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分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究 摘要 金融数学、金融工程和金融管理是金融数学研究的重要领域，其中，期权定价理 论则是目前金融工程、金融数学领域所研究的前沿和热点问题。 为了满足金融市场及不同的投资者的特殊需求，也为了防范自己所面临的风险， 标准布朗运动已经不能满足日渐需要，而分数布朗运动显得有很多优越性。 本文主要研究在分数布朗运动下，一种弱路径依赖型期权障碍期权的定价问 题。实践研究表明，股票价格具有长期依赖性和自相似性，而分数布朗运动满足这两 个特性。并且通过拍公式，得到了在该模型下的障碍期权价格满足的微分方程及平 价公式。此外，本文还通过分数布朗运动下的标准障碍期权公式，得出修正的障碍期 权定价模型及双障碍期权定价模型。 关键词：分数布朗运动；i t 6 公式；障碍期权：修正障碍期权；双障碍期权 s t u d yo nt h ev a l u a t i o no fb a r r i e ro p t i o n si nf r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n a b s t r a c t “f i n a n c i a lm a t h e m a t i c ，f i n a n c i a lp r o j e c ta n df i n a n c i a l m a n a g e m e n t ，c o n ：；t i t u t e a s i g n i f i c a n tr e s e a r c hp r o je c ts p e c i f i e db yt h en a t i o n a lf o u n d a t i o no fn a t u r a ls c i e n c eo f c i l i m ，i nw h i c ho p t i o np r i c i n gt h e o r yi sap r o b l e mo f l e a d i n ge d g ea sw e l la sah o to n e i no r d e rt os a t i s f yt h ef i n a n c em a r k e ta n dt h ed i f f e r e n ti n v e s t o re s p e c i a ln e e d s ，a n d k e e pa w a yt h er i s kw h i c hm a n y i n v e s t o r sm i g h tf a c e ，s t a n d a r db r o w n i a nm o t i o nc a nn o t s a t i s f a c t i o nd a i l yr e q u i r e m e n ta n df r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ni sd i s p l a y e dt oa d v a n t a g ef o r s u c hc o m p l e xi s s u e s t h i st h e s i sm a i n l yd e a l sw i t ht h ep r i c i n gp r o b l e mo ft h eb a r r i e ro p t i o n s ，w h i c hi sa k i n do fp a t hd e p e n d e n to p t i o n si nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n s u c hf a c t ss h o w e dt h a tt h e s t o c kh a st w o p r o p e r t i e s ：t h e s e l f - s i m i l a r p r o p e r t i e s ，t h el o n g r a n g e d e p e n d e n t p r o p e r t i e s h o w e v e rt h ef r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ns a t i s f i e dt h et w op r o p e r t i e s a n dw e p r e s e n tt h ep r i c em o d e lo ft h eb a r r i e ro p t i o n sb yu s i n gt h ei t 6 f o r m u l a b e s i d e s ，t h i s t h e s i su s et h ep r i c em o d e lo ft h eb a r r i e ro p t i o n st op r e s e n tt