结构主动控制系统数学模型减缩问题研究对策.pdf

哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 ab s t r a c t ac t i v ec o n t r o lo fs t r u c t u r ev i b r ati o nh a sb e c o meo n eo ft h emo s ta c t i v e s u bj e c t si nc o n t r o 1e n g i n e e r i n gfi e l dfo ri t sa d v a n 1 a g e s .b e c a u s et h ec i v i l e n g i n e e r i n g s t r u c t u r e s a r e s y s t e ms w i t h d i s t r i b ut i n g p ar ame t e r s ， th e r e u s u a l l y g e t s y s t e msw i t hhug efr e e d o m sw h e nt h e yare d i s c r et i z e d . fti sv e r yd i 伍c u l t t o d e s i g nac o ntro ls y s t e m d i r e c t l yfo rs u c hsys t e ms ， w h e n e v er c a l 仁 u l at i n go r i m p l ant i n g s ow i t ht h er e s e ar c ho nt h ea c t i v es ttuc t u r ev i b r at i o nc o n t r o l o ut s p r e ad， t h e r e s e a r c h o n th e m o d e l re d u c t i o n i s g o i n g o n c o n s t ant ly t h e o bj e c t o f m o d e l r e duc t i o ni s t o g e t a m o d e l w i t h l o w e r d i m e n s i o n o n a c e rt a i np r e c i s i o n . t h ed y n ami c a l p r o p e rt i e s o f t h ered u c e dm o d e l a p p r o x i m at e o n e s o f t h e o r i g i n a l m o d e l o f t h e syst e m. b u t the s e are i n s u mc i e ntfor t h e mo d e l r e d u c t i o nc o nt r o l 一 o r i e n t e db e c aus eo f t h ec h ara c t e r o f c o n t r o l p r o b l e m s . s ofor s o m e m o d e l r e d u c t i o nm et h o d s d y n am i c s 一 c a l c u l atin g 一 o r i e n t e d ， s u c ha s t h e m o d e t ru n c at i o nm e t h o d ， th e i r 叩p l i c abi l i t yn e e d s t ob ein s p e ct e dm a yn o t b eapp l i e d di r e c t l ytoc o n t r i p r o b l e m s ， ai m， t h i sthe s i si sc o n c e rne dwi t hmo d e lr e d u c t i o no fs 廿 u c 加r e swi t ha c t i v e c o nt r o l .f i r s t l yt he m o d etrun c at i o nm e t h o dfo rdyn ami c sc