（应用数学专业论文）强平稳相依序列的精确渐近性的一般形式.pdf

摘要 摘要 自从1 9 6 0 年弓1 入p 一混合序列的概念和8 0 年代提出了n a 序列的概念以来。很多 学者对它们的弱收敛，最大镶不等式和完全收敛性进行了研究至今蠢了很多结果， 其中有关相依序列的许多结榘是在独立序列的基础上推广得到的，本文尝试着在对 它的部分和最大值的极限性艨作进一步讨论 第一章简要地介绍了a 相依序列和p 一混合序列的定义和之前的主要结论 特别螅，张巍新( 2 0 0 4 ) 缛到了关于n a 序列重对数律的几个极限定理；成风赐，王岳 宝( 2 0 0 4 ) 给出了独立与n a 列部分和的精致渐近性的一般形式；而赵月旭等( 2 0 0 7 ) 提 出了强平稳舻混合序列的精确渐近性 第二章我们用张立新( 2 0 0 4 ) 和成风砀，王岳宝( 2 0 0 4 ) 的方法得到了在n a 序列下 关于郏分和最大值与莛对数律和o a u n g x 寸数德相关的精确渐近性的一般形式 第三章我们用h u a n gw - e ta 1 ( 2 0 0 3 ) 和赵月旭等( 2 0 0 7 ) 的方法得捌了在p 一混合 序列下关于部分和最大值与熏对数律相关的耩确渐近性的一般形式。 关键词：a 序列，p 一混合序列，部分和最大值，重对数律，c h t m g 对数律 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed e f i n i t i o no fp - m i x i n gw a sa d v a n c e di n1 9 6 0a n dt h ed e f i n i t i o no fn aw a si n t h e1 9 8 0 s f o r mt h e no n ，m a n ys c h o l a r sh a v ed i s c u s s e dt h e i rl i m i tp r o p e r t i e si nw e a k c o n v e r g e n c e ，m a x i m a li n o a u a u t ya n dt h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c e t h e r ea t em a n y r e s u l t s n o ww h i c ha r em o s t l yd e r i v e df r o mt h ei i 。d s e q u e n c e s i nt h i sp a p e rit r yt od i s c u s si t s f l m e l l i m i tp r o p e r t i e si nm a x i m a lp a r t i a ls u m i nc h a p t e ro n e , w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fp - m i x i n gs e q u e n c e ，n a ( n e g a t i v e a s s o c i a t i o n ) a n dt h el l l a i nr e s u l mw h i c hw e r ep r o v e db yt h es c h o l a r sb e f o r e 。e s p e c i a l l y , z h a n gl x ( 2 0 0 4 ) p r o v e dt h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c e i nn a s e q u e n c e s ；f a n gy c ，w a n g y b ( 2 0 0 4 ) p r o v e dp r e c i s ea s y m p t o f i c so fp a r t i a ls u m sf o rl i da n dn as e q u e n c e s ；z h a o y x e ta 1 ( 2 0 0 7 ) g i v e st h ep l _ e c i s er a t ei nt h ep - m i x i n gs e q u e c e s i n c h a p t e r t w o w e d e r i v e a g e n e r a l f o r m o f p r e c i s e r a t e i n t h e l i m i t p r o p e r t i e s f o r m a x - i m a lp a r t i a ls u mf o rn a s e q u e n c e s b yc o m b i n i n gt h em e t h o d s i nz h a n gl x ( 2 0 1 m ) a n d f e n gy e 。