h e p r i c em o d e lo ft h ec o r r e c t i o n b a r r i e ro p t i o n sa n dt h ep r i c em o d e lo fd o u b l eb a r r i e ro p t i o n si nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ；i t 6f o r m u l a ；b a r r i e ro p t i o n s ；c o r r e c t i o nb a r r i e r o p t i o n s ；d o u b l eb a r r i e ro p t i o n s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得上勺研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已经发表或搓写 过的研究成果，也不包含为获得 金蟹王些盍堂 或其他教育机构的学直或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文储签名： 缘良 签字吼，年午月玎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金g 曼王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权量 照工些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 张良 签字日期：西i 。年邸月岖日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 名：专移桎 签字目期：2 。，年铲月刁目 电话： 邮编： 致谢 本人在三年的硕士研究生课程学习和撰写学位论文的过程中，自始至终得到了我 的导师杜雪樵教授的悉心指导。无论从课程学习、科研选题，还是到收集资料、论文 成稿，都倾注了杜雪樵教授的心血，我由衷地感谢杜雪樵教授在学业指导，方法传授 及生活等各方面所给予我的关心。杜雪樵教授言传身教的高尚品质，科研精神，道德 情操，渊博的学识、严谨的治学、诲人不倦的教育情怀和对事业的忠诚，无私奉献的 热情必将使我终身受益，在今后的学习和工作中，杜雪樵教授永远都将成为我学习的 一面旗帜和勇往直前的指路灯! 真诚感谢数学系的全体老师，他们的教诲为本文的研究提供了理论基础，并创造 了许多必要条件和学习机会；感谢我的家人，在我课程学习和论文撰写期间，给予我 的大力支持。 最后，感谢所有帮助过我的同学，以及毕业过的师兄师姐们，在我遇到困难时， 他们都给予了极大的热情和真诚的帮助! i i i 作者：张展 2 0 1 0 年4 月 第一章绪论 1 1 课题背景及意义 在现代金融理论和实践中，期权作为一种特殊的金融衍生工具，其重要性 尤为突出。期权是未来的选择权，是一种“或有”要求权。因此，在众多金融 衍生品中，期权具有举足轻重的地位n 1 。自1 9 7 3 年春季，期权在芝加哥期权交 易所首次进行交易以来，期权市场的发展变得十分迅猛，如今，其作为一个至 关重要的重要分支已活跃于各大国际金融业中。 期权交易的发展引起了众多学者的重大兴趣和关注。b l a c k 和s c h o l e s 于 1 9 7 3 年发表了关于期权定价的经典论文，在文中得出了著名的 b 1 a c k s c h 0 1 e s 期权定价公式。除了b l a c k 和s c h o l e s 之外，m e r t o n 也对期权 定价理论和实践的发展作出了独到和开创性的贡献，他几乎和b 1 a c k 、s c h o l e s 同一时间，得到了期权定价模型心1 以及其它成果。另外，由于b - s 公式模型中 没有考虑标的股票在有效期内支付红利的情况，这是这个模型的一个缺陷。而 1 9 7 3 年m e r t o n 考虑了标的股票存在连续支付红利的期权定价问题，给出了修 正后的b s 公式，从而使得b s 模型的实用性大大的增强了，被学术界称为 b - s - m 模型涩1 。b l a c k ，s c h o l e s 和m e r t o n 的定价理论是现代金融学最杰出的成 就之一，该理论为金融经济学的研究开辟了新天地。这三十多年间，金融学的 发展前进几乎都是基于了b - s - m 模型的基础。 期权定价问题在金融数学中的核心地位日渐凸显。这些年来，国际金融衍 生市场除了交易人们广为熟悉的欧式、美式期权外，还涌现了大量由标准期权 变化、组合、派生出的新品种，即新型期权，他们是由金融机构设计以满足市 场特殊需求的产品。其中障碍期权是一种路径依赖期权，期权收益与股票价格 路径有关1 。障碍期权分为敲入期权和敲出期权两种。对于敲出期权，当股票 价格在到期日前能触及障碍价格时，期权消失，价值为零；否则，期权收益仍 为标准期权收益。 期权定价的应用，现在已经进一步延伸到实物资产的投资决策上去。因此， 在2 0 0 6 年度若贝尔经济奖授予了在期权定价理论方面作出了杰出贡献的学者， 这正体现了期权定价理论在经济学界举足轻重的地位。 