（计算数学专业论文）组合序列及其应用.pdf

摘要 摘要 本文研究了组合递归序列的结构性质及应用，内容如下： 1 通过a i g n e r 阵及其逆的第一列，刻画了c a t a l a n l i k e 数偶的概念，讨论了它们 的若干性质。特别显示了它在包含各种组合序列的恒等式方面的作用，在此基础上，得 到第类c a t a l a n l i k e 数的h a n k e l 行列式可以用第二类c a t a l a n l i k e 数来表示。此外， 还得到了一类特殊的c a t a l a n - l i k e 数的类似于t a y l o r 级数展开的结果。 2 在b e n a o u m 在引入的( o 脚一量子变形平面的基础上，首先建立了( q ，h ) 一量子变形 平面上的变量的任意次乘积的变换公式，进而给出了多项式定理、二项式反演、 c h u - v a n d e r m o n d e 恒等式等结果的( q ，h ) 一模拟以及一对新的双指标级数互反公式。 3 通过考虑单阶梯上标号方块l a t t i c ea n i m a l s 的计数问题，引入了一类 f i b o n a c c i l i k e 数与l u c a s - i i k e 数的新概念，讨论了它们的组合性质，得到了此计数 问题的均值与均方差的计算方法。此外还考虑了双阶梯上标号方块l a t t i c ea n i m a l s 的 计算公式。 4 通过引入一类双变量的广义f i b o n a c c i 序列，建立了其与a i t k e n 、s e c a n t 、 n e w t o n r a p h s o n 、h a l l e y 等变换的关系，进而给出了q 一矩阵的一个更广泛的推广。此外 还建立了涉及两类c h e b y s h e v 多项式的恒等式，证明了m e l h a m 的一个猜想，推广了 g r a b n e r 和p r o d i n g e r 的一个结果。最后，讨论了类含二阶递归序列求和的敛散性及 广义7 a c o b s t h a l 多项式的一个推广。 5 ，建立降阶递归法，并用这种方法得到广义f i b o n a c c i l u c a s 数、e u l e r 数、g e n o c c h i 数等的多重卷积求和的封闭公式，进而得到了若干r i e m a n nz e t a 函数与b e t a 函数的恒 等式以及一类l a t t i c ea n i m a l s 的高阶累积量的计算公式。 6 ，定义三类( 左、右、对称) 广义p a s c a l 矩阵，讨论了它们的相互联系以及广义对称 p a s c a l 矩阵的c h o l e s k y 分解，并且得到广义右p a s c a l 矩阵的对角化与一类递归序列具 有紧密的联系。 7 建立一类包含序列与二项系数部分和的组合恒等式，得到许多新的奇异的组合恒 等式。 关键词：c a t a i a n - li k e 数偶，h a n k e i 矩阵，降阶递归法，多重和，f i b o n a c c - i i k e 数，l u c a s - i ik e 数，双参数广义f ；b o n a c c l 数，口- 矩阵，( 研助一模拟，广义p a s c a i 矩 阵，q 算子，组合恒等式 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e ss o m es t r c t l l r ep r o p e r t i e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n st oc o m b i n a t o r i a l s e q u e n c e s t h ec o n t e n ti sa sf o l l o w s ： 1 b vt h ef i r s tc o l u m n so fa i g n e rm a t r i xa n di t si n v e r s e ，w ec h a r a c t e r i z et 1 1 ec o n c e p to f c a t a l a n 1 i k en u m b e rp a i ra n dd i s c u s st h e i rp r o p e r t i e s b a s e do nt h e s e ，t h ea p p l i c a t i o n sa r e d i s p l a y e ds p e c i a l l y 0 nc o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s i n v o l v i n gv a r i o u sc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e s i n t e r e s t i n gt h a