（气象学专业论文）jfnk方法及其在全隐式无粘burgers方程中的应用.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重 声明: 坚持以 “ 求实、创新，的科学精神从事研究工作。 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得 的研 究成果 。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是 真实的。 4 、 本论文中除引文和致谢的内容外， 不包含其他人或其它 机构已经发表或撰写过的研究成果。 5 、 其他同志对本研究所傲的贡献均已在论文中作了声明并 表示了谢意。 作者签名: 日期: 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文 的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机 构送交论文的电子版和纸质版;有权将学位论文用于非点利目 的的少t复制并允许论文进入学校图书馆被查阅;有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索;有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版.保密的学位论文在解密后适用本规定。 作 者 签 名 : 秘 .-w 日期 :卜 寸. 上 、 j f n k 方法及其在全隐式无粘b u r g e r s 方程中的应用 摘要 j f n k 方法是求解非线性方程组的嵌套迭代方法，该方法将非线性n e w t o n 迭代 方法和k r y l o v 子空间线性迭代法相结合， 并且在计算过程中应用线性近似克服了 大 型 j a c o b i a n 矩阵的 存储和计算问 题。 本文在介绍 .j f n k 这一新方法的 基础上， 将该方 法应用于全隐式差分的 无粘 b u r g e r s 方程。 并进一步对显式格式、 半拉格朗日 格式 以 及全隐式格式差分方程的数值模拟结果进行了比 较分析， 着重分析了隐式格式在 模拟要素空间分布存在较大梯度的现象方面较其他格式的优越性。结果发现: ( 1 ) 应用j f n k 方法对全隐式差分的 无粘b u r g e r s 方程进行计算， 可以 得到了 该方程收敛的 计算解，证明了 应用j f n k 方法求解全隐 式非线性差分方程是可行性， 很好的解决了非线性差分方程的收敛问题。 ( 2 ) 全隐式差分格式为稳定格式， 与半拉格朗日 格式一样其时间 步长不受空 间分辨率的限制。由 全隐式差分格式模拟结果可知， 其模拟的精度比 较高， 且模拟 结果曲 线连续性很好， 与 解析解非常一致， 特别是在要素空间 分布的 大梯度区没有 出现如显式、半拉格朗日 格式结果中的曲线不平滑现象。 ( 3 ) 分析时空分辨率变化对j f n k 方法运算量的影响发现， 空间分辨率的 提高 使得该方法的 迭代步数、 每步迭代的 计算量和存储量 均有所增加， 而时间 分辨率的 提高使收敛速度增加，也使得积分固定时段总迭代步数并未增加。 ( 4 )比 较显式、半拉格朗日 和全隐式格式的计算精度， 当取相同的a x 且 t 足够小时， 从整个计算区 域来看显示格式与半拉格朗日 格式计算精 度相当， 而隐 式 格式的精度相对较高，而且在g g a 区隐式格式的优势更为明显。同样取较长的容许 时间步长 t 时， 从整个计算区 域来看全隐式格式与半拉格朗日 格式的 精度相当， 但在g g a 区全隐式格式结果精度仍明显高于半拉格朗日 格式。 ( 5 ) 比 较分析时空分辨率变化对显式、 半拉格朗日 和全隐式格式的 计算精度 的影响， 发现显式格式和半拉格朗日格式精度随空间分辨率提高而提高，而全隐式 格式随空间分辨率的提高而略有降低。 显式格式和半拉格朗日格式精度随时间分辨 率的 变化比 较复杂， 半拉格朗日 格式大致呈 ， v ” 字型变化， 而全隐式格式误差随 时间步长的减少单调递减。 关键词:j f n k 方法，无粘b u r g e r s 方程，全隐式差分，收敛，非线性 j f n k m e t h o d a n d i t s a p p li c a t i o n i n t h e f u l l y i m p l i c i t n o n l i n e a r i n v i s c i d b u r g e r s e q u a t i o n ab s t r a c t j f n k ( j a c o b i a n - f re e n e w t o n - k ryl o v ) a r e t h e n e s t e d i t e r a t i o n me t h o d s f o r s o l v i n g t h e n o n l i n e a r p a r t i a l d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ( p d e s ) ,w h i c h a r e s y n e r