al c u l atin gi s d e v e l o p e d ， and b e c o m e s ane ffec t i v e m o d e l r e d u c t i o n m e t h o d o f c o n t r o l s y s t e m s . t h e ns o m e r e s e a r c hi s d o n e o na m o d e l r e d u c t i o n m e tho d c o n t r o 1 一 o r i e n t e d ， anda mod e l re d u c ti o nme l h o dv i a b al anc e ds t at es p 即ere p r e s e nt at i o ni s p rop o s e di n w 卜 i c hthe e i g e n v a l u e s o f c o n t r o l l abi l i tyando b s e rvabi 1 i tyg r am mat ri xn e e dn o t t ob e如o wn . at l a s t ， thes t abi l i tyi nt h ec o n 1 r o l s y s t e ms w i t hr e d u c e dm o d e l i s d i s c u s s e d ， and a m e th o d t o w e a k e n th e i n fe c t i o n o f t hec o ntro l s p i l l o v eri s g i v e n . k c ， 叭o r d s act i v e c o ntro l ; m o d e l r e duc t i o n ; st abi l i ty; s p i l l o v e r i i 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第1 章 绪论 l l 课题背景 土木工程结构控制理论自 1 9 72 年提出以来受到广泛重视，不论在理论上 还是工程实践上， 都得到了 重大发展1 。 但是作为在土木工程结构控制的理 论基础的现代控制理论，要求有精确的数学模型。因此，土木工程结构控制 问题数学模型的建立是首先要解决的一个重要问题。 现代大型柔性结构是一个分布参数系统，而分布参数系统理论的研究成 果目 前还无法用来直接解决这类复杂结构的控制问题，而且应用计算机组成 的控制系统的数学模型必须是离散的12 。通过数值离散方法 ( 一般是有限 元)总可以将一个分布参数系统离散化。为了得到足够高精度的模型，往往 是离散成维数很高的微分方程组。对于这种模型，直接计算其反应已经非常 费事，而实际中对这种高维动力学系统实施控制其困难是可想而知的。实际 的结构控制系统的数学模型的维数不能太大;不然，势必增加在线计算时 间，产生控制时滞。因此，减缩实际系统离散化后得到的系统的数学模型的 维数是非常必要的。 数学模型减缩亦称数学模型自由 度减缩，其目 的是为了获得一个满足工 程精度要求的低维有效计算模型。它存在于以下三类问题当中:动力学分 析;参数估计 ( 为计算修改) ;系统控制和监测 ( 为实时监控) 。由于上述三 类问题的特点不同，减缩的自由度相差很大。本文主要研究大系统控制问题 的数学模型维数的减缩。 对于一般的大系统来说，其数学模型减缩的目的是在能保持关于原系统 的足够信息的前提下，用低维空间的数学模型代替原高维状态向量空间模型 31 。 这样， 可以 用减缩模型对原 大系统进行性能分析以 及模态仿真等。 在求 解大型结构的主要动力响应中，提高计算效率，是原来计算结构动力学模型 简化的基本目的;用较低维的控制规律，以简化反馈控制器的结构，同时保 留足够的精度使实施结构控制成为可能，是控制问题减缩的目的。寻求能够 应用于控制系统维数减缩的方法，在过去的二十年中一直是重要的研究课题 1 4 工程结构控制系统的数学模型建立的方法为，先利用有限元方法将实际 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 的无限维自由度的结构体系离散成n自由度体系，然后再将n自由度体系减 缩成m维自由 度体系( m m, m为 减缩后的自 由 度数，0 。 