 一4 并且，对任意的x ，rz a ，有x - 马 y 与z 与t x 是d 中的三角当且仅当0 一x 与y 与 z _ + 0 是4 中的正合列； ( 3 ) 对任意的a a ，m 口，当i 0 时，有h o m v ( t 1 a ，m ) = 0 ： ( 4 ) p 是a 的子范畴，并且是阿贝尔范畴a 的生成子，即对任 意的a a ，存在p p 使得p 一a - ，o 是正合的； ( 5 ) p 是倾斜的，即对任意的i 0 ，有h o m v ( t ) ，p p ) = 0 ； ( 6 ) p 是有限表示型，即p 中不可分解的对象的同构类只有有限 多个； ( 7 ) 对任意的a a ，p p ，当i 0 时，有h o m v ( p , p 以) = 0 口川大学硕士学位论文 1 6 此时记“= u ，其中u 0 ：= ur a ，对i 0 ，归纳也有 i = oi = o 巩= y df 存在三角x ，l ，一z t x ，使得x ，z 阮一1 ) 并且令d o = “和口o = 7 7 4 上，那么( 口 0 时，由条件知 现在假设i 0 设 h o r n y ( p t a ) = 0 0 _ _ p _ a _ 0 是一4 中的正合列，那么有三角 r 一r p r a p + 1 ( $ ) 注意到当i 0 时，有h o m v ( p ，p p ) = 0 用h o m d ( p ，一) 作 用三角( $ ) ，那么当i 一1 时，有 日川大学硕士学位论文 h o m v ( p ，一a ) 竺h o m v ( p ，一+ 1 n ) 1 7 和长正合列 0 _ h o m v ( 7 ) ，t a ) 一h o m z ) ( p ，) 一h o m v ( p ，p ) 一h o r n y ( 7 ) ，a ) h 0 但h o m v ( p ，一) 是左正合函子，所以h o m v ( p ，t a ) = 0 由于a 的 任意性，我们有h o m v ( p ，t n ) = 0 进一步有， h o m t ) ( p ，t 。2 a ) 兰h o r n y ( 7 ) ，t n ) = 0 现在用代替a ，有 h o m v ( p ，t 一2 n ) = 0 ， 这就意味着 h o m v ( p ，t - 3 a ) = 0 重复上面的步骤，最终得到，对任意的i 0 ， h o m v ( p ，p a ) = 0 口 引理2 对任意的a 1 ，a 2 a ，我们有 ( 1 ) 当i 0 时，h o m v ( a 1 ，p a 2 ) 竺e x t 二( a 1 ，a 2 ) 四川大学硕士学位论文 证明当i 0 时，对任意a x a ，我们有正合列 一只上一p 1 乌昂乌a 1 0 其中，只p ，i 为非负整数于是有下列正合列： 0 _ k e r 厶_ b _ k e r f r 一1 _ 0 0 一托啦一b 一托嘞一0 0 _ 惫e 哟_ 岛_ a j _ 0 1 8 用正合函子i i o m , d ( - - ，t a 2 ) 分别作用上面的正合列导出的三角， 并且由引理1 和i 0 时， e x t ：4 ( p ，a 2 ) = 0 四川大学硕士学位论文 这样，我们得到下面交换图使得上下两行均为正合列：( 记h o m z , ( - ，一) 为( 一，一) ) ( a 1 ，a 2 ) 一( p a 2 ) 一( ，a 2 ) 一 ( a 1 ，t a 2 ) 一0 ( a 1 ，a 2 ) 一( p ，a 2 ) 一( ，a 2 ) 一e x t , ( a 1 ，a 2 ) 一0 这样由五引理知，h o m v ( a 1 ，t a 2 ) 竺e x t 刍( a 1 ，a 2 ) 同时得到，当 i 0 时， h o m v ( n ，t i a 2 ) 兰h o m v ( a l ，“a 2 ) e x t - ( n ，a 2 ) 笺e x t ! t 1 ( a 1 ，a 2 ) 又由a 1 的任意性可以得到，h o m v ( n ，t a 2 ) 竺e x t 二( n ，a 2 ) ，并且 我们有 h o m v ( n ，t a 2 ) 竺h o m v ( a 1 ，t 2 a 2 ) ，e x t 二( n ，a 2 ) 型e x t 二( a l ，a 2 ) 所以 得到 h o m v ( a l ，t 2 a 2 ) 呈e x t 二( a 1 ，a 2 ) 用n 替换a 1 ，有h o m z ) ( n , t 2 a 2 ) 兰e x t 三( n ，a 2 ) 这样又可以 h o m z ) ( a 1 ，t 3 a 2 ) 型e x t 二( a 1 ，a 2 ) 日川大学硕士学位论文 重复上面的步骤，最终有，对任意的i 0 h o m d ( a 1 ，一a 2 ) 兰e x t i t ( a 1 ，a 2 ) 口 引理3 对任意的m d ，若h o m 口( ，p ，m ) = 0 ，其中i 0 那么对任意j 0 ，我们有 h o r n y ( p a ，m ) = 0 证明我们先证明h o m v ( a ，m ) = 0 假设存在a 1 4 使得h o r n y ( a 1 ，m ) 0 设 h o m v ( a l ，m ) 且 0 因为p 是a 的生成子，所以我们能在一4 中选取如下的正合列 0 - - - 4a 2 鸟只马a l _ 0 于是有d 中的三角 a 2 马日鸟a 1 马t a 2 但由假设知，g l ，1 = 0 所以存在非零态射，2 h o m v ( t a 2 ，m ) 使 得，1 = w l ，2 类似地有三角 4 i + l 鸟只乌a 骂似i + l ， 其中只p ，a i _ 并且我们有非零态射五：p 一1 a i m 使得 下图交换 口川大学硕士学位论文 亦即下图交换 一1 a p 一1 a 但当i 0 时，我们有 = 0 这样推出，l = 0 ，矛盾于是 h o r n y ( , 4 ，m ) = 0 当j 1 时，对任意的t 0 ，我们有 h o m v ( t 。p ，t 一朋) 皇h o m v ( t 钾p ，m ) = 0 由j = 0 时的证明知 1 e h o m v ( ，4 ，t 一m ) = 0 ， h o m v ( t 3 a ，m ) = 0 口 引理4 如果对任意m p ，当i 0 时，h o r n y ( p p ，m ) = 0 那么存在三角a 一+ m b + t a ，满足aea ，并且 h o m d ( t j p ，b ) = 0 对任意的j 0 成立 日川大学硕士学位论文 证明由于p 是有限表示型的，所以我们有朋的右弘逼近 p 上m ，其中，p p 于是有三角 p 上m 工g 与t p 令f 7 h o m v ( p ，g ) ，其中p ，p 注意到当i 0 时， h o r n y ( 7 ，r p ) = 0 ， 所以我们有f 7 p = 0 于是存在，”：p 一m 使得f = f ”，y 又因 为p m 是m 的右p - 逼近，所以，”通过f 分解于是f 7 = 0 ， i e h o m v ( 7 ： ，c ) = 0 ， 再令t p l g 为c 的右t p - 逼近于是我们有下面的交换 图 片上p n t 日 上妒上6 t n k e r ft a 。t l p 1 。t 7 it r i m t 2 b k e r f 卢： 6 l口i ? 口 玉! b 旦 p 一茄 口川大学硕士学位论文 注意到对任意的i 0 ，有 h o m d ( p p ，t m ) 皇h o m d ( t i + 1 - p ，m ) = 0 由引理3 知，h o m v ( a ，t a d = 0 ，i e - h o m 口( t a ，m ) = 0 于是 h o m v ( t k e r f ，m ) = 0 故p = 0 所以t 吐d = 芦7 = 0 故存在妒：t i m f c 使得 d = 功妒所以功0 = 占p = 功- 妒- p 由于t 叩为t a 中的满 态，故0 = 移p 由八面体公理我们得到下列三角的交换图： t i m f= t i m f 移l 0i pm cj t pt m t c hj c o k e r f _ m _ l _ t c o k e r f dt m _ t l 由于 w ll 铲i m ，=p i m ， h o m v ( 7 v ，c ) = 0 ，h o m z ) ( p ，t 2 i m y ) = 0 口川大学硕士学位论文 我们有 h o m l ) ( p ，l ) = 0 对任意p ，p ，令g h o m d ( t p t ，三) 因为h o m v ( t p ，t 2 a ) = 0 ，所以g w = 0 故存在9 7 ：t p ，一c 使得g = g h 再由 t p l c 为c 的右t p - 逼近知，存在g ”：t p ，- t p l 使得 9 7 = g ”6 又因为妒h = o ，所以 于是 故 g = g h = g t t d h = g ”t q 曲h = 0 当j 2 ，我们有 h o m z ) ( t p ，l ) = 0 h o m v ( t 3 p ，m ) = 0 ，h o m v ( t j p ，t c o k e r f ) = o h o m z ) ( t 3 p ，l ) = 0 令a = c o k e r f ，b = l ，我们有三角 a m b t a 满足aea ，且对任意j 0 ，有h o m z ) ( t j p ，b ) = 0 口 定理的证明显然，“是p r e a i s l e ，并且若记 v = x d fh o m v ( h 0 ，x ) = o ) 口川大学硕士学位论文 