g i s t i c c o mb i n a t i o n s o f n o n l i n e a r e q u a t i o n s n e w t o n 勺p e a n d k ryl o v me t h o d s f o r s u p e r - l i n e a r l y s o l u t i o n o f m e t h o d s f o r s o lv i n g t h e n e w t o n c o r r e c t i o n e q u a t i o n s , w i t h o u t f o r m i n g a n d s t o r i n g t h e , e l e m e n t s o f t h e t r u e j a c o b i a n m a t r i x . t h i s p a p e r b r i e fl y i n tr o d u c e s t h e j f n k m e t h o d a n d e m p l o y s i t t o s o l v e t h e f u l l y i m p l i c i t i n v i s c i d b u r g e r s e q u a t i o n . t h e n u m e r i c a l s o l u ti o n s o f t h e i m p l i c i t e q u a t i o n i s c o m p a re d t o t h a t o # t h e e x p l i c i t a n d s e m i - l a g r a n g i a n e q u a ti o n s , a n d t h e a d v a n t a g e s o f i m p l i c i t e q u a ti o n i n s i m u l a t i n g t h e g r e a t g r a d i e n t p h e n o m e n a a r e a n a l y z e d a s t h e e m p h a s i s . t h e r e s u l t s s h o w t h a t : ( 1 ) t h e n u m e r i c a l s o l u ti o n o f t h e fu l l y i m p l i c it i n v i s c i d b u r g e r s e q u a t i o n s o lv e d b y j f n k m e t h o d i s c o n v e r g e 叭 w h i c h i n d i c a t e s t h a t it i s f e a s i b l e u s i n g j f n k m e t h o d s o l v e t h e f u l l y i m p l i c i t n o n l i n e a r p d e s b e c a u s e t h a t山 e m e t h o d g e t s o v e r t h e c o n v e r g e n c e p ro b l e m o f n u m e r i c a l s o l u ti o n o f t h e e q u a ti o n s . ( 2 ) t h e ti n e s t e p s o f t h e i m p l i c i t e q u a ti o n a r e u n l i m i t e d b y t h e s p a ti a l s t e p s b e c a u s e t h e f u l l y i m p li c i t m e t h o d i s u n c o n d i ti o n a l l y s t a b l e , c o m p a r e d t o t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s , i t s n u m e r i c a l s o l u t i o n s w e ll c o n s i s t e n t t o t h e a n a l y t i c a l s o l u ti o n s . s p e c i a l l y t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e s m o o t h a s s a m e a s t h e a n a l y t i c a l s o l u ti o n s , w h i l e t h e s o l u t i o n s o f t h e e x p l i c i t a n d s e m i - l a g r a n g i a n e q u a ti o n s a r e n o t ( 3 ) a n a l y s i s o f t h e i m p a