（基础数学专业论文）几类边值问题的正解研究.pdf

摘要 本硕士论文由三章组成，主要讨论了一类二阶m 点边值问题的正解 存在性，一类非线性边值问题三个正解的存在性，以及一类周期边值问 题多个正解的存在性 第一章讨论了二阶m 点边值问题的正解存在性 ， i 钆+ a a ( t ) f ( u ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) l 乱( o ) = 0 ，u ( 1 ) 一q t 乱( 勘= b l = l 利用s c h a u d e r 不动点定理和锥拉伸与压缩不动点定理在适当条件下建 立了这类边值问题存在正解的充分条件，这些结果改进了一些已知的结 果 第二章，讨论了一类非线性边值问题三个正解的存在性 l x = f ( t ，z ) ，0 t 1 w l x ( o ) 一w 2 x ，( 0 ) = 0 ， w a x ( 1 ) + w 4 x ，( 1 ) = 0 主要应用了著名的五函数不动点定理，这些结果改进和推广了一些 已知的结果 第三章，讨论了一类脉冲周期边值问题多个正解的存在性。 u 7 ( ) + a 乱( 亡) = ( t ) ，( 乱) ，t zt t k ，k = 1 ，p 乱( 亡j ) = u ( t i ) + 厶( 乱( i ) ) ，k = 1 ，p u ( o ) = “( 1 ) 主要应用了著名的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理$ 1 j l e g g e t t w i l l a m s 不动点定理， 并获得了多个正解的存在性 关键词：正解；边值问题；锥；不动点；不动点定理 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d i e d t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o no ns e c o n d o r d e r 仃l p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s ，e x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n st on o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m sa n dt h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rai m p u l s i v ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e ro n e ， t h ee x i s t e n c ec r i t e r i af o rm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n d o r d e r z p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa x eo b t a i n e db yu s i n gk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o - r a ma n ds c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m c h a p t e rt w o ， b yf i v ef u n c t i o n a l sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h ee x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o nf o r n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si sp r o v e d i nt h el a s tc h a p t e r ， l ( 亡) + t ) = 九( 亡) 厂( u ) ，t zt t k ，k = 1 ，p u ( t j ) = u ( 坛) + 厶( u ( t i ) ) ，k = 1 ，p 1 u ( o ) = u ( 1 ) b ym e a l l 8o fk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma n dl e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n