随着中国近几年经济的迅猛发展，金融市场业务的不断扩大和完善，逐渐 接轨世界的过程中，各种新型金融产品的出现和新型金融交易的引入，是不可 避免的。因此，在当前形势下，深入研究期权定价的一系列问题是非常必要的。 但是，通过不断的研究，近几年来学者们发现在金融市场中股票价格具有 一定的依赖性和相关性，分数布朗运动满足这两种性质，而传统的标准布朗运 动已经不满足现阶段的进一步研究。也就是说，以前股票价格过于理想化，用 分数布朗运动驱动的随机微分方程来描述股票价格更为切合实际1 。 1 2 期权定价问题概述 随着金融市场的蓬勃发展，金融市场日渐呈现出高风险和不确定性。半个 世纪以来，投资者们在金融活动中谋取了巨大利益的同时，也遭遇了日益显著 的高风险，并蒙受了巨大的经济损失。尤其是近十多年来来，因高风险而引发 的严重的金融危机频繁发生，给金融业界所带来的损失是前所未有不可估量的 h 。因此，一系列惨重的教训促使了学术界和金融界开始考虑和重视如何能够 正确的评估金融风险和加强风险管理，而这些都从客观上要求国际金融界和学 术界重视金融学的研发。金融学研究的主要对象之一就是金融衍生证券或者称 为未定权益，是指一切未确定的权益。常见的衍生证券有：远期合同( f o r w a r d c o n t r a c t s ) ，期权( o p t i o n ) ，期货( f u t u r e s ) 和互换( s w a p s ) 【2 】。对衍生证券 的研究主要从两个方面来考察，即如何确定衍生证券的价格问题和衍生证券的 套期保值问题。衍生证券的价格是指为了拥有在未来某一时刻( 如t 时刻) 的 衍生证券而现在应该支付的费用。衍生证券的套期保值是解决衍生证券的出售 者应该采用哪种策略才能避免或者尽可能降低因为出售衍生证券而在未来可能 遭受的损失。在衍生证券的研究之中，期权既能给投资者提供套期保值功能又 可使投资者获得收益，因而在金融衍生工具中占有重要的地位。 期权作为一种最基础的金融衍生工具，是一种权力。期权的买方向卖方支 付一定数额的权力保证金后就获得了这种权力，即在一个预先约定的时间或者 在特定的期限范围内，以一个事先约定好的价格买入或者卖出一定数量的某种 原生资产权力。但是这只是一种权力，而不是义务。期权是一种特殊的金融 合同，按照权力的性质分，可以分为买权( c a llo p t i o n ) 和卖权( p u to p t i o n ) 两种类型。其中买权又叫看涨期权，是指期权的持有者在某一个确定的时间以 某一个确定的价格购买标的资产；而卖权又叫看跌期权，是指期权的持有者在 某一个确定的价格出售标的资产。如果根据合同持有者在有效期内行使权力的 自由度不同，期权又可以分为美式期权和欧式期权。欧式期权是指期权的买方 在合同到期日当天才能行使权力；美式期权则可以在合同到期日以前任何一天 行使权力，。由于欧式期权的特征比较容易分析，所以对期权的研究都是以欧 式期权为起点的。如果期权按交易方式分，又可以分为标准化期权和非标准化 期权( 奇异期权) 。标准化期权是在交易所上市的期权，例如欧式股票期权，股 指期权，外汇期权和利率期权等。非标准化期权又称变异期权，大多是在店头 市场进行交易。按照标的资产的类型的不同，期权可以分为股票期权，利率期 权，货币期权，黄金期权，商品期权，期货期权等。 由于期权是一种权力，不是义务，即合约持有人有放弃合同的权力。所以 要获得这种权力就必须为获得这种权力而支付一定数量的权利金。这种支付的 权利金就叫期权的价格，而期权的价格很难从市场交易中直接反应出来。因此 2 期权定价一直是金融实践和金融数学中的一个重要的课题。 1 3 早期的期权定价理论 在b l a c k s c h o l e s 以前，最早的股票期权定价模型可追溯到法国数学家 l o u isb a c h e lie r 在1 9 0 0 年3 月1 9 日发表的博士论文。t h et h e o r yo f s p e c u l a t i o n ( 投机交易理论) ，他第一次给出了b r o w n 运动的严格的数学描述 n 1 。该模型假设标的资产按无漂移的算术b r o w n 运动变化，即标的资产价格s 适 合随机微分方程啦= 盯d 彬，这里彬是标准b r o w n ： 垂动，e ( d w , ) = 0 ，v a r ( d w ，) = d r ； 第一次得出了欧式看涨期权( c a l lp r i c e ) 的价格公式 h ，( 筹 + 盯西( 等) ， 其中s 为标的资产价格，k 为执行价格( s t r i k ep r ic e ) ，t 为到期日 ( e x p i r a t ed a t e ) ，( ) 和矽( ) 分别为标准正态分布累积函数和标准正态分布 密度函数。l o u isb a c h e li e r 的期权定价理论标志了现代金融学的诞生，但是这 个模型的主要缺陷是绝对b r o w n 运动允许股票价格为负和平均预期价格变化为 零的假设脱离实际，而且忽略了资金的时间价值，尽管如此，l o u isb a c h e l i e r 的研究成果为后人研究指出了方向。 