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共轭曲面的数字化表示及其精度评定 学科：计算机应用技术 研究生签字：何遥一霞 指导教师签字： 夏拟 摘要 随着现代机械加工和机械传动的发展，在生产实践活动中常常会碰到用繁琐的函数表 达式表示的复杂曲面，也会出现一些根本就不能用解析表达式描述的曲面，甚至由于知识 产权的问题，使得很多情况下，对于一些重要的零件，我们只能得到一些离散的数字点集， 在这种情况下基于解析曲面的共轭理论就无法处理了。针对这些情况，本文提出了切矢型 数字化曲面的表示方法，这种方法的研究，为数字化曲面的共轭展成加工奠定了重要的理 论基础，并且在今后的生产实践过程中具有很高的实用价值。 本课题的主要目的就是实现共轭曲面的数字化表示并对其精度进行评定。以前所涉及 到的共轭曲面表示都是基于解析式存在的情况下，通过大量的公式推导达到精确表示曲面 的目的，本文则是在已知一些离散点的位置矢量和点的一些其它具体信息包括点的一阶切 向矢量和二阶混合偏导矢等参量的前提下，通过利用带一阶导向矢量的埃尔米特插值，构 造u 向插值曲面，利用带一阶导向矢量的埃尔米特插值，构造y 向插值曲面，利用角点信 息和同样的埃尔米特插值，构造张量积曲面，最终将曲面拟合出来。分析由解析表达式表 示的复杂曲面通过共轭接触条件求解得到的共轭曲面上的任意一点和由拟合曲面上直接 求得的对应的离散点的位置矢量的误差。 根据上述理论的研究，本文采用己知蜗杆的廓形方程，求解用蜗杆磨削砂轮，得到的 砂轮廓形方程以及已知滚刀的廓形方程，求解滚刀铲磨砂轮，得到的砂轮廓形方程这两个 实例来分析，数字化表示的共轭曲面上离散点在啮合运动过程中，位置矢量产生的误差， 以确定这种拟合曲面的方法的正确性。 关键词：共轭曲面的数字化表示；共轭展成；二阶混合偏导矢；共轭接触条件 d i g i t i z e de x p r e s s i o no fc o n ju g a t es u r f a c e s a n di t sp r e c i s i o ne v a l u a t i o n d i s c i p l i n e ：c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt e c h n o l o g y s t u d e n ts i g n a t u r e ： e 下嘲棚 u s u p e r v i s 。rs i g n a t u r e ：叫 ，17 ：肌灿仪 一 a b s t r a c t a l o n gw i t h t h e d e v e l o p m e n to fm o d e mm e c h a n i c a lm a c h i n i n g a n dm e c h a n i c a l t r a n s m i s s i o n ，t h e r ew o u l dc o m eu ps o m ec o m p l i c a t e dc u r v e d s u r f a c e st h a tn e e dt ob e e x p r e s s e dw i t hv e r yp e r p l e x i n gf u n c t i o n s ，m o r ew o r s e ，t h e r ea r es o m ec a nn o te v e nb e d e s c r i b e dw i t ha n a l y t i c a lf o r m u l a s i nm a n yc a s e s ，t h ec o n j u g a t et h e o r yc o u l dn o th e l pu st o d e a lw i t hs o m ei m p o r t a n tm a c h i n ec o m p o n e n t s ，i fw ec o u l do n l yg e tl o t so fn u m b e rd o t ss i n c e w eh a v eb e e nl i m i t e db yt h ei n t e l l e c t u a lp r o p e r t yp r o t e c t i o n s i n c ec o n j u g a t et h e o r yc a nn o t w o r ki nt h e s es i t u a t i o n s ，h e r ec o m e st h ed i g i t a le x p r e s s i o nf o rc o n j u g a t ec u r v e ds u r f a c e s t h e r e s e a r c hi n t h i s p a p e r w i l le s t a b l i s ha ni m p o r t a n tt h e o r yb a s i so fc o n j u g a t eg e n e r a t i n g m a c h i n i n gf