（应用数学专业论文）变系数kortewegde+vries（kdv）方程和变系数kadomtsevpetviashvili（kp）方程的求解方法研究.pdf

北京邮电大学硕士研究生学位论文 独创性( 或创掰性) 声明 本人声甓掰呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列豹内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他教育机构的学位或证书面使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 日期： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保留并向国家有关部门或 机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以允许采爆影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学使论文。( 保密的学位论 文在解密甓遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。非保密论文注释：本 学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期： 日期： 2 # 训， 。1 一 北京邮电大学硕士研究生学位论文 变系数k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程和变系数 k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ( k p ) 方程的求解方法研究 摘要 随着科学技术的发展，出现了大量的非线性发展方程，在不同的物理背景下 起着重要的作用。孤立子作为非线性科学的一个重要分支，在流体力学、生物、 数学、等离子体、光学、通信等自然科学领域里，得到了广泛的研究和应用， 具有非常重要的意义。至今，能够求得非线性发展方程解析解的方法有行波法， b a c k l u n d 变换法，h i r o t a 方法，齐次平衡法，w 而n s k i a n 方法和p f a m a n 方法等 等。本文正是以非线性微分方程的理论为基础，研究了几种重要的求解的方法， 并求出变系数k o r t e w e g - d ev r i e s ( k d v ) 方程和变系数k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ( k p ) 方程的解。 本文章节及内容安排如下： 第一章首先介绍了孤立子的发展史和孤立子理论的研究现状，接着介绍了三 种常用的研究孤立子的方法- 彳亍波法、齐次平衡法和b 扯h u n d 变换法，并且 通过具体方程介绍了每种方法的操作过程。 第二章具体介绍了h i r o t a 方法。它是2 0 世纪7 0 年代由h i r o t a 发展起来的又 一种求解非线性发展方程的精确求解法。我们介绍了双线性算子及其性质和常 用的三种变换方式，然后通过k d v 方程给出了h i r o t a 方法求解方程的详细过程。 第三章研究了w r o n s k i a n 技术。w r o n s k i a n 技术主要是利用了w 如n s 姑a n 行 列式求导的简单形式。我们利用w 而n s k i a n 行列式的性质，把w 两n s l ( i a n 技术应 北京邮电大学硕士研究生学位论文 用到常系数k p 方程，求得了常系数k p 方程得w r o n s k i a n 形式的解。然后，借 助w t o n s k i a n 技术和类似常系数k p 方程的处理手法，求得了变系数k d v 方程 和k p 方程的w r o n s k i a n 形式的解。 第四章也是本文的重点。非线性发展方程的另一种行列式形式的解是格莱 姆行列式。通过研究我们看到当k p 方程的解用格莱姆行列式表示时，双线性方 程就变成了一个p f a 衔a n 恒等式。本章首先给出了p f i a 伍a i l 的定义和p f a m a i l 恒等 式，然后利用p f a 伍a n 方法求得了变系数k p 方程的格莱姆形式的解。 关键词： 非线性发展方程孤立波解h i r o t a 方法w r o n s k i a n p f a 伍a n 北京邮电大学硕士研究生学位论文 t h es o l u t i o nm e t h o do ft h ev a r i a b l e c o e f f i c i e n t k o r t e w e g d ev r i e se q u a t i o n ( v c k d a n dt h e v a r i a b l e c o e f f i c i e n tk a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ( v c k p ) e q u a t