（电路与系统专业论文）混沌理论分析及在保密通信中的应用研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

西北工业人学硕 卜 学位论文摘要 摘要 混沌以其拥有的诸多天然优良特性而倍受关注， 并在很多领域得到了 广泛和成功的应用。通过对混沌系统的分析研究，可以更好地把握混沌的 特性， 为应用混沌打下坚实的理论基础; 控制混沌是混沌走向应用的前提， 研究混沌的控制，可以为应用棍沌提供更多的技术支撑。本文以混沌在保 密通信中的应用为研究背景， 对计算混沌系统特征参数的方法和控制混沌 的方法作了深入的分析研究。本文的主要内容如下: 1 ，研究了混沌系统各种特征参数的典型计算方法。鉴于由小数据量 方法计算的最大l y a p u n o v 指数具有随潜入维数的变化有明显波动的缺点， 本文提出了用c - c方法同时回归出潜入维数m和时间延迟t 的改进方法， 计算机仿真结果表明了该改进方法的正确性和有效性。 2 .给出了在一般信号驱动下混沌控制的三种典型方法，即自适应控 制方法、采样数据反馈控制方法和滑模变结构控制方法。 针对现有自适应 控制方法中存在的控制器不连续的缺陷， 提出了在分母上增加指数项的改 进方案，计算机仿真结果表明了该改进方法的有效性。 3 ，对在混沌信号驱动下的混沌控制即混沌同步问题，给出了基于状 态观测器的混沌同步控制和基于锁相环的混沌同步控制方法， 并对基于锁 相环的混沌同步算法的鲁棒性进行了深入分析和理论研究， 作出了新的理 论结论。 4 .研究了混沌在现代密码学中的应用，通过实例验证了混沌信号作 为密钥的可行性和高可靠性。 介绍了基于锁相环和混沌不稳定周期轨道的 两种混沌保密通信方法。理论上论证了混沌信号用于保密通信的可行性。 关键词】 :特征参数 混沌控制 混沌同步 通信密钥 保密通信 西北 l _ 业大学4 i ! l 学位论文a3sr r , 八 c t a b s t r a c t c h a o s h a s b e e n p a i d w i d e a t t e n t i o n b e c a u s e o f i t s s o m e g o o d i n t r i n s i c p r o p e r t i e s , s u c h a s w i d e - b a n d f r e q u e n c y , s i m i l a r i t y t o n o i s e a n d e x t r e m e l y s e n s i t i v i t y t o i n i t i a l c o n d i t i o n , a n d i t h a s b e e n w i d e l y a n d s u c c e s s f u l l y a p p l i e d t o m a n y a r e a s . a n a l y z i n g c h a o t i c s y s t e m a n d r e s e a r c h i n g c h a o s c o n t r o l , w h i c h i s t h e p r e m i s e f o r t h e a p p l i c a t i o n o f t h e c h a o s , c a n m a k e u s k n o w m o r e s p e c i a l p r o p e r t i e s o f t h e c h a o s . s o m e m e t h o d s o f c o m p u t i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s o f t h e c h a o t i c s y s t e m a n d s o m e m e t h o d s o f c o n t r o l l i n g t h e c h a o s f o r t h e s e c u r e d c o m m u n i c a t i o n a r e p r e s e n t e d i n d e t a i l . t h e m a i n c o n t r i b u t i o n s o f t h i s d i s s e r t a t i o n a r e a s f o l l o ws : 1 . a l l k i n d s o f t y p i c a l m e t h o d s o f c o m p u t i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s o f t h e c h a o s a r e p r e s e n t e d a t l e n g t h . a i m i n g a t t h e d e f a u l t o f t h e s m a l l - s e t m e t h o d s w h o s e r