（机械设计及理论专业论文）轴向运动粘弹性薄板横向振动分析的数值方法.pdf

姿塑堕窒三些堂堕堡圭堂垡笙銮 一_ 一 一 摘要 本文研究轴向运动粘弹性薄板的横向振动问题，包括建立模型、推导方程、计算求 解等。重点讨论了有限差分法在薄板振动问题中的应用。 首先，由简单的弹性薄板入手，在此基础上，加入了薄板材料的粘弹性阻尼，利用 牛顿第二定律推导出了轴向运动粘弹性薄板的振动偏微分方程。利用有限差分法讨论了 四边简支、四边固支运动板两种边界条件下的各阶固有频率及模态，并分析了的不同参 数，如轴向运动速度、长宽比、纵向载荷等对固有特性的影响。 其次，考虑粘弹性薄板的大挠度变形，引入薄板几何非线性问题，建立其非线性数 学模型。采用有限差分法，将非线性的运动偏微分方程转化为代数方程组，使计算和分 析大大简化，揭示了轴向运动粘弹性板在周期性横向载荷作用下的丰富的动力学现象， 如：极限环、拟周期、分岔、混沌等以及它们发生和发展的过程。考察了各种参数对轴 向运动粘弹性板动力稳定性的影响。 最后，采用g a l e r k i n 方法和四阶r u n g e k u t t a 方法求解非线性偏微分方程，验证有 限差分法用于轴向运动粘弹性薄板横向振动特性的定性分析的可行性。 关键词：轴向运动薄板；粘弹性；固有频率；非线性振动；倍周期分岔；混沌 沈阳航空工业学院硕士学位论文 a b s t r a c t t h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no ft h ea x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i ct h i np l a t ei ss t u d i e di nt h i s t h e s i s t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di su s e dt o i n v e s t i g a t et h en o n l i n e a rv i b r a t i o n so ft h e s y s t e ma n ds o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oh i g h l i g h tt h ec o n c l u s i o n s f i r s t l y ，t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ea x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i ct h i np l a t e b a s e do nt h es i m p l ee l a s t i ct h i np l a t ei se s t a b l i s h e d t h en a t u r a lf r e q u e n c i e sa n dv i b r a t i o n m o d e sa r ea n a l y z e df o rt w ot y p e so fs u p p o r t i n gc o n d i t i o n s ，n a m e l y , s s s sa n dc c c c ，w h e r e ss t a n d sf o rs i m p l es u p p o r ta n dc f o rc l a m p e ds u p p o r t t h ec o n t r i b u t i o n so fs o m ep a r a m e t e r s s u c ha sa x i a l l ym o v i n gs p e e d ，r a t i oo fl e n g t ha n dw i d t ha n dt h ei n p l a n el o a da r ep r e s e n t e db y s o m en u m e r i c a le x a m p l e s s e c o n d l y ，l a r g ed e f l e c t i o nd e f o r m a t i o ni sc o n s i d e r e da n dt h en o n 1 i n e a rm a t h e m a t i c a l m o d e li se s t a b l i s h e d t h en o n - l i n e a re q u a t i o nc a nb ec o n v e r t e dt o a l g e b r a i ce q u a t i o n s ，t h e c a l c u l a t i o na n dt h ea n a l y s i sa r es i m p l i f i e db yu s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d a b u n d a n t d y n a m i c a