在l o u isb a c h e li e r 的研究基础上，人们对期权定价问题进行了长期的研 究，主要成果有： 1 9 6 1 年，c a s es p r e n k l e 提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假 设，以标的资产的价格的回报( r e t u r n ) 孚代替d s , ，即假设墨适合几何b r o w n 越 运动：孚= p d t + o - d w , 。其中均值p 和方差盯2 均是常数，并且肯定了价格发生 讲 偏移的可能性，在此基础上提出了一个看涨期权定价模型。 1 9 6 4 年，j a m e sb o n e s s 将货币时间价值的概念引入到期权定价过程，还考 虑了风险溢价的重要性。得到的期权定价公式为 y ：s f 丝堂缈1 _ e a r k o f 垡堂鲤1 ， l a q t l a q t j 但他没有考虑到期权和标的股票之间的风险水平溢价。 1 9 6 5 年著名的经济学家p a u ls a m u e l s o n 把上述成果统一在一个模型中。该 模型考虑了股票预期收益率因风险特征的差异而不一致的现象，并认为期权有 一个更高的预期收益率，他所得到的期权定价公式为 y ：卅r s f 坐坐业1 _ e - h t k o i l n - 詈+ ( a - 3 c p ) t 1 l o - 4 t a 4 t j 虽然他们已经建立了各种各样的期权定价模型，因为这些模型中都包含一 些主观的参数，如投资者的个人风险偏好，市场均衡价格等因素，因此其适用 价值一般。 1 4b l a c k s c h o l e s 期权定价模型 1 9 7 3 年，美国芝加哥大学的学者f b l a c k 与m s c h o le s 共同发表了关于期权 定价的经典论文“t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”。 从而引发了“华尔街又一次革命 ( 第一次革命为上世纪5 0 年代末6 0 年代初， m a r k o w i t z 的投资组合的均值一方差理论与s h a r p e 的资本资产定价理论) 。 文中 利用随机微分方程推导出了期权定价模型，在推导定价公式时，b l a c k 矛hs c h o le s 作出如下8 个假设条件： ( 1 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券； ( 2 ) 无交易费，无税收，所有证券都是高度可分的； ( 3 ) 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施的： ( 4 ) 无风险利率是常数，且对所有到期日都相同； ( 5 ) 证券交易是连续的： ( 6 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付； ( 7 ) 不存在无风险套利机会； ( 8 ) 标的资产价格的变动符合几何b r o w n 运动过程，在数学上则表现为拍过 程即： d s , = s ( u d t + a d b ( t ) ) ，该假设等价于标的资产价格服从对数正态分布。 该文利用套利原理和随机分析中的拍公式证明了欧式看涨期权价格， 厂( s ，) 满足的b s 微分方程： i 望+ 心望+ i 磐盯z s z ：_ 、a s2a s l j i f ( s ，f ) = ( s k ) + 解得：f ( s ，f ) = c ( s ，f ) ， c ( s ，r ) = s ( 里学 一k e 。7 , i n s + ( r - 5 o 2 ) t 其中：c 为看涨期权价格；k 为期权执行价格；s 为标的资产现价；丁为期权 有效期；，为连续复利计无风险利率；仃为标的资产价格的波动，( ) 为标准 正态分布函数。 b l a c k - - s c h o le s 期权定价公式是一个完全由“可观察”变量组成的函数， 并且其给出的价格与股票的期望收益率无关，这能使模型能直接接受实证验证。 该模型是现代分析型金融学的最杰出成果之一，其采用的方法为其它金融衍生 证券的定价奠定了基础，以b - s 为代表的期权定价理论具有极大的科学价值与借 鉴意义。 4 1 5b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的改进 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型对市场做了许多理想化的并不现实的假设：例 如，标的资产价格的波动率为已知，且在期权的寿命期内不发生改变；股票交 易是连续且不间断进行的，从而它的价格变动是平稳的，在短时间内不会发生 向上或向下的跳跃；短期无风险利率为一给定的常数，而不是随机变量；可以 任意卖空标的股票或期权，且所得的可以立即全额使用；股票市场或期权市场 都不存在交易成本；任何人都能以同一利率借入或贷出任何金额的资金；投资 者参与市场交易并不影响其所承担的赋税：股票市场和期货市场均具有充分的 流动性；标的股票不支付红利；期权为欧式的，即投资者只能在期权到期之日 行使权力；不存在兼并或其他可能中止期权寿命期的突发事件等。