o rt a n g e n tv e c t o rt y p ed i g i t a lc u r v e ds u r f a c ea n dw i l lb ev a l u a b l ei nt h ef u t u r e m a n u f a c t u r ep r o c e s s t h em a i np u r p o s eo ft h i ss u b j e c ti st or e a l i z et h ed i g i t a le x p r e s s i o no fc o n j u g a t ec u r v e d s u r f a c ea n da s s e s s i n gi t sa c c u r a c y t h ee x p r e s s i o n so fc o n j u g a t ec u r v e ds u r f a c er e f e r r e dw e r e a l lb a s e do nt h ea n a l y t i c a lf o r m u l aa n dt h ea c c u r a t ee x p r e s s i o n sa c h i e v e dt h r o u g ham a s so f f o r m u l at r a n s m i s s i o n s i nt h i sa r t i c l ew ew i l lf i r s tg e tk n o w l e d g eo fs o m ed i s c r e t e dp o i n t sa n d t h e i rd e t a i li n f o r m a t i o ni n c l u d i n gf i r s to r d e rt a n g e n t a lv e c t o ra n ds e c o n do r d e rm i x e dp a r t i a l d e r i v a t i v ev e c t o ra n ds o m eo t h e rp a r a m e t e r s ，t h e nc o n s t r u c tv e c t o rq u a n t i t yi n t e r p o l a t i o nc u r v e d s u r f a c eb yh e r m i t ei n t e r p o l a t i o no ff i r s to r d e rs t e e r i n gv e c t o r ，a n dc o n s t r u c tt e n s o ra c c u m u l a t e c u r v e ds u r f a c ew i t ht h ea n g l ep o i n t sa n dt h es a m eh e r m i ti n t e r p o l a t i o n ，a f t e rb o t ho ft h e s et h e c u r v e ds u r f a c ec o u l dt h e nb ef i t t e d a n a l y z et h ee r r o ro fa n yp o i n to nt h ec o n j u g a t ec u r v e d s u r f a c ec a l c u l a t e d t h r o u g ht h ec o n j u g a t ec o n t a c tq u a l i f i c a t i o no fa n a l y t i c a le x p r e s s i o n e x p r e s s e dc o m p l i c a t e dc u r v e ds u r f a c ea n dt h er e l a t i v ed i s c r e t ep o i n ti m m e d i a t e l ya c h i e v e do n t h ef i t t i n gc u r v e ds u r f a c e b a s e do nt h ea b o v et h e o r e t i c a lr e s e a r c h ，w ew i l lc a l c u l a t eg r i n d i n gw h e e li nt h eg r i n d i n g o fw o r mw h e nw ek n o wt h ee q u a t i o n so fp r o f i l es h a p eo ft h ew o r ma n dg r i n d i n gw h e e li nt h e s c r a p i n go fh o b w h e nw ek n o wt h ee q u a t i o n so fp r o f i l es h a p eo ft h eh o ba se x a m p l e s w i t ht h i s r e s u