w a n gy b ( 2 0 0 4 ) i nc h a p t e rt h r e ew ed e r i v eag e n e r a lf o r mo fp r e c i s er a t ei nt h ei nt h el a wo ft h e i t e r a t e dl o g a r i t h mf o rm a x i m a lp a r t i a ls u mi nt h ep - m l x i n gs e q u e n c e s ，b yc o m b i n i n gt h e m e t h o d si nh u a n gw e ta 1 ( 2 0 0 3 ) a n dz h a oy x e ta l ( 2 0 0 7 ) k e yw o r d s ： n a s e q u e n c e s ，p - m i x i n gs e q u e n c e s ，m a x i m a lp a r t i a ls u l l l , l a wo f i t e r - a t e dl o g a r i t h m , c h u n g sl a wo ft h ei t e r a t e dl o g a t i t h m 一一 主要符号对照表 d 多 p ( a ) e x c o v ，的 r ( z ) n a i i d ( q ，莎，p ) 仃( j q ，1 i 羔住) 主要符号对照表 弱收敛( w e a kc o n v e r g e n c e ) 由q 戆菜黧予集生成懿集类( s e tg e n e r a t e db yt h es u b s e to fqs e t ) 事件a 发生的概率( p r o b a b i l i t yo f o c c u r r e n c ea ) 戆规变量x 的期鬟( e x p e c t a t i o no f r a n d o m v a r i a b l ex ) 随机变量x 与y 的协方差 ( c o v m a n c eo fr a n d o m i f i a b l e sxa n dy ) 伽玛函数( g a m m af u n c t i o ng e n e r a t e db yr a n d o mv a t i a b l ex ) 负相伴( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ) 相互独立闯分布( i n d e p e n d e n t l ya n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ) 概率空间( p r o b a b i l i t ys p a c e ) 国随税交爨生成弼的盯域 ( t h e 盯d o m a i ng e n e r a t e db yt h er a n d o mv a i l a b l e x t ) 一m 一 第一章绪论 第一章绪论 1 1 独立情形和a 情形的精确渐近性 设 五i n 1 是一列同分布的随机变量，e x l = o ，0 s e x o o 令乳= ：i x k ， 螈2 m “k ! ni 鼠i ，n 1 记l o g x = l n ( xve ) ，l o g l o g x = l o g ( 1 0 9 z ) 当 j 0 ) 为i i d 随机 变量序列时，g u t a s p a t a r u a ( 2 0 0 0 ) 3 】讨论了重对数律的收敛速度，给出了下面的结果： 定理a 设 j 0 ；竹2 1 ) 为1 i d 随机变量序列，e x l = 0 ，0 e x 1 ) 是a 的，若对v n 2 , x 1 ，x 2 ，五。是n a 的 张立新证明了重对数律的精确渐近性对于负相伴随机变量序列也成立 恒设 ；n 1 ) 为平稳的a 随机变量序列，e x l = 0 ，0 一1 ，我们有 和 孵l i r a ( 6 + l 薹蜣铲p 他 ( c ) 一何而) 2 而2 即刊。，薹蔷耘 m ， 第一章绪论 姆删薹嘴铲p ( c ) ，佩而) = 而1 r ( 6 + 3 2 ) ， ( 1 2 ) 其中r ( ) 是g a m m a 函数相应的，若序列是独立的，且存在某一个b - 1 和o - 1 和0 口 o 。