（理论物理专业论文）信息平衡与量子操作.pdf

摘要 本文的主要内容是讨论量子信息中的互补性关系，这种互补关系体现在， 通过量子操作对系统获得的信息与对系统的扰动之间的一种平衡关系这个 过程可以是局域的，比如对单体系统的操作，也可以是非局域的，l 的i t e l e p o r - t a t i o n 从一种广义的w h i c h - w a y 实验，详细描述了互补性原理，以及通过对单体 系统量子操作的信息平衡来体现这一原理本文还介绍了对一般t e l e p o r t a t i o n 的研究，并且利用单体系统量子操作的信息平衡，将t e l e p o r t a t i o n 中的信息平 衡扩展到更加一般的情况，得到了对于利用任意纠缠纯态t e l e p o r t a t i o n 的信 息平衡这个结论显示，对于一般t e l e p o r t a t i o n 的信息平衡，总的互补关系是 满足的，不会超过一个普适的上限但当获得的信息选到一定程度时，这个普 适上限总可以达到此外，一般t e l e p o r t a t i o n 的信息平衡关系是分段的函数， 这是一个新的现象 a b s t r a c t t 1 1 i sp a p e rm a i n l yf o c u s e so nt h ec o m p l e m e n t a r i t yr e l a t i o ni nq u a n t u m i n f o r m a t i o n t h i st e l a t i o nm a n i f e s t si t s e l fi nt h eb a l a n c eb e t w e e ni n f o r m a t i o n g a i nf r o ma nu n k n o w ns y s t e ma n dt h ed i s t u r b a n c et ot h es y s t e mv i aq u a n t u m o p e r a t i o n t k sp r o c e s sc a nb el o c a l s u c h8 sq u a n t u mo p e r a t i o nt os i n g l e - p a r t ys y s t e m ，a n dn b n l o c a ls u c ha sq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n f r o ma g e n e r a l i z e dw h i c h - w a ye x p e r i m e n ts c h e m e ，ii n t r o d u c et h eo r i g i n a lc o m p l e m e n t a r i t yr e l a t i o na n di t sm a n i f e s t a t i o ni nt h ei n f o r m a t i o nb a l a n c e i nq u a n t u mo p e r a t i o n so na s i n g l e - p a r t ys y s t e m ia l s oi n t r o d u c et h er e s e a r c h o ng e n e r a lt e l e p o r t a t i o n ，a n dg e tt h ei n f o r m a t i o nb a l a n c ei nq u a n t u mt e t e - p o r t a t i o nw i t ha $ 1a r b i t r a r yp u r es t a t e t l l i sr e s u l ts h o w st h a t f o rag e n e r a l t e l e p o r t a t i o n ，t h ei n f o r m a t i o nb a l a n c es a t i s f i e st h eo v e r a l lc o m p l e m e n t a r i t y r e l a t i o na n dd o e sn o te x c e e dau n i v e r s a lu p p e rb o u n d b u tt h eu p p e rb o u n d c a na l w a y sb ea c h i e v e dw i t hs u f f i c i e n ti n f o r m a t i o ng a i n a d d i t i o n a l l y , t h e i n f o r m a t i o nb a l a n c ei ng e n e r a lt e l e p o r t a t i o ns a t i