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关于覆叠同伦正则态射 摘要 y 8 9 8 2 6 5 本学位论文在点标道路连通g w 空间的同伦范畴中引进覆叠同伦正则态射 的概念，并研究了它存在的条件、性质以及它与覆叠同伦单( 满) 态和覆叠同伦 等价之间的关系；同时还进步讨论弱同伦正则态射存在的条件、性质以及它与 弱同伦单( 满) 态和弱同伦等价之间的关系，推广了同胚映射、同伦等价和同伦 正则态射的有关结果 第一章讨论覆叠同伦正则态射首先在点标道路连通c w 空间的同伦范畴中 引进覆叠同伦正则态射的概念，并研究了它存在的条件、性质其次，得到了笛卡 尔积保持覆叠同伦正则性，继而得到了s m o s 积也保持覆叠同伦正则性，最后讨 论了覆叠同伦正则性保函数空间在本章的最后，引进了( ，p ) 一覆叠同伦逆和覆叠 群同伦逆的概念，并讨论了它们存在的条件、性质以及它们与覆叠同伦单( 满) 态 和覆叠同伦等价之间的关系，推广了覆叠同伦正则态射的结果 第二章在点标道路连通e w 空间的同伦范畴中引入弱同伦正则态射的概念， 它是覆叠同伦正则态射的推广得到了它的一系列性质以及它与弱同伦单( 满) 态和弱同伦等价之间的关系在本章的最后还引进( ，p ) 一弱同伦逆和弱群同伦逆 的概念，并讨论了它们存在的条件、性质以及它们与弱同伦单( 满) 态和弱同伦等 价之间的关系 关键词 覆叠同伦正则态射，( ，p ) 一覆叠同伦逆，弱同伦正则态射，( t ，p ) 一弱同伦逆 r e s p e c t i v e l ya n dd i s c u s st h e i re x i s t e n c ec o n d i t i o n s ，p r o p e r t i e 8a n dt h ec l o s er e l a - t i o n s h i p st ow e e kh o m o t o p ym o n o m o r p l l i s m ( e p i m o r p h i s m ) a n dw e e kh o m o t o p y e q u i v a l e n c e k e yw o r d s c o v e r i n gh o m o t o p yr e g u l a rm o r p h i s m ，( i ，p ) 一c o v e r i n gh o m o t o p yi n v e r s e ，w 毫e k h o m 0 1 0 9 yr e g u l a rm o r p l l i s m ，( t ，p ) 一w e e kh o m o t o p yi n v e r s e 1 1 l 本章在何g w + 中讨论，对空间x 的基本群”1 x 的任意子群打，都存在覆叠投 射取：x x ，使得b 丌l ( x ) = 日当日= o 时，由于取。是单同态， 故x f o ) 为x 的单连通覆叠空间，即为x 的万有覆叠空间另外，单连通空间易于研 究因此，我们经常将对映射，：x y 的研究转化为对它在万有覆叠空间上诱 导的映射，：x ( o ) 一o ) 进行研究在同伦单、同伦满的研究中，我们也经常运用 这种方法本章通过对，：x ( o ) 一k o ) 的同伦正则性的研究，来界定，：x y 的 相应性质，并研究其相互关系 注1 1 1 以下所讨论的空间x 与y 的万有覆叠空间贾f 0 ) 与羁o ) 简记为文与矿， ，：x y 在万有覆叠空间上所诱导的映射厂：戈( o ) 一霸o ) 简记为，：戈一矿 1 2 基本概念 下面给出本论文要用到的一些准备知识 定义1 2 1 ( 见【2 3 】)设态射，：x y ，若存在态射g ：y x ，使得，9 ，2 ， 则称，为同伦正则态射，g 称作，的一个同伦 1 一逆 定义1 2 2 ( 见【2 3 )设态射，：x y ，若存在拓扑空间z 和同伦满态射厂1 x z ，同伦单态射，2 ：z y ，使得，2 五 ，则称，有标准分解，记作( ，z ，2 ) 下面是文献【2 3 的一些主要定理 定理1 2 1 ( 见【2 3 】) 设，：x y ，则下列条件等价： ( 1 ) ，是同伦正则态射； ( 2 ) ，有同伦右单位，及其左逆元；即：存在g 得，9 1 ， ，29 ； ( 3 ) ，有同伦左单位，及其右逆元；即：存在妒 穗审l 竺 。