（计算数学专业论文）rlw方程的两种新的有限元方法.pdf

摘要 在众多的偏微分方程中， r l w ( 鼬g l l l 8 r i 8 e dl 0 n gw a v e ) 方程占据着非常重要的地 位它可用于描述许多重要的物理现象，例如，它可描述浅水波和离子声波等由于r l w 方程的精确解一般很难求得，所以，近几十年来。对r l w 方程的数值解的研究成为一个 热点本文对r l w 方程( 包括线性和非线性情况) 提出了两种新的有限元方法，一种是经 济型差分一流线扩散法( e c o n o m i c a lf i n i t ed i f f e r e n c es t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，简称 e f d s d 法) ，另一种是时间连续特征有限元方法，这两种方法都具有很好的稳定性能和高 阶计算精度 对于第一种方法，我们分别对线性和非线性t l l w 方程分析了这种方法的稳定性和误 差，最终证明了这种方法是稳定的，并且还得到了基于线性元空间的三2 模拟丰满误差估 计和日1 模丰满误差估计 对于第二种方法，我们也分别对线性和非线性r l w 方程进行了误差分析，最终均得 到了基于线性元空间的最佳l 2 、h 1 模误差估计 关键词，r l w 方程。经济型差分一流线扩散法，时间连续特征有限元方法，误差估计 a b s t r a c t r u ( r e g i l l a r i 8 e dl o n gw a v e ) e q u a t i o n sp l a yam a j o rr o l ei nal a r g en u m b e ro fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e ye a r ld e s c r i b em a n yi m p o r t a n tp h y s i c a lp h e n o m e n a ，s u c ha s s h a l l o ww a t e rw a v 拇a n di o na c o u s t i cp h a s m aw a v e s i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yf o rt h e n u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h er l we q u a t i o n sb e c o m e saf o c u sb e c a u s et h e i re x a c ts o l u t i o n s a r ed i m c u l tt os o l v e i nt h i sp a p e r ，t w on e wf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r ep r e s e n t e df o rr l w e q u a t i o n s ( b o t hl i n e a ra n dn o n l i n e a rp r o b l e m sa r ec o n s i d e r e d ) o n ei se c o n o m i c a lf i n i t e d i f f e r e n c e - s t r e a m l i n ed i f f u s i o n ( e f d s d ，i nb r i e f ) m e t h o d ，t h eo t h e ri st i m e - c o n t i n u o u s c h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h e yh a v eg o o ds t a b i l i t ya n du g ha c c u r a c y a sf a ra st h ef i r s tm e t h o di sc o n c e r n e d ，w ea n a l y z et h es t a b i l i t ya n de r r o ro ft h e m e t h o df o rl i n e a ra n dn o n l i n e a rr l we q u a t i o n s f i n a l l y , t h es t a b i u t yo ft h em e t h o di s d e m o n s t r a t e d i na d d i t i o n ，t h eq u a s i - o p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t ei nl 2n o r ma n do p t i m a l o