e s u l t s a r e v a r i e d o b v i o u s l y w i t h t h e v a r i a t i o n o f t h e e m b e d d i n g d i m e n s i o n , w e c o m p u t e r j o i n t l y t h e e m b e d d i n g d i m e n s i o n a n d t i m e d e l a y b y u s i n g t h e f a m o u s c - c m e t h o d s . t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t t h e i m p r o v i n g m e a s u r e s a r e c o r r e c t a n d e f f i c i e n t . 2 . t h r e e t y p i c a l m e t h o d s o f c o n t r o l l i n g c h a o s w h e n t h e c h a o t i c s y s t e m s a r e d r i v e n b y a c o m m o n s i g n a l a r e d i s c u s s e d a t l e n g t h f i r s t l y , n a m e l y a d a p t i v e m e t h o d , s a m p l e d d a t a f e e d b a c k m e t h o d a n d m o v i n g s u r f a c e m e t h o d . we p r e s e n t e d t h e i m p r o v i n g m e a s u r e s o f t h e a d a p t i v e m e t h o d a n d t h e m o v i n g s u r f a c e m e t h o d r e s p e c t i v e l y . 3 . me t h o d s b a s e d o n t h e o b s e r v e r a n d b a s e d o n t h e p h a s e - l o c k e d l o o p s a r e d i s c u s s e d c o m p r e h e n s i v e l y i n t h i s d i s s e r t a t i o n w h e n t h e c h a o t i c s y s t e m s a r e d r i v e n b y a c h a o t i c s i g n a l . e s p e c i a l l y w e r e s e a r c h e d t h e r o b u s t n e s s o f t h e m e t h o d b a s e d o n t h e p h a s e - l o c k e d l o o p s d e e p l y , a n d n e w t h e o r y o n c o m p u t a t i o n r o b u s t n e s s p r e s e n t e d . 西_i七 工业人学硕卜 学位论文abs tra ct 4 . t h e t y p i c a l a n d s u c c e s s f u l a p p l i c a t i o n s i n t h e m o d e r n c r y p t o l o g y o f t h e c h a o s a r e d i s c u s s e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n , a n d t h e s i mu l a t i o n r e s u l t s s u b s t a n t i a t e t h e f e a s i b i l i t y a n d t h e h i g h r e l i a b i l i t y o f t h e c h a o t i c k e y w i t h a c o n c r e t e i n s t a n c e . t w o s e c u r e d c o m m u n i c a t i o n d e s i g n s , o n e b a s e d o n p h a s e - l o c k e d l o o p s a n d a n o t h e r b a s e d o n t h e u n s t a b l e p e r i o d i c t r a j e c t o r y o f t h e c h a o s , a r e d i s c