s 由竺串i x _ x ， ：y x ，使 y _ y ，妒：y x ，使 定理1 2 2 ( 见【2 3 】) 设态射，：x y 有标准分解( ，z ，2 ) ，那么以下条件彼 此等价： ( 1 ) ，是同伦正则态射： ( 2 ) 存在态射g ：y x ，使得 g 厶型1 z ； 3 引理1 2 2 ( 见【3 9 】) 设职：又一x 是覆叠投射，则，：y 一x 有升腾，： y x 当且仅当盘丌1 ( y ) cb 丌1 ( x ) 引理1 2 3 ( 见【3 9 】) 对空间x 的基本群仉( x ) 的任意子群日，都存在覆叠投射 舰：元一x ，使得b ”1 ( 贾) ：日我们记该覆叠空间为霸h ) 由于b 是单同态，故戈为x 的单连通覆叠空间，也即为x 的万有覆叠空间 由此，我们有 引理1 2 4 ( 见【1 7 】)设，：x y ，打c 丌l y ，7c 协- 1 ( ) 则对于覆叠投 射r ：薪一y ，f k ：x ( h ，) 一x 有下述性质： ( i ) 存在，：x ( h ，) 一k h ) 是，o 尸y 的升腾； ( i i ) 若葡，玩：戈( 日，) 一鞍日) 满足p y 。虱墨p 。玩，则存在f 的升腾f ：戈( h ，) j 一霰h ) ，使葫墨甄 ( i i i ) 若，o 笪 ：x y ，则存在m 。( 尸kx1 ) 的升腾面使兀丝五 1 3 覆叠同伦正则态射 本节引入覆叠同伦正则态射的概念，并讨论了它存在的条件、性质以及它与 覆叠同伦单f 满) 态和覆叠同伦等价之问的关系 为什么要引入覆叠同伦正则态射昵? 由于对覆叠函子是否保持同伦正则性 这偷题及其逆命题的研究归结为探讨，：x y 是否保持同伦正则性在本章 的引言中提到过，我们经常将对映射，：x y 的研究转化为对它在覆叠空问上 诱导的映射，：x y 进行研究由于单连通空间易于研究而空间x 的万有覆 叠空问x 是单连通的在同伦单、同伦满的研究中，我们也经常运用这种方法 因此我们不禁想到：如果，：x y 是同伦正则态射以此来界定，会有什么样 的结果呢? 由此，本节给出了覆叠同伦正则态射的概念 定义13 1 设映射，：x y ，若存在映射9 ：y x ，使得，计型，则称，为 覆叠同伦正则态射，9 称作，的+ 。个覆叠同伦 1 卜逆，的所有覆叠同伦 1 ) 一逆记 作，。 1 ) 定义1 3 2 若映射，：x y ，g ：y x ，满足，计竺，且酣 玩则称9 为，的 5 个覆叠同伦 1 ，2 卜逆，的所有覆叠同伦 l ，2 卜逆记作，。 1 ，2 ) 以后，我们就称万有覆叠空间( 映射) 为覆叠空间( 映射) 给出覆叠同伦正则 态射的定义后，我们自然会问：它与同伦正则态射有何联系? 命题1 3 ，1 若，为同伦正则态射。则，必为覆叠同伦正则态射 证作如下交换图 x ( o ) - y ( o ) ! + x ( o ) 上o ) 上i l 一一 x o y 与x o y 由于p y ，= ，取，取亨= 9 印，因此可得p y ，酊= ，9 ，& 又因为，为同伦正则 态孰可得| g 2 | ，于是 p y 两 2 p x ；p y 根据引理1 2 4 ( i i ) ，则有，计! ，于是，为覆叠同伦正则态射 命题1 3 2 若，为覆叠同伦正则态射，则，不定是同伦正则态射 设g 和为i 6 e z 群，：g 一是群同态，由文献【2 1 】的定理8 知：当k e r 不 是g 的直和因子，m 不是片的直和因子时，庐不是正则态射，于是耳( 毋，1 ) ： k ( g ，1 ) 一( 月，1 ) 诱导的基本群之间的同态不是正则态射，故k ( ，1 ) 不是同伦 正则态射但k ( j ，1 ) ：s 一+ 是同伦等价，故( 咖，1 ) 是覆叠同伦正则态射 文献f 2 6 】给出球面间同伦正则态射的性质：球面之间的态射，：驴一s ”( n ， m z + ) 是同伦正则态射的充要条件为：当竹m 时，皇+ ；当n = m 时，的 映射度为1 一1 或0 故对于球面之间的态射，：驴一s m ( n ，7 n z + ) ，若满足： 当n m 时，2 * ；当礼= m 对，的映射度为1 ，一1 或0 ，则由命题13 1 可得， - r 为覆叠同伦正则态射 命题1 3 1 ，命题1 3 2 说明覆叠同伦正则态射是同伦正则态射的真推广本章 的研究是完全有意义的下面给出覆叠同伦正则态射的性质，以及它与覆叠同伦 单( 满) 态和覆叠同伦等价之间的关系 命题1 3 3 若映射，：x z ，9 ：y z ，h ：x y 满足，= 9 h ，则 有，= 孙 证作如下交换图 6 ， 、 又( o ) l 鞍o ) 旦+ 磊o ) 毫一羔 由于p y = 段，圪歹= 9 p y ，故可得 p z f = p x = g h p x = g p y h = p z 奄h ， 根据引理1 2 4 ( i i ) ，有，= 矾 命题1 3 4 若，：x y 有覆叠同伦( 1 ) 一逆，则，必有覆叠同伦 1 ，2 ) 一逆 证设g ：y x ，使得，万! ，令 = 9 ，口，则 是y 到x 的态射，且有 1 h i = 伯两i = 两1 2 i h h = ：奄 色 吾佰嗵| 弓 百两f 奄：= h 故，有覆叠同伦 1 ，2 卜逆 定义1 33 设，：x y ，若存在z h e + ，覆叠同伦满态g ：x z ，覆 叠同伦单态 ：z y ，使得，! h 1 则称，有覆叠同伦标准分解，记作( 9 ，z ， ) 定义1 3 4 设，：x y ，若存在g ：y x ，使得于强1 ，虿拉1 ，则称，为覆 叠同伦等价，9 称作，的个覆叠同伦逆 定理1 3 1 设，：x y ，则下列条件彼此等价： ( 1 ) ，是覆叠同伦正则态射： ( 2 ) ，有覆叠同伦右单位，以及覆叠同伦左逆元；即存在9 x ，有乃= z 元 玩 ( 3 ) ，有覆叠同伦左单位，以及覆叠同伦右逆元：即存在妒 x ，奄事j = j 。