s f i e sap i e c e w i s ef u n c t i o n ， w h i c hi san e wp h e n o m e n a 第一章引言 b o l r 的互补性原理f l l 作为量子力学的基本原理之，表明了量子系统具 有同时存在却又互相排斥的属性通俗的讲就是所谓波粒- 一象性对粒子系 统应该是几率幅描述，但依赖于具体的实验条件，而使粒子的行为更类似于 经典粒子或是更类似于经典波一个著名的例子就是杨氏双缝实验：观测到 干涉条纹的同时，原则上不可确定粒子到底是从哪一条缝递过的；而如果在 缝后添加某种探测器使观测者即使是原理上可能知道粒子是从哪一条缝通 过，这时干涉条纹消失f 2 当然这种w h i c h - w a y 实验只涉及到两个极端的情 形：完美的干涉条纹但完全不知粒子的路径；或是，完全确定粒子路径但干 涉条纹完全消失e n g l e r t 的工作则研究了”中间的过程”f 3 j ，结论是明显但又 很有意义的：获得的粒= j ! w b s c h - w a y 信息与干涉条纹的对比度之间存在某种 互补的关系 作为互补性原理的一种表现，对一个量子系统获得的信息与对该系统的 扰动也应该存在某种平衡关系f 4 ，5 ，6 1 ，对系统获得的信息越多，对系统的 扰动也越大这种由于获得信息而导致的扰动具有重要的实践意义比如体 现在量子密钥分配的安全性上 7 l ，信息平衡的应用，尤其是在量子密码学方 面一直是人们感兴趣的课题通过信息理论可以将获得的信息以及状态 扰动这两个概念量化，然而，一般情况下要想得到这种信息平衡的具体形式 是困难的b a n a s z e k 的工作，基于态估计的概念9 1 ，将对量子系统获得的信 息用态估计代替，对单体系统的量子操作得到了一个比较简明而且是非常强 的结论f 4 ( 作为其在q u b i t 系综里的扩展，参见 i 0 ) 量子通信的意义在于，可以具有经典通信无法比拟的优越性，典型的比 如t e l e p o r t a t i o n 作为量子信息最重要的环节之一，自从b e n n e t t 等提出标 准t e l e p o r t a t i o n 方案f l l l 并在1 9 9 7 年得以首次实现1 1 2 】以来，对t e l e p o r t a t i o n 的 研究直是人们所关心的，研究的范围也不断拓展，包括受控的 1 3 ，1 4 l ，连续 变量系统f f 自 1 5 ，1 6 ，1 7 ，决定性的( c o n c l u s i v e ) f 1 8 ，1 9 i 以及多月标共享的f 2 0 i t e l e p o r t a t i o n 等等，而且也涉及到发送方与接受方共享的纠缠态为混态的情 况 2 i ，2 2 ，2 3 更进一步，研究的内容也突破j t e l e p o r t a t i o n 本身，比如通过局 域操作提高最大纠缠分数( s i n g l e tf r a c t i o n ) 来提高t e l e p o r t a t i o n 保真度( f i d e l i t y ) 4 第一章引言 5 f 2 4 ，2 5 】其实与纠缠提纯f 26 】密切相关；而最近的一篇文献1 27 ) 则认为捌e p o r _ r a t i o n 是最优的远程克隆2 8 ，29 1 作为互补性原理的重要应用，人们自然希望将信息平衡从局域扩展到 非局域的情况，而主要由可以体现在t e l e p o r t a t i o n 过程中的信息平衡，这实 际上也是研究纠缠特性的一个方面文献 3 0 ，3 1 已经初步涉及到这点， 而b a n a s z e k 更是在文献f 4 1 给出了一类特殊的纠缠态，其信息平衡可以达到单 体量子操作的普适上限本文中则做了进一步的扩展，给出了对于一般纠缠 纯态t e l e p o r t a t i o n 过程中的信息平衡 3 2 1 通过本文的叙述，可以发现，这个 信息平衡具有如下特性：由于t e l e p o r t a t i o n 本身也可以视作一个保迹的量子 操作，因此其信息平衡不会超过单体系统操作的普适上限；当对系统的扰动 达到定程度时，普适上限总可以达到，从信息平衡的角度来看此时所有的 纠缠纯态都没有区别；最后，这个信息平衡是分段的函数，极大的依赖于具体 的纠缠态 第二章 互补性原理与信息平衡 本章介绍_ 乖p 广义的w h i c h - w a y 实验f 3 】，通过其理论方案，可以得到获得 的讹c h - w a y 信息与干涉条纹对比度间的互补关系这里是一个完整的互补 关系，而不是如杨氏双缝实验只有两个极端情况还介绍了单体量子操作的 信息平衡f 4 l ，这也是互补性原理的一种表现 2 1 互补性原理：广义的w h i c h - w a y 实验 考虑自旋为1 2 的粒子，利用p 砌矩阵a = ( ，吼) ，粒子的初始状 态描述为 一挈= 半 = ；( 1 + s g + s q + s ? ) 以) ，( 2 1 ) 其中s ( ) = n ( 。