i o n a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h en o n i i n e a rs c i e n c e ，i o t so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s ( n l e e s ) a r ef o u n d ，a n dt h e ya r ep i a y i n gi m p o r t a n tr o l e si nm a n y d i f | f e r e n tp h y s i c s6 e l d s s o l i t o n sa sa ni m p o r t a n tb r a n c ho f t h en o n l i n e a r s c i e n c e ，h a v eb e e nw e s t u d i e da n dw i d e l ya p p l i e d ，w h i c h i so fi m p o r t a n t p h y s i c ss i g n i f i c a n c e u pt on o w ，t h e r ea r em a n y 瞄n d s o fm e t h o d st oo b t a i nt h e s o l u t i o n s o f t h en l e e ss u c h a s t r a v e l i n g w a v e m e t h o d ， b 蕴c k j u n d t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ， h i r o t a m e t h o d ，h o m o g e n e o u s b a l a n c e m e t h o d ， w r o n s “a nm e t h o da n dp f a 佑a nm e t h o d t h i sp a p e ri sp r e c i s e l yt a k et h en l e e s a s a1 0 u n d a t i o n ，a n ds t u d ys e v e r a ik i n d so fs i g n i f i c a n tm e t h o d st os o l v et h e n l e e s ，a tt h es a m et i m e ，c a ne x t r a c tt h en e ws o l u t i o n so fav a r i a b l e - c o e 佑c i e n t k o r t e w e g d e v r i e s ( v c k d v )e q u a t i o n a n dav a r i a b l e - c o e m c i e n t k a d o m t s e v p e “i a s h v i l i ( v c k p ) e q u a t i o n t h ef o l i o w i n gw ei n t r o d u c et h eb a s i cc o n t e n t so ft h i sp a p e r ： i nc h a p t e ro n e ，w e 行r s ti n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to f t h es o i i t o n ， a n dt h e nb ym e a n so fs e v e r a le x a n l p l e se x p l a i nt h r e em e t h o d - t r a v e i i n gw a v e m e t h o d ，b 蕴c i d u n dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o da n dh o m o g e n e o u sb a i a n c em e t h o d 北京邮电大学硕士研究生学位论文 i nc h a p t e rw es t u d yt h eh i r o t am e t h o d ，w h i c hi sd e v e l o p p e di n1 9 7 0 s w e i n t r o d u c et h ed o p e r a t o r ，t h es p e c i a lp r o p e r t i e so ft h ed o p e r a t o ra n dt h e t r a n s f o r m a t i o n a sa ne x a m p i e ，w ef i n da ne x a c ts o i u t i o nf o rt h ek d ve q u a t i o n c h a p t e rt h r e ef o c u so nt h