lp h e n o m e n aa r er e v e a l e df o rt h ea x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i ct h i np l a t eu n d e rt h e e f f e c to f p e r i o d i c a lt r a n s v e r s el o a d ，s u c ha s ：l i m i tc y c l e ，q u a s i p e r i o d i c ，b i f u r c a t i o n ，c h a o sa n d t h ep r o c e s so ft h e i ro c c u r r e n c ea n dd e v e l o p m e n t t h ee f f e c t so fs o m ep a r 锄e t e r s o nt h e s t a b i l i t yo ft h ea x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i ct h i np l a t ea r ea l s os t u d i e d f i n a l l y ，t h er e s u l to ft h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di sv e r i f i e db yt h eg a l e r k i nm e t h o da n d t h ef o u r t h o r d e rr u n g e k u t t am e t h o d k e y w o r d s ：a x i a l l ym o v i n gt h i np l a t e ；v i s c o e l a s t i c i t y ；n a t u r a lf r e q u e n c y ；n o n 1 i n e a rv i b r a t i o n ； p e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n ；c h a o s i i 沈阳航空工业学院硕士学位论文 口 h d e 吼 仃 f p c 鸠( m 。) m 印l m 0 只( 只，) 主要符号表 板的长度 b 板的宽度 板的厚度 p板的密度 刚度系数 九 板的长宽比 弹性模量 泊松比 轴向加速度 a 截向加速度v 向心加速度 a k 科氏加速度 正应力 g 正应变 切应力 y切应变 无量纲横向载荷k l ，硷无量纲纵向载荷 无量纲化轴向速度 日 无量纲粘弹性系数 垂直于x ( y ) 轴的板的横截面单位宽度上的弯矩 垂直于x ( y ) 轴的板的横截面单位宽度上的扭矩 垂直于x ( y ) 轴的板的横截面单位宽度上的横向剪力 v i 沈阳航空工业学院硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 轴向运动粘弹性薄板振动国内外研究现状 1 1 1 薄板振动 在人类有文字的记载中，板的使用有五千多年的历史。它作为古代最主要的工具而 被广泛使用，但对其进行系统的实验研究和理论分析却一直到1 9 世纪初才开始。经典的 弹性板理论是f 扫n a v i e r 奠基的，他在1 8 2 1 年给出了弹性板平衡和运动微分方程；随后 p o i s s o n 在1 8 2 9 年讨论了板的边界条件，给出了现在通用的简支边和固定边的边界条件方 程，但对已知分布力的边界情况，他要求有三个边界条件( 剪力、扭矩、弯矩) ，这显然 与板的四阶微分方程相矛盾；从三个边界条件减为两个边界条件的工作是k i r c h h o f 完成 的，他于1 8 5 0 年发表了有关薄板理论的重要论文，提出了薄板的两个基本假设，确立了 板弯曲理论的基础，同时他纠正了p o i s s o n 在边界条件上的矛盾，指出了在板的每一个边 界上只存在两个边界条件；到了1 9 世纪末，l e v y 研究了对边简支另外两边任意支承矩形 板问题，提出了单三角级数法【lj 。 随着现代机械设备的高速发展，在薄板的结构强度和振动稳定性等方面提出了大量 的新问题，在这些问题中板的挠度和其厚度相比已经不是小量，所以经典的弹性薄板理 论及线性振动分析己经不能满足要求，板面内力和板的曲率之间的相互作用必须被考虑 进来，这导致板单元平衡方程中出现了非线性项。基于这些考虑，v o nk a r m a n 2 】提出了 大挠度非线性薄板理论，他在1 9 1 0 年研究了简支边界条件下的薄板大挠度非线性问题， 给出了著名的v o nk a r m a n 方程组；c h u 和h e 玎m a n n 将v o nk a r m a n 理论推广到振动问题， 得到了v o nk a r m a n 方程组的动态比拟，他们采用双傅立叶级数研究了板内的挠度分布； 由于v o nk a r m a n 方程组是高阶非线性偏微分方程组，在求解上存在困难，b e r g e r 从变分 问题着手并忽略了第二个不变量e 2 = s 。