则有vc “1 要证甜是a i s l e ，我们需证：对任意m 口，存在三角 m u1m _ m u l _ t m u 满足m u “，m u l w - 注意到，对任意的m ed ，当i 0 时，有h o m v ( t 巾，m ) = 0 令m 一12 m a x ( ii h o r n y ( t i t ，m ) 0 ) ，则当i m 时， h o r n y ( t i p ，m ) = 0 如果m 1 ，则当i 1 时，h o r n y ( t i p ，m ) = 0 由引理4 ，我 们有三角 a 一m _ b ht a 使得a a ，且当i20 时，h o m w ( t 垆，b ) = 0 即a “，b “上 现在假设m 2 由于h o m z ) ( t j p ，t 1 一”m ) 星h o m v ( t j + “一1 尹，m ) = 0 x , i - 壬, y , j 0 成立，这样由引理4 ，我们有三角 a 。一t 1 一”m 一一t a 。 使得a 。a ，且当i 0 时，h o m z ) ( t u p ，) = 0 于是存在三角 t m 一1 a m _ m p 一1 7 一p a 。 令n = r “。n 7 ，则当i m l 时，我们有h o m p ( t i p ，n ) = 0 取尬。= m ，m 。一l = n ，重复刚才的过程，我们有三角 了”一2 a 。一1 _ + m 赢一1 _ 尬。一2 p 一1 a 。一1 满足h o m v ( t i p ，m m 一2 ) = 0 对任意i m 一2 成立 于是当i 0 时，有三角 于一1 a 一一尬一1 一p a 满足h o m v ( t j p ，m 一1 ) = 0 对任意歹i 一1 成立 因此，由八面体公理我们得到下列三角的交换图： j ”一2 a ，。一l = ：“一2 a m 一1 t m 一1 a 。一二一1一p a 。一t ji igj l i i b m 一1 一乌一2 一t 一l一丁 于是，有三角 t m 一1 a m l = t m - 1 a ，n l 丁7 ”4 ，n _ t b 。一l 一+ ? ”一1 a 。l _ ，”+ 1 a 。 口川大学硕士学位论文 亦即有三角 p 一1 a m _ b m l _ p 一2 a 。一l _ p a m 其中t 一1 a 。，t ”一2 a 。一1 甜故b 。一l 1 , 4 同理有三角 鼠+ 1 _ md 坛ht 最+ l 满足b i + 1 “这样，我们就有三角 b 1 _ m _ m o 1 t b t 满足b 1 “，并且h o m v ( t p ，m o ) = 0 对任意i 0 成立由引理 3 知，对任意i 0 ，有h o m v , ( t i a ，m o ) = 0 这就说明m o “上于 是“是a i s l e 由b k e l l e r 和d v o s s i e c k k v 的结论知，似，t h 上) 是d 上的 t 一结构 令7 - = “n t l ! 上是该t 一结构的h e a r t 显然，4 “再由引理2 知h o m v ( u t a ) = 0 对任意 u 和a a 成立故a 纠i 1 t d 上亦即4 h 反过来，对任意日7 - ，有h o m v ( t i p ，t 一日) = 0 ，其中i 0 于是对任意i 0 ，我们有h o m v ( t i + v p ，日) = 0 再由引理4 ，我们得 到三角 4 _ h _ c _ t a 日川大学硕士学位论文2 9 满足a a ，且h o m v ( t p ，c ) = 0 对任意i 0 成立 又由引理3 知，当j 0 时，h o m v ( t j 一4 ，c ) = 0 故c “上 但由h 纠，t a “，有c 甜于是c 甜n 甜上，故c = 0 这就 说明a 呈日，亦即h a 所以h a 故我们有7 - i = a 口 注有界导出范畴d 6 ( m o da ) 中有满足我们在主要定理中所提 出的条件的满子范畴一4 和p ，其中p 就是d 6 ( m o da ) 中投射对象的 全体，a = m o da 由主要定理知，我们可以从r o o da 出发，得到 沙( 4 ) 上的一个t 一结构，使得该t 一结构的h e a r t 恰好就是r o o da 参考文献 参考文献 【a j s ll e o v i g l l d oa l o n s ot a r r i o ，a n aj e r e m i e sl o p e z ，m a r i aj o s e ，s o u t os a l o r i o c o n - s t r u c t i o no ft - s t r u c t u r ea n de q u i v a l e n c e so fd e r i v e dc a t e g o