l tw o u l dt h ep o s i t i o nv e c t o re r r o ro fd i s c r e t e dp o i n t sa n a l y z e d ，w h i c hw a si nt h ec o n j u g a t e s u r f a c e so fd i g i t i z e de x p r e s s i o nb ym e s h i n gm o t i o n ，t h e nw ec a nt e l lw h e t h e rt h ef i t t e dc u r v e d s u r f a c ei sr i g h t k e yw o r d s ：t h ee x p r e s s i o na b o u tt h ed i g i t i z e de x p r e s s i o no fc o n j u g a t es u r f a c e s ；c o n j u g a t e g e n e r a t i n g ；s e c o n d o r d e rm i x e d p a r t i a ld e r i v a t i v e ；c o n j u g a t e c o n t a c t q u a l i f i c a t i o n 主要符号表 蜗杆头数 模数 蜗杆齿根高 蜗杆齿顶高 蜗杆齿顶圆半径 蜗杆齿根圆半径 分度圆直径 砂轮半径 砂轮和蜗杆两回转轴夹角 蜗杆分度圆螺旋升角 滚刀的螺旋升角 铲背量 滚刀的基本蜗杆轴向齿形角 螺旋参数 蜗杆和砂轮的轴间距 滚刀齿数 铲磨砂轮与滚刀的初始轴间距 铲磨砂轮与滚刀的初始轴间距 滚刀基本蜗杆的螺旋参数 滚刀铲进运动的螺旋参数 滚刀前刀面的螺旋参数 砂轮轴相对滚刀轴在垂直平面内的倾角 砂轮轴相对滚刀轴在水平平面内的倾角 是刀刃上任意一点m 的前角 为m 点的基本蜗杆的导程角 1 2 l 2 ) y x c z m m 啦m r r o w k a p h 砀 硒 b n珂n缈比儿 学位论文知识产权声明 学位论文知识产权声明 本人完全了解西安工业大学有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间 学位论文工作的知识产权属西安工业大学。本人保证毕业离校后，使用学位论文工作成果 或用学位论文工作成果发表论文时署名单位仍为西安工业大学。学院有权保留送交的学位 论文的复印件，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名：锕匣致 指导教师签名： 日期：2 驴3 哗，闩? 乡日 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的学位论文是我个人在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，学位论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包含本人已申请学位或 他人已申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 学位论文作者签名： 1 可趁定 指导老师签名： 日期：劬矿耸门, 0 日 4 7 1 绪论 1 绪论 1 1 共轭曲面的数字化表示的目的和意义 二十世纪以来，随着现代机械加工和机械传动的兴起和日趋精密化、自动化和大型化， 使得几何图形与运动关系的研究工作获得迅速发展l l j 。因此在生产实践活动中常常会碰到 用繁琐的函数表达式表示复杂曲面，也会出现一些根本就不能用解析表达式描述的曲面， 如外形曲面中包含剧烈变化曲面的雕塑曲面、基于流体分子设计的飞机、机身表面以及由 众多简单曲面拼接而成的复杂曲面等等【2 j ，甚至由于知识产权的问题，使得很多情况下， 对于一些重要的零件，我们只能得到一些离散的数字点集，无法得到整个曲面的全部信息。 由于上述原因使我们所掌握的解析曲面的共轭求解理论，遇到了以下问题，一是由解 析方法求出的共轭曲面，如果考虑载荷、材料、温度、弹性等因素后，要求加入许多修正 系数，这些修正系数使得曲面不再有解析性质；二是它的适用性具有很大的局限性，如果 遇到的曲面为非解析形式表示的离散化数字曲面，解析曲面共轭理论无法适用；三是不利 于曲面的后序工作，如精密加工制造、虚拟制造仿真、工程分析、产品再设计以及产品的 精密测量等具有一定的难度【3 】1 4 】【5 】。因此在实际生产过程中，常常会遇到很多复杂的问题， 使得解析曲面的共轭求解理论无能为力。 为了解决这个问题，从二十世纪八十年代末，美国率先提出“先进制造技术的概念 以来，先进制造技术的研究与开发很快在世界范围内受到了普遍重视【_ 7 1 。现代先进制造技 术通过对传统制造技术的创新性发展，不断吸收现代机械、电子、材料、信息、计算机、 管理等前沿技术的最新成果，并将其综合应用于产品的开发、设计、制造、检测、管理、 售后服务等制造全过程，以实现优质、高效、低耗、清洁、敏捷制造。