r d e re r r o re s t i m a t ei nh 1n o r mb a s e do nt h el i n e a rf e s p a c ea r eo b t a i n e d a sf a ra st h es e c o n dm e t h o di sc o n c e r n e d ，w ea l s oa n a l y z et h ee r r o rf o rl i n e a ra n d n o n l i n e a rr l w e q u a t i o n s f i n a l l y , t h eo p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e si nl 2 、h 1n o r m s b a s e do nt h el i n e a rf e a c ea r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：r l we q u a t i o n s ，t h ee c o n o m i c a lf i n i t ed i f f e r e n c e - s t r e a m l i n ed i f f _ i l s i o nm e t h o d t h et i m e - c o n t i n u o n sc h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，e r r o re s t i m a t e s i i 独创性声明 本人郑重声明，所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名 姆哆掣 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即；有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名；弘导师签名c 獬日期：芈多 3 8 1 1 研究背景 第一章绪论 众所周知，现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很 多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程从微积分理论形成以来，人们一直用微分 方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得了显著的成效遗憾的是，绝大多数 微分方程( 特别是偏微分方程) 定解问题的解不能以实用的解析形式来表示这就产生了 理论与应用的矛盾t 一方面，人们列出了反映客观现象的各种微分方程，建立了大量实用 的数学模型；另一方面，人们又无法得到这些方程的准确解以定量地描述客观过程 随着电子计算机的出现和发展，解决上述矛盾的一门学科一微分方程的数值方法得 到了前所未有的发展和应用虽然常微分方程数值方法的历史可以追溯到1 8 世纪，一些 偏微分方程的数值方法也在上世纪初得到了研究从大方向来分，求解微分方程的数值方 法主要有两种t 即有限差分方法和有限元方法其中，有限元方法是求解各种微分方程的 一类最重要的数值方法，它本身有着有限差分方法无法比拟的优越性 有限元离散化的思想早在2 0 世纪4 0 年代初就已经被提出( r c o u r a n t ，1 9 4 3 ) ，并在5 0 年代被西方的一些结构工程师所采用到了6 0 年代以后，有限元方法已得到越来越广泛 的应用但有限元方法数学理论的建立则相对来说稍晚一些直到6 0 年代才有数学家涉 足有限元数学理论的研究并开始奠定其理论基础我国数学家冯康院士( 1 9 2 0 1 9 9 3 ) 就是 在6 0 年代初独立于西方创始了有限元数学理论，为有限元方法的发展做出了历史性的贡 献( 见文献f l 一2 】) 有限元方法是用简单方法解决复杂问题的范例冯康院士曾归纳其要点为t 。化整为 零、裁弯取直、以简驭繁，化难为易”，其基础是变分原理及剖分插值一方面，有限元方 法以一种大范围，全过程的数学分析即变分原理为出发点，而不是从自然规律的局部的、 瞬时的数学描述即微分方程出发，因此它是传统的r i t z - g a l e r k i n 方法的变形，与经典的 差分方法不同另一方面，有限元方法又采用了分片多项式逼近来实现离散化过程，它依 赖于由小支集基函数构成的有限维子空间，其离散化代数方程组的系数矩阵是稀疏的，这 又与传统的p d t z - g a l e r k i n 方法不同，而可看作是差分方法的变种有限元方法正是这两 类方法相结合而进步发展的结果它具有广泛的适用性，特别适合几何与物理条件比较 1 第一章绪论 复杂的问题，且便于程序标准化，从而适于工程应用由于有限元方法有上述优越性，它 自上世纪6 0 年代以来巳作为一种独立的数值计算方法获得了迅速发展和广泛应用( 