三角函数的值域与最值教师版资料.doc

教师版 All Rights Reserved 第 1 页 共 6 页 教师姓名教师姓名郭鹏学生姓名学生姓名刘晓航填写时间填写时间 年级年级高一升高二学科学科数学上课时间上课时间 阶段阶段基础（基础（ ） 提高（提高（ ） 强化（强化（ ）课时计划课时计划 第（第（ ）次课）次课 共（共（ ）次课）次课 教教 学学 目目 标标 1会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值； 3通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方 法在解决三角最值问题中的作用。 教学教学 重难点重难点 重点：求三角函数的最值与值域 难点：灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域 教教 学学 过过 程程 一、知识检测一、知识检测 1在下列说法中：（1）函数的最大值为 3；（2）函数最小值是 4；（3）函数xysin2x x y 2 2 sin sin 4 的值域是 ；(4)存在实数，使得成立正确的是 （ ） x y cos 1 1,0)(0,1x 1 tan2 tan x x A （1） （2） B （2） （4） C （1） （3） D （1） （4） 2函数的值域为（ ） 3 2 , 6 ,sin xxy A1，1 B C D 1 , 2 1 2 3 , 2 1 1 , 2 3 3函数的最大值为 ，最小值为 xxy2cos2sin 4 _时，函数的最大值为_x) 4 sin() 4 sin( xxy 5函数的值域为 2 sinsin1yxx 6函数（为常数，且）的最大值是 1，最小值是，则函数的最bxaycosba,0a7xbxaycossin 大值是_. 二、互动平台二、互动平台 （）简单三角函数的值域）简单三角函数的值域 【例例 1】 1. 求下列三角函数的值域. （1） （2）xysin 3 2 , 6 ,sin xxy 2. 若函数的最大值是 1，最小值是，求、.cosyaxb7ab 教师版 All Rights Reserved 第 2 页 共 6 页 小结小结：求基本三角函数值域，一定要结合三角函数的图像，故切记正、余弦函数的图像. （）与三角函数有关的复合函数的值域）与三角函数有关的复合函数的值域:型函数的值域)cos(),sin(xAyxAy 【例例 2】 4 , 0), 4 2sin(2 xxy 【例例 3】 求函数的值域, 0,cossinxxxy 小结小结：对于的最大值为，最小值为，若，hxAy)sin(hA hA hxAy)sin( ，先由求出的范围，然后结合图像求出，即由内而外逐层求值域,bax,baxx （）引入辅助角法：）引入辅助角法： 类型一类型一：型.（此类型通常可以可化为求其最值（或值域）.）xbxaycossin 22 sincos()yaxbxabx 【例例 4】 求函数（）的最值.) 3 sin() 6 sin( xxyRx 解法解法: ，) 12 sin(2 4 ) 6 sin(2) 6 cos() 6 sin( xxxxy 函数的最大值为，最小值为.22 类型二类型二：型. 形如这种类型的，可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整)0(cossinsin 2 acxxbxay 理为型再利用辅助角公式求出最值.sin2cos2yAxBx 【例例 5】求函数的最值，并求取得最值时 x 的值.) 24 7 4 (cossin4sin3cos35)( 22 xxxxxxf 解：x xx xf2sin2 2 2cos1 3 2 2cos1 35)( 332sin23cos32xx 33) 6 2cos(4 x ， ， 24 7 4 x 4 3 6 2 3 2 x 2 1 ) 6 2cos( 2 2 x 的最小值为，此时，无最大值.( )f x2233 24 7 x( )f x 【例例 6】 ）求函数的值域.)cos3)(sin3(xxy 教师版 All Rights Reserved 第 3 页 共 6 页 方法小结方法小结：求只含有，的函数的最值问题，通常方法是换元法：令 (sincosxxsin cosxxsincosxxt )，将转化为 的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量22t sin cosxxt 的取值范围. 小试身手小试身手 已知：求的最大值及此时的集合 213 sincos1 22 sin yxxxxR，yx 分析分析 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xcxxbxay 22 coscossinsin 型求解.xbxaycossin max 1 1 cos23 sin2 1 2222 135 cos2sin2 444 1 135 cos2sin2 2 224 15 sin 2 264 7 22,. 6264 xx y xx xx x xkxkkzy 解： 小试身手小试身手 1.已知函数，直线 xt（t）与函数 f(x)、g(x)的图像分别xxf2sin)( )cos(2) 6 g xx 0, 2 交于 M、N 两点，则|MN|的最大值是多少？ 2. 求函数的值域.xxxxy 22 cos6cossin3sin5 3. cos2cosyxx 4. 