g ：一s 乏4 ，得到了简化的b e r g e r 方程组；随后n a s h 禾h m o d e e r 在b e r g e r 研究的基础上给出j b e r g e r 方程组的动态比拟，但是之后大量的研究 表明b e r g e r 的假设在振幅较小时比较精确，而随着振幅的增大，精度会降低，而且对有 可移动边界的薄板，该假设更足完全不适用的；l e i s s a 研究了各种边界条件下薄板的非 沈阳航空工业学院硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 轴向运动粘弹性薄板振动国内外研究现状 1 1 1 薄板振动 在人类有文字的记载中，板的使用有五千多年的历史。它作为古代最主要的工具而 被广泛使用，但对其进行系统的实验研究和理论分析却一直到1 9 世纪初才开始。经典的 弹性板理论是f 扫n a v i e r 奠基的，他在1 8 2 1 年给出了弹性板平衡和运动微分方程；随后 p o i s s o n 在1 8 2 9 年讨论了板的边界条件，给出了现在通用的简支边和固定边的边界条件方 程，但对已知分布力的边界情况，他要求有三个边界条件( 剪力、扭矩、弯矩) ，这显然 与板的四阶微分方程相矛盾；从三个边界条件减为两个边界条件的工作是k i r c h h o f 完成 的，他于1 8 5 0 年发表了有关薄板理论的重要论文，提出了薄板的两个基本假设，确立了 板弯曲理论的基础，同时他纠正了p o i s s o n 在边界条件上的矛盾，指出了在板的每一个边 界上只存在两个边界条件；到了1 9 世纪末，l e v y 研究了对边简支另外两边任意支承矩形 板问题，提出了单三角级数法【lj 。 随着现代机械设备的高速发展，在薄板的结构强度和振动稳定性等方面提出了大量 的新问题，在这些问题中板的挠度和其厚度相比已经不是小量，所以经典的弹性薄板理 论及线性振动分析己经不能满足要求，板面内力和板的曲率之间的相互作用必须被考虑 进来，这导致板单元平衡方程中出现了非线性项。基于这些考虑，v o nk a r m a n 2 】提出了 大挠度非线性薄板理论，他在1 9 1 0 年研究了简支边界条件下的薄板大挠度非线性问题， 给出了著名的v o nk a r m a n 方程组；c h u 和h e 玎m a n n 将v o nk a r m a n 理论推广到振动问题， 得到了v o nk a r m a n 方程组的动态比拟，他们采用双傅立叶级数研究了板内的挠度分布； 由于v o nk a r m a n 方程组是高阶非线性偏微分方程组，在求解上存在困难，b e r g e r 从变分 问题着手并忽略了第二个不变量e 2 = s 。g ：一s 乏4 ，得到了简化的b e r g e r 方程组；随后n a s h 禾h m o d e e r 在b e r g e r 研究的基础上给出j b e r g e r 方程组的动态比拟，但是之后大量的研究 表明b e r g e r 的假设在振幅较小时比较精确，而随着振幅的增大，精度会降低，而且对有 可移动边界的薄板，该假设更足完全不适用的；l e i s s a 研究了各种边界条件下薄板的非 沈阳航空工业学院硕士学位论文 线性振动，并在1 9 8 7 年对薄板的非线性振动作了很好的综述；另一份对该问题较系统的 综述是s a t h y a m o o r t h y 完成的。 由于现代航空、航天、造船、建筑、桥梁、公路等现代工业的发展，对板结构的分 析提出了更高的要求，板的精确解因应用范围过于狭窄而不能满足要求，所以在继续追 求板的精确解的同时，人们也致力于近似求解的研究。经典的近似方法有瑞利一李兹 ( r a y l e i g h r i t z ) 法、伽辽金( g a l e r k i n ) 法、屈列夫斯( t r e f f t z ) 法、卡斯提良诺法( c a s t i g l i a n o ) ， 康托洛维奇( k a n t o r o v i c h ) 法以及差分方法等，他们在板的数值解中有着广泛的应用；随 着计算机性能的飞速提升，有限单元法、有限条法、边界积分法等也已成为板结构分析 的重要工具，并且在实际工程中被广泛使用。本文中最后采用t g a l e r k i n l l 】方法来离散时 间和空间变量：g a l e r k i n 方法是原苏联科学院院士g a l e r k i n 在1 9 1 5 年创立的求解偏微分方 程边值问题的近似方法，它还有广义g a l e r k i n 方法和非线。 生g a l e r k i n 方法等改进和推广， 这些改进的方法也被广泛应用于梁、板等连续体的求解中，l e n g o c 和m c c a l l i o n 3 】应用广 义g a l e r k i n 方法分析了运动薄板的线性振动，张新华和徐健学【4 】应用非线一l 生g a l e r k i n 方法 分析了梁的非线性动力学性态。 近年来在薄板大挠度非线性振动方面的研究更加注重利用高速计算机的强大计算 能力，研究者通常采用半解析或者数值的方法来解决实际应用中的问题，并结合实验结 果的比较来验证或者改进理论分析。