ew r o n s k i a nt e c h n i q u e t h i st e c h n i q u ep r o f i t s 1 r o mt h es p e c i a is t r u c t u r eo faw r o n s i i a nd e t e r m i n a n t ，w h i c hc a nc o n t r i b u t e s i m p i ef o r m so fi t sd e r i v a t i v e s t h r o u g ht h ep r o p e r t i e so ft h ew r o n s l i a n ，w e o b t a i nt h ew r o n s k i a ns o l u t i o no ft h ek pe q u a t i o n t h e n ，w i t ht h eh e i po ft h e w r o n s l 【i a nt e c h n i q u ea n dt h em e t h o do ft h es o l v i n gt h ek pe q u a t i o n ，w ed e r i v e t h ew r o n s “a nd e t e r m i n a n ts o l u t i o nf o rav a r i a b i e c o e 伍c i e n tk d ve q u a t i o na n d v a r i a b l e - c o e 蛳c i e n tk pe q u a t i o n c h a p t e rf o u r a st h ef o c u so ft h i s p a p e r i nw h i c hw es t u d ya n o t h e r d e t e r m i n a n ts o i u t i o nf o rn o n i i n e a fe v o l u t i o ne q u a t i o n s i st h eg 阳m m i a n d e t e r m i n a n t w ep r o v e dt h a tt h eb i l i n e a rk pe q u a t i o nc o u i db er e d u c e dt oa p f a m a ni d e n t i 锣b yt a i 【i n gi t ss o l u t i o na sag r a m m i a nd e t e r m i n a n t w h e nt h e g r a n l m i a ns o l u t i o ni se x p r e s s e da sap f h f 五a n ，t h eb i l i n e a re q u a t i o ni se q u i v a i e n t t o t h ep f a m a ni d e n t i 锣b yv i r t u eo fp f a m a nd e r i v a t i v ef o r m u l a t i o n i nt h i s c h a p t e r ，w e6 r s tg i v et h ed e 6 n i t i o no ft h ep f a f n a na n dt h ep f a f n a ni d e n t i t y t h e n ，w eu s et h em e t h o dt os o l v et h ev a r i a b l e - c o e 佑c i e n tl pe q u a t i o na n d o b t a i nt h eg r a m m i a ns o i u t i o n k e yw o r d s ： n o n i i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s o l i t o ns o l u t i o nh i r o t am e t h o d w r o n s i 【i a np f a f n a n 4 北京邮电人学硕上研究生学位论文 第一章孤子理论的历史发展及其研究现状 随着科学技术的发展，很多学科从线性问题逐渐深入到非线性问题，尤其是从二十世纪 六十年代以来，对非线性现象的研究发生了根本性的变化。孤立子作为非线性科学的一个重 要分支，不仅开拓了数学物理新的研究领域，还在许多高科技领域有着重要的应用。如在流 体力学、生物、数学、等离子体、光学、通信等自然科学领域，孤子理论均得到了广泛的研 究和应用。随着研究的深入，研究方法也是不断更新，层出不穷。目前能够求得非线性发展 方程解的方法有行波法，散射反演法，b a c k l u n d 变换法，相似约化法，h i r o t a 方法，齐次平 衡法，w 而n s k i a n 方法和p f a m a i l 方法等等。这些方法各有不同的理论依据，各有不同的技巧， 可以得到不同意义的解。