使 得( 1 3 ) 成立，那么e x l = o a z x = 口2 成风肠和王岳宝f 1 4 在2 0 0 4 年得到了关于的精确渐进的结果和正态吸引场强平 稳n a 歹i j 部分和的精确渐近的一般形式的结果，之前关于独立列和n a 列部分和精确渐近 性方面的不少经典的和最新的结果都可以包括在该框架之内命题如下： 定理d 假设0 e 岫俐鲫矧v 。 这里磊是具有分布函数g 。( 。) 的随机变量，a 。，k 分别为中心化常数和正则化因子 定理e 设r 2 ， x ，五：l 1 为强平稳a 列，e l x l 0 设9 ) 是 1 ，+ o o ) 上具有非负导数9 7 ( 。) 的可导函数，满足以下 条件： ( d g ( z ) t + 。，z - + ， 一2 一 第一章绪论 ( 2 ) 矿( 。) 农【l ，+ o o ) 单调菲酶或单调不增， ( 3 ) 当9 缸) 单调非降时，l i m z 一2 ：& 妒= 1 。 又霰设 存在t 1 ，l i r a s u p # 。+ o 。笔 辫 毽l i r a i n f * 一+ 。；裔 0 ， 则对v 8 ( ( 1 一r 1 2 ) v + t ) r l l s 0 ，都商 恕一加三州酬l e b n 9 8 ( 蝴趔州。 这里z 是服从正态分布( o ，a 2 ) 的随机变量，p n ：n 1 ) 是满足条件h m n o 。舄一1 的正 数列 组成风砀和王岳裳 1 4 】只研究了部分和& ，对于更难研究的部分和最大值峨没有讨 论。 1 2 在p 一混合情羿刍下的精确渐近性 p - 混合的概念是由 矾n l o g o d 0 va n 和r o z a n o vu a 6 1 于1 9 6 0 年引入的，概念说明当 随机变量的指标之差趋向无穷大时他们怒渐进独寂的 定义1 2 嘲设 x ，x n ；n l 是一捌定义在襁率空鬻( 鸵，萝，印上的随机变量令| s k = ：l 凰，罗一垒口( 五，1 s i 扎) ，莎十垒口( 咒，t 扎) ，定义 p ( 竹) ：= s 蚴u p 蹦s u 。f p 巧) s 。u ( 站p 。，丽面 e 蠢x y 孬- - e 丽x e 专y j i 孬 ( 1 4 ) 辩1 x 如( j 譬) y 剞轴( 砝。) 、廿( 一丘五j b l _ 一丘，j 当n 一。时，若p ( 扎) 一0 ，那么该序列 矗，扎21 ) 被称为p 一混合序列显然，一致强 漫台謦裂必定必妒一混会痔刭，予是本文翁结渣对乎一致强溪台痔捌毽是残囊瓣 避年来。很多学者都对混合序列作丁大量的研究工作，如p e l i g r a d l 嘁林正炎，陆传 荣，邵雇满和张立薪等。其中l i n z y 瘌l u c r 嘲。鄂启满【l 越讨论了弱收敛方面的工作， 而s h a oq m 【l o 】和邵痞满f 1 7 j 刘讨论了在最大值不等式和完全收敛性方面的工作由于混 合序列具有渐进独立饿所以有关混合序列的许多结果大多是在独立序列的基础上推广得 知熬。 关于强平稳p 一混合序列，h u a n gw e t8 1 【4 】中得到了下面的结果 定理f 设鲰= 0 0 l o g l o g n ) 。菪 ( i ) l i m n 。层砩n = ：盯2 0 ， ( i i ) 墨l 护肛( 2 “) 2 ( b + 1 ) 一3 一 第一章绪论 那么辩任意酌b 一1 ，我们有 霸 繇秒罅耋等等竽p 编( 卧8 加厮) = 志印制薹蔷备 拉s ， 黑渺薹掣p 赫圳拶厢磊 一而1 r ( 6 + 3 2 ) ( 1 6 ) 其中r ( ) 是g 籼函数 怒月怒，寐志浩，孙棒良猃1 1 将上述的定理串豹公式( 1 - 6 ) 推广至如下豹一般形式： 定理g 设 墨。：n 1 为强平稳p 一混合序列，e x i = 0 ，e l 凰1 9 0 ，墨l 矿& ( 2 8 ) 0 ，使l i r a s u p $ _ + 。妒( z ) 肛6 m a x ( ：，；1 + 留) ，都有 下式也成立： 憋。三p ( i s 1 灏删) = e l 舵i ( 1 7 ) 熟矗三州p ( i s i - e 扩耐( 蝴= e t 1 。