w a n g 5 】等采用基于边界元的数值方法研究了弹性薄 板静态大挠度问题；b e n a m a r l 6 j 等从实验和理论分析两个方面研究了四周固支矩形板在 大挠度振动时的动力学行为；h a n 矛1 p e t y t t 7 研究了各项同性薄板和夹层板的非线性频率 和模态；随后m b e i r o 和p e t y t 8 】分析了薄板非线性振动中的内共振问题；e l b e y l i 币n a n l a s 9 1 采用多尺度法分析了有横向简谐激励力的简支薄板的非线性响应；r a j u 1 0 】等对承受横向 荷载固支方板的大挠度自由振动进行了理论分析和实验研究；s a h a 1 1 】等提出了一种新方 法来研究各种边界条件组合下的薄板的非线性振动。 1 1 2 轴向运动体系 在人类社会中，轴向运动物体十分普遍，广泛地存在于军事、航空航天、土木、电 子、机械、汽车等工程中。而对于高速轴向运动的磁带、锯片、缆车弦索、电梯缆绳、 印刷纸张、传送带等的振动的研究，显然是非常重要的。例如缆车弦索的振动影响乘客 的舒适甚至安全；运动中的印刷纸张的振动关系到印刷质量好坏；高速锯片的振动影响 2 沈阳航空工业学院硕士学位论文 切割面的光滑程度等等。这些都对轴向运动体系振动的激励响应关系、稳定性分析、控 制系统设计等方面提出了若干重要问题。轴向运动体系振动的研究已经成为国际上振动 研究的新热点，国内外许多学者都对此进行了研究并取得了一系列科研成果。m o t e 在 1 9 7 2 年总结了之前对各种轴向运动体系的应用和研究；w i c k e r t 和m o t e 在1 9 8 8 年综述了 之前轴向运动物体的振动和稳定性的研究成果；w a n g 和l i u 1 2 】总结了运动索链的振动研 究；a b r a t e 1 3 】贝0 综述了传送带的振动问题；p e l l i c a n o 等【1 4 】总结t 2 0 0 0 年之前对轴向运动 梁的研究；最近陈立群【15 j 综述了轴向运动弦线的振动问题。 根据所研究的轴向运动物体抗弯刚度的大小，建立的研究模型可分为两大类：二阶 体系和四阶体系。二阶体系模型的运动微分方程是二阶的，不考虑其抗弯刚度，如轴向 运动弦线、轴向运动缆索、轴向运动膜等；四阶体系模型的运动微分方程是四阶的，需 考虑其抗弯刚度，如轴向运动梁、轴向运动板等。 对轴向运动弦线等二阶体系振动的研究起源于1 8 9 7 年s k u t c h 的工作，他利用两个波 反向传播的方法得到了两端无位移的运动弦线的固有频率；a r c h i b a l d 矛i e m s l i e 用变分原 理建立了轴向运动弦线的动力学方程，并分析了轴向运动对固有频率和本征函数的影 响；突破性的进展是w i c k e r t 和m o t e 1 6 1 完成的，他们采用连续陀螺系统模态分析的方 法确定了轴向运动弦线对一般激励的响应，随后又采用模态分析的方法得到对任意作用 力在任意边界条件下的响应，利用g r e e n 函数给出了响应的积分表达式，后来又对模态 函数的选取作了改进【l7 1 。这一系列的工作完全解决了均匀运动弦线在两端固定边界条件 下的振动响应问题，也是进一步研究更为复杂的轴向运动弦线非线性振动问题的基础。 随后众多学者对二阶轴向运动体系进行了大量的研究，这里不再详细列出。值得一提的 是近来国内的几位学者在轴向运动体系上的研究十分出色，陈立群等【1 8 1 研究了轴向运动 粘弹性弦线的分岔及混沌特性，张伟等【1 9 】系统地研究了粘弹性运动带参数激励的混沌动 力学特性，金栋平和胡海岩【2 0 】等研究了运动绳索在横向流体激励下的运动。 早期对轴向运动梁的研究，主要是线性的、简单边界条件的e u l e r b e r n o u l l i 梁：n e l s o n 研究了两端固支运动梁的固有频率和振动模态；m o t e 将锯片模型化为简支的运动梁，讨 论了张力与轴向速度的关系：m o t e 和n a g u l e s w a r a n 开展了对运动梁振动理论与实验相结 合的研究；n a g u l e s w a r a n 矛i w i l l i a m s 用梁本征函数进行g a l e r k i n 过程，发展了确定参数共 振不稳定区域的数值方法；w i c k e r t 和i m o t e 发展了适用于陀螺连续体的复模态分析方法， 沈阳航空工业学院硕士学位论文 基于正交的模态函数导出了运动梁对任意初始条件和激励的响应，得到了在简支边界条 件下计算固有频率和模态函数的方法；陈立群和李晓军【2 l 】用w i c k e r t 复模态分析的方法 得到了两端固支张紧运动梁的固有频率和模态函数；1 9 9 2 年w i c k e r t 2 2 】又应用k b m 法研 究了轴向运动梁的横向振动及分岔；p e l l i c a n o 禾o 用高阶g a l e r k i n 截断研究运动梁的动态响 应；r i e d e l 丰n t a n 2 3 】应用多尺度法研究了运动梁的内部共振；z h a n g 和z u 【2 4 】1 应用多尺度法 分析了轴向运动梁在参数激励下的非线性振动；s z e 等【2 5 】应用i h b 法研究了轴向运动梁的 各种谐波响应；陈树辉等【2 6 对匀速轴向运动的情形作了细致的分析，解析了牵连加速度、 相对加速度和科氏加速度在运动方程中的体现；杨晓东和陈立群【2 7 2 8 1 系统地研究了粘弹 性运动梁的非线性振动特性；陈树辉和黄建亮【2 9 3 2 1 分别用多维l p 法和i h b 法研究了轴向 运动梁的非线性振动响应。 