见文 献1 3 - 5 d 在众多的偏微分方程中，弛w 方程是包含时间变数的许多重要的数学物理偏微分方 程之一，它是一个双瞌一抛物型方程在孤立子理论的研究及非线性波的物理问题中， 它占据了相当重要的地位，在非常广泛的领域里得到了应用因此，对该方程的研究已受 到人们的很大重视，有许多专家、学者在这方面已做了不少工作例如文献【6 1 8 | j 过去，求解r l w 方程的数值方法主要有有限差分方法、标准有限元法等，虽然我们 能够用这些方法求得它的近似解，但由于r l w 方程的双曲性质，我们用这些方法所得到 的近似解的精度并不高，有时稳定性能也比较差，基于这个原因，近3 0 年来，在上述基本 方法的基础上，探寻r l w 方程稳定的高效、高精度的数值方法的努力始终没有间断过， 不断地涌现出新的数值方法例如，著名学者朱江曾在1 9 9 0 年对更一般的非线性r l w 方程的周期边值问题提出了一种特征数值方法( 特征有限元方法、特征有限差分方法) ，理 论分析和数值结果表明，当方程的扩散系数j 较小时，这种方法要比一般的有限元和有限 差分方法精确得多( 见文献 1 5 0 除此之外，新的数值方法还有；谱方法、混合有限元方 法等( 见文献 1 6 ， 1 8 】，【19 】) 本文对r n v 方程( 包括线性和非线性情况) 提出了两种新的有限元方法即经济型差 分一流线扩散法( e c o n o m i c a lf i n i t ed i f f e r e n c es t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，简称e f d s d 法) 和时间连续特征有限元方法，这两种方法都具有迎风性，分别以不同方式在标准伽略 金有限元中加进了某种类型的稳定化因子，因此，这两种方法比传统的伽略金有限元法更 加稳定对于第一种方法，我们分别对线性和非线性r l w 方程分析了这种方法的稳定性 和误差，最终证明了这种方法是稳定的，并且还得到了基于线性元空闻的l 2 模拟丰满误 差估计和日1 模丰满误差估计对于第二种方法，我们也分别对线性和非线性r l w 方程 进行了误差分析，最终均得到了基于线性元空间的最佳驴、日1 模误差估计 1 2 预备知识 定义1 2 1 设区域qc 形是l e b e s g u e 非空可测集，l ”( q ) 是在n 上与一个有界函 2 第一章绪论 数几乎处处相等的可测函数全体，对于任意的，l 。( q ) ，定义 1 1 1 1 。= e s s s u pi ，( z ) i z n 刷。称为，的本性最大模 定义1 2 2 若记d 8 为函数v 的n 阶广义导数，则空间w “，”( n ) 上的范数定义为 m 。( n ) 5 m n2 高剌d l l o o 定义1 2 3 n 空闻胪( n ) 上的内积和范数分别定义如下 ( ，归z u 毗”巩q ) i i 乱0 = ( u u ) ) ，l 2 ( q ) 定义1 2 4s o b o l e v 空间w ”9 ( n ) 上的范数z m 叩) = i l v l l 。n = l i d i i r ；，1s p 。 其中，当p = 2 时，s o b o l e v 空间w ”, 2 ( f 1 ) 记作h ”( q ) ，其范数记为i | 定义1 2 5 1 a 定义s o b o l e v 空间h 1 ( q ) 的子空间 础( q ) = 倒 h 1 ( n ) ，口l r = o ) 其中r 表示区域n 的边界 定义1 2 6 1 2 0 l 设胃是个b a n a c h 空间，且它的范数记为恬，若 ：【o ，卅一日是 勒贝格可测的，则定义如下范数t 8 训i l 。( o f ；日) = ( i i v ( ，t ) 1 1 2 h d t ) ， ，t j 0 l i v l l l 一( o 见舯= s u pi i 口( ，t ) l l h u s t s l 其中p ( o ，正h ) = 如：【o ，t i 一日：b ( o ，r 0 ，有 兰口2 + 去6 2 - 3 第一章绪论 由此，特别地有 ”) l 俐 e l l 训1 2 + 扣”1 1 2 定理1 2 2 2 1 1 ( 插值逼近定理) 设s c 硪，厶：z r n 砩一昂，若口h n 础则有 i i h v 一训l + h i l h v v l h c h l l , l l 。， l s r 定理1 2 3 嘲( 连续形式的g r o n w a l l 不等式) 设连续函数q ( t ) ( t b ) 满足 i 卢+ 口z m 刊札。