本章首先介绍孤子的历史及发展现状，接着简单介绍各类方法的特 点。 1 1 孤立子历史及其发展现状 一孤立子发展史 l8 3 4 年，英国科学家约翰斯科特罗素( j o l l ns c o t r m s e l l ) 偶然观察到一种奇妙的水 波【。这种波以确定的形状和速度运动，在碰撞时彼此互相穿透，速度没有任何改变。他把 这种始终保持在水面上，向前平移的孤立水峰，叫做孤立波。但从当时己知的流体运动方程 并不能得到这种波的解，因而有关孤立波的问题在当时的许多物理学家中引起广泛的争论。 直到1 8 9 5 年，瑞典a m s t e r d a m 大学数学教授k o n e 、e g 和他的学生d ev 订e s 研究了浅水波的 运动，在长波近似和小振幅的假设，建立了著名的k d v 方程，并从方程求出了与r u s s e l l 描 述一致的，具有形状不变的脉冲状的孤立波解，从而在理论上证实了孤立波的存在【2 】。 二十世纪五十年代的f p u 问题表明了在流体力学以外的物理领域里也存在孤立波现象。 f p u 问题是e f e m l i ，j p a s t a ，s u l 锄在计算机上进行的一维非谐晶格的试验研究，他们发 表了“s t u d i e so f n o n l i n e a rp r o b l e n l s ”一文【3 1 。a f e r 血，j p a s t a 和s u k 吼将6 4 个质点用非线性弹 簧连接成一条非线性振动弦，初始时这些谐振子的所有能量都集中在其一，其他6 3 个的初始 能量均为零。按照经典理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分，各态历经等现象，即 6 北京邮电人z 硕上研究尘： _ ：乏位论文 任何微弱的非线性相互作用，都可导致系统由非平衡态向平衡状态转变。但实际计算的结果 与他们预料的相反：经过很长时间后，能量的分布几乎又回到了初始分布的状态；再计算下 去，过程近似于重复。这使他们及听到这个试验结果的人们大吃一惊。后来，n j z a b u s b 和m d k m s k a l m 】，从连续体的观点研究f p u 问题，得到了k d v 方程，它有孤立波解。 二十世纪六十年代数值方法应用于研究中，证实了孤立子相互作用后不改变波形的论断。 1 9 6 2 年，p e h i n g 和s k y m l e 【7 】把s i l l e g o r d o n 方程的孤立波解作为物质基本粒子的一个模型， 用计算机实验来研究这种模型的基本粒子在碰撞时如何散射。计算结果表明，孤立波并不散 射，在碰撞后与碰撞前有同样的波形与速度。1 9 6 5 年美国科学家n j z a b u s k y 和m d 1 白姆k a l l 【8 l 用数值模拟方法详细考察了等离子体中孤立子碰撞的非线性相互作用过程，进一步 证实了孤立子相互作用后不改变波形的论断。这种经碰撞不改变波形和速度的非常稳定的奇 特性质，正像物理上的粒子一样。所以n j z a b u s l ( y 和m d k m s k a l 就用孤立子这个词来生 动地表示孤立波的粒子行为。从此，孤立子作为应用科学中的新概念而诞生了，并第一次出 现在文献上。 二十世纪七十年代，i k e z i ，1 、a y l o r 和b a k e r 等人在水箱实验中观察到浅水波的k d v 型孤 立子的传播。后来，在激光打靶实验中，人们也观察到由于出现的涡旋性孤立波的传播，以 及激光光束在非线性介质中自聚焦时产生的孤立子。另外，在超导问题中，在构成j o s e p l l s o n 结的两块超导材料中，超导电子对波函数的位相差v 满足s i n e g o r d o n 方程，采用带有 j o s e p h s o n 隧道结分路的超导传输线证实了孤立了解的存在性。现在从数值计算、理论分析和 物理实验等方面都己经证实，一大批非线性进化方程都存在孤立波解，而且证明了孤立子互 作用后不改变波形的事实，从而使许多物理学家和数学家对此产生了极大的兴趣。在物理中， 孤立子被用来解释物理中出现的一些新问题；在数学中，也出现了散射反演、b 蕴c k l u i l d 变换 等一些精确求解非线性进化方程特解的新方法，并己逐步形成了较为系统的有关孤立子问题 的数学理论。 二孤立子研究现状 目前，较为完整的数学和物理的孤立子理论正逐步形成，国内外在这方面出版了很多专 著【9 1 5 】。孤立子理论既包括了粒子理论，也包括了物理理论、数学的严密性和物理的启发性 和实用性二者相结合，相互依赖，相互渗透，相互促进，使孤立子理论显示出强大的生命力。 由于孤子具有广泛的物理背景与意义，能够在实际生活中解决一些实际问题。随着研究 的深入和科学的发展，特别是非线性科学的日益繁荣，使得孤子理论进一步成熟，各国在这 7 北糸邮电大学硕上研究生学位论文 上面投入的人力物力也日益增加。这方面的研究论文杂志也如雨后春笋般不断涌现。国际性 的学术会议相继召开。如在英国牛津召开的“凝聚态物理中的非线性孤子结构和动力学会议” 以及在g o t e b o 唱召开的“物理学中的孤子”会议。