常微分方程答案.pdf

答案答案 1.1 1.(1)( , )x y yxtg y xytg + = (2) 2 22 ()() y xyxyl y += (3) 0 xyy+= (4) 2 ()()2 y yxyxa y = (5) 2 yxyx= 提示：过点提示：过点( , )x y的切线的横截距和纵截距分别为的切线的横截距和纵截距分别为 y x y 和和 yxy。 2.设 0 时刻的质点的在平衡处，坐标轴为一平衡位置为原点，竖直向下为轴的方 向， 设弹簧的弹性系数为 k,根据能量守恒定律 我们得到微分方程：:m( dt dx )2+kx2=2mgx,x(0)=0, 3.如上建立坐标系，设任意时刻物体的位置为 x(t),由牛顿运动定律， 我们得到微分方程：md2x/dt2=mg-k dt dx ,其中 g 为重力加速度; 4.设任意时刻物体的温度为 t(t),由牛顿冷却定律， 我们得到微分方程： dt tdt )( =-k(t(t)-a),t(0)=t0,其中k为比例系数， 解该方程得到：t(t)=a+(t0-a) kt e; 5.以静止时刻物体的位置为轴的零点，沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时 刻物体的速度为v(t),根据牛顿运动定律，我们得到微分方程： 2 3g dt dv =,v(0)=0; 6微分方程是 1) )( ( )( 2 )( 2 = dx xdy dx xdy xop xy 7. 1)y dx dy x2=，2)y dx dy =，3) dx dy dx yd = 2 4) 2 2 22 )(3 2 3 dy dx x dy xdx c+=，代入略 5)0)( 2 =+ dx dy y dx dy dx dy yx，6) d d )cos1 (sin=，7) dt dx tgt dt dy = 8. 1） ，2阶线性 ；2）2阶非线性；3）2阶非线性；4）m阶线性； 5） ，1阶若f(x,y)关于y是线性的，则线性；否则，非线性；6） ，3阶同左； 7） ，2阶非线性；8） 1阶非线性； 9带入验证（略） 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 10. 1) 通解：y=x2+c,c为任意常数；2）特解为：y= x2+3； 3）y= 2 x+4，4）y=x2+5/3; 11. 很容易得到： dx dy = rx re， 2 2 dx yd =r2erx, 3 3 dx yd =r3erx，代入微分方程 1）r=2;，2）1=r，3）2=r或3=r，4）0=r或1=r或2=r 12. 同上我们很容易得到： dx dy =rxr-1, 2 2 dx yd =r(r-1)xr-2，代入微分方程 1）(r(r-1)+4r+2) r x=0, 则r=-1或r=-2; 2）(r(r-1)-4r+4)xr=0, 则r=1 或r=4; 13. 1）y=0或者y=a/b为其两个常数解； 2）函数单调增，即：y(a-by)0 解得：0ya/b; 函数单调减，即：y(a-by)0 解得：yba/或y0; 3）微分方程通解是： ax ceb a xy + =)( 所以拐点的y坐标为a/b; 4) （略） 返回目录 答案答案 1.2 1 （1）yx 2 r （2）0y （3） 2 r （4）yx 2 （1）1)( 0 =xy，xxdssxy x +=+= 3 0 2 1 3 1 ) 1()( 753 0 32 2 63 1 15 2 3 2 ) 3 1 ()(xxxdsxxsxy x +=+= （2）0)( 0 =xy， = x xs edsexy 0 1 1)(， +=+= x xxss xeedseexy 0 22 2 2 1 2 1 ) 1()( 3 （1）证：取 2 1 =a，在矩形区域 =byxyxr, 2 1 | ),(上， 22 cos),(xyyxf+= 连续，且关于 y 有连续的偏导数，计算 2 1),(maxbyxfm+=， + = 2 1 , 2 1 min b b h， 由此可见，h 是有界的，由解的存在唯一性定理，知初始值问题的解是存在唯一的。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （2） ， （3） ， （4）的证明和（1）相同（略） 4提示：代)(),(xx到微分方程验证即可。 5证明：对条件中的不等式进行求导有：)()()( tgtftf，)(),(tgtf在区间上是非负 连续的，)(xf是单调减少的，即在区间上有最大值 m。