丽= 事 x _ x ：y 。 y _ y ，砂：y 。 证只需证( 1 ) 甘( 2 ) ，类似可证( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) 辛( 2 ) 若，是覆叠同伦正则态射，则有u ：y x ，使得茄 五取9 = “，则有疗= 于苗，j f 取 = u ，则元，= 百于 虿 7 ( 2 ) 辛( 1 ) 由( 2 ) 知而扛元， 五故，是覆叠同伦正则态射 定理1 3 2 设，：x y 有覆叠同伦标准分解( 9 ，z ，h ) ，则以下条件彼此等 价： ( 1 ) ，是覆叠同伦正则态射； ( 2 ) 存在u ：y x ，使得面h 2 1 ； ( 3 ) 存在a ，口和t ：a x ，p ：y b ，使得加和加均为覆叠同伦等价： ( 4 ) g 为覆叠同伦右可逆， 为覆叠同伦左可逆 证( 1 ) j ( 2 ) 若，是覆叠同伦正则态射，则有u ：y x ，使得，石，型，即 有元枥虿童元歹，又因为 为覆叠同伦单态射。9 为覆叠同伦满态射，故夸抓= 1 ( 2 ) 辛( 3 ) 若存在u ：y x ，使得茹 2 1 ，取a = z ，b = z ，t = u ， p ：9 u ，则有劳= 虿蕊竺1 ，蕊= 茹元竺l ，故9 和p 均为覆叠同伦等价 ( 3 ) = ( 4 ) 设有a ，b 及 ：a x ，p ：y b ，使得鲥和p 均为覆叠同伦等 价，并设u ，u 分别为g t 和曲的一个覆叠同伦逆，则有1 2 ( 蓟) 矗= 承丽= 虿( i 菘) 知9 为 覆叠同伦右可逆，同理可证 为覆叠同伦左可逆 ( 4 ) 号( 1 ) 设9 为覆叠同伦右可逆， 为覆叠同伦左可逆，则存在9 1 ：z x ， 使得万历1 1 ，存在h 1 ：y z ，使得h l h 竺1 ，取仃= 口l l ，则有 l 哥 = 虱h l f 园虱 l l 两 l 国竺f 故，是覆叠同伦正则态射 ，的覆叠同伦标准分解( g ，z ， ) 被称作基本唯一的是指：若还存在，的另一组 覆叠同伦标准分解( 9 7 ，z ， ，) 1 则有覆叠同伦等价u ：z z 7 ，使得讶畦孑，矛订童元 定理1 33 设，：x y 为覆叠同伦正则态射，若，有覆叠同伦标准分解， 则，的覆叠同伦标准分解基本唯 证设( ，1 ，z ，2 ) 为，的覆叠同伦标准分解，假设( 9 1 ，m9 2 ) 为，的另一组覆叠同 伦标准分解由定理1 3 2 知， 为覆叠同伦右可逆，2 为覆叠同伦左可逆，设爿： z x ，使得 爿2 1 ，设矗：y z ，使得矗，2 竺1 令让= 9 l ， ， = ，；夕2 ，则苞= 伍月：z w ，石= 以翕：w z ，且 有石面= 矗五历，i 型尼，爿! e ，2 爿1 1 。1 = l ，即谚瓦竺1 函( 厕蠡= 蠡( 蠡，i 尼蠡) 历型，2 ，i 尼，2 = ，2 型蠡甄，由于9 2 为覆叠同伦单态 射，9 1 为覆叠同伦满态射，故谕 1 于是u 为覆叠同伦等价 8 又正面 = 翕甄，i 型，2 “ 型，2 = 厉蠡，由于啦为覆叠同伦单态射，左消 去蠡得可1 竺贞同理，蠡i 仉= ，由于 为覆叠同伦满态射，得到蠡西竺五，从 而，的覆叠同伦标准分解基本唯 定理13 4 设，：x y 有覆叠同伦标准分解( ，z ，止) ，则，为覆叠同伦正 则态射当且仅当 ，如均为覆叠同伦正则态射 证( 必要性) 设，为覆叠同伦正则态射，并设9 _ r c 1 ) ，则，；扛，即 五五褫五= 五五，由于，2 为覆叠同伦单态射，从而左消去五得五( 蔬) 五2 五，又因 为，1 为覆叠同伦满态射，从而右消去五得五( 五蓟五! 五，从而 ，2 均为覆叠同伦 正则态射 ( 充分性) 若 ，2 均为覆叠同伦正则态射，设9 1 疗 1 ，啦矗 1 ， 即 蠡 竺 ，2 品，2 竺 ，由 为覆叠同伦满态射，j 为覆叠同伦单态射得五贞2 1 ， 磊五2 1 令9 皇9 。9 。，则，奢琏五五历磊五五= 五五竺f 从而，为覆叠同伦正则态射 定理1 3 5 设，：x y ，则 ( 1 ) ，为覆叠同伦正则态射且为覆叠同伦单态当且仅当，是覆叠同伦左可逆 ( 2 ) _ ，为覆叠同伦正则态射且为覆叠同伦满态当且仅当，是覆叠同伦右可逆 ( 3 ) ，为覆叠同伦正则态射且，既是覆叠同伦单态，又是覆叠同伦满态当且仅 当，是覆叠同伦等价 命题1 3 5 设，：x y 为覆叠同伦正则态射，若9 2 ，n ，”，其中r h ，” ，。 