显然过于严 格的假设削弱了原始定价公式在现实中的应用，使其在理论和应用上存在缺陷。 其后m e r t o n ，s c h o l e s 和c o x ，r u b i n s t e i n 和b l a c k ，h a r r i s o n ，s a m u e l s o n 等学者对 模型进行了更加详细深入的研究和改进，并把它推广到对其他金融衍生工具的 估价和金融风险控制这些“更普遍的环境”中，使期权理论得到进一步完善。 b i a c k s c h 0 1 e s 模型出现后的研究基本上是两个方向扩展的，一个是对b - s 模型的修正、扩展，而另个则是对模型的实证检验和应用研究。 ( 1 ) 支付红利的b - s 模型 每年以恒定比率g 支付连续红利率的标的股票，m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 年推导出的 期权定价公式是： = 酽l i n s + ( r 仃- 打q _ + 吉c r ：) 7 ( 2 ) m e r t o n 的随机利率模型 在b - s 模型中，利率是给定的常数。实际上，利率的变化相当复杂。不同的 性质，不同到期日的证券，利率变化规律互不相同，这些是利率的期限结构。 利率不变实际上是假设利率的期限结构是一平坦的直线，显然这是不符合实际 情况的。1 9 7 3 年m e r t o n 考虑了这种情况，除了把红利支付引入b - s 模型，还放松 了无风险利率是常数的假定，提出了一个利率是随机变量的期权定价模型旺1 。 他定义b ( t ) 为与期权同时到期且到期时支付给持有人1 单位货币的贴现债券的 价值，且假设b ( t ) 遵循以下过程d b ( t ) = b ( t ) u 占d t + b ( t ) 仃n d z b ，推导出利率随机时 的欧式看涨期权的定价公式为： = s ( ) 一b ( o ；丁) k ( ) 其中b ( o ；t ) 是丁时刻到期单位面值的零息票在f = 0 的价格， 讲= l n s - l n 习b ( o 广；t ) + 譬t ， 子是标的资产与零息票的联合方差。由于各种原因，他的模型在实际中很少采 用。近年来由于利率风险日益突出，利率期权的利率衍生证券得到了飞速的发 展，关于利率期权定价方法的研究在期权定价理论研究中尤其重要。综合这方 面的研究可以分成两类：一是b - s 模型为基础的修正和推广，例如m e r t o n 的债券 期权模型哺1 ；二是基于对利率期限结构变化的估计和建模，例如h u l 卜w h i t e 模型 儿副和c o x i n g e r s o l l - r o s s 阳3 是比较重要的研究结果。 ( 3 ) 随机波动率模型 股票价格的波动率是刻画未来股票价格的一种最为关键的变量，在b - s 模型 大部分推广中，总认为股票价格的波动率为常数。事实上，金融统计数据表明 b s 模型与实际情况存在显著的系统差异，其中主要的两种不一致的现象是：一 是由b s 模型确定的无条件报酬分布的峰度过少；二是实际观测的资产价格分布 的两条拖尾曲线都l t b s 模型假设的对数正态分布要宽1 。同时，实际观测到 的衍生证券市场价格表明，隐含波动率并不符合模型所做的常值假设。总之， b s 模型关于标的资产价格的分布规律的假设与实际相违背。而大量事例分析表 明，随着时间的变化，波动率一般不是一个常数。例如波动率的大小往往与股 价水平高低成反方向变化关系。因此如何估计波动率的变化规律，并将它反映 在期权定价模型中，是学者们十分关注的问题。早在1 9 7 6 年，c o x 和r o s s 就给出 了考虑非定波动率的买权定价模型，即所谓的常方差弹性期权定价模型“引，然 而人们经过研究发现股价水平只能部分解释波动率的变化，因此，有必要考虑 更一般的方法，即将波动率盯作为随机变量，建立随机波动率模型1 。不过， 这样做的结果把期权定价模型从单因素模型变成了二因素模型，即定价模型中 同时存在两个随机变量，从而大大增加了建模的复杂性，难以得到模型的解析 解。但是实证分析表明随机波动率假设更接近实际，它能给出市场数据更为吻 合的结果，所以随机波动率假设的期权定价将是今后研究的重要方向之一。 ( 4 ) 股票价格是非连续变化的模型 在现实中的股票价格可能出现非连续的变化，即所谓的跳跃性，这使得使用 b - s 模型下股票服从对数正态分布的假设无法处理。为此需要引入新的分布， 1 9 7 6 年m e r t o n 第一个考虑股价服从跳跃扩散过程的期权定价问题n 羽，由于得到 的定价公式十分复杂，而且所含参数不容易确定，使得这个模型在实践中难以 推广应用；另一方面，c o x 等人在1 9 7 9 年提出股票价格服从对数泊松分布的假设， 从而得到了所谓的“跳跃过程 离散买权定价模型n 3 1 。 