现在再求最大值 对)()()( tgtftf=积分，则得 = t dssgcm 0 )(exp(，因此 t dssgctf 0 )(exp()( 6提示：和 3 题的证明类似。应用定理及),(yxf偏导存在 7证明：假设在 0 xx一侧有两个解)()( 21 xyxy和，且 21 yy ，则由),(yxf是 y 的非 增函数，因此0),(),( 21 yxfyxf，即0)( 21 yy，可以得出 21 yy 是非增的，而 在 0 x点有0)()( 0201 =xyxy，这与)()( 21 xyxy矛盾，假设不成立，只有一解 8提示：作逐步逼近函数序列，)()( 0 xfx= ,.2 , 1 , 0,)(),()()( 1 =+= + ndxkxfx b a nn 9 提示： 首先判断出满足唯一性条件的 h,l 和 m， 由05. 0 ) 1( )()( 1 0 时才成立的。 6.证明：把)(xy=代入方程有，)( )( xf dx xd =，令x 1+x代入，则得证。区间是 cbxca的情况，小于的情况类似。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 令)()()(xxxh=，则0)( 0 =xh，)(xh连续可导，由于),(),( 0000 yxfyxfxh， 故在 0 x的一个邻域内必有0)(xh， 若有一点 1 x， 01 xx ， 使得0)( 1 =xh， 不 妨 假 设 1 x是 使 得0)(=xh的 最 靠 近 的 点 ， 则)()( 11 xx=， 且 0)( 1 xh0)(,()(,()( 11111 =xxfxxfxh， 矛盾， 所以当 0 xx 时)(xh必 然大于零。 16.证明：若 0 x是有限值，由于)( ,)( 00 xxyx且 0 ),()(xxxfx=在的邻域内连 续有解，函数 = , ),( )( 0 0 y xxx x 就是一个可微函数。事实上， 0 )(xxx在下虽然连 续可微， 当 0 xx =，),( )( lim )( lim )()( lim)( 00 0 0 0 0 0 0 yxf xx c xx yx xx xx x= = = = 因此 o yxx=)()( 0 是方程满足的解，有解的存在唯一性定理得： 0 )(yx =，即)(x 是常数解，矛盾。 17.程序如下 1) detoolsdfieldplot ? (diff(y(x),x)=y(x)*exp(-x2),y(x),x=-2.2,y=-2.2,dir grid=9,9,arrows=line,axes=normal); 这里只给第一题的程序，其他的类似 18答案：) )( )( , )( 1 ( 0 0 0 0 xp xq xp x + 19.证明：设该方程的积分曲线是)(xy=，则tgxxxtgxx)(1)( +=，当此曲线与 oy 轴相交时，1)0(, 0 =x，故所有的切线斜率均是 1，相互平行。 20.证明：若)(xy=有拐点0)()(),( 1 1111 =xxyyx且则必有，因此得出 )(,()( 1 xxfx= )(,()(,()(,()( xxfxxfxxfx yx +=， 在等倾线上cyxf=),(， 两边关 于x求导，有 ),( ),( yxf yxf y y x =，为等倾线斜率，0)()( 为积分曲线的斜率，由 xx, 即 )(yx =，故在拐点处积分曲线与等倾线相切。 返回目录返回目录 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 习题习题2.1 1. 1) 2 )(ln 2 x cey = ，2) x cey 1 =，3) x cexxy+ =)cos(sin 2 1 4) x cexy sin 1sin +=，5) nx xecy)(+= 6) 13( 33 +=xxy ，7) 42 ) 1() 1(2+=xxcy 8)02 3 及yycyx+=， 9) 1 , 0( , 1 1 +=a aa x cxy a ；)0( ,ln=+acxx；1, 1ln=+axxcx 10)01)1( 2 22 =+ycexy x 及，11)0, 4)ln21( 2 =+yxcxy 12) 22 cxxy+=，13，cex x y =+ 3 2 2 14 2222 2 )1 (cxeyxx y =+，15) x exy)1 (+= 21) k kxtgcy 2 1 2) )(1 ( +=，2) xx e y ln =，3) 2 4 12 x x y + = 4） 133 cos) 1ln( 23 + = xxx xx y 3.