c t o f a x 、a t o n t h e c o m p u t a ti o n q u a n t i t y o f j f n k me t h o d s u g g e s t s t h a t t h e i t e r a t i o n n u m b e r , t h e c o m p u t a t i o n a n d s t o r e d e m a n d o f e v e ry it e r a t i o n d e c r e a s e f o l l o w i n g t h e o x s d e c r e a s i n g , w h i l e t h e it e r a t i o n s p e e d in c r e a s e s f o l l o w i n g t h e a t s d e c r e a s i n g . ( 4 ) e m p l o y e d t h e s a m e a x a n d s m a l l e n o u g h a t , t h e a c c u r a c y o f e x p l i c i t m e t h o d a n d t h e a c c u r a c y o f s e m i - l a g r a n g i a n m e t h o d h a v e n o t a p p a re n t l y d i ff e re n t i n w h o l e a r e a , w h i l e e x p l i c i t m e t h o d b e tt e r t h a n t h e m , a n d a t g g a t h e a d v a n t a g e o f i m p l i c i t m e t h o d i s m o r e o b v i o u s . a n d , e m p l o y e d s a m e l o n g e r a t ， t h e a c c u r a c y o f i m p l i c it m e t h o d a n d t h e a c c u r a c y o f s e m i - l a g r a n g i a n m e t h o d h a v e n o t a p p a r e n t l y d i ff e r e n t i n w h o l e a r e a , w h i l e e x p li c it m e t h o d b e t t e r t h a n t h e m , b u t a t g g a t h e f o r m e r i s b e tt e r t h a n t h e l a tt e r t o o . ( 5 ) t h e m e a n r o o t s q u a r e e r ro r o f i m p l i c i t m e t h o d i n c r e a s e s f o l l o w i n g t h e a x s d e c r e a s in g w h i l e t h a t o f e x p l i c it a n d s e m i - l a g r a n g i a n m e t h o d d e c r e a s e s f o l l o w in g t h e a x s d e c r e a s i n g . t h e e r r o r o f i m p l i c i t m e t h o d s i m p l y d e c r e a s e s f o l l o w i n g t h e o x s d e c r e a s i n g w h i l e t h a t o f e x p l i c i t a n d s e m i - l a g r a n g i a n m e t h o d i s c o m p l e x f o l l o w i n g t h e a x s d e c r e a s i n g . k e y wo r d s : j f n k m e t h o d , i n v i s c i d b u r g e r s e q u a t i o n , f u l l y i m p l i c i t m e t h o d , c o n v e r g e n c e , n o n l i n e a r p d e s 第一章引言 1国内外数值预报模式的发展概况 准确及时地天气要素预报在防灾减灾、社会公众服务、经济和国防建设等工 作中发挥着越来越大的决策性作用。数值天气预报为用户提供了大量的相对客观 化、 量 化的数字 ( 或图 形) 信息， 对天气预报有着不可或缺的 指导性作用， 是天气 预报实现定点、 定时以及定量化最根本、 最有效的科学途径， 近些年随着数值预报 事业的不断发展，其对天气预报事业的发展发挥着越来越重要的作用。 