目前的研究一般都将研究对象简化为一维的轴向运动梁或者运动弦线等，但是对于 锯片、传送带等运动物体，采用一维模型则显得先天不足，采用二维的轴向运动板或者 轴向运动膜来描述显然更加准确。u l s o y 和l m o t e 首先采用二维运动板模型来研究锯片的 振动问题，他们采用李兹法和有限单元一李兹法来计算该问题；l e n g o c 和m c c a l l i o n 3 3 1 采用广义g a l e r k i n 方法分析了轴向运动板在受到板内应力和切线边界外力时的固有频 率；随后他们又分析了轴向运动板受到简谐激励力时的稳定性；l i n 和m o t e 3 4 】采用v o n k a r m a n 大挠度非线性板理论研究了轴向运动板承受垂直板面载荷时的平衡位形和应力 分布；随后l i n 3 5 研究了对边简支对边自由轴向运动板的稳定性，分析了轴向速度对固 有频率、临界速度等的影响；l e h m a n n 和h u t t o n 3 6 提出了一种新的板模型更准确地模拟 了运动锯片，该模型将锯齿以及切割面与锯面之间的作用力考虑进来；w a n g 3 7 】基于 m i n d l i n r e i s s n e r 板模型对轴向运动各向异性板发展了一种混合有限元法；d a r n a r e n f f h l a n g o c l 38 1 ) 立用r a y l e i g h r i t z 法离散了轴向运动板的振动方程，并应用于主动控制的研究； j o o h o n g 等 3 9 j 采用频谱单元模型研究了受到板内轴向拉力的轴向运动板振动特性。由上 面的叙述可以看出，到目前为止，关于轴向运动板的研究主要都还停留在线性分析的阶 段，非线性的振动分析比较少，没有系统的解决方法，所以本文的工作除了分析线性系 统的振动模态和固有频率，还讨论了轴向运动板的非线性振动分析。 1 1 3 粘弹性材料 材料的粘弹性是指材料同时具有弹性与粘性两种不同机理的形变，综合地体现弹性 4 沈阳航空工业学院硕士学位论文 固体与粘性流体两者的特性。粘弹性材料的变形具有较强的时间、温度依赖性【4 0 4 3 1 。材 料与时问相关的力学行为通常表现出瞬时弹性、蠕变、应力松弛、瞬时回复、粘滞弹性 变形和永久变形，由粘性所导致的应变相应滞后于应力的迟滞，且使材料呈现动态耗散 性质，即阻尼特性，这种与时间相关的性质还表现出粘弹性材料的应变率敏感性，即应 力一应变响应曲线与加载的应变( 应力) 率有关。 目前，以描述材料性能与本构关系为主的粘弹性理论的研究已取得了许多成果。研 究途径包括宏观唯象方法和材料科学的微细观理论研究方法。材料的粘弹性分成线性与 非线性两大类。若材料性能表现为线弹性与理想粘性特性的组合，则称为线粘弹性，其 理论己相当成熟，杨挺青在其著作粘弹性力学中就有关线粘弹性本构理论进行了全 面的论述。非线性粘弹性理论也取得了一系列的重要研究成果，上海大学程昌钧教授领 导的课题组对粘弹性结构的物理非线性及几何非线性问题进行了大量的研究，取得了重 要进展4 8 1 。 1 2 非线性振动常用的分析方法 振动系统最终是用微分方程来描述的，对不同的边界支承条件下的运动板，除极少 数可以求出精确解析解以外，一般情况下只能用近似方法求解。理论研究分两类基本方 法：定性方法和定量方法。定性方法是以微分方程稳定性理论为基础，做出定性分析以 判断系统的运动规律和振动特性；而定量方法则是直接求出系统的响应曲线，从定量的 数值来研究系统的运动规律。 1 2 1 多尺度法及改进的多尺度法 s t u r r o c k 于1 9 5 7 年首先提出了多时间尺度的概念；6 0 年代n a y f e h ：t 各各阶近似解设成 为f ，s ，s 2 ，等多个时间尺度的函数，建立了多尺度法。与l p 法相比，多尺度法的明显 优点是不仅能计算周期解，而且能计算耗散系统的衰减振动；不仅能计算稳态响应，而 且能计算非稳态过程，也可以分析稳态响应的稳定性，描述非自治系统的全局运动行为。 该方法的缺点为计算十分繁琐。常用的多尺度法有三类，n a y f e h 、f r i e m a n 等发展的多变 量展开法；c 0 1 e 和k e v o r k i a n 引入的两变量展开法；n a y f e h 、m a h o n y 等提出的非线性多 尺度法。多尺度法最近的应用有：a b d e l h a f e z 4 9 1 将其应用于含有二次、三次、四次非线 性项的振动系统；z h a o 等 5 0 1 用该方法分析了弹性索链的二维模型的非线性振动；a r a f a t 沈阳航空工业学院硕士学位论文 固体与粘性流体两者的特性。粘弹性材料的变形具有较强的时间、温度依赖性【4 0 4 3 1 。