程序如下，图略 1）dsolve(diff(y(x),x)+2*x*y(x)-x*exp(-x2); = ( )y x + 1 2 x2_c1e e ()x2 plot(1/2*x2+1)*exp(-x2),x=-0.4.0.4,color=blue); 2)dsolve(x*diff(y(x),x)+3*y(x)-2/(x*(1+x2); = ( )y x + ()ln + 1x2_c1 x3 plot(ln(1+x2)+1)/x3,x=-1.1,color=blue); 4.设人体吸收葡萄糖得速率与血中葡萄糖得含量成比例得比例系数为 k, 设以常数 c 速率注 射，设任意时刻得葡萄糖得含量为 g(t),则t时间内 g(t+t)-g(t)=-k*g(t)* t+ct 则 得到微分方程：dg(t)/dt=c-k*g(t),g(0)=g0，解此微分方程得到：g(t)=c/k+e-kt(g0-c/k). 5.设任意时刻车间内的 co2的百分比为 x(t), x(t+t)-x(t)=0.05%*10*t-x(t)*10*t,x(0)=30*10*30*0.02%, 得到微分方程：x(t)=0.5%-10*x(t),x(0)=0.2%, 解此微分方程: x (t)=1/2000+3e-10t/2000 则 20 分钟后车间内的 co2的百分比为：x(20)=1/2000+3e-200/2000. 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 6. = ( )y x + d x0 x ()f u e e ()k u u y0 e e ()k x0 e e ()k x 0yx时， 7.显然 y1+p(x)y1=g1(x),y2+p(x)y2=g2(x)把 y=y1+y2代入得, 左边=y+p(x)y=y1+y2+p(x)y1+p(x)y2=g1(x)+g2(x)=右， 则 y1+y2是方程 y+p(x)y=g1(x)+g2(x)的解 8.证明： （1）方程的解是( ) xx yef x e dxc =+ ( )yp x dxc= + ，由题意，如果 y 是 周期解，即( )()y xy x=+，则带入就可以得到 0 ( )0p x dx = （2）方程的通解是 ( )( ) ( ) p x dxp x dx yeg x edxc =+ ，在题目给定的条件下，周期解应该 满足( )()y xy xt=+，代入到通解中，得到 () () p x t dx cg xt edx + = + ，代入回通解中验 证即得到结论。 9.证明：通解是( ) xx yef x e dxc =+ ，有界性用放缩法证明，如果有两个有界的解，那 么与解的存在唯一性矛盾，所以只能又一个有界解。周期性验证与上面一题相同，详细情况 参考书中例例 2.1.3 10.根据题目的提示： 1） 1 2101 2 3 1 6 1 23 1 3 + = x xxx ec ecece arctgy 2）024 4 22 =cxxxexe yy ，3） )( 2 2 x c x ey =，4）1 3 2 2 = cx x y 返回目录 习题答案习题答案2.2. 1 1) 222 )1)(1 (cxyx=+，2)0,ln=+ycxyyx 3),.1, 0,cossin=kkycxy4）cee yx = 2 32 3 5） cy x y =+ln1 ，6） 0ln2 293 ln 233 =+cyy yxxx 7)c x xy+= 2 2sin cos2，8)0 222 cos=+ c eyee x yyy 9) 0 22 =+cxxy，10) 0 3 4 ln5=+ + + c y x yx 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 11)0 2 21) 4 ( 2 cos2 1 2 =+ y tgc y tg y xtg，12)0)2cot( 2 )2ln(csc sin=+cy y x 13) x arctgec y + = 1 ，14)0ln=+cx x y arctg，15) 0ln=+cxe x y 16， 17， 18， 19 提示： 令分母， 分子分别等于零， 解出交点),( 00 yx， 做 00, xxxyyy=， 代回原方程，再令u x y =，求导代入即可化成变量可分离的方程 2. 