大气运动被描述为一个祸合的非线性偏微分方程组，其中不仅包括表征流体 运动的动力方程， 还包括大气辐射、 大气化学等许多物理过程。目 前还无法获得这 一复杂方程组的 解析解， 因此必须将方程组 进行离散化。 然后通过数值计算 求得数 值解。 数值天气预报核心是数值模式， 其主要功能是同 化资 料并预测未来时 刻的天 气状况。 纵观数值预报业务的发展可以 发现，模式的可预报时效逐渐延长，从上世纪 5 0 年 代短 期数 值天 气预 报m 、 大气 环流 数 值模拟m 相继 成功， 到 上世纪8 0 年 代 初中 期数值天气预报正式投入业务使用， 近些年对于月尺度的数值预测的动力学延伸预 报方 法 3 1 也 取得 众多 成果。 另 外， 数 值预 报的 理论 及 业务 技 术也愈 发 完善， 当 然 数 值计算机事业的 飞速发展也为大型数值预 报模式的实现提供了必要的 基础。 从世界 各国 数值预报事业发 展来看，自1 9 5 0 年数值预报实际 应用首次获得成功以 来， 美、 英、 欧 共体、 加拿大、日 本、中国、 印 度等 许多国 家先后建立数值预报中 心， 从2 0 世纪九十年代开始西方发达国 家更是投入了比以往更多的人力、 财力、物力致力于 加 速 发 展 数 值 天 气 预 报 业 务 体 系， 并 取 得了 显 著 的 成 效 。 胡 英 等 14 1陈 德 辉 13 1较 细 致的概述了2 0 0 0 年时各国数值预报的发展概况. 美国 是世界上最早开展气象数值预报研究，并建立气象数值预报业务系统的 国家。 上世纪九十年代，美国最早实现了 气象资料三维变分同 化业务。 2 0 0 0 年， 其 第一章引言 1国内外数值预报模式的发展概况 准确及时地天气要素预报在防灾减灾、社会公众服务、经济和国防建设等工 作中发挥着越来越大的决策性作用。数值天气预报为用户提供了大量的相对客观 化、 量 化的数字 ( 或图 形) 信息， 对天气预报有着不可或缺的 指导性作用， 是天气 预报实现定点、 定时以及定量化最根本、 最有效的科学途径， 近些年随着数值预报 事业的不断发展，其对天气预报事业的发展发挥着越来越重要的作用。 大气运动被描述为一个祸合的非线性偏微分方程组，其中不仅包括表征流体 运动的动力方程， 还包括大气辐射、 大气化学等许多物理过程。目 前还无法获得这 一复杂方程组的 解析解， 因此必须将方程组 进行离散化。 然后通过数值计算 求得数 值解。 数值天气预报核心是数值模式， 其主要功能是同 化资 料并预测未来时 刻的天 气状况。 纵观数值预报业务的发展可以 发现，模式的可预报时效逐渐延长，从上世纪 5 0 年 代短 期数 值天 气预 报m 、 大气 环流 数 值模拟m 相继 成功， 到 上世纪8 0 年 代 初中 期数值天气预报正式投入业务使用， 近些年对于月尺度的数值预测的动力学延伸预 报方 法 3 1 也 取得 众多 成果。 另 外， 数 值预 报的 理论 及 业务 技 术也愈 发 完善， 当 然 数 值计算机事业的 飞速发展也为大型数值预 报模式的实现提供了必要的 基础。 从世界 各国 数值预报事业发 展来看，自1 9 5 0 年数值预报实际 应用首次获得成功以 来， 美、 英、 欧 共体、 加拿大、日 本、中国、 印 度等 许多国 家先后建立数值预报中 心， 从2 0 世纪九十年代开始西方发达国 家更是投入了比以往更多的人力、 财力、物力致力于 加 速 发 展 数 值 天 气 预 报 业 务 体 系， 并 取 得了 显 著 的 成 效 。 胡 英 等 14 1陈 德 辉 13 1较 细 致的概述了2 0 0 0 年时各国数值预报的发展概况. 美国 是世界上最早开展气象数值预报研究，并建立气象数值预报业务系统的 国家。 上世纪九十年代，美国最早实现了 气象资料三维变分同 化业务。 2 0 0 0 年， 其 全球中期预报模式的分辨率为t 1 7 0 l 2 8 ; 有限 区降 水模式的 分辨率为3 2 k m 。 在此 基础上， 美国 进一步开发新一代高分辨率中尺度模式， 重点 解决分辨率为1 一 1 o k m . 时效为6 0 小时以内的有限区域天气预报和模拟问 题。 e c mwf( 欧洲中期天气预报中心) :e c mwf 组建于1 9 7 6 年， 至1 9 7 9 年建 立全球中期数值预报系统、并正式投入运行，随着技术的发展，其全球中期数值预 报模式分辨率由t 1 0 6 l i 9 发展至1 9 9 9 年的t 3 1 9 l 6 0 。 预计到2 0 0 8 年， 中期预报模 式的水平分辨率达 1 5 k m ，有效预报时效为 8 天左右;中期集合预报模式的水平分 辨率达3 0 k m和月季节集合预报模式的 水平分辨率达6 0 k ma 法国:自 上世纪六十年代起，一直独立自 主开发自己的数值预报业务系统， 主要有e me r a u d e 全球中期预报谱模式和p e r i d o t 有限区域格点模式; 1 9 8 7 年 起开发的a r p e g e 模式于1 9 9 3 年投入业务运行， 在此基础上开发了a l a d in模式， 其分辨率约达 l o k m。