矩阵中 的 列 向 量 0 , ( i 一 1 . 2 一 ， m ) 即r itz 模 态 矢 量， 0 m 一 0 1 , 0 1 , . . . , 0 ; , - 将式( 1 - 2 0 ) 代入式( 1 - 1 9 ) ， 得到减缩后的方程为 mr 9 + k r 9 = d r w ( 1 - 2 1 ) 式 中，k r = k o . ，峡 二 。 二 m 气,马= d 减缩后方程的解的精度与r i t z 基的选择有关，在模型修改中可取初始模 态的低阶模态。在动力计算可取外扰力的静态反应作为r i t z 模态矢量，控制 模型减缩中可取作动器和传感器的影响函数作为r i t z 基中的模态矢量。而一 般情况下，系统的低阶模态应该作为r i t z 基矢量。 9 ) 代 价分析 法 代价分 析法是s k e l t o n 在7 0 年 代末期 提出 来的 2 9 。 它的 基 本思想是:一个动力系统可以看成是由在时间上因果相关的一系列相互关 联、相互作用的实体组成的。这些实体称为部件或分量。动力学系统的性能 通常用性能指标来描述，这个性能指标可以是反映动力学系统一段时间内的 能量或者是输出误差的某种范数。那么，对于给定的分量和性能指标，一个 自然的问题是:整个系统的性能指标中哪一部分是由给定的分量引起的。下 面就回答这一问题，并讨论代价分析法在模型减缩上的应用。 假定具有k 个分量的 线性定常 系统， 其 状态x ; e r , i = 1 一 k x , 一 艺a , x , + d w , i 了 = 1 y 一 i c , x j =1 k ( 1 - 2 2 a ) 式中y e r q , w e r d ,， 是零均值、谱密度为一的白 噪声。 ( 1 - 2 2 b ) 系统的性能指 标为 v 一 煦 e iiy iiz iiy iiz 一 y t y ( 1 - 2 3 ) ( 1 - 2 4 ) 分量代价分析就是将系统的性能指标v分解成各分量x ; 对v的贡献之 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 和，即 v = 艺y ( 1 - 2 5 ) 上式称为代价分解特性。 定义 系统( 1 - 2 2 ) ，其代价为式( 1 - 2 3 ) 和( 1 - 2 01 ) ，分量戈 对系统代价y的贡 献v 定义为 = li m 1 e 曰。2 f a ll训 ， 号 一x , m =1 k r7 x ; ( 1 - 2 6 ) 根据定义可以得到如下性质: y 一 t r p c c ( 1 - 2 5 ) 其中的尸由下述方程给出: 尸 a t 十 a p 十 d d ， = a ( 1 - 2 8 ) q g 工- c 几乓 工一 d 再人 a a , z ， 二 a , a k 2 ， 二 r.胜胜1.j.l - 上式中a 由 于各分量的代价v反映了 各分量对系统总代价的贡献，因此， 代价分 析法可以用来进行模型减缩，即把对系统总的代价贡献小的分量舍去。 将式( 1 - 2 2 ) 改写为 ( 1 - 2 9 a ) w 刁卫lesesj 热几 一1.esesesl + 1卫eeeses口 丸戈 r.卫.esesl - 3.jlwej 气介 r，1llesl sx o y 一 t , l t j x l. ( 1 - 2 9 b ) 式 中 x , e r 为 主 要 分 量 ， x t e r 0 0 , 。 一 艺n , 为 次 要 分 量 ， 减 缩 模 型 为 哈尔滨t业大学工学硕士学位论文 x r = 么x r + 马、( 1 - 3 0 a ) 乃= c r x r ( 1 - 3 0 b ) 由前面的分析可知，减缩模型的代价为 v r 一 t r 队c r c r ( 1 - 3 1 ) 其中p r 由 下式来决定: 凡 成+ 么 凡十 马 r = 0 ( 1 - 3 2 )d t 因此，代价分析模型减缩的步骤可归结为: ( 1 ) 、 确定减缩前系统的 性能指标， 如前面( 1 - 2 3 ) . ( 1 - 2 4 ) 所示; ( 2 ) 、由 式( 1 - 2 6 ) 计算各分 量的 代价v , ; ( 3 ) 、 将各分量的 代价v , 按绝 对值由 小到大 进行排列; ( 4 ) 、 将绝对值较小的代价对应的分量去掉，得到减缩模型。 