， ( 1 8 ) 其中随机变量n 服从标准正态分布n ( 0 ，1 ) 瓣样，链锯对于舔分窝最大篷挺i 没有磅突本文戆主要霆懿在于磁究部分秘最大 值a 靠与重对数律和c h u n g 重对数律相关的精确渐近性的般形式 一正一 第二章平稳的n a 序列的精确渐近性的一般形式 第二章平稳的n a 序列的精确渐近性的一般形式 2 1 主要定理 这一章我们给, q 4 , n a 序列与重对数律和c h u n g 重对数律相关的精确渐近性的一般形式 下面的两个定理是我们的主要结果 恒设 矗；n 1 ) 为平稳的a 随机变量序列，e x = 0 ，e i x i r 0 ，9 ( z ) 是【1 ，+ o o 】上具有非负导数9 ，( z ) 的可导函数，满足 以下条件： 口1 ) g ( z ) t + o o ，髫_ + ， 0 2 ) ( 霉) 在【1 ，+ 】上单调非降或单调不增， a 3 ) 当g ( z ) 单调非降时，l i m 。2 ：专茅= 1 ， 又假设 存在t 1 ，l i m s u p 。+ 。考料 0 我们的结论如下： 定理2 1 对任意的口2 ( ( 1 一r 2 ) u + t ) r 且口 0 ，都有 熘e 。薹以n ) p ( e 盯而孙) ) = z 妻k = o 盂蒜引h ， 其中随机变量服从标准正态分布n ( 0 ，1 ) 定理2 2 对任意的口( ( 1 一r 2 ) + t ) r j | v 0 ，都有 黔l i m 。私妒c 细厚舻焉2r c 罐高暑每，c z 固 其中i ( ) g o a m m a i 函数 注：定理2 1 对应于重对数律的收敛速度，在定理2 1 中取口= 郁，9 ( 。) = ( 2 l o g l o g x ) = ( 2 l o g l o g x ) 6 “，由( 2 1 ) a p 得( 1 2 ) 而定理2 2 对应于c h u n g 重对数律的收 敛速度，在定理2 2 中取口= j 商可，g ( z ) = ( 1 0 9 l o g x ) = ( 1 0 9 l o g x ) 6 + 1 ，由( 2 2 ) e p 得o 3 ) 一5 一 第二章平稳的a 膨列的精确渐近性的一般形式 2 2 定理2 1 的证明 令 w ；t o 为一标准的维纳邂程，为标准正态变董结合下蔼两个命题，定 理2 1 即得证 盘透2 1 对于镁意露口( ( 1 一r 2 ) 口+ ) 步基搿 毽我稍宥 帮l i ms 薹如s u 艘p 删阳洳泸。薹j 蒜耐- ， 命题2 0 对于经意的# ( ( 1 一r 2 ) u + t ) r g 0 ，我们有 姆6 。n = l 矿| p ( 蝙w 两”鳓) 一样。s u 。p 9 1 i 形( $ ) | 矿( 哟) = 。 往国 为证礴命题2 1 ，我们先给嬲下面的g i 理 引理2 1 1 1 设 w ( t ) ；t 0 ) 是一个标准维纳过程，那么对于所有的z 0 ， p ( 。s 型u p 州l 引= l - 珏e 。( 一1 ) p ( ( 2 。一1 ) z s ( 2 2 + 1 ) z ) 。4 ( 一1 ) “p ( n2 ( 2 k 十1 ) z ) 是：= o 一2 ( 一1 ) p ( i n i ( 2 知十1 ) z ) 一 特别地，当茹一+ o o 时， p f 吣s u p e g 肇) ) 如 搴实上，搬孽，0 ) 单调不增时，( 2 6 ) 式显然成立；当0 ) 单调非降时，由a 3 ) 知，对w 0 ， 一 _ 嚣 j 孤 矾 尹 ( 一i 硎 丛q ， - 一 一，|b 吨 筹 扩 一0 o ，一蚰f 御 = | | r 式 ， w g 第二章平稳的n a 序列的精确渐近性的一般形斌 存在厩整数，当。 对，总有矿( z ) ( 1 + 5 缸一1 ) ，从而 l e 0 i r a # 薹矿州。s 倒u p l 矽酽) 2 赋l i m 5 。量，烈鸯p ( 。垡s u p 。i 联旬陀矾嘭) - o , v & 有 p 咯矧列墨2 p 赌吲猢+ 4 煳 一鑫 + 4 ( 熹) 啪2 ” 碍l 理2 4 s 1 ( t o e p l i t z ) 设 瓢 是一个跳跃的序列共且当他憝于无穷时，一是 令。 o 为一组权数并满足当n 趋于无穷时，对所有的n 都有：1 。= l 且对所有 的i ，都有一0 ，那么 姓 。最一s i = 1 8 一 第二章平穗的n a 序列的精确渐近性的一般形式 为证明( 2 4 ) 式，我们来信计 e 1 扣f 矿| p ( 磊如婀讲酽( ) 一p ( s u pl 彬( $ ) | e 旷) | 。0 a 1 一e 跏( 萎、+ ) 积) l p ( 魄”而”每) ) 一p ( 。c s u 。p b e ) 一一。 烈站再 o t q 一一 垒l 2 1 + 五2 2 9 一 第二章平穗的a 序列的精确渐近性的般形式 我们先来估计三2 l ，令r = 1 e x ，乖j 用；l 理2 + 3 ( 其中= 翌噶$ 矬，! ，一琢j 硝) 扣矿p ( 编留两酽( 铭) ) n 6 ( e ) t ，如擘，国) 殁琏垫辱塑 g ，扣。