t 0 是步长，则 h h e a r ( 卢+ a k h m o ) ， n k ，n hs 正 其中m o = m 8 x “伽i ，l q l i ，l 啦一1 1 ) 定理1 2 5 ( 推广的离散g r o n w a u 不等式) 设广，扩，胪为定义在j = 1 ，2 ，) 上的非负离散网格函数，驴非减，如果对n 1 ，有，i + 9 4 胪+ 以广，其中 0 g = l “0 ( 兰0 ) ，则 = l n - - l ，i + 矿h e z p ( f p j 4 第二章r l w 方程的经济型差分一流线扩散法 2 1 引言 正则长波方程( 简称为r l w 方程或b b m 方程) ，是一个双曲一抛物型方程它可用 于描述物理中的许多现象，例如，它可用于描述浅水波的孤立子波的运动和离子的运动规 律等，因此，对r l w 方程的研究具有非常重要的意义到目前为止，求解r l w 方程的 数值方法主要有t 有限差分方法、标准有限元方法和谱方法( 参见文献 7 】，【1 6 】，【17 】) 等，但 用经济型差分一流线扩散法的还未涉及，因此本章的方法有很重要的意义 流线扩散法( s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，以下简称s d 方法) 是由h u g h e s 和b r o o k s 在1 9 8 0 年前后提出的一种数值求解对流占优扩散问题的新型有限元算法通过对检验函 数的适当选取，施加了一个主要是沿流场方向的人工粘性项，提高了有限元方法的稳定 性随后j o h n s o n 和n l i v e r t 将s d 方法推广到发展型对流扩散问题( 参见文献【2 4 2 6 】) 对于发展型对流扩散问题，传统的s d 方法均采用时空有限元，这样做，虽可使时间和 空间方向上的精度很好的协调起来，但与全离散g a h r k i n 有限元方法相比在求解维数上 增加了一维，增大了实际计算的复杂程度为此，文献( 2 7 2 8 ) 提出了一种简化方法，即 差分流线扩散法( f i n i t ed i f f e r e n c es t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，以下简称f d s d 方法) ， 其基本点是对时间方向作差分离散，在空间方向则采用s d 方法这样做，虽然比s d 方 法在计算量上有所降低，但因每一项都增加了一个因施加人工粘性而引进的附加项，计算 量仍比较大 为了进一步减少f d s d 方法的计算复杂性，文献 2 3 】提出了一种基于线性元空间的 经济型f d s d ( e f d s d ) 方法，其离散方式与f d s d 方法相类似，但仅施加一个沿流场方 向的人工粘性项，这样，既保持了s d 方法的基本特性，又使计算复杂性有很大降低 本章根据r l w 方程的特点，对r i 肼方程建立此种经济型f d s d 格式，研讨该格式 之可行性及其理论机理在本章中恒用g ，m ，q ，m ，甄表示与剖分步长无关的正常数， 它们在不同估计式中可取不同的数值 5 第二章r l w 方程的经济型差分一流线扩散法 2 2 线性r l w 方程的经济型差分一流线扩散法 2 2 1 线性r l w 方程的e f d s d 格式 考虑如下线性r l w 方程的周期边值问题 u t + 口( z ，) t b 一6 t 上耐= ，( z ，) ，z r ，0 t s z u ( x ，t ) = u ( z + 1 ，t ) ，z r ，0 t t ， ( 2 - 1 ) u ( z ，0 ) = t o ( z ) ，z r ， 其中d 为正常数，n ( z ，) ，f ( x ，t ) ，u o ( x ) 是z 的单位周期函数 不失一般性，问题( 2 - 1 ) 可归结为求解下面同题t t t + q ，) “。一出k 日= f ( x ，t ) ， ，t ) q ， t ( 0 ，t ) = u ( 1 ，t ) ，t 【0 ，邪， ( 2 - 2 ) “( z ，0 ) = t 正o ( z ) ，z n ， 其中q = ( 0 ，1 ) ，q = q ( 0 ，刀 在下面的i - f i 仑中，我们假定 ( a ) c t ( x ，t ) l ( o ，t ；w 1 t ( q ) ) ，( z ，t ) l ( o ，t ；l ( q ) ) ，u 0 h 2 ( n ) n 硪( n ) ( b ) 8 u p 南 l ( c ) t l ”( o ，t ；w 2 , o o ( q ) n 硪( q ) ) ，毗l 。( o ，? ；w 1 , o o ( q ) ) n l 2 ( 0 ，? ；h 2 ( q ) ) ， l “l 2 ( 0 ，t ；l 2 ( q ) ) ，i _ z t t l 2 ( o ，r ；驴( q ) ) ( d ) u ( x ，t ) 存在且唯一 下面，我们构造问题( 2 - 2 ) 的e f d s d 格式 在方向对区间【0 ，l 】进行剖分t0 = x 0 z 1 x m 2 1 ，记 2 l m 。a 。x 。( z t z “) ， 显然h 1 ，令 魏= 口硪( n ) n g ( 而) ，口p i x 一1 ，。 】，t = l ，2 ，m 其中只陬一1 ，毛】为区间k “。