一些期刊如p h y s i c ad ，c h a o s ， s o l i t o 璐 a n df r a c t a l s ，j o 啪a lo fn 0 n l i n e a rs c i e n c e ，n o n l i n e a rs c i e i l c et o d a y ，c h a o s ：a n i n t e r d i s c i p l i n a r yj o 啪a lo fn o n l i n e a rs c i e n c e ，i m e m a t i o n a lj o u n l a lo fb i 矗l r c a t i o na 1 1 dc h a o s i na p p l i e ds c i e n c ea i l de n g i n e e r i n g 等等。 孤子在高科技方面的应用最具代表性的当属光纤中的光孤子。它具有长距离传输损耗小， 无需中继站、比特率( 单位时间传输的信息量) 高等优点，获得广泛的重视。由联合国教科委 组织，国际原子能机构和国际理论物理中心于1 9 9 5 年二月在意大利联合召开“光纤中超快速 传输系统”会议，其内容大部分是讨论光孤子问题。 在我国，孤子理论的研究开始于2 0 世纪7 0 年代。当时，杨振宁、李政道、陈省身教授 等回国讲学时，向国内同行介绍孤子理论的研究进展，并指出它的重要性。随后在中国科学 院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。曾于1 9 8 0 年在厦门，1 9 8 6 年在上海 分别召开了小型讨论会，推动了孤子理论的研究活动。 我国从事孤子理论和实验研究的人力、物力增加的很快。用检索词“孤子”从1 9 8 9 年到 2 0 0 7 年在重庆维普中文科技期刊全文数据库中可以检查到2 0 0 0 多篇相关的文章，而其中半 数以上与光纤孤子通信有关。 1 2 研究孤子常用的方法 随着科学技术的发展，很多学科从线性问题逐渐深入到非线性问题，尤其是从二十世纪 六十年代以来，对非线性现象的研究发生了根本性的变化。孤立子作为非线性科学的一个重 要分支，不仅开拓了数学物理新的研究领域，还在许多高科技领域有着重要的应用。如像流 体力学、生物、数学、等离子体、光学、通信等自然科学领域里，孤立子得到了广泛的研究 和应用，具有非常重要的意义。至今，能够求得非线性发展方程解析解的方法有行波法【l 们， b 蕴c k l 岫d 变换法【1 6 1 引，h i r o t a 方法1 钆2 0 1 ，齐次平衡法【2 1 秘】，w o l l s ：k i 锄方法f 2 每3 3 1 和p f a m 觚 方法3 躺7 1 等等。这些方法各有不同的理论依据，各有不同的技巧，而且对同一个方程也能得 到不同意义的解。本节中将简单介绍一下行波法、b l i c u u i l d 变换法、齐次平衡法的运用和特 点。另外三种方法我们将在后面三章中分别重点研究。 8 北山 “皑人? ：坝上针允生7 卟f 沦文 行波法 行波法是将偏微分方程化为常微分方程来求解的方法。这种方法在科学技术中已被广泛 应用。这里主要以求解k d v 方程和b u 玛e r s 方程，具体介绍如何用这种方法求出方程的行波 解。 设k d v 方程 + 6 “虬+ = 0( 1 2 1 ) 的解是g = g ( x ，f ) = 厂( 孝) ，其中 孝= x 一订 ( 1 2 2 ) 将( 1 2 2 ) 代入( 1 2 1 ) ，化为对孝的常微分方程 叫p 盼7 v 仍产篝。 ( 1 2 3 ) 积分一次，得 哪l 3l 吖一怠i o 其中a 是积分常数。 将( 1 2 4 ) 乘以厂，再积分一次，并引进积分常数b ，得 吾( 厂) 2 = 一吾( 2 一 ，2 4 一丑) = 一( 厂一口) ( ，一功( ，一c ) 这里珥6 ，c 是关于的三次方程的三个根。 若口 o ， 且+ + 材2 = 2 c ，“l + 一z ，2 = 2 砀， 因此： 安= 去( 哪) ( ：)d f2 1 ，、 一、一 将( 1 2 1 1 ) 分离变量并积分得到： 南- n i 将解变成孤波形式，解出甜： = 去( 孝一磊) 粤= 一p 警引= 甜一甜，瓦k 5 0 ，。 = 一p 叫 = 一g “ 甜一甜l l o ( 彘为积分常数) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) o 刊 么 塑彤生彬 ， p 叫 叫 竺西 甜 1一、 + + 塑蟛 咧 a 一 北 ：邮电人坝上研宄上：化陀义 其中取负号是为了解收敛。 铭1 p 口+ 巩+甜1 p 2 e 2 + 甜，+ p 2 e 2 “= 上上= 二三一 1 + 旷 p 乞专+ p 詈 口口口口 + p j + i + + p 了+ 了 p 2 + “，p2 + 碥p2 + 甜，e 2 口口口口 一鱼i + 甜2 ) ( p _ + p 1 ) + ( 一”2 ) ( 乒一p 1 ) 扣心n 孚筹 = 扣w ，+ 孚t 袖詈 引肛函鼬孚( f 一彘) ( 1 2 1 2 ) 以上是行波法的运算过程。