t t h e o r e m ，t h ee x i s t e n c e so fp o s i t i v es o l u t i o nt ot h ei m p u l s i v ep e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：p o s i t i v es o l u t i o n s ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；c o n e ；f i x e dp o i n t ； f i x e dp o i n tt h e o r e m i i 0 ，0 m - q t u ( 勒 0 ，叼( 0 ，1 ) ，q 叩 1 ，a ( t ) c ( o ，l 】， 0 ，+ 。o ) ) ，f c ( o ，+ o o ) ， 0 ，+ 。o ) ) ， 满足超线性或次线性条件文 1 】建立了该边值问题正解存在性的结论 一1 高校教师在职硕士学位论文 由此我们提出下列两个问题： 问题1 我们是否可以得到相似的结论? 问题2 方程( o 1 1 ) 是否有解存在? 二一类非线性边值问题三个正解的存在性 本章主要研究了下列非线性边值问题三个正解的存在性 l x = f ( t ，z ) ，0 t 0 矛口l z ：= 一( z ) z 7 ) 7 + q ( t ) x 这里p c 1 ( 【o ，1 】，( 0 ，) ) ，q c ( o ，1 】，【0 ，) ) 对于l x = 一( i e ，p ( t ) 三1 ，q ( t ) 三o ) ，在过去的很多年里受 到相当大的关注在最近的一篇文章，e r b e r 1 1 应用不动点指数，研究了多 个正解的存在性由此我们提出了以下问题： 问题3 方程( o 1 2 ) 存在三个正解的条件是什么? 三一类脉冲周期边值问题多个正解的存在性 在这章我们利用了著名的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理干 l e g g e t t w i l l a m s 不动点定理研究了下列脉冲周期边值问题多个正解的存在性 ( t ) + 入乱( t ) = 九( t ) ，( 钍) ，t zt t k ，k = 1 ，p ， u ( j ) = u ( 亡i ) + 厶( u ( t i ) ) ，k = 1 ，p ， ( o 1 3 ) u ( o ) = 乱( 1 ) 当入r 上l a 0 ，j = 【0 ，1 ，0 = t o t l t 2 0 ，叩( 0 ，1 ) ，口叩 o ，o 喜瓯& 1 ，入( o ，+ ) ，c ( o ，+ ) ，【o ，+ o o ) ) 是连续 的，o ( t ) c ( o ，1 1 ，【0 ，+ ) ) 并且o ( z ) 在，1 】的任何子i 又- i n 上不恒为零我们 假定： 知= 舞掣，厶= 慨掣 我们在主要工具是下面两个不动点定理： 定理1 1 1 2 1 ( s c h a u d e r 不动点定理) 设e 是b a n a c h 空间d 是e 中的有界 闭凸子集如果映射a ：d _ d 是全连续的那a a 在d 中有个不动点 定理1 1 2 1 3 1 设e 是一个b a n a c h 空间，设kcc 是一个锥，设q 1 ，q 2 是e 的 开子集且o q 1 ，q 1cq 2 ，令 a ：kn ( q 2 q 1 ) 一k 是一个全连续算子，若满足下列之一 4 一 几类边值问题的正解研究 例i i a , * i i i l u l l ，u ki 1a q l ，和l i a u i | i l u l l ， t t ki 1a q 2 ；或 一砂i i a , - , i i 1 1 , 比1 1 ，u kna q l ，和i i a u l i l i u | f ，u kna q 2 ； 那么a 有一个不动点在kn ( q 2 q 1 ) 中 1 2 正解的存在性 引理1 2 1 设o m - 2 啦& 1 ，可c o ，1 】那么边值问题 u - - i - - y ( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 )( 1 2 1 ) 钆( o ) = 0 ，u ( 1 ) = ( 锄 ( 1 2 2 ) 有唯一解： 乱c t ，= 了二了聂z l c l 一s ，c s ，d s 一了兰氅z 靠c 一s ，拶c s ，d s 一o 。 一s ，可c s ，幽 让日月由u + 可( ) = 0 我们有 u 俅) 一( o ) = 一z 。可( s ) d s ， u 印) = 乱，( o ) 一z 。