d 上线性多项式全体，且s 具有以下逼近性质( 【2 1 】) ： i n ，f 。 0 l ，一地0 + 0 一蜥1 1 1 ) c h 2 l l v l l 2 ，h 2 n 明 vhtdh 6 第二章r l w 方程的经济型差分一流线扩散法 在t 方向对区间【0 ，卅进行均匀剖分0 = t o t 1 0 ，由( 2 1 0 ) ，( 2 - 1 1 ) 及推广的离散 g r o n w a l l 不等式可得如下定理； 定理2 2 1 在条件( 口) ，( 6 ) ，( c ) ，( d ) 下，当t 适当小时，问题( 2 2 ) 的e f d s d 格式的 解 泸) 。no 具有如下稳定性估计t f 0 0 ，由推广的离散g r o n w a l l 不等式可得 i l 8 2 + a l l e 2 1 1 2 + 口i l 扩露1 1 2 t 。 n=l(2-23) c ； h 4 + 4 + 6 h 2 + ( a t ) 2 + d ( f ) 2 + ( t h 2 + 矿 ， 由盯= o ( h 2 ) 以及三角不等式可得到如下定理t 定理2 2 2 设问题( 2 - 2 ) 的解“及定解数据满足条件( 口) ( 6 ) ( c ) ( d ) ， u ”) 挺。为e f d s d 格式的解。则当t 适当小时，有如下误差估计t 麟( o u l _ u 忖厕畦一咖+ v - 5 ( 。e i 。i i n e ( “：一驯2 ) 5 1 s g 去 2 + h 2 + 怕 + a t + 怕( t ) ) 注记2 2 2 由( 2 - 2 4 ) 知，对于线性元空间( 分片次数r = 1 ) ，e f d s d 格式( 2 - 5 ) 关 于空间网格参数h ，其日1 估计是丰满的，当j = o ( h ) 时，其p 精度阶是拟丰满的，阶 数为0 i ) = d ( 扩+ ) 1 1 第二章r l w 方程的经济型差分一流线扩散法 2 3 非线性r l w 方程的经济型差分一流线扩散法 2 3 1 非线性r l w 方程的e f d s d 格式 本节将把上节结果推广到非线性情况。考虑下述更一般的非线性r l w 方程的周期边 值问题t t t + q o ( x ，；t ) 一占拙t = ，0 ，t ；t 正) ，z | r ，0 t z t ( z ，t ) = u ( x + 1 ，t ) ， z r ，0 t t ， ( 2 - 2 5 ) t ( z ，0 ) = ：蜘( z ) ，z r ， 其中j 为正常数，妒( z ，t ；) ，f ( x ，；“) ，u o ( x ) 是z 的单位周期函数 为简便，记妒( z ，t ；) = 妒( “) ，f ( x ，；) = ，( “) ，q = ( 0 ，1 ) ，q = q ( 0 ，卅，不失一般 性，问题( 2 2 5 ) 可归结为求解下面问题， 饥+ 妒( “) 钍。一j t 。矗= ，( u ) ，0 ，t ) q ， u ( 0 ，t ) = u ( 1 ，) ，t 【0 ，列， ( 2 - 2 6 ) u ( ，0 ) = “o ( z ) ，$ n ， 在下面的讨论中，我们假定 ( a 1 ) u o h 2 ( n ) n 础( q ) ，“l ( o ，t ；，2 ，( n ) n 础( q ) ) ，u t l ( o ，t ；w 1 ，( q ) ) n 工2 ( 0 ，t ；h 2 ( q ) ) ，t 蜥l 2 ( 0 ，丁；l 2 ( n ) ) ，u 武t l 2 ( o ，t ；工2 ( n ) ) ，i n i l ( o ，t ；l ) k 1 i i “0 0 研 ( a 2 ) 记g = q 【o ，刀【- - 2 n l ，2 k 1 】，在区域g 内，妒( u ) 及其所有一阶偏导数均有界， 其界记为配 ( a 3 ) 8 u p 矗岛 0 ，使得d - 1 q o h ( a 4 ) ，( z ，；p ) 关于p 【- - 2 n 1 ，2 k 1 】满足l i p s c h i t z 条件，且对任意t 0 ，卅，( z ，t ；0 ) l 2 ( n ) ( a 5 ) u ( x ，) 存在且唯一 下面，我们构造问题( 2 2 6 ) 的e f d s d 格式 第二章r l w 方程的经济型差分一流线扩散法 在z 方向对区间【0 ，l 】进行剖分t0 2 印 z l z f 2 1 ，记h 2 1 m 。；a 。x 。