p 挈) 为b l o c i l 球矢量干涉仪的设置如图2 1 ( a ) 所示注意 到此时所谓的分束和集束器都是广义的，是作用在自旋上的对分束器，其 对应的操作可以为 1 ) 一击m ) i o ) ) 。) 一历1 ( 1 1 ) + i 。) ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 若是将自旋态j 1 ) ，j 0 ) 视作路径( 分别以+ 1 ，一1 标记) ，则类似于分束的效果 而集束器对应的操作则是其厄米共轭l 、，伍( ，+ i ) ，相移的作用是 p - + e x p ( i ；以) p e x p ( 一t ；吒) e z + t ， 因此在通过干涉装置后粒子的终态为 一弘半， s 7 = ( 一s ! ，s ? c o s + 5 1 s i n 妒，s ? s i n 曲+ s ? ) c o s 垂) 、( 2 5 ) 6 、i q 丌一4o p 馘 p 、l， q 丌一4 一 ， p 戗 _ r p 是果效 的甩作 第二章互补性原理与信息平衡 7 图21 ：干涉装置示意图( a ) 分束器b s 将输入态分为两路，分别由相移p s 添加土相 位，再由集束器b m 输出( b ) 干涉装置的两路添加- j w h i c h - w a y 探测器w w d 对该态沿一z 方向捌自旋，相当于在一1 路径探测粒子，几翠为 旷噩似吨，一g ) ) = ；( 1 - s ( v 0s i n 庐+ s c o s ) ( 2 6 ) 而此时”于涉条纹的对比度”仍用标准的定义： v o ：堡蛔! ! 二旦红! p 。十脚m ，。 ：旧) 2 + ( s 吲v 2 ， ( 2 7 ) 称之为先验的干涉条纹对比度( p n o nf i - i n g ev i s i b i l i t y ) 粒子从两条路径通过的几率分别为 ”+ = n ；( ，士e x p ( 一鹰q ) 硌e x p g i q ) ) = n 伊地) 一汐) = ；( 1 千s ) ( 2 8 ) 可用p = 1 w + 一”一i = s i 描述两者的可区别程度显然p 的取值在。和1 之间，比如，对于对称的牛涉装置，有+ ： 一：1 2 ，此时p ：0 ，意味着 第- i t 互补性原理与信息平衡 8 将完全不可预先获知粒子会从哪一条路径通过；反之，p 的值越大，则意味着 越可能预先获知这一信息冈此p 描述了先验的w k c l l 一w 纠信息，可称之为可 预言度( p r e d i c t a b i l i t y ) 将式( 2 8 ) 代入式( 2 7 ) ，并利用b l o d l 球矢量的模长不超过1 ，可得 p 2 + 瑶s1 ( 2 9 ) 对这个关系的观测已由g r e e n b e r g e r 和y 如i n 实现f 3 3 l ；文献f 3 4 ，3 5 】的实验结 果也包含了这点；而中子干涉度量学的结果也与之一致f 3 6 ，3 7 进一步考虑在最大先验对比度情况下 s g = o ，毋+ i s ( f ) = e 一埘， f 2 1 0 ) 对称的干涉装置同时w h i c h w a y 探测装置也分别设置在两条路径上( 见图2 1 ( b ) ) 设探测器初态为毋，因此整个系统的初态为 p ( ) = 彬o p 占( 2 i i ) 粒子与探测器的相互作用使得探测器的状态变化为 p d 一以肋巩， f 2 3 2 ) 分别对应于吼= 土l 的路径，而矾和昵是只作用在探测器自由度上的幺 正操作，因此在于涉装置中间对整个系统的作用为如下的幺正操作 半e i 十2 弭+ i - - 。，o ze - i 自2 虬( 2 1 3 ) 将其取代式( 2 4 ) 中的e x p ( q 2 o ；) 项，得到通过干涉装置后系统的终态 p ( 力= 生# 啤柑巩+ 生手圆矿p 咎虬 一与。f f y e - t 沪。珥p 占玑 一生警e t ( 叫) 。啦p 曾( 2 “) 为探测器自由度部分求迹，得到粒子终态 p 汐= t r d ( p ( ，) = 二4p 。c e 4 。一。叫一i 1 9 一c _ l e ( 4 一。