1 ，则9 ，。 1 ) ，且9 为覆叠同伦正则态射 证由，玎2 ( ，而，) 元，2 ，符，竺，可得9 ，。 1 ) ，又由 ，虿竺最( ，元，) 而，元= 而( ，而，) 元! 而，符竺虿 知g 为覆叠同伦正则态射 命题1 3 6 设，：x y ，女：y 型z ( 或 ：z 2 x ) ，则，为覆叠同伦正则态射 当且仅当，( 或， ) 为覆叠同伦正则态射 命题1 37 设，：z 一彤，9 ：x y 均为覆叠同伦正则态射，其中 ，。 1 ) ，g l 9 。 1 ) ， ：x 一彬，则存在z ：y z 使得硒当且仅当蔬元蠡 五 证( 充分性) 取z = 9 1 即可 ( 必要性) 由 9 即得， 员虿! 元= ，强( 顾西芽( 硒功竺丽( 两沥强厩硒歹 1 4 覆叠同伦正则态射的性质 上节给出了覆叠同伦正则态射的部分性质，本节将进一步讨论它的性质 首先给出如下两个引理 引理1 4 1 设 ，厂2 ：x y ，爿，矗：x 7 一y 7 ，若 皇，2 ，f 型尼，则 ， = ，2 尼 证因，1 2 ，2 ，故存在连续映射f ：x j y ，使得f ( z ，o ) = ( 司，f ( z ，1 ) = 五( 习，同理，因元竺元，故存在连续映射0 ：勇，一，使得百( 孑，o ) = 元( 孑) ， 西( 孑，1 ) = 元( 孑) ，作膏：又茹，+ 矿使得厅( z ，孑，t ) = ( f ( z ，t ) ，否( 孑，t ) ) 于是( 叠，。7 ，o ) = ( f ( z ，o ) ，g ( ，o ) ) = ( ( 茸) ，爿( z ，) ) ，日( 茁，。7 ，1 ) = ( f ( 芽，1 ) ，g ( z ，1 ) ) = ( ，2 ( i ) ，爿( 。，) ) ，下证h 的连续性： 戈牙，一哥 刊。卜 考虑上述可换图，因百和岛1 都连续，故南。膏连续同理昂。青连续，因此青连 绕于是五元= 五元：戈茹一矿x 引理1 4 2 设 ，2 ：x _ y ，矗，矗：x _ y 7 ，若五型五，元竺元，则厕型 j _ 一 ，2 尼 1 0 我们记f ，e ，竺e ，2 ，对弱群同伦逆有如下定理： 定理2 3 4 设，：x x ，( 9 ，z ， ) 为，通过z 的一个弱同伦标准分解，则下列 命题等价： ( 1 ) r 有弱群同伦逆； ( 2 ) 曲：z z 是弱同伦等价( u 为9 的一个弱同伦逆) ： ( 3 ) ( 9 ，z ，肋) 、( 9 ，z ， ) 均为，2 的基本唯一弱同伦标准分解 证( 1 ) = ( 2 ) 设，有弱群同伦逆辟，则e ，e 辟e ，2 1 e 辟e ，e 再e ，2 2 e # e p 竺e | e # e | = e ，子是e h e g e 疋| e h e 9 e h e 9 1 e h e g ，j l 鼠为g ，h 分黜 为弱同伦满和弱同伦单，故( 励e 辟e ) 两e 竺1 z ，同理可证( e g e h ) ( e 9 e 躁e ) = 1 z ，敝9 是弱同伦等价 ( 2 ) 寺( 1 ) 若g 是弱同伦等价，记西= u 2 9 ，则有 e e 牵e 2 e h e g e h e e 9 e h e 9 鬯e h e 9 竺e f ， e 牵e e 审：! e h e 舻e 9 e h e 9 e h e 舻e g ! e h e 泸e 9 = e 审。 e f e ( b ! ! e l e g e h e 舻e 9 ：= e h e u e g ， e 牵e l = e h e p e g e h ? e g ：! e h e w e g 故e ，e 妒竺e 妒e 2 1 e x ，于是为，的弱群同伦逆 ( 3 ) 辛( 2 ) 设( 9 ，z ， ) 、( 9 ，z ， ) 均为，2 的基本唯。弱同伦标准分解，则存 在弱同伦等价y ：z z ，使得e y e g 竺e g e ，! e 9 e e 9 ，因为9 为弱同伦满态 射，故置徊 2 e y 为弱同伦等价 ( 2 ) 辛( 3 ) 设9 ：z z 是弱同伦等价，e 9 ( e e o ) 1 1 2 1 e w 2 e 9 e 旦7 e 危2 ( 1 沁2 e 9 ) e ，e ，即9 弱同伦右可逆， 弱同伦左可逆由定理2 2 2 知，2 为弱同伦 正则态射显然( g ，z ， ) 为，2 通过z 的弱同伦标准分解，再由定理2 2 3 知 ( 口，z ， ) 为，2 通过z 的基本唯弱同伦标准分解 同理可证( 口 z ， ) 为，2 通过z 的基本唯一弱同伦标准分解 由上述证明过程可知，若有弱同伦标准分解( g ，z ， ) 的态射，存在弱群同伦 逆，则 u 2 9 是某个a 的表达式 由第。