( x t 一以一1 ) 显然h 1 ，令 一一 岛= 口日；( n ) n c ( f i ) ，口i k i - l , z 1 p i z l 一1 ，x i ，i = 1 ，2 ，m ) 其中p l f x , 一1 ，戤】为区间【x i 一1 ，x i 】上线性多项式全体 在t 方向对区间 o ，卅进行均匀剖分t0 = o t 1 0 ，又由假设( b ) 知， l - 1 存在2 使褥m 9 【2 + h - 1 州8 ”1 慨+ 1 1 8 l t l ) l a t 嬲2 利用推广的离散g r o n w a t l 不 n = l 等式，由( 2 3 7 ) 可得 l l m 0 ， l 一1l l 又因为i l 矿- 1 忆s 曙h 2 ，所以h - 1 矿- 1 t l 乏a t 四h l x t s 毛，再由假设( b ) 可得 r t = l n = l ( 2 - 4 3 ) 利用推广的离散g r a n w a l l 不等式，再由( 2 - 4 1 ) ，( 2 - 4 2 ) ，( 2 - 4 3 ) 可得如下定理t 定理2 3 2 在定理2 3 1 的条件下，当h 取适当小时，问题( 2 - 2 6 ) 的e f d s d 格式之 解 泸) = ：! 司有如下有界性估计 l 麟 ( 。+ j n = lm 扩一1 ) 哪冬m ( r t = l 旷1 ( o ) 1 1 2 。+ ) _ o 一 & 孙 一 酽 一 以 矿圹 + q魄 “1 第三章r l w 方程的时间连续特征有限元方法 3 1 引言 众所周知，在孤立子理论的研究及非线性波的物理问题中，r l w 方程占据了相当重 要的地位，在非常广泛的领域里得到了应用因此，对r l w 方程的研究已受到人们的很 大重视许多专家，学者在这方面已做了不少工作例如t 文献【1 5 】研究了非线性r l w 方程的特征数值方法，文献【1 6 】研究了线性砒肼方程和非线性r l w 方程的周期边值问 题的谱方法 本章根据r l w 方程的双曲性质，对r l w 方程提出了一种时间连续特征有限元方 法，并用它来求解r l w 方程的初始值与周期边值问题以往处理r l w 方程的特征有限 元方法不仅对空间进行了固定的剖分，而且在时间方向也进行了离散本章方法与以往处 理r l w 方程的特征有限元方法不同之处就是该方法结点可沿着特征方向移动，空间网格 可以变动，而且此方法只是在空间方向进行离散，在时间方向未进行离散，所以本章方法 可以计算t 在任意时刻的值，并且，理论分析表明该方法还具有较高的精度，这就是时间 连续特征有限元方法所具有的独特的优点本章中出现的c 为正常数，它在不同的位置 代替不同的值 3 2 线性r l w 方程的时间连续特征有限元方法 3 2 1 线性r l w 方程的时间连续特征有限元格式 在本节中，以第二章中的问题( 2 - 2 ) 为模型讨论时间连续特征有限元方法 在下面的讨论中，我们假定t ( a ) a 扛，t ) 上户( 0 ，r ；w 1 , o o ( n ) ) ，扛，t ) l 2 ( q ) ，伽h 2 ( q ) ( b ) a ( 0 ，t ) = o ( 1 ，t ) = 0 ( c ) 0 a 。( z ，t ) | i p 曼l ，其中为正常数， ( d ) 同题( 2 2 ) 的解缸( $ ，t ) 存在唯一，且具有本节所需的光滑性 第三章r l w 方程的时间连续特征有限元方法 下面，我们构造问题( 2 - 2 ) 的时间连续特征有限元格式 当t = 0 时，在z 方向对区问【0 ，1 】进行剖分， 矗( 0 ) ：0 = ：t o ( 0 ) z l ( o ) x n i ( o ) x n ( o ) = 1 设网参为h ，且h = 斋，记以一( f ) ，i = 0 ，让而沿特征方向移动，印戤满足 d x 面i ( 一t ) = 口( 翰，t ) ， ( 3 1 ) 以o = 0 ) = ( o ) ( 3 - 2 ) 由常微分方程理论知p 1 ) 的解如， = 0 ，存在且唯一 利用连续形式的g r o n w a l l 不等式，再由( 3 - 1 ) ，( 3 - 2 ) 及条件( c ) 可以得如下关系式- ( 缸( o ) 一一1 ( 0 ) ) e n z d t ) 一4 一l ( ) ( 以( o ) 一魏一l ( o ) ) e “， = 1 ， 由此可得q 上的一个剖分t 死( 磅：0 = x o ( t ) z l ( 努 2 一i ( ) x n ( t ) = 1 记( t ) = s p a n h ( z ，t ) ，枷一l ( $ ，t ) 】， i 纛若象， 一l ( t ) z 戤( t ) ， l z ( t ) 一z ( 0 q - i 、。，2 “o ”、。， 哺( z ，t ) 。 z t1 t - z ，戤( t ) 。撕l ( ) ， 1 0 ，其它 令u ( x ，t ) 的近似为u h ( x ，t ) y h ( t ) ，且u a ( x ，t ) = e 鼠( t h ( z ，t ) 则问题( 2 2 ) 的时间连续特征有限元格式为t 上伊( ) ”如+ d z u h t , v z d x = f y ”如，”y h ( 巩t ( 。，卵， ( o ) = ( 矗( 0 ) 坛( o ) 其中a z o h ) ：芝掣琅，厶是从c ( n ) 到坛( t ) 的插值算子 焉! 。 