c + k ， ( 2 1 5 ) 第二章互补性原理与信息平衡 9 其中c = n f p 学u 一1 以b l o c l l 球矢量表示则是 s y = 0 ，s 1 7 ) + i s y ) = 一e 一1 ( 口一。) c( 2 1 6 ) 类似式( 2 6 ) ，( 27 ) ： p = ；( i s y ) ， v = i c l ，( 2 1 7 ) 因此c 是复对比因子探测器的终态为 p 汐：t r q ( p q ：珥p 害弭+ ；啦p 害玑 = ：p 笞+ ；p 占， ( 2 1 8 ) 即是两条路径对应终态的几率叠加，以粒子通过该路径的几率为权重( 在对 称干涉装置的情况下均n 5 0 ) 可见w h i c h - w a y - 言息”存储”在探测器的终态之中为”读出”w h i c h w a y 信 息，可以选取对某个可观测量进行测量，设其分立的本征值和本征态为 ，i ) ，并可假设对本征值是非简并的测量结果为1 w ) 的几率为 ( w l e g i w ) 一；( w ip 告1 w ) + ；( w i p 占i w ) ( 2 1 9 ) 实际上所谓”读出”w h i c h - w a y 信息是指，得到一个测量结果i ) ，观测者猜测 粒子是从( ip 咎i w v ( w l 出1 w ) 中的大者对应的路径通过的通过多 次重复测量，平均而言观测者猜测路径的似然正确率( 1 i k e l i h o o df o rg u e s s i n g t h ew a yr i g h t ) ，换言之即是获得的w h i c h w a y 信息为 c w = 善m 毅 抑斛既j 1 ( 阶占) 2 互1 + j wm 一妒一p 妒i ( 2 2 0 ) 可见欲获得尽可能多的w 1 1 i c h w a y g , g ，还要选取台适的可观测量显然 使c w 取最大值应该是，i w ) 同时也是p 咎一p 分的本征态，即 c w c 。：= ；( 1 + 口) ， d = j 1t r ( 桫一p 哪 ( 2 2 1 ) 第二章互补性原理与信息平衡1 0 注意这里t 1 ( a | ) 表示对a 的本征值取模再求和( 参见式( 2 2 0 ) ) 数学上d 表 示算符p 告和p 占的距离，而其物理意义则是度量不同路径的可区分性( d ” t i n g u i s h a b i l i t y ) ：d = 0 表示完全不可区分粒子通过的路径，口= 1 则表示完 全可以区分 可以证明，路径可区分度d 与干涉条纹对比度v 存在如下关系 d 2 + v 2 曼1 ( 2 2 2 ) 显见两种极端情况_ d = 0 ，v = 1 及d = 1 ，v = 0 对应于杨氏双缝实验的描 述若探测器初态为纯态p 譬= i d ) ( d i ，有 口= ( t 一旧n 啦【d ) 1 2 ) v 2 ， ( 2 z 。) v = i ( d l n 珥i d ) ， 此时式( 2 2 2 ) 中的等号成立对一般的情况，探测器初态的谱分解为 彬= 仇i 靠) ( 比i ， ( 2 2 4 ) 将其代入( 2 2 1 ) 并利用 t r ( i a + b i ) t r ( i a i ) + t r ( i b i )( 2 2 5 ) 可得 口；巩n ( 1 啤l 也) ( 呶l 弭一晓i 出) ( 出】n i ) = p ( ，一l i v - 畦l | 2 ) 1 2 ， ( 2 z e ) 最后一步利用到式( 2 2 3 ) 另一方面 v = l 仇( d * 阻啦 ， ( 2 2 7 ) 令u 女= ( d k l u u j i d k ) 则有 口2 2 丢姚( 厢厢忡- ) 墨功d 吖而砑+ 知t + 拶1 ；) 1 、 ( 2 2 8 ) 第二章互补性原理与信息平衡 显见m k | 1 ，因此 d 2 + v 2 曼功仇= n ( 一曹) 2 = ， ( 2 - 2 9 ) 斗 注意到这个结论并不等同于h e i 8 e n b e r g r 曲e r 拈o n 测不准关系： 6 x j y2 妄i ( 【x ，y ) i ( 2 3 0 ) 因为若设l l 吸= e x p ( i x ) ，则 口= ；t r ( 归玎消詹j ) v = in ) l i ( z m ) 并不存在另一个观测量y 同时注意尽管式( 2 ，2 2 ) - 与式( 2 9 ) 形式上一致，但物理含义是截然不同的 式( 2 9 ) 是先验的，可以直接由p 咎是正算符得到换言之，式( 2 9 ) 描述的是先 验干涉条纹对比度与可获得谢d 卜啪y 信息的互补关系，并未涉及到真正获 得的w h i c h - w a y 信息，而式( 2 2 2 ) 描述的是是干涉条纹对比度与获得的w h i c h - 1 ) i r 畴息的互补关系 将式( 22 2 ) 代入式( 2 2 1 ) 得到 ：。：+ ；、i 了 ( 2 3 2 ) 但这只是对应于对称干涉装置沪= 0 ) 以及先验对比度= 1 时的情况更 一般的，初始粒子不+ 定是纯态，因此 y = ( 2 3 3 ) 并且通过两条路径的几率也不一定相等，因此 d = ；ln ( 哪一哪圳 ( 2 。a ) 故 锄= ；+ 互1 叶( h 一”一刮) 2 ；+ ；in ( 邺一邺圳， ( 。