u s s e d c o mp r e h e n s i v e l y . t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t a p p l y i n g t h e c h a o s i n t h e s e c u r e d c o m m u n i c a t i o n i s v e r y e f f e c t i v e i n t h e o r y . k e y w o r d s : c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s c h a o s c o n t r o l c h a o s c y n c h r o n i z a t i o n c o mmu n i c a t i o ns e c u r e d c o mmu n i c a t i o n t o 西北工业大学硕士学位论文第一章 绪论 第一章 绪论 1 . 1混沌学综述 “ 在巴 西的蝴蝶拍打翅膀会引发得克萨斯州的 一场龙卷风吗?， ， 这个有趣 的话题完全可以用混沌学理论来回答。一般认为混沌学是非线性科学的一个主 要分支。混沌学研究所涉及的一些概念和范畴，涉及现代科学逻辑体系的根本 性问 题，己经并将继续深刻影响人们的思维方法。 在上个世纪6 0 年代， 混沌之父一 美国气象学家e . n . l o r e n z 在做天气预报理 论方面的开拓性试验时发现，一个由确定的三阶常微分方程组所描述的大气对 流模型在一定的参数范围内，当初始条件做很小的变动时，在可预见的时间范 围内 其结果却变得毫无相似可言。这就是后来被称之为 “ 蝴蝶效应”的混沌现 象。这一结果揭示了天气预报的短期可预测，长期不可预测性。这也正是所有 类似于大气对流的混沌系统所共有的特征。由于大气对流的 “ 蝴蝶效应” 特性， “ 在巴西的蝴蝶拍打翅膀完全会引发得克萨斯州的一场龙卷风” ，当然前提条件 是任何其它的影响都可忽略不记。 通过长期反复的数值实验和理论思考， l o r e n z 揭示该现象的真实意义，道出了它的本质。1 9 6 3年在他的一次演讲中第一次用 到了“ 混沌”一词。由于他的开创性研究成果和对混沌学所作出的卓越贡献， 而被誉为混沌学之父。 接下来， 在混沌学各个时期和各个方向的研究中，以 下几个名字是经常出 现的， 许多混沌参数和专业术语都是以 他们的名字命名的。1 9 0 3年， 法国 科学 家庞加莱( h . p o i n c a r e ) 提出了 著名的 研究混沌的庞加莱截面法; 1 9 5 4 年， 苏联 概 率 大 师 柯尔 莫哥 洛夫( k o lm o g o r o v ) 提出 了 著名的k o l m o g o r o v 嫡概 念: 1 9 7 1 年，法国数学物理学家d . r u e l l e 发现了第一条通向混沌的道路，并提出吸引子 的概念;1 9 7 5 年，美籍华人李天岩和美国数学家约克 ( y o r k e )联合发表了震撼 整个学术界的论文 周期三蕴涵着混沌 ，给出了混沌的第一个定理性的定义， 西北工业大学硕士学位论文第一章 绪论 第一章 绪论 1 . 1混沌学综述 “ 在巴 西的蝴蝶拍打翅膀会引发得克萨斯州的 一场龙卷风吗?， ， 这个有趣 的话题完全可以用混沌学理论来回答。一般认为混沌学是非线性科学的一个主 要分支。混沌学研究所涉及的一些概念和范畴，涉及现代科学逻辑体系的根本 性问 题，己经并将继续深刻影响人们的思维方法。 在上个世纪6 0 年代， 混沌之父一 美国气象学家e . n . l o r e n z 在做天气预报理 论方面的开拓性试验时发现，一个由确定的三阶常微分方程组所描述的大气对 流模型在一定的参数范围内，当初始条件做很小的变动时，在可预见的时间范 围内 其结果却变得毫无相似可言。这就是后来被称之为 “ 蝴蝶效应”的混沌现 象。这一结果揭示了天气预报的短期可预测，长期不可预测性。这也正是所有 类似于大气对流的混沌系统所共有的特征。由于大气对流的 “ 蝴蝶效应” 特性， “ 在巴西的蝴蝶拍打翅膀完全会引发得克萨斯州的一场龙卷风” ，当然前提条件 是任何其它的影响都可忽略不记。 通过长期反复的数值实验和理论思考， l o r e n z 揭示该现象的真实意义，道出了它的本质。1 9 6 3年在他的一次演讲中第一次用 到了“ 混沌”一词。由于他的开创性研究成果和对混沌学所作出的卓越贡献， 而被誉为混沌学之父。 接下来， 在混沌学各个时期和各个方向的研究中，以 下几个名字是经常出 现的， 许多混沌参数和专业术语都是以 他们的名字命名的。