秒( s ) d s ， 所以 乱( 芒) = u ( o ) + u 7 ( o ) 亡一f o t y ( s ) ( 一s ) d s 因为札( o ) = 0 ，所以 乱( ) = 。( o ) 一o ( 亡一s ) 秒( s ) d s 因此 薯刚( 锄= 喜钆，( 0 地已一譬i = 1q 。0 6 ( 已一s ) y ( s ) d s l11 ，q t 钆( 邑) = 钆7 ( o ) q i 已一q t ”( 已一， t =0 2 高校教师在职硕士学位论文 小) = 喜u ，( 0 h 已一m 三- 2 q 。f o & ( 已一s ) y ( s ) d s “( 1 ) = u 7 ( o ) q i 已一q t ”( 已一 0 = 1l = j 又 u ( 1 ) = 乱7 ( o ) 一( 1 一s ) y ( s ) d s ， j o 所以 譬仳，( 0 ) 叱已一m - 2 0 6 ( 已一=u，(0)一fos)y(s)ds 1(1一s)y(s)dsi 仳7 ( o ) t 已一q i ( 已一= u 7 ( o ) 一1 ( 1 一 = li - - - - 1 i j 从而 以0 ) ( 1 一擎沪f 0 1 ( 1 州郴s m 蚤- 2 q t 0 6 ( m s ) d s 因此 乱7 ( 。) 2j _ = 二；蠹f o l ( 1 - s ) y ( s ) d s - j - = 二瓷0 6 ( 已一s ) 可( s ) d s 进而可得 u c t ，= j - = 二彳磊z 1c 1 一s ，可c s ，d s j _ = 三甓z 矗c 已一s ，可c s ，d s 一o ( 亡一s ，可c s ，d s 类似于文 1 】的证明，可得下面的引理 引理1 2 2 设o 6 满足 f ( b l + b x l l h l l ) l l p l i b 1 定义c o ，1 】中的一个闭凸子集d = w c o ，1 1 0 叫( t ) b 1 ，t 0 ，1 】) ，对 每一个w d 假设椤= a 叫是方程 + a a ( t ) f ( w + b h ) = 0 ， m - 2 毋( o ) = 0 ，0 ( 1 ) 一q t 椤( = 0 i = 1 的解显然a ：d _ c o ，1 】是全连续的因为 0 秽= a w =去小-s)吲s)f(w+bhm-2 ) d s 1 一q i 邑- 。、1 。7 、“、。7 ”。 一7 一 ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) 高校教师在职硕士学位论文 一羔o 矗铲郴巾川州s z ( t s ) 入a ( s ) 他+ 6 允) d s f ( b 】+ 6 】f l h i i ) i l p i l b 1 所以a 从d 映射到d 由s c h a u d e r 不动点定理可知a 在d 中有一个不动点移那 么u ：猡+ b h 就是边值问题( 1 1 2 ) 的一个正解证毕 定理1 2 2 设人，= 罱，人2 = 为- - 蒉l 。写i = 1 ；o r i e 面1 并假设下面条件成 立： ( h 3 ) 如= 厶= o 。； ( h 4 ) ，单调非减； ( h 5 ) 存在m 1 ( 0 ，a 1 ) 和b o 满足f ( w + b h ) m i b ； 那么边值问题( 1 1 2 ) 至少存在两个正解 证明定义集合e = 钆i 乱c o ，1 m 则e 是b a n a c h 空间；然后定义集 合k ： w c o ，1 1 w o ) 则k 是e 的一个锥 定义算子a 舭2 _ m 蠹_ 2 。f 0 1 ( 1 s ) 吲s m 州啪s _ o 。( m ( 5 ) 伽栅) d s i 二j m 耋- 2 ：乏j 厂0 矗( 已一s ) 入n ( s ) ，( 加+ 6 ) d s 则易验证a 是全连续算子 首先，因为矗= u l _ i m + 。掣= + o 。，对任意的尥( a 2 ，+ o 。) ，存在o b o b 当b 。 一 一 一 一 即 高校教师在职硕士学位论文 a 训i i l i 伽l i ，w a q 6 ( 1 2 1 1 ) 又因为氏= l i m 掣= + ，对任意的m + ( a 2 ，+ o 。) ，存在b ： b 0 ， u + * 一 当b 时，有 f ( b + 危( 韵) m b 定义集合q 6 = 伽k i l l 叫| | 6 + ) ，对任意w a q 6 。，可得， 即 a 伽 a ( s ) f ( w + b h ) d s ) 入口( s ) 厂( 叫+ b h ) d s 了二石墨_ = ：乏名( 1 一s ) a 。( s ) ，( 叫+ 6 危) d s j _ = 二；轰( 1 一s ) 入。