s ) 第二章互补性原理与信息平衡 其中利用到关系w r ( i a i ) lt r ( a ) 1 而 最终得到结论 ，一v 2 = 1 - 墙( 丢) 2 1 一( 1 一p 2 )( 丢) 2 1 2 ( 2 3 6 ) 扣哪钿兰 11 儿c ，卅( 黟 ( 2 s ，) 类似的研究w l l i d l w a y 信息与干涉条纹对比度间的互补关系还有其他的 方案，可参考【3 8 1 ，同样也满足式( 2 3 2 ) ，但分析过程更复杂【3 9 1 、 2 2 单体量子操作的信息平衡 作为互补性原理的一种表现，对一个量子系统获得的信息与对该系统的 扰动也应该存在某种平衡关系 4 ，5 ，6 i ，对系统获得的信息越多，对系统的 扰动也越大这种由于获得信息而导致的扰动具有重要的实践意义，比如体 现在量子密钥分配的安全性上 7 l ，信息平衡的应用，尤其是在量子密码学方 面f 8 1 ，一直是人们感兴趣的课题 为了研究状态的扰动与获得的信息的关系，首先应将这两个概念量化 一种有效的手段是，用对系统进行某种操作后的态估计g 描述获得的信息， 而用经过该操作后系统所处的状态与原态的保真度f 描述对系统的扰动程 度而所谓信息平衡就是，当获得了一定的信息g 时，对系统的最小的扰动， 即f 在此时的上限 两个极端的情况是理所当然的：若对系统没有作任何操作，自然f = 1 ，此时没有对系统获得任何信息，而态估计也只是完全随机的猜测g = 1 d ；另一方面，若采取可以对系统作最佳态估计的操作( 比如正交基投影测量) ， 此时g = 2 ( d + 1 ) 【4 0 ，4 1j ，同时经过这样的操作后，系统的状态被完全破 坏，即是指不能提供关于原态的更多信息，意味着f =2 ( d + 1 ) 下文埘 这两种极端情况的中间过程作分析 第二章互补性原理与信息平衡 1 3 最般的量子操作应该是组保迹的算符_ ，r = l ，完备性条 件是 每a ，= j ( 2 3 8 ) 信息的获取在于结果r ，通过不同的结果可以对系统初态作估计得到结果r 的几率为( 妒la i 五1 1 】f j ) ，此时系统应该处于状态a ，l 妒) ( 币l 癣_ ，i 妒) 相对 于原态的保真度即是其与原态的内积的模平方 ( 训屯l 币) l ( 妒f a a ， 母) ， 再按照权重够l 肆丑i 钠求和，褥烈 f = 厂却壹五w ( 2 3 9 ) 获得结果为r 后，操作者可以对原态作估计【饵) 估计的程度为与原态 的内积的模平方j ( 如f 妒) 2 ，对所有可能的结果r 平均后得到态估计 p n g = d e 妒睥a ，川( 协俐2 ( 2 4 0 ) 。r=1 处理上述积分，首先在式( 2 3 9 ) 中插入完备基 d 一1 f = i 却( 妒 i ) ( i 1 僻l 币) ( 妒l a ，l j ) o l 妒) d 一1 j 鼻，i j ) r 盘1 t ，j = o ( 2 4 1 ) 其中算符m 玎为如f 的积分： 矾= 却引粥) 妒1 = 丽杀，+ f 。) o f ) ( 2 4 2 ) 2 厕1 h 7 f ， ( 2 4 2 j 这个积分结果的推导可参见 3 0 p 阂此可以得到 f = 莉b ( 莩莩矧每母+ 莩j 莩矧i ， 2 ) 2 丽1 ( d + 莩n ( 2 a s 第二章互补性原理与信息平衡 下面计算g 操作者试图所作的估计f 砂，) 可视作某个幺正操作作用在 个参考态上： l 如) = 弭j 0 ) ( 2 4 4 ) 注意到测度矗矽在幺正操作下不变，可以将积分作变换l 矽) 一瓯1 妒) ，得至 g = d e i ( 0 1 妒) 1 2 ( 妒i 印癣a ，玩l 妒) r j = t r a 皿玩) ( 2 4 5 ) 利用式( 2 4 2 ) ，得到 一一 ! 。一d ( d - i - 1 ) n ( 球a ! 五玩) + ( o i 四霉a r 瓯l = 赤( d 十莩c 佴肋，) 呸a s ， 可以直接看出，归一化的态l 佴) 若使( 仉j 琊五，l 以) 项最大，应该是算符癣a 的最大本征值对应的本征态因此，对于给定的操作 丘) ，可能达到的最大 g = 南( d + 驯w ) ， a ， 其中范数按标准定义为 | | a r l i2 妇s u p ：。、( 妒ia j a rl 垆) - ( 2 4 8 ) 为求出尸和g 之问的关系，考虑算符五，的奇异值分解【4 2 】 a ，：帆反证，( 2 4 9 ) 以和谚为幺正算符，而鹿为半正定的对角矩阵 d ，= e x h ) ( i l ， ( 2 5 0 ) ， ，一 第z - 章互补性原理与信息平衡 1 5 对角元k 称为算符a ，的奇异值，并且设已经按降序排列a 5 - 2a ；。 0 则有 lb 五i = l o i 2 , - w , b 巾) l s k | ( i l f f 1 形i i ) l x 实际上只要作变换每一刀柳a ，总可以使得上式中的等号成立 对f 的最大值感兴趣，因此可以直接表达成 f ：赤旧莓卅 同时 由式( 2 3 8 ) 此外操作 ) 的完备性条件可以表示为 h 2 = d ( 2 5 1 ) 而现在只 ( 2 5 2 ) ( 2 5 4 ) 则式( 2 5 2 ) 和式( 2 5 3 ) 中 给定一个g 意味着矢量”d 是固定的利用s c h w a r z 不等式得到 ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) h i = ( 势) 2 = ( 妇+ 卦) ，譬踊 v 渊 弧2 n t 2 ( 1 ，! ) ( 群l 鳞) = ( 砖l 砖) 直。