未) 畎蚓溺l 莎1 甜四蝴 + 4 e 枷9 7 ) 哪 朴( ：十2 ) 2 e 2 2 擘2 ”( n ) 拈 “一一互，趴州碍荔斋两) 1 协) + l 2 e m g ( n ) p x ll 去m 、矽( n ) ) “b(e)4 + 4 e 1 加( n ) e x p 3 6 r e 2 0 - 2 矿”( n ) ) 。聂，尚 t ”矿瀚嘲 - - 3 6 r t 2 a 2 9 2 v 鼢积+ 4 c e - 2 伽e c m + 4 e 1 4 c e 蒜 t” 矿瀚嘲秘) 积芸兰丢 j o ( f ) 一口t 卅 似”l + ；e ”l 唧即蜘2 矿埯+ t 吨磊，未套斋 巍一0 ，掰一。辩，我稍霹浚褥至g 上式一0 ，帮岛l 一疆 最后我们来估计l 2 2 ， ，莓、蜘) p 蚀。1 w ( s ) f 酬埘 n b ( e ) 2 b ( o ， 0 。我们有 湘l i r ae 一；缸嘎垡s u p ：险c 蜘刹2 去，薹毒惫坤s ， 命题2 a 对任意的。( ( 1 一r 2 + t ) r 熙口 0 ，我们有 l i r a 。e 一。萎9 协) p ( 胍曼t 一字舻( 站) ) 一p f 。s 。u 删p l 彤( s ) ls e 等内”( n ) ) l o ( 2 9 ) 尊先来诞明命题2 3 稍理2 _ 9 1 2 令 缈：t o ) 是一个标准的维纳过税那么对经何z 0 ， 并且当茹一o 时， 科岣s u p 野嘲剑= ；薹描耐一笔竽， 瞎t 国 p ( 阳s u p 。，i w ( 圳纠一：唧 一鑫 o 曼1 wo 善 引理2 6 对任意的z l 嗣r l n 1 。有 p ( 喝ge 一痂以叫唧 掣) 证明j 出中心极限定理知：耱_ l on ( o ，口2 ) ，所以存在m 。和 o 使得当m 伽时， p ( 舞2 ) 曼b 一2 胁 l ，对于任意的e 0 ，我们取m = 艮2 f 2 n 妇2 ”国) 】； l m l ，有 p ( 霸e 扩、扎g ”( 犯) ) p ( s 、m ) s p 繇。一肇一l ，。| 2 两蠹一l ，2 ，) p 瓯m s ( 一1 ) 。s2 、鬲；k = 1 ，2 ， 王王怨l p ( 岛。一敛女一1 ) 。2 v m 3 ；p ( 舄。2 - v 暴) # 一2 编 e x p 一裟 b 7 n + 。崭嘞协) p ( 呻s u p 纠喇e 等脚) ) 黠于是l ，凌辱l 理2 。6 我锈舂 e 七翰尹泓基舒警妒) n b ，( f ) ” 圹。囊，帕蹦一帮往1 2 )t i 酽( f ) 。 ( 2 o og ( x ) e x 小紫 如 = ：e 产1e 升学蚴 第二章平稳的n a 序列的精确渐近性的一般形式 所以巍m 一，砌矗1 0 对于五2 ，由引理嬲我们有 e 一e 釉g ( n ) p ( 。s u p 引删e 咖) 幸 。裂计学，1 帖 扩( )瞄。 基1 k o o 帅蛔 一掣) 妇 ：! “毋- - l z d y 。 7 r 口j f ” 薪戳囊a 蕾一对，剿最2 0 这样命题2 4 得证于是定理2 2 得 芷 一1 5 第三章强平稳口一混合序列的精确渐近饿的一般形式 第三章强平稳p 一混金序列的精确渐近性的一般形式 3 1 主要结果 这一章我们给出口一混合燮量与重对数律相关的精确渐近性的一般形式下面的定理 是我们的主要结果 定理3 1 设 溉：n l 为强平稳p 一混含序列的随机变爨，e 溉= 0 ，e i x i p o 当甚i 矿山( 2 “) 0 ，使褥l i m s u p 。妒秘) m a o c ( ；，；+ j 2 p 6 ) ，都有 下式也成立： 。l i 。r ae ；薹州哟p ( 螈e 瓶霹洲蝴卅薹孟蒜e m c ，m 恕e 。薹洲”坝慨e 伊 矽( 枷= z 薹西 畚e m ， ( s 2 ) 其中随机变量服从标准正态分布 ( o ，1 ) 一1 6 篓兰童堡垩整2 = 堡堂型箜塑塑塑堑堡塑= 墼驻查一 3 2 定理3 1 的证明 为证我们的主要缩果，我们需要以下引理 日i 理3 1 1 1 0 l 设 x 。：竹n 为舻混合随机变量序列，e x = 0 1 ) ，记熊( n ) 2 k ：+ n + l 置，南0 ，n 1 羹蘑辩任意的2 ，存寝饺蔹觳于g 秘反) 麴幂数符= k ( q ，p 0 ) ， 使得 _ p ( 嚣i 最洲2 。) 蛆潢足2 n m a x , ： 廿 第三章强平稳p 一混宙序列的精确渐近蚀的一般形式 这样我们只薷器证孵下面两个式子 溉紫9 。嘉乏矿暇e 瓣盼瓴 o 骢六，； i p m ) 州。 