r i e s t r a n s a m e n m a t h s o c 3 5 5 ( e ) ( 2 0 0 3 ) 、2 5 2 3 - 2 5 4 3 【a r 】m a u s l a n d e r ，i r e i t e n ，a p p l i c a t i o n so fc o n t r a v a r i a n t l yf i n i t es u b c a t e g o r i e s ， a d v a n c e s 轨m a t h e m a t i c s8 6 ( 1 9 9 1 ) 、1 1 1 1 5 2 【b b d a a b e i l i n s o n ，j b e r n s t e i n ，p d e l i g n e ，f a i s c e a u xp e r v e r s ，a s h ! r i s q u e 1 0 0 ( 1 9 8 2 ) 【c p s l 】e c u n e ，b p a r s h a l l ，a n dl s c o t t ，d e r i v e dc s t e g o r i e s a n dm o r i t at h e o r y , j a l g c b r a1 0 4 ( 1 9 8 6 ) ，3 9 4 0 9 i c p s 2 e c l i n e ，b p a r s h a l l ，a n dl s c o t t ，a l g e b r a i cs t r a t i f i c a t i o ni nr e p r e s e n t a t i o n c a t e r ) t i e s ，j a t g e b r a1 1 z ( 1 9 8 8 ) ，5 0 4 - 5 2 1 【g t m 4 】p j h i l t o n ，u s t a m m b a c h ，ac o u r s ei nh o m o l o g i c a la l g e b r a ，s e c o n de d i t i o n ， s p r i n g e r - v e r l a g ( 1 9 9 6 ) f h a ld h a p p e l ，t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s i nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo f f i n i t e - d i m e n s i o n a la l g e b r a s ，l o n d o nm a t h s a c l n s1 1 9 ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s 1 9 s 8 c h a t lr ，h a r t s h o r n e ，r e s i d u e sa n dd u a l i t y , l n m2 0 ( 1 9 6 6 ) ，s p r i n g e r - v e r l a g 【h z y l jz h a o y o n gh u a n g ，w k t o r s i o n f r e em u d u l e sa n dw - l e f ta p p r o x i m a t i o nd i m e n - s i o n ，s c i e n c ei nc h i n as e r i e sa j ，4 4 ( 2 ) ( 2 0 0 1 ) t 1 8 4 - 1 9 2 【h z y 2 z h a o y o n gh u a n g ，a p p r o x i m a t i o ne x t e n t i o n so v e rg o r e n s t e i na l g e b r a ，a c t a m a t h e m a t i c ss i n i c a ，4 5 ( 1 ) ( 2 0 0 2 ) 1 2 7 - 1 3 8 ，( i nc h i n e s e ) 【k 】b k e u e r ，i n t r o d u c t i o nt oa b e l i a na n dd e h v e dc a t e g o r i e s ，i nr e p r e s e n t a t i o n so f r e d u c t i v eg r o u p s ，e d i t e db yr w c a r t e ra n dm g e c k ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s1 9 9 8 ，4 1 6 2 【k 1 】b k e l l