为衡量减缩前后代价的不同，引入代价摄动指标: : 一 生 ( v 一 v ) v ( 1 - 3 3 ) 还有一个问题，如果原系统是稳定的，在什么条件下，减缩系统也是稳 定的，s k e l t o n 回 答了 这一问 题3 1 1 ， 而n u r r e 等的 研究表明 3 2 1 : 只有在统一处 理建模与控制这两个问题时，刁 一 能实现最优的模型减缩。s k e l t o n 等提出了一 种方法，实现了 上述统一处理3 0 1 1 0 ) 平衡降 阶 法平衡降 阶 法是m o o r e 于1 9 8 1 年提出的 3 6 1 ，由 于下文中 还 要详细介绍，这里只简介如下:平衡降阶法基于可控、可观性的概念，提出 了系统的内平衡概念。处于内平衡状态的系统的可控、可观各拉姆矩阵为对 角阵，对角元素的物理意义十分明显，其大小反应了相应分量的可控可观 度。该方法应用于控制系统模型的减缩的基础基于如下意义:如果各拉姆矩 阵某对角元素为零，则相应的状态分量是不可观和不可控的，忽略这样的状 态分量并不影响系统的输入输出关系;而忽略对角元素较小值对应的状态分 量，得到的减缩模型的输入输出关系近似地等于减缩前系统的输入输出特 性。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 平衡降阶法是一种很有前途地方法，许多经典的模型减缩方法，由 于与 平衡理论相结合，使得它们变得更为有效，表达更为简捷，以致于有些学者 将其称为模型减缩方法的 一次变革4 3 1 1 ) 最优投影法 7 0年代初，w i l s o n 1 9 7 4 首先研究了 减缩模型坐标的 最 优选择问 题3 3 。其基本思想为寻求减缩模型， 使减缩模型的输出与减缩前模 型输出之差的加权二次型指标达到极小。该最优化问题的必要条件为两个李 亚普诺夫方程，方程的维数是减缩前、后模型维数之和。 在文献 3 3 研究的基础上，文献 3 4 做了 进一步研究，简化了文献 3 3 提 出的必要条件，并揭示初最优投影法与其它减缩方法的关系，逐步完善了最 优投影法。现在最优投影法已用于模型减缩低阶状态估计，以及低阶控制器 的设计等。 最优投影减 缩问 题可 描述成: 对于给定对象， 如式( 1 - 1 ) ， 且a 稳定。 寻 求减缩模型 y = a , x , + b , u c a ( 1 - 3 4 a ) ( 1 - 3 4 b ) .x1= 式中戈e r , y , e r i ; 使下列 减缩 准则j 达到 最小。 j 一 im e (， 一 ， f q (y 一 y , ) ( 1 - 3 5 ) 式中q 为q x q 的 正 定矩阵。a b c , 的 约束条件为 ( a ) a , 稳定;( b ) a b , 可 控;( c ) a c , 可观测。 为便于求解上问 题，首先引入下列引理3 4 . 定义 1 - 1非负定 ( 或) 正定方阵q，如果它存在对角约当( j o r d a n ) 型， 则称q 是非负定 或正定) 半单纯阵。 引理 1 - 1 假设口 , p 为。 、 。 阶非负定矩阵， 则存在m x 。 阶矩阵g , 1 及 二 x m阶正定半单纯矩阵m，使 少= g t mr ( 1 - 3 6 ) 1 g t = 几( 1 - 3 7 ) 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 则称( g , m, 1 ) 为 矩阵少 的因 式分 解， 其中i m e r ， 为单 位矩阵。 对于上述最优投影减缩问题有如下定理 定理 1 - 1对于式( 1 - 1 ) 系统，式( 1 - 3 4 ) 描述的最优投影减缩问题，如果 ( 鸿 ， 幻可 控，( 鸿 ， c ) 可观， 则 存在。 x n 阶 知阵口 _ 0 , p ? 0 , 少 的 因 式分 解为 ( g , m, 1 - ) ，使 人= 1 - a g t b , 二 】 b ( 1 - 3 8 ) ( 1 - 3 9 ) c二 c g 丁 ( 1 - 4 0 ) 并且满足 t二g z 1 ( 1 - 4 1 ) 口 十 承t 十 b v b t 一 ( i 一 t ) b v b t ( i 一 t ) t = 0 ( 1 - 4 2 ) a t p 十 p a + c r c 一 ( i 一 t ) t c t r c ( i 一 t ) 二 0 ( 1 - 4 3 ) p ( q ) = p ( p ) = p ( q p ) = n ( 1 - 4 4 ) 式 ( 1 - 4 2 ) 中 v e r 0 0 , v 0 , i 为。 