8 我们先估计( 3 9 ) ，在引理3 1 中我们取霉= 、茸爵矿( 礼) ，= k 、，伍( 帆) ，其中 o 为 特定豢数。下繇我们来验证承挈满足引理3 1 的条传，事实上只器要诞明( 3 。i t ) 式， 2 n e i x x l i ( i 牒x d 磊 _ j a 忒e x 元q o 一 ( n ) ) 9 - 1 ( 0 2 e ) ( 3 t 1 ) 露髭旷 。 。 下面分2 种情况来讨论( 3 1 1 ) 式， 1 ) p = 2 l l 寸，注意到e 击( 怍) 8 ，鄱n q o - i ( 口2 ) ， 这时我们肖 2 n e 墨l i ( i g t | a 西妒”( 嚣) ) e 砩( 竹) ，c e l x l t 2 j ( 1 x l k 面矿( n ) ) 。 f 2 妒2 ”( 哟 3 。1 2 ) ，c e x x l 2 川x 1 1 乏a e 面( 哟) 孬；一。一 篓c 0 4 , , 2 ) 当p 2 对，注意到昱l 蕺1 9 轳一1 ( 萨露 ) 黪，我霞】蠢 箜鼍涮麓乎燮 一 n 扫一2 ) 2 日2 一 曼赤 ( 3 ，1 3 ) 我 】戳技蔓 这榉一令耩狁寝褥( 3 。l 鸯式翔( 3 。l 嚣袋夺予1 ，箨( 3 1 l 斌藏立节磊我稻 一1 9 第三章强平稳p 一混合序列的精确渐近性的一般形式 来估计k 2 ，由弓i 理3 1 w 知 p ( 燧。q 愿爵冬磅) 蔓谊p 最| k 耐转妨 n o g 州 + k ( c 佩( 扎) ) 一。n ge x p ( k p c 2 ) ) ( e x 弘f ( ix 1f e 面”( n ) ) i = o 峨州 十( e 徊瓢”( 扎) ) 一e x p ( k p 2 7 4 托m 。a 枞x e ) x , 1 4 x ( t x l i k 而”( n ) ) i - - - - - o 垒以1 十j 1 2 + 3 接着我们来求 l ， 2 ， 3 由于e 蠢妒( n ) 口，即馆 妒一1 ( 萨f ) ，不妨令m ( 8 ，c 口) = 妒一1 ( 舻 ) 而寸 蚴c ( ：，i 1 + 搿) ，对 l 商 e | p 协) 以l n m ( a ，口 一e n 坼) p ( i x t l a e 饼矿( n ) ) n m ( 8 e ， 1 一e n ( 脚p ( f 、历_ ”o ) m ( a ， ) j 害件 一 ，( 哟) p ( 艇函”g ) m ( o 。， ) m ( 0 南v ) a e ( m ( o ，口) ) 1 2 旷( 掰，口) ) 一伙爵p 2 十争一铆别五m j 魁1 a e ( m ( o ，) 1 2 矿( m ( 日，e ，w ) ) 一& 舞扩+ 警一劬君陵暇阻l a o t e l 一旷一3 2 ) 。 m 佃一，) 篓g e i l ( 嚣x ) l 联| 甄l 茎a e 、西”( 牲) ) “ 掰概，口) 【l o g 哪 啾e 卿( n ) ) 一口n le x p ( k p ) e e j ( n ) e 一口妒一q ”( 4 。 3 1 5 n m ( o ，f ，砷 e e 一”妒7 ( z ) 妒一q ”( x ) d z j m ( o ，e ， ) i 益 呻妒一科1 ( 材溉岛甜) ) m a x ( ，；1 + 蹭) ，对予任意的 0 ，当口一o 。时，( 3 1 5 ) 式趋于零 对于五孙骞 e ( 札) j 1 s 掰# ， 鬟e e 芝二f l x l l 4 j ( 1 x l i a e 、面。( 竹) ) n m ( e ，e ，v ) 1 0 9 n 妒协) ( e 、矽( 竹) ) 一4 n e x p ( k p 2 7 4 ( 2 ) ) i = o m ( 0 ，口) 篓呻犯1 5 妒一”妒( n ) e i x x t i ( i x , i 基天西旷哟) ”m e ，口) 垒 3 1 当p = 2 时，对任意的口 1 2 ，对 0 ，一致地有 3 lgc e 吾一2 l ，0 1 - 2 v ( 吖( p ，e ，口) ) c 0 2 ( 1 - 2 v ) 一0 p o o ) ( 3 1 6 ) 一2 l 一 蔓三皇堡羔! 堑= 堡垒堡型盟楚堕丛丝塑= 墼垄壅 避芦 2 时，对五3 l 利用条件( 蚴，可褥 丽 m 觚( ；，；1 + 错) ，我们有 霉一 0 。有 p 。；矿p 馁，1 w ( s ) i 狮8 ) s 饶。点，秘) 科8 | 渤| e 和) ) 如 。