1 6 分数布朗运动问题 b b m a n d e l b r o t 及j w v a nn e s s 于1 9 6 8 年在s i a mr e v i e w 上发表了 6 f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n s ，f r a c t i o n a ln o i s e sa n da p p li c a t i o n s 此文章， 在本文中他假设标的资产价格的变动符合分数b r o w n 运动过程，即： a 。s , = u d t + a d b f f ，其中科表示带h 参数的分数布朗运动。 o f 此后l i n ，s j 于1 9 9 7 年也发表了此类文章：s t o c h a s t i ca n a l y s i so f f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，f r a c t i o n a ln o i s e sa n da p p l i c a t i o n n6 1 。以 及r o g e r s ，l c g 1 9 9 7 在m a t h e m a t i c a lf i n a n c e 上发表了a r b i t r a g ew i t h f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n 。d u c a nte ，h uy ，p a s i k d u c a nb 在2 0 0 0 年发 表了一篇分数布朗运动理论的文章s t o c h a s t i cc a l c u l u sf o rf r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o nt h e o r y n 引。随后h u ，y a n db o k s e n d a l 又在2 0 0 3 年的 i n f i n i t ed i m e n s i o n a la n a l y s i s ，q u a n t u mp r o b a b i l i t ya n dr e l a t e dt o p i c s 上发表了一篇有关金融中分数白噪声的文章f r a c t io n a l w h it en o is ea n d a p p l i c a t i o n st of i n a n c e ，并且给出了欧式看涨期权的分数b s 公式n7 1 ： 叫f 。面l ( x e x p 叫十2 p h + 唧卜茹p = x o ( 7 7 + d 7 ) 一c e - p t ( 7 7 一吉仃丁) 其中，町= 盯_ t 州( 1 0 9 孝+ p t ) ，( ，) = 了杀l p 一了幽是标准正态分布函数( 误差函 数) 。分数布朗运动再次吸引了数学界和金融学界的目光。随后，大量关于分数 布朗运动的研究逐渐开展起来。 在国内，关于分数布朗运动的研究起步较晚，但随着期权定价研究的逐渐 升温，分数布朗运动下的定价问题也逐渐开展起来，而且越来越广泛。刘韵跃， 杨向群在2 0 0 2 年的经济数学期刊上发表了分数布朗运动环境中标的资产有红 利支付的欧式期权定价，在此文中他们改进了标准的几何布朗运动，假设标的 资产或基础股票的价格服从几何分数布朗运动模型下，分别在无风险利率r 和 股价波动率为常数和时间t 为非随机函数的情况下，求出了有红利支付的欧式 期权的定价公式，其后又在应用概率统计期刊上发表了题为分数布朗运动环 境中欧式未定权益的定价，王旭和薛红在价值工程期刊上发表了分数布朗运 动环境下的美式看涨期权的定价方法以及刘韶跃，方秋莲及王剑君在系统工 程期刊发表的多个分数次布朗运动影响时的混合期权定价1 等文章。本文 也是用分数布朗运动来刻画股票价格的变化，在假设股票价格满足分数布朗运 动，并且在股票预期收益率、波动率和无风险利率均为时间函数的情况下，利 用微分方法给出障碍期权的定价公式。 7 第二章预备知识 2 1 障碍期权 障碍期权是一种弱路径依赖期权，期权的收益除了依赖于原生资产在期权 到期日的价格，还与原生资产价格在整个期权有效期内是否达到某一规定水平 ( 人们称之为关卡值) 有关。按照原生资产价格达到规定的关卡后期权的状态， 障碍期权分为两大类：敲出期权( k n o c k - o u to p t i o n s ) 和敲入期权( k n o c k - i n o p t i o n s ) 。对于敲出期权，当股票价格在到期日前能触及障碍价格时，期权消 失，价值为零：否则，期权收益仍为标准期权收益。如果在期权的有效期内原 生资产价格大于关卡值，那么称为下降敲出期权( d o w n - a n d - o u to p t i o n s ) ；如 果在期权的有效期内原生资产价格小于关卡值，那么称为上升敲出期权 ( u p a n d o u to p t i o n s ) 。对于敲入期权，当原生资产达到关卡时，期权开始生 效，此时关卡值也被称为激发值( t r i g g e r ) 按照前述概念，根据期权价格与规 定的激发值之间的关系，有下降敲入期权( d o w n - a n d - i no p tio n s ) 和上升敲入 期权( u p a n d i no p t i o n s ) l 每一类欧式期权都可以分为看涨和看跌两大类，假如我们把看涨或者看跌 期权称为标准期权的收益，则容易看出： 敲出期权的收益+ 敲入期权的收益= 标准期权的收益。 