x 。 阶 单 位阵 。 式 ( 1 - 4 4 ) 中p ( 动表 示口 的 秩。 从定理可以 看出，式( 1 - 4 2 ) 和式( 1 - 4 3 ) 通过” x n 幂等矩阵t ( t 2 = t ) 藕合 起来。矩阵t 称为 “ 投影”( 一般t不是正交投影) ，于t 相关的模型简缩的 最优解法称为最优投影法。 1 2 ) 基于辛变换的 减缩方法 计算结构动力学在工程结 构 优化方面的 工作 己 经取得了大量成果，近年来施加主动控制的结构优化方法的研究也己经展 开。在最优主动控制结构的设计中相应地采纳了大系统理论中的减缩方法， 但是这些做法常会产生 “ 溢出”现象。究其原因，是因为现有的减缩方法， 一般是对原系统实施开环减缩，然后设计控制器减缩引起的误差会被控制增 益放大。因而，应该考虑针对控制器与高维原系统组成的闭环系统进行减缩 的 方法4 4 1 设原系统 状态方程为式 ( 1 - 1 ) , 约束控制的目 标函 数为 哈尔滨r . 业人学工学b k 十学位论文 j = 生 乒 x t q x 十 u r u ) d t 其中q e r , r e r 0 0 为 对称、 非负加权矩阵。 ( 1 - 4 5 ) 式( 1 一1 ) 和( 1 一 4 5 ) 构成最 优控制问题可用对偶微分方程组等价表示为 x 二兑y一6n n 二 一 q x 一 a t n ( 1 - 4 6 ) 其中，x , n是n 维状态向量与协状态向量，g = b r - 了，若记 h = a - - g 卜q - r ( 1 - 4 7 ) h为h a m l i t o n 矩阵， 它有许多 特性， 文献 4 4 阐述了 它由 辛矩阵 做相似 变换仍为h a m l i t o n 阵，辛矩阵的积和逆仍为辛矩阵等;提出了应考虑在辛空 间意义下保留子空间，进行动态系统模型减缩。 这样，我们可以 把( 1 -4 6 ) 的j o r d a n 型作为原系统的第二种表示形式，其 特征值作为闭环系统的相似不变量。按优势极点法保留主要部分，再根据设 计的目的和原系统状态变量选择的要求，以及动态系统的基本特性上的要求 等， 构造辛矩阵做逆变换，得到减缩后的h a m l it o n 阵，由 此可以 构造( 1 - 1 ) 和 ( 1 - 4 5 ) 表现形式下的 减缩模型， 也可以 考虑对被忽略的次要部分， 用奇异摄动 方法 进行补 偿， 这方 面的 工作己 有 进行4 1 1 ， 但还有待进一 步研究。 1 . 3 本文研究的主要内 容 大系统理论和计算结构力学中的模型减缩方法，发展已有一些历史，研 究的范围也是十分的广泛。但是，在实际应用中，目前还没有统一的方法可 以有效地解决各类问题。不同的方法出发点不同，考虑的侧重面不一样，因 而满足不同设计要求的能力相差很大。因此，系统的模型减缩技术仍是需要 深入研究的课题，这种研究在理论上和应用上都有十分重要的价值和意义。 本文共有四章，主要内容如下: 对现有的模型减缩方法进行了简单的介绍，分析了各自的优缺点，并阐 明了本文研究的目的和意义。 模态截断法，在结构工程的动力计算中是一种常用的方法，本文第二章 发展了该方法，使其能方便地应用到结构的控制系统中去;此外，还针 对线 性控制系统，将高阶模态的简化考虑到减缩模型中，得到精度更好的减缩模 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 型;最后，对减缩系统的传递函数的误差做了分析。 平衡降阶法对于维数非常大的系统应用不便，第三章就其在大系统中的 方便实现问题进行了研究，给出了一种简便的解决方法，即给出了一种可以 不需要求出可控、可观各拉姆矩阵全部的奇异值，就可以得到减缩的内平衡 模型的计算方法。 第四章主要分析因受控系统模型减缩而产生的控制溢出和观测溢出对实 际闭环控制系统稳定性的影响，针对最优控制系统给出了减少控制溢出的一 种简单方法。