再者，法国目前还开发了另一新的中尺度非静力模式 ( me s o - n h模式) ，其水平格距达5 0 0 m - 2 k m , 德国:从e c mwf引进老版本的t 2 1 3 l 1 9 模式 ( 非i f s - c o d e ) ，后改造为 t 1 0 6 l 1 9 全球模式 ( g m) ; 此外， 还开发有欧洲区域模式 ( e m) ， 分辨率为水平。 .5 度，垂直2 0 层，和德国区 域模式 ( d m) ，水平分辨率为0 . 1 2 5 度，垂直2 0 层。自 1 9 9 5 年起， 德国开始着手开发一 套全新的数值预报业务系统，即 全球模式 ( g m e ) 和局地模式 ( l m) 。该系统已于 1 9 9 8 年投入业务运行。其中g me的 水平格距为 5 5 -6 0 k m ，垂直层为3 1 层; l m的垂直方向 取3 5 层、水平分辨率为am, 英国:一直坚持开发应用格点模式，也是全世界唯一的一个全球格点业务模 式，该模式己开发成了气候预测、中期预报、 中尺度预报、台 风路径预报的 “ 多 尺 度统一”模式:2 0 0 0年英国气象局运行的气候预测模式的水平分辨率为 2 . 5 x 3 . 8 7 0 ，垂直分辨率3 8 层;全球中期预报模式的水平分辨率为6 0 k m ，垂直 分辨率3 0 层;中尺度模式的水平分辨率为 1 2 k m ，垂直分辨率3 8 层。 加拿大:1 9 9 8 年之前采用的全球谱模式分辨率为t 1 9 9 l 2 1 ;其有限区域模式 采用有限 元差分和变网 格技术， 水平分辨率为3 5 k m ， 垂 直层为2 8 层: 1 9 9 8 年起， 业务模式由 全球环境统一 模式 ( g e m) 所替代， 全球模式水平分辨率为0 . 9 ， 垂直 层为2 8 层，由g e m“ 切割”出 来的有限区高分辨率模式的垂直分层为2 8 层，水 平分辨率为2 4 k m;加拿大气象局的非静力平衡模式水平分辨率可达 3 .6 k m - 3 6 0 m, 日 本: 上世纪8 0 年代起使用谱模式， 1 9 %分辨率为t 2 1 3 l 3 0 ， 与之嵌套的 东 亚区域模式 ( r s m) ， 分辨率约为 2 0 k m , 3 6层。 其台 风模式则为格点差分模式， 分辨率约为401m, 1 5 层， 垂直分辨率未增加， 采用二次嵌入的b o g u s i n g技术; 另外在r s m基础上建立了一个 l o k m水平分辨率的非常短时的 预报系统。2 0 0 0 年 起日 本气象厅致力于建立起一个水平分辨率达 1 k m的中尺度区域模式、 水平分辨率 达2 2 0 k m的 气候预测模式。 澳大利亚: 用于业务预报模式为l a p s ( l i m i t e d a r e a p r e d i c t i o n s y s t e m) ， 有限区域预报系统) 的3 个版本，即覆盖整个澳大利亚的版本( l a p s )和热带ma p s ) 及中尺度 m e s o l a p s )版本。 l a p s 和t l a p s 的水平格距为0 . 3 7 5 0 , m e s o l a p s 的水平分 辨率为0 . 1 2 5 0。 另一个正在研制的高分辨率l a p s 版本， 其水平分辨率将达到0 . 0 5 *， 垂直方向为2 9 层。 俄罗斯: 用于4 8 h 预报的s i g m a 模式网 格分辨率为7 5 k m , 1 0 层， 在中尺度模式 方面，开发了 h m r c r业务中尺度模式的非弹性 版m e s o m o d e 1 2， 含有1 5 层大气和5 层 土壤 水平分辨率为l o k m ，共3 0 0 x 3 0 0 网 格点。 中国:经过国家 “ 七五” 、 / l 五”科技攻关，中国气象局的中期、短期、台 风数值预报系统相继投入业务运行， 在防灾减灾、 实时天气预报中发挥了一定作用。 中 期模式t 1 0 6 l 1 9 于 1 9 9 7 年6 月投入业务 运行，1 9 9 8 年6 月0 . 5 x 0 . 5 0 、 2 1 层的中国区 域模式 ( h l a f s ) 投入 “ 准” 业务运行， 且采用了 显式降 水方案;目 前， 中期模式分辨率为 t 2 1 3 :台风模式的分辨率为 5 0 k m x 1 5 l ,采用二次嵌入的 b o g u s i n g 技术。我国现正在开发的g r a p e s模式中 全球模式水平分辨率为 2 0 k m , 中尺度模式为5 k m . 从过去各国 数值预报模式的 发展可以 看出， 随 着高性能计算机的发展以 及数 值计算理论的完善和发展， 数值预报模式的分辨率越来越高。 同时探测系统的发展、 同 化技术的 成熟以 及物理过程参数化的丰富大大提高了模式的 模拟和预报能 力。 2数值差分方案的进展 数值预报的准确率依赖于数值模式的设计及求解方案，一个好的设计方案应 该是最有效的数值方法和最合理的 程序设计的结合。 天气数值预 报模式中最为核心 的部分是非线性偏微分方程组的离散化方案， 它直接决定模式的计算性能及结果的 准 确性 等等。 离散 化 方案 大致 可以 分 为两大 类 问 : 一是 各 种 解析与 离 散 相结 合的 方 法， 如谱方法、 变分法及应用f f t 方法等; 二是有限差分方法、 有限 元法及特征线 法。