由于欧式期权是一个线性问题，因此障碍期权定价与标准欧式期权定价之 间存在以下关系引： y 。，妇( s ，t ) = v 印一耐一。埘( s ，f ) + v 妒一。d 一加( s ，) = v d o w n 一删一。( j ，f ) + v d o w n 一删嘲( s ，f ) 此式子的金融意义在于到达障碍值s = s b 时，敲出一个期权的同时又敲入一 个期权( 具有相同价格k 和截止日期t ) 。它的结束效果是等于不存在障碍，因 此他们的和应该与标准的欧式期权相同引。 2 2 分数布朗运动 定义2 1 ：设0 0 ， 对所有的n = l ，2 ，3 ，且r ( n ) = q o 。 n = l ( 2 ) 分数布朗运动为自相似过程( s e l f - s i m il a rp r o c es s ) ，即对任意 口 0 ， b 疗( 口f ) ) 与 口b ( f ) ) 有相同的有限维分布。 ( 3 ) 若b ( ，) 为标准布朗运动b ( t ) ，则日= 去。 分数布朗运动的这些性质使得它成为数理金融的一个合适工具，但是对于 圩i 1 ，分数布朗运动既不是马氏过程也不是半鞅，所以不能用通常的随机积 分来分析7 1 。目前，y a o z h o n gh u ，b e r n t0 0 k e n d a l 7 f lb o z e n n ap a s i l - d u n c a n 建立了关于分数布朗运动的新的随机积分的基本理论，得到了对应的肋公式 n 8 1 o 2 3 分数布朗运动的相关理论 定义2 2 ：设厂s ( 尺) ，s ( 尺) 是尺上的急降函数( 即，r ，一时，比击下降的 川 更快) 空间。定义算子： m ) 一量带出 其中岛= 2 1 1 ( 日一丢) c 。s ( ( 号) ( h 一号) ) ， 日 1 。 定义2 3 ：固定h u r s t 参数h ， 日 1 ，定义妒( j ，t ) - - h ( 2 h 1 ) i s f 1 2 肛2 ，s ，t er 。 定义2 4 ：设厂：r 专尺是可测函数，定义i i ：_ 工厂( j ) 厂( f ) 伊( s ，t ) d s d t 。 引理2 1 ： 1 9 设函数f 为满足e t f ( b , ( 丁) ) 】 的函数，贝, jx c 任意f t 砌鳓= 蝻唧卜茄出 其中e 表示在概率测度p 下的数学期望，e ，表示在风险中性概率测度q - f 的条 件数学期望。 引理2 2 引：任意有界b 可测期权定价f f f ( p ) 在任意时刻， 0 ，t 】的价格为 9 f ( f ) = e ”u 叫e ，【f 】 引理2 3 1 ：( i t 6 公式) 设形= 矿( s ，) ，v 是二元可微函数。若随机过程s 适合 随机微分方程姆= u d t + o d b , h ，则 晔( 警+ ”警+ 耐酽0 2 v m 伊a 瓠v d b 。n 引理2 4 ：设f ( x ) r ( 尺) ，由文献 2 0 ， 五l ( 邝) d b h ( ，) ( 川) 2l _ 1 巾) 1 2 西= ， 则= o 眈，其中 。= 爿= 厣而嚣而面，圭 心 1 0 第三章分数布朗运动下的标准障碍期权定价 3 1 模型假设 本文基本假设： ( a ) 原生资产的价格演化遵循几何分数布朗运动：譬：材d t + c r d b f f j ) u 一一期望回报率( 常数) 盯一一波动率( 常数)群一一分数布朗运动( h 参数) ( b ) 无风险利率r 为常数。 ( c ) 原生资产支付红利，利率为q ( t ) n 引。 由引理2 3 ，可以得到在分数布朗运动下带红利支付的欧式期权微分方程为： 百o v 刊s 蔷州o 2 s 2 t z n - io 瓠z _ _ _ v v 。卅= 。 证明 ( 3 1 ) 利用一对冲建立模型，形成投资组合兀= v a s ，选取，使得n 在 t ，t + d t 内是无风险的。因此，兀，砌一兀，= rh ，d t 由于假设，考虑到要支付红利，所以： 兀“出= k + 曲- a ，s , q , d t - a ，s + 出， 从而可得： d 杉一a , d s , ：兀，d t + a ，s t q , d t利用i t 6 公式，并取，= 丽o v ， 得到百o v + 日g 2 t 2 n - 10 础2 v ) d t = ，( y s - 警s ) d t + 筘西o v 衍 消去d t ，得到v 满足的偏微分方程：百o v + o g ) s 警+ 日c r 2 s 2 t z n - l 丽o z v 一，- y = o 证明完毕乜。 因此，由上可得在分数布朗运动下v = v ( s ，t ) 的障碍期权的一般方程即为： 百o v 竹_ 口) s 警州o 2 s 2 t 2 h - 10 豁2 _ 兰v 。卅= 。 