tt h eh a n k e ld e t e r m i n a n t so ft h ec a t a l a n l i k e1 1 1 , , i 1 b e r s o ft h ef i r s tk i n dm a yb e e x p r e s s e di nt h ec a t a l a n l i k en u m b e r so f t h es e c o n dk i n d f i n a l l y , w eg i v ear e s u l ts i m i l a rt o t h et a l o r ss e r i e se x p r e s s i o nf o rac l a s so f s p e c i a lc a t a l a l l 1 i k en u m b e r s o f t h ef i r s tk i n d 2 b a s e do n t h e ( qh ) 一d e f o r m e dq u a n t u mp l a n eb yb e n a o u m ，w e e s t a b l i s ht h e t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a eo fa r b i 仃a r yd e g r e ep o w e ro ft w ov a r i a b l e so nt h e ( q ，h ) d e f o r m e d q u a n t u mp l a n e f u r t h e r m o r e ，w eg i v et h e ( q ，h ) - a n a l o g u e so f m u l t i n o m i a lt h e o r e m ，b i n o m i a l r e c i p r o c a lf o r m u l a c h u v a n d e r m o n d ei d e n t i t i e sa n dap a i ro f n e wd o u b l e - i n d e xs e r i e si n v e r s e f o r m u l a 3 b yc o n s i d e r i n gt h ee n u m e r a t i v ep r o b l e mo fa n i m a l sr e s u l t i n gf r o mt h es t a c k i n 2o f l a b e l e ds q u a r e so nas i n g l es t a i r c a s e w ei n t r o d u c et h en e wc o n c e p to ft h ef i b o n a e c i l i k e n u m b e r sa n dl u c a s 1 i k en u m b e r s ，a n dd i s c u s st h e i rc o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e sa n dt h ec o m p u t e d m e t h o do fm e a nv a l u e sa n dm e a n - s q u a r ef o rt h i se n u m e r a t i v ep r o b l e m w ec o n s i d e ra l s ot h e e n u m e r a t i v ep r o b l e mo fa n i m a l sr e s u l t i n gf r o mt h es t a c k i n go fl a b e l e ds q u a r e so nd o u b l e s t a i r c a s e 4 ，i n t r o d u c i n g ac l a s so fg e n e r a l i z e df i b o n a c c is e q u e n c e sw i t hd o u b l ev a r i a b l e s ，w e e s t a b l i s ht h er e l a t i o nw i t h a i t k e n ，s e c a n t ，n e w - r a p h s o n ，h a l l e y t r a n s f o r m a t i o ne t c ， g e n e r a l i z et h er e s u l t so fm a n ya u t h o r s ，f u r t h e r m o r e ，w eg i v ea m o r e g e n e r a lg e n e r a l i z a t i o no f q - m a t r i x w ea l s o o b t a i ns o m ei d e n t i t i