从数值模式也可相应地分为谱模式和格点模式两大类。 早在 1 9 5 4年谱方法就 由s i lb e r m a n 引 入气象模式中， e ll s a e s s e r 应用了 影 响系 数 法的 谱 模式， r o b e rt 9 1 提出 根 据 球 谐 元 素 使 用 低 阶 非 正 交 谱 函 数 ， e l ia s e n 等 1 0 1和o r s z a g 1 1 各自 提出 转 换 方法使谱方法趋向 成熟。过去的2 0多年谱模式广泛应用于中 期数值天气预报业务 中 ( 除英国) ，它与经典的格点模式相比，谱模式具有计算精度高、稳定性好、模 式程序简单等突出的 优点。格点模式一直都是有限区域模式的“ 主流模式” ，而近 两 年 全 球的 格点 模式 重 新得到 重 视， 其 主 要原因 是11 , 11 1 : 1 ) 谱模式 分 辨率提高后， 计算量剧增， 而计算精度并非随之显著提高， 而现在还没有一个有效的进行勒让德 变换的 快速算法; 2 ) 谱模式并行计算编程比 格点 模式复杂得多，并 行计算的效果 也不如后者; 3 ) 谱模式的连续性要求较 “ 光滑”的 谱地形，因 此在地形陡峭处造 成虚假的g i 3 s 地形波的产生;4 )由 于谱模式的计算是全球展开， 可能把“ 局地” 的对流问题变为 “ 全球”问题;5 )随着模式分辨率的提高，以 及同化等技术的成 熟， 格点差分 计算的 精度已 与谱 展开计算的 精度相当。 我国 现阶段开发的g r a p e s 多尺度通用模式就是格点模式。 在数值天气预报的 模式积分中， 长期困 扰的 一个问 题是允 许的 最大时间积分 步长受模式计算稳定性的限制。 为 使积分稳定， 要求时间 步长非常小， 使得时间截 断误差远小于空间截断误差，因此模式完成指定时效的预报需进行很多次时间积 分。随着数值模式分辨率的提高，这一问题就表现的愈发突出。因此当设计一个高 效率天气预报模式时选择时间积分方案是至关重要的。 同 化技术的 成熟以 及物理过程参数化的丰富大大提高了模式的 模拟和预报能 力。 2数值差分方案的进展 数值预报的准确率依赖于数值模式的设计及求解方案，一个好的设计方案应 该是最有效的数值方法和最合理的 程序设计的结合。 天气数值预 报模式中最为核心 的部分是非线性偏微分方程组的离散化方案， 它直接决定模式的计算性能及结果的 准 确性 等等。 离散 化 方案 大致 可以 分 为两大 类 问 : 一是 各 种 解析与 离 散 相结 合的 方 法， 如谱方法、 变分法及应用f f t 方法等; 二是有限差分方法、 有限 元法及特征线 法。从数值模式也可相应地分为谱模式和格点模式两大类。 早在 1 9 5 4年谱方法就 由s i lb e r m a n 引 入气象模式中， e ll s a e s s e r 应用了 影 响系 数 法的 谱 模式， r o b e rt 9 1 提出 根 据 球 谐 元 素 使 用 低 阶 非 正 交 谱 函 数 ， e l ia s e n 等 1 0 1和o r s z a g 1 1 各自 提出 转 换 方法使谱方法趋向 成熟。过去的2 0多年谱模式广泛应用于中 期数值天气预报业务 中 ( 除英国) ，它与经典的格点模式相比，谱模式具有计算精度高、稳定性好、模 式程序简单等突出的 优点。格点模式一直都是有限区域模式的“ 主流模式” ，而近 两 年 全 球的 格点 模式 重 新得到 重 视， 其 主 要原因 是11 , 11 1 : 1 ) 谱模式 分 辨率提高后， 计算量剧增， 而计算精度并非随之显著提高， 而现在还没有一个有效的进行勒让德 变换的 快速算法; 2 ) 谱模式并行计算编程比 格点 模式复杂得多，并 行计算的效果 也不如后者; 3 ) 谱模式的连续性要求较 “ 光滑”的 谱地形，因 此在地形陡峭处造 成虚假的g i 3 s 地形波的产生;4 )由 于谱模式的计算是全球展开， 可能把“ 局地” 的对流问题变为 “ 全球”问题;5 )随着模式分辨率的提高，以 及同化等技术的成 熟， 格点差分 计算的 精度已 与谱 展开计算的 精度相当。 我国 现阶段开发的g r a p e s 多尺度通用模式就是格点模式。 在数值天气预报的 模式积分中， 长期困 扰的 一个问 题是允 许的 最大时间积分 步长受模式计算稳定性的限制。 为 使积分稳定， 要求时间 步长非常小， 使得时间截 断误差远小于空间截断误差，因此模式完成指定时效的预报需进行很多次时间积 分。随着数值模式分辨率的提高，这一问题就表现的愈发突出。因此当设计一个高 效率天气预报模式时选择时间积分方案是至关重要的。 较 早 的模 式 的 时 间 差 分 采 用 显 式 蛙 跳 方 案 ，根 据 c f l ( c o u r a w t- f r i e d r i c h s - l e w y ) 稳定性 条件 ， 它的 时间 积 分步长 受高 频重力 波限 制。 半 隐 式时 间 差 分格式， 首先由曾 庆 存13 1提出， k r e i s s la 将半隐 式 方案 应用于 热传导 方 程， r o b e r t 1 51 以 及k w iz a k 等1 6 1将 其 应 用 于 气 象 领 域 后 得 到 推 广。 