( s ) ，( 6 尼( 已) ) d s i _ = 二石蠹( 1 一s ) a 。( s ) ，( 6 + ( 已) ) d s 粤知一s ) 川d s 忙1 1 叫1 1 ， 1 一q 已吖 a w l i i l 叫i i ，w a q 6 ( 1 2 1 2 ) 再定义集合q ，b = w k i l l w l l b ) 由算子a 的表达式可知 a 叫忐0 1 ( 1 一s ) a 。( s ) ，( 训+ 6 ) d s 一1 0 一 一 & 卜 ，l _ - 争 飞 。0 一 & 一叱 一毗 厂厶 一已 一已 一一聃汹一棚一汹&一一一汹 几类边值问题的正解研究 毒妥0 1 ( 1 一s ) a a ( s ) d s 芸r 一 ( 一 1 一锄已 b = 1 1 w l l ， 即 i i a w l l 1 1 w l l ，w a q b ( 1 2 1 3 ) 由( 1 2 1 1 ) ，( 1 2 1 2 ) 矛1 ：i ( 1 2 1 3 ) 以及定理1 1 2 ，得至 i j a 在q b 吼。和q 6 晓b 各 至少一个不动点w 。，w 。即边值问题( 1 1 2 ) 至少有两个解， u 1 = w 1 + b h 和u 2 = w 2 + b h 高校教师在职硕士学位论文 2 一类非线性边值问题三个正解的存在性 2 1引言及预备知识 在本章中，我们主要解决一类边值问题三个正解的存在。陛( b v p ) l x = f ( t ，z ) ，0 o f i 相应 的特征函数妒。( ) 在( o ，1 ) 成立一般地，我们可以假定在( o ，1 ) 中，有妒。( 亡) o 且1j l = m a 洳跚l 妒1 ( 亡) i = 1 由条件( 2 1 2 ) ，l x = 0 的格林函数设为a ( t ，s ) 众 所都知，a ( t ，s ) 可以写成 = 五1 般瓣鬈暑 坞， 其中( ) 和妒( 亡) 满足 l = 0 ，咖( o ) = w 2 ，( o ) = w l ，( 2 1 4 ) l 妒= 0 ，妒( 1 ) = w 4 ，妒7 ( 1 ) = - - w 3 ，( 2 1 5 ) 其中 p ( ) ( ( t ) 矽7 ( 亡) 一( t ) 妒( t ) ) 三- d 这就表明当砂( ) 0 且在 o ，1 递减时，妒( t ) o 且在 o ，1 】中递增因此，d o 且我们有 0 a ( t ，s ) a ( s ，s ) ，0 t ，5 1 ( 2 1 6 ) 几类边值问题的正解研究 我们定义两个正数7 7 ，p 有 叩一1 譬。( 0 1a ( t , s ) d s ) ，# - 1 ；川f 3 4 4g ( s ，s ) 瓠 ( 2 工7 ) 对于l x = 一z ( i e ，p ( t ) 兰1 ，q ( t ) 三o ) ，对于( 2 1 2 ) ，相应的b v p 一= s ( t ，z ) ，0 t 1 ，( 2 1 8 ) 在过去的很多年里受到相当大的关注一定的条件下，( 2 1 8 ) ，( 2 1 2 ) 的 正解在 9 ，1 1 】中最近的一篇文章，e r b e r 【1 1 应用不动点指数，研究多个正解 的存在性本文的主要目的是建立( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) - - 个正解的存在性，推 广和改进了【1 1 】的相应结果本文的主要工具是著名的五函数不动点定 理 1 2 。1 5 】 2 2预备工作 定义2 2 1 假定p 是b a n a c h 的一个锥映射口非负连续凹作用于p ， 即 q ：p - 【0 ，) 连续且当所有的z ，y p 和t 【0 ，1 】，有 a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一t ) a ( 可) 相似地，映射卢非负连续凸作用于p ，即卢：p _ 【0 ，o o ) 连续且当所有的x ，y p 矛 j t 【0 ，1 】，有 9 ( t z + ( 1 一t ) y ) 亡卢( z ) + ( 1 一亡) p ( 可) 设7 ，卢，p 是非负连续凸作用于p ，o l ，矽非负连续凹作用于p 那么，对 于非负实数h ，a ，b ，d 和c ，我们定义凹算子 p ( 7 ，c ) = z p ：，y ( z ) c ) ， p ( 7 ，a ，a ，c ) = z p ：a 口( z ) ，一y ( z ) c ) ， q ( 7 ，p ，d ，c ) = z p ：p ( z ) d ，y ( z ) c ) ， p ( 7 ，护，o l ，a ，b ，c ) = z p ：a 口( z ) ，p ( z ) b ，7 ( z ) c ) 一1 3 高校教师在职硕士学位论文 齐口 q ( ，y ，卢，砂，h ，d ，c ) = z p ：h 砂( z ) ，卢( z ) d ，- y ( z ) c ) 为了证明我们的主要结果，我们需要下列定理，这就是五函数不动点定 理 1 2 】- 定理2 2 1 设p 是实且。