材 料与时问相关的力学行为通常表现出瞬时弹性、蠕变、应力松弛、瞬时回复、粘滞弹性 变形和永久变形，由粘性所导致的应变相应滞后于应力的迟滞，且使材料呈现动态耗散 性质，即阻尼特性，这种与时间相关的性质还表现出粘弹性材料的应变率敏感性，即应 力一应变响应曲线与加载的应变( 应力) 率有关。 目前，以描述材料性能与本构关系为主的粘弹性理论的研究已取得了许多成果。研 究途径包括宏观唯象方法和材料科学的微细观理论研究方法。材料的粘弹性分成线性与 非线性两大类。若材料性能表现为线弹性与理想粘性特性的组合，则称为线粘弹性，其 理论己相当成熟，杨挺青在其著作粘弹性力学中就有关线粘弹性本构理论进行了全 面的论述。非线性粘弹性理论也取得了一系列的重要研究成果，上海大学程昌钧教授领 导的课题组对粘弹性结构的物理非线性及几何非线性问题进行了大量的研究，取得了重 要进展4 8 1 。 1 2 非线性振动常用的分析方法 振动系统最终是用微分方程来描述的，对不同的边界支承条件下的运动板，除极少 数可以求出精确解析解以外，一般情况下只能用近似方法求解。理论研究分两类基本方 法：定性方法和定量方法。定性方法是以微分方程稳定性理论为基础，做出定性分析以 判断系统的运动规律和振动特性；而定量方法则是直接求出系统的响应曲线，从定量的 数值来研究系统的运动规律。 1 2 1 多尺度法及改进的多尺度法 s t u r r o c k 于1 9 5 7 年首先提出了多时间尺度的概念；6 0 年代n a y f e h ：t 各各阶近似解设成 为f ，s ，s 2 ，等多个时间尺度的函数，建立了多尺度法。与l p 法相比，多尺度法的明显 优点是不仅能计算周期解，而且能计算耗散系统的衰减振动；不仅能计算稳态响应，而 且能计算非稳态过程，也可以分析稳态响应的稳定性，描述非自治系统的全局运动行为。 该方法的缺点为计算十分繁琐。常用的多尺度法有三类，n a y f e h 、f r i e m a n 等发展的多变 量展开法；c 0 1 e 和k e v o r k i a n 引入的两变量展开法；n a y f e h 、m a h o n y 等提出的非线性多 尺度法。多尺度法最近的应用有：a b d e l h a f e z 4 9 1 将其应用于含有二次、三次、四次非线 性项的振动系统；z h a o 等 5 0 1 用该方法分析了弹性索链的二维模型的非线性振动；a r a f a t 沈阳航空工业学院硕士学位论文 s t l n a y f e h 5 1 1 用该方法研究了悬索的非线性振动，李欣业和陈予恕吲用该方法研究了多自 由度内共振系统非线性模态的分岔特性。 b u r t o n 在1 9 8 2 年提出了一个时间变换法，扩展了多尺度法中参数s 的范围，可以达 到适中参数；随后b u r t o n 等将该时间变换应用于含有奇次非线性的系统的自由振动问题； 基于这一时间变换法，b u r t o n 等在1 9 8 6 年提出了改进的多尺度法的摄动过程，但是这一 方法仍然局限于只含有奇次非线性的系统；l u o n g o s 3 也提出了一个摄动过程，推广了多 尺度法。 1 2 2 有限差分法和有限元法 有限差分法和有限元法得到的离散方程组一般是大型稀疏方程组，条件数小且容易 求解，而且系数矩阵的结构化好，容易利用计算机生成。但由于轴向运动薄板振动问题 的特殊性，利用有限差分法和有限元法研究轴向运动薄板振动问题的远少于g a l e r k i n 方 法。有限差分法和有限元法【5 4 1 在应用上有不同的侧重，有限差分法主要集中在依赖于时 间的问题上；而有限元法则侧重于定态问题。 有限差分法作为一种经典的数值解法在很多领域均有应用。在弹性地基板的求解方 面，张小蕊 5 5 研究了斜板的小挠度弯曲问题，陈玉骥阳综合应用差分法和配点法研究 了混合边界矩形薄板的弯曲问题，文献 5 7 ，5 8 对w i n k l e r 地基上自由边界条件的矩形 平板进行了分析。但由于此类文献在对薄板的控制方程或自由边界条件进行离散时均采 用较高的差分格式，求解很复杂。 近年发展起来的有限条法实际是一种特殊的有限元法，所不同的是有限元法沿空间 坐标的各个方向均采用多项式位移函数，而有限条法只需在部分方向采用简单多项式， 其余方向则采用连续光滑的可微级数，并规定此级数预先满足给定的端部条件。位移函 数是以多项式和级数的乘积给出的，这样可将二维问题简化为一维问题，三维问题简化 为二维问题【5 9 , 6 0 】 除了上面所述的几种以外还有直接变分法、点映射法、频闪法、模拟计算机方法等 多种方法。 1 3 本文研究工作 本文研究轴向运动薄板的横向振动特性。分为线性分析和非线性分析两个部分。 沈阳航空工业学院硕士学位论文 第二章分析轴向运动薄板上微单元的受力情况，利用牛顿第二定律得到运动偏微分 方程。在建模中，我们还考虑了材料的粘弹性，而不仅仅是弹性材料。本章得到的无量 纲运动微分方程及四边简支、四边固支两种不同支承条件下的边界条件方程是以后各章 节应用的基础。 第三章采用了有限差分方法，讨论四边简支和四边固支两种支承条件下以恒速轴向 运动的弹性板和粘弹性板的固有频率和振动模态，分析板的固有频率随运动速度的变化 情况。