章的讨论我们知道：同胚映射、同伦等价、同伦正则态射均为覆叠同 伦正则态射对于弱同伦正则态射的讨论，本文引入了比万有覆叠函子更广泛的 x n x n y 也是覆叠同伦正则态射 1 5 ( i ，p ) 一覆叠同伦逆和覆叠群同伦逆 广义逆是代数理论中的个重要概念文献【2 1 ，2 2 】将广义逆的概念发展到 范畴理论的函子上，得到了函子广义逆和群逆的一些结果文献f 2 7 1 把广义逆的 概念推广到代数拓扑学中，在点标拓扑空间范畴中提出了( t ，p ) 一同伦逆和群同伦 逆的概念，并讨论了它们存在的条件和性质文献f 2 8 1 利用同调函子，在点标拓扑 空间范畴中提出了同调单态、同调满态、同调正则态射等概念，它一方面是代数 广义逆理论在代数拓扑学巾的推广，另方面是同伦单、同伦满、同伦正则单、 同伦正则满、覆叠同伦单、覆叠同伦满和同伦正则态射等概念的延伸 本节在点标道路连通e 空间的同伦范畴中引进( ，p ) 一覆叠同伦逆和覆叠群 同伦逆的概念，先给出本节的一个主要定理 定理1 5 1 若态射，：x y 有覆叠同伦标准分解( g ，z ， ) ，设有a 、b 及相应 的态射t ：a x 与p ：y b 使鲥和咖是覆叠同伦等价( 叭 分别为弧矾的一个 覆叠同伦逆) ，则，：x y 必为覆叠同伦正则态射，且在覆叠同伦的意义下只有 个态射w ：y ，x ，使得，西，! ，石拍2 石，石，i 型i ，f ，石= f 乞 a _ ，x 广y 7 b 证由定理1 3 2 知，为覆叠同伦正则态射，下证u 的存在性和唯一性 ( 存在性) 令“= i 札u n 于是u 是y 到x 的态射，且有 ，石，= a 宅西玎2 蓟试柳 虿童， 西厢竺t 沥劲剪莉多， i 菘面= 石， 击一型i 商i 劢蓟型 ， 甜西印h 蓟面 蟊 ( 唯性) 若妒：y x 也满足 1 4 过z 的基本唯一覆叠同伦标准分解 同理可证( 9 ，z ， ) 为，2 通过z 的基本唯一覆叠同伦标准分解 由上述证明过程可知，若有覆叠同伦标准分解( 9 ，z ， ) 的态射，存在覆叠群同 伦逆，则 u 2 9 是某个a 的表达式 本章我们引入了覆叠同伦正则态射的概念，并研究了它存在的条件、性质以 及它与覆叠同伦单( 满) 态和覆叠同伦等价之间的关系，同时还引入( ，p ) 一覆叠同 伦逆和覆叠群同伦逆的概念，并研究了它们存在的条件，性质下一一章我们将引 入弱同伦正则态射和( i ，p ) 一弱同伦逆的概念，并给出它们的一些性质以及它们与 弱同伦单( 满) 态和弱同伦等价之间的关系 1 7 第二章弱同伦正则态射 本章利用。)一同伦满(单)函子，在点标道路连通crw空间的同伦范畴(简记 为hg彬+)中，引进了弱同伦正则态射和(g，p)一弱同伦逆的概念，并给出了它们的 。些性质以及它们与弱同伦单( 满) 态和弱同伦等价之间的关系 本章分三小节，第一节在点标道路连通e空间的同伦范畴中引进了a一同 伦满(单)函子和口一同伦满(单)函子的概念，并给出了它们的一些性质；第二节利 用。一同伦满函子和p一同伦单函子，给出了弱同伦正则态射及弱同伦满(单)态射的概念，并研究了它们存在的条件、性质及一些相互关系；第三节给出( i ，p ) 一弱 同伦逆和弱群同伦逆的概念和。些相关性质2 1 相关概念及相互关系 在第章的引言中提到过，我们经常将对映射，：x y 的研究转化为对 它在覆叠空间上诱导的映射，：贾一矿进行研究由于单连通空间易于研究 而空间x的万有覆叠空间x是单连通的在同伦单、同伦满的研究中，我们也经 函子，以此来定义，会有什么样的结果呢?由此，本节给出了n一同伦满f单1函子和p 一同伦满( 单) 函子的概念 定义211设e：日gw+一日gw为共变函子，若vx日gw+，：x。 y是gw4中的态射，存在同伦满(单)态8x：xex，下图同伦可换，即eyo，! e ，o8 x ，则称e 为口一同伦满( 单) 函子i1 8j 卜，吖一【划l 蹦 因，：x y 是同伦正则态射，故j 9 ：y x ，使得，9 ，型，因此e ，勋e ，e x 型 e ，e 9 e y ，! e 厂e x 9 ，! e y ，9 ，! e y ，竺e ，oe x 又因为e x 是同伦满态射，故 右消去e x 可得e ，毋e ，竺e ，所以e ，是同伦正则态射 定义2 1 2 设e ：日g w + 一日g + 为共变函子，若v x h g ，：x y 是日g w + 中的态射，存在同伦满( 单) 态射e x ：e x x ，下图同伦可换，即e yo e ，! ，o8 x ，则称e 为卢一同伦满( 单) 函子 e x 兰le y ， y 定理2 1 ，4 设，：x y 是同伦单态射，e 为p 一同伦单函子，则e ，是同伦单 态射 证明对偶于定理2 1 1 定理2 1 5 设e 为p 一同伦满函子，e ，是同伦满态射，则，是同伦满态射 证明对偶于定理2 1 2 定理2 1 6 设，：x y 是同伦正则态射，e 是p 一同伦单函子，则e ，也是 同伦正则态射 证明对偶于定理2 1 3 例2 1 1 设，：x y 是盯c 中的同伦正则态射，p 是素数，若p 一局部化映 射知：x 一b 为同伦满态，则，p ：一k 是同伦正则态射 事实上下图同伦可换，在例2 1 1 的条件下，p 一局部化函子是“一同伦满函子， 由定理2 1 3 知，厶是同伦正则态射 x 一y 玛i 一匕 例2 1 2 设，：x y 是同伦正则态射，s 是同纬函子，x 是s x 的弱形变收缩 核，则s ，：s x s y 也是同伦正则态射 iii_j+ 事实上，因x 是s y 的弱形变收缩核，故存在收缩映射r x ：s x x ，有to r x21 ，其中 ：x _ s x 是包含映射，地，u ：z _ s x ，若r xou2 xou ， 则ior x 。