行波法是发展较早的求解偏微分方程的一种有效途径，特别 在求解非线性偏微分方程的孤立波解方面起到了很重要的作用。许多复杂的但是很重要的非 线性波方程的解析解，主要是孤立波解就是通过这种做法获得的，并且通过求解获得了许多 非线性波的重要性质。而在数学中，也将孤立波理解为一种非线性演化方程局部化的行波解。 二齐次平衡法 齐次平衡法的思想是将非线性方程中最高阶导数项与最高阶非线性项做比对进行平衡， 探讨精确求解。是由王明亮教授提出的，具有一定的普遍意义，是当前的一个研究热点f 3 9 。4 3 1 。 通过对齐次平衡法的研究和扩展，目前不仅能通过齐次平衡法来获得b 狁k l u n d 变换，而且已 经可以用它来寻找非线性发展方程的相似约化口1 埘】、多孤子解m 1 等。而且也能得到很多具有 物理背景的非线性演化方程的精确解。基于齐次平衡思想的种种改进型解法层出不穷，如扩 展齐次平衡法，j a c o b i 椭圆函数法【5 嘶2 0 1 等等。齐次平衡的思想还直接导致了双曲正切函数展 开法的产生。 齐次平衡法的主要步骤如下： 首先，对给定的非线性偏微分方程： 北京邮电大学硕上研究生学位论文 其中x ，t 是自变量。 令u 为由如下函数 组成的有限线性组合，记作 u ，虬，z f r ，虬，) = 0( 1 2 1 3 ) 乱，厂( 缈)i ，j = l ，2 ，( 1 2 1 4 ) 甜= f ( 缈( 国) ) 。( 1 2 1 5 ) 其中矽 ) ，国( x ，f ) 为待定函数，并且某些系数也可能为待定常数。 然后将( 1 2 1 5 ) 式代入( 1 2 1 3 ) 式，经求导整理后，将缈相同导数及最高次幂放在一起并令 其系数为零，可得到关于矿沏) 的常微分方程，并解之： 缈( ) = g ( 彩) ( 1 2 1 6 ) 根据( 1 2 1 6 ) 式，将缈的各阶导数的非线性项换成妒的高阶导数线性项，然后把矽对国相 同导数项放在一起，并令各系数为零，得到关于彩一组齐次超定微分方程组 日 ) = 0( 1 2 1 7 ) 设( 1 2 1 7 ) 具有如下形式的解 彩= l + 扩+ 历 ( 1 2 1 8 ) 其中口，为待定常数。 将( 1 2 1 8 ) 代入( 1 2 1 7 ) ，可得关于口，及式中的待定系数为未知量的代数方程，求解之， 对于复杂的代数方程组可利数学软件处理解决。 最后将( 1 2 1 6 ) ，( 1 2 1 8 ) 式及必要的待定常数代入( 1 2 1 5 ) ，即得方程( 1 2 1 3 ) 的孤波解。 齐次平衡法主要将微分方程求解转化为代数方程求解，是求解微分方程的行之有效方法。 三b 菇c l 【l u n d 变换 b a c 心蚰d 变换实际上就是建立一个非线性偏微分方程的解与另一个已知的线性偏微分方 程解之间的关系或者是同一个方程的两个不同解之间的关系。b 萏c k l u l l d 变换最早涉及曲面到 曲面之间的变换早在1 8 7 5 年，瑞典数学家b a c h u l l d 在研究负常数曲率的曲面( 喇叭形曲 面) 时，发现非线性踊p g d 砌刀方程 甜。一“玎= s i n “ 或 “f 口= s i n 材( 孝= x + f ，刁= x 一，) ( 1 2 1 9 ) 1 2 北球邮电人- ：坝上饼艽，上。化沦义 的两个解“与v 之间有以下关烈1 s l m v 孝弛聊s i i l 半 2z ，一 ， 1 吁一+ 万8 1 n 丁 若甜是( 1 2 1 9 ) 一个解，将( 1 2 2 0 ) 的第一式对刁求导，得 y 矿甜旷2 c 。s 半丢( + ) 勘啦舳s 半 一知+ 扣等， 甜+ v “一v = s l n “一z c o s s l n 一= s m l ，22 ( 1 2 2 0 ) ( 1 2 2 1 ) 即1 ，也满足方程( 1 2 1 9 ) 已知甜，通过( 1 2 2 0 ) 用甜表示y ，即又得到方程的一个解( 1 2 2 0 ) 式称为方程( 1 2 1 9 ) 的 b a c “u i l d 变换。 b a c l 【l 吼d 变换的具体定义是： 考虑一个二阶非线性发展方程 = 尸( 甜) 它有两个解材( x ，f ) 和v ( x ，f ) ，它们之间有以下关系 ( 1 2 2 2 ) ( 1 2 2 3 ) 若上两式满足可积条件挈：娑，则( 1 2 2 3 ) 式称为方程( 1 2 2 2 ) 的b 萏c k l u n d 变换( 自b r ) 。 a ) c o t 考虑两个二阶非线性发展方程 l ) = 0 ( 1 2 2 4 ) 2 ( “) = o( 1 2 2 5 ) 它们的解甜( x ，f ) 和v ( x ，) 满足一阶方程 苎，冀，“r ，v ，2 ，v t ，】f ，7 ：= = 曼 ( 1 2 2 6 ) e 2 ( “，v ，“工，v j ，“f ，v f ，x ，r ) = o 、7 若( 1 2 2 6 ) 式满足以下条件： ( 1 ) 它对于玑1 ，可积 d d 毛 哆 k k k k h 烈 = 一一 工 f ” 甜 ，(、【 北京邮电大学硕上研究生学位论文 ( 2 ) 已知甜确定y 到若干不定常数 ( 3 ) 已知1 ，确定甜到若干不定常数 则( 1 2 2 6 ) 式称为( 1 2 2 4 ) 到( 1 2 2 5 ) 的b 扯k l u n d 变换。 