另外讨论各种参数，如纵向拉力、粘弹性阻尼、板的长宽比等对四边简支和四边 固支两种支承条件下的固有频率和振动模态的影响。利用板的运动微分方程的平衡解， 求解各阶固有频率发生失稳时的临界速度。 第四章考虑薄板的大挠度变形，建立其非线性数学模型。通过有限差分法，将非线 性的运动偏微分方程转化为常微分方程组，从而使计算和分析大大简化。讨论轴向运动 粘弹性板在周期性横向载荷作用下的丰富的动力学现象，如：极限环、拟周期、分岔、 混沌等以及它们发生和发展的过程。考察各种参数对轴向运动粘弹性板动力行为的影 向。 第五章以四边简支边界条件为例，采用g a l e r k i n 方法，将轴向运动粘弹性薄板横向 非线性振动偏微分方程离散为常微分方程组，并用四阶r u n g e k u t t a 方法求解常微分方 程组。 最后，在结论中给出了研究的总结，提出了一些不足和进一步研究的展望。 沈阳航空工业学院硕士学位论文 2 1 前言 第2 章板的模型与运动微分方程 本章首先描述了薄板的物理模型及两种边界条件，根据牛顿第二定律建立轴向运动 板的横向振动的微分微分方程，最后对偏微分方程和四边简支、四边固支两种边界条件 进行无量纲化处理，为以后的计算分析做准备。 本章中只讨论薄板小挠度弯曲线性理论，也就是只讨论这样的薄板：它虽然很薄， 但仍然具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于它的厚度。 薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假定为基础的( 这些假定已被大量的实验所 证实) 。取薄板中面为埘面，这些假定可以陈述如下： 1 ) 垂直于中面方向的正应变，即s ：，可以不计。取s = = 0 ，则根据由几何方程 o uo v o w s x2 _ ，sy2 _ ，s ：2 _ c ) x 。 d yo z 凡= ：警+ 譬， ：娑+_ow,itlz x( 2 1 ) 1 ，= 一+ 一= 一+ 一 lz 1l ，。 ， 一1 。 o vd zo , zo x o vo u n y a x 8 v 由其中的第三式可以得到： _ o w = 0 ，即： w - - - - w ( x ，y ) ( 2 2 ) 这就是说，在中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移w ， 也就是等于挠度。 2 ) 应力分量b 、b 、o z 远小于其余三个应力分量，因而是次要的，他们所引起的 变形可以忽略不计( 注意：他们本身确实维持平衡所必需的，不能不计) 。 因为不计b 及b 所引起的变形，所以有： y 。= y 。= 0 ( 2 3 ) 于是由几何方程的： _ o w + 娑：o ，娑+ 学：0 ( 2 4 ) 卸a z。8 za x 沈阳航空工业学院硕士学位论文 从而得： 伽加锄挑 a y 跣：a z瓠 与上式相似，必须放弃与版，玢有关的物理方程 舻半扩半k 这样才能容许陆及岛等于零，而又容许b 、b 不等于零。 由于s ：= 0 ，炉0 ，巧= o ，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩， 性曲面的法线。 因为不计昵所引起的变形，所以由物理方程有： q = 去( g 一一 s y = 去( 仃，一暇 y 叫= 半 ，驯”j v ( 2 5 ) ( 2 6 ) 并期望成为弹 ( 2 7 ) 这就是说，薄板小挠度弯曲问题中的物理方程和薄板平面应力问题中的物理方程是相同 的。 3 ) 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即 ( “) 二：o = 0 ，( 1 ，) 二：。= 0 ( 2 8 ) 因为s ，= _ o u ，g ，= _ o h , ，) ，。：_ o u + _ 0 v ，所以由上式得出： o x伽 。 o v o x ( s ，) ：。= o ，( s ，) ：。2 = o ，( y 叫) ：。= = o ( 2 9 ) 这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在x y 面上 的投影形状却保持不变 2 2 轴向恒速运动薄板的运动微分方程 考虑下图所示的矩形板，板厚为h ，材料密度为p ，初始弹性模量为e ，薄板在边 界上受有纵向载荷，两端受有拉力l 和2 ，设板沿x 轴和y 轴方向上的长度为日和b ， 沈阳航空工业学院硕士学位论文 板以速度v 沿x 轴方向运动 n 、 1 illl l tt a x 一_ z 一卜v m 一一一一一一一一一一一一m b ， y n l 图2 1 薄板受力示意图 在薄板的小挠度弯曲问题中，假定薄板的挠度很小，可以不计中面内各点平行于中 面的位移。这时，薄板的弹性曲面是中面，不发生伸缩和切应变，因而也不受平行于中 面的力。 当板在边界上受有纵向载荷时，由于板很薄，我们可以假定只发生平行于中面的应 力，而且这些应力不沿板的厚度变化。这是薄板在纵向载荷作用下的平面应力问题。 试考虑薄板的任一微元块，它的中面的尺寸为出和d y ，如图2 2 所示，为简单起 见，图2 2 中只画出微元块的中面，并将载荷及横截面上的内力画在中面上。