e s i n v o l v i n gt w ok i n d so fc h e b y s h e vp o l y n o m i a l s w h i c hg e n e r a l i z e dar e s u l to fo r a b n e ra n dp r o d i n g e ri nm o r eg e n e r a l s e t t i n gc o n t a i n i n g m e l h a m l sc o n j e c t r r ea sas p e c i a lc a s e f i n a l l y , w ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c ea n de m a n a t i v e p r o p e r t i e si n v o l v i n g t h es 1 1 m m a t i o n sf o rs e c o n d o r d e rr e c u r r e n c e s e q u e n c e s a n da g e n e r a l i z a t i o no fg e n e r a l i z e dj a c o b s t h a lp o l y n o m i a l s 5 b ya p p l y i n go u rr e c u r r e n c em e t h o do f d e c r e a s i n go r d e r , w eo b t a i nt h ec l o s ef o r m u l a so f c o n v o l u t e ds u m m a t i o n sf o rg e n e r a l i z e df i b o n a c c i l u c a sn u m b e r s ，e u l e rm l r n b e r sa n d g e n o c c h in u m b e r se t c f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nt h ec o m p u t e df o r m u l a eo ft h eh i g h e r - o r d e r c u m u l a n t sf o rac l a s so ft h el a t t i c ea n i m a la n ds o m ei d e n t i t i e sf o rr i e m a n l lz e t af i m c t i o n sa n d b e t af u n c t i o n s 6 w ed e f i n et h r e ek i n d so fg e n e r a l i z e dp a s c a lm a t r i c e s ( 1 e f t ，r i g h ta n ds y m m e t r y ) ，a n d d i s c u s st h et h e i rr e l a t i o n sa n dt h ec h o l e s k yf a c t o r i a lo f g e n e r a l i z e ds y m m e t r yp a s c a lm a t r i x f i n a l l y , ac l o s er e l a t i o ni so b t a i n e db e t w e e n t h ed i a g o n a lo f g e n e r a l i z e dr i g h tp a s c a lm a t r i xa n d ac l a s so fr e c u r r e n c es e q u e n c e s 7 w ee s t a b l i s hac l a s so fc o m b i n a t o r i a li d e n t i t yi n v o l v i n gt w os e q u e n c e sa n dap a r t i a i 大连理工大学博士学位论文 s u mo ft h eb i n o m i a lc o e 伍c i e n t s w h i c hc o n t a i nal o to ff l e wa n dc u r i o u sc o m b i n a t o r i a l i d e n t i t i e s 丛i t ss p e c i a lc r s e $ ， k e y w o r d s ：c a t a l a n l i k e n u m b e r p a i r , h a n k e lm a t 而x , r e c u r r e n c e m e t h o do f d e c r e a s i n go r d e r , m u l t i s u m ，f i