“竺io7 xo 仉于是t 2 故r x 是同伦单态显然下图同伦可换 故s 是p 一同伦单函予，由定理2 1 6 知s ，是同伦正则态射 s x ls y i y 注2 ，1 1 恒等函子既是n 一同伦满( 单) 函子，又是p 一同伦满( 单) 函子 注2 1 2 万有覆叠函子是口一同伦单函子 由此可得，口一同伦单函子是万有覆叠函子的真推广本章的研究是完全有 意义的 2 2 弱同伦正则态射及弱同伦满( 单) 态射 李建荣等在文献【1 9 】中将对映射，：x y 的研究转化为对它在覆叠空问上 诱导的映射，：x y 进行研究，给出了覆叠同伦单与覆叠同伦满的概念及它们 的弱形式的概念本节在点标道路连通e w 空间的同伦范畴中，利用q 一同伦满函 子和p 一同伦单函子，给出了弱同伦正则态射及弱同伦满( 单) 态射的概念，并研究 了它们存在的条件、性质及些相互关系 定义2 2 1 设，：x y 是态射，e 是a 一同伦满函子，若存在态射口：y x ，使得e ，勖e ，2e ，则称，是。一同伦正则态射，9 称作，的一个a 一同伦 1 卜 逆，的所有口一同伦 1 ) 一逆记作广 1 ) 定义2 2 2 设，：x y 是态射，e 是p 一同伦单函子，若存在态射g ：y x ，使得e ，e 9 e ，型e ，则称，是p 一同伦正则态射，g 称作，的一个卢一同伦f 1 卜 逆，的所有p 一同伦 1 卜逆记作，4 l 定义2 2 3 若，是q 一同伦正则态射或p 一同伦正则态射，则称，是弱同伦正则 念射，其中一同伦 1 ) 一逆和p 一同伦 1 卜逆均称为弱同伦 1 ) 一逆记作，w 1 ) 给出了弱同伦正则态射的定义后，我们自然会问：它与同伦正则态射有何联 2 1 系? 命题2 2 1 若，为同伦正则态射，则，必为弱同伦正则态射 证对于同伦正则态射，：x y ，若e 为。一同伦满函予，则根据定理2 1 3 可 得e ，也是同伦正则态射，由定义2 2 1 可得，是。一同伦正则态射；若e 为卢一同伦 甲函子，则根据定理2 1 6 可得e ，也是同伦正则态射，由定义2 2 2 可得，是p 一同 伦正则态射，故，为弱同伦正则态射 命题2 2 2 若，为弱同伦正则态射，则，不。定是同伦正则态射 若e 是万有覆叠函子，显然下图同伦可换设g 和日为m e z 群，多：g 一日是 群同态，由文献2 1 1 的定理8 知：当k e r 不是g 的直和因子，j m 曲不是h 的直和因 子时，砂不是正则态射，于是k ( 西，1 ) ：k ( g ，1 ) 一( h ，1 ) 诱导的基本群之间的同 态不是正则态射，故k ( 妒，1 ) 不是同伦正则态射但e ( ( 妒，1 ) ) ： 一十是同伦等 价，故k ( 妒，1 ) 是口一同伦正则态射，于是( 妒，1 ) 是弱同伦正则态射 + 苎竺坐! ，+ ll 。”。l i 8 ”1 u i ( g ，1 ) 1 丽面一( ，1 ) 由此可得，弱同伦正则态射是同伦正则态射的真推广本章的研究是完全有 意义的下面给出弱同伦正则态射的性质，以及它与弱同伦单( 满) 态和弱同伦等 价之问的关系 注2 2 1 以下讨论的共变函子均指口一同伦单函子 定义2 ，2 4 若态射，：x y ，口：y x ，满足e ，e g e ，= e ，且e g f ，e 9 2 e 9 ，则称9 为，的。个弱同伦 1 ，2 卜逆，的所有弱同伦 1 ，2 ) 一逆记作，w 1 ，2 ) 命题2 2 3 若：x y 有弱同伦 1 卜逆，则，必有弱同伦 l ，2 ) 一逆 证设9 ：y x ，使得e ，e 9 e ，2 e ，令 = 9 ，9 ，则 是y 到x 的态射，且 有 e e h e i = e e g e f e g e f = e l e 9 e f 竺e f e h e e h = e g e e g e f e 9 e i e g 竺e 9 e e 9 e f e g 型e 9 e f e g = e h 故，必有弱同伦 l ，2 卜逆 2 2 定义2 25 设，：x y 是 射e ，：e x e y 是同伦单态 对偶地，有 定义2 2 6 设，：x y 是 射e ，：e x e y 是同伦满态 个态射，称，为弱同伦单态，如果，诱导的态 个态射，称，为弱同伦满态，如果，诱导的态 注2 2 2 同伦单态定是弱同伦单态，同伦满态不。