1 9 0 3年， 法国 科学 家庞加莱( h . p o i n c a r e ) 提出了 著名的 研究混沌的庞加莱截面法; 1 9 5 4 年， 苏联 概 率 大 师 柯尔 莫哥 洛夫( k o lm o g o r o v ) 提出 了 著名的k o l m o g o r o v 嫡概 念: 1 9 7 1 年，法国数学物理学家d . r u e l l e 发现了第一条通向混沌的道路，并提出吸引子 的概念;1 9 7 5 年，美籍华人李天岩和美国数学家约克 ( y o r k e )联合发表了震撼 整个学术界的论文 周期三蕴涵着混沌 ，给出了混沌的第一个定理性的定义， 西北工业大学硕士学位论文第一章 绪论 这就是著名的.l i_ y o r k e 定理; 1 9 7 8 - 1 9 7 9 年， 费 根 刨母 ( f e i g e n b a u m ) 在研 究 倍周 期分 叉 通向 混 沌的 过 程中 发 现了 著 名的f e ig e n b a u m常 数， 并 给出 了 一 条 走 向混沌的具体道路; 1 9 8 0 年， 法国 数学家曼得布罗特 ( ma n d e l b r o t ) 用计算机绘 出了 世界上第一张m a n d e lb r o t 集的 混 沌图 像; 1 9 8 3 年， g r a s s b e r g e r , p r o c a c c i a 首次利用相空间重构的方法从实验数据中获得了混沌系统的统计特征量，如分 数维、 l y a p u n o v 指数和k o l m o g o r o v 嫡 等， 并提出了 著名的g - p 算法; 从 而使 混 沌理论进入实用阶段。近年来，美籍华人陈关荣、我国学者郝柏林、丁名洲、 卢火、吕金虎、关新平等对混沌学的发展都作出了杰出的贡献。 目 前混沌学的研究主要集中在以 下几个方面:发现新的混沌系统;对混沌 系统本身特性的研究，以 便更好的了 解混沌和应用混沌; 对混沌系统的控制研 究，用来消除由 于混沌的存在而给我们带来的危害;对两个混沌系统同步的研 究，它是混沌用于保密通信的前提;混沌系统的应用研究，比 较成熟的研究有 混饨序列用作通信密钥和利用混沌同步进行两点间的保密通信等。 经过数代人不懈的探索与发现， 如今， 混沌的诞生已 被认为是2 0 世纪物理 学的三大成就之一，可以说 “ 相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想;量子 力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦:而混沌则消除了拉普拉斯关于 决 定 论 式可 预测性的 幻 想” lr l 。 正 如混 沌 科学的 倡导 者 之一， 美国 海军 部官 员 m . s h l e s i n g e r 所 说的 那 样“ 2 0 世 纪 科 学 将 永 远 铭记 的 只 有 三 件 事， 那 就是 相 对 论，量子力学与混沌” ，它在整个科学中所起的作用相当于微积分学在 1 8世纪 对数理科学的影响。混沌学的创立，将在确定论和概率论这两个科学体系之间 架起桥梁，它将揭开物理学，数学乃至现代科学发展的新篇章。 1 . 2研究混沌的目的和意义 大量的研究表明混沌无处不在，广泛存在于人们的科研、学习和生活中， 无论是从消除还是利用它的角度来看，我们都要严肃的正视它的存在。 经过近 儿十年的发展，尤其是最近十几年的迅猛发展，人们己 经逐渐改变了对混沌运 西北工业大学硕士学位论文第一章 绪论 这就是著名的.l i_ y o r k e 定理; 1 9 7 8 - 1 9 7 9 年， 费 根 刨母 ( f e i g e n b a u m ) 在研 究 倍周 期分 叉 通向 混 沌的 过 程中 发 现了 著 名的f e ig e n b a u m常 数， 并 给出 了 一 条 走 向混沌的具体道路; 1 9 8 0 年， 法国 数学家曼得布罗特 ( ma n d e l b r o t ) 用计算机绘 出了 世界上第一张m a n d e lb r o t 集的 混 沌图 像; 1 9 8 3 年， g r a s s b e r g e r , p r o c a c c i a 首次利用相空间重构的方法从实验数据中获得了混沌系统的统计特征量，如分 数维、 l y a p u n o v 指数和k o l m o g o r o v 嫡 等， 并提出了 著名的g - p 算法; 从 而使 混 沌理论进入实用阶段。近年来，美籍华人陈关荣、我国学者郝柏林、丁名洲、 卢火、吕金虎、关新平等对混沌学的发展都作出了杰出的贡献。 目 前混沌学的研究主要集中在以 下几个方面:发现新的混沌系统;对混沌 系统本身特性的研究，以 便更好的了 解混沌和应用混沌; 对混沌系统的控制研 究，用来消除由 于混沌的存在而给我们带来的危害;对两个混沌系统同步的研 究，它是混沌用于保密通信的前提;混沌系统的应用研究，比 较成熟的研究有 混饨序列用作通信密钥和利用混沌同步进行两点间的保密通信等。 经过数代人不懈的探索与发现， 如今， 混沌的诞生已 被认为是2 0 世纪物理 学的三大成就之一，可以说 “ 相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想;量子 力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦:而混沌则消除了拉普拉斯关于 决 定 论 式可 预测性的 幻 想” lr l 。 