b o n a c c i l i k en u m b e r , l u c a s - l i k en u m b e r , d o u b l e - p a r a m e t e r g e n e r a l i z e d f i b o n a c c i n u m b e r q m a t r i x ，( 0 h ) - a n o l o g y , g e n e r a l i z e d p a s c a l m a t r i x ， q - o p e r a t o r , c o m b i n a t o r i a li d e n t i t y 第0 章绪论 第0 章绪论 二项式系数、多项式系数、c a t a l a n 数、m o t z k i n 数、f i n e 数、f i b o n a c c i l u c a s 数、两类s t i r l i n g 数、b e l l 数以及w h i t n e y 数等等都是组合数学研究中无处不在、 经常遇到的序列，且都具有深刻的组合背景。此外，b e r n o u l l i 数、e u l e r 数、g c n o c c h i 数、两类c h c b y s h e v 多项式也是组合分析中经常用到的序列。所以我们将这些序 列统称为组合序列。 组合序列源于组合数学中的计数问题，并被作为计数工具来使用，因此在其 中起着重要而又特殊的作用。组合序列的研究有着悠久的历史，至今仍十分活跃， 许多优美的性质不断地被发现。近几十年来，经过a i g n e r ， c a r l t z ，g e s s e l ， g o u l d ，h o r a d a m ，h o w a r d ， s t a n l e y ，w i l f ，z e i i b e r g e r 以及徐利治等著名组合 学家的涉足，组合序列几乎渗透到了数学的各个分支，如数论、代数、概率统计、 运筹学、以及差分方程、数值计算等等。此外，在计算机科学、生物信息学、物 理学、化学以及电力工程等方面，也有许多重要的应用。 研究组合序列的一般的方法与工具有：发生函数、哑演算法、反演公式、超 几何级数、递归法、留数法、渐近分析法、差分方法以及机械化方法等等。相应 的专著见：g e n e r a t i n g f u n c t i o n o l o g y ( h s w ii f 著) 、t h eu m b r a lc a l c u l u s ( s ，r o m a n 著) 、c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ( j r i o r d a n 著) 、b a s i c h y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ( g g a s p e r ，e t c 著) 、c o n c r e t eh a t h e m a t i c s ( r l g r a h a m ，e t c 著) 、 r e s i d u em e t h o d si nc o m b i n a t o r i a la n a l y s i s ( i c h i a u h u a n g 著) 、a = b ( m p e t k o v s e k ，e t c 著) 、组合计数方法及其应用( 屠规彰著) 等。 本文研究内容主要有以下几个方面： ( 1 )c a t a i a r l iik e 数偶 著名的c a t a l a n 数c 是组合数学中应用广泛的序列。c a t a l a n 数的悠久历史可 以追溯到e u l e r 它是e u l e r 在解决s e g n e r 提出的凸多边形被分割为三角形的个数 时所引出来的序列。事实上，在同一时期，中国的明安图也独立发现了c a t a l a n 数， 但他与他的后继者没有给出任何组合解释 l u 0 9 2 。在十九世纪中叶，c a t a l a n 在分 割三角形问题方面发表了几篇进一步推广的论文。后来n e t t o 在给出了几个结构解 释( 包含c a t a l a n 的经典加括号结构解释) 时，首先命名这些数为c a t a l a n 数。从那以 后，通过c a t a l a n 数计数的各种各样的组合结构不断地被发现和研究。在1 9 7 7 年， 大连理工大学博士学位论文 k u c h i n s k i 提供了31 个组合解释 l i u y e l 。直到最近，s t a n l e y 在书e n u m e r a t i v e c o m b i n a t o r i c s ( i i ) 列举了用c a t a l a n 数计数的枚举问题已达近7 0 个例子。1 9 9 9 年， 德国组合学家a i g n e r 提出了c a t a l a n q i k e 数的概念，这是一项具有重要意义的工作， 它使c a t a l a n 数、m o t z k i n 数、中心二项式系数、f i d e 数等许多组合序列有了统一 框架。