佗n c 空间e 的一个锥假设存在正数c 和m ， 非负连续凹泛函，y ，卢和曰作用p ，非负连续凸泛函7 ，卢和9 作用p ，对所有z 丽，有 口( z ) 卢( z ) ，| l z m 7 ( z ) 假定 垂：p ( 7 ，c ) - p h ，c ) 全连续且存在非负数h ，a ，k ，b ，且o bi ( i i ) 当z q ( 7 ，p ，妒，h ，o ，c ) 时，有( z q ( 1 ，p ，矽，h ，口，c ) ：p ( z ) b ( i v ) 当z q ( ，y ，卢，n ，c ) 且矽( 圣z ) 日寸，有p ( 西z ) n 那么西至少有三个不动点茁1 ，z 2 ，z 3 硐使得 知 卢( z 1 ) a ， b q ( z 2 ) ， a p ( z 3 ) 且q ( z 3 ) b 1 4 _ 几类边值问题的正解研究 2 3主要结果 在这个部分，我们使用五函数不动点定理得至i j b v p ( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的 正解的存在性 由 1 1 】，b v p ( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 等价于下列算子方程： z = a x ，x c o ，1 】，( 2 3 1 ) 其中 ( a z ) ( t ) = 0 1 g ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ( 2 3 2 ) 当x = c 【o ，1 】，i i x l i = m a x o 口l z ( t ) l ，易见a ：x - x 全连续我们可以定 义一个锥pcx ，有 尸：= z x ：z ( 亡) o ，1 4 m s 。i s n 3 4 x ( 。) o l l z i i ) ， ( 2 3 3 ) 其中盯定义为 一池 渊：扫30 一 s 一 1 ) 协3 q 由( 2 1 3 ) 和妒( ) ，妒( t ) 的性质，我们有 一曲 帮，帮) 仁3 显然，当i t i ，0 s 1 ，有0 盯 1n a ( t ，s ) a a ( s ，s ) 引理2 3 1 算子a 由p 映射到尸 证明设z p 由( 2 1 6 ) 和条件厂，我们可得a x 0 接着，当z p ， 我们有 i ( a z ) ( ) i = ( a z ) ( ) = f o x a ( ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s - 0 1g ( s ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s 因此， lt a x ii a ( s ，s ) 厂( s ，x ( s ) ) d s j 0 高校教师在职硕士学位论文 现在，由g ( t ，s ) a g ( s ，s ) 当j t i 3 ，0 ss1 ，我们有 m i n t e l l 4 ，3 4 1 ( a z ) ( 亡) 。r e m l 4 i 暑3 4 1j o g ( 亡，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ，、， 、 盯o g ( s ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s 盯ii a z i i 艮 j a x p ，证毕 定理2 3 1 设o 口 b 和6 r l a c ，假定f ( t ，z ) 满足下列条件? ( h 1 )f ( t ，z ) 6 ，o ( x ) = 丢( 6 + 七) b ，0 ( x ) k = 6 矿说明了 6 b 且定理2 2 1 中的条件( i ) 成立接 着，我们证明定理2 2 1 中的条件( i i ) 成立 取z 三仃n ，h ：a a 男b 么, 一y ( z ) 2o a c ，妒( z ) = ( t a = h ，p ( z ) = o a a 由此，我们 可失口 z q ( 7 ，p ，妒，h ，q ，c ) ，卢( z ) b 因此，对所有的z p ( ，y ，o t ，b ，c ) 及o ( a x ) b o ，有o r ( a x ) b 因此，定 理2 2 1 中的条件( i i i ) 成立 最后，我们可以证明定理2 2 1 中的条件( i v ) 是满足的设z q ( ，y ，卢，n ，c ) 和矽( 4 z ) h = o a 那么0 x ( t ) o ，t 0 ，1 】由( h 1 ) ，我竹 有 卢( a z ) 2 吲m u i l a x j ( a z ) ( 亡) 2 置豁上g ( 。