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第2 章 模态截断法 所谓模态截断法就是在进行动力计算过程中，忽略次要的高阶模态反 应，而只保留 主要的低阶模态反应的 一种简化计算方法3 。 一个线性系统的任何时刻的反应都可以线性地表达为各阶模态的叠加和 的形式。但是这些模态在反应中所占的分量是不相同的，一般来说，模态的 阶越高，其对应的自 振频率越高，振动衰减越快，故低阶模态在反应中所占 的分量要远大于其高阶模态。因此，在动力计算中，忽略高阶模态是可以得 到较好的近似效果的。正因为低阶模态的反应在结构动态反应中如此重要， 用它们的信息实现反馈控制的可行性就不言而喻了。 本章发展了动力计算中的模态截断法，使之成为结构控制问题数学模型 减缩的一种有效的方法，并给出了考虑高阶模态反应时的减缩模型的公式。 2 . 1 动力计算的模态截断法 设线性结构的运动微分方程如下: 五 在 +c z十犬2二工 h ， 其中m， c ， ke 尸肋 质量、阻尼和刚度矩阵 2 o r ” 位移矢量 do r 洲 j 作用力矩阵 、 c r j 外力。 对于上面的线性系统，动力学理论己经证明了 都可以表示成如下形式， 2二山 七 * ( 2 一 1 ) 系统任何时刻的反应2 ( 2 一 2 ) 式中 。 一 陌 ， 盛 ， ， 武 1 。 尸 ” 模 态 矩阵 吞 * 一 【 易 1 ， 二 ， 氛 。 尸 模 态 坐 标 向 量 。 变换后，系统 ( 2 一 1) 可解祸成n 个独立的单自由度系统如下， m， 老 ; ， + c ， 吞 * ， + k吞 * ， =试 、1 = 1 ， 2 ， ， n( 2 一 3 ) 哈尔滨工业大学丁 学硕士学位论文 式中m ;, c ;, k , 系 统的 第i 个 模 态质 量、 模态 阻 尼和 模 态刚 度 试= 衬d 作 用在 第i 模 态上的 作用 力 矩阵 实际上， 外 扰力w 的 频率带宽co , 是 有限的。 如果0 ) , m 时 ， 第 模态 的 影 响 可以忽略不计而得到 : z ( t ) = 艺0 4 。 二 气4 -m r ( 2 - 4 ) 其 中 。 ， 一 !0 , ! 划 x - 低 i ， 二 ， 毓 t4 m j 从而由 式( 2 - 3 ) 得 m,4 a + c 男十 k , 贸 = d , w ( 2 - 5 ) 其中 从= 巾 二 m (d , , c= (d 众 c q) m , 凡二 。 众 k (d , ，马二 。 轰 d 以 ( 2 - 5 ) 式计算结果，由 式( 2 一近似求得z ( t ) ，这就是动力计算的模态截 断法。其有效性己经为大家所熟知。 2 . 2 结构控制的模态截断法 设控制结构的运动方程为: m z + c z + k z = d w 十 h u ( 2 - 6 ) 通过式( 2 - 2 ) 变换式 ( 2 - 6 ) 得到n 个独立的单自 由 度系统控制方程如下: mi 氛+ c i 乱 ， 十 k i 乱 ， 二 试 w 十 八 u i 习一 n( 2 - 7 ) 式中h . = 杯h ( i = 1 , 2 , ， 一 ， n ) 一一 控制器 对第i 模 态的 作 用矩阵 仿效动力计算的模态截断法，仅保留起主要作用的二个模态，其控制系 统的运动微分方程的矩阵形式为: 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 m, s r + c , 4 . + k , 4 ,= d , w + h , u( 2 - 8 ) 式中h , = (d m h o 上式( 2 - 8 ) 描述的系统的状态方程如下: c = a m t c + b m u + d m w( 2 - 9 ) 1产esesj 加r用r 甘卜咨屯 a 4j 、 一 1 0 戈 一 1 bm - 0 l d m-m ,-k , -m ,c, m ,1h j 一 m , 0 d ,: 一 上述推导并无不妥之处， 根据式( 2 - 9 ) 就可以 进行控制系统的设计 模态控制的一些理论就是这么做的，但是其控制实现却有困难 乱, i = 1 , 2 , . , n 物理意义十分明显，一般却是不能直接测量的 。关于 。虽然 要 由 z = (d . 盯求出。 其计算需要时间， 对实时 控制的 实 现不 利。 用实际 测量到的 运动量进行反馈来实现控制是最理想的。