求函数的值域.xxxxycossincossin （）配方法）配方法：型。此类型可化为在区间上的)0(sinsin 2 acxbxay)0( 2 acbtaty 1 , 1 最值问题. 【例例 6】求函数（）的最值.1sin3cos2xxyRx 解： 4 9 ) 2 3 (sin1sin3sin1 22 xxxy 函数的最大值为，最小值为 4 9 4 325 【例例 8】求函数（，）的最大值.1sin3cos2xaxyRaRx 教师版 All Rights Reserved 第 4 页 共 6 页 解解：转化为1sin3cos2xaxy 2 sin3 sin2yxax 配方得配方得： 2 4 3 ) 2 3 (sin 22 aaxy 当，即时，在 sinx=1，1 2 3 a 3 32 a13 max ay 当时，即时，在 sinx=1，1 2 3 a 3 32 a13 max ay 当，即时，在时，1 2 3 1a 3 32 3 32 aax 2 3 sin2 4 3 2 max ay 综上： 2 max 2 3 31() 3 32 32 3 2() 433 2 3 31() 3 aa yaa aa 小结小结：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数，进而转化为二次函数在某个区间上的值域cbtaty 2 问题，但一定要注意新元的范围. 小试身手小试身手 1. 函数的值是多少？ 2 2 ( )sin2cos, 1, 3 f xxx 在区间上的最大值为则 2. 求函数的最值.5sincos2yxx 分分 析析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角 函数的名和角达到统一. 2 22 min max 533 5sin1 2sin2sin5sin12 sin 48 8133 1sin1,sin1 ,2,26 2168 133 sin1 .2,24 2168 yxxxxx xxxkkzy xxkkz y 解： 3. 设，用表示的最大值 2 0 2 1 4 sincos2 x a xaxxfa f x M a . 解解：令 sinx=t,则 . 2 1 4 sinsin 2 a xaxxf, 10 t . 2 1 4422 1 4 2 2 2 aaa t a attxftg 教师版 All Rights Reserved 第 5 页 共 6 页 （1）当，即在0，1上递增， 1 2 a tga, 2 ; 2 1 4 3 1 a gaM （2）当即时，在0，1上先增后减，, 1 2 0 a 20 atg ; 2 1 442 2 aaa gaM （3）当即在0，1上递减，, 0 2 a tga, 0 . 42 1 0 a gaM 0, 42 1 2 0 , 2 1 44 2, 2 1 4 3 2 a a a aa a a aM 3. 求函数在区间上的值域.xxysin22cos 4 , 4 （）数形结合）数形结合: 型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为 dxc bxa xf cos sin )( 再利用辅助角公式求其最值；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值.cxbxacossin 【例例 9】求函数的值域 sin cos2 x y x 解法解法 1 1：将函数变形为 sin cos2 x y x cossin2yxxy 由， 2 2 sin() 1 y x y 2 |2 | |sin()|1 1 y x y 22 (2 )1yy 解得：，故值域是 33 33 y 33 , 33 解法 2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx, sinx)与定点 Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过 Q 点的直线与单位圆 相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过 Q 的两切线 sin cos2 x y x 得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是. 3 3 3 3 33 , 33 课课 后后 作作 业业 x Q P y O 教师版 All Rights Reserved 第 6 页 共 6 页 1.函数xxycos3sin在区间0, 2 上的最小值为 2.函数)(2cos 2 1 cos)(Rxxxxf的最大值等于 3.函数tan() 2 yx ( 44 x 且0)x 的值域是_ 4.当 2 0 x时，函数 x xx xf 2sin sin82cos1 )( 2 的最小值为 1函数)( 6 cos() 3 sin(2Rxxxy 的最小值等于_ 2当0 4 x 时，函数 2 2 cos ( ) cos sinsin x f x xxx 的最小值是_ 3函数 sin cos2 x y x 的最大值为_，最小值为_. 4函数costanyxx的值域为 . 5已知函数( )2sin(0)f xx在区间, 3 4 上的最小值是2，则的最小值等于_ 6已知函数( )2cos (sincos ) 1f xxxxxR， （）求函数( )f x的最小正周期； （）求函数( )f x在区间 3 84 ，上的最小值和最大值 7. 已知函数的定义域为，0，值域为5，1，求 2 2