半隐 式 方 案 将 模 式方程中重力波项进行隐式处理， 而平流项等非线性项仍保留显式。 从计算稳定性 看， 半隐式方案所容许的时间步长受平流过程风速的限制， 而平流过程相对于重力 波 是 一 种 慢 运 动 过 程 ， 因 此 其时 间 步 长 较显 式 格 式 长 得 多 1 6 ,1飞 但 这 一 步长 仍 要与 单 纯考 虑模式 精 度时所 容许的 最大 时间 步长 18 早在1 9 5 9 年w i in - n i e ls e n 9 1提出了 半拉 格朗日 方法， 就 是采 用达到一组 规 则网 格的质点， 经历一个时间间隔追溯到他们的出 发点， 而在出 发点的要素值由 他们周 围 格点 的内 插所 得。 r o b e r t! 1将半隐 式与半 拉 格朗日 方法 相结 合， 将模式 方程 组 中的平流项做拉格朗日 处理，将重力波项做隐式处理，即 半拉格朗日 半隐式方法， 这一方法大大拉长时间积分步长 ( 约为欧拉半隐式格式的 6倍) 。此后该方法引起 了广泛的关注，s a t e s和 m c d o n a l d 将该方法应用到分裂显式初始方程上; r o b e r t , s t a n i f o r t n 和t e m p e r t o n - 研 究 了 三 时 间 层 的 半 拉 格 朗 日 格 式 在 浅 水 方 程中 的 应用， m c d o n a l d l , t e m p e r t o n 和s t a n i f o r t h 0 , p u r s e r 和l e s l i e , c b t d 和 s t a n i f o r t h l 研究的 是半拉 格朗日 半隐 式的 两 层时 间 格式， 在保 证计算精 度的 基 础 上大 大 提高了 计算 效 率; s t a n i f o r t h 和t e m p e r t o n l 将它 应用 到 有限 元 上; r i t c h i e 将 其 与 谱 模 式 相 结 合 ， 后 来 又 推 广 到 斜 压 谱 模 式 上ae ) ; g r a v e l l0 等 研 究 了能保持浅水波方程质量守恒的半拉格朗日 格式。 此外，还有国内外很多学者在半 拉 格朗日 半 隐 式 方 法的 改 进与 应 用 方面 进行了 大量的 工 作197- b 。 近 年来陈 嘉 滨rn 等 对半拉格朗日 守恒性方面进行了 大量研究， 构造了一种值得重视的全新的能量守恒 格式。 现在半拉格朗日 半隐式格式被广泛的应用到业务上， 如加拿大、 美国和e c m iy f 等。 我国现阶段开发的g r a p e s 多尺度通用模式的时间差分即 采用半隐式半拉格朗 日方法。 3模式未来发展过程中尚待解决的一些问题 较 早 的模 式 的 时 间 差 分 采 用 显 式 蛙 跳 方 案 ，根 据 c f l ( c o u r a w t- f r i e d r i c h s - l e w y ) 稳定性 条件 ， 它的 时间 积 分步长 受高 频重力 波限 制。 半 隐 式时 间 差 分格式， 首先由曾 庆 存13 1提出， k r e i s s la 将半隐 式 方案 应用于 热传导 方 程， r o b e r t 1 51 以 及k w iz a k 等1 6 1将 其 应 用 于 气 象 领 域 后 得 到 推 广。 半隐 式 方 案 将 模 式方程中重力波项进行隐式处理， 而平流项等非线性项仍保留显式。 从计算稳定性 看， 半隐式方案所容许的时间步长受平流过程风速的限制， 而平流过程相对于重力 波 是 一 种 慢 运 动 过 程 ， 因 此 其时 间 步 长 较显 式 格 式 长 得 多 1 6 ,1飞 但 这 一 步长 仍 要与 单 纯考 虑模式 精 度时所 容许的 最大 时间 步长 18 早在1 9 5 9 年w i in - n i e ls e n 9 1提出了 半拉 格朗日 方法， 就 是采 用达到一组 规 则网 格的质点， 经历一个时间间隔追溯到他们的出 发点， 而在出 发点的要素值由 他们周 围 格点 的内 插所 得。 r o b e r t! 1将半隐 式与半 拉 格朗日 方法 相结 合， 将模式 方程 组 中的平流项做拉格朗日 处理，将重力波项做隐式处理，即 半拉格朗日 半隐式方法， 这一方法大大拉长时间积分步长 ( 约为欧拉半隐式格式的 6倍) 。此后该方法引起 了广泛的关注，s a t e s和 m c d o n a l d 将该方法应用到分裂显式初始方程上; r o b e r t , s t a n i f o r t n 和t e m p e r t o n - 研 究 了 三 时 间 层 的 半 拉 格 朗 日 格 式 在 浅 水 方 程中 的 应用， m c d o n a l d l , t e m p e r t o n 和s t a n i f o r t h 0 , p u r s e r 和l e s l i e , c b t d 和 s t a n i f o r t h l 研究的 是半拉 格朗日 半隐 式的 两 层时 间 格式， 在保 证计算精 度的 基 础 上大 大 提高了 计算 效 率; s t a n i f o r t h 和t e m p e r t o n l 将它 应用 到 有限 元 上; r i t c h i e 将 其 与 谱 模 式 相 结 合 ， 后 来 又 推 广 到 斜 压 谱 模 式 上ae ) ; g r a v e l l0 等 研 究 了能保持浅水波方程质量守恒的半拉格朗日 格式。 