正 如混 沌 科学的 倡导 者 之一， 美国 海军 部官 员 m . s h l e s i n g e r 所 说的 那 样“ 2 0 世 纪 科 学 将 永 远 铭记 的 只 有 三 件 事， 那 就是 相 对 论，量子力学与混沌” ，它在整个科学中所起的作用相当于微积分学在 1 8世纪 对数理科学的影响。混沌学的创立，将在确定论和概率论这两个科学体系之间 架起桥梁，它将揭开物理学，数学乃至现代科学发展的新篇章。 1 . 2研究混沌的目的和意义 大量的研究表明混沌无处不在，广泛存在于人们的科研、学习和生活中， 无论是从消除还是利用它的角度来看，我们都要严肃的正视它的存在。 经过近 儿十年的发展，尤其是最近十几年的迅猛发展，人们己 经逐渐改变了对混沌运 西北工业大学硕士学位论文 第一幸 绪论 动的不稳定性、不可控性及不可靠性的陈见，开始逐步认识到混沌的重要作用， 并开始研究混沌和利用混沌。 从混沌动力学自 身发展的逻辑看，混沌的研究大体经历了三个阶段。先是 从有序到混沌，研究混沌产生的条件、机制和途径;再是混沌中的有序，研究 混沌中的普适性，统计特征和分形结构等。现在则是从混沌到有序，主动驾驭 混沌到达有序。在这种意义上，可以认为控制混沌是混沌理论走向应用的第一 步， 控制混沌可以 在混沌运动有害的时候消除混沌，在需要混沌的时候产生混 沌。这是因为在许多场合，混沌可能是一种不期望出现的现象，它可能导致震 荡或无规则运行， 使系统彻底崩溃。所以 混沌的控制主要是对混沌这种复杂， 麻烦现象的抑制。 然而混沌控制如果仅仅追求混沌抑制这样的目 标， 将会使得 混沌吸引子中丰富的内 涵变的毫无疑义。更重要的是控制混沌可以利用混沌有 益的一面。 众所周知，混沌态包含有无穷多不稳定的周期轨道，这些周期轨道都是混 沌系统的一个解。 任给一个初始条件，系统不会自 动运动到这些轨道上去，即 系统在自 身运动中实现这些周期运动的概率为零。但系统一旦处于这些轨道上， 即使在没有外力的影响下，它也能在这些轨道上继续运行。又由于混沌系统的 各态历经性及系统演化状态对初始值的极端敏感性，我们可以利用微小的扰动 能量， 控制混沌在众多周期轨道之间进行切换， 这一点令一般的非线性系统望 尘莫及，这是混沌控制的一个独特之处。 将一个稳定周期系统从一个周期态驱 动到另一个周期态，人们必须用足够大的外力将系统从旧态转换到新态，也就 是将系统改造成能容纳新态的新系统， 这需要消耗足够的能量或付出别的 代价， 而对于混沌系统则不然，由于它本身的独特性质， 利用极小的 控制代价就可以 在原系统的框架下实现这种转换。 例如美国宇航总署 ( n a s a ) 的 科学家们使用 非常小的残余氢燃料把一个i s e e - 3 / i c e飞行装置送到约8 0 0 0 k m之外，从而实 现了“ 第 1次科学彗星的对接” 。他们指出， “ 这一项功绩归 咎于天体力学中三 体问题对于微小扰动的极端敏感性，而这在非混沌系统中是不可能的，因为那 西北工业大学硕士学位论文第一章 绪论 种系统需要巨大的控制量才能获的巨大的功效” 。 上述是研究混沌一般控制的意义。但某些情况下混沌现象不但不是避免的 对象，还是我们所苛意追求的目 标。这里也有两中情况，一种情况是，我们可 能需要控制一个非混沌系统使其混沌化，这就是所谓的混沌反控制问题。因为 在某些情况下，系统中出现混沌现象是非常有利的，例如，在核反应中的等离 子体加热过程中，热量被注入到反应器中，当反应器中的热对流出现混沌态时， 该反应将取得最好的结果。另一种情况就是所谓的混沌同步。本质上它也是一 种混沌控制。已经发现，当秘密通信的双方具有完全相同的混沌电路时，在特 定的条件下可以实现秘密信号从发射机的编码到接收机的解码的全过程信息解 密，即达到了两个系统的混沌同步。这里两个系统的同步，是指一个系统的轨 道完全收敛于另一个系统轨道的同一值， 它们之间将始终保持步调一致，并且 这种步调是结构稳定的。我们可以 将此原理应用到保密通信当中，由于混沌系 统对初值的极端敏感性而带来的长期不可预测性， 使得这种保密通信被破译的 概率大大减小， 从而降 低了 信息泄密带来的巨 大风险。 此外混沌和混沌控制在数据分析、信息处理和密码学中也有直接的应用， 己经受到广泛的重视。总之， 随着混沌研究的不断深入，它的应用领域也在不 断的扩大， “ 一个生气勃勃的研究分支最近在非线性动力系统领域中发展起来 了，它正开始在控制理论科学中形成巨大的影响” 。我们坚信，混沌理论的应用 一定会具有极其广阔的前景。 1 . 3论文的主要工作和结构安排 本论文主要研究了混沌特征量的计算，混沌系统的一般控制，混沌系统的 同步控制，混沌密钥在图象加解密中的应用以及馄沌同步在保密通信中的应用 等。 论文的结构安排如下: 第一章绪论， 介绍混沌的起源、国际国内的研究概况和本论文的研究意义 和本论文主要工作和结构安排。 西北工业大学硕士学位论文第一章 绪论 种系统需要巨大的控制量才能获的巨大的功效” 。 上述是研究混沌一般控制的意义。但某些情况下混沌现象不但不是避免的 对象，还是我们所苛意追求的目 标。这里也有两中情况，一种情况是，我们可 能需要控制一个非混沌系统使其混沌化，这就是所谓的混沌反控制问题。