此外关于c a t a l a n 、m o t z k i n 、r i o r d a n 、s e h r o d e r 等数的研究还可参看文 g o u 7 7 1 、 【b e r 9 9 、f d o n 7 7 、【b a r 9 1 、 m a y 0 0 ；有关其g - 模拟可看文 b a r 9 8 、 b a r 0 0 、 g a n 9 8 ： c h u 在文 c h u 9 0 给出了c a t a l a n 、m o t z k i n 、s c h r o d e r 数一个多重推广。另外由组合 序列构成的h a n k e l 矩阵也是近几年比较活跃的领域。1 9 9 8 年，a i g n e r a i 9 9 8 1 讨论 了m o t z k i n 数的性质与h a n k e l 行列式。此后，a i g n e r 又在 a i 9 9 a 】、f a i 9 9 b 里分 别给出了c a t a l a n l i k e 数与b e l l 数及其二重卷积的h a n k e l 行列式计算。r a d o u x 在 一系列文章 r a d 0 0 、r a d 9 l 、r a d 9 0 、r a d 7 9 、r a d 9 2 、r a d 9 3 、r a d 9 7 讨论了几类 特殊组合序列的h a n k e l 行列式：e h r e n b o r g 在文 h h r 0 0 中给出了由整数分拆引出 的几个组合序列的h a n k e l 行列式的计算。在论文的第一章我们提出了 c a t a l a n - i i k e 数偶的概念，它使c a t a l a n 、m o t z k i n 等数与一类三项递归序列具有 一一对应的关系。并进一步讨论了c a t a l a n 1 i k e 数偶的若干性质，特别是它在包含 各种组合序列的恒等式方面的作用。更有趣的是，我们得到第一类c a t a l a n - l i k e 数 的h a n k e l 行列式可以用第二类c a t a l a n 1 i k e 数表示。此外，还得到了一类特殊的第 一类c a t a l a n 1 i k e 数类似于t a y l o r 级数展开的结果。 ( 2 ) ( g ， ) 一分析的研究 二项式系数产生于二项式定理的展开，这也是其名称的由来。但它简单而又重 要的组合意义，使它已成为组合计数问题中应用最广泛的一个序列之一，它的许 多性质被发现：其各种推广及应用也被不断地研究 k o n 9 8 。早在十八世纪，g a u s s 曾通过增加一个参数g ，建立了二项系数的g 一模拟，从而产生了g 一分析。近年来， 随着物理学的发展，特别是g 一分析与量子群 f 1 0 9 1 的关系以及对非线形现象中的 特殊函数推广的需要i f l 0 9 3 ，q - 分析的应用与重要性不断地增加。很多著名函数的 g 模拟被建立：例如：g 一指数和口对数 a t 9 6 a 、q - 三角函数 a t a 9 6 b 、q - h e r m i t e 和 q - l a g u e r r e 多项式 f 1 0 9 1 、a t a 9 6 c ；q 一循环函数、q - 双曲函数 b o r 9 8 等。g 一模拟在 量子群方面的重要作用可参看文献 f a i 9 7 。最近，b e n a o u m b e n 9 8 在h 一变形量子 平面上，引入 二项式系数，建立了n e w t o n 二项式公式的 模拟。紧接着， b e n a o u m b e n 9 9 在变形量子平面上提出了臼鼻) 一二项式系数的概念，并建立了 n e w t o n 公式的进一步推广，即：( g 瑚模拟。由于变形平面以坐标变换为基础，这 第0 章绪论 种变换在量子群理论方面起着基本的而又重要的作用。广义地讲，量子群可以通 过平方关系定义的代数对称群来构造：q - 变形量子平面习片g 阿给出的是g l ( 2 ) 的标 准的量子变形，同时h 一变形量子平面给出的是非标准的、j o r d a n i a n 变形的。因此 b e n a o u m 的( g ， ) 一变形量子平面是其共同推广。论文第二章中，我们在b e n a o u m 引 入的妇女) 量子变形平面的基础上，首先建a t t ( q ， ) 量子变形平面上的变量的任意次 乘积的变换公式进而给出了二项式定理( g ， ) 模拟的一种等价形式以及多项式定 理、二项式反演、c h u 以及v a n d e r m o n d e 恒等式等结果的 ) 模拟。最后，我们得 到一对新的双指标级数反演公式。 ( 3 )一类f i b o n a c c i - ii k e 数 最近，t u r b a n t u r 0 0 考虑了一类在单阶梯( s i n g l es m i r c a s e ) 与双阶梯( d o u b l e s t a i r c a s e ) 上方块的列凸叠加的一类计数问题，t u r b a n 称之为l a t t i c ea n i m a l s 。