由于u h ( x ，t ) = 屈( h ( z ，t ) ，所以( 3 - 3 ) 又可以写为， n - 1n - 1n - 1 觑( t ) ( 班，协) + 6 ( t ) ( ，k ，仍。) + j 展( t ) ( ，h “，仍。) = ( ，1 仍) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 第三章r l w 方程的时间连续特征有限元方法 其中 p 0 ) = ( 岛( ，口k 一，( t ) ) t ，= ( ( ，r t ) ，( ，r , v 一。) ) 7 ， b = ( b , j ) ( 一1 ) x ( 一1 ) ，h = ( k ) ( 一1 ) x 一1 ) ，d = ( 奶) ( 一t ) x ( n 1 ) n , j = ( r h ，仍) ，h o = ( t k ，仍。) ，奶= ( 依b ，仍。) ， j = 1 ，n 一1 则( 3 _ 4 ) 又可以写成矩阵形式为- b y ( t ) + 5 日( t ) + 5 d f l ( t ) = lt ( o 明， ( 3 _ 5 ) 令a = b + 5 h ，e = 6 d ，则p 5 ) 又可写为t a y ( o + e z ( t ) = ， ( 3 - 6 ) 因为矩阵b 为质量矩阵，所以矩阵b 正定，矩阵日为g r a m 矩阵，所以矩阵日半 正定，从而矩阵a 正定，所以在( 3 - 6 ) 两端同乘以a ，得 ( t ) + a 一1 e 卢( ) = a 一1 l0 t s 正 ( 3 - 7 ) 由常微分方程理论知，微分方程组( 3 - z ) 的解存在且唯一 3 2 2 误差估计 为- r 进行误差估计，我们需要以下几个引理 引理3 2 1 对任意 ( t ) 我们有- f ( 1 h nu ，；出= j ( 如， 0 f ( i h 缸) “如= z 如 证明- 因为厶“为u 的插值，所以厶= “( ，t h 又因为 f ( ( 1 h u k u , ) v , d x ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 第三章r l w 方程的时问连续特征有限元方法 ：壹厂“( ( 酬。一) 如 ：壹。叫酬裂，一- “( 1 h u - u ) v = d x= ( ( 氏“一u ) 地) 一- l = ( ( 1 h u 一“) ) 艮。= 0 所以( 3 - 8 ) 成立。把( 3 - 8 ) 两边同时对t 微分可得( 3 - 9 ) 也成立，从而引理3 2 ，1 得证。 引理3 2 2a l ( z h u ) 是啦+ a ( z ，t ) 的插值，即；a 1 ( h u ) = 厶m + a ( z ，) “矗 证明t 因为矗t = t ( 缸，t ) 仇，所以 a ，( h 。) ： 三i 垒出琅a 1 ( h ) = 垒 挚垃琅 n - 1 口1 = t t ( 如，t ) + u x ( 。t ，t ) 鲁】， f i = 一1 1 = h 慨，t ) + n ( 戤，t ) ( ，t ) h i = l = 厶( t t + q ( z ，t ) ) 从而引理3 2 2 得证 l 理3 2 。3 s o 对于v h ( t ) ，且 ( ，t ) ：笆让( 烛( z ，) ，我们有： 啡。州= 帅) 忆州一乩。蚓 生等轴+ 百d x i 仇抛。， 由m + n 0 ，t ) 让。一札“= f ( x ，t ) ，可得 z ( 饥+ 口( 霸t ) ) ”如+ 6 z 出= 上，”如，( 班 由上式得 z 伊( 厶仳) 。如+ a 上u “如= 上，。出+ 上f ”如， 其中f = 伊( 厶t ) 一( 饥+ a ( z ，t ) “。) 由( 3 - 9 ) ，( 3 - 1 0 ) 得 z a l ( 厶u ) w 如+ a z ( 厶u ) “如= 上，”缸+ z 和如 ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) 第三章r l w 方程的时间连续特征有限元方法 f n1 ( 一) 。出+ zo t = v ：d x = 上和妇， 洚z ) 上a 1 ( 一) 一如+ 6 上o t ：o ：d x = 上f 一出 p - 。) 巩酬= 。矧+ 。恕】 百d x i _ 咻1 t + 鲁仇i 札，础( 3 - 1 4 ) 肛啪如= z 眦+ 喜e ， 警柚+ 鲁耽卜峨 c ， 仁。( 等+ 勃) 愀 = 扣引、 堕d t 一互1 酽( x i - l , t 百d x i - i 一三厂 d x , d t - d x q d t 0 2 d x ， 2 止。【 一轧l j 砉， 等柚+ 鲁难) 唧如= 一；喜j ( ：。p 型警薹警) 。