因为 在某些情况下，系统中出现混沌现象是非常有利的，例如，在核反应中的等离 子体加热过程中，热量被注入到反应器中，当反应器中的热对流出现混沌态时， 该反应将取得最好的结果。另一种情况就是所谓的混沌同步。本质上它也是一 种混沌控制。已经发现，当秘密通信的双方具有完全相同的混沌电路时，在特 定的条件下可以实现秘密信号从发射机的编码到接收机的解码的全过程信息解 密，即达到了两个系统的混沌同步。这里两个系统的同步，是指一个系统的轨 道完全收敛于另一个系统轨道的同一值， 它们之间将始终保持步调一致，并且 这种步调是结构稳定的。我们可以 将此原理应用到保密通信当中，由于混沌系 统对初值的极端敏感性而带来的长期不可预测性， 使得这种保密通信被破译的 概率大大减小， 从而降 低了 信息泄密带来的巨 大风险。 此外混沌和混沌控制在数据分析、信息处理和密码学中也有直接的应用， 己经受到广泛的重视。总之， 随着混沌研究的不断深入，它的应用领域也在不 断的扩大， “ 一个生气勃勃的研究分支最近在非线性动力系统领域中发展起来 了，它正开始在控制理论科学中形成巨大的影响” 。我们坚信，混沌理论的应用 一定会具有极其广阔的前景。 1 . 3论文的主要工作和结构安排 本论文主要研究了混沌特征量的计算，混沌系统的一般控制，混沌系统的 同步控制，混沌密钥在图象加解密中的应用以及馄沌同步在保密通信中的应用 等。 论文的结构安排如下: 第一章绪论， 介绍混沌的起源、国际国内的研究概况和本论文的研究意义 和本论文主要工作和结构安排。 西北工业人学硕士学位论文 第一章 绪论 第二章混沌学基本理论，介绍混沌的一些基本知识，如混沌的定义，通向 混沌的道路，混沌系统的常用模型，混沌系统常用的研究方法，混沌吸引子的 功率谱特性等。 第三章研究混沌系统的特征量计算，详细介绍了混沌系统的特征量诸如关 联维、 分 数维、 潜入维、 l y a p u n o v 指数、 k o l m o g o r o v 嫡等的定 义， 给出了 它 们 的典型计算方法和改进的计算方法。 第四章研究混沌的一般控制，介绍三种典型的混沌控制方法，即混沌系统 的自 适应控制、滑模变结构控制、数据采样反馈控制，并对前两种控制作出了 适当的改进。分析了它们适合的 环境、 适用的条件， 对比了 它们的鲁棒性能。 第五章研究混沌的同步控制，给出两种改进型的混沌同步方法，即基于状 态观测器设计的混沌同步控制和基于锁相环的混沌同步控制。 第六章研究混沌理论的应用，介绍混沌目 前的两大典型应用，作为密钥在 图像加密解密中的应用和在保密通信中的应用。最后给出混沌应用的展望。 西北工业人学硕士学位论文第二章 混沌学基木理 论 第二章 混沌学基本理论 混沌是什么?混沌是怎样产生的?混沌有那些典型特征?如何研究混沌? 本章将逐一回答这些混沌理论的基本问题。 2 . 1混沌的定义及其本质特征 至今科学界仍没有关于混沌的统一的定义，科学家们都是根据自己对混沌 的理解和应用而给出混沌的定义。由于各种定义都是从不同侧面来描述混沌， 这样反而更有利于我们看清和把握混沌。 下面给出混沌的两种典型定义， 然后 从中归纳出混沌的本质特征。 2 . 1 . ，混沌的定义 由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未为人们所彻底了解，因此至今混 沌仍没有一个统一的定义。己有的定义都是从不同的侧面反映了混沌运动的性 质。 混沌的定义首先出 现在1 9 7 5 年由 美国 马里兰大学的博士李天岩 ( 1 1 ty ) 和他的导师乐克 ( j . a . y o r k e )所撰写的一篇题名为 “ 周期三意味着混沌”的论 文中。 现文献中多称之为l i - y o r k 。 定义。 考虑实轴上的区间i 及其上的映射了 : i -r， 若映射满足下面的 条件: ( 1 ) f的周期点的周期无上界， ( 2 )闭区间i 上存在不可数的子集s ci ， 使得t l x , y e s ，x .d y 有: lim s u p 一f (x ) 一 ， (y )i 0 ( 3 ) h x , y c s 1 ， 有: l i m i n f i f ( x )f ( y ) 卜 0 ( 4 ) d x e s 及f 的任意周期点p e i ，有: 西北工业人学硕士学位论文第二章 混沌学基木理 论 第二章 混沌学基本理论 混沌是什么?混沌是怎样产生的?混沌有那些典型特征?如何研究混沌? 本章将逐一回答这些混沌理论的基本问题。 2 . 1混沌的定义及其本质特征 至今科学界仍没有关于混沌的统一的定义，科学家们都是根据自己对混沌 的理解和应用而给出混沌的定义。由于各种定义都是从不同侧面来描述混沌， 这样反而更有利于我们看清和把握混沌。 下面给出混沌的两种典型定义， 然后 从中归纳出混沌的本质特征。 2 . 1 . ，混沌的定义 由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未为人们所彻底了解，因此至今混 沌仍没有一个统一的定义。己有的定义都是从不同的侧面反映了混沌运动的性 质。 