它具有先进性、通 用性、系统性、集成性等特点，其发展的总趋势为：精密化，柔性化，数字化，虚拟化， 网络化，智能化，敏捷化，清洁化，集成化以及管理的创新【8 1 【9 】。而数字化设计与制造技 术是先进制造技术的基础。因此经过国内外大量的学者的不懈努力，终于提出共轭曲面的 数字化方法，建立共轭曲面的数字化方法体系【1 。 虽然对于数字化曲面迄今尚无公认的定义，但是我们可以认为数字化曲面就是一个连 续曲面的数字化点集合【2 1 。它的提出解决了现代数字设计、数字加工和各种数字反求工程 中的问题。数字化曲面是一个连续曲面的数字化点集，是用离散化的一系列型值点来表示 一个复杂曲面【7 1 。为了实现曲面的高精度的表示，简单化复杂曲面的求解过程，更易于实 现曲面的后序工作，如计算机仿真计算和动态优化设计，还可以加入曲面的一些精确信息， 如边界条件或者曲面在该点的切向矢量以及法向矢量。 数字化共轭曲面理论的特征就在于抛开传统共轭曲面理论的繁琐推导与变换，仅借用 其共轭条件的构架关系，利用数学方法，借助于计算机来解决共轭曲面理论中的问题、既 两安1 ：业人学硕十学位论文 能解决数字母曲面问题，又能处理解析母曲面的求解问题，实现真正意义上的数字化共轭 曲面理论分析，即从数字化到数字化的分析求解过程【1 1 。 因此共轭曲面的数字化方法的研究，特别是数字化共轭曲面的求解既具有重要的理论 和实用价值又为数字化曲面的共轭展成加工奠定理论基础，同时也是今后研究热点和重 点。 1 2 共轭曲面的数字化表示的发展及研究现状 进入二十世纪以来，随着所讨论的运动方式的普遍化，于1 9 5 6 年由“连接滑动接触 共轭曲面及其应用”这篇论文中首次提出的共轭曲面理论这个概念【”】。 共轭曲面理论是一门具有众多应用领域的技术科学，它对各种机械加工和各种机械传 动都具有普遍的指导意义i l j 。它可以应用于解决复杂齿形曲面和空间凸轮曲面的设计与加 工，加工工具的几何轮廓设计，复杂空间机构的运动分析、综合和设计，切削加工中切削 几何形状和表面光洁度形态分析，多坐标数控加工和图形显示的程序编制，各种误差引起 的精密复杂曲面间的接触状况和传动精度的变化的分析，精密复杂曲面的测量等领域，特 别是在机械设计和机械加工中有着广泛的用途，诸如工具曲面、轧钢辊面以及齿轮齿面设 计、凸轮轮廓设计、机构的运动分析与综合、加工仿真等众多领域1 2 】【1 3 】【1 4 】。 共轭曲面原理的发展经历了从简单共轭曲面发展到广义共轭曲面，由单自由度、简单 双自由度发展到广义双自由度和多自由度，由线接触、单自由度点接触发展到有控点接触 和多自由度点接触等等【1 5 j 1 1 6 j 复杂的发展过程。 共轭曲面的理论又可以分为传统的共轭曲面求解理论和数字化共轭曲面求解理论两 种，传统的共轭曲面理论又称为解析共轭曲面理论1 1 7 j ，它是基于解析表达式描述的已知 曲面，通过人工推导，得到的与它相共轭的共轭曲面的解析方程，然后编程由计算机计算 结果。 数字化曲面是通过对曲面的数字化处理而形成的，因此一般来说其具体数学表达式未 知。目前，国内对数字化曲面的研究处于起步阶段【7 】。通常认为，数字化曲面表示一个连 续曲面的数字化点集合，其理论主要研究数字化曲面与共轭解析曲面之间以及数字化曲面 与数字化曲面之间的联系与运动，它突破了传统共轭理论所要求的两成对共轭曲面必须为 解析曲面的限制，其实质【1 】是要对传统的解析共轭曲面原理进行数字化离散改造，即将其 中的连续变量离散化，对于可离散化变量如位置矢量，具体离散到某一点的位置矢量；对 于不可离散化变量如某一点的法向矢量、曲率等有赖于对解析式求导的变量，则需要通过 其它数学方法加以解决【2 3 1 【1 8 l 。因此，数字化共轭曲面理论需要解决如何将不可离散化变 量离散化的问题，数字化共轭曲面理论脱胎于传统的共轭解析理论，它应用现代数值方法， 借助于计算机对数据的离散处理能力，将宏观的、连续的曲面共轭问题转化为微观的、离 散的共轭问题l 。 2 西安t 业大学硕十学位论文 数字化曲面不一定是一种真实存在的曲面，它可以三维矩阵形式存储于计算机中。整 体的人机分工流程见如图1 1 所示： 6 虱 图1 1 共轭曲面综合中的人机分工 到现在，在生产实践中遇到了一些更富于挑战性的问题，如准双曲线齿轮的啮合、弹 性齿轮的接触等【刀，这些传动方式突破了传统机械传动理论的刚体假设规范及连续性假 定，从而推动了共轭曲面理论的研究，共轭曲面理论研究的典型内容包括研究成对弹性体 曲面几何图形及其共轭运动的弹性共轭曲面原理【1 9 】，将手工推导计算转换为计算机自适 应处理的离散解析共轭曲面原理【删，突破了两曲面必须连续相切接触的假定；将模型转 换为标杆函数的共轭曲面数字仿真原理【2 1 l 等。 1 3 课题的来源与主要研究工作 该课题来源于“国家自然科学基金资助项目基于齿轮测量中心的锥齿轮测量与分 析方法及其软件实现( e 0 5 1 2 0 1 ：机械传动) 。本文的研究题目为：共轭曲面的数字化表 示及其精度评定。 本项目针对我国在弧齿锥齿轮和准双曲面齿轮( 简称锥齿轮) 齿形检测与分析方面的 技术空白，面向锥齿轮制造业产品质量管理与控制的技术需求，研究基于国产齿轮测量中 心的锥齿轮齿距和齿形偏差的测量与分析方法及其软件实现技术。