矿( s ，t ) = ( s k ) + 矿( s b ，f ) = 0 3 2 分数布朗运动下的标准障碍期权定价 定理3 1 根据定义，在分数布朗运动下，到期日为t 的下降敲出看涨障碍 v ( s ，f ) = s e 叼叮叫) ( 硝) 一k e 。盯叫n ( d 2 ) 一& ( ) 耐e - q ( r - o n ( d 3 ) q - r 一 一n r ( 孚) 1 + 群击( 以) 鼢川即，叱小即h 争荡降e - q ( r - t ) n c 护- r ( r - on ( 以) 其中： l n ( 导) + ( ，一g ) ( 丁一f ) + h a 2 ( 丁2 一f 2 ) 蟊= 量1 ：一 1 仃( r 2 片一t 2 ) 畋= 4 一盯币研 吨：曼ln()+可(r-q)(t一-t)+ho2(ttm-ttm) 盯( 丁川一，川) 吐= 呜一仃如研 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 证明：由在分数布朗运动下的障碍期权一般方程可得，做变换 舻h 妾 肚跏 ( 3 4 ) 从而有 害+ ( r - q - o 2 t 2 h _ 1 ，0 磊u + 日c r 2 t 2 n - lo 知 u 2 - r u = 0 , ( 一足，o ，丁) 8 t。瓠a0 。 u ( x ，t ) = ( e 。一) + ，( o x 0 0 ) ( 3 5 ) u ( o ，f ) = 0 ，( 0 r r ) 这里妫= i k 再令u = e a x + p ( t - t ) 缈， 其中口= 一赤( r - q - 日g 2 t 2 n - i ) 一卜赤( r - q - h 0 2 1 2 h - ! ) 2 代入( 3 5 ) 可得w 在( z e 足，o t 丁) 上适合定解问题： ( 3 6 ) ( 3 7 ) 一o w + h o 2 t 2 h - l 堡：o 8 ta x 2 w ( x ，丁) = e - a x ( e 。一k b ) + w ( o ，) = 0 ( 3 8 ) 棚镜燃定跏垆卜ea 弋x ( e p x 二嚣三 ( 3 9 ) 可得到缈( x ) 为奇函数。因此，接下来在( x r ，0 f t ) 上考虑c a u c h y 问题： 詈+ 丢仃2 罟一o ，队舢鲻d埘 【( x ，丁) = 伊( x ) ，( x r ) 由于这个解为奇函数，因此它在( x r ，0 f t ) 的限制必定适合定解问题 c a u c h y 问题的解可以表示为p o i s s o n 公式： w ( x ，) = ( 工一f ) 2 r p 布( 亍2 印伊( s ) d s f 【p 丽2 ( 阿j p 。4 厉铲。，h j ea c ( e c - k b ) 由( 3 6 ) 回到函数u ( x ，t ) ，得到： u ( x ，f ) = p r ( 7 一f ) 一再。南( r _ q _ h o 2 t t m ) 。 ( e 8 一k 8 ) d 占 ( x + s ) - ( r - q x r - t ) - h a 2 ( t t m - t t m ) = 4 口2 ( t 2 t t _ t t m ( p 。一g ) d 8 ：一e x - q ( t - t ) 产肖帮铲p 一譬d 缈 2 z j _ m 一万1 p 叫) 一( r 二- r q i j ) i x = r q ( r f ) eh o 2 f 2 一1 2 z x - i nk s + ( r - q x t - t ) - h j c r 2 ( t t m t t m1脚2 j 2 日( 7 i ”一f 2 “)e2d c o ：；= = = = = = = 2 = = = = = = ；= 。一一一 m 2 e2d 国 + k be - r ( r - t ) 一紫产黔窑塑p d 缈 27r工m 吖一并器 圭| 将此结果代回( 3 4 ) ，回到原变量( s ，t ) 以及函数v ( s ，t ) ，即得最后结果。 证毕。 将式子( 3 3 ) 可改写为：一一( 即) 叱觯，f ) 一( 赫胁( 詈，f ) 由v 。，f f 口( 5 ，) 2v 印一耐一。叫( j ，o + v 印一删一所( s ，f ) = y 出。一耐一础( j ，f ) + 矿出。一删嘲( s ，f ) 可推 得 刊- 加( 即) ：亭) “赫胁母，r ) 0 8 o 同理，还可以推得一删一加( s ，f ) 和一。抽w ( s ，) 的表达式。 本文已经得到了在分数布朗运动下的看涨障碍期权的表达式及解，为了得 到看跌障碍期权的表达式，还可以建立如下关于看涨一看跌障碍期权的平价公 式。( p u t c a l lp a r i t yf o rb a r r i e ro p t i o i i s ) 定理3 2 在分数布朗运动下，对于下降敲出障碍期权存在看涨一看跌平价公 式： p d o w 。一积d 一。“( s ，f ) + j s ! ( 6 1 ) = c d o w 。一。d 一。( s ，t ) + k e 一7 r 叫n ( b 2 ) 唧前降e - q ( r - , ) n ( 驴驴卅酬 其中： 2 j 2 = 6 l 一仃撕研 l i l ( 鲁) + 驴一q )