，s ) m ，z ( s ) ) d s 叼0 吲m 嬲：j o g ( d 5 = 口 因此，定理2 2 1 中的条件( i v ) 是满足的 现在，应用定理2 2 1 确保b v p ( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 至少存在三个正解z 2 ，z 3 使得 卢( z 1 ) a ，b a ( x 2 ) ，a p ( z 3 ) ，上l q ( z 3 ) b 证毕 备注 这个定理改进了 1 1 】中的推论2 2 5 例2 3 1 为了简单起见，我们考虑下列边值问题 川，：2 擘，掣“ ( 2 3 9 ) x ( o ) = z ”) = 0 ， 。 其中 ， 邢，z ) - 击o s i nt j + 2 0 x 5 , x 1 6 = ( p 6 ) 盯，( t ，z ) 丢，芸】 1 ，4 】， f ( t ，z ) 2 1 2 4 = 7 7 c ，( t ，z ) 0 ，1 】【0 ，1 2 那么定n 2 3 1 中的条件全满足，因此边值问题( 2 3 9 ) 至少存在三个正解z ，z 。，z 3 使得 唧m a x 。圳 互1 ，k 渊m i n 蜊，且1 0 t m a x 。删以及鹳酬 1 一1 9 高校教师在职硕士学位论文 3 一类脉冲周期边值问题多个正解的存在性 3 1引言 本章的主要目的是试图证明下列脉冲周期边值问题多个正解的存 在性( 简称b v p ) u p ( ) + a u ( ) = 危( ) ，( u ) ，t zt t k ，k = 1 ，p ， u ( 亡j ) = u ( t - i ) + 厶( u ( i ) ) ，七= 1 ，p ， ( 3 1 1 ) u ( o ) = 让( 1 ) 当入r 和入0 ，j = 0 ，1 】，0 = t o t l t 2 o ，使得 0 i i u l i l p l i i u 2 1 1 2 2 几类边值问题的正解研究 证明首先，因为f o = 厶我们取一个p o 【o ，p 1 】，当o 0 满足m 1 5 a 1 1 设瑶= m a x 2 p 1 ，m 6 r a 髓= u o ，1 】：l i 1 1 1 上l l ， 其中1 1 , pna q 跨( 3 3 2 ) 最后，设q p ；= u c o ，1 】：i p 1 ) 当u p - r i i u i i = p ，我们有 t 扎( 亡) 2 z 1 加) 允( s ) m ) d s + 三椰南) 删。忌) ) 口 高校教师在职硕士学位论文 z 1 如7 s ) 郴) 等乱( s ) d s + 三p 蛾埘孙陬) ) 互1 a f l p lf o ig ( s s s 油+ 譬p 。圣p 郎“知) p 1 p 2 99 b 口 l i t u l i u ，其中u paa q ” ( 3 3 3 ) 从( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) ，( 3 3 3 ) 和定理1 1 2 中可知，有一个不动点钆1 p n ( q p ， q p 。) ，一个不动点乱2 p n ( q 砧q p ，) 中这两个都是b v p ( 3 1 1 ) 的正解，且有 0 i l u l l i p l 0 使 ，( 乱) a f l 见，乱 8 p 2 ，p 2 】 那么b v p ( 3 1 1 ) 至少存在两个正解饥1 和“2 ，且 0 l l u l l i p 2 l l u 2 1 1 证明 因为矗= o 我们取o p p 2 ，当o r o ，使得当u pg l l u l i = 矿时，有，( u ) f ( p + ) 我们得到 f l! t u ( 亡) 2 以加) ( s ) m ) d s + 荟舭七) 酬t 如) ) 即+ f 0 1g ( 如) ( s ) d s + 三p 螂七) 删如) ) p + 情况( i i ) 假设，有界，则当所有的让 0 ，o o ) ，都有，( u ) n 取p m a x 2 p 2 ，2 n a l ) ，其中u p l l l u l i = 矿，我们有 t u ( 亡) = z 1 夕( s 删s ) d s + 荟p 肼七) 酬“) ) n a l + 矿2 p + = i i 钆| 1 因此，任何一种情况下，我们都可以设 q p = u c o ，1 】：| i 乱| i p + ) ， i t u i 1 1 u 1 1 ，其中u pna q 矿( 3 3 5 ) 最后，设q p = _ 乱c o ，1 】：州i j d 2 ) ，那么u p 且i = p 2 蕴涵着 鄙n 】u ( 亡) 7 m 2 ) 1 1 = r 晚 一2 5 高校教师在职硕士学位论文 因此有 t 酬= f 0 0 1 g ( 训 ( s ) m ( s ) ) + 三p 夕( z 忌) 酬z 七) ) f 0 0 1 g ( z 。