混沌的定义首先出 现在1 9 7 5 年由 美国 马里兰大学的博士李天岩 ( 1 1 ty ) 和他的导师乐克 ( j . a . y o r k e )所撰写的一篇题名为 “ 周期三意味着混沌”的论 文中。 现文献中多称之为l i - y o r k 。 定义。 考虑实轴上的区间i 及其上的映射了 : i -r， 若映射满足下面的 条件: ( 1 ) f的周期点的周期无上界， ( 2 )闭区间i 上存在不可数的子集s ci ， 使得t l x , y e s ，x .d y 有: lim s u p 一f (x ) 一 ， (y )i 0 ( 3 ) h x , y c s 1 ， 有: l i m i n f i f ( x )f ( y ) 卜 0 ( 4 ) d x e s 及f 的任意周期点p e i ，有: 西北工业大学硕士 学位论文第二章 混纯学摧本埋论 lim su p l f (x ) 一 ， ” (， )一 0 则 称 映 射f 是 混 沌的。 这里f ( ) = f ( f二 f ( ) ) ) 表示t 重函 数 关系。 上面的定义蕴涵混沌特性:其中 ( 1 )说明如果系统存在一个周期为3 的周期点，就一定存在任何正整数的 周期点，即存在无穷多不稳定周期轨道。 ( 2 )说明任何两个基本轨道既要相互靠近，又要相互分离。 ( 3 )说明任两种轨道必交替出 现。 ( 4 )说明任一轨道不趋于任一周期轨道，即该集合不存在渐进周期轨道。 由此可以 看出， 闭区间1 在映射f : ! -r 的作用下， 呈现出的是一片混乱的 状态，其中一部分是周期运动，而更多的则是杂乱无章的运动状态，它们时分 时 合， 在确定映 射了 - i -r 的 作用 下出 现 类似随 机的 状 态。 混 沌的另 一 种著名 定义是 在1 9 8 9 年由r . l . d e v n e y 提出 的: 设u是一 个度量空间， x、 y 是u上的 任意开子 集， 一 个连续映 射f : u-u 则称为在u上混沌的，如果满足: ( 1 ) f 具有拓扑 传递 性。v x , y c u， 存在k 0 ， 使得f k ( x ) n y - ,d。 ( 2 ) f 具有对初 始条件的极 端敏感 性。 d e 。 ， 对任意的x e u存在d 0 , 使 得 在z 的8 邻域内 存 在y 和自 然 数n ， 有 d ( f ( x ) - f ( y ) ) 成 立。 ( 3 ) f 的 周 期点 集t 在u中 稠密。 即v x e u， 任给b 0 ， 都 存在y e t ， 使 得 不 等 式 卜 一 小 成 立 。 以上定义也蕴涵有丰富的混沌特性:其中 ( 1 ) 说明 混 沌 系 统不 能 被细 分 或 不能 被 分 解 为 两 个 在f 下 相互 影 响的 子系 统， 任一点的邻域在f 的作用下都将撒遍整个度量空间u。 ( 2 )说明混沌的映射具有不可预测性，如果初值具有一极微小的变化，在 西北工业大学硕士学位论文第二章 混沌学摧本理论 短时间内的结果还可以预测，但经过长时间的演化后，它的状态根本无法确定， 即“ 差之毫厘， 谬之千里， ， 这就是著名的“ 蝴蝶效应” 。 换句话说， 在每个点x 附 近都可以 找到 离它很 近而在f 的 作 用下终于分 道扬锨的点y 。 对于这 样的f ， 如果用计算机计算它的轨道，任意微小的初值误差，经过多次迭代后都将导致 计算结果的失败。 ( 3 ) 说明混沌映射具有不可分解性， 也就是混沌行为具有稠密的周期轨道， 其运动最终要落在混沌吸引子中，使其呈现出多种看似混乱无序却又颇具规则 的自 相似图像。混沌吸引子中的运动能在一定的范围内按其自 身的规律遍历每 一条轨道，既不自 我重复又不自 我交叉。这正是混沌的耐人寻味之处。 2 . 1 .2混沌的本质 除上述对混沌的定义之外，还有诸如 s m a l e马蹄、 横截同宿点、拓扑混合 以及符号动力系统等定义，从事不同 领域研究的科学家都是基于各自 对混沌的 理解进行研究并给出相应的定义。但不管以 什么样的方式来定义混沌，混沌的 本质特征都是相同的。 混沌是由 确定性的非线性系统产生的一种貌似随机的行为，该随机行为不 同于一般的随机现象，它只存在于某一确定的区域之内，这是由系统本身的内 随机性所决定的。 一般地说， 混沌现象隶属于确定性系统而难于预测 ( 基于其 动力学性态对于初始条件的 高度敏感性) ，隐含于复 杂系统但又不可分解 ( 基于 其具有稠密轨道的拓扑特征) ，以及呈现多种 “ 混乱无序却又颇具规则”的图象 ( 基于其具有稠密的周期点特征) 。 概括起来讲，混沌有以下本质特征: ( 1 )内随机性。 混沌系统可用确定的 微分方程组表示， 在不受外界干扰的 情况下，系统状态却表现出随机性，无法预测，那么产生这些随机的根源只能 在系统本身。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限的时间 内混沌轨道经过棍沌吸引域内每一个状态点。 西北工业大学硕士学位论文第二章 混沌学摧本理论 短时间内的结果还可以预测，但经过长时间的演化后，它的状态根本无法确定， 即“ 差之毫厘， 谬之千里， ， 这就是著名的“ 蝴蝶效应” 。 换句话说， 在每个点x 附 近都可以 找到 离它很 近而在f 的 作 用下终于分 道扬锨的点y 。 