定是弱同伦满态 定义2 2 7 设，：x y ，若存在z 打g + ，弱同伦满态9 ：x z ，弱同 伦单态h ：z y ，使得e ，! e h e g ，则称，有弱同伦标准分解，记作( 口，z ， ) 定义2 2 8 设，：x y ，若存在9 ：y x ，使得e ，e g 型1 ，e 9 e ，型1 ，则 称，为弱同伦等价，g 称作，的个弱同伦逆 定理2 2 1 设，：x y ，则下列条件彼此等价： ( 1 ) ，是弱同伦正则态射； ( 2 ) ，有弱同伦右单位，以及弱同伦左逆元；即存在9 奄e f e g 竺e 1b h e 竺e 吼 ( 3 ) ，有弱同伦左单位，以及弱同伦右逆元；即存在妒 奄e 咿e = e f ，e e 咄= e 节 x _ x ：y _ x y _ y ，妒：y _ x 证只需证( 1 ) 甘( 2 ) ，类似可证( 1 ) 咎( 3 ) ( 1 ) 净( 2 ) 若，是弱同伦正则态射，则有“，：y x ，使得e ，肌e ，! e ， 取9 = u ，则有e ，e 9 = e ，e u e ，2 e ，取 = u ，则e e ，= e u e ，2 e 9 ( 2 ) = ( 1 ) 由( 2 ) 知e ，e e ，2 e ，e 9 1 e ，故，是弱同伦正则态射 定理2 2 2 设，：x y 有弱同伦标准分解( 9 ，z ， ) ，则以下条件彼此等价： ( 1 ) ，是弱同伦正则态射； ( 2 ) 存在u ：y x ，使得e 9 e u e 竺1 ； ( 3 ) 存在a ，b 和 ：a x ，p ：y b ，使得鲥和西均为弱同伦等价； ( 4 ) 9 为弱同伦右可逆， 为弱同伦左可逆 证( 1 ) = 争( 2 ) 若，是弱同伦正则态射，则有u ：y x ，使得e ，肌e ，竺e ， 即有e e 9 l 沁e e 9 2 e ， e 9 ，又因为 为弱同伦单态，g 为弱同伦满态，故 e 9 e u e 型1 ( 2 ) 号( 3 ) 若存在u ：y x ，使得e g 孔e 1 1 ，取a = z ，b = z ， = u p = 9 u ，则有勋e i = e 9 e u e = 1 ，唧e h = e g e u e h 2 1 ，故9 i 和p 均为弱同伦 等价 ( 3 ) = 争( 4 ) 设有a ，b 及 ：a x ，p ：y b ，使得g t 和p 均为弱同伦等价， 并设u ，v 分别为g i 和曲的+ 一个弱同伦逆，则有1 2 ( e 9 戤) e u = e 9 ( 尉e u ) 知9 为 弱同伦右可逆，同理可证 为弱同伦左可逆 ( 4 ) 辛( 1 ) 设g 为弱同伦右可逆， 为弱同伦左可逆，则存在吼：z x ，使 得e 9 e 9 1 竺1 ，存在 l ：y _ z ，使得e 1 e 2 1 ，取盯= g l 1 ，则有 e f e 口e = e e 吼e h l e f 篡e h e g e 9 l e h l e h e g = e h e g 皇e 故，是弱同伦正则态射 ，的弱同伦标准分解( 9 ，z ， ) 被称作基本唯的是指：若还存在，的另+ 。组弱 同伦标准分解( 9 7 ，z ， ，) i 则有弱同伦等价u ：z z ，使得五o e 9 = e g ，e ，e ! e 定理2 23 设，：x y 为弱同伦正则态射，若，有弱同伦标准分解，则，的 弱同伦标准分解基本唯 证设，z ，2 ) 为，的弱同伦标准分解，假设( 9 l ，w 卯) 为，的另组弱同伦标 准分解由定理2 2 2 知， 为弱同伦右可逆，2 为弱同伦左可逆，设兵：z x ， 使得f e ，i 皇1 ，设矗：y z ，使得e 矗e ，2 2 1 令u = 9 1 矗， = 尼9 2 ，则e u = e 9 l e 矗：e z e w ，e = e 足e 啦： e w - e z ，虽宿e e u = e ：e 9 2 e 虬e i 竺e ；e e 扭e f ；e f 2 e | l e 茹2 1 0 1 = 1 即e u 曰u 型1 e 9 2 0 e u e v 、e 9 1 = e 9 2 t e 吼e i e | e g 南e g l = e f 2 e 凡e f i e f & e 2 e h 竺 e ，2 e ，1 1 e 9 2 e 9 l ，由于9 2 为弱同伦单态射，9 l 为弱同伦满态射，故e 让e u 型1 于 是“为弱同伦等价 又e 9 2 e u e h = e 9 2 e g i e i e h ：! e 2 e h e f i e h ：! e f 2 e h ：e 9 2 e 9 1 由 9 2 为弱同伦单态射，左消去i 得e ”e 型勋1 同理，e 啦e u e 型e ，2 e ，由 于 为弱同伦满态射，右消去e 得至渤e u ! e ，2 ，从而，的弱同伦标准分解基本 唯一 定理2 2 