载荷及剪 力用力矢表示；弯矩及扭矩，按照右手螺旋法则，用矩矢表示。 对过板中心面与y 轴平行的直线取矩，由力矩平衡方程得： ( 丝+ 罢生c 改) d y 一坂砂+ ( m 。+ 竺笠砂) 出 出 o y ( 2 1 0 ) 一m 肛d x 一( 疋+ 筝出) 咖妾一c 砂冬：0。 c t xzz 化简并消去微量得： 耻警+ 警 ( 2 1 1 ) 1 “ 氖。巩 卜。 同理：对过板中心面与x 轴平行的直线取矩，并消去微量得： 1 0 沈阳航空工业学院硕士学位论文 f o m v 。a m 叮 f 一_ 二j _ 1 1 叫一乱苏 。 计出 f 2 1 2 ) 图2 2 板微元块受内力示意图 由图2 2 得横向剪力的增量为： 睾出，孥咖 ( 2 1 3 ) a x巩。 卜“。7 其中：m x 、妒分别表示垂直于x 轴和少轴的板的横截面单位宽度上的弯矩。 坞、驴分别表示垂直于x 轴和y 轴的板的横截面单位宽度上的扭矩。 民、p 分别表示垂直于x 轴和y 轴的板的横截面单位宽度上的横向剪力。 d x d x 图2 3 中面面内载荷示意图 当薄板在边界上受有纵向载荷时，由于板很薄，我们可以假定只发生平行于中面的 立塑墅壁釜坐堡堡主堂篁笙塞 应力，而且这些应力不沿板的厚度变化，这时，薄板每单位宽度上的平面应力将合成中 面内力m ，够，坛。 出图2 3 ，甲向内力虬在z 轴方向的投影的增量为： ( 札十警坝罢+ 窘蚴m 砂罢出 略去三阶小量，简化得：以窘出砂+ 警筹出方 同理，够在z 轴方向投影的增量为： 1 雾蚴+ 警等蚴 如在z 轴上投影的增量为： c + 警啪咖c 茅+ 舄嘲考砂 略去三阶小量，简化得： 等蚴+ 等等蚴 在z 轴上投影的增量为： 1 。骞蜥+ 等罢蛳 + 盟：o+ 2 = ) 砂 + 盟：o+ _ = ( 1 苏 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 将( 2 2 0 ) 式代入( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 式，并将( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 式相加，得中面 内力m 、m 、在z 轴上投影的增量之和为： 以警蚴+ q 雾蚴十2 茜蚴 ( 2 2 。， 了厂 i2 一 沈阳航空工业学院硕士学位论文 由平面问题分析可以得知，平面应力为： q = 等 = 等岛、= 。 q 2 言y 2 i 叫可妙_ o 于是得中面内力为： n 。= n 、，ny = n 2 ，n 。= 0 f 2 2 2 ) f 2 2 3 ) 由于板的轴向运动引起横向振动，则在z 轴方向上，单位面积上的的惯性力为： f = 一p m 孑d 2 w ( 2 2 4 ) 其中：p 面密度，卜板厚度，彳= 出d ) 一板面积。 则在z 轴方向上，由力的平衡方程得： - d x d y + 等蚴+ 】窘蚴+ 2 雾蚴动窘蚴：。 ( 2 2 5 ) 其中： d wo w d l 8 t d 2 wa 衍2研 吼，= 堡o t 竺2 为截向加速度； ：2 v 昙为科氏加速度： 2 2 v 夏磊为科氏加速度： “窘黼咖蛾 害砌塑0 2 w ； q26ot 2 o x o to x 2 ：l g ( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 和( 2 2 6 ) 式代入( 2 2 5 ) 式，并化简得： 等+ 2 酱+ 等+ 川窘+ m 雾一m 窘他嘉窘，：。c 2 刀， 将各内力表达式： 1 3 。 丝舭 + 丝钟a 一础 矿+ 型缸 业苏斗。 沈阳航空工业学院硕士学位论文 毕叫害+ m ，v = - do 矿2 w + 肛 ( 2 2 8 ) 蚝：一d ( 1 一卢) 罢 。oc桫 代入( 2 2 7 ) 式得： 删w _ l 害+ 2 窘训c 鲁协翥害， 仁2 9 ， 即为受纵向载荷作用下轴向恒速运动薄板的运动微分方程。 2 3k e l v i n 粘弹性模型 材料的粘弹性是指材料同时具有弹性与粘性两种不同机理的形变，总和的体现弹性 固体与粘性流体两者的特性。粘弹性使材料呈现动态耗散性质，即阻尼特性，这种与时 间相关的性质还表现出粘弹性材料的应变率敏感性，即应力一应变响应曲线与加载的应 变( 应力) 率有关。 图2 4 所示为k e l v i n 粘弹性模型，其应力一应变关系可以表示为： 仃= e ( s + a 叠) ( 2 3 0 ) 其中：6 粘弹性系数，叠s 对时间f 求导。 由物理方程： f 吒2 奇( s y ) 仃y = 而e ( c y + v e x ) ( 2 3 1 ) e f 叫2 丽k 1 4 加入粘弹性项，各应力分量为： 弹 性 兀 件 图2 4k e l v i n 粘弹性模型 q = 而e ( g ，+ z e y ) + 仅( 叠。+ 肛y ) 仃y = 而e ( s y + 脚+ a ( 叠y + 俐 k ：( y x y + a 岛) 2 丽丽 把几何方程： a 2 w 缸2 d w 砂2 y ：一o v + 丝：一2 塑zy = 十一= 一z z n y 瓠 两瓠匆