1)3336276 3 1 2 23 +=xxxy,2) 12 1 2 2 2 = x e y，3） 032sin 232 =+yyxx 4） 4 2 2 +=arctgxyarctg5） 1 1 = x xey 3.1）0, 1 2 2 2 2 = + cce y y x 2） 2 1 2) 1( + = x cey，3）cxxy+=+3)1 ( 3 1 23 4）ct t arctgx+= 1 ，5）0,1 2 2 =+ccexx t 4.证明（略）方程解是1）2 22 +=yxcxy，2）cyx x y += 22 4 1 ln 5 x xf 2 1 )(= 6)0()( txtgtx= 7 2 sinyx cey =，代入y（0）0，则0y，存在区间是),(+ 8.证明：方程解是 + = x e y y )( 0 当 , 0y时 （1） 当0 0 y，极限是 ，当 =y时，是显然成立的 （2） 当0 0 =y，由解的唯一性知极限是“0” （3） 当, 0 0 y满足条件的 0 x是)1ln( 1 0 0 y x = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 9 解： 设任 一 时 刻b点 的 坐 标是),(yx， a点 的坐 标 是)0 ,(x， 则 由 题 意知 ： 222 )(byxx=+，且 xx y dx dy =，经过点), 0(b。联立有： y yb dx dy 22 =，解 得oyxbyx=+, 0, 222 且 103+=xy 111）8倍，2）1250个 12提示：温度变化率与温差成正比。23点视为零时刻，则方程为 0.934 282.8 t ce=+，而 人正常体温是36.5左右，代入可得1.2t = ，因此说明受害者的死亡时间是在22：20左右。 13假设一天服药n次，时间间隔为t，则在 0tt 方程是( ) kt x tae= 2ttt h:=0.1; := h.1 x0:=0; := x00 y0:=1; := y01 z0:=1; := z01 f1:=(x,y)-2*y+x3*exp(-2*x); 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m := f1 (), x y + 2 yx3e e ()2x f2:=(x,y)-3*x2*exp(-2*x)-2*x3*exp(-2*x)+2*(x3*exp(-2* x)-2*y(x); := f2 (), x y 3 x2e e ()2x 4 ( )y x for n from 0 to 9 do;x|(n+1):=h*(n+1); y|(n+1):=y|n+h*f1(x|n,y|n); z|(n+1):=z|n+h*f1(x|n,z|n)+h2*f2(x|n,y|n)/2; print(x|(n+1),y|(n+1),z|(n+1);od: ,.1 .8 + .7800000000.01500000000x2 ,.2 .6400818731 + .6080818731.02428096130x2 ,.3 .5126017545 + .4742001170.02947956973x2 ,.4 .4115631950 + .3705898499.03181583032x2 ,.5 .3321262614 + .2911163214.03219259872x2 ,.6 .2702995021 + .2308490249.03127227060x2 ,.7 .2227453967 + .1857790249.02953572966x2 ,.8 .1866545932 + .1526265879.02732753819x2 ,.9 .1596607763 + .1287052801.02489047832x2 ,1.0 .1397789100 + .1118212975.02239186598x2 5.