4 设，：x y 有弱同伦标准分解( ，1 ，z ，南) ，则，为弱同伦正则态 射当且仪当 ，2 均为弱同伦正则态射 证( 必要性) 设，为弱同伦正则态射，并设g ，w 1 ) ，则e ，勖e ，2 e ，即 e ，2 e e 9 e 止e 型e ，2 e ，由于，2 为弱同伦单态射，从而左消去e ，2 得 e ( e 9 e ，2 ) e ! e ，又因为 为弱同伦满态射，从而右消去e 得 e ，2 ( e e 9 ) e 止2 e ，2 ，从而 ，2 均为弱同伦正则态射 ( 充分性) 若 ，2 均为弱同伦正则态射，设g l 1 ) ，9 2 1 ) ， 即e e 9 l e ! e ，e 止点冶2 e ，2 = e ，2 ，由 为弱同伦满态射，2 为弱同伦单态射 褥e h e g l 2 a ，e 9 2 e 如二蛆令9 2 叭9 2 。鼬e e 9 e ：! e k e h e 9 1 e 9 2 e | 2 e h ! e 儿e ! e ，从而，为弱同伦正则态射 定理225 设，：x y ，则 ( 1 ) ，为弱同伦正则态射且为弱同伦单态当且仅当，是弱同伦左可逆的 ( 2 ) ，为弱同伦正则态射且为弱同伦满态当且仅当_ r 是弱同伦右可逆的 ( 3 ) 为弱同伦正则态射且，既是弱同伦单态，又是弱同伦满态当且仅当，是 弱同伦等价 命题2 2 4 设，：x y 为弱同伦正则态射，若9 2 m ，m 其中m ，n ， 1 ) 则g ，w 1 ) ，且g 为弱同伦正则态射 证由e e g e ，= ( e ，i m e ，) e 凡e ，! e ，e n e ，型e ，可得9 ，w 1 ) ，又由 e 9 e ，e 9 1 e 7 n ( e ，e 扎e ，) e m e ，e 凡竺e m ( e ，e m e ，) 上m ! e m e ，e n 竺e 9 知9 为 弱同伦正则态射 命题2 2 5 设，：x y ，女：y ! z ( 或 ：z 竺x ) ，则，为弱同伦正则态射当 且仪当，( 或， ) 为弱同伦正则态射 命题2 2 6 设，：z w ，口：x y 均为弱同伦正则态射，其中，1 ， 1 ) ，9 1 9 w l ， ：x w ，则存在z ：y z 使得e ，e 嚣e g = e 当且仅 当efe h e h e 9 i e g = e h 证( 充分性) 取七= h 9 - 即可 ( 必要性) 由e 竺e ，e 。e 9 皇( e ，e e ，) z ( 勖e 9 l e 9 ) 竺 e j e h l e e e e 9 1 e g ：! e e h e h e 9 l e g 甚q 祷e f e h e h e g l e g ! e h 下面给出弱同伦正则态射的一个等价关系和新范畴的构造： 定义2 2 9 设，9 ：x y 都是弱同伦正则态射，一g 当且仪当存在弱同伦 等价u ：x _ + x ，有e ，。e 钍型e g 或者e g 。e u 型e ， 定理2 2 6 定义2 2 9 给出的关系是等价关系 证( 1 ) 自反性：取u = 1 ，即得e ，一e ， ( 2 ) 对称性： 若，一9 ，则存在弱同伦等价u ：x x ，有e ，。e 让! e 9 或 螽e 9 oe u 竺e 。于是g 一 ( 3 ) 传递性：若，一9 ，g 一 ，则存在弱同伦等价u ：x x ，有e ，o e “! e 9 或者e 9o e “! e ，存在弱同伦等价u ：x 一y 有e g 。互沁! e 施霓 者e hoe ! e 9 于是有四种可能性： a ) e ，。e 札竺e 9 ，e 9 。e 型e ，此时e ，o e ( uo u ) 竺e 9 。上弛竺e b ) e ，。e u 竺e 9 ，e o j 弛竺e g ，此时e ，。e u2e o e u ，故e ，。e 。 一1 ) ! e 。e uo e u 一1 2 e c ) e 9 。e u ! e ，e 9 oe 型e ，此时e ，oe u 一11e o e u ，故e ，o e ( u 一1o ) 竺e d ) e 9o e u 竺e ，e o 上勋型e 9 ，此时e 。e 扣o u ) 型e 9 。e u 竺e ， 而弱同伦等价的逆是弱同伦等价，两个弱同伦等价的复合是弱同伦等价， 故j 。一 于是定义2 2 9 中给出的关系是等价关系 两个弱同伦正则态射的复合不一定是弱同伦正则态射，但如果两者中有一个 是弱同伦等价，则它们的复合是弱同伦正则态射 定理2 2 7 设，：x y ，9 ：y z 是日e w 巾的态射，则 ( 1 ) 若，为弱同伦等价，g 为弱同伦正则态射，则口o ，为弱同伦正则态射 ( 2 ) 若，为弱同伦正则态射，9 为弱同伦等价，则9o ，为弱同伦正则态射 证只需证( 1 ) 设，为，的弱同伦逆，g 为9 的弱同伦 1 ) 一逆，则曰0 0 ，) e ( ，7 。 9 ) e b o ，) = ( e 9 。e ，