誓紫”) o 鲻1 一 ( 3 1 7 ) ， 4 e 苗f 秘) p ( l f 矿( 等) ) 如 j m ( o ，f ， 董4 g 剪 一1 p ( t n i f ) d y j $ 却 当日一0 0 ，( 3 1 7 ) 一0 ，于是( 3 1 0 ) 式得证 鑫( 3 辫式，罄l 国式帮( 3 。7 ) 式我嚣】藜零戳餐窭；愈题3 2 予是定壤3 。l 舞澎 - 2 2 一 釜耋塞熊 参考文献 1 b i 玎i g i l s 姆p ，c o n v e r g e n c eo f p r o b a b i l i t ym e a s u r e s ，w i l e y , n e wy o r k 1 9 6 8 2 c i e s i e l s k iz ，t a y l o rs j ，f i r s tp a s s a g et i n l e sa n ds o j o u r nt i m e sf o rb m w n a i n 描舢 t i o ni ns p a c ea n dt h ee x a c th a u s d o r f fm s u r eo ft h es a m p l ep a t h t r a m a m e r m a t h 。s o c 。，1 9 6 2 ，1 0 3 ：4 3 4 - 4 5 0 , 3 g u ta t ，s p a t a r ua ，p r e c i s ea s y m p t o t i c si nt h el a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h m ，a n n p r o b a b ，2 0 0 0 ，2 8 ：1 8 7 0 - 1 8 8 3 4 h n a n gw ，z h a n gl x ，j i a n gy ，p r e c i s er a t ei nt h el a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h mf o r p m i x i n gs e q u e n c e ，a p p l m 硪j c h i n e s eu n i v s e r b ，2 0 0 3 ，1 8 ( 4 ) ：4 8 2 - 4 8 8 5 - j o a g - d e vk ，p r o s c h a n 嚣。n e g a t i v ea s s o c i a t i o no fr a n d o mv a r i a b l e sw i t ha p p u c a - t i o n s ，a n n s t a t i s t ，1 9 8 3 。i1 ( 1 ) ：2 8 6 - 2 9 5 6 ，k o l o m o g o r o va 。扼，r o z a n o vu , a ，o nt h es t r o n gm i x i n gc o n d i t i o n so f s t a t i o n a r y g a u s s i a np r o c e s s ，p r o b a b t h e o r ya p p l ，1 9 6 0 ，2 ：2 2 2 2 2 7 0 nr u s s i a n ) 7 l i n z y ，l u c ，rl i m i t t h e o r y o n m i x i n g d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s s c i e n c e p r e s sa n dk l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，n e wy o r k b 哟i n g ，1 9 9 7 8 p e t r o vv v ，l i m i tt h e o r e m so fp r o b a b i l i t yt h e o r y , o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s o x f o r d ，1 9 9 5 。 9 s h a nq m “ac o m p a r i s o nt h e o r e mo nm a x i m u m i a e q u a l i t e sb e t w e e nn e g a t i v e l y a s s o c i a t e da n di n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s ，j ，t h e o r p r o b a b ，2 0 0