因此，需要建立用能测量的运动量 表示的系统状态方程，下面给出结构控制中的模态截断法及数值算例。 设减缩后的自由度为 m, 在下文给出) ，不失一般性 z . e r ，其它的设为2 ,z任 r 从z ( t ) 中 选择出感兴趣的m个分量 ( 选择依据 ，可以令z ( t ) 的前m个分量被选中，设为 爪 ，即有 z = z m z r ( 2 - 1 0 ) 如果以z . 分量作为减缩后的 位移向 量， 并且z ， 按 如下 方式 取值: z , 一 艺0 b , , 一 m + l , m + 2 , ， 一 n ( 2 - 1 1 ) 其 中 吮 ， 表 示 第1 个 特 征向 量 的 第i 个 分 量 ， z ; , i = 1 , 2 ， 二 ， ” 为z 的 分 量， bi = 1 , 2 , . . . , m 为 待定系数。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 为了 求出 系 数b ， ，j 二 1 ， 2 ， 一 ， 。 ， 可 令当1 = 1 ， 2 ， ， ， 时 下 式 得 到 满 足， 即有: 汽 八 十 九乓 +.二 + 札 红 = 气 九八 + 人乓+ 一+ 丸吞= 几(2一 1 2) 叭 ， 八 + 叭 ， 人十 十 蠕 气二 气 写成矩阵形式可表示如下 凡 = 中 二b(2一 1 3 ) 勺 !.1毛.十尸 入月瓦 其中 b二 leses.eeeeee.j 呱九 魂，低 汽人气 尸lesllllweesweesl 一一 丽 小 一般的，d e l丈 中 。) 袭 。 ，故可得 b = 小 蕊 虱 (2 一 1 4 ) 将上 式代入 (2 一 n ) 式可 得: 凡二 气尹 一 二 巾 二 。 ) 一 ， 凡 ( 2 一 1 5 ) 其 中 有 小 。 一 体 ， 二 ，引一 陈。 ，呱 一 ， 于是可得: 一 图 一 风 一，叙 ，小 ( 2 一 1 6 ) 设 一 !。 .*卜 二 i ( 小 ) 一 ， ， 则( 2 一 1 6 ) 式简写为 2= 2 2 用(2一 1 7 ) 以 2 一 17 ) 式作变换， 则系统( 2 一 6) 可变为: 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 m2 。 + c z 用 十 k z m = d m+ 刀 u 其中， 厉= t m t , 亡 = t c t , 元二 t k t , 乃 = t d , 万 广义逆。 ( 2 - 1 8 ) =t h, t + 表示t的 由此作反馈: _、 f z _ 1 u=一 k, k, i 李 j t z . j 2 - 1 9 ) 由 于虱， 氛都是 可以 直接 测量 的 ， 所以 利用 ( 2 - 1 5 ) 式 表 示的 减 缩模 型 在主 动控制系统设计是十分方便的 由 上面的 讨论可以 注意到， 有两个问 题需要解决的， 下面分别加以 讨论: 1 ) 保留分量数m的 确定4 6 1 一般的，别的大小对于动力机算来说，主要有外扰力的频带宽度和要求 的计算算精度共同决定的，而主动控制则要求更低的维数。当外力的频率带 宽比较大时， 为了 达到一定的 精度，则，的 取值要大些，反之， 就小些。 设外 力的频带宽维w , ，再设系统的自振频率为w ;, i = 1 , 2 , , 一 ， 。，并记 a 抓。 ， : 。 心1=1， 2，.二 ， 时，集合a中元素的个数记为1 ，可取 m 一 m in ( 2 1 , 1 + 8 1 。 ( 2 ) z , 分量 的 选 取问 题 14 6 可以 按以 下原 则 来 选 取z m 的 分 量: ( a ) z . 要 包 括 作 动 器 和传 感 器设 置的 位置; ( b ) z m 对应分 量所对应的 前功阶 模态分 量要尽量大。 这样矩阵。 ，不 容易产生奇异性，而且， 由于在设计作动器和传感器位置时，一般要使得低阶 模态的可控度和可观度要大，原则( b ) 就可以使得选出的分量的可控度和可观 度相应的大，从而减小控制误差。 相关的几个问题说明如下: 1 ) 和模态截断法的等价关系 对于上面的变换矩阵r ， 我们注意到 哈尔滨工业大学工学硕十学位论文 (。 一 )一一 (， 一 一 ( 2 - 2 4 ) r.胜.! 一一 lllj t (d . 