，s ) 允( s ) ，( u ( s ) ) d s = p 2 = 因为u pna q 蚴我们有 l i t u l i i ( 3 3 6 ) 从( 3 3 4 ) ，( 3 3 5 ) ，( 3 3 6 ) 和定理1 1 2 中可知，存在一个不动点u 1 pn ( q 戊 q ) ，一个不动点在钆2 pn ( q + q 晚) 这两个都是b v p ( 3 1 1 ) 的正解，且 0 1 1 1 ii p 2 i i u 2 证毕 现在，我们讨论b v p ( 3 1 1 ) 在s o ，氏譬 o ，) 情况下正解的存在性 我们首先证明下面的主要结论 定理3 3 3 假设存在两个常数p 1 优，使得 ( c ，) ，( 乱) 坐2 ，厶( u ) 孕，乱 o ，p 。】； ( c 2 ) ，( u ) 禽1 p 2u y p 2 ，p 2 】j 那 ab v p ( 3 1 1 ) 至少存在一个正解u ，且l l u l i 在p 1 和晚之间 证明首先，假设p 1 p 2 设q p ，= u c o ，1 】：l p 1 ) ，其中u p 且i l u l l p x - 那么 t 钍( t ) f 0 1g ( 如) ( s ) m ( s ) ) d s + 善p 椰知) 州t 七) ) 华怕2 = p l = i i 乱i i qnp 中 羚 锄 0 ， 掣鲕+ = 丽1 ，其中o 乱鲡 这就蕴涵着 f ( u ) ( 2 a 1 ) 一1 u ( 2 a 1 ) 一1 p 1 ，其中0 0 ，则存在一个充分大的p 2 ，使得 。 掣历咱= 瓦1 ，其中u r p i u 7 月2 因此f ( u ) ( r a 2 ) 一1 u a i l p 2 ，这就蕴涵着定理3 3 3 中的( q ) 成立因 此，由定理3 3 3 ，b v p ( 3 1 1 ) 至少存在个正解证毕 高校教师在职硕士学位论文 类似地，我们可以证明下列结论 推论3 3 2 假定下列假设成立 ( c 5 ) s o = q 2 ( 击，+ 。o ) ； ( c 6 ) 氏= 尾【0 ，丽1 ) ，厶( u ) 学； 那么b v p ( 3 1 1 ) 至少存在一个正解 推论3 3 3 假定先前的假设( g ) ，( a ) 和( g ) 成立，那么b v p ( 3 1 1 ) 至 少存在两个正解u 。和“2 ，且 0 i i u l l i p l l i u 2 推论3 3 4 假定先前的假设( 岛) ，( 岛) 和( g ) 成立，那么b v pp j j ) 至少 存在两个正解钆，和礼2 ，且 0 l l u l l l p 2 i l u 2 i | 3 4三个正解的存在性 设e 是一个b a n a c h 空间，p 是其中的一个锥a 映射到卢：p _ 0 ，+ ) ， 如果卢连续，且对所有的z ，y p _ k t 0 ，1 1 , 有 卢( 亡z + ( 1 一t ) y ) t 卢( z ) + ( 1 一亡) 卢( 秒) ， 则此映射是一个非负连续凹作用于p 设n ，b 满足0 a b ，且p 非负连续凹作用于p 我们定义下面的凸算 子： p a = z p ：l i z | | o ) ，p ( f l ，a ，b ) = z p ：a 卢( z ) ，| | z i i 6 ) 定理3 4 1 ( l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理 2 9 ) 设t ：豆_ 只全连续且卢 非负连续凹作用于p ，则对所有的ze 戽，都有叩( z ) i i z l l 假定o d o ； 以砂当1 1 2 1 1 d ，有i i t z i i 6 ，有p ( t z ) o ； 那么t 至少存在三个不动点z ，z 2 ，z 3 恿使得 j | z 1 | i d ，且a d且( z 3 ) a 现在，我们建) - b v pp 1 j ) 存在三个正解的条件 定理3 4 2 假设( 日1 ) 一( h 2 ) 成立且存在数。和d ，其中o d a ，有 7 ( u ) 虽，乱嚼 ( 3 4 2 ) 其中 。+ = 嚣蹄i 0 1 夕( t , 8 帅h ) 三p 螂七) c = m i n g ( t s ) h ( s ) d s t e o ，1 1j o 进一步假设下列条件之一成立 ( p 1 ) 溉掣 伊1 ，缸l _ i m 。掣 罟且如果u 【o ，c 】，则厂( u ) 0 和盯 m 高校教师