i ) = 脚。* l 磷) 弘m 为复系数但由( 3 5 1 ) 矾b ，“。k 与无关：脚。k = 胁s 然后 ( k 1 耷。雪，。l f ) = ( 吲 k 1 ) i s5 注意到若。i 。1 2 = 0 ，则对于给定的r 对于给定的r ，所有的l 钟) 是相互正交的 符时 ( 3 5 1 ) ( 3 s 2 ) ( 3 5 3 ) ( 3 5 4 ) 所有的赢。= 0 ，因此，上式表明 可以发现，若雪，。为如下的幺正算 ( 3 5 5 ) 第三章一般t e l e p 0 1 t a t i o n 可阱满足( 3 _ 5 1 ) 当然b o b 也可能存在。些非幺正的操作使得平均保真度达 到上限，但这并不重要 总之，- 殷t e l e p o r t a t i o n 的最优方案是： 1 ，a l i c e 采取的p o v m ，虑满足，给定的r ，对所有的女，l 砖) 相互芷交且 模长相等； 2 ，b 0 b 可以采取如式( 3 5 5 ) 所描述的幺正操作 一个简单的例子是，若a l i c e 和b o b 共享的纠缠纯态为一个2 2 的非最 大纠缠态 i 妒) 2 3 = a 1 0 1 ) - 4 - 卢1 1 0 ) ， ( 3 5 6 ) 不难发现a l i c e 和b 0 b 的操作可以完全与标准t e l 印o r t a t i o n 一样，而平均保真 度的上限则是 。2 + 2 0 多 ，2 i 一 ( 3 5 7 ) 第四章 一般t e l e p o r t a t i o nc p 的信息平衡 本章讨论在一般纠缠纯态t e l e p o r t a t i o n 过程中的信息平衡由于a 1 i c e 试 图获得更多关于未知态的信息，其所采用的就可以是任何测量，而不仅仅是 最优t e l 印o r t a t i o n 对应的测量b o b 则要根据a l i c e 采用的测量来选取操作使 得保真度尽可能的大而信息平衡是指，a l i c e 可能获得的关于待传输未知态 的信息( 态估计) 与在这种测量下最高t e l e p o r t a t i o n 保真度之间的互补关系 4 1 回顾 实b , t , , i b a n a s z e k 在处理一般t d e p o r t a t i o n 时已经涉及到信息平衡的问题 设灿i c e 试图通过测量结果r ，对未知态j 西作估计l 妒尹) 采用与2 ，2 中类似 的方法，这个估计态可以视作某个幺正操作作用在一个参考态上： 泞) = 玩l o ) 对于给定的待传输态f 妒) ，m i c e 的测量得到结果为r 的几翠肼为 m = a ；i ( 硼妒) 1 2 ， 则估计态与未知态的平均保真度为 咒。= 厂d l p i ( 妒i 玩l o ) 1 2 a ：l ( 撑i 妒) 1 2 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 利用测度如在幺正操作下不变，可以将积分作变换l 妒) 一瞬i l p ) ，得到 2 军圳删2 攀胁吼) 1 2 = a ：( 磷i 瓯砜琊l 群) ， 2 7 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 第四章一般t e l e p o r t a t i o n 的信息平衡 其中o 的形式见式( 2 4 2 ) ，最终得到 忍t = 币b i 十l 】 l d ( a 十1 ) ( 车a ；莩c 群瞵，+ 莓a ：莓纠玩1 2 ) ( d 十- 莓哪柳圹) 。， 由于l 啦) 相互正交且模长相等， 击莩c = 攒 ， 由这个结论，考虑两种极端的情况：若a r , 泖b o b 共享的是最大纠缠态，此 即砖= l d ，贝e j a l i c e 的态估计为1 d ，相当于对未知态作完全随机的猜测， 表明了完美的t e l e p o r t a t i o n 过程不会给发送方留下关于待传输态的任何信息； 另一方面，若i 中) 。，完全可分，相当于入3 = 1 ，a l i c e 的态估计为2 ( d + 1 ) ，即 是对d 维单粒子态的最大态估计 4 0 】注意到此时t e l e p o r t a t i o n 保真度f = 2 ( d + 1 1 = 足。