这些 l a t t i c ea n i m a l s 的总数就是f i b o n a c c i 数。在论文第三章里，我们通过考虑单阶梯上 标号方块l a t t i c ea n i m a l s 的计数问题，引入了一类f i b o n a c c i 1 i k e 数与l u e a s 1 i k e 数 的新概念，讨论了它们的组合性质，得到了此l a t t i c ea n i m a l s 的均值与均方差的计 算方法。此外，我们还考虑了双阶梯上标号方块l a t t i c ea n i m a l s 的计算公式。 ( 4 )二阶递归序列的若干性质 二阶递归序列的研究是组合学中的经久不衰的课题之一，这一方面内容繁多。 在本文的第四章里，我们首先引入一类双变量的广义f i b o n a c c i 序列及其共扼序列， 建立了其与a i l k e n 、s e c a m 、n e w t o n r a p h s o n 、h a l l e y 等交换的关系，推广了f w j 8 9 、 m c c 8 5 、m u s 9 3 、j a m 9 0 等多人的结果：进而，给出了q 矩阵的一个更广泛的推广， 并建立了涉及两类c h e b y s h e v 多项式的恒等式，证明了m e l h a m 的一个猜想，推广 了g r a b n e r 和p r o d i n g e r 的一个结果。最后，讨论了一类含二阶递归序列求和的敛 散性以及广义j a c o b s t h a l 多项式的一个拓广。 ( 5 )求导组合序列的多重卷积和封闭性公式的一个方法 1 9 8 6 年，s i t a r a m a c h a n d r a r a o d a v i s s i t 8 6 给出了几个有趣的g i e m a n nz e t a 函数卷积和的恒等式。之后，组合序列的多重卷积和的封闭表示的研究时常引起 人们的兴趣；特别是对组合分析中的著名数的研究，更是引起许多人的讨论( 见 【s i t 8 6 、 r a m 8 7 、【s a n 8 7 、【z h w p 9 1 、【z h w p 9 2 、 x i n 9 3 、【d i l 9 6 、【m i n 9 6 、 d p 9 7 、【w z 9 7 】、 z z z 9 7 a 、 z h w p 9 8 、 z z z 9 8 a 、【l i u 9 9 3 、【h 1 9 9 等) 。需要指 出的是，1 9 9 7 年，我们发现了求导组合序列卷积和封闭性公式的一种思想方法一 降阶递归法( 见 z z z 9 7 a 】) 。在本文的第五章里，我们首先介绍降阶递归法，然后 大连理工大学博士学位论文 利用此方法去计算广义f i b o r m c c i 、l u c a s 序列、e u l e r 数、g e n o c c h i 数的多重卷积； 作为应用，一方面得到了r i e m a n n z e t a 函数以及b e t a 函数的若干有趣的恒等式， 另一方面得到了一类单阶梯上方块的列凸叠加的l a t t i c ea n i m u s 的h 阶矩以及一般 累积量的计算公式。 ( 6 )广义p a s t al 矩阵的结构性质 由二项式系数构成的p a s c a l 三角( 也称杨辉三角) ，由于在组合、数论、代数、 几何等多方面具有重要的性质与应用，所以不断地出现在各种文献里，例如近期 的文献 l i v 9 6 ，k a r 9 6 ，b o n 9 3 等。而由p a s c a l 三角构成的矩阵称为p a s c a l 矩阵( 也 可称为杨辉矩阵) 。1 9 9 3 年，c a l l 和v e l l e m a n c a l 9 3 首先讨论了p a s c a l 矩阵的幂的 计算公式；b r a w e r 和p i r o v i n o b r a 9 2 得到了左和对称p a s c a l 矩阵的分解等性质。 p i t s e n b e r g e r p i t 9 6 考虑了p a s c a l 矩阵对角化。m a l t a i s m a l 9 8 建立了p a s c a l 矩阵与 s t i r l i n g 数及b e r n o u l l i 数的优美联系。g o l d s m i t h 0 0 1 9 4 也讨论了一类p a s c a l 三角 矩阵。b a y a t 和t e i m o o r i b a y 9 9 建立了广义p a s c a l 函数矩阵，讨论了其相关性质： b a y a t 和t e i m o o r i 还在文 b a y 0 0 定义p a s c a lk e l i m i n a t e d 函数矩阵，得到了卷积、 幂、分解公式及凡个组合恒等式；建立了其与c e s a r o 矩阵的关系。