卜 ， ( 小 ，) 一 ， 中 m . 中. ,. - m rwe.il -一 t 如果 设z m =， 则 有: z = t z m 二 t (d _ 韶 = (d m 韶( 2 - 2 1 ) 显然， 上式就是( 2 - 4 ) 式。由 于巾 ，是非奇异的 ( 我们可以 选择其为非奇 异) 。 这说明 ( 2 - 1 8 ) 可以由 ( 2 - 6 ) 通过非奇异 变换( 。 ， ， ) 一 ， 获得。 此即 说明了 其等 价性。 2 ) 模态截断法应用在控制系统合理性说明 对于一般的土木结构系统，由 于其自 振特性，无论对于动力简化计算，还是作为主动控制的模型减缩，其 精度都是可以满足要求的。这可以从下一节中的算例看出来，当然也有其理 论上的依据，现简要说明如下。外力主要频率包含在减缩模型的频率带宽 内，所以结构的反应主要是低阶反应，即统统包含在简化模型所能反映的振 型中，而作为反馈增益为k的加载在结构上的主动力“ 二 一 k x，对于线性系 统，k一般为常数矩阵。 对上式进行拉普拉斯变换， 可得u ( s ) = - k x ( s ) ， 取 s 二 j ro ， 有u ( j o) ) = - k x ( l co ) ， 可以 看出，当反馈增益不是十分大时，u ( t ) 的频率也将集中在低频段， 从而也不能激发x ( t ) 的较高阶反应， 进而使得结 构反应在低阶频段得到保持而不会 “ 溢出” 。当然，反过来看，如果k相当的 大，x ( t ) 中 小的 高阶分量通过k 可以 产生， ( t ) 的 高阶分量，从而进一步激发 高阶反应，如果这个过程不断加强，而。 ( t ) 又不能对系统高阶分量实施抑制 ( 高阶动力特性由于控制信息的不完备，或者说由于溢出等原因而可能变 坏) ，这可能使系统失稳。 3 ) 利用r i tz 向量法改进模态截断法 由 于模态向 量可以 看成为向 量的一种 特殊情况，上面给出的方法也可以改进 r i t z向量减缩法。对于一些复杂的结 构，求出其自 然模态是非常困难的，这时可以利用一些实验模态，根据上面 的思路，同样可以得到方便应用于主动控制的相应减缩模型。另一方面，由 于结构的自 然模态只与结构自 身性质有关，与外力无关，如果只考虑其自 然 模态，有时要得到精度好一些的结果，所需要保留的模态的维数可能非常 大。如果增加考虑一些与外扰力有关的 “ 准模态” ( 比 如外力的静位移) ，其 哈尔滨丁 _ 业大学工学硕士学位论文 结果非常理想:而如果把作动器和传感器的影响函数作为结构的 “ 准模态” 则会得到鲁棒性很好的 减缩模型4 7 1 2 3算例 在本节中，考虑一个 1 5层的剪切型框 架结构，在第一层和第三层施加主动拉筋 以施加主动控制作用力。以ma t l a b 数值计 算软件来数值分析其在地震作用下，减缩 前后结构的动力反应、以及有控和未控下 结构的反应。以此检验上面章节减缩方法 的有效性。结构的示意图如图 2 -1所示。 对于结 构的 参数， 参见 表 2 - 1 ) a 在计算过程中，控制力的反馈算法一律 用线性系统的二次型最优控制反馈增益算 法 4 8 1 ， 采 用的 地震 波为e l - c e n t r o 波， 最 大值设为2 5 0 g a l ， 地震持时设为2 。 秒。 表2 一1 结构参数 t a b l e 2 - 1 t h e p a r a m e t e r s o f t h e 图2 一1 结构模型示意图 f i g u r e 2 - 1 t h e mo d e l o f t h e 参数名 质量m , ( t )阻 尼c , ( k n , s t m )刚 度弋 ( k n l m ) 1 一 5层 1 3 1 0 .0 0 0 3 5 9 0 .4 4 6 8 0 0 0 6 -1 0层 2 9 0 . 6 2 5 3 3 6 6 刃4 3 8 7 5 0 1 1 一1 5 层 2 7 1 .2 5 31 4 1 . 64 0 9 5 0 0 该框架结构被控时的数学模型为: a 疙+ 比 十 k z 二 h u 一 m r ,( 2 - 2 2 ) k, + k y 夭 码 户网卜1|il 一- m 电 其 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 lesesesese