，意味着此时所谓t e l e p o r t a t i o n 过程完全等效于经典通信： a l i c e 将态估计的结果通过经典通信发送给b o b ，b o b 根据这个结果单独制造 出相同的粒子态 进一步，b a n a s z e k 在文献4 1 中，考虑了一类特殊的纠缠态 a ：一：a ：一等 ( 4 8 ) 结论是，利用这样的纠缠态来实现t e l e p o r t a t i o n ，态估计和保真度的关系将 达到他给出的普适上限( 详见2 2 中的描述) ， 4 2 根据发送方的最优t e l e p o r t a t i o n 现在要处理更一般的情况：利用任意的纠缠纯态实现t e l e p o r t a t i o n ，态估 汁与保真度间的关系利用式( 3 3 5 ) ，a l i c e 的测量得到结果为r ，粒子3 的状 第四章一般t e l e p o r t a t i o n 的信息平衡 态处于 k ( 砖l 妒) l 女) ，因此，a l i c e 的测量相当于对粒子l 做操作 盈= k l k ) ( 群| ( 4 9 ) k 由式( 3 3 4 ) ，可知，挪a ，= ，因此t e l 印o r t a t i o n 也可以视作对单粒子态 的操作( 实际上，在文献【5 0 4 i = p 已有这样的结论) ，可以利用巾量子操作的信息 平衡来处理这一问题 采取与2 2 中类似的推导，可知，最终粒子3 的状态与被传输的粒子态的 平均保真度为 f = 赤( d + 善l = 砸d - f1 ( d + n( d) ”一“ ，一一、l 这里，= ，。| t r ( 研s a r ) 1 而b o b 应采取的操作可阻通过如下得到：类似与2 2 ，考虑算符a ，的奇 异值分解 ，= 孵d ，仁， ( 4 1 1 ) 以和谚为幺正算符，0 ，= 。o ；i i ) ( i i 因此 it r ( 茸。 ) j 2 = l ( 以豆。帆d ，) 1 2 ( 4 1 2 ) 这里廊= 。句。刀l i ) ( i i e 西，。，是一个正算符，易知。廊= j 则对于 任何归一化的态l 妒) ，都有 ( 妒j 廊l 妒) = 1 ， ( 4 1 3 ) m4 八； l， 4如 ， n 第四章一般t e t e p o r t a t i o n的信息平衡 因此( 妒i 啦l 妒) 1 而此式中的等号成立时意味着 莓in ( 啦) p ) 2 = ( n 瓜) 2 均 作为一个典型的例子，易知当赢。为如下的幺正操作时 耳= 州，( 4 1 5 ) 式( 4 1 4 ) 中的等号成立，即f 达到其上限，ft r 、甭互1 。，b 0 b 采取幺正操 作曰却即是一种对于a l i c e 给定的测量，最桡的t e l e p o r i o n ) b 案这个结论 可以认为是归纳了以前的相关工作【5 l 】注意以上推导并不能排除b o b 采取 非幺正操作的可能，但这并不影响最终效果，并且，b o b 采取幺正操作也是晟 方便的 4 3 信息平衡 另一方面，a l i c e 对未知的待传输态的最优态估计，也可以采取与2 2 中 类似的方法得到： g = 志( d + 莩t 州蛳川) = 币( d 刊， ( 4 1 6 ) 这里9 = ，i i a ，旷，即是算符每a ，的最大本征值 记a j 山的本征值为啡( j = 0 ，d 一1 ) ，并按降序排列这样， ，、醇) ，g = ，醇而欲描述所谓一般t e l e p o r t a t i o n 过程中的信息 平衡，即是求出对于给定的可达到的态估计( 视作g ) ，保真度的上限( 视作，) 记a i 山的归一化的本征态为l ) ，从密度矩阵的角度来看，由 于。肆l 谚) ( 谚i 与，醇l j ，) ( j ，l 表示同一个系综，l 磷) 与i 矗) 之间应由一一 个幺正矩阵扩联系f 5 2 1 ： 磷) = 三a k 红阶 ) 第四章一般t e l e p o r t a t i o n 的信息平衡 由条件 j 磷) ( 曲：，j 3 1 ( 4 1 8 ) 可得 d 砖= j j 2 醇 ( 4 - 1 9 ) r j 令心= ，i 1 2 蛘并且组成数列胁( 为方便记，下文中若标记去掉个上 标或下标，则表示对应元素所组成的数列) ，由于i 2 表示一个幺正随机矩 阵( u n i t a r y - s t o c h a s i cm a t r i x ) 5 3 ，因此有 胁_ g r ( 4 2 0 ) 称之为数列胁优化于数列卧按照优化关系( m a j o r i z a t i o n ) 的定义【5 4 】，两个 有相同元素个数d 的数列。和，标记和矿分别表示将。和中的元素按 降序重排，则z _ y 意味着，对= 0 ，d 一2 ，有 鼠( 一) 兰笔。鼠函1 ) s 笔。讲，( 4 _ 2 1 ) 并且& 一，( 一) = s d 一，( y ) 由于靠的元素已按降序排列，则有 故 即是 利用三角不等式 艮( “；) s ( 弼) s 。( 胁) ss 。( * ) ， s m ( 莩脚) s ( 莩毋) a 2 ：野 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) 事( 莩侮) 2 曼( 莩同2 ， 。