此外，还有国内外很多学者在半 拉 格朗日 半 隐 式 方 法的 改 进与 应 用 方面 进行了 大量的 工 作197- b 。 近 年来陈 嘉 滨rn 等 对半拉格朗日 守恒性方面进行了 大量研究， 构造了一种值得重视的全新的能量守恒 格式。 现在半拉格朗日 半隐式格式被广泛的应用到业务上， 如加拿大、 美国和e c m iy f 等。 我国现阶段开发的g r a p e s 多尺度通用模式的时间差分即 采用半隐式半拉格朗 日方法。 3模式未来发展过程中尚待解决的一些问题 国际上正酝酿开展的 t h o r p e x ， 计划，其目的就在于改进对有重大影响 ( h i g h - i m p a c t )天气事件的预报。 作为主要预报手段， 发展完善数值预报模式就 成为当务之急。 它涉及多方面的问题， 其中提高模式的水平和垂直分辨率是基本的， 也是有效的手段， 这一点已为近二三十年来数值预报实践所肯定。 近年来， 计算机 和计算技术迅猛发展， 充分利用计算机资源，极大地提高模式分辨率， 发展高精度 新一代数值模式，已 成为各国 数值预报研究的共同 努力方向， 不仅是针对中小尺度 系统区域模式， 对于用于中期预报和短期气候预报的模式也是如此.例如欧洲中期 天气预报中心的计划，就拟在2 0 0 8 年全球模式达到1 5 k 。 分辨率，而实际进展，很 可能 提前实 现。 然而提高 分辨率， 并 不是简单地加密网 格 就可达到预期目 的。 众多 数 值 试验的 结果 表明 . 7 ， 对月、 季 预 报 而言。 模式的 分辨 率的 细 化 并 不能 改善 预报， 在亚洲季风区和青藏高原东南侧反而预报效果有所下降。 也有研究表明， 在目 前模 式水平上继续提高分辨率，还是否有明显收益， 采用全隐式方案是保证之一。另外 一味的 强调 气候预测模式分辨率的 作用使计算量成倍增加， 如大型h e l m h o l t z 方程 求解、 半拉格朗日 方法的内 插以及谱模式中勒让德函数展开等等。因此，发展全隐 式模式，研究它的高效算法，己 成为模式发展的一个前沿课题。 多年来各国的 模式广泛采用半隐 式差分格式， 对不同时间 尺度的大气运动的 项采取不同的时间差分格式。 从计算稳定性看， 半隐式格式容许人们取时间步长远 比 显式格式的更长。 然而， 这种在方程组中 对产生快波和慢波项分别采用显式和隐 式差分的作法，造成不协调形成新的 误差源。例如， 对坐标中 气压梯度项的差分， 其第一项是线性项直接作半隐式差分;而第二项是非线性项， 得先线性化得出一项 为线性项和一项为偏差变量的非线性项，前者使用隐式差分，后者使用显式差分。 如此在气压梯度项的 这三部分中， 使 用了 两种不同 差分格式， 无疑将产生不协调， 引 起计算误差。 另外， 很难做到差分格式 保持原方程组的时空守 恒性。 很多采用半 隐式格式的天气预报和气候模式中， 所使用的计算格式是总能量守恒，仅是在显式 格式下条件。 例如欧洲中期天气预报中心 ( e c m w f ) 的原欧拉格式的 模式就是如此。 胡 英i 1 在 总 结 数 值 天气 预 报 发 展时 提出 : 半 拉格朗日 方 法 在2 0 世 纪9 0 年 代已 经 成 熟，或者说这一方法的 潜力已 经基本挖尽， 根据大气能量谱的 形状，有人认为半拉 格朗日 方法的优势会随着分辨率的 提高而消失。而未来数值预报模式， 只有向全隐 式格式发展，才有助于解决上述问题。 对数值预报方程组取全隐式格式，即不管是在线性项还是非线性项中的变量 均取未来时刻 ( 一阶精度)或取未来和现在两时刻的平均 ( 二阶精度)，就能克服 上面的问 题。用迭代求解， 在给定的时间步长内多次迭代直至非线性线误差很小， 就称之为非线性协调求解方法。 在这种全隐式非线性协调求解方法中 就不会出 现像 半隐式格式那样产生不协调引起的 误差及对计算格式守恒性影响( 如果此格式是守 恒的)。 我国学者早己 认识到采用全隐式格式的必要，并沿此方向 长期不懈努力， 曾 庆存等 (39 提出 了 全隐 式能 量守 恒 格式 ， 在 离散 化的 差 分 方 程组中 应用此 格式可 使整个系统在时间和空间上保持总能量守恒， 和防止能量单向短波向方传递的尺度 守恒， 保证计算绝对稳定. 这比世界上常用的瞬时空间守 恒格式进了 一大步。 然而， 这种全隐式 格式尚 未解决迭代收 敛问 题。 致使在实际 应用时， 不管收敛与否只要达 到事先设定迭代次数， 就停止迭代。 这就使得非线性误差不小，并且总能量难u 保 持原设计的时空守恒，从而失去原计算格式的一些光辉。 4本文的主要工作 由于缺少全隐式格式的有效求解方法，因此该格式数值计算一直没能有突破 性的进展，这也是当前计算数学及其相关领域致力于解决的问题。 最近j f n k ( j a c o b i a n - f r e e n e w t o n - k r y l o v ) 方法的 提出 为求解非线性隐