下面以求三硒鲫f 耽方程与线性波方程之间的b 菹c k l u i l d 变换来具体说明b 冱c u n d 变换在 求解中的应用【1 6 】： l i 0 例进e 页_ 桂 堕：e 。 苏砂 我们要建立它与线性波方程 生：o 瓠碲 之间的b 孔k l u n d 变换。设 丝：口堡+ 6 堡+ 乏脚州 撖咖 钞 其中口，6 ，c ，尼待定 为了利用原方程，对( 1 2 2 9 ) 式关于y 求导，得 堕：口盟+ 6 窑+ 出m 州f 丝+ 生1 一= 口一十d - 十c 肥、 l + i 叙砂6 叻砂2l 砂砂j 由( 1 2 2 7 ) 式和( 1 2 2 8 ) 式，并取6 = o ，上式化为 p - ：c 彬卅) f 丝+ 塑1 l 砂砂 即 丝：一堡+ 上p m ( ) 谚劲c k 上式两边对x 求导，利用( 1 2 2 7 ) 式和( 1 2 2 8 ) 式，经整理得 塑：上堡+ 旦p m 卅 一：= 一一1 r 一 由( 1 2 3 2 ) 式和( 1 2 3 3 ) 式满足协调条件 导( 罢) = 昙( 考) 却舐j缸砂j 1 4 ( 1 2 2 7 ) ( 1 2 2 8 ) ( 1 2 2 9 ) ( 1 2 3 0 ) ( 1 2 3 1 ) ( 1 2 3 2 ) ( 1 2 3 3 ) ( 1 2 3 4 ) 北京邮电人：坝上计究尘化沦文 可得七= 丢。这样得出方程( 1 2 2 7 ) 到方程( 1 2 2 8 ) 的b 苴c k l u n d 变换 其中c 为任意常数。 因而 a a ，童“+ v ) = 一+ c p 苏 魂 a ”a v2 量”一v 一= 一一+ 一p 砂砂c 下面我们通过线性波方程( 1 2 2 8 ) 的解去求三面甜v 讹方程( 1 2 2 7 ) 的解。 先将鼢肼甜谢变换( 1 2 3 5 ) 改写为 垫型：c 口如) ：钟孚 缸 旦业! ：三p 扣，：三p 半矿v d v c c ”一p 昙( j ) - - c z 拿( p 导) ：一- 加、 7 c 因为线性波方程( 1 2 2 8 ) 的通解为 v ( x ，y ) = 厂( x ) + g ( y ) 其中厂( x ) 和g ( y ) 为任意函数。将( 1 2 3 1 ) 式代入方程组( 1 2 2 7 ) ，得到 挚争川帅。订) _ - 秒】缸、 7 2 昙 p m 川1 ) ：一三p 【- ，( 帅l l ，c ( 1 2 3 5 ) ( 1 2 3 6 ) ( 1 2 3 7 ) ( 1 2 3 8 ) ( 1 2 3 9 ) 将上面第一式右端的p g ，并入左端，第二式右端的p 一似并入左端，并分别对x 和对j ，积分， 得到 p 阻- 厂( x ) + g ( y ) 1 = = 三p ，c j ，c 6 r + s ( y ) p 寺“一，( j 卜g ( 】= 一昙p g t y ，咖+ 尺( x ) 其中s o ) 和r ( x ) 是任意函数比较( 1 2 2 9 ) 的两式，得 ( 1 2 4 0 ) 北京邮电大学硕士研究尘学位论文 昙p 砂坝y ) = 三眇出悄x ) ( 1 2 4 1 ) 上式左边只是y 的函数，右边只是x 的函数，两边相等只有为一常数，取此常数为零，求得 尺( x ) = 一詈p 八柚出，s ( 少) = 一丢p 。g 。砂 ( 1 2 4 2 ) 这样( 1 2 4 0 ) 式化为 p 争川咖础= 一导胪，出丢p 力咖 ( 1 2 4 3 ) 2jc j 。、 两边取对数，求得 一争“川卅如) 】- l i l 卜三p m ) 出一丢p 刎 ( 1 2 4 4 ) 整理得 “= ( x ) 一g ( y ) 一2 l i l 卜三p 八”出一吉p 叩。方】 ( 1 2 4 5 ) 在b t 求解过程我们可以看到，由已知解通过微分方程求得另一解，越往下计算过程越 复杂。要克服这个缺点，我们可以通过b t 的互换定理将b t 中的积分运算转化为解之间的代 数运算，由已知解而求新解。这样就可以求得非线性叠加公式，但前提是满足互换定理。我 们用k d v 方程来具体介绍非线性叠加原理的求解过程【嘲。 取k d v 方程标准形式 咋一6 扰甜，+ “。= o( 1 2 4 6 ) 令材= q ，代入方程并对x 积分，得到尉矿方程的等价形式 q 一3 蠢+ = o( 1 2 4 7 ) 奠8 r 为 q ，+ 哆，= - 口+ 三( q 一哆) 2 ( 1 2 4 8 ) 纨+ ，= 弋q 一哆) ( q 。一哆材) + 2 ( 旌+ q ，q ，+ ) 设是尉y 方程( 1 2 4 7 ) 的一个已知解，而q 和吐是对应( 1 2 4 8 ) 式中两个不同常数口，和 口2 的新解，即 1 6 北爪邮电人坝上计允生化沦义 q ，+ = 一口：+ 三( q 一锄) 2 吃，+ = - 口。+ 兰( 哆一嘞) 2 若q 和缈：已知，将q 和口2 交换，产生新解q ：和缈2 。