只做第一题，其它类似 1） printlev1:=0; := printlev10 h:=0.1; := h.1 x0:=0; := x00 y0:=2; := y02 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m z0:=2; := z02 f1:=(x,y)-28*exp(4*x); := f1 (), x y28 e e ()4x f2:=(x,y)-28*exp(4*x)+3*(7*exp(4*x)-3*y); := f2 (), x y 49 e e ()4x 9 y for n from 0 to 9 do; x|(n+1):=h*(n+1); y|(n+1):=y|n+h*f1(x|n,y|n); z|(n+1):=z|n+h*f1(x|n,z|n)+h2*f2(x|n,y|n)/2; print(x|(n+1),y|(n+1),z|(n+1); od: ,.1 4.8 4.955000000 ,.2 8.977109154 9.281606205 ,.3 15.20862375 15.65440842 ,.4 24.50495113 25.07977638 ,.5 38.37344192 39.05903731 ,.6 59.06279900 59.83190825 ,.7 89.92769286 90.73965437 ,.8 135.9727038 136.7668576 ,.9 204.6637884 205.3496404 ,1.0 307.1388448 307.5813938 返回目录 答案答案2.7 1. 1)dy/dx=(y2-x2)/(2xy),所求得正交轨线满足微分方程：dy/dx=2xy/(x2-y2), 解该微分方程：0ln)ln(ln 2 22 =+ + cx x yx x y 2)dy/dx=-y/x,所求得正交轨线满足微分方程：dy/dx=x/y, 解该微分方程：0 22 =+cxy 3)dy/dx=xy/(x2-1),所求得正交轨线满足微分方程：dy/dx=(1-x2)/(xy), 解该微分方程：0ln2 22 =+cxxy 4) dy/dx=ylny/x,所求得正交轨线满足微分方程：dy/dx=-x/(ylny), 解该微分方程：0 4 1 ln 2 1 2 1 222 =+cyyyx 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2.dy/dx=(h(x,y)+tan)/(1-h(x,y)tan) 1) 满足与已知曲线族相交成45度角的曲线族满足如下的微分方程： dy/dx=3,解得：cxy+= 3 2) 满足与已知曲线族相交成45度角的曲线族满足如下的微分方程： dy/dx=(x-y)/(x+y),解得：0ln 2 ln 2 1 2 22 =+ + cx x xxyy 3) 满足与已知曲线族相交成45度角的曲线族满足如下的微分方程： dy/dx=-1-2/lnax,解得：c a axei xy+ += )ln, 1 (2 4) 满足与已知曲线族相交成45度角的曲线族满足如下的微分方程： dx/dy=(y+2*a)/(2*a-y),解得：cayayx=+)2ln(4 3.抛物线族满足的微分方程：dy/dx=2c1x，dy/dx=2(y-k)/x,椭圆曲线族满足的微分方程： dy/dx=-2x/(4y-1)；两者正交，则k=1/2。 4.两曲线族的所满足的微分方程为：dy/dx=-yn-1/xn-1，dy/dx=x2/y2，两者正交则n=3 5.给定的双曲线满足微分方程dy/dx=x/y,所求得曲线满足微分方程,dy/dx=(2x+y)/(2y-x), y(0)=1,解得：)45( 2 1 2 +=xxy 6.设物体下落过程中任意时刻的速度为v(t),则根据牛顿运动定律，我们得到微分 方程：mdv/dt=3mg/4-kv,由物体的极限速度为24m/s，我们得到k=mg/32,v(0)=0, 则我们解得：)1 (24)( 16 5t etv = ，v(3)=24(1-e-15/16) 7.设物体任意时刻的运动v(t)，根据牛顿运动定律，我们得到微分方程： 20dv/dt=10-v(t)/2,v(0)=7,我们得到： 20 310)( t etv = 8. .设物体任意时刻的运动v(t)，我们设t时刻物体到达最高点，我们仅仅考虑 （0,t）,根据牛顿运动定律，我们得到微分方程:10dv/dt=mg+kv2,根据题目中的条 件我们得到：k=2,v(0)=v0,我们得到： ) 10 2 2(25)( 0 v arctgttgtv+= 很容易我们就得到：v(t)=0,t=-arctan(v02/10)/ 2. 9.设任意时刻该人在银行的存款为也y(t),y(0)=20,000 满足微分方程： 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m dy/dt=y(1+t/7,210)365/t,我们得到： ) 14420 1( 20000)( t ety + = y(1095),y(t)=40000,很容易就求出。 10.