对于这 样的f ， 如果用计算机计算它的轨道，任意微小的初值误差，经过多次迭代后都将导致 计算结果的失败。 ( 3 ) 说明混沌映射具有不可分解性， 也就是混沌行为具有稠密的周期轨道， 其运动最终要落在混沌吸引子中，使其呈现出多种看似混乱无序却又颇具规则 的自 相似图像。混沌吸引子中的运动能在一定的范围内按其自 身的规律遍历每 一条轨道，既不自 我重复又不自 我交叉。这正是混沌的耐人寻味之处。 2 . 1 .2混沌的本质 除上述对混沌的定义之外，还有诸如 s m a l e马蹄、 横截同宿点、拓扑混合 以及符号动力系统等定义，从事不同 领域研究的科学家都是基于各自 对混沌的 理解进行研究并给出相应的定义。但不管以 什么样的方式来定义混沌，混沌的 本质特征都是相同的。 混沌是由 确定性的非线性系统产生的一种貌似随机的行为，该随机行为不 同于一般的随机现象，它只存在于某一确定的区域之内，这是由系统本身的内 随机性所决定的。 一般地说， 混沌现象隶属于确定性系统而难于预测 ( 基于其 动力学性态对于初始条件的 高度敏感性) ，隐含于复 杂系统但又不可分解 ( 基于 其具有稠密轨道的拓扑特征) ，以及呈现多种 “ 混乱无序却又颇具规则”的图象 ( 基于其具有稠密的周期点特征) 。 概括起来讲，混沌有以下本质特征: ( 1 )内随机性。 混沌系统可用确定的 微分方程组表示， 在不受外界干扰的 情况下，系统状态却表现出随机性，无法预测，那么产生这些随机的根源只能 在系统本身。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限的时间 内混沌轨道经过棍沌吸引域内每一个状态点。 西北工业大学硕士学位论文第二章 混沌学从本理论 ( 3 )分形性。混沌运动状态具有多叶，多层结构，且叶层越分越细，表现 为无限层次的自 相似结构。它描绘了混沌运动轨线在相空间中的行为特征。 ( 4 )标度性。它表明混沌运动是无序中的有序，只要数值实验设备的精度 足够高，总可以在小尺度的混沌区域内看到其有序的运动花样。 ( 5 )普适性。混沌运动遵循某些普适的常数。不依具体的方程或参数而改 变。 如当 系统倍周期 分叉走向 混沌时 遵循的f e i g e n b a u m( 费根包姆) 常数。 普 适性是混沌内在规律的一种体现。 ( 6 ) 正的李雅普诺夫 ( l y a p u n o v ) 指数。所有的混沌系统都具有正的 l y a p u n o v 指 数。 若l y a p u n o v 指 数小 于 零， 则 意味 着 相 邻点 最终 要 靠拢 合并 成 一 点， 系 统运动 状态对应稳定的 不动点 或周期 运动。 若l y a p u n o v 指数大于零， 则 意味着相邻点最终要分离，对应轨道的局部不稳定。但混沌运动还有整体稳定 的因素，则在 “ 合力”作用下，混沌反复折叠形成混沌吸引子。 ( 7 ) 初值敏感性。 当混沌系统的初始条件作微小的变化后，在可预见的时间内，系统轨线所 产生的结果将会发生巨 大的变化。我们以l o r e n z 系统 ( 参见论文2 .3 .2 节内 容) 的x 变量为 例， 变量变 化前后的 初始条件分别为( 1 4 . 5 , 1 0 ) . ( 1 3 . 9 9 5 , 1 0 ) , 作出其初始条件变化前后的两条轨线如图2 . 1 所示。 结果展示了混沌对初值的敏 感特性。 加朽la : ，上 竹 弓 图2 . 1 变量x 的 初值敏感性阴 9 注二 论文 中所 有算法的 实现代码均在 m a t l a b或v is u a l c + +中调试通过，并己单独整理成册，感兴 趣的读者请与作者联系 索取。e m a il : y z z w pt o m .c o m . 西北工业大学硕士学位论文第二章 馄沌学基本理 论 2 . 2通向混沌的道路 混沌是非线性动力学系统在一定条件下所表现的一种运动形式，是系统处 于非平衡过程中所呈现的随机行为，因此非线性是混沌产生的必要条件，但并 非任何非线性系统都会产生混沌，一般认为当系统具有下列数值特征是则发生 了混沌: ( 1 )系统的运动轨迹为奇怪吸引子现象: ( 2 )系统运动的功率谱具有连续谱上迭加有尖峰的特点; ( 3 ) 系 统中 至少 有一 个 李雅 普诺夫 ( l y a p u n o v ) 指 数a 0 0 通向混沌的道路主要有三条:倍周期分叉道路、阵发间歇道路和茹厄勒 ( r u e l l e ) 一塔跟司 ( t a k e n s )道路。 2 . 2 . 1 倍周期分叉道路 系统运动变化的周期是一种有序状态， 在一定的条件下，改变参数能使系 统轨道一分为二，即周期加倍。参数继续改变，轨道的辟裂就继续发生，由二 到四到八成倍周期增长， 最终丧失周期而进入混沌。 由 于m . f e i g e n b a u m发现了 倍周期分叉中的标度性和普适常数，该道路又称为f e i g e n b a u m道路。 例如， 对一维的l o g i s t i c 映 射系统 x r + ， 二 a x ; ( i 一 x ; ) ，x ; e 0 ,1 ，a e 0