，有 q ：，+ q 。= 川：+ 三( q ：一q ) 2 。+ q 。= 一口l + 三( 哆一哆) 2 ( 1 2 4 9 ) ( 1 2 5 0 ) 可以证明国。：= 缈：。，称为互换定理令q ：= 哆。= 鸭，鸭为新解，四个解之间的关系如下图： ”、。 ( w 置) 、一 下面推导纨，q ，吐，伤之间的关系( 代数关系) 将( 1 2 4 9 ) 中两式相减，有 q ，一吃，= 口：一口。+ 三( q 一) 2 一三( 吐一) 2 ( 1 2 5 l a ) 再将( 1 2 5 0 ) 中两式相减并利用q 2 = 吻l = q ，有 q ，一哆，= 口l 一口：+ 三( 屿一q ) 2 一三( 鸭一哆) 2 ( 1 2 5 1 b ) ( 1 2 5 1 ) 两式右边相等，解出 鸭：+ 刿( 1 2 5 2 )鸭= + 型( 1 2 5 2 ) q c 屹 其中q 和口：为任意常数上式称为尉y 方程的非线性叠加公式利用这个公式很容易求出 尉矿方程的双孤子解 取= 0 ，当口i = 8 时，取无界解 1 7 9弋么 北京邮电大学硕士研究生学位论文 当口2 = 2 时，取有界解 q = 4 c o t l l ( 2 x 一3 2 f ) 彩2 = 一2 t a i l l l 一4 f ) ( 1 2 5 3 a ) ( 1 2 5 3 b ) 将上两式代入( 1 2 5 2 ) 式，得 织：生一 ( 1 2 5 4 ) 鸭2 五面i 面河忑石丽 1 2 5 4 ) 对纸求导，得 地：_ 1 2 盐塑塑兰坠竺塑兰掣( 1 2 5 5 ) 甜1 = 岔l ，= 一l z l 二- 二i1 z ) ) ) 1 f 3 c o s h ( x 一2 8 f ) + c o s h ( 3 x 一3 6 f 2 、7 这就是k d v 方程的双孤子解。 除了上述几种方法外，还有其他的一些方法，比如双线性方法，w r o n s l ( i a n 技术，p f a m 锄 方法，这些方法现在日趋成熟和完善，并在最近几年成为研究的热点。本文作者的主要工作 就集中这方面，我们在下面几章就主要的介绍这些方法并结合具体的方程和文章研究其具体 应用。 1 8 北从邮电人坝上饼允生。化论j 第二章h i r o t a 方法 h i r o t a 方法是7 0 年代由h i r o t a 发展起来的一种求解非线性发展方程的直接方法【3 3 ，3 4 1 。 这种方法通过引入双线性算子和函数变换，将非线性发展方程转化为双线性形式。然后再由 小参数展开法，求解双线性形式的方程，最终将得到的双线性方程的解带回函数变换，得到 原方程的解。已经有很多方程通过双线性方法求得了精确解，如k d v ，m o d i f i e d k d vk p 方 程等。另外这种方法目前已被应用到变系数和高维非线性发展方程之上，并求得了解析解。 2 1 非线性方程的线性化 一b u r g e r s 方程的线性化 对于b 俘坶方程： 通过蟛c d 彪变换 化为线性耗散方程 二k d v 方程的线性化 对于k d v 方程通过变换 化为方程 丝+ “丝一v 堡：o 一+ “一一v = u a ta xa x z u ：一2 矿塑 a ) ( 加a 2 u 百刈孬a叙2 吲2 害 1 9 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 北京邮电大学硕士研究生学位论文 y 晏c 窑+ 窘，一晏c 窑+ 窘炉所謦) 2 - 丕窘，= 。c 2 5 ， 为求得方程的解，我们令： 塑+ 望：o 夙，耐 ( 2 1 6 ) c 2 一丢窘= o 进一步我们可以将方程( 2 1 6 ) 写成如下形式： 弘争 ， a 2 va 5 v a x 2叙3 显然( 2 1 6 ) 式是由两个线性方程构成的，称为双线性方程。我们可以解得方程( 2 1 6 ) 的 解，带回变换( 2 1 4 ) 即可求得方程的解。 2 2 双线性算子定义及性质 一双线性算子的定义 通过上一节的研究我们知道非线性方程可以化为双线性方程，但并不是所有的方程都能 顺利地化为双线性方程，即使能够化为双线性形式有时也具有一定的经验性。h i r o t a 给出了 一种双线性算子，通过这种算子特有的运算法则和性质，可以帮助我们相对较为便捷的将非 线性方程可以化为双线性方程，只不过此时的双线性方程也变成h i r o t a 双线性算子的形式。 下面我们给出这种算子的定义和性质。 双线性算子的定义【1 9 l ： 仁”口”( 厂g ) 兰( 妄一昙九昙一昙) ”厂( 彬) g ( x ) i 鲁， ( 2 2 1 ) 其中所，刀为非负整数。 二双线性算子的性质 由于双线性算子的性质与微分算子相似，又含有一些线性性质，所以用起来比较灵活， 相关公式也就很多，可以根据新的应用或实际工作需要再推导一些新的公式。 北山邮电人。，：坝上乜圩允生。，：1 l 论义 下面给一些比较重要的双线性算子的性质3 6 】： 1 p ? 口1 ：【昙】”口 2 彤( 6 口) = ( 一1 ) 肘彤( 口6 ) 3 硝( a 口) =