先考虑前三年， 由上一题我们知道y(1095)(其中 ) 14420 1( 20000)( t ety + =),现考虑后 面4年，满足微分方程：dy/dt=y(1+3t/36500)365/t,dy(0)=y(4)=a 我们得到： t x aety ) 36500 3 1( )( + = 很容易我们就可以得到y(4). 11.设任意时刻的患病老鼠的数量为n(t),则根据题目的意思，我们得到如下方程： dn/dt=kn(500-n),n(0)=5,解得： kt e tn 5000 9991 5000 )( + = 12.设任一时刻无水部分的底面半径是)(tr.则 h hr tr=)(，由体积相等有： hravt 2 3 1 =，代入r，h对t求导有 2 2 2 1 22 r hgac h dt dh =，且0)0(=h 当hh =时，水放完。此时 g h ac r t 23 2 = 返回目录 答案答案 2 1 .1 ） x cyy 2 2 cos2 1 2 1 ln+=+，2）cx y x y x +=lnln) 1( 3）cxyxy=+ 333 3 1 2，4）cxxyy=+ 223 3 3 4 ， 5） t cttt q + = 55 25 1 ln 5 1 ，6) y cexy 2 4 3 2 1 =+ 21） 4 1 4 1 ln 2 1 22 = xx exeyyy，2）218 2 )( 4 =t t tx， 3） 4 2 ) 4 4 (541 + = x y，4） 4 )ln1 ( 1 xx y = 5） xy ee =+21 2 6）102cos 2 1 sin 2 3 22 =+rrr 31）0=+cet t x ，2） 2 3 1 sinct t +=，3）0 2 =+cet t x 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 4） 2 2 1 2 2 t ce t tg+=，5）0)ln(ln(=+cxtt 6） 2 1 22x cext+=，7）0)cossin2( 5 1 )(2 =+ +txt ettec 8）0)arcsin(=+ctxt，9）carctgxt= ) 1( 2 10）0 1 =+ + ct tx ，11）0 1 ln =+ + ct t x 12）0ln 2 1 2 1 ln=+cxtxtt，13）0 )1 ( 2 2 2 2 1 =+ + t cet e x t t 14） x eyx 222 =+，15）)2ln(txt=，16） 24 1 4 1 2 t e t ex = 17） 2 1sin t e=，18） 4 2 arcsin 2 t tx = 19） 1 = xy yex，20）) 1)(2( 22 += tcttx 41）cyyxyx=+ 32 3 2 3，2）cxey y = 3）c x y arctgyx=+ 22 ln，4）cxxyyx=+ 22 5) 2 1 22y ceyx=+，6) cxyx=+ cos 2 ，7) cyxyx=+ 22 8) cexyx y =+ 3 3 1 ，9) xx ceey=+ 2 ) 1(，10)233 33 +=+xxyy 11) cxy= 2 sinsin，12) 0 2 =+c y x arctg y x ，13)cyxyx=+ 222 2 14) cxyx+= 2 sin2cossin2，15)cxxyxy=+ 33 2，16) 2xy ey = 17) x yx cxey 1 2 + =，18)12 323 =+ xyyx 5程序如下，只给出1题，其他类似（图略） 1） detoolsdfieldplot (diff(x(t),t)=t2/(1-t2-x(t)2),x(t),t=-2.2,x=-2.2,d irgrid=9,9,arrows=line,axes=normal); 下面的程序是求方程的解 dsolve(diff(x(t),t)-x(t)*sin(t)-2,implicit); 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m = ( )x t + e e ()( )cos t d 2 e e ( )cos t te e ()( )cos t _c1 61） xx eey 23 2=，2） 271874 18690048 1 29952 1 144 1 4 1 xxxxy+=（迭代） 71)提示：picard 迭代法，2)4)1ln(2 22 +=xy 8. 