其它文献还有 s t r 8 7 、w a t 8 8 、b a y 0 1 、b r a 9 0 、b r a 9 2 、g 0 1 9 4 、z w 0 0 、z z z 9 7 b 、z z z 9 8 b 、z z z 9 8 c 】。 关于行列式的计算这方面的重要著作，可以看( ( a d v a n c e dd e t e r m i n a n tc a l c u l u s ) ) ( k r a t t e n t h a l e r 著) 。在本文的第六章里，我们定义三类( 左、右、对称) 广义p a s c a l 矩阵，讨论了此三类广义p a s c a l 矩阵的相互联系以及广义对称p a s c a l 矩阵的 c h o l e s k y 分解：最后，我们得到广义右p a s c a l 矩阵的对角化与一类递归序列具有 紧密的联系。 ， ( 7 )一类奇异的组合恒等式 1 9 9 4 年。c a l k i n c a l 9 4 首先给出了二项式系数部分和的三次幂的和的一个奇异 的组合恒等式；1 9 9 9 年，h i r s c h h o r n 考虑了此类问题的递归关系的同时，补充了 一次与二次幂的情形。同一年，我们得到了上述和的交错情形的相应结果 z z z 9 9 a 、 z z z 9 9 b 1 。在本文的最后一章里，我们得到这些结果的一般形式，建立了一类包含 序列与二项式系数部分和的组合恒等式，得到许多新的奇异的组合恒等式。 第一章c a m l a n l i k e 数偶及其应用 第一章 c a t a i a n ii k e 数偶及其应用 著名的c a t a l a n 数c 。= i _ | l 是组合数学中应用广泛的序列，并已被广泛地研究。 + 1 ” 最近，s t a n l e y 在书( e n u m e r a t i v ec o m b i n a t o r i c s ) ) ( i i ) 中列举了用c a t a l a n 数计数的枚举问 题多达近7 0 个例子，此外，s t a n l e y 通过由d o n a g h e y 与s h a p i r o d o n 7 7 系统描述的 m o t z k i n 数m ，显示很多由这些框架引起的紧密联系的例子。相关的文献还有 g o u 7 7 ， b a r 9 1 ，b e t 9 9 1 。1 9 9 9 年，德国组合学家a i g n e r 提出了c a t a l a n - l i k e 数的概念，它使c a t a l a n 数、m o t z k i n 数、中心二项式系数、f i n e 数等许多组合序列有了统一框架。在这一章里， 我们通过a i g n e r 阵及其逆的第一列来刻画c a t a l a n 1 i k e 数偶的概念，并讨论它在组合恒等 式、h a n k e l 矩阵等方面的重要应用。 1 1 c a t a l a n - ii k e 数偶 定义1 1 考虑无限矩阵a = ( 口。) ，指标集为 o ，1 ，2 ， ，以及表示第删行为_ = ( 口。，a m , i , ：，) o ) n a = ( 口础) 被称为a i g n e r 矩阵，如果 ( i ) 对h 0 ) 相反地，如果d “通过递归( 1 1 1 ) 给出，则a = ( a “) 是一个a i g n e r 阵，且 按照命题1 1 1 与1 1 2 ，可以认为个a i g n e r 阵0 ) 是由一个序列盯= ( i q ，) 与 递归( 1 1 ，1 ) 所确定的。为了强调盯，则我们记a = a 们相应地，第一类c a t a l a n 1 i k e 数 o n , 0 ( 被定义在定义i 1 2 里) 被记作q “，称之为伊类型的第一类c a t a l a n 1 i k e 数。这里我 们摘要列出几个在文献 a i 9 9 a 里提到的特殊情形： q t a l a n 数g - - ( c o ，g ，c 2 ，j = ( i ，l2 5 ，1 4 , 4 2 , 1 3 2 , - j ：盯= “2 ，2 ，2 ，- j ； 短c a t a l a n 数= ( c l ，c ：，一) - - 0 ，2 ，5 ，1 4 ，4 2 , 1 3 2 , 0 ：* - - ( z2 2 ) ，n p e w 0 0 ： m o t z k i n 数m ，= o ，m ，m 2 ，j = ( 1 ，1 ，2 ，4 ，9 ，2 1 ，- - ) ：盯；“l l l ) ； f i n e 数只= ( 甄，冗，厂2 ，) = ( 1 ，0 ，1 ，2 ，6 ，1 8 ，5 7 ：o - - ( o , 2 2 ，2 ，- - i ， d e u 0 1 ； 限制的六角形数以= 慨，e ，凰，一) - - 0 ，3 ，1 0 , 3 6 , 1 3 7 ，5 4 3 , j ：仃= ( 3 3 ，3 ，) ， 见 h a r 7 0 ： 中间二项式系数= ( 苣 ：仃= 。，。，。，。