2 虹p - 8 ， 加= ；甍z 萨如一；砉e ， 掣卜 c 枷， 三1xd r 2 驻1 dr 簖卜 s ， = p 如+ ；砉， 掣卜 叫“ 第三章r l w 方程的时间连续特征有限元方法 由条件( c ) ，c a - i ) ，( 3 - ：8 ) 知 爰( 1 l s l l 2 + 6 l l o 1 1 2 ) 2 + i i o l l 2 + l u e l l 2 ，( 3 - 1 9 ) 所以 丢( 1 l e l j 2 + 6 t l o ：1 1 2 1c ( 1 l e 2 + a l l e ：1 1 2 ) + l l , f l l 2 ( 3 - 2 0 ) 由u h ( o ) = ( h u ) ( o ) 知o ( o ) = 以( 0 ) = 0 ，再由连续形式的g r o n w a u 不等式知 2 + 酬色铲sc l i f i l 2 ， 所以 1 1 0 1 i c l i i i ， 、剥& g 怯n 令p = u 一h u ，所以u 一= p + 0 ，由三角不等式可知 0 t 一u h l i i i p l i + c l l l l ， ( 3 - 2 1 ) l i “一u 0 - l i p l h + - = 舞1 | 引i ( 3 - 2 2 ) vo 根据( 3 - 2 1 ) ，( 3 - 2 2 ) ，引理3 2 2 及插值逼近定理，可得如下定理 定理3 2 1 设问题( 2 - 2 ) 的解“及定解数据满足条件( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ，“h 为( 3 - 3 ) 的解， 并且轧+ f ( x ，t ) 工。( o ，丁；h 2 ( q ) ) ，则存在一个与h ，t ，t ，6 均无关的常数c ，使得 u t 0 c h 2 i l | l ( o ，r ；日2 ( n ) ) + 0 6 “。矗+ f l l l o r ：日2 ( n ) ) ) 1 l u - u h l l ，c h i f 训郴卫脚) ) + 击u 一+ f f l 娜胛( n ) ) ) 3 3 非线性r 1 w 方程的时间连续特征有限元方法 3 3 1 非线性r l w 方程的时问连续特征有限元格式 本节将把匕节结果推广到非线性情况，考虑如下非线性砒w 方程的周期边值问题； 撕+ 妒0 ，“) t 。一j u 。t = ( x ，) ，z r ，0 t z ( z ，) ；“扛+ 1 ，t ) ，r ，0 s t 正 t ( ，0 ) = t 0 ( z ) ，。r ， 2 6 第三章r l w 方程的时间连续特征有限元方法 其中6 为正常数，妒( z ，t ，) ，f ( x ，) ，t 0 ( z ) 是2 的单位周期函数 不失一般性，上述问题可归结为求解下面问题一 地+ 妒0 ，t ) u ；一j t f 。t = ，( z ，) ，( 毛) q ， t ( 0 ，t ) = u ( 1 ，t ) ，t 0 ，刀， u ( z ，0 ) = ：t o ( 功， n 其中q = ( 0 ，1 ) ，q = n ( o ，刁 在下面的讨论中。我们假定t ( h 1 ) i i ( 毛t ，u ) 0 p 俺) k 1 ( h 2 ) 妒( 0 ，t ，u ( o ，t ) ) = 妒( 1 ，t ，u ( 1 ，t ) ) = 0 ( h 3 ) 8 0 泸( o ) s 工l ，其中l l 为正常数 ( h 4 ) ，( z ，t ) l 2 ( q ) ，u o 日2 m ) ，妒( z ，t ，) 关于z ，t ，u 的一阶导数连续 满足l i p s c h i t z 条件，l i p s c h i t z 常数分别为鲍，娲 ( h 5 )问题( 3 - 2 3 ) 的解u 是存在唯一的，且具有本节所需的光滑性 下面，我们构造问题( 3 - 2 3 ) 的时间连续特征有限元格式 当t ；0 时，在z 方向对区间1 0 ，1 进行剖分t a ( o ) ：0 = x o ( o ) z l ( o ) z 一1 ( o ) z ( o ) = 1 现在我们让x i 沿特征方向移动，即戤满足 尘磐：妒( 缸h ( 引) ) ， 出 ”1 。” 其中u h 满足 z a l ( ) ”如+ j 互“如= j ( ，”如，k ( t )，o，on u h ( o ) = ( i h u ) ( o ) ( o ) p 2 4 ) 和( 3 - 2 5 ) 解的存在唯性的证明过程参见文献】 ( 3 - 2 5 ) 就是问题( 3 - 2 3 ) 的时间连续特征有限元格式 ( 3 - 2 3 ) 并且关于，u ( 3 - 2 4 ) ( 3 - 2 5 ) ( 3 - 2 6 ) 第三章p a w 方程的时间连续特征有限元方法 3 3 2 误差估计 为了进行误差估计，我们需先证明以下几个引理 ；睫3 3 1 对v veh ( t ) ，v ( z ，t ) = 饥( t ) 哺( z ，t ) ，我们有， ：睫- 硼( 如啤- ) i 出扩如；睡- + 诩( x i - - z i - - 1 ) 一( 3 - 2 7 ) 证明若7 ：f o ，1 】一冗是线性函数，则显然有 1，1o i i f