答案：0.0007s 9解：设比例常数是 k，由题意知微分方程是： ax p k axd dp = )( ，解为： k axcp)(= 10.显然 2 小时后，容器中的液体将变为零，则我们考虑的时间段为0，120，设任意时刻的 盐水的含盐量为 g(t),则此时的浓度为：g(t)/(60-0.5t),即求出 g(t)即可. 由题意知：g(t+t)-g(t)=3*2*t-2.5*t*g(t)/(60-0.5t), 则：g(t)=6-5g(t)/(120-t), g(0)=0 解得：t t tg 2 3 180 138240000 )120( )( 2 + = 11. 设任 意时 刻 的 溶液 的 浓 度为 平 p(t),根 据 题 目的 意 思 ，我 们 得 到微 分 方 程 ： dt dp =(5-2p(t)*(4-p(t),p(1)=0.5,解得： 814 3235 )( )1(3 )1(3 = t t e e tp 12.解：设电容上电压任意时刻为 u(t),根据电学定律，我们得到微分方程： cr u dt du = 解得： rc t eeu = 13. k 为比例系数，答案：whlt h wl ktv2 2 )(2+= 14.提示：设 z 代表信息（这里数量化） ，y 代表广告。则购买者人群的变化率为： zkyk dt dx 21 +=，这里只是其中一种假设。 15.解：每 t 时结算一次，则存款为350 1500ur=，连续计算就是t 。 16 （1）350 1500ur=， （2）125 度 （3）423.9 卡 17.有条件可参看数学建模（周义仓，赫孝良西安交通大学出版社）75 页例 9 返回目录返回目录 答案答案3.1 1. 求解下列方程 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （1） 2 2 1 1 2 cxecy x += （2）tctccc t tx2cos) 1( 8 1 )1 ( 4 )( 1321 2 += （3） 2 2 2 11 2 2)(cactcttx+= （4） 3 2 2 2 11 8 3 4 1 2cos 8 1 2cos 6 1 )(cttctctcttx+= （5） 3 1 21 22 )()(c c ctc txctx+ =或 （6） 9 23 3 5 9 4 )( 2 3 +=tetx t 2. 求下列方程的解 （1） 21 1 1 1 )()( cce ec txctx tc tc + =或 （2） 1 2 22 2 2)(cctcttx+= （3） 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )()( c e e c c e c c e c t t t t etxetx =或 （4）x(t)=c 2dcostwd+c1dsintwd （5） wc wt wt wc wt wc wc wt we ec e e we ec e e tx 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 )( 2 1 )( ）（ 或 = （6）tcx c x c 2ln 1 2 2 1 21 =+ （7）) 4 1 2()( 1 2 22 2 cctctintx+= （8） tcc cct ee ec tx 12 21 22 )( 1 4 4 )( = + （9） 21 1 1)()( ctc txctx + =或 （10） += + += = x t x dx xp x x dx dp dt dx p 6/ 1 )2/3ln(2)sin1ln( ),2/3ln(2)sin1ln( , cos sin1 , 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 3. 求下列方程的解 （1）1.) 5*33 (.) 4*22 1 ()( 53 2 42 1 += tt tc tt ctx （2） tc t e ce txtx 1 3 2 )(0)(=或 （3） 5 8 2 5 1 25 8 5 1 )(0)(tceetxtx tc =或 （4） 21 22 sin22ctctttxx+= （5） 32 2 1 3 3ctctcxtx+=+ （6）0) 2 2 (2 2 1 211 2 =+cxcarctgct （7） tc t e ce txtx 1 2 5 2 4 )(0)(=或 （8） 2 1 1 2 1 2 arctan) 1 (c c t tc c tx+= （9）tctctxtx 2 2 1 22)(0)(+=或 （10） 42 21 2 6 1 ttccx+= 4提示：设物体距地面高度是 h，g 为引力常数，r 为地球半径，由牛顿定律知 dt dv m hr gmm = + 2 )( ，且知道v dt dh =，gm=g 2 r则联立可解 5，解：设质点的质量是 m，速度是 v，则 v（0）0，由牛顿第二定律知 dt dv mkvmg=,其中 k0 为比例系数 解得：)()1 (tve k mg m kt = 返回返回 答案答案3.2 1.0).