，： 数( 2 ”：1 口= ( 3 ，2 ，2 ，2 ，) 定理1 1 1 设b = k m 。k ) 1 县。- - a i g n e r 阵“= 0 鬟) 的逆矩阵。则 睇：l = 。b o - ) 一，一晶6 ：1 一醚2 。， ( 1 。】2 ) 6 搿= 1 o ) ，6 j ；= 0 加 0 ) l 球= 一叱1 c o ) ， t 2 l 这里爿( 口) = 0 ：譬) ，b t 计一- - f k 。n 沁, k ，) 证明：从4 ( 4 b ( 。) = b 【9 4 ( 7 ) = ，可得。l 1 2 两类c a t ai a n - iik e 数偶的性质 应用在命题1 1 2 里的递归，下列基本性质被得到： ， 命题1 2 1 a i 9 9 a 设4 ( 口) = - 控) 为被盯= ，j ，s ：，) 所确定的a i g n e r 矩阵，则 ( i )d 。( - a = ( 一1 ) “o 黝这里一盯= - s 。，一s l ，一s 2 ，) 因而，q ”= ( 一1 ) “c ， ( i i ) 爿”= p 以( 引，这里f z ，仃+ f - k + f ，s 【+ ，s 2 + f ，) 及p 是p a s c a l 矩阵 它帅，分值为 定理1 2 1 ( i )( 二项式公式) r ( ) 一v f n r i r 扣 h 一w ( i i )( 交错二项式公式) c ：f = 莩c 一， ： r ”一c 9 ) 证明：注意到 p = ( ，”7 ( ：) 。一，： 和应用命题1 1 1 我们能得到此定理。i ( 见 z z z 9 7 b ) 第一章c a t a j a n 1 i b 数偶及其应用 这两个二项式公式能产生大量的恒等式，例如 ”莩匕p ， ：_ k ， 、 c _ + = 莩( 2 ”k z “一2 。c i - 丁。= = 莩 2 行k s “一2 c ? 。：= 莩( ： ：”一n 彳。：= 莩 ： c 卫+ 。 n 彳。= 莩c 一，。( ： z “4 女w 。， ：( _ 1 ) t 悱一峨 “ c ? 。+ t 2 = 莩e 一，。( ? ) 。” c i + t ，c ? 。= 莩e z ，。( ? z ”一 矗 h c ，( ：) 4 ”。c 。 对于细节及更多的恒等式可以参看文献【a i 9 9 a 】、 b a r 0 0 。 类似地，我们有下面的命题1 2 , 2 和定理1 2 2 命题1 2 2 设b 。) _ 雠譬) 是由盯= ，s ：，) 确定的g n e r 阵爿( 一的逆阵。则有 ( i ) “= ( 一1 ) ”。6 嚣，这里一仃= ( 一，一q ，一s ：，) 因而，d ：训= ( 一1 ) “磁4 ( i i )b ”= b 4 p ， 这里，z ，盯+ ，= k + r ，s l + f ，s z + ，) i p 是p a s c a l 矩 阵，它的批值为 定理1 2 2 ( 1 ) 磁”一叫”= ( 一1 ) ”，。肆； t 酗 ( 2 ) d 一醇= ( - d 。f 。删 1 3 一类特殊的c a t a ia n - iik e 数偶 最重要的一类特殊的c a t a l a n l i k e 数偶是当盯= ，j l ，s 2 ，) 具有常数_ = j ：_ 一s 9 大连理工大学博士学位论文 及如= 口的时候。在这种情形下，我们简记为：盯= ( 口，s ) 以及a 4 = a ”，b 归= b ” c = c ”，d = d ：”设一”、b “5 的第k 列的生成函数分别为： ( 工) = 日0 5 x “ h 2 0 与g 。( 工) = 6 譬1 x 4 ，我们有： 2 0 定理13 1 ( x ) = f o ( x ) h 。( 工) ， 这里 g f ( 工) = g o ( x ) z ( 工) f o ( x ) = q “日j ”= 1 一( 2 a s ) x 一扛五习阿 瓦i 面讽万石可f 一 ：1-sx-正41-2霉sx+(s2-4)x g 。( x ) = 萎d ：“种x ”= 筹a月2 0 “ 啦) 。斋 证明：应用定理1 ，1 ，1 与定理1 1 2 。i 定理1 3 2 妒) _ d ，= 嵩2k 1 而考箴岽司 证明：应用定理1 2 1 与定理1 1 1 。i 定理1 3 3 若盯= 缸。s ，s ，j ，) ，则我们 = 赤ps + 而( 华卜再( 雩h 证明：应用定理1 1 2 可得。i b 4 k ( x ) g 。( ( 工) ) = 0 ( 一 1 ) ， 第一章c a t a l a n 1 i k e 数偶及其应用 b ”k ( z ) 厶( 7 ( x ) ) = 0 1 ) ； 或，等价地， c ) _ k ”协( 工) ( 1 - g 。协( 工) ) ) ， d ：“d = k “k 。( z ) ( 1 一工( f ( x ) ) ) 证明：从定理1 2 2 ，我们有 c ：”) = 一口嚣5 ，d 5 ，= 一b ”协o ) ( z ) b + k 。( y ) = 一b ”抚( x ) b k 。( y ) a ( x ) = k ”怃