主要研究适合锥齿轮各 类加工方法和机床，并基于实际应用的切齿调整参数的齿面几何统一模型算法；齿面测量 范围及测量网格点几何参数计算方法；测量过程四轴联动坐标轴运动控制策略；齿形误差 计算；齿形误差识别与修正方法；未知参数锥齿轮测量及几何参数、调整参数反求方法； 3 两安1 ：业人学硕+ 学位论文 基于测量结果的轮齿接触分析；大轮有误差时配对小轮的合理调整参数计算方法；基于 w i n d o w s 操作系统的软件系统开发等。本项目的研究为锥齿轮( 特别是大型锥齿轮) 产 品质量控制与管理提供先进方法和技术，对提高我国锥齿轮产品质量和在锥齿轮传动领域 的技术水平具有重要的意义。 在该项目中本课题所需要完成的任务是数字化曲面模型建立。课题的主要研究内容可 以分为两部分。首先，如果给出的曲面是解析曲面时，可以通过计算将解析曲面离散化成 数字化曲面，即将可离散化的变量如位置矢量，具体离散到某一点的位置矢量；对于不可 离散化的变量如某一点的法向矢量和曲率等依赖于对解析式求导的变量，则需要通过其它 数学方法加以解决。如果已知的曲面就是用离散点表示的数字化曲面，那么除了要知道离 散点的位置矢量，还需要其他一些什么具体的信息才可以将曲面准确的表示出来。 其次，讨论对于已知的很多的离散点，以及已知描述曲面的一些精确信息如边界条件 或者曲面在该点的一阶的切向矢量、法向矢量的时候，采用何种的方法可以更精确的用解 析曲面表示出这些点所在的曲面方程，并得到与其相对应的共轭点的位置矢量以及相对应 的精确信息包括一阶的切向矢量、法向矢量等信息。并通过仿真，来比较最终由复杂曲面 的理论函数表达式求解出的共轭曲面上任意离散点与通过拟合的数字化曲面表示方法求 解出来的离散点的位置矢量的误差。 1 4 本文的主要工作 1 ) 本课题主要目的是实现共轭曲面的数字化表示及其精度评定，所需要解决的问题 如下： 当曲面是数字化曲面时，要想精确的将曲面表示出来，除了已知的位置矢量以外， 还需要哪些详细的信息可以将一个数字化曲面表示出来； 拟合曲线时可以采用拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等多种插值方法， 本文需针对采用何种方法将离散点拟合成曲线做出分析； 如何通过“线动成面 的方法，将拟合的曲线表示成曲面； 通过已知解析表达式表示的曲面求解出的任意离散点的位置矢量和通过本文介绍 的由数字化曲面表示方法求解出来的任意离散点的位置矢量进行比较。 2 )全文分成六章，具体内容如下： a 、绪论。本章主要介绍了共轭曲面数字化表示的目的和意义，它的发展状况以及本 课题的来源和主要研究的工作情况。 b 、共轭曲面数字化表示方法的研究。本章先讲述了一下共轭曲面的研究内容，然后 通过比较三种数字化表示方法的特点，最终确定本课题选择的切矢型数字化去曲面，并简 单介绍了曲面求解的过程。 c 、共轭曲面数字化表示的模型的建立。本章通过分段三次埃尔米特插值建立了插值 曲面，再通过线动成面的方法，拟合出数字化曲面，建立了数学模型，并给出求解算法。 4 两交j i ：业人学硕十学位论文 d 、基于蜗杆磨削的数字化曲面的研究。本章以z a 型蜗杆的磨削和砂轮截面的求解 过程为实例，并通过仿真，最后对通过解析表达式求解的砂轮曲面上点的位置矢量和通过 拟合算法表示的砂轮曲面上的点的位置矢量进行误差分析。 e 、基于滚刀铲磨的数字化曲面的研究。本章介绍了滚刀的磨削和砂轮的截面求解过 程，通过共轭接触方程求解出由解析表达式表示的滚刀曲面的共轭曲面，即砂轮的回转面， 与用拟合方法求解出的砂轮回转面上任意一点的位置矢量误差分析。 f 、结论与展望。对自己所做的工作做了一个总结，并对以后的继续深入研究提出了 一点建议。 5 2 共轭曲面数字化表示方法的研究 2 共轭曲面数字化表示方法的研究 数字化共轭曲面理论主要解决了如何用由离散坐标值表示的复杂曲面来替代原来的 由解析表达式表示的复杂曲面的问题，以便使后续的工作如曲面的微观特性以及曲面的数 控加工等更容易实现。本章主要从以下四个方面介绍了数字化共轭曲面：共轭曲面数字 化理论的研究内容：确定共轭曲面方法的分类；数字化曲面表示方法的分类；共轭 曲面数字化的求解。重点分析了数字化曲面表示方法的分类，并最终确定了本课题选择切 向矢量型数字化曲面。 2 1 数字化共轭曲面的研究内容 数字化共轭曲面理论主要研究由离散点集表示的数字化曲面与共轭解析曲面之间或 者数字化曲面与数字化曲面之间的联系与运动及相互转化的规律【1 1 。它的实质是对传统的 解析共轭曲面进行数字化离散改造，即对其中的连续量进行离散化，对于可离散的变量如 位置矢量就具体的离散到某一个点的位置矢量，对于不可离散化的变量，如某一个点的法 向矢量和曲率等依赖于对解析式的求导，通过其他数学方法加以解决，最终将宏观的连续 的曲面共轭问题转化为微观的离散的曲面共轭问题。 2 2 确定共轭曲面方法的分类 确定共轭曲面的方法有以下三种情况： 1 )相对静止法：其基本作法是，若两共轭曲面在运动过程中，相对位置固定，在 参考空间里瞬时接触线不变( 接触线曲面退化成直线或曲线) 。这时，在求解过程中， 就可把两共轭曲面看作是相对静止的曲面，这种解题方法称作相对静止法( 简称静 止法) 。