s ， 第四章一般t e e p 伪r a t i o n的信息平衡 3 2 可以求出( ，薛) 在条件( 4 2 4 ) 下的上限，但实际上这个条件的约 束要n ：，i 秽) ( 曲：l = d w j 宽， 因此这样求出的上限并不一定就 是，f ，棵) 在条件竺，l 霹) ( 钟7 i = 以“j 下的上限令可= ，野d ， 可以证明，对任何满足式( 4 2 4 ) 的v ，总可以使上述不等式中的等号成立，并 且满足f 3 3 4 ) 当且仅当矢量”，= ( 弗，酽_ 1 ) ，对于所有的下标r 都共线时，式( 4 2 5 ) 中 的等号成立，不失一般性，可以认为这些矢量都相等，即是所有的算符坞a ， 都有n n n * e 值数列g = ( q o ，q a 1 ) ，q 中的元素按降序排列作为一个 可行的方案，可以设= d a ，( 辨k i k ) = l 护对于任何满足a 2 _ g 舻的数 列q ( 此即可= q d 3 ) ，存在一个幺正随机矩阵d ，满足 a 2 = d k j q j d 2 ， ( 4 2 6 ) ， 因此存在一个幺正矩阵满足1 u 埘1 2 = d 柳此时，式( 4 + 1 7 ) 变成 。六再阶 ( 4 2 7 ) 通过选取适当的u r 和本征态i ) ，可以使墨。i 蝶k ) ( 谚，| = 6 脚j 成立首 先，g l 入两个d d 幺正矩阵x ，y ，满足 l 溉i 1 2 = 陬1 2 = l i d ， ( 4 2 8 ) 比如，f o t t r i e r 矩阵 f= 1 u ”一l 0 2 ( n 一1 ) ， ： u ( n 1 ) 2 ( 4 2 9 ) 其中u = e x p ( 一i 2 月 n ) 就是这样的矩阵 其次，将标记r 分解为3 个标 记n ，i ，f ( n ，i ，f = 0 ，d 一1 ) 这样可以设 = d 溉t 场 ( 4 3 0 ) ，护；炉 u ，u护；旷 第四章一般t e l e p o r t a t i o n 的信息平衡 3 3 以及 陈) 2 瓦1 莩幅d x 删m ) n l o d d ) ( 4 3 1 ) 可以发现在这样的选取下， 2 丽d 2 蒡以面嵋，。莩辨t 莩啄场 。莓卅咖砌删，棚) r o o d d l = 丧毛俪u 帕m 6 j j t 莓栅) m o d o 啪岫训f = 惫莩渊蚶扛“ ( 4 3 2 ) 这就表明了_ ，对于任意的满足 q d 2 的数列q ，总可以找到合适的系 列的态f 梯) ，使所有的算符a i 五都有相同的本征值数列g 综上所述， 函数，( ，辞) 在条件丝。l 钟) ( 引= “- ，j 下的最大值等价于函 、广一、2 数吕、，辞) 在条件a 2 l d ，q r 下的最大值 ，9 下面计算这个上限现在9 = d y o ，f = ，( y ) = d ( ，俩) 由于函 数，( g ) 是凸的，由优化关系的性质f 5 5 i ，可知 、7 9 d 粥，d 慨a j ) 2 ( 4 3 3 ) 可以看出，等号成立时，正是对给定a l i c e 和b 0 b 共享的纠缠纯态 j 砂) 2 3 = ：j 扎l ) 2oj ) 3 ，最优t e l e p o r t a t i o n 情况，并且体现了b a n a s z e k 的结论： b o b 得到了平均保真度最高的态，而a l i c e 对未知态作了最差的态估i $ 1 3 0 1 对于更大的g ，欲求得，的上限，先需要有如下结论：对于任意的数列y 满足a 2 _ y 及的最大元素蛐= g d 给定，可以如下构造一个只依赖于9 和a 2 的数列z - f 9 似 = 0 善 = ；【s 。( a 2 ) 一9 d 1 1h ， = l ，n( 4 3 4 ) la ；，七= n + 1 ，d 一1 嘞 一日 第四章一般t e l e p o r t a t i o n 6 f t 的信息平衡 n 的选取依赖于g ，即，定义 鲰= d 晶( a 2 ) 一n a m 由g 处在的区间 9 nsgsg n + 1 就可以得到相应的n 可以证明，如此构造的数列z ，总是满足 a 2 _ y f 4 3 5 ) ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) 显见z 的元素是降序排列的，并且通过乳茎g5 甄+ 】易知a 2 z 为证 明z _ y ，注意到由于a 2 _ 可，可知 瓯( ) 2 ( a 2 ) = ( z ) ，k n( 4 3 8 ) 并且当= 0 ，d 一1 时，等号成立现在还需要证明对1 k n l ，仍然 有鼠( 可) & ( z ) 对任意的1 女n 一1 ，由于可的元素按降序排列，一方 面，鼽鲰当i k ，有 s ( g ) g d + k y k = g d4 - k h + k ( f t 一 ) ；( 4 3 9 ) 另一方面，饥y k 当i ，有 & ( f ) 晶( a 2 ) 一挑 l = k + 1 & ( a 2 ) 一( n k ) y k = g d + k h - 4 - ( n 一)