(a )5)(1().(rreb rt ttccos6sin4).( 1025).( 2 ttd 2.证明：)()()()( 0 2 0 2 txcldssxscdsscxstcxl tt = )()( 21 0 1 2 0 1 2 0 21 2 0 21 2 21 xlxldsxsdsxsdsxxsdsxxsxxl tttt +=+=+=+=+ 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 3.022222)(2)( 2222 =+=tttltlttltyl 2 2tt是方程的解 4. a).设, 064 2 =+=xtxxtxl n 06126)( 3333 1 =+=ttttltl 在, 0 +上， 3 2 )(tt =，显然0)( 2 =tl 在 0 , +上， 3 2 )(tt=，显然06126)( 333 2 =+=ttttl 所以： 1 和 2 在区间),(+上是方程的解。 b).用反证法，假设存在恒等式0)()( 2211 +tctc， 当时，0t 21 3 2 3 1 0cctctc=+， 当时，0o 或者 p0 且qp4 2 with (detools): odetest(soll，eq，x(t) )；其中 soll 代表方程的解 eq 代表方程 x(t)未确定函数 把题中的函数代入 可以见到 输出的是“0” ，即是方程的解 17.参见书中例 3.5.1 18.18. (1) sin2 2 2 =s dt xd m 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (2) 02 0 2 2 =+ b x s dt xd m (3) bm s0 2 0 2 = 19 提 示 ： 应 用 光 学 原 理c v = sin ， 能 量 守 恒mgymv = 2 2 1 ， 可 以 得 到 0)0() (1 2 =+ycyy，且 ，答案是 = = )cos1 ( )sin( ay ax ，圆滚线（摆线） 返回返回 答案答案4.1 1 (1) 是线性的 (2) 是非线性的 (3) 是非线性的 2矩阵形式为: + = t txx 0 )( 99 10 3 = )( )( )( )( 4 3 2 1 tx tx tx tx x + = 5 0 0 0 )( 0)(0 1000 0100 0010 2 tx ete tt 初值为 = 5 4 3 2 ) 1 ( x 4代入验证即可（略） 5(1) 解:令ytyxtxxtx=)(, )(,)( 121 则对应的一阶微分方程组为: += = += 3)(5)(2)( )()( )(2)()( 12 2 2 1 12 1 tytxtx txtx tytxty 初始条件:1)0(, 0)0(, 0)0( 121 =yxx (2) 解:令)(,)(, )(,)( 2121 ytyytyxtxxtx= 上述方程对应的方程组为: =+= += = = ttytytxty etytyxxtx tyty txtx t cos)(3)(2)(15)( )(5)(6)(7)( )()( )()( 211 2 211 2 2 1 2 1 初始条件为:1)0(, 0)0(, 1)0(, 1)0( 2121 =yyxx 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (3)解:令)(,)(, )(, )(,)( 21321 ytyytyxtxxtxxtx= 上述方程对应的方程组为: = += += = = )()( )()()()(sin)( 1)()()()( )()( )()( 2 1 2 112 2 213 3 3 2 2 1 tyty ttytxtxtty ttytxttxtx txtx txtx 6解:设 += t t dssfxsaxtx 0 )()()( 0011 + = t t ds 01 0 01 10 1 0