这种方法适用于曲面，、：都是旋转面( 如两摩擦轮表面及矫直辊面和圆材 表面) ，或其中一个曲面为螺旋面，另外一个曲面为旋转面( 如磨削螺旋槽时的磨轮 表面与螺旋槽表面) 的情况【1 1 。 2 )包络法：基本思想是当母曲面2 ：- 在作相对运动u z 。h y ：时，在共轭曲面2 = ，的 坐标系中就形成了曲面族 二- ) ，这时共轭曲面三：就可看作是曲面族 三一 的包络，这种解 题方法称包络法。它是微分几何中的一种古典方法，该方法几何关系明晰、应用面广泛， 但运算较繁。在结合生产中的实际问题进行研究，包络法有所发展，并导出了一系列计算 公式和有益的结果，推理、论证、求解都比较方便【1 1 1 。 3 )运动学法：其基本思想是两共轭曲面为了保证在每一接触点上，即不嵌入也不 分离，其相对运动线速度h ，还必须落在两者在该点的公切面上，或者说h ，必须垂直于两 曲面在该点的公法线，故有嵋：上n = 0 。这是齿轮啮合原理中广泛应用的一种方法。 它具有明确的运动学意义。 6 两安下业大学硕十学位论文 上述三种方法的基本原理是一致的，只是分析问题的出发点和解题路线有所不同，在 实际使用过程中要根据不同类型的共轭曲面和共轭运动来选择具体采用哪种方法来确定 共轭曲面。 2 3 数字化曲面表示方法的分类 数字化曲面的表示方法可以分为以下三种情况【2 】【2 3 】： 1 )自由型数字化曲面的表示方法：自由型数字化曲面是指仅由一系列离散点的位 置坐标表示的曲面，属于欠约束型数字化曲面。它的表示方法分为很多种，主要方法有最 小二乘法和样条曲面来求解数字化曲面的解析表达，常用的样条曲面有双三次样条函数， 孔斯样条曲面，弗格森样条曲面，b e z i e r 样条，b 样条曲面和n u r b s 曲面，当前也出现 了一些改进的或者新的方法，比如e b 样条曲面和x 样条曲面。 2 )法向矢量型数字化曲面的表示方法：法向矢量型数字化曲面属于约束型数字化 曲面的一种情况，它的数据信息中不仅包含离散点集的位置坐标，而且还包含法向矢量这 个重要的约束信息。对于法向矢量作为约束信息的数字化曲面，可采用代数样条曲面的最 小二乘拟合方法来进行数字化曲面的表示，这种方法的实质是保证了拟合后的曲面每一处 的梯度和原理论曲面的法向矢量方向一致【2 2 1 。 设数字化曲面中离散点集的位置矢量为p l 0 j 1 ，p j 2 p i ，) 尺3 ，法向矢量为匾，首先 可以将曲面的数学函数式表示出来为： f ( x ，y ，z ) 一m f o ) ，( y ) q q ) q 胜 ( 2 1 ) ( i ，熊， 。 其中：m t ) 、n j ( y ) 和q 0 ) 分别为对应于曲面在三个坐标方向上的各自的一组节点的 三次样条函数，c u 乒是实数系数项，一旦c i ， 确定下来，代数样条曲面的方程就可以唯一 的确定下来。 引入代数距离方程： nl- 三( c ) 一【厂 妒p i , 2 p i , 3 ) ( 2 2 ) 另设一个方程为： i |i i z m ( c ) 一善| | w f ，1 ，p f ，2 ，p 邸) 一厩l i 一芝( 六仞蛆，p f ，2 p ) 一传，1 ) 2 + ( f y ( p i , l p i , 2 p i , 3 ) - n i , 2 ) 2 + ( lc o f ，1 ，p f ，2 p f ，3 ) 一，z ) ： ( 2 3 ) 若将求解实系数项的方程定义为线性组合： f ( c ) = l ( c ) + 6 m ( c ) _ m i n ( 2 4 ) 则在求解过程中可能遇到的问题是出现奇异矩阵，代数样条不连续，因此又引入了一个调 整方程： 西安_ 丁业人学硕十学位论文 g ( c ) = f f r 疋+ 2 岛+ 焉+ 2 定+ 2 + f 2 d x d y d z ( 2 5 ) 百 从而可以推导出最终求解的实系数方程为： f ( c ) = l ( c ) + t o l m ( c ) + t 0 2 g ( c ) _ m i n ( 2 6 ) 其中q 和是权因子，可以通过在不同的区间配置出不同的权因子来调整局部被逼样条 曲面的外观。 3 )切向矢量型数字化曲面的表示方法：切向矢量型数字化曲面属于约束型数字化 曲面的另一种情况，它的数据信息中不仅包含离散点集的位置坐标，而且还包含离散点的 一阶切向矢量这个重要的约束信息。对于以切向矢量作为约束信息的数字化曲面，它的表 示方法可以采用三种，参数双三次样条曲面，孔斯双三次样条曲面，弗格森样条曲面，本 文正是选用的这种方法来表示数字化曲面的。 2 4 共轭曲面数字化的求解 数字化共轭曲面理论实质上是要对传统的解析共轭曲面原理进行数字化离散改造，即 将其中的连续变量进行离散化，对于可离散化变量如位置矢量，可具体离散到某一点的位 置矢量；对于不可离散化变量如某一点的法向矢量和曲率等有赖于对解析式求导的变量， 则需要通过其它数学方法加以解决。将宏观的连续曲面共轭问题转化为微观的离散共轭问 题，因此，数字化共轭曲面理论需要解决如何将不可离散化变量离散化的问题，数字化共 轭曲面理论脱胎于传统的共轭解析理论，应用现代数值方法，离散数学以及计算机对数据 离散处理的能力，将宏观的连续曲面共轭问题转化为微观的离散共轭问题l 。 在进行共轭理论的研究过程中，共轭关系与共轭条件是研究的基础和重要依据，如何 表示出两图形共轭接触时的共轭条件是解决共轭问题的关键所在。 求解共轭图形的坐标系见图2 1 所示，、，为两共轭的任意曲面，其中，设为母 曲面，s l ( d 1 ，墨，y 1 ，z 1 ) 、s 2 ( d 2 ，x 2 ，y 2 ，z 2 ) 为两个分别与曲面。、：相固连的坐标系，0 n 、 兄2 ) 分别表示，、，上一点的位置矢量，咒：n 、，l j 2 ) 分别表示曲向，、，上( 1 1 、一2 ) 两点处的单位法向矢量。上述符号中上标表示所定义的坐标系，下标表示所属的曲面。 设母曲面z ，在坐标系s ，中，可表示为以u 、v 为参数的方程( 1 ) _ - 4 1 ，y ) ，则曲面 按以t 为参数的规律变化，在空间形成一个曲面族，该曲面族的方程则为( ，) ：r 1 ) = ( 1 ，u t ) ，其中u ，v 是母曲面的几何参数，t 是母曲面的变化参数，当母面无形状 变化时，t 则为运动参数。 8 两安jr j 世人学硕+ 学1 = 7 ：论文 z ， 2 、 y i 图2 1 共轭图形求解的坐标系 若存在一个曲面：与曲面族( ，) 中任一个曲面，都有一条公共线l 或一个公 共点m ( 也称接触线或接触点) ，在公共线每一个点m 上，与，都有公切面和公法线， 曲面：即为曲面族( ，) 的包络，面曲：与，互为共轭曲面，这种接触现象则称为共轭 接触状态或共轭传动。 曲面，与，为欲实现共轭接触运动，两曲面必须满足以下基本条件： 曲面l 、z ：上对应的接触点( 共轭点) m 。、m 2 必须重合为一点，即r 2 一r t r o ， 等价于 0 2 一矗2 ，v ，t ) ( 2 7 ) 两曲面在接触处相切，即在接触处有公法线，且两曲面应在其空域一侧接触，即 _ ；一2 ( 2 8 ) 两曲面在接触处的相对速度v 1 2 应位于该处的公切面内，以保证连续接触，而不 致发生嵌入或分离状态，即 h 2 = 0 ( 2 9 ) 通常称( 2 9 ) 式为共轭条件( 或包络条件) 。 由( 2 7 ) 、( 2 8 ) 两式联立求解，即可求得母曲面，的共轭曲面为z ，。亦即由共轭条 件( 2 9 ) 求得运动参数t 与母曲面的几何参数( u ，v ) 之间的关系：t = t ( u ，v ) ，然后代入( 2 7 ) 式，e p - - i 得到共轭曲面三：2 = 2 ， ，) 。 2 5 小结 本章通过介绍数字化曲面表示方法的分类，分析了欠约束型曲面和两种约束型曲面的 表示方法的区别，并最终确定本课题选择的曲面类型。 对于自由型数字化曲面，也称欠约束型数字化曲面，曲面的边界条件需要自定，当边 界发生微小的改变时整个曲面就会发生较大的变化，而且这种方法表示出的曲面拟合误差 9 西安丁业人学硕十学位论文 很大，难以实现数字化曲面的高精度表示，所以一般不采用这种方法表示数字化曲面。 法向矢量型数字化曲面，虽然属于约束型数字化曲面，但是这种方法在求解的过程中 涉及到了三个三次样条相乘，所得到的最高次运算为九次的复杂运算，要想达到我们熟悉 的最高次项为三次的数学运算，必须通过多次降阶，将九次降阶成三次，运算过程繁琐且 计算量太大，同时由于求解过程需要引入一个调节方程g ( c ) ，两个代数距离方程m ( c ) 和 工( c ) ，以及在最终的优化方程求解过程中还涉及到两个权因子蚴和的确定问题，确定 权因子时需要通过多次的试验来确定，当选取的离散点发生变化时又要重新的给权因子赋 值，稳定性不是很好，程序的自动化功能降低，因此本课题也不采用这种方法表示。 对于约束型数字化曲面的另一种表示曲面，切向矢量型数字化曲面，由于明确了离散 点的位置矢量和切向矢量，所以可以采用双三次样条函数、孔斯样条函数、弗格森样条函 数表示曲面，无论采用哪一种样条函数表示，其中的一阶切向矢量和二阶混合偏导矢都是 根据所采用的三切矢连续性方程和已知的边界条件联合求解出来。因为样条曲面表示的系 数矩阵中直接含有数字点集的位置矢量，切向矢量和二阶混合偏导矢，因此求解过程很方 便。 本课题研究的重点正是采用切向矢量型数字化曲面，在已知每一个点的一阶切向矢量 和二阶混合偏导矢的前提下，来分析求解出的数字化曲面和由解析式表示出来的复杂曲面 在位置矢量等方面的误差。 1 0 3 共轭曲面数字化表示的数学模犁 3 共轭曲面数字化表示的数学模型 本章通过对拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值理论的分析，确定了本课题最终 选用的插值类型为埃尔米特分段插值，并根据理论知识建立了数字化共轭曲面表示的模 型。 3 1 数学模型的建立 在代数插值理论中，由于采用的插值多项式的不同，因此插值理论也可以分为拉格朗 日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。其中拉格朗日插值的计算过程仅与结点坐标有关， 不受其他因素的影响，虽然简便，但是每增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计 算，不具备继承性，同时还造成计算量的浪费，因此不提倡这种方法。牛顿插值虽然具有 很好的继承性，但它与拉格朗日插值仅仅是形式上有差别，本质上都是只考虑已知离散点 的位置矢量就可以表示出曲线。而埃尔米特插值( 即h e r m i t e 插值) 的求解过程不但考虑 到离散点的位置矢量还要求知道各离散点的切向矢量。 ， 由于本课题的前提条件是已知具体的离散点的位置矢量、一阶切向矢量，以及二阶混 合偏导矢，因此埃尔米特插值( 即h e r m i t e 插值) 更适用本课题的需要。但是当涉及到很 多的离散点的时候，埃尔米特插值多项式的次数也升高，容易产生龙格现象( 高次插值函 数在两端激烈震荡，产生极大的误差) ，使得逼近的效果往往是不很理想的。另外，从舍 入误差来看，高次插值误差的传播也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计算中 不断扩大，并传播到其它节点上。 所以本课题最终决定采用埃尔米特分段插值的方法，即用分段多项式来代替单个多项 式进行插值，先将插值区间分成若干个小的区间，在每个小区间中采用埃尔米特插值，最 终构造出分段三次埃尔米特插值曲线模型，这样增加插值点使区间变小时，误差会随着插 值点的增加而减小，只要节点的间距充分小，分段插值总能获得所需要的精度。 3 1 1 分段三次埃尔米特插值曲线的数学模型的建立 1 ) 埃尔米特插值曲线的定义 2 4 j 设【口，b 】上万+ 1 个互异结点，x 1 ，x 2 ，一 x n ，另外给一组结点上的函数值y o ，y l ，y 2y j y 。， 导数值) ，：，y ：，y ：，或，要求构造一个次数尽量低的多项式1 4 ( x ) ，使它满足条件 ) = y i , h ) 一y ；其中f o ，1 2 ，n ，此时这个条件成为埃尔米特插值条件，这里共有 知+ 2 个插值条件，故要求日伍) 日( 2 ”i t ) ， 将h o ) 表示为如下形式： h ( x ) - - y ，彳知) + y ；b ， ) ( 3 1 ) 两安1 ：业人学硕十学位论文 其中a f ) ，b 姒) ( 0 sj s ，1 ) 称为h e r m i t e 基本插值多项式。它们均是2 n + 1 次的，且满 足下来的条件，对于任意的i ，j = o ，1 2 ，”研，有 粥j b j ( x , ) 冀- 2 ) 1 彳；“) 一。似 ) = 嘞 。7 其中岛 k r o n e c k e r - , 5 函数，j j b _ , 由满足上面( 3 2 ) 的条件的多项式彳，o ) ，b ，0 ) 构成 的次数不超过知+ 1 的代数多项式日o ) 恰好满足h “) = y ih7 瓴) = y ；，称( 3 1 ) 为埃尔米 特插值公式【2 0 l 。 确定基本插值多项式彳o ) 和b ， ) 由l a g r a n g e 基本插值多项式z j “) 具有的性质 ， ) = 6 ，可以设 彳， ) 一口0 ) z 2 ， ) ，b ，o ) = ， y 2 ， ) ( 3 3 ) 其中a i 0 ) 和6 ，o ) 均为待定的1 次多项式， 由( 3 2 ) 式可得， 1 = 彳j ，) = a j 0 ，y 2 ， ，) = a j ，) o = 彳；o ，) = 2 a ，) z ， ，) l j ( x ) + 口；o ) z 2 ， ，) = 2 a ， ，) 巧0 ，) + 口；o ) 得到口， ，) = 1 ，口；o ，) 一一勉 ，) l j ( x ，) 所以 a j o ) = 1 - 2 ( x - x ，) l j ( x ，) ( 3 4 ) 同理可得 0 一b ，o ，) = j g ，) z 2 j ( x ，) = 卢 j ) 1 = b ； j ) = 2 , e ，y ， ，) 巧 ) + ，) f 2 j ( x ，) 一0 ) 故 ， ) = x - - i ， ( 3 5 ) 将( 3 4 ) 、( 3 5 ) 式代入到( 3 3 ) 式得： 彳，o ) = 1 - 2 ( x - x ，) l j ( x ) i t 2 ) ( 3 6 ) b ， ) f f i ( x - x 2 ， ) ( 3 7 ) 通过证明这种插值多项式彳f o ) 和b f 0 ) 是唯一的。 在曲面的表示中，由于参数表示满足几何不变形的要求，易于规定曲线、曲面的范围， 易于表示空间曲线，以及处理多值问题，易于计算曲线、曲面上的点及其它信息等，因此 给出在任意参数域u m ；，u 】上的参数三次埃尔米特插值的公式如下： 1 2 两安l ：业人学硕+ 学位论文 p = 【r ( f ) e o ) ；g o o ) 。g 1 0 ) 】 p i p “1 p i p i 1 = t 血一比r c “一比t ，2 c “一h t ，3 ，0 量 l 。f ) 3 其中f ；半，f 砘r 即 ； 0 3 ( a i ) 2 2 ( 色) 3 o0 1 2 a j 1 ( a ；) 2 0 1 a f 1 ( a ，) 2 ( 3 8 ) 2 ) 埃尔米特插值方法具有以下的性质： a 、具有二阶连续导矢，即二阶参